Bac matematică M1 mate-info 2018, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați partea întreagă a numărului real a=1253+5\displaystyle a=\sqrt[3]{125}+\sqrt{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm radicalul de ordin 3: 53=125\displaystyle 5^{3}=125, deci 1253=5\displaystyle \sqrt[3]{125}=5. Rezultă că a=5+5\displaystyle a=5+\sqrt{5}.
    a=5+5\displaystyle a=5+\sqrt{5}
  2. Încadrăm 5\displaystyle \sqrt{5} între două pătrate perfecte consecutive: 4<5<9\displaystyle 4<5<9.
    4<5<9\displaystyle 4<5<9
  3. Extragem radicalul din toți membrii inegalității (funcția radical este crescătoare): 2<5<3\displaystyle 2<\sqrt{5}<3. Deci [5]=2\displaystyle [\sqrt{5}]=2.
    2<5<3⇒[5]=2\displaystyle 2<\sqrt{5}<3\Rightarrow [\sqrt{5}]=2
  4. Adunăm 5\displaystyle 5, care este număr întreg, deci se poate scoate din partea întreagă: [a]=5+[5]=5+2=7\displaystyle [a]=5+[\sqrt{5}]=5+2=7. Verificare: 7<a<8\displaystyle 7<a<8.
    [a]=5+[5]=7\displaystyle [a]=5+[\sqrt{5}]=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+m\displaystyle f(x)=x+m, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că (f∘f)(x)=f(x+1)\displaystyle (f\circ f)(x)=f(x+1), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm compunerea f∘f\displaystyle f\circ f: înlocuim pe x\displaystyle x cu f(x)\displaystyle f(x) în expresia funcției, adică (f∘f)(x)=f(f(x))=f(x)+m=(x+m)+m\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=f(x)+m=(x+m)+m.
    (f∘f)(x)=x+2m\displaystyle (f\circ f)(x)=x+2m
  2. Calculăm f(x+1)\displaystyle f(x+1): înlocuim pe x\displaystyle x cu x+1\displaystyle x+1 în f(x)=x+m\displaystyle f(x)=x+m, deci f(x+1)=(x+1)+m\displaystyle f(x+1)=(x+1)+m.
    (f∘f)(x)=x+2m\displaystyle (f\circ f)(x)=x+2m, f(x+1)=x+1+m\displaystyle \ f(x+1)=x+1+m
  3. Egalăm cele două expresii, conform condiției din enunț, valabilă pentru orice x\displaystyle x real: x+2m=x+1+m\displaystyle x+2m=x+1+m.
    x+2m=x+1+m\displaystyle x+2m=x+1+m
  4. Reducem pe x\displaystyle x din ambii membri și trecem termenii cu m\displaystyle m în stânga: 2m−m=1\displaystyle 2m-m=1, deci m=1\displaystyle m=1.
    x+2m=x+1+m, deci m=1\displaystyle x+2m=x+1+m\text{, deci }m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația (23)4x+1≤(23)3x+5\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{4x+1}\le\left(\frac{2}{3}\right)^{3x+5}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că baza 23\displaystyle \dfrac{2}{3} este cuprinsă între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1, deci funcția f(t)=(23)t\displaystyle f(t)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{t} este strict descrescătoare. Prin urmare, la compararea exponenților sensul inegalității se schimbă.
    0<23<1⇒f descresca˘toare\displaystyle 0<\dfrac{2}{3}<1\Rightarrow f\text{ descrescătoare}
  2. Inversăm inegalitatea pentru exponenți: din (23)4x+1≤(23)3x+5\displaystyle \left(\dfrac{2}{3}\right)^{4x+1}\le\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3x+5} rezultă că exponentul din stânga este mai mare sau egal cu cel din dreapta.
    4x+1≥3x+5\displaystyle 4x+1\ge 3x+5
  3. Aducem termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: scădem 3x\displaystyle 3x și scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri.
    4x−3x≥5−1\displaystyle 4x-3x\ge 5-1
  4. Efectuăm calculele și obținem x≥4\displaystyle x\ge 4, adică soluția este intervalul [4,+∞)\displaystyle [4,+\infty).
    x∈[4,+∞)\displaystyle x\in[4,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul de submulțimi cu cel puțin trei elemente ale mulțimii A={0,1,2,…,9}\displaystyle A=\{0,1,2,\ldots,9\}.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea A\displaystyle A are 10\displaystyle 10 elemente. O submulțime cu exact k\displaystyle k elemente se alege în C10k\displaystyle C_{10}^{k} moduri. Submulțimile cu cel puțin trei elemente au 3,4,…,10\displaystyle 3,4,\ldots,10 elemente, deci numărul lor este suma acestor combinări.
