Bac matematică M1 mate-info 2026, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numărul complex z=2+i\displaystyle z = 2 + i. Arătați că z+zˉ+z⋅zˉ=9\displaystyle z + \bar{z} + z \cdot \bar{z} = 9, unde zˉ\displaystyle \bar{z} este conjugatul numărului complex z\displaystyle z.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică numărul complex dat și se determină conjugatul său, schimbând semnul părții imaginare.
    z=2+i, zˉ=2−i\displaystyle z = 2 + i \text{, } \bar{z} = 2 - i
  2. Se calculează suma dintre numărul complex și conjugatul său.
    z+zˉ=(2+i)+(2−i)=4\displaystyle z + \bar{z} = (2 + i) + (2 - i) = 4
  3. Se calculează produsul dintre numărul complex și conjugatul său, folosind formula de diferență de pătrate.
    z⋅zˉ=(2+i)(2−i)=22−i2\displaystyle z \cdot \bar{z} = (2+i)(2-i) = 2^2 - i^2
  4. Se scrie expresia completă z+zˉ+z⋅zˉ\displaystyle z + \bar{z} + z \cdot \bar{z} înlocuind valorile lui z\displaystyle z și zˉ\displaystyle \bar{z}, conform primului pas de control din barem.
    z+zˉ+z⋅zˉ=2+i+2−i+(2+i)(2−i)=\displaystyle z + \bar{z} + z \cdot \bar{z} = 2 + i + 2 - i + (2+i)(2-i) =
  5. Se efectuează calculele: se adună termenii reali și imaginari, iar produsul se scrie folosind i2=−1\displaystyle i^{2} = -1, obținând rezultatul final.
    =4+4−i2=8+1=9\displaystyle = 4 + 4 - i^2 = 8 + 1 = 9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1\displaystyle f(x) = 2x - 1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x2−4x+m\displaystyle g(x) = x^2 - 4x + m, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care graficele funcțiilor f\displaystyle f și g\displaystyle g au exact un punct comun.
Vezi rezolvarea
  1. Se pune condiția ca graficele funcțiilor f\displaystyle f și g\displaystyle g să aibă un punct comun, adică ecuația f(x)=g(x)\displaystyle f(x) = g(x) să aibă soluții.
    f(x)=g(x)⇒2x−1=x2−4x+m\displaystyle f(x) = g(x) \Rightarrow 2x - 1 = x^2 - 4x + m
  2. Se trec toți termenii într-o parte și se reduc termenii asemenea pentru a obține o ecuație de gradul al doilea în x\displaystyle x.
    x2−4x+m−2x+1=0⇒x2−6x+m+1=0\displaystyle x^2 - 4x + m - 2x + 1 = 0 \Rightarrow x^2 - 6x + m + 1 = 0
  3. Graficele au exact un punct comun dacă și numai dacă ecuația de gradul al doilea obținută are o singură soluție reală (rădăcină dublă), ceea ce înseamnă că discriminantul ecuației trebuie să fie egal cu zero.
    Δ=0\displaystyle \Delta = 0
  4. Se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea x2−6x+(m+1)=0\displaystyle x^{2} - 6x + (m+1) = 0, unde a=1\displaystyle a=1, b=−6\displaystyle b=-6, c=m+1\displaystyle c=m+1.
    Δ=(−6)2−4⋅1⋅(m+1)=36−4m−4=32−4m\displaystyle \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m+1) = 36 - 4m - 4 = 32 - 4m
  5. Se pune condiția Δ=0\displaystyle \Delta = 0 și se rezolvă ecuația în m\displaystyle m pentru a determina valoarea căutată.
    Δ=0\displaystyle \Delta = 0, Δ=32−4m\displaystyle \ \Delta = 32 - 4m, 32−4m=0⇒m=8\displaystyle \ 32 - 4m = 0 \Rightarrow m = 8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (1+log⁡x2)log⁡2x=5\displaystyle (1 + \log_x 2)\log_2 x = 5.
Vezi rezolvarea
  1. Condiții de existență: baza x\displaystyle x trebuie să fie pozitivă și diferită de 1, deci x>0\displaystyle x>0 și x≠1\displaystyle x\neq 1.
    x∈(0,1)∪(1,∞)\displaystyle x\in(0,1)\cup(1,\infty)
  2. Desfacem parantezele: (1+log⁡x2)log⁡2x=log⁡2x+log⁡x2⋅log⁡2x\displaystyle (1+\log_x 2)\log_2 x=\log_2 x+\log_x 2\cdot\log_2 x.
    log⁡2x+log⁡x2⋅log⁡2x=5\displaystyle \log_2 x+\log_x 2\cdot\log_2 x=5
  3. Folosim log⁡x2=1log⁡2x\displaystyle \log_x 2=\dfrac{1}{\log_2 x}, deci log⁡x2⋅log⁡2x=1\displaystyle \log_x 2\cdot\log_2 x=1.
    log⁡x2⋅log⁡2x=1\displaystyle \log_x 2\cdot\log_2 x=1
  4. Ecuația devine log⁡2x+1=5\displaystyle \log_2 x+1=5, deci log⁡2x=4\displaystyle \log_2 x=4.
    log⁡2x=4\displaystyle \log_2 x=4
  5. Din definiția logaritmului, x=24=16\displaystyle x=2^{4}=16. Verificăm condițiile: 16>0\displaystyle 16>0 și 16≠1\displaystyle 16\neq 1, deci soluția convine.
    x=16, care convine\displaystyle x=16\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră A\displaystyle A, mulțimea numerelor naturale de două cifre, formate cu cifre nenule. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A\displaystyle A, acesta să aibă produsul cifrelor divizibil cu 5\displaystyle 5.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină mulțimea A: numerele naturale de două cifre formate cu cifre nenule au forma ab‾\displaystyle \overline{ab}, cu a,b∈{1,2,...,9}\displaystyle a,b\in\{1,2,...,9\}. Numărul de posibilități pentru a\displaystyle a este 9, iar pentru b\displaystyle b este 9, deci numărul total de cazuri posibile este:
    9⋅9\displaystyle 9\cdot 9
  2. Se calculează numărul total de cazuri posibile, adică numărul de elemente ale mulțimii A.
    81\displaystyle 81
  3. Se identifică ce înseamnă ca produsul cifrelor a⋅b\displaystyle a\cdot b să fie divizibil cu 5. Deoarece a,b∈{1,2,...,9}\displaystyle a,b\in\{1,2,...,9\}, singura cifră nenulă divizibilă cu 5 este 5. Prin urmare 5∣a⋅b\displaystyle 5\mid a\cdot b dacă și numai dacă cel puțin una dintre cifre este egală cu 5.
    a=5 sau b=5\displaystyle a=5\text{ sau }b=5
  4. Se numără cazurile favorabile folosind principiul includerii-excluderii: numerele cu a=5\displaystyle a=5 (9 numere, pentru fiecare valoare a lui b\displaystyle b), numerele cu b=5\displaystyle b=5 (9 numere, pentru fiecare valoare a lui a\displaystyle a), din care se scad cele numărate de două ori, când a=5\displaystyle a=5 și b=5\displaystyle b=5 simultan (1 caz).
