Bac matematică M1 mate-info 2019, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Suma primilor trei termeni ai unei progresii aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1} este egală cu 333\displaystyle 333. Al doilea termen al acestei progresii este egal cu: A. 30\displaystyle 30 B. 111\displaystyle 111 C. 222\displaystyle 222 D. 333\displaystyle 333
Vezi rezolvarea
  1. Scriem primii trei termeni ai progresiei aritmetice cu ajutorul celui de-al doilea termen și al rației r\displaystyle r: a1=a2−r\displaystyle a_1=a_2-r și a3=a2+r\displaystyle a_3=a_2+r.
    a1=a2−r\displaystyle a_1=a_2-r,a3=a2+r\displaystyle \quad a_3=a_2+r
  2. Calculăm suma primilor trei termeni: a1+a2+a3=(a2−r)+a2+(a2+r)\displaystyle a_1+a_2+a_3=(a_2-r)+a_2+(a_2+r). Rația se reduce și rămâne 3a2\displaystyle 3a_2.
    a1+a2+a3=3a2\displaystyle a_1+a_2+a_3=3a_2
  3. Folosim faptul că suma este 333\displaystyle 333, deci 3a2=333\displaystyle 3a_2=333. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem a2=111\displaystyle a_2=111.
    a2=3333=111\displaystyle a_2=\dfrac{333}{3}=111
  4. Valoarea 111\displaystyle 111 corespunde variantei B, deci răspunsul este B.
    B\displaystyle \text{B}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−5\displaystyle f(x)=3x-5. Numărul (f∘f)(109)\displaystyle (f\circ f)\left(\frac{10}{9}\right) este egal cu: A. −10\displaystyle -10 B. −53\displaystyle -\frac{5}{3} C. 0\displaystyle 0 D. 109\displaystyle \frac{10}{9}
Vezi rezolvarea
  1. Scriem compunerea ca aplicarea succesivă a funcției: (f∘f)(109)=f(f(109))\displaystyle (f\circ f)\left(\dfrac{10}{9}\right)=f\left(f\left(\dfrac{10}{9}\right)\right). Calculăm mai întâi f(109)\displaystyle f\left(\dfrac{10}{9}\right).
    (f∘f)(109)=f(f(109))\displaystyle (f\circ f)\left(\frac{10}{9}\right)=f\left(f\left(\frac{10}{9}\right)\right)
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 109\displaystyle \dfrac{10}{9} în f(x)=3x−5\displaystyle f(x)=3x-5: 3⋅109−5=103−153=−53\displaystyle 3\cdot\dfrac{10}{9}-5=\dfrac{10}{3}-\dfrac{15}{3}=-\dfrac{5}{3}.
    f(109)=3⋅109−5=103−153=−53\displaystyle f\left(\frac{10}{9}\right)=3\cdot\frac{10}{9}-5=\frac{10}{3}-\frac{15}{3}=-\frac{5}{3}
  3. Calculăm acum f(−53)\displaystyle f\left(-\dfrac{5}{3}\right): 3⋅(−53)−5=−5−5=−10\displaystyle 3\cdot\left(-\dfrac{5}{3}\right)-5=-5-5=-10.
    f(−53)=3⋅(−53)−5=−10\displaystyle f\left(-\frac{5}{3}\right)=3\cdot\left(-\frac{5}{3}\right)-5=-10
  4. Deci (f∘f)(109)=−10\displaystyle (f\circ f)\left(\dfrac{10}{9}\right)=-10, ceea ce corespunde variantei A.
    A\displaystyle \text{A}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Mulțimea soluțiilor ecuației 2log⁡2(x+1)−log⁡2(x+2)=log⁡133\displaystyle 2\log_2(x+1)-\log_2(x+2)=\log_{\frac{1}{3}}3 este:
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, deci x+1>0\displaystyle x+1>0 și x+2>0\displaystyle x+2>0. Din ambele rezultă x>−1\displaystyle x>-1.
    x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty)
  2. Calculăm logaritmul din membrul drept: log⁡133=−1\displaystyle \log_{\frac{1}{3}}3=-1, pentru că (13)−1=3\displaystyle \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}=3.
    log⁡133=−1\displaystyle \log_{\frac{1}{3}}3=-1
  3. Folosim regula puterii și regula câtului pentru logaritmi, ca să aducem membrul stâng la un singur logaritm în baza 2: 2log⁡2(x+1)=log⁡2(x+1)2\displaystyle 2\log_2(x+1)=\log_2(x+1)^2, apoi diferența devine un cât.
    log⁡2(x+1)2x+2=−1\displaystyle \log_2\dfrac{(x+1)^2}{x+2}=-1
  4. Trecem de la logaritm la argument: argumentul este 2−1=12\displaystyle 2^{-1}=\dfrac{1}{2}.
    (x+1)2x+2=12\displaystyle \dfrac{(x+1)^2}{x+2}=\dfrac{1}{2}
  5. Înmulțim în cruce și desfacem parantezele: 2(x+1)2=x+2\displaystyle 2(x+1)^2=x+2, adică 2x2+4x+2=x+2\displaystyle 2x^2+4x+2=x+2. Reducem termenii asemenea și dăm factor comun.