    C103+C104+⋯+C1010\displaystyle C_{10}^{3}+C_{10}^{4}+\cdots+C_{10}^{10}
  2. Calculul direct al sumei este lung, așa că folosim complementara. Numărul total de submulțimi ale lui A\displaystyle A este 210\displaystyle 2^{10}, adică suma C100+C101+⋯+C1010\displaystyle C_{10}^{0}+C_{10}^{1}+\cdots+C_{10}^{10}.
    C100+C101+⋯+C1010=210=1024\displaystyle C_{10}^{0}+C_{10}^{1}+\cdots+C_{10}^{10}=2^{10}=1024
  3. Scădem din total submulțimile cu 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 sau 2\displaystyle 2 elemente, adică cele care nu au cel puțin trei elemente.
    C103+⋯+C1010=210−C100−C101−C102\displaystyle C_{10}^{3}+\cdots+C_{10}^{10}=2^{10}-C_{10}^{0}-C_{10}^{1}-C_{10}^{2}
  4. Calculăm valorile: C100=1\displaystyle C_{10}^{0}=1, C101=10\displaystyle C_{10}^{1}=10, C102=10⋅92=45\displaystyle C_{10}^{2}=\dfrac{10\cdot 9}{2}=45. Apoi efectuăm scăderea și obținem numărul cerut.
    1024−1−10−45=968\displaystyle 1024-1-10-45=968
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră triunghiul MNP\displaystyle MNP cu MN=6\displaystyle MN=6, MP=8\displaystyle MP=8 și m(∡M)=90∘\displaystyle m(\measuredangle M)=90^\circ. Calculați lungimea vectorului u⃗=MN→+MP→\displaystyle \vec{u}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}.
Vezi rezolvarea
  1. Construim punctul Q\displaystyle Q astfel încât MNQP\displaystyle MNQP să fie paralelogram. Conform regulii paralelogramului, suma vectorilor MN→\displaystyle \overrightarrow{MN} și MP→\displaystyle \overrightarrow{MP} este vectorul MQ→\displaystyle \overrightarrow{MQ}.
    u⃗=MN→+MP→=MQ→\displaystyle \vec{u}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MQ}
  2. Deoarece unghiul M\displaystyle M este drept, paralelogramul MNQP\displaystyle MNQP este dreptunghi, iar diagonalele unui dreptunghi sunt egale. Deci MQ\displaystyle MQ este egală cu NP\displaystyle NP, adică cu ipotenuza triunghiului MNP\displaystyle MNP.
    MQ=NP\displaystyle MQ=NP
  3. Calculăm ipotenuza NP\displaystyle NP cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic MNP\displaystyle MNP.
    NP2=MN2+MP2=62+82=36+64=100\displaystyle NP^{2}=MN^{2}+MP^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100
  4. Extragem radicalul și obținem lungimea vectorului u⃗\displaystyle \vec{u}, care este egală cu lungimea diagonalei MQ\displaystyle MQ.
    ∣u⃗∣=MQ=NP=100=10\displaystyle |\vec{u}|=MQ=NP=\sqrt{100}=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați numărul real x\displaystyle x, știind că tg⁡x+ctg⁡x+2=0\displaystyle \operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x+2=0 și x∈(π2,π)\displaystyle x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈(π2,π)\displaystyle x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right) avem tg⁡x≠0\displaystyle \operatorname{tg}x\neq 0 și definită, deci ctg⁡x=1tg⁡x\displaystyle \operatorname{ctg}x=\dfrac{1}{\operatorname{tg}x}.
    ctg⁡x=1tg⁡x\displaystyle \operatorname{ctg}x=\frac{1}{\operatorname{tg}x}
  2. Ecuația devine tg⁡x+1tg⁡x+2=0\displaystyle \operatorname{tg}x+\dfrac{1}{\operatorname{tg}x}+2=0.
    tg⁡x+1tg⁡x+2=0\displaystyle \operatorname{tg}x+\frac{1}{\operatorname{tg}x}+2=0
  3. Amplificăm cu tg⁡x\displaystyle \operatorname{tg}x: tg⁡2x+1+2tg⁡xtg⁡x=0\displaystyle \dfrac{\operatorname{tg}^{2}x+1+2\operatorname{tg}x}{\operatorname{tg}x}=0, iar numărătorul este pătratul (tg⁡x+1)2\displaystyle (\operatorname{tg}x+1)^{2}.