    9+9−1=17\displaystyle 9+9-1=17
  5. Se aplică definiția probabilității ca raport dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.
    p=1781\displaystyle p = \frac{17}{81}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,5)\displaystyle A(0,5) și B(4,2)\displaystyle B(4,2). Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul A\displaystyle A și este perpendiculară pe dreapta OB\displaystyle OB.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică punctele O(0,0)\displaystyle O(0,0) și B(4,2)\displaystyle B(4,2) și se scrie formula pantei unei drepte determinate de două puncte.
    mOB=yB−yOxB−xO\displaystyle m_{OB} = \frac{y_B - y_O}{x_B - x_O}
  2. Se înlocuiesc coordonatele punctelor O\displaystyle O și B\displaystyle B pentru a calcula panta dreptei OB\displaystyle OB.
    mOB=2−04−0=12\displaystyle m_{OB} = \frac{2 - 0}{4 - 0} = \frac{1}{2}
  3. Se aplică condiția de perpendicularitate dintre dreapta căutată (d) și dreapta OB\displaystyle OB, folosind produsul pantelor egal cu −1\displaystyle -1.
    mOB⋅md=−1\displaystyle m_{OB}\cdot m_d = -1
  4. Se rezolvă ecuația pentru a afla panta dreptei perpendiculare d\displaystyle d.
    mOB=12\displaystyle m_{OB} = \frac{1}{2}, mOB⋅md=−1\displaystyle \ m_{OB}\cdot m_d = -1, md=−2\displaystyle \ m_d = -2
  5. Se scrie ecuația generală a unei drepte care trece printr-un punct dat A(x0,y0)\displaystyle A(x_0, y_0) și are panta md\displaystyle m_d.
    y−yA=md(x−xA)\displaystyle y - y_A = m_d (x - x_A)
  6. Se înlocuiesc coordonatele punctului A(0,5)\displaystyle A(0,5) și panta md=−2\displaystyle m_d = -2 în ecuația dreptei, obținând ecuația finală a dreptei căutate.
    y−5=−2x, adica˘ y=−2x+5\displaystyle y - 5 = -2x\text{, adică }y = -2x + 5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=9\displaystyle AB = 9 și AC=12\displaystyle AC = 12. Punctul M\displaystyle M este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC. Arătați că distanța de la punctul C\displaystyle C la dreapta AM\displaystyle AM este egală cu 7,2\displaystyle 7{,}2.
Vezi rezolvarea
  1. Se aplică teorema medianei din triunghiul dreptunghic: mediana dusă din vârful unghiului drept către ipotenuză este jumătate din ipotenuză, deci M\displaystyle M este centrul cercului circumscris și AM=BM=CM\displaystyle AM = BM = CM.
    AM=BM=CM=BC2\displaystyle AM = BM = CM = \dfrac{BC}{2}
  2. Deoarece AM=CM\displaystyle AM = CM, triunghiul ACM\displaystyle ACM este isoscel cu vârful M\displaystyle M. Prin simetria față de mediatoarea segmentului AC\displaystyle AC (care trece prin M\displaystyle M), distanța de la C\displaystyle C la dreapta AM\displaystyle AM este egală cu distanța de la A\displaystyle A la dreapta CM\displaystyle CM. Cum M\displaystyle M se află pe segmentul BC\displaystyle BC, dreapta CM\displaystyle CM coincide cu dreapta BC\displaystyle BC, deci această distanță este chiar înălțimea AD\displaystyle AD din A\displaystyle A pe BC\displaystyle BC.
    AM=CM\displaystyle AM = CM, d(C,AM)=d(A,CM)=AD\displaystyle \ d(C, AM) = d(A, CM) = AD
  3. Se calculează lungimea ipotenuzei BC\displaystyle BC folosind teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC.
    BC=AB2+AC2=92+122=81+144=225=15\displaystyle BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81+144} = \sqrt{225} = 15
  4. Se exprimă aria triunghiului ABC\displaystyle ABC în două moduri: folosind catetele AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC, respectiv folosind ipotenuza BC\displaystyle BC și înălțimea AD\displaystyle AD, apoi se rezolvă ecuația pentru AD\displaystyle AD, obținând valoarea căutată a distanței.
    BC=15\displaystyle BC = 15, 15⋅AD2=9⋅122\displaystyle \ \dfrac{15 \cdot AD}{2} = \dfrac{9 \cdot 12}{2}, d(C,AM)=7,2\displaystyle \ d(C, AM) = 7{,}2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a111−1a321)\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -1 & a \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=2ax−y+az=−43x+2y+z=8\displaystyle \begin{cases} ax + y + z = 2a \\ x - y + az = -4 \\ 3x + 2y + z = 8 \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=4\displaystyle \det(A(1)) = 4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim parametrul a\displaystyle a cu 1\displaystyle 1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(1111−11321)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1) și îl calculăm prin regula lui Sarrus. Termenii pozitivi sunt produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea: 1⋅(−1)⋅1\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1, 1⋅1⋅3\displaystyle 1\cdot 1\cdot 3 și 1⋅1⋅2\displaystyle 1\cdot 1\cdot 2.
    1⋅(−1)⋅1+1⋅1⋅3+1⋅1⋅2=−1+3+2\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1+1\cdot 1\cdot 3+1\cdot 1\cdot 2=-1+3+2
  3. Termenii negativi sunt produsele elementelor de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea: 1⋅(−1)⋅3\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 3, 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1 și 1⋅1⋅2\displaystyle 1\cdot 1\cdot 2, luate cu semnul minus.