    2x2+3x=0  ⟺  x(2x+3)=0  ⟺  x=0 sau x=−32\displaystyle 2x^2+3x=0\iff x(2x+3)=0\iff x=0\text{ sau }x=-\dfrac{3}{2}
  6. Verificăm soluțiile cu condiția x>−1\displaystyle x>-1. Valoarea −32<−1\displaystyle -\dfrac{3}{2}<-1 nu convine, iar 0>−1\displaystyle 0>-1 convine. Mulțimea soluțiilor este {0}\displaystyle \{0\}, adică varianta C.
    {0}, varianta C\displaystyle \{0\}\text{, varianta C}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cel puțin o cifră pară este egală cu: A. 518\displaystyle \frac{5}{18} B. 49\displaystyle \frac{4}{9} C. 59\displaystyle \frac{5}{9} D. 1318\displaystyle \frac{13}{18}
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: numerele naturale de două cifre sunt de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99, deci sunt 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    90\displaystyle 90
  2. Folosim complementul: evenimentul contrar este ca ambele cifre să fie impare. Cifra zecilor poate fi 1,3,5,7,9\displaystyle 1,3,5,7,9, deci avem 5\displaystyle 5 variante.
    5\displaystyle 5
  3. Cifra unităților poate fi tot 1,3,5,7,9\displaystyle 1,3,5,7,9, deci 5\displaystyle 5 variante. Numărul de numere cu ambele cifre impare este 5⋅5=25\displaystyle 5\cdot 5=25.
    5⋅5=25\displaystyle 5\cdot 5=25
  4. Numărul cazurilor favorabile (cel puțin o cifră pară) este 90−25=65\displaystyle 90-25=65.
    90−25=65\displaystyle 90-25=65
  5. Calculăm probabilitatea ca raport dintre cazurile favorabile și cele posibile: P=6590=1318\displaystyle P=\dfrac{65}{90}=\dfrac{13}{18}. Răspunsul corect este varianta D.
    P=6590=1318, deci D\displaystyle P=\dfrac{65}{90}=\dfrac{13}{18}\text{, deci }\text{D}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră triunghiul ale cărui laturi se află pe dreptele de ecuații d1:y=−2x\displaystyle d_1: y=-2x, d2:y=2x\displaystyle d_2: y=2x și d3:x=2\displaystyle d_3: x=2. Perimetrul acestui triunghi este egal cu: A. 4(2+5)\displaystyle 4\left(2+\sqrt{5}\right) B. 24\displaystyle 24 C. 65\displaystyle 6\sqrt{5} D. 4(3+5)\displaystyle 4\left(3+\sqrt{5}\right)
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm vârfurile triunghiului din intersecțiile dreptelor luate două câte două. Din −2x=2x\displaystyle -2x=2x obținem x=0\displaystyle x=0, deci d1∩d2=O(0,0)\displaystyle d_1\cap d_2=O(0,0).
    O(0,0)\displaystyle O(0,0)
  2. Pentru x=2\displaystyle x=2 în d1\displaystyle d_1 obținem y=−4\displaystyle y=-4, iar în d2\displaystyle d_2 obținem y=4\displaystyle y=4. Vârfurile sunt A(2,−4)\displaystyle A(2,-4) și B(2,4)\displaystyle B(2,4).
    A(2,−4)\displaystyle A(2,-4), B(2,4)\displaystyle \ B(2,4), O(0,0)\displaystyle \ O(0,0)
  3. Latura AB\displaystyle AB este verticală: AB=∣4−(−4)∣=8\displaystyle AB=|4-(-4)|=8.
    AB=8\displaystyle AB=8
  4. OA=22+(−4)2=20=25\displaystyle OA=\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} și analog OB=22+42=25\displaystyle OB=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}.
    OA=OB=25\displaystyle OA=OB=2\sqrt{5}
  5. Perimetrul este P=8+25+25=8+45=4(2+5)\displaystyle P=8+2\sqrt{5}+2\sqrt{5}=8+4\sqrt{5}=4\left(2+\sqrt{5}\right), deci răspunsul este varianta A.