    (tg⁡x+1)2tg⁡x=0\displaystyle \frac{(\operatorname{tg}x+1)^{2}}{\operatorname{tg}x}=0
  4. Fracția este nulă doar dacă (tg⁡x+1)2=0\displaystyle (\operatorname{tg}x+1)^{2}=0, adică tg⁡x=−1\displaystyle \operatorname{tg}x=-1 (numitorul este nenul).
    tg⁡x=−1\displaystyle \operatorname{tg}x=-1
  5. Pe intervalul (π2,π)\displaystyle \left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right) avem x=π−π4\displaystyle x=\pi-\dfrac{\pi}{4}, deci x=3π4\displaystyle x=\dfrac{3\pi}{4}.
    x=3π4\displaystyle x=\frac{3\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x02x−101202x−10x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&0&2x-1\\0&\frac{1}{2}&0\\2x-1&0&x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(A(x))=0\displaystyle \det(A(x))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm determinantul după linia a doua, care are un singur element nenul, 12\displaystyle \frac{1}{2}, pe poziția (2,2)\displaystyle (2,2). Semnul este plus, iar minorul este determinantul format din liniile și coloanele 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3: det⁡(A(x))=12⋅∣x2x−12x−1x∣\displaystyle \det(A(x))=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{vmatrix}x&2x-1\\2x-1&x\end{vmatrix}.
    det⁡(A(x))=12⋅∣x2x−12x−1x∣\displaystyle \det(A(x))=\frac{1}{2}\cdot\begin{vmatrix}x&2x-1\\2x-1&x\end{vmatrix}
  2. Calculăm determinantul de ordin 2\displaystyle 2: produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe diagonala secundară. Obținem det⁡(A(x))=x22−(2x−1)22\displaystyle \det(A(x))=\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{(2x-1)^{2}}{2}.
    det⁡(A(x))=x22−(2x−1)22\displaystyle \det(A(x))=\frac{x^{2}}{2}-\frac{(2x-1)^{2}}{2}
  3. Desfacem pătratul: (2x−1)2=4x2−4x+1\displaystyle (2x-1)^{2}=4x^{2}-4x+1. Apoi reducem termenii asemenea: x2−4x2+4x−1=−3x2+4x−1\displaystyle x^{2}-4x^{2}+4x-1=-3x^{2}+4x-1, deci det⁡(A(x))=−3x2+4x−12\displaystyle \det(A(x))=\dfrac{-3x^{2}+4x-1}{2}.
    det⁡(A(x))=−3x2+4x−12\displaystyle \det(A(x))=\frac{-3x^{2}+4x-1}{2}
  4. Din det⁡(A(x))=0\displaystyle \det(A(x))=0 rezultă că numărătorul este nul: −3x2+4x−1=0\displaystyle -3x^{2}+4x-1=0, adică 3x2−4x+1=0\displaystyle 3x^{2}-4x+1=0.
    3x2−4x+1=0\displaystyle 3x^{2}-4x+1=0
  5. Discriminantul este Δ=16−12=4\displaystyle \Delta=16-12=4. Rădăcinile sunt x=4±26\displaystyle x=\dfrac{4\pm 2}{6}, adică x=1\displaystyle x=1 și x=13\displaystyle x=\dfrac{1}{3}.
    x=13 sau x=1\displaystyle x=\frac{1}{3}\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x02x−101202x−10x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&0&2x-1\\0&\frac{1}{2}&0\\2x-1&0&x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că A(x)+A(1−x)=2A(12)\displaystyle A(x)+A(1-x)=2A\left(\frac{1}{2}\right), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A(1−x)\displaystyle A(1-x), înlocuind x\displaystyle x cu 1−x\displaystyle 1-x în A(x)\displaystyle A(x). Avem 2(1−x)−1=1−2x\displaystyle 2(1-x)-1=1-2x, deci elementele devin 1−x\displaystyle 1-x și 1−2x\displaystyle 1-2x.