    −(1⋅(−1)⋅3+1⋅1⋅1+1⋅1⋅2)=−(−3+1+2)\displaystyle -\left(1\cdot(-1)\cdot 3+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 2\right)=-(-3+1+2)
  4. Adunăm toți termenii, așa cum apar în barem: −1+2+3+3−2−1\displaystyle -1+2+3+3-2-1. Suma este 4\displaystyle 4, deci determinantul este 4\displaystyle 4.
    det⁡(A(1))=−1+2+3+3−2−1=4\displaystyle \det(A(1))=-1+2+3+3-2-1=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a111−1a321)\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -1 & a \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=2ax−y+az=−43x+2y+z=8\displaystyle \begin{cases} ax + y + z = 2a \\ x - y + az = -4 \\ 3x + 2y + z = 8 \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați mulțimea numerelor reale a\displaystyle a pentru care matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) și se dezvoltă după prima linie, folosind regula de calcul a determinanților de ordin 3\displaystyle 3.
    det⁡(A(a))=a∣−1a21∣−1∣1a31∣+1∣1−132∣\displaystyle \det(A(a)) = a\begin{vmatrix} -1 & a \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & a \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}
  2. Se calculează fiecare minor de ordin 2\displaystyle 2 obținut prin dezvoltare.
    ∣−1a21∣=−1−2a\displaystyle \begin{vmatrix} -1 & a \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1-2a, ∣1a31∣=1−3a\displaystyle \ \begin{vmatrix} 1 & a \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1-3a, ∣1−132∣=2+3=5\displaystyle \ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2+3=5
  3. Se înlocuiesc minorii în expresia determinantului și se efectuează calculele.
    det⁡(A(a))=a(−1−2a)−(1−3a)+5=−a−2a2−1+3a+5\displaystyle \det(A(a)) = a(-1-2a) - (1-3a) + 5 = -a-2a^2-1+3a+5
  4. Se reduc termenii asemenea pentru a obține forma finală a determinantului.
    det⁡(A(a))=∣a111−1a321∣=−2a2+2a+4\displaystyle \det(A(a)) = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -1 & a \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -2a^2 + 2a + 4
  5. Matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă dacă și numai dacă determinantul este nenul, deci se pune condiția ca determinantul să fie diferit de zero, echivalent cu a rezolva ecuația det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0.
    −2a2+2a+4=0⇔a2−a−2=0\displaystyle -2a^2+2a+4=0 \Leftrightarrow a^2-a-2=0
  6. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea folosind formula radicalilor sau descompunerea în factori: se caută două numere care se înmulțesc dând −2\displaystyle -2 și se adună dând −1\displaystyle -1, adică −2\displaystyle -2 și 1\displaystyle 1.
    a2−a−2=0⇔(a−2)(a+1)=0\displaystyle a^2-a-2=0 \Leftrightarrow (a-2)(a+1)=0
  7. Se determină soluțiile ecuației, adică valorile lui a\displaystyle a pentru care determinantul se anulează, și se exclud aceste valori pentru ca matricea să fie inversabilă.
    det⁡(A(a))=0⇔a=−1 sau a=2\displaystyle \det(A(a)) = 0 \Leftrightarrow a = -1\text{ sau }a = 2, R∖{−1,2}\displaystyle \ \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a111−1a321)\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -1 & a \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=2ax−y+az=−43x+2y+z=8\displaystyle \begin{cases} ax + y + z = 2a \\ x - y + az = -4 \\ 3x + 2y + z = 8 \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Considerăm (x1,y1,z1)\displaystyle (x_1, y_1, z_1) soluția sistemului de ecuații liniare pentru a=1\displaystyle a = 1. Pentru a=2\displaystyle a = 2, determinați soluțiile (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0, y_0, z_0) ale sistemului de ecuații liniare pentru care x0y0=y1\displaystyle x_0 y_0 = y_1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) pentru a stabili pentru ce valori ale lui a\displaystyle a sistemul își schimbă natura (compatibil determinat/nedeterminat).
    det⁡A(a)=a(−1−2a)−1(1−3a)+1(2+3)=−2a2+2a+4=−2(a−2)(a+1)\displaystyle \det A(a) = a(-1-2a) - 1(1-3a) + 1(2+3) = -2a^2+2a+4 = -2(a-2)(a+1)
  2. Determinantul se anulează pentru a=2\displaystyle a=2 sau a=−1\displaystyle a=-1. Analizăm cazul a=2\displaystyle a=2: se verifică (prin rangul matricei extinse) că sistemul este compatibil nedeterminat, deci vom avea o infinitate de soluții depinzând de un parametru.
    a=2: sistemul devine {2x+y+z=4x−y+2z=−43x+2y+z=8\displaystyle a=2\text{: sistemul devine } \begin{cases} 2x+y+z=4 \\ x-y+2z=-4 \\ 3x+2y+z=8 \end{cases}
  3. Rezolvăm sistemul pentru a=2\displaystyle a=2. Scăzând prima ecuație din a treia obținem y=4−x\displaystyle y=4-x, iar înlocuind în prima ecuație obținem z=−x\displaystyle z=-x. Se verifică că a doua ecuație este satisfăcută identic, deci x\displaystyle x poate fi ales ca parametru liber.
    (3x+2y+z)−(2x+y+z)=8−4⇒y=4−x;2x+(4−x)+z=4⇒z=−x\displaystyle (3x+2y+z)-(2x+y+z)=8-4 \Rightarrow y=4-x;\quad 2x+(4-x)+z=4 \Rightarrow z=-x
  4. Notând x=α\displaystyle x=\alpha, soluția generală a sistemului pentru a=2\displaystyle a=2 este (α,4−α,−α)\displaystyle (\alpha, 4-\alpha, -\alpha), α\displaystyle \alpha fiind un parametru real (respectiv complex, conform enunțului cerut).
    (α,4−α,−α)\displaystyle (\alpha, 4 - \alpha, -\alpha), α∈C\displaystyle \ \alpha \in \mathbb{C}
  5. Analizăm cazul a=1\displaystyle a=1: determinantul A(1)=−2(1−2)(1+1)=4≠0\displaystyle A(1) = -2(1-2)(1+1) = 4 \neq 0, deci sistemul este compatibil determinat (soluție unică, prin regula lui Cramer).
    a=1⇒det⁡A(1)=4≠0\displaystyle a=1\Rightarrow \det A(1)=4\neq 0,{x+y+z=2x−y+z=−43x+2y+z=8\displaystyle \quad \begin{cases} x+y+z=2 \\ x-y+z=-4 \\ 3x+2y+z=8 \end{cases}
  6. Scădem a doua ecuație din prima pentru a elimina x\displaystyle x și z\displaystyle z simultan, obținând valoarea lui y\displaystyle y pentru acest caz, notată y1\displaystyle y_1.