    P=4(2+5), deci varianta A\displaystyle P=4\left(2+\sqrt{5}\right)\text{, deci varianta A}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră expresia E(x)=sin⁡x−cos⁡x+sin⁡(x+π2)−cos⁡(x+3π2)\displaystyle E(x)=\sin x-\cos x+\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-\cos\left(x+\frac{3\pi}{2}\right), unde x\displaystyle x este număr real. Pentru orice număr real x\displaystyle x, expresia E(x)\displaystyle E(x) este egală cu: A. 0\displaystyle 0 B. 2cos⁡x\displaystyle 2\cos x C. 2sin⁡x\displaystyle 2\sin x D. 1\displaystyle 1
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula de reducere la primul cadran: sin⁡(x+π2)=cos⁡x\displaystyle \sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x.
    sin⁡(x+π2)=cos⁡x\displaystyle \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x
  2. Calculăm cu formula cosinusului unei sume: cos⁡(x+3π2)=cos⁡xcos⁡3π2−sin⁡xsin⁡3π2=cos⁡x⋅0−sin⁡x⋅(−1)=sin⁡x\displaystyle \cos\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\cos x\cos\dfrac{3\pi}{2}-\sin x\sin\dfrac{3\pi}{2}=\cos x\cdot 0-\sin x\cdot(-1)=\sin x.
    cos⁡(x+3π2)=sin⁡x\displaystyle \cos\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)=\sin x
  3. Înlocuim în expresie: E(x)=sin⁡x−cos⁡x+cos⁡x−sin⁡x\displaystyle E(x)=\sin x-\cos x+\cos x-\sin x.
    E(x)=sin⁡x−cos⁡x+cos⁡x−sin⁡x\displaystyle E(x)=\sin x-\cos x+\cos x-\sin x
  4. Reducem termenii opuși: sin⁡x−sin⁡x=0\displaystyle \sin x-\sin x=0 și −cos⁡x+cos⁡x=0\displaystyle -\cos x+\cos x=0. Deci E(x)=0\displaystyle E(x)=0 pentru orice x\displaystyle x real, adică varianta A.
    E(x)=0, deci ra˘spunsul este A\displaystyle E(x)=0\text{, deci răspunsul este }\text{A}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră determinantul D(a,b)=∣a2b1aab231∣\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix} a & 2b & 1 \\ a & a & b \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Calculați D(0,1)\displaystyle D(0,1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 și b=1\displaystyle b=1 în determinant. Prima linie devine 0, 2, 1\displaystyle 0,\ 2,\ 1, a doua linie devine 0, 0, 1\displaystyle 0,\ 0,\ 1, iar a treia rămâne 2, 3, 1\displaystyle 2,\ 3,\ 1.
    D(0,1)=∣021001231∣\displaystyle D(0,1)=\begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Termenii cu plus sunt produsele pe diagonala principală și pe paralelele ei: 0⋅0⋅1\displaystyle 0\cdot 0\cdot 1, 2⋅1⋅2\displaystyle 2\cdot 1\cdot 2 și 1⋅0⋅3\displaystyle 1\cdot 0\cdot 3.
    0⋅0⋅1+2⋅1⋅2+1⋅0⋅3=0+4+0\displaystyle 0\cdot 0\cdot 1+2\cdot 1\cdot 2+1\cdot 0\cdot 3=0+4+0
  3. Termenii cu minus sunt produsele pe diagonala secundară și pe paralelele ei: 1⋅0⋅2\displaystyle 1\cdot 0\cdot 2, 0⋅1⋅3\displaystyle 0\cdot 1\cdot 3 și 2⋅0⋅1\displaystyle 2\cdot 0\cdot 1. Toți sunt egali cu 0\displaystyle 0.
    1⋅0⋅2+0⋅1⋅3+2⋅0⋅1=0\displaystyle 1\cdot 0\cdot 2+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot 0\cdot 1=0
  4. Scădem suma termenilor cu minus din suma termenilor cu plus și obținem valoarea determinantului.
    D(0,1)=0+0+4−0−0−0=4\displaystyle D(0,1)=0+0+4-0-0-0=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră determinantul D(a,b)=∣a2b1aab231∣\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix} a & 2b & 1 \\ a & a & b \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că D(a,1)≥0\displaystyle D(a,1)\ge 0, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim b=1\displaystyle b=1 în determinant și obținem determinantul de calculat pentru D(a,1)\displaystyle D(a,1).
    D(a,1)=∣a21aa1231∣\displaystyle D(a,1)=\begin{vmatrix} a & 2 & 1 \\ a & a & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}
  2. Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus. Suma produselor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei este a⋅a⋅1+2⋅1⋅2+1⋅a⋅3\displaystyle a\cdot a\cdot 1+2\cdot 1\cdot 2+1\cdot a\cdot 3.
    a2+4+3a\displaystyle a^{2}+4+3a
  3. Suma produselor de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei este 1⋅a⋅2+a⋅1⋅3+2⋅a⋅1\displaystyle 1\cdot a\cdot 2+a\cdot 1\cdot 3+2\cdot a\cdot 1.
    2a+3a+2a=7a\displaystyle 2a+3a+2a=7a
  4. Scădem cele două sume și reducem termenii asemenea: D(a,1)=a2+3a+4−7a\displaystyle D(a,1)=a^{2}+3a+4-7a.
    D(a,1)=a2−4a+4\displaystyle D(a,1)=a^{2}-4a+4
  5. Recunoaștem în expresie dezvoltarea pătratului diferenței, deoarece 4a=2⋅a⋅2\displaystyle 4a=2\cdot a\cdot 2 și 4=22\displaystyle 4=2^{2}. Un pătrat de număr real este mereu pozitiv sau zero, deci D(a,1)≥0\displaystyle D(a,1)\ge 0 pentru orice a\displaystyle a real.