    A(1−x)=(1−x01−2x01201−2x01−x)\displaystyle A(1-x)=\begin{pmatrix}1-x&0&1-2x\\0&\frac{1}{2}&0\\1-2x&0&1-x\end{pmatrix}
  2. Adunăm element cu element A(x)\displaystyle A(x) și A(1−x)\displaystyle A(1-x). Avem x+(1−x)=1\displaystyle x+(1-x)=1, (2x−1)+(1−2x)=0\displaystyle (2x-1)+(1-2x)=0 și 12+12=1\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1, iar zerourile rămân zerouri.
    A(x)+A(1−x)=(100010001)\displaystyle A(x)+A(1-x)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
  3. Calculăm A(12)\displaystyle A\left(\frac{1}{2}\right): pentru x=12\displaystyle x=\frac{1}{2} avem 2x−1=0\displaystyle 2x-1=0, deci matricea are pe diagonală doar 12\displaystyle \frac{1}{2}. Cum 2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\frac{1}{2}=1, suma obținută este 2A(12)\displaystyle 2A\left(\frac{1}{2}\right), pentru orice x\displaystyle x real.
    (100010001)=2(120001200012)=2A(12)\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}=2A\left(\frac{1}{2}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x02x−101202x−10x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&0&2x-1\\0&\frac{1}{2}&0\\2x-1&0&x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A(x)⋅A(1−x)=12A(12)\displaystyle A(x)\cdot A(1-x)=\frac{1}{2}A\left(\frac{1}{2}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea A(1−x)\displaystyle A(1-x), înlocuind x\displaystyle x cu 1−x\displaystyle 1-x în A(x)\displaystyle A(x). Avem 2(1−x)−1=1−2x\displaystyle 2(1-x)-1=1-2x.
    A(1−x)=(1−x01−2x01201−2x01−x)\displaystyle A(1-x)=\begin{pmatrix}1-x&0&1-2x\\0&\frac{1}{2}&0\\1-2x&0&1-x\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementul de pe linia 1, coloana 1 al produsului A(x)⋅A(1−x)\displaystyle A(x)\cdot A(1-x): x(1−x)+(2x−1)(1−2x)=x−x2−(2x−1)2\displaystyle x(1-x)+(2x-1)(1-2x)=x-x^{2}-(2x-1)^{2}.
    x−x2−(4x2−4x+1)=−5x2+5x−1\displaystyle x-x^{2}-(4x^{2}-4x+1)=-5x^{2}+5x-1
  3. Calculăm elementul de pe linia 1, coloana 3: x(1−2x)+(2x−1)(1−x)=x−2x2+3x−2x2−1\displaystyle x(1-2x)+(2x-1)(1-x)=x-2x^{2}+3x-2x^{2}-1. Elementul de pe linia 3, coloana 1 se obține la fel, iar cel de pe linia 3, coloana 3 este egal cu cel de pe linia 1, coloana 1. Elementul din mijloc este 12⋅12=14\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}, iar celelalte elemente de pe linia și coloana 2 sunt 0\displaystyle 0.
    A(x)⋅A(1−x)=(−5x2+5x−10−4x2+4x−10140−4x2+4x−10−5x2+5x−1)\displaystyle A(x)\cdot A(1-x)=\begin{pmatrix}-5x^{2}+5x-1&0&-4x^{2}+4x-1\\0&\frac{1}{4}&0\\-4x^{2}+4x-1&0&-5x^{2}+5x-1\end{pmatrix}
  4. Calculăm membrul drept: pentru x=12\displaystyle x=\frac{1}{2} avem 2x−1=0\displaystyle 2x-1=0, deci A(12)\displaystyle A\left(\frac{1}{2}\right) are 12\displaystyle \frac{1}{2} pe diagonală și 0\displaystyle 0 în rest. Înmulțind cu 12\displaystyle \frac{1}{2} obținem 14\displaystyle \frac{1}{4} pe diagonală. Egalăm cele două matrice.