    (x+y+z)−(x−y+z)=2−(−4)⇒2y=6⇒y1=3\displaystyle (x+y+z)-(x-y+z)=2-(-4) \Rightarrow 2y=6 \Rightarrow y_1=3
  7. Impunem condiția ca produsul primelor două componente ale soluției generale de la a=2\displaystyle a=2 (adică x⋅y=α(4−α)\displaystyle x\cdot y = \alpha(4-\alpha)) să fie egal cu valoarea y1\displaystyle y_1 găsită anterior. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea obținută și determinăm valorile lui α\displaystyle \alpha, apoi scriem soluțiile finale ale sistemului.
    y1=3\displaystyle y_1 = 3, α(4−α)=3⇒α2−4α+3=0⇒α=1 sau α=3\displaystyle \ \alpha(4 - \alpha) = 3 \Rightarrow \alpha^2-4\alpha+3=0 \Rightarrow \alpha = 1\text{ sau } \alpha = 3, (1,3,−1) și (3,1,−3)\displaystyle \ (1, 3, -1)\text{ și }(3, 1, -3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x2+2)(y2+2)+m\displaystyle x * y = \sqrt{(x^2 + 2)(y^2 + 2)+ m}, unde m∈[−4,+∞)\displaystyle m \in [-4, +\infty).

Pentru m=3\displaystyle m = 3, arătați că 0∗1=3\displaystyle 0 * 1 = 3.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție pentru valorile particulare x=0\displaystyle x=0 și y=1\displaystyle y=1, știind că în această problemă se consideră m=3\displaystyle m=3.
    0∗1=(02+2)(12+2)+3\displaystyle 0 * 1 = \sqrt{(0^2 + 2)(1^2 + 2) + 3}
  2. Se calculează valorile din interiorul radicalului: (02+2)=2\displaystyle (0^{2}+2)=2 și (12+2)=3\displaystyle (1^{2}+2)=3, deci produsul este 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6, la care se adaugă m=3\displaystyle m=3.
    0∗1=(02+2)(12+2)+3=\displaystyle 0 * 1 = \sqrt{(0^2 + 2)(1^2 + 2) + 3} =
  3. Se adună termenii de sub radical: 6+3=9\displaystyle 6+3=9.
    =6+3\displaystyle = \sqrt{6+3}
  4. Se simplifică radicalul, obținând rezultatul final al calculului.
    =9=3\displaystyle = \sqrt{9} = 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x2+2)(y2+2)+m\displaystyle x * y = \sqrt{(x^2 + 2)(y^2 + 2)+ m}, unde m∈[−4,+∞)\displaystyle m \in [-4, +\infty).

Pentru m=7\displaystyle m = 7, determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗(2x)=5\displaystyle x * (2x) = 5.
Vezi rezolvarea
  1. Se aplică definiția legii de compoziție pentru x\displaystyle x și y=2x\displaystyle y = 2x, folosind valoarea m=7\displaystyle m = 7 dată în enunț.
    x∗(2x)=(x2+2)(4x2+2)+7\displaystyle x * (2x) = \sqrt{(x^2 + 2)(4x^2 + 2) + 7}
  2. Se pune condiția din ecuația dată, x∗(2x)=5\displaystyle x * (2x) = 5, și se obține egalitatea cu radical.
    (x2+2)(4x2+2)+7=5\displaystyle \sqrt{(x^2+2)(4x^2+2) + 7} = 5
  3. Se ridică ambii membri la pătrat pentru a elimina radicalul (radicalul fiind egal cu 5\displaystyle 5, cantitatea de sub radical trebuie să fie 25\displaystyle 25).
    (x2+2)(4x2+2)+7=25\displaystyle (x^2+2)(4x^2+2) + 7 = 25
  4. Se desfac parantezele, se reduc termenii asemenea și se aduce ecuația la forma bipătratică.
    4x4+2x2+8x2+4+7=25⇒4x4+10x2−14=0\displaystyle 4x^4 + 2x^2 + 8x^2 + 4 + 7 = 25 \Rightarrow 4x^4 + 10x^2 - 14 = 0
  5. Se simplifică ecuația prin 2\displaystyle 2, obținându-se forma finală a ecuației bipătratice.
    2x4+5x2−7=0\displaystyle 2x^4 + 5x^2 - 7 = 0
  6. Se notează x2=t\displaystyle x^{2} = t, t≥0\displaystyle t \geq 0, și se rezolvă ecuația de gradul al doilea în t\displaystyle t: 2t2+5t−7=0\displaystyle 2t^{2} + 5t - 7 = 0, cu soluțiile t=1\displaystyle t = 1 și t=−72\displaystyle t = -\dfrac{7}{2} (respinsă, fiind negativă).
    t=1 (convine), t=−72 (respinsa˘)\displaystyle t = 1\text{ (convine), } t = -\dfrac{7}{2}\text{ (respinsă)}
  7. Revenind la substituție, x2=1\displaystyle x^{2} = 1, se obțin soluțiile reale ale ecuației, verificând astfel toți pașii de control din barem.
    (x2+2)(4x2+2)+7=5\displaystyle \sqrt{(x^2+2)(4x^2+2) + 7} = 5, 2x4+5x2−7=0\displaystyle \ 2x^4 + 5x^2 - 7 = 0, x=−1 sau x=1\displaystyle \ x = -1\text{ sau }x = 1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x2+2)(y2+2)+m\displaystyle x * y = \sqrt{(x^2 + 2)(y^2 + 2)+ m}, unde m∈[−4,+∞)\displaystyle m \in [-4, +\infty).

Determinați m∈[−4,+∞)\displaystyle m\in[-4,+\infty) pentru care legea de compoziție „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează x∗y\displaystyle x\ast y folosind definiția legii de compoziție.
    x∗y=(x2+2)(y2+2)+m\displaystyle x*y=\sqrt{(x^2+2)(y^2+2)+m}
  2. Se calculează (x∗y)∗z\displaystyle (x\ast y)\ast z, folosind faptul că (x∗y)2=(x2+2)(y2+2)+m\displaystyle (x\ast y)^{2}=(x^{2}+2)(y^{2}+2)+m, deci (x∗y)2+2=(x2+2)(y2+2)+m+2\displaystyle (x\ast y)^{2}+2=(x^{2}+2)(y^{2}+2)+m+2.
    (x∗y)∗z=[(x2+2)(y2+2)+m+2](z2+2)+m\displaystyle (x*y)*z=\sqrt{\left[(x^2+2)(y^2+2)+m+2\right](z^2+2)+m}
  3. Se calculează y∗z\displaystyle y\ast z folosind definiția legii de compoziție.
    y∗z=(y2+2)(z2+2)+m\displaystyle y*z=\sqrt{(y^2+2)(z^2+2)+m}
  4. Se calculează x∗(y∗z)\displaystyle x*(y*z), folosind faptul că (y∗z)2+2=(y2+2)(z2+2)+m+2\displaystyle (y*z)^{2}+2=(y^{2}+2)(z^{2}+2)+m+2.
    x∗(y∗z)=(x2+2)[(y2+2)(z2+2)+m+2]+m\displaystyle x*(y*z)=\sqrt{(x^2+2)\left[(y^2+2)(z^2+2)+m+2\right]+m}
  5. Se scrie condiția de asociativitate (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z), pentru orice x,y,z\displaystyle x, y, z reale, și se ridică la pătrat ambii membri (ambele expresii de sub radical sunt nenegative), obținând egalitatea echivalentă.