    D(a,1)=(a−2)2≥0\displaystyle D(a,1)=(a-2)^{2}\ge 0, ∀a∈R\displaystyle \ \forall a\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră determinantul D(a,b)=∣a2b1aab231∣\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix} a & 2b & 1 \\ a & a & b \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Demonstrați că, dacă numerele m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt întregi impare, atunci D(m,n)≠0\displaystyle D(m,n)\ne 0.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm determinantul după prima linie: fiecare element al liniei se înmulțește cu minorul lui, cu semnele +,−,+\displaystyle +,-,+. Obținem D(a,b)=a(a⋅1−3b)−2b(a⋅1−2b)+1⋅(3a−2a)\displaystyle D(a,b)=a\left(a\cdot 1-3b\right)-2b\left(a\cdot 1-2b\right)+1\cdot\left(3a-2a\right).
    D(a,b)=a(a−3b)−2b(a−2b)+(3a−2a)\displaystyle D(a,b)=a(a-3b)-2b(a-2b)+(3a-2a)
  2. Efectuăm calculele: D(a,b)=a2−3ab−2ab+4b2+a\displaystyle D(a,b)=a^{2}-3ab-2ab+4b^{2}+a. Reducem termenii asemenea și, pentru a=m\displaystyle a=m, b=n\displaystyle b=n, obținem expresia lui D(m,n)\displaystyle D(m,n).
    D(m,n)=m2+m+4n2−5mn\displaystyle D(m,n)=m^{2}+m+4n^{2}-5mn
  3. Grupăm primii doi termeni: m2+m=m(m+1)\displaystyle m^{2}+m=m(m+1) este produsul a două numere întregi consecutive, deci este par, pentru că unul dintre factori este par.
    m2+m=m(m+1) este par\displaystyle m^{2}+m=m(m+1)\text{ este par}
  4. Termenul 4n2\displaystyle 4n^{2} are factorul 4\displaystyle 4, deci este par.
    4n2 este par\displaystyle 4n^{2}\text{ este par}
  5. Deoarece m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt impare, produsul mn\displaystyle mn este impar, iar 5mn\displaystyle 5mn este tot impar, fiind produs de numere impare.
    5mn este impar\displaystyle 5mn\text{ este impar}
  6. Avem par +\displaystyle + par −\displaystyle - impar, adică un număr impar. Cum 0\displaystyle 0 este par, un număr impar nu poate fi egal cu 0\displaystyle 0. Deci D(m,n)≠0\displaystyle D(m,n)\ne 0.
    D(m,n) este impar, deci D(m,n)≠0\displaystyle D(m,n)\text{ este impar, deci }D(m,n)\ne 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(x1−x101−x1x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 & -x \\ 1 & 0 & 1 \\ -x & 1 & x \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(−x)+A(x)=2A(0)\displaystyle A(-x)+A(x)=2A(0), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(−x)\displaystyle A(-x), înlocuind x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în matricea A(x)\displaystyle A(x). Elementele x\displaystyle x devin −x\displaystyle -x, iar elementele −x\displaystyle -x devin x\displaystyle x.
    A(−x)=(−x1x101x1−x)\displaystyle A(-x)=\begin{pmatrix} -x & 1 & x \\ 1 & 0 & 1 \\ x & 1 & -x \end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele A(−x)\displaystyle A(-x) și A(x)\displaystyle A(x) element cu element. Pe prima linie obținem −x+x=0\displaystyle -x+x=0, 1+1=2\displaystyle 1+1=2, x+(−x)=0\displaystyle x+(-x)=0. Pe a doua linie obținem 1+1=2\displaystyle 1+1=2, 0+0=0\displaystyle 0+0=0, 1+1=2\displaystyle 1+1=2. Pe a treia linie obținem x+(−x)=0\displaystyle x+(-x)=0, 1+1=2\displaystyle 1+1=2, −x+x=0\displaystyle -x+x=0.
    A(−x)+A(x)=(020202020)\displaystyle A(-x)+A(x)=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}
  3. Calculăm A(0)\displaystyle A(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în matricea A(x)\displaystyle A(x). Apoi scoatem factorul 2\displaystyle 2 în fața matricei obținute la pasul anterior și constatăm că rezultatul este 2A(0)\displaystyle 2A(0), pentru orice x\displaystyle x real.