    (−5x2+5x−10−4x2+4x−10140−4x2+4x−10−5x2+5x−1)=(140001400014)\displaystyle \begin{pmatrix}-5x^{2}+5x-1&0&-4x^{2}+4x-1\\0&\frac{1}{4}&0\\-4x^{2}+4x-1&0&-5x^{2}+5x-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}&0&0\\0&\frac{1}{4}&0\\0&0&\frac{1}{4}\end{pmatrix}
  5. Identificăm elementele. Din linia 1, coloana 3: −4x2+4x−1=0\displaystyle -4x^{2}+4x-1=0, adică (2x−1)2=0\displaystyle (2x-1)^{2}=0. Din linia 1, coloana 1: −5x2+5x−1=14\displaystyle -5x^{2}+5x-1=\frac{1}{4}, adică 20x2−20x+5=0\displaystyle 20x^{2}-20x+5=0, deci 4x2−4x+1=0\displaystyle 4x^{2}-4x+1=0, tot (2x−1)2=0\displaystyle (2x-1)^{2}=0.
    (2x−1)2=0\displaystyle (2x-1)^{2}=0
  6. Din (2x−1)2=0\displaystyle (2x-1)^{2}=0 rezultă 2x−1=0\displaystyle 2x-1=0, deci x=12\displaystyle x=\frac{1}{2}. Această valoare verifică toate egalitățile dintre elemente.
    x=12\displaystyle x=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea Z20={0^,1^,2^,…,19^}\displaystyle \mathbb{Z}_{20}=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\ldots,\widehat{19}\} se definește legea de compoziție x∘y=xy+3^x+3^y+9^\displaystyle x\circ y=xy+\hat{3}x+\hat{3}y+\hat{9}.

Demonstrați că x∘y=(x+3^)(y+3^)\displaystyle x\circ y=(x+\hat{3})(y+\hat{3}), pentru orice x,y∈Z20\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}_{20}.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii: x∘y=xy+3^x+3^y+9^\displaystyle x\circ y=xy+\hat{3}x+\hat{3}y+\hat{9}, pentru orice x,y∈Z20\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}_{20}. Grupăm termenii doi câte doi: primii doi, xy\displaystyle xy și 3^x\displaystyle \hat{3}x, și ultimii doi, 3^y\displaystyle \hat{3}y și 9^\displaystyle \hat{9}.
    x∘y=(xy+3^x)+(3^y+9^)\displaystyle x\circ y=(xy+\hat{3}x)+(\hat{3}y+\hat{9})
  2. În prima paranteză dăm factor comun pe x\displaystyle x: xy+3^x=x(y+3^)\displaystyle xy+\hat{3}x=x(y+\hat{3}).
    xy+3^x=x(y+3^)\displaystyle xy+\hat{3}x=x(y+\hat{3})
  3. În a doua paranteză observăm că 9^=3^⋅3^\displaystyle \hat{9}=\hat{3}\cdot\hat{3}, deci putem da factor comun pe 3^\displaystyle \hat{3}: 3^y+9^=3^(y+3^)\displaystyle \hat{3}y+\hat{9}=\hat{3}(y+\hat{3}).
    3^y+9^=3^(y+3^)\displaystyle \hat{3}y+\hat{9}=\hat{3}(y+\hat{3})
  4. Înlocuim cele două rezultate: x∘y=x(y+3^)+3^(y+3^)\displaystyle x\circ y=x(y+\hat{3})+\hat{3}(y+\hat{3}). În ambii termeni apare factorul y+3^\displaystyle y+\hat{3}, pe care îl dăm factor comun. Obținem x∘y=(x+3^)(y+3^)\displaystyle x\circ y=(x+\hat{3})(y+\hat{3}), pentru orice x,y∈Z20\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}_{20}.
    x∘y=x(y+3^)+3^(y+3^)=(x+3^)(y+3^)\displaystyle x\circ y=x(y+\hat{3})+\hat{3}(y+\hat{3})=(x+\hat{3})(y+\hat{3})
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea Z20={0^,1^,2^,…,19^}\displaystyle \mathbb{Z}_{20}=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\ldots,\widehat{19}\} se definește legea de compoziție x∘y=xy+3^x+3^y+9^\displaystyle x\circ y=xy+\hat{3}x+\hat{3}y+\hat{9}.

Determinați a∈Z20\displaystyle a\in\mathbb{Z}_{20}, știind că a∘x=0^\displaystyle a\circ x=\hat{0} pentru orice x∈Z20\displaystyle x\in\mathbb{Z}_{20}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie în formă factorizată: x∘y=(x+3^)(y+3^)\displaystyle x\circ y=(x+\hat{3})(y+\hat{3}), deoarece (x+3^)(y+3^)=xy+3^x+3^y+9^\displaystyle (x+\hat{3})(y+\hat{3})=xy+\hat{3}x+\hat{3}y+\hat{9}.
    x∘y=(x+3^)(y+3^)\displaystyle x\circ y=(x+\hat{3})(y+\hat{3})
  2. Condiția a∘x=0^\displaystyle a\circ x=\hat{0} pentru orice x\displaystyle x devine (a+3^)(x+3^)=0^\displaystyle (a+\hat{3})(x+\hat{3})=\hat{0} pentru orice x∈Z20\displaystyle x\in\mathbb{Z}_{20}.