    ((x2+2)(y2+2)+m+2)2(z2+2)+m=(x2+2)((y2+2)(z2+2)+m+2)2+m\displaystyle \left(\sqrt{(x^2+2)(y^2+2)+m+2}\right)^2(z^2+2)+m=(x^2+2)\left(\sqrt{(y^2+2)(z^2+2)+m+2}\right)^2+m
  6. Se elimină pătratele radicalilor și se dezvoltă parantezele: în ambii membri apare termenul comun (x2+2)(y2+2)(z2+2)+m\displaystyle (x^{2}+2)(y^{2}+2)(z^{2}+2)+m, care se reduce, rămânând egalitatea simplificată.
    (x2+2)(y2+2)(z2+2)+(m+2)(z2+2)+m=(x2+2)(y2+2)(z2+2)+(x2+2)(m+2)+m\displaystyle (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)+(m+2)(z^2+2)+m=(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)+(x^2+2)(m+2)+m
  7. După reducerea termenilor comuni, se obține egalitatea care trebuie să fie adevărată pentru orice x\displaystyle x și z\displaystyle z reale; aceasta este posibilă doar dacă m+2=0\displaystyle m+2=0, deoarece altfel ar rezulta z2+2=x2+2\displaystyle z^{2}+2=x^{2}+2 pentru orice x,z\displaystyle x,z, ceea ce este fals. Se obține astfel m=−2\displaystyle m=-2, valoare care aparține intervalului [−4,+∞)\displaystyle [-4,+\infty), deci convine.
    (m+2)(z2+2)=(x2+2)(m+2), pentru orice numere \displaystyle (m+2)(z^2+2)=(x^2+2)(m+2)\text{, pentru orice numere }reale x și z daca˘ și numai daca˘ m=−2, care convine\displaystyle \text{reale }x\text{ și }z\text{ dacă și numai dacă }m=-2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ex−2x−1\displaystyle f(x) = \dfrac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}}.

Arătați că f′(x)=ex−2(2x−3)2(x−1)x−1\displaystyle f'(x) = \dfrac{e^{x-2}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}, x∈(1,+∞)\displaystyle x \in (1, +\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcțiile din raportul dat: numărătorul u(x)=ex−2\displaystyle u(x) = e^{x-2} și numitorul v(x)=x−1\displaystyle v(x) = \sqrt{x-1}, pentru a aplica regula de derivare a câtului.
    f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, u(x)=ex−2\displaystyle \ u(x)=e^{x-2}, v(x)=x−1\displaystyle \ v(x)=\sqrt{x-1}
  2. Se calculează derivatele funcțiilor u\displaystyle u și v\displaystyle v, folosind derivata funcției exponențiale și derivata funcției radical.
    u′(x)=ex−2\displaystyle u'(x)=e^{x-2},v′(x)=12x−1\displaystyle \qquad v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}
  3. Se aplică formula de derivare a câtului, f′=u′v−uv′v2\displaystyle f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}, cu v2=x−1\displaystyle v^2 = x-1, obținând forma inițială a derivatei.
    f′(x)=ex−2x−1−ex−2⋅12x−1x−1=\displaystyle f'(x) = \frac{e^{x-2}\sqrt{x-1} - e^{x-2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{x-1} =
  4. Se aduce numărătorul la același numitor comun 2x−1\displaystyle 2\sqrt{x-1}, scriind ex−2x−1\displaystyle e^{x-2}\sqrt{x-1} ca 2ex−2(x−1)2x−1\displaystyle \dfrac{2e^{x-2}(x-1)}{2\sqrt{x-1}}.
    f′(x)=2ex−2(x−1)−ex−22x−1x−1\displaystyle f'(x)=\frac{\dfrac{2e^{x-2}(x-1)-e^{x-2}}{2\sqrt{x-1}}}{x-1}
  5. Se factorizează ex−2\displaystyle e^{x-2} la numărător și se simplifică fracția, obținând expresia finală a derivatei, valabilă pe tot domeniul de definiție.
    =ex−2(2x−2−1)2(x−1)x−1=ex−2(2x−3)2(x−1)x−1\displaystyle = \frac{e^{x-2}(2x-2-1)}{2(x-1)\sqrt{x-1}} = \frac{e^{x-2}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}, x∈(1,+∞)\displaystyle \ x \in (1, +\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ex−2x−1\displaystyle f(x) = \dfrac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}}.

Arătați că lim⁡x→2(f(x))1x−2=e\displaystyle \lim\limits_{x \to 2} \left(f(x)\right)^{\frac{1}{x-2}} = \sqrt{e}.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea funcției în punctul x=2\displaystyle x=2, pentru a identifica tipul limitei (cazul de nedeterminare 1∞\displaystyle 1^{\infty}).
    f(2)=e2−22−1=e01=1\displaystyle f(2) = \dfrac{e^{2-2}}{\sqrt{2-1}} = \dfrac{e^0}{\sqrt{1}} = 1
  2. Deoarece f(x)→1\displaystyle f(x) \to 1 când x→2\displaystyle x \to 2, iar exponentul 1x−2→∞\displaystyle \dfrac{1}{x-2} \to \infty, limita este de tip 1∞\displaystyle 1^{\infty}. Se folosește artificiul de scriere bazat pe limita fundamentală (1+u)1u→e\displaystyle (1+u)^{\dfrac{1}{u}} \to e, cu u=f(x)−1\displaystyle u = f(x)-1.
    lim⁡x→2(f(x))1x−2=lim⁡x→2(1+(f(x)−1))1x−2\displaystyle \lim_{x\to 2}(f(x))^{\frac{1}{x-2}} = \lim_{x\to 2}\left(1+(f(x)-1)\right)^{\frac{1}{x-2}}
  3. Se rescrie exponentul 1x−2\displaystyle \dfrac{1}{x-2} ca produs dintre 1f(x)−1\displaystyle \dfrac{1}{f(x)-1} și f(x)−1x−2\displaystyle \dfrac{f(x)-1}{x-2}, pentru a evidenția limita fundamentală de tip exponențial.