    A(0)=(010101010), deci A(−x)+A(x)=2(010101010)=2A(0)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\text{, deci }A(-x)+A(x)=2\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=2A(0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(x1−x101−x1x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 & -x \\ 1 & 0 & 1 \\ -x & 1 & x \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(x)A(y)−A(2xy))=0\displaystyle \det(A(x)A(y)-A(2xy))=0, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(x)A(y)\displaystyle A(x)A(y) înmulțind linie cu coloană. De exemplu, elementul din linia 1, coloana 1 este x⋅y+1⋅1+(−x)(−y)=2xy+1\displaystyle x\cdot y+1\cdot 1+(-x)(-y)=2xy+1, iar cel din linia 1, coloana 2 este x⋅1+1⋅0+(−x)⋅1=0\displaystyle x\cdot 1+1\cdot 0+(-x)\cdot 1=0. Elementul din linia 1, coloana 3 este x(−y)+1⋅1+(−x)y=1−2xy\displaystyle x(-y)+1\cdot 1+(-x)y=1-2xy.
    2xy+1\displaystyle 2xy+1,0\displaystyle \quad 0,1−2xy\displaystyle \quad 1-2xy
  2. Procedând la fel pentru celelalte linii, obținem matricea produs A(x)A(y)\displaystyle A(x)A(y). Matricea A(2xy)\displaystyle A(2xy) se obține înlocuind x\displaystyle x cu 2xy\displaystyle 2xy în A(x)\displaystyle A(x).
    A(x)A(y)=(2xy+10−2xy+1020−2xy+102xy+1)\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix} 2xy+1 & 0 & -2xy+1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2xy+1 & 0 & 2xy+1 \end{pmatrix}, A(2xy)=(2xy1−2xy101−2xy12xy)\displaystyle \ A(2xy)=\begin{pmatrix} 2xy & 1 & -2xy \\ 1 & 0 & 1 \\ -2xy & 1 & 2xy \end{pmatrix}
  3. Scădem cele două matrice element cu element. Termenii cu xy\displaystyle xy se reduc: 2xy+1−2xy=1\displaystyle 2xy+1-2xy=1, 0−1=−1\displaystyle 0-1=-1, 1−2xy+2xy=1\displaystyle 1-2xy+2xy=1, 2−0=2\displaystyle 2-0=2 și așa mai departe. Rezultatul nu depinde de x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    A(x)A(y)−A(2xy)=(1−11−12−11−11)\displaystyle A(x)A(y)-A(2xy)=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul matricei obținute prin dezvoltare după prima linie: 1⋅(2−1)−(−1)⋅(−1+1)+1⋅(1−2)=1−0−1=0\displaystyle 1\cdot(2-1)-(-1)\cdot(-1+1)+1\cdot(1-2)=1-0-1=0. Același rezultat rezultă și din faptul că liniile 1 și 3 sunt egale. Deci determinantul este 0\displaystyle 0 pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    det⁡(A(x)A(y)−A(2xy))=∣1−11−12−11−11∣=0\displaystyle \det(A(x)A(y)-A(2xy))=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(x1−x101−x1x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 & -x \\ 1 & 0 & 1 \\ -x & 1 & x \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că A(1)A(12)+A(2)A(14)+…+A(2019)A(14038)=mI3\displaystyle A(1)A\left(\frac{1}{2}\right)+A(2)A\left(\frac{1}{4}\right)+\ldots+A(2019)A\left(\frac{1}{4038}\right)=mI_3.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că termenii sumei au forma A(k)A(12k)\displaystyle A(k)A\left(\dfrac{1}{2k}\right), pentru k=1,2,…,2019\displaystyle k=1,2,\ldots,2019. Într-adevăr, pentru k=1\displaystyle k=1 avem A(12)\displaystyle A\left(\dfrac{1}{2}\right), pentru k=2\displaystyle k=2 avem A(14)\displaystyle A\left(\dfrac{1}{4}\right), iar pentru k=2019\displaystyle k=2019 avem A(14038)\displaystyle A\left(\dfrac{1}{4038}\right). Calculăm deci produsul general A(x)A(y)\displaystyle A(x)A(y), cu y=12x\displaystyle y=\dfrac{1}{2x}, adică 2xy=1\displaystyle 2xy=1.
    A(x)A(y)\displaystyle A(x)A(y), y=12x\displaystyle \ y=\dfrac{1}{2x}, 2xy=1\displaystyle \ 2xy=1
  2. Calculăm elementele produsului linie cu coloană. Pe diagonală obținem 2xy+1\displaystyle 2xy+1, 2\displaystyle 2 și 2xy+1\displaystyle 2xy+1. Celelalte elemente sunt: x−x=0\displaystyle x-x=0, 1−2xy\displaystyle 1-2xy, y−y=0\displaystyle y-y=0, −y+y=0\displaystyle -y+y=0, 1−2xy\displaystyle 1-2xy și −x+x=0\displaystyle -x+x=0. Folosind 2xy=1\displaystyle 2xy=1, elementele de pe diagonală devin 2\displaystyle 2, iar 1−2xy=0\displaystyle 1-2xy=0.