    (a+3^)(x+3^)=0^\displaystyle (a+\hat{3})(x+\hat{3})=\hat{0}, pentru orice x∈Z20\displaystyle \text{ pentru orice }x\in\mathbb{Z}_{20}
  3. Alegem o valoare convenabilă pentru x\displaystyle x: x=4^\displaystyle x=\hat{4}, astfel încât x+3^=7^\displaystyle x+\hat{3}=\hat{7}. Obținem 7^(a+3^)=0^\displaystyle \hat{7}(a+\hat{3})=\hat{0} în Z20\displaystyle \mathbb{Z}_{20}.
    7^(a+3^)=0^\displaystyle \hat{7}(a+\hat{3})=\hat{0}
  4. Cum 7^\displaystyle \hat{7} este inversabil în Z20\displaystyle \mathbb{Z}_{20} (deoarece 7^⋅3^=21^=1^\displaystyle \hat{7}\cdot\hat{3}=\widehat{21}=\hat{1}), înmulțim cu 3^\displaystyle \hat{3} și obținem a+3^=0^\displaystyle a+\hat{3}=\hat{0}.
    a+3^=0^\displaystyle a+\hat{3}=\hat{0}
  5. Rezultă a=−3^=17^\displaystyle a=-\hat{3}=\widehat{17} în Z20\displaystyle \mathbb{Z}_{20}. Verificare: pentru a=17^\displaystyle a=\widehat{17} avem a+3^=20^=0^\displaystyle a+\hat{3}=\widehat{20}=\hat{0}, deci a∘x=0^⋅(x+3^)=0^\displaystyle a\circ x=\hat{0}\cdot(x+\hat{3})=\hat{0} pentru orice x\displaystyle x.
    a+3^=0^⇒a=17^\displaystyle a+\hat{3}=\hat{0}\Rightarrow a=\widehat{17}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea Z20={0^,1^,2^,…,19^}\displaystyle \mathbb{Z}_{20}=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\ldots,\widehat{19}\} se definește legea de compoziție x∘y=xy+3^x+3^y+9^\displaystyle x\circ y=xy+\hat{3}x+\hat{3}y+\hat{9}.

Dați exemplu de a,b∈Z20∖{17^}\displaystyle a,b\in\mathbb{Z}_{20}\setminus\{\widehat{17}\} pentru care a∘b=0^\displaystyle a\circ b=\hat{0}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x∘y=xy+3^x+3^y+9^=(x+3^)(y+3^)\displaystyle x\circ y=xy+\hat{3}x+\hat{3}y+\hat{9}=(x+\hat{3})(y+\hat{3}). Deci a∘b=(a+3^)(b+3^)\displaystyle a\circ b=(a+\hat{3})(b+\hat{3}).
    a∘b=(a+3^)(b+3^)\displaystyle a\circ b=(a+\hat{3})(b+\hat{3})
  2. Avem nevoie de două elemente nenule din Z20\displaystyle \mathbb{Z}_{20} al căror produs este 0^\displaystyle \hat{0}. Cum 4^⋅5^=20^=0^\displaystyle \hat{4}\cdot\hat{5}=\widehat{20}=\hat{0}, alegem a+3^=4^\displaystyle a+\hat{3}=\hat{4} și b+3^=5^\displaystyle b+\hat{3}=\hat{5}.