    lim⁡x→2(f(x))1x−2=lim⁡x→2((1+f(x)−1)1f(x)−1)f(x)−1x−2=\displaystyle \lim_{x\to 2}(f(x))^{\frac{1}{x-2}} = \lim_{x\to 2}\left((1 + f(x) - 1)^{\frac{1}{f(x)-1}}\right)^{\frac{f(x)-1}{x-2}} =
  4. Se observă că baza tinde la e\displaystyle e (limita fundamentală), iar exponentul f(x)−1x−2\displaystyle \dfrac{f(x)-1}{x-2} tinde, prin definiție, la derivata f′(2)\displaystyle f'(2), deoarece f(2)=1\displaystyle f(2)=1.
    lim⁡x→2f(x)−1x−2=lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-1}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} = f'(2)
  5. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f folosind regula produsului: f(x)=ex−2⋅(x−1)−12\displaystyle f(x) = e^{x-2}\cdot (x-1)^{-\frac{1}{2}}.
    f′(x)=ex−2(x−1)−12+ex−2(−12)(x−1)−32=ex−2(x−1)−12[1−12(x−1)]\displaystyle f'(x) = e^{x-2}(x-1)^{-\frac{1}{2}} + e^{x-2}\left(-\frac{1}{2}\right)(x-1)^{-\frac{3}{2}} = e^{x-2}(x-1)^{-\frac{1}{2}}\left[1-\frac{1}{2(x-1)}\right]
  6. Se evaluează derivata în x=2\displaystyle x=2.
    f′(2)=e0⋅1⋅[1−12]=12\displaystyle f'(2) = e^{0}\cdot 1 \cdot \left[1-\frac{1}{2}\right] = \frac{1}{2}
  7. Se înlocuiește exponentul-limită cu valoarea derivatei calculate și se obține rezultatul final al limitei.
    =elim⁡x→2f(x)−1x−2=ef′(2)=e12=e\displaystyle = e^{\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-1}{x-2}} = e^{f'(2)} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ex−2x−1\displaystyle f(x) = \dfrac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}}.

Determinați mulțimea numerelor reale m\displaystyle m pentru care ecuația f(x)=mx\displaystyle f(x) = mx are exact două soluții.
Vezi rezolvarea
  1. Se pune problema studierii ecuației f(x)=mx\displaystyle f(x)=mx, echivalentă (pentru x>1\displaystyle x>1) cu f(x)x=m\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=m. Se definește funcția ajutătoare g:(1,+∞)→R\displaystyle g:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)x=ex−2xx−1\displaystyle g(x)=\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{e^{x-2}}{x\sqrt{x-1}}, iar rezolvarea ecuației inițiale revine la a studia intersecția graficului lui g\displaystyle g cu dreapta orizontală y=m\displaystyle y=m.
    g(x)=f(x)x=ex−2xx−1\displaystyle g(x) = \frac{f(x)}{x} = \frac{e^{x-2}}{x\sqrt{x-1}}
  2. Se calculează g′(x)\displaystyle g'(x) prin derivare logaritmică: se scrie ln⁡g(x)=(x−2)−ln⁡x−12ln⁡(x−1)\displaystyle \ln g(x) = (x-2) - \ln x - \dfrac{1}{2}\ln(x-1) și se derivează ambii membri.
    g′(x)g(x)=1−1x−12(x−1)\displaystyle \frac{g'(x)}{g(x)} = 1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{2(x-1)}
  3. Se aduce expresia din paranteză la numitor comun 2x(x−1)\displaystyle 2x(x-1) și se obține forma numărătorului ca trinom de gradul al doilea în x\displaystyle x.
    1−1x−12(x−1)=2x(x−1)−2(x−1)−x2x(x−1)=2x2−5x+22x(x−1)\displaystyle 1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{2(x-1)} = \frac{2x(x-1) - 2(x-1) - x}{2x(x-1)} = \frac{2x^2-5x+2}{2x(x-1)}
  4. Se înmulțește cu g(x)=ex−2xx−1\displaystyle g(x)=\dfrac{e^{x-2}}{x\sqrt{x-1}} pentru a obține expresia finală a derivatei, apoi se rezolvă ecuația g′(x)=0\displaystyle g'(x)=0, echivalentă cu 2x2−5x+2=0\displaystyle 2x^2-5x+2=0 (întrucât ex−2≠0\displaystyle e^{x-2}\neq 0 și numitorul este nenul pe domeniu).
    g(x)=f(x)x\displaystyle g(x) = \frac{f(x)}{x}, g′(x)=ex−2(2x2−5x+2)2x2(x−1)x−1\displaystyle \ g'(x) = \frac{e^{x-2}(2x^2 - 5x + 2)}{2x^2(x-1)\sqrt{x-1}}, g′(x)=0⇒x=2\displaystyle \ g'(x) = 0 \Rightarrow x = 2
  5. Rădăcinile trinomului 2x2−5x+2=0\displaystyle 2x^2-5x+2=0 sunt x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2} și x=2\displaystyle x=2. Cum x=12∉(1,+∞)\displaystyle x=\dfrac{1}{2}\notin(1,+\infty), aceasta se respinge, rămânând doar x=2\displaystyle x=2 ca punct critic în domeniul de definiție.
    x1,2=5±34⇒x1=12 (respins)\displaystyle x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}\Rightarrow x_1=\frac{1}{2}\text{ (respins)}, x2=2\displaystyle \ x_2=2
  6. Se studiază semnul lui g′(x)\displaystyle g'(x) pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty): numitorul 2x2(x−1)x−1\displaystyle 2x^2(x-1)\sqrt{x-1} este strict pozitiv, deci semnul lui g′(x)\displaystyle g'(x) este dat de semnul trinomului 2x2−5x+2\displaystyle 2x^2-5x+2, negativ pe (1,2)\displaystyle (1,2) și pozitiv pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty).
    g′(x)<0\displaystyle g'(x)<0, x∈(1,2) și g′(x)>0\displaystyle \ x\in(1,2)\text{ și }g'(x)>0, x∈(2,+∞)\displaystyle \ x\in(2,+\infty)
  7. Din studiul semnului derivatei rezultă că g\displaystyle g este strict descrescătoare pe (1,2]\displaystyle (1,2] și strict crescătoare pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty), deci x=2\displaystyle x=2 este punct de minim global.
    g descresca˘toare pe (1,2]\displaystyle g\text{ descrescătoare pe }(1,2], g cresca˘toare pe [2,+∞)\displaystyle \ g\text{ crescătoare pe }[2,+\infty)
  8. Se calculează valoarea minimă g(2)\displaystyle g(2), înlocuind x=2\displaystyle x=2 în expresia lui g\displaystyle g.