    A(x)A(y)=(2xy+101−2xy0201−2xy02xy+1)\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix} 2xy+1 & 0 & 1-2xy \\ 0 & 2 & 0 \\ 1-2xy & 0 & 2xy+1 \end{pmatrix}
  3. Înlocuind 2xy=1\displaystyle 2xy=1, obținem că fiecare produs A(x)A(12x)\displaystyle A(x)A\left(\dfrac{1}{2x}\right) este egal cu 2I3\displaystyle 2I_3.
    A(x)A(12x)=(200020002)=2I3\displaystyle A(x)A\left(\dfrac{1}{2x}\right)=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}=2I_3
  4. Suma are 2019\displaystyle 2019 termeni, fiecare egal cu 2I3\displaystyle 2I_3. Prin urmare suma este 2019⋅2I3=4038I3\displaystyle 2019\cdot 2I_3=4038I_3. Comparând cu mI3\displaystyle mI_3, obținem m=4038\displaystyle m=4038.
    2I3+2I3+…+2I3⏟de 2019 ori=4038I3\displaystyle \underbrace{2I_3+2I_3+\ldots+2I_3}_{\text{de 2019 ori}}=4038I_3, m=4038\displaystyle \ m=4038
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x+2\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x+2}.

Calculați lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem limita cerută: lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x+1x+2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+1}{x+2}. Numărătorul și numitorul tind la +∞\displaystyle +\infty, deci avem nedeterminarea ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}.
    lim⁡x→+∞x+1x+2, nedeterminare ∞∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{x+2}\text{, nedeterminare }\frac{\infty}{\infty}
  2. Dăm factor comun termenul dominant x\displaystyle x la numărător și la numitor: x+1=x(1+1x)\displaystyle x+1=x\left(1+\dfrac{1}{x}\right) și x+2=x(1+2x)\displaystyle x+2=x\left(1+\dfrac{2}{x}\right).
    lim⁡x→+∞x+1x+2=lim⁡x→+∞x(1+1x)x(1+2x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{x+2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x\left(1+\frac{2}{x}\right)}
  3. Simplificăm fracția prin x\displaystyle x, care este nenul când x→+∞\displaystyle x\to+\infty.
    lim⁡x→+∞1+1x1+2x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}
  4. Trecem la limită: 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0 și 2x→0\displaystyle \dfrac{2}{x}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, deci limita este 1+01+0=1\displaystyle \dfrac{1+0}{1+0}=1.
    lim⁡x→+∞f(x)=1+01+0=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{1+0}{1+0}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x+2\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x+2}.

Se consideră șirul (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge1} cu an=f(n)\displaystyle a_n=f(n). Demonstrați că șirul (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge1} este mărginit.
Vezi rezolvarea
  1. Din an=f(n)\displaystyle a_n=f(n) și f(x)=x+1x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{x+2} obținem termenul general al șirului.
    an=n+1n+2\displaystyle a_n=\dfrac{n+1}{n+2}
  2. Pentru orice n≥1\displaystyle n\ge 1 avem n+1>0\displaystyle n+1>0 și n+2>0\displaystyle n+2>0, deci fracția este pozitivă. Prin urmare șirul este mărginit inferior de 0\displaystyle 0.
    an=n+1n+2>0\displaystyle a_n=\dfrac{n+1}{n+2}>0
  3. Scriem n+1=(n+2)−1\displaystyle n+1=(n+2)-1 și separăm fracția în două.
    an=(n+2)−1n+2=1−1n+2\displaystyle a_n=\dfrac{(n+2)-1}{n+2}=1-\dfrac{1}{n+2}
  4. Deoarece n+2>0\displaystyle n+2>0, avem 1n+2>0\displaystyle \dfrac{1}{n+2}>0, deci din 1\displaystyle 1 scădem un număr pozitiv și rezultatul este mai mic decât 1\displaystyle 1.
    an=1−1n+2<1\displaystyle a_n=1-\dfrac{1}{n+2}<1
  5. Combinând inegalitățile, obținem 0<an<1\displaystyle 0<a_n<1 pentru orice n≥1\displaystyle n\ge 1, deci șirul (an)\displaystyle (a_n) este mărginit.
    0<an<1\displaystyle 0<a_n<1, ∀n≥1, deci (an) este ma˘rginit\displaystyle \ \forall n\ge 1\text{, deci }(a_n)\text{ este mărginit}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x+2\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x+2}.

Calculați lim⁡n→+∞n(f(n)−1)\displaystyle \lim_{n\to+\infty}n\left(\sqrt{f(n)}-1\right).