    4^⋅5^=20^=0^\displaystyle \hat{4}\cdot\hat{5}=\widehat{20}=\hat{0}
  3. Aflăm a\displaystyle a și b\displaystyle b: a=4^−3^=1^\displaystyle a=\hat{4}-\hat{3}=\hat{1} și b=5^−3^=2^\displaystyle b=\hat{5}-\hat{3}=\hat{2}. Ambele sunt diferite de 17^\displaystyle \widehat{17}.
    a=1^\displaystyle a=\hat{1}, b=2^\displaystyle \ b=\hat{2}
  4. Verificare: a+3^=4^\displaystyle a+\hat{3}=\hat{4}, b+3^=5^\displaystyle b+\hat{3}=\hat{5}, deci a∘b=4^⋅5^=0^\displaystyle a\circ b=\hat{4}\cdot\hat{5}=\hat{0}. Exemplul a=1^\displaystyle a=\hat{1}, b=2^\displaystyle b=\hat{2} convine.
    a=1^\displaystyle a=\hat{1}, b=2^\displaystyle \ b=\hat{2}, a+3^=4^\displaystyle \ a+\hat{3}=\hat{4}, b+3^=5^\displaystyle \ b+\hat{3}=\hat{5}, deci a∘b=0^\displaystyle \text{ deci }a\circ b=\hat{0}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−x\displaystyle f(x)=2x^2-\sqrt{x}.

Arătați că lim⁡x→1f(x)−1x−1=72\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)-1}{x-1}=\frac{7}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)=2⋅12−1=2−1=1\displaystyle f(1)=2\cdot 1^{2}-\sqrt{1}=2-1=1. Deci numărul 1\displaystyle 1 din numărătorul limitei este chiar f(1)\displaystyle f(1).
    f(1)=2⋅12−1=1\displaystyle f(1)=2\cdot 1^{2}-\sqrt{1}=1
  2. Cum f(1)=1\displaystyle f(1)=1, limita se scrie lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1\displaystyle \lim_{x\to1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}. Aceasta este, prin definiție, derivata f′(1)\displaystyle f'(1), dacă f este derivabilă în 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→1f(x)−1x−1=lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)
  3. Derivăm termen cu termen, folosind (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x și (x)′=12x\displaystyle (\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Obținem f′(x)=2⋅2x−12x\displaystyle f'(x)=2\cdot 2x-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=4x−12x\displaystyle f'(x)=4x-\frac{1}{2\sqrt{x}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  4. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în derivată: f′(1)=4⋅1−121=4−12=72\displaystyle f'(1)=4\cdot 1-\dfrac{1}{2\sqrt{1}}=4-\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}. Deci limita este 72\displaystyle \dfrac{7}{2}.
    lim⁡x→1f(x)−1x−1=f′(1)=4−12=72\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)-1}{x-1}=f'(1)=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−x\displaystyle f(x)=2x^2-\sqrt{x}.

Determinați imaginea funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Derivăm termen cu termen, folosind că (x)′=12x\displaystyle (\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
    f′(x)=4x−12x\displaystyle f'(x)=4x-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Aducem la același numitor: f′(x)=8xx−12x\displaystyle f'(x)=\dfrac{8x\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}. Numărătorul trebuie să fie zero: 8x3/2=1\displaystyle 8x^{3/2}=1, deci x3/2=18\displaystyle x^{3/2}=\dfrac{1}{8}, adică x=14\displaystyle x=\dfrac{1}{4}.
    f′(x)=0⇔x=14\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}
  3. Studiem semnul derivatei. Numitorul 2x\displaystyle 2\sqrt{x} este pozitiv pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci semnul lui f′\displaystyle f' este semnul numărătorului 8xx−1\displaystyle 8x\sqrt{x}-1, care este crescător în x\displaystyle x și se anulează în 14\displaystyle \dfrac{1}{4}. Rezultă că f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pentru x<14\displaystyle x<\dfrac{1}{4} și f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pentru x>14\displaystyle x>\dfrac{1}{4}.
    f′(x)<0 pe (0,14)\displaystyle f'(x)<0\text{ pe }\left(0,\dfrac{1}{4}\right),f′(x)>0 pe (14,+∞)\displaystyle \quad f'(x)>0\text{ pe }\left(\dfrac{1}{4},+\infty\right)
  4. Din semnul derivatei deducem monotonia: funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,14]\displaystyle \left(0,\dfrac{1}{4}\right] și crescătoare pe [14,+∞)\displaystyle \left[\dfrac{1}{4},+\infty\right).
    f descresca˘toare pe (0,14] și cresca˘toare pe [14,+∞)\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }\left(0,\dfrac{1}{4}\right]\text{ și crescătoare pe }\left[\dfrac{1}{4},+\infty\right)
  5. În x=14\displaystyle x=\dfrac{1}{4} funcția are minim global. Calculăm valoarea minimă: f(14)=2⋅116−14=18−12\displaystyle f\left(\dfrac{1}{4}\right)=2\cdot\dfrac{1}{16}-\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{2}.