    g(2)=e021=12\displaystyle g(2) = \frac{e^{0}}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}
  9. Se calculează limita la capătul stâng al domeniului: pentru x→1+\displaystyle x\to 1^+, numărătorul tinde la e−1\displaystyle e^{-1} (constantă finită nenulă), iar numitorul xx−1→0+\displaystyle x\sqrt{x-1}\to 0^+, deci fracția tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→1+g(x)=lim⁡x→1+ex−2xx−1=+∞\displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} g(x) = \lim_{x\to 1^{+}}\frac{e^{x-2}}{x\sqrt{x-1}} = +\infty
  10. Se calculează limita la +∞\displaystyle +\infty: exponențiala ex−2\displaystyle e^{x-2} crește mult mai rapid decât xx−1\displaystyle x\sqrt{x-1} (de ordin x3/2\displaystyle x^{3/2}), deci limita este +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞g(x)=lim⁡x→+∞ex−2xx−1=+∞\displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x) = \lim_{x\to +\infty}\frac{e^{x-2}}{x\sqrt{x-1}} = +\infty
  11. Se centralizează rezultatele într-un tabel de variație: g\displaystyle g scade de la +∞\displaystyle +\infty la 12\displaystyle \dfrac{1}{2} pe (1,2]\displaystyle (1,2], apoi crește de la 12\displaystyle \dfrac{1}{2} la +∞\displaystyle +\infty pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty). Dreapta orizontală y=m\displaystyle y=m intersectează graficul în exact două puncte doar dacă m\displaystyle m este strict mai mare decât valoarea minimă 12\displaystyle \dfrac{1}{2} (pentru m=12\displaystyle m=\dfrac{1}{2} există o singură soluție, x=2\displaystyle x=2, iar pentru m<12\displaystyle m<\dfrac{1}{2} nu există soluții).
    lim⁡x→1g(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to 1}g(x) = +\infty, g(2)=12\displaystyle \ g(2) = \frac{1}{2}, lim⁡x→+∞g(x)=+∞\displaystyle \ \lim_{x\to +\infty}g(x) = +\infty, m∈(12,+∞)\displaystyle \ m \in \left(\frac{1}{2}, +\infty\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=(4x+6x2)ln⁡x\displaystyle f(x) = \left(4x + \dfrac{6}{x^2}\right)\ln x.

Arătați că ∫23f(x)ln⁡x dx=11\displaystyle \displaystyle\int_2^3 \dfrac{f(x)}{\ln x}\,dx = 11.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x \in (0,+\infty) diferit de 1\displaystyle 1 (deci, în particular, pe intervalul [2,3]\displaystyle [2,3] unde ln⁡x≠0\displaystyle \ln x \neq 0), fracția f(x)ln⁡x\displaystyle \dfrac{f(x)}{\ln x} se simplifică prin ln⁡x\displaystyle \ln x, rămânând doar partea rațională a funcției.
    f(x)ln⁡x=(4x+6x2)ln⁡xln⁡x=4x+6x2\displaystyle \frac{f(x)}{\ln x} = \frac{\left(4x+\frac{6}{x^2}\right)\ln x}{\ln x} = 4x+\frac{6}{x^2}
  2. Se determină o primitivă pentru funcția rațională obținută, folosind formulele uzuale ∫x dx=x22+C\displaystyle \int x\,dx = \frac{x^2}{2}+C și ∫1x2 dx=−1x+C\displaystyle \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x}+C.
    ∫(4x+6x2)dx=4⋅x22+6⋅(−1x)+C=2x2−6x+C\displaystyle \int\left(4x+\frac{6}{x^2}\right)dx = 4\cdot\frac{x^2}{2}+6\cdot\left(-\frac{1}{x}\right)+C = 2x^2-\frac{6}{x}+C
  3. Se scrie integrala definită cerută, se înlocuiește f(x)ln⁡x\displaystyle \dfrac{f(x)}{\ln x} cu expresia simplificată și se aplică formula Leibniz-Newton folosind primitiva găsită.
    ∫23f(x)ln⁡xdx=∫23(4x+6x2)dx=2x2∣23−6x∣23=\displaystyle \int_2^3 \frac{f(x)}{\ln x}dx = \int_2^3\left(4x + \frac{6}{x^2}\right)dx = 2x^2\Big|_2^3 - \frac{6}{x}\Big|_2^3 =
  4. Se evaluează separat fiecare termen al primitivei la capetele intervalului [2,3]\displaystyle [2,3]: pentru 2x2\displaystyle 2x^{2} se obține 2⋅32−2⋅22=18−8=10\displaystyle 2\cdot 3^{2} - 2\cdot 2^{2} = 18-8=10, iar pentru −6x\displaystyle -\dfrac{6}{x} se obține −63−(−62)=−2+3=1\displaystyle -\dfrac{6}{3}-\left(-\dfrac{6}{2}\right)=-2+3=1.
    2x2∣23=18−8=10, −6x∣23=−2−(−3)=1\displaystyle 2x^2\Big|_2^3 = 18-8=10\text{, }\quad -\frac{6}{x}\Big|_2^3 = -2-(-3)=1
  5. Se însumează cele două rezultate obținute, ajungând la valoarea finală a integralei.
    =10+1=11\displaystyle = 10 + 1 = 11
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=(4x+6x2)ln⁡x\displaystyle f(x) = \left(4x + \dfrac{6}{x^2}\right)\ln x.

Arătați că ∫1ex(f(x)−4xln⁡x)dx=3\displaystyle \displaystyle\int_1^e x\left(f(x) - 4x\ln x\right)dx = 3.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit expresia f(x)\displaystyle f(x) și se calculează f(x)−4x⋅ln⁡x\displaystyle f(x) - 4x\cdot\ln x, simplificând termenul comun 4x⋅ln⁡x\displaystyle 4x\cdot\ln x.
    f(x)−4xln⁡x=(4x+6x2)ln⁡x−4xln⁡x=6x2ln⁡x\displaystyle f(x)-4x\ln x=\left(4x+\frac{6}{x^2}\right)\ln x-4x\ln x=\frac{6}{x^2}\ln x
  2. Se înmulțește rezultatul obținut cu x\displaystyle x, pentru a forma integrandul cerut, și se simplifică puterile lui x\displaystyle x.
    x(f(x)−4xln⁡x)=x⋅6x2ln⁡x=6ln⁡xx\displaystyle x\left(f(x)-4x\ln x\right)=x\cdot\frac{6}{x^2}\ln x=\frac{6\ln x}{x}
  3. Se scrie integrala cerută folosind expresia simplificată a integrandului, obținându-se forma din barem.
    ∫1ex(f(x)−4xln⁡x)dx=∫1e6ln⁡xxdx\displaystyle \int_1^e x(f(x)-4x\ln x)dx=\int_1^e \frac{6\ln x}{x}dx
  4. Se recunoaște că 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x, deci integrandul este de forma 6⋅ln⁡x⋅(ln⁡x)′\displaystyle 6\cdot\ln x\cdot(\ln x)', o formă de derivată compusă.