Vezi rezolvarea
  1. Limita are forma nedeterminată ∞⋅0\displaystyle \infty\cdot 0, pentru că f(n)→1\displaystyle f(n)\to 1, deci f(n)−1→0\displaystyle \sqrt{f(n)}-1\to 0, iar n→+∞\displaystyle n\to+\infty. Amplificăm cu conjugata expresiei f(n)−1\displaystyle \sqrt{f(n)}-1, adică cu f(n)+1\displaystyle \sqrt{f(n)}+1.
    n(f(n)−1)=n(f(n)−1)(f(n)+1)f(n)+1\displaystyle n\left(\sqrt{f(n)}-1\right)=\frac{n\left(\sqrt{f(n)}-1\right)\left(\sqrt{f(n)}+1\right)}{\sqrt{f(n)}+1}
  2. Aplicăm formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} la numărător: (f(n))2=f(n)\displaystyle \left(\sqrt{f(n)}\right)^{2}=f(n), iar 12=1\displaystyle 1^{2}=1. Apoi înlocuim f(n)\displaystyle f(n) cu n+1n+2\displaystyle \dfrac{n+1}{n+2}.
    lim⁡n→+∞n(f(n)−1)=lim⁡n→+∞n(f(n)−1)f(n)+1=lim⁡n→+∞n(n+1n+2−1)f(n)+1\displaystyle \lim_{n\to+\infty}n\left(\sqrt{f(n)}-1\right)=\lim_{n\to+\infty}\frac{n\left(f(n)-1\right)}{\sqrt{f(n)}+1}=\lim_{n\to+\infty}\frac{n\left(\frac{n+1}{n+2}-1\right)}{\sqrt{f(n)}+1}
  3. Reducem la același numitor expresia din paranteză: n+1n+2−1=n+1−(n+2)n+2=−1n+2\displaystyle \dfrac{n+1}{n+2}-1=\dfrac{n+1-(n+2)}{n+2}=\dfrac{-1}{n+2}.
    n+1n+2−1=−1n+2\displaystyle \frac{n+1}{n+2}-1=-\frac{1}{n+2}
  4. Înlocuim în limită și obținem fracția cu numărătorul −n\displaystyle -n și numitorul (n+2)(f(n)+1)\displaystyle (n+2)\left(\sqrt{f(n)}+1\right).
    lim⁡n→+∞−n(n+2)(f(n)+1)\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{-n}{(n+2)\left(\sqrt{f(n)}+1\right)}
  5. Calculăm limitele factorilor. Raportul −nn+2→−1\displaystyle \dfrac{-n}{n+2}\to -1, deoarece raportul coeficienților dominanți este −1\displaystyle -1. Cum f(n)→1\displaystyle f(n)\to 1, avem f(n)+1→2\displaystyle \sqrt{f(n)}+1\to 2. Deci limita este −12\displaystyle \dfrac{-1}{2}.
    lim⁡n→+∞−nn+2⋅1f(n)+1=−1⋅12=−12\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{-n}{n+2}\cdot\frac{1}{\sqrt{f(n)}+1}=-1\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={a+sin⁡xx,x∈(−∞,0)x2+2x,x∈[0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases} a+\frac{\sin x}{x}, & x\in(-\infty,0) \\ \sqrt{x^2+2x}, & x\in[0,+\infty) \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care funcția f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0) funcția este suma dintre constanta a\displaystyle a și câtul funcțiilor continue sin⁡x\displaystyle \sin x și x\displaystyle x, cu numitorul nenul, deci este continuă. Pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) funcția este x2+2x\displaystyle \sqrt{x^2+2x}, cu x2+2x>0\displaystyle x^2+2x>0, compunere de funcții continue, deci este continuă. Rămâne de verificat continuitatea în x=0\displaystyle x=0.
    f continua˘ pe (−∞,0) și pe (0,+∞)\displaystyle f\text{ continuă pe }(-\infty,0)\text{ și pe }(0,+\infty)
  2. Calculăm limita la stânga în 0\displaystyle 0, folosind limita remarcabilă lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1.
    lim⁡x→0x<0f(x)=lim⁡x→0x<0(a+sin⁡xx)=a+1\displaystyle \lim_{\substack{x\to0\\x<0}}f(x)=\lim_{\substack{x\to0\\x<0}}\left(a+\dfrac{\sin x}{x}\right)=a+1
  3. Calculăm limita la dreapta în 0\displaystyle 0 și valoarea funcției în 0\displaystyle 0, înlocuind direct x=0\displaystyle x=0 în radical.
    lim⁡x→0x>0f(x)=02+2⋅0=0\displaystyle \lim_{\substack{x\to0\\x>0}}f(x)=\sqrt{0^2+2\cdot0}=0,f(0)=0\displaystyle \quad f(0)=0
  4. Funcția este continuă în 0\displaystyle 0 dacă limita la stânga, limita la dreapta și f(0)\displaystyle f(0) sunt egale. Obținem ecuația a+1=0\displaystyle a+1=0, deci a=−1\displaystyle a=-1.
    a+1=0⇒a=−1\displaystyle a+1=0\Rightarrow a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={a+sin⁡xx,x∈(−∞,0)x2+2x,x∈[0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases} a+\frac{\sin x}{x}, & x\in(-\infty,0) \\ \sqrt{x^2+2x}, & x\in[0,+\infty) \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=1\displaystyle a=1, determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞\displaystyle -\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=1\displaystyle a=1 și x<0\displaystyle x<0, funcția are expresia f(x)=1+sin⁡xx\displaystyle f(x)=1+\dfrac{\sin x}{x}. Asimptota orizontală spre −∞\displaystyle -\infty se află din lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x), deci folosim doar această ramură.
    f(x)=1+sin⁡xx\displaystyle f(x)=1+\frac{\sin x}{x}, x∈(−∞,0)\displaystyle \ x\in(-\infty,0)
  2. Limita lui sin⁡xx\displaystyle \dfrac{\sin x}{x} nu se poate calcula direct, pentru că sin⁡x\displaystyle \sin x nu are limită la −∞\displaystyle -\infty. Folosim faptul că sinusul este mărginit: ∣sin⁡x∣≤1\displaystyle |\sin x|\le 1.
    ∣sin⁡x∣≤1\displaystyle |\sin x|\le 1
  3. Împărțim la ∣x∣\displaystyle |x|, care este pozitiv, și obținem o majorare pentru modulul fracției: ∣sin⁡xx∣=∣sin⁡x∣∣x∣≤1∣x∣\displaystyle \left|\dfrac{\sin x}{x}\right|=\dfrac{|\sin x|}{|x|}\le\dfrac{1}{|x|}. Cum ∣x∣→+∞\displaystyle |x|\to+\infty când x→−∞\displaystyle x\to-\infty, majorantul tinde la 0\displaystyle 0.
    ∣sin⁡xx∣≤1∣x∣\displaystyle \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le\frac{1}{|x|}, lim⁡x→−∞1∣x∣=0\displaystyle \ \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{|x|}=0
  4. Din inegalitatea modulului rezultă −1∣x∣≤sin⁡xx≤1∣x∣\displaystyle -\dfrac{1}{|x|}\le\dfrac{\sin x}{x}\le\dfrac{1}{|x|}. Ambele margini tind la 0\displaystyle 0, deci, după criteriul majorării (cleștelui), lim⁡x→−∞sin⁡xx=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0.
    lim⁡x→−∞sin⁡xx=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{\sin x}{x}=0
  5. Adunăm 1\displaystyle 1 și obținem lim⁡x→−∞f(x)=1+0=1\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=1+0=1. Deoarece limita este finită, dreapta y=1\displaystyle y=1 este asimptotă orizontală spre −∞\displaystyle -\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
    lim⁡x→−∞f(x)=1\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=1, y=1\displaystyle \ y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={a+sin⁡xx,x∈(−∞,0)x2+2x,x∈[0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases} a+\frac{\sin x}{x}, & x\in(-\infty,0) \\ \sqrt{x^2+2x}, & x\in[0,+\infty) \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că, pentru orice număr real a\displaystyle a, ecuația f(x)=∣a∣\displaystyle f(x)=|a| are cel puțin o soluție.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că pe intervalul [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty) funcția este f(x)=x2+2x\displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}+2x}. Aceasta este compunere de funcții continue (polinomul x2+2x≥0\displaystyle x^{2}+2x\ge 0 pentru x≥0\displaystyle x\ge 0, iar radicalul este continuu), deci f\displaystyle f este continuă pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty). Vom căuta soluția ecuației pe acest interval.
    f(x)=x2+2x este continua˘ pe [0,+∞)\displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}+2x}\text{ este continuă pe }[0,+\infty)
  2. Calculăm valoarea funcției în 0\displaystyle 0: f(0)=02+2⋅0=0\displaystyle f(0)=\sqrt{0^{2}+2\cdot 0}=0.
    f(0)=0\displaystyle f(0)=0
  3. Calculăm limita la plus infinit. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem x2+2x→+∞\displaystyle x^{2}+2x\to+\infty, iar radicalul dintr-o expresie care tinde la +∞\displaystyle +\infty tinde tot la +∞\displaystyle +\infty. Deci f\displaystyle f ia valori oricât de mari. Astfel avem f(0)=0\displaystyle f(0)=0 și lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
    f(0)=0\displaystyle f(0)=0, lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x2+2x=+∞\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+2x}=+\infty
  4. Aplicăm proprietatea lui Darboux. Funcția f\displaystyle f este continuă pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty), are valoarea 0\displaystyle 0 în x=0\displaystyle x=0 și ia valori oricât de mari, deci imaginea ei pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty) este intervalul [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty). Numărul ∣a∣\displaystyle |a| este mereu mai mare sau egal cu 0\displaystyle 0, deci aparține acestui interval. Prin urmare există x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty) cu f(x)=∣a∣\displaystyle f(x)=|a|, adică ecuația are cel puțin o soluție, pentru orice număr real a\displaystyle a.
    ∣a∣∈[0,+∞)=f([0,+∞)) ⇒ ∃ x≥0 cu f(x)=∣a∣\displaystyle |a|\in[0,+\infty)=f([0,+\infty))\ \Rightarrow\ \exists\, x\ge 0\text{ cu }f(x)=|a|
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.