    6ln⁡xx=6ln⁡x⋅(ln⁡x)′⇒∫1e6ln⁡xxdx=6∫1eln⁡x(ln⁡x)′dx\displaystyle \frac{6\ln x}{x}=6\ln x\cdot(\ln x)'\Rightarrow \int_1^e \frac{6\ln x}{x}dx=6\int_1^e \ln x(\ln x)'dx
  5. Se integrează folosind formula ∫u⋅u′dx=u22\displaystyle \int u\cdot u' dx = \dfrac{u^{2}}{2}, cu u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x, obținând primitiva 3ln⁡2x\displaystyle 3\ln^{2}x, apoi se aplică formula Leibniz-Newton pe intervalul [1,e]\displaystyle [1,e].
    6∫1eln⁡x(ln⁡x)′dx=6⋅ln⁡2x2∣1e=3ln⁡2x∣1e=\displaystyle 6\int_1^e \ln x(\ln x)'dx=6\cdot\frac{\ln^2 x}{2}\Big|_1^e=3\ln^2 x\Big|_1^e=
  6. Se evaluează primitiva la capetele intervalului, folosind ln⁡e=1\displaystyle \ln e = 1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1 = 0, obținând rezultatul final.
    =3ln⁡2e−3ln⁡21=3⋅1−3⋅0=3\displaystyle =3\ln^2 e-3\ln^2 1=3\cdot 1-3\cdot 0=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=(4x+6x2)ln⁡x\displaystyle f(x) = \left(4x + \dfrac{6}{x^2}\right)\ln x.

Determinați primitiva F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0, +\infty) \to \mathbb{R} a funcției f\displaystyle f, pentru care axa Ox\displaystyle Ox este tangentă la graficul funcției F\displaystyle F.
Vezi rezolvarea
  1. Axa Ox\displaystyle Ox este tangentă la graficul lui F\displaystyle F într-un punct de abscisă a\displaystyle a dacă graficul trece prin punctul (a,0)\displaystyle (a,0) și panta tangentei în acel punct este 0\displaystyle 0. Deci F(a)=0\displaystyle F(a)=0 și F′(a)=0\displaystyle F'(a)=0. Cum F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f, avem F′(a)=f(a)\displaystyle F'(a)=f(a), deci f(a)=0\displaystyle f(a)=0.
    F(a)=0 și F′(a)=f(a)=0\displaystyle F(a)=0\text{ și }F'(a)=f(a)=0
  2. Rezolvăm f(a)=0\displaystyle f(a)=0. Pentru a>0\displaystyle a>0, factorul 4a+6a2\displaystyle 4a+\dfrac{6}{a^{2}} este strict pozitiv, deci produsul se anulează doar când ln⁡a=0\displaystyle \ln a=0, adică a=1\displaystyle a=1.
    a=1\displaystyle a=1
  3. Primitiva căutată verifică F(1)=0\displaystyle F(1)=0. Din formula Leibniz-Newton, F(x)=F(1)+∫1xf(t) dt\displaystyle F(x)=F(1)+\int_1^x f(t)\,dt, deci F(x)\displaystyle F(x) este integrala lui f\displaystyle f de la 1\displaystyle 1 la x\displaystyle x.
    F(x)=∫1x(4t+6t2)ln⁡t dt\displaystyle F(x)=\int_1^x \left(4t+\frac{6}{t^{2}}\right)\ln t\,dt
  4. Pentru integrarea prin părți căutăm o primitivă a factorului 4t+6t2\displaystyle 4t+\dfrac{6}{t^{2}}. Aceasta este 2t2−6t\displaystyle 2t^{2}-\dfrac{6}{t}, deoarece derivata lui 2t2\displaystyle 2t^{2} este 4t\displaystyle 4t, iar derivata lui −6t\displaystyle -\dfrac{6}{t} este 6t2\displaystyle \dfrac{6}{t^{2}}.
    (2t2−6t)′=4t+6t2\displaystyle \left(2t^{2}-\frac{6}{t}\right)'=4t+\frac{6}{t^{2}}
  5. Aplicăm integrarea prin părți cu u=ln⁡t\displaystyle u=\ln t și dv=(2t2−6t)′dt\displaystyle dv=\left(2t^{2}-\dfrac{6}{t}\right)'dt. Atunci du=1tdt\displaystyle du=\dfrac{1}{t}dt, iar integrala rămasă conține produsul dintre 2t2−6t\displaystyle 2t^{2}-\dfrac{6}{t} și 1t\displaystyle \dfrac{1}{t}.
    F(x)=(2t2−6t)ln⁡t∣1x−∫1x(2t−6t2)dt\displaystyle F(x)=\left(2t^{2}-\frac{6}{t}\right)\ln t\Big|_1^x-\int_1^x\left(2t-\frac{6}{t^{2}}\right)dt
  6. Calculăm integrala rămasă. O primitivă a lui 2t−6t2\displaystyle 2t-\dfrac{6}{t^{2}} este t2+6t\displaystyle t^{2}+\dfrac{6}{t}. Evaluăm între 1\displaystyle 1 și x\displaystyle x: valoarea la 1\displaystyle 1 este 1+6=7\displaystyle 1+6=7.
    ∫1x(2t−6t2)dt=(t2+6t)∣1x=x2+6x−7\displaystyle \int_1^x\left(2t-\frac{6}{t^{2}}\right)dt=\left(t^{2}+\frac{6}{t}\right)\Big|_1^x=x^{2}+\frac{6}{x}-7
  7. Primul termen evaluat între 1\displaystyle 1 și x\displaystyle x este (2x2−6x)ln⁡x\displaystyle \left(2x^{2}-\dfrac{6}{x}\right)\ln x, deoarece ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0. Scădem integrala calculată și obținem primitiva căutată. Verificare: F(1)=0−1−6+7=0\displaystyle F(1)=0-1-6+7=0.
    F(x)=(2x2−6x)ln⁡x−x2−6x+7\displaystyle F(x)=\left(2x^{2}-\frac{6}{x}\right)\ln x-x^{2}-\frac{6}{x}+7, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.