    f(14)=−38\displaystyle f\left(\dfrac{1}{4}\right)=-\dfrac{3}{8}
  6. Calculăm limitele la capetele intervalului. Când x→0+\displaystyle x\to 0^{+}, 2x2→0\displaystyle 2x^{2}\to 0 și x→0\displaystyle \sqrt{x}\to 0, deci f(x)→0\displaystyle f(x)\to 0. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, f(x)=x(2xx−1)→+∞\displaystyle f(x)=\sqrt{x}\left(2x\sqrt{x}-1\right)\to+\infty.
    lim⁡x→0+f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0,lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  7. Funcția f\displaystyle f este continuă. Pe (0,14]\displaystyle \left(0,\dfrac{1}{4}\right] ea scade de la valori apropiate de 0\displaystyle 0 până la −38\displaystyle -\dfrac{3}{8}, deci ia toate valorile din [−38,0)\displaystyle \left[-\dfrac{3}{8},0\right). Pe [14,+∞)\displaystyle \left[\dfrac{1}{4},+\infty\right) ea crește de la −38\displaystyle -\dfrac{3}{8} la +∞\displaystyle +\infty, deci ia toate valorile din [−38,+∞)\displaystyle \left[-\dfrac{3}{8},+\infty\right). Reunind, obținem imaginea funcției.
    Im⁡f=[−38,+∞)\displaystyle \operatorname{Im}f=\left[-\dfrac{3}{8},+\infty\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−x\displaystyle f(x)=2x^2-\sqrt{x}.

Demonstrați că 2e2x−ex2+38≥0\displaystyle 2e^{2x}-e^{\frac{x}{2}}+\frac{3}{8}\ge0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Derivata lui 2x2\displaystyle 2x^{2} este 4x\displaystyle 4x, iar derivata lui x\displaystyle \sqrt{x} este 12x\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Aducem la același numitor.
    f′(x)=4x−12x=8xx−12x\displaystyle f'(x)=4x-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{8x\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Numitorul este pozitiv, deci trebuie ca 8xx=1\displaystyle 8x\sqrt{x}=1, adică x32=18\displaystyle x^{\frac{3}{2}}=\dfrac{1}{8}. Rezultă x=14\displaystyle x=\dfrac{1}{4}.
    f′(x)=0  ⟺  xx=18  ⟺  x=14\displaystyle f'(x)=0\iff x\sqrt{x}=\dfrac{1}{8}\iff x=\dfrac{1}{4}
  3. Studiem semnul derivatei. Expresia 8xx−1\displaystyle 8x\sqrt{x}-1 este crescătoare și se anulează în 14\displaystyle \dfrac{1}{4}. Deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pe (0,14)\displaystyle \left(0,\dfrac{1}{4}\right) și f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pe (14,+∞)\displaystyle \left(\dfrac{1}{4},+\infty\right). Funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,14]\displaystyle \left(0,\dfrac{1}{4}\right] și crescătoare pe [14,+∞)\displaystyle \left[\dfrac{1}{4},+\infty\right), deci x=14\displaystyle x=\dfrac{1}{4} este punct de minim.
    f(x)≥f(14), pentru orice x>0\displaystyle f(x)\ge f\left(\dfrac{1}{4}\right)\text{, pentru orice }x>0
  4. Calculăm valoarea minimă f(14)\displaystyle f\left(\dfrac{1}{4}\right). Avem 14=12\displaystyle \sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}, iar 2⋅(14)2=18\displaystyle 2\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}=\dfrac{1}{8}.
    f(14)=18−12=−38\displaystyle f\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{8}
  5. Deducem că f(t)≥−38\displaystyle f(t)\ge-\dfrac{3}{8} pentru orice t>0\displaystyle t>0. Pentru orice x\displaystyle x real avem ex>0\displaystyle e^{x}>0, deci putem lua t=ex\displaystyle t=e^{x}.
    ex>0, deci f(ex)≥−38, pentru orice x∈R\displaystyle e^{x}>0\text{, deci }f(e^{x})\ge-\dfrac{3}{8}\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  6. Scriem explicit f(ex)\displaystyle f(e^{x}). Avem (ex)2=e2x\displaystyle (e^{x})^{2}=e^{2x} și ex=ex2\displaystyle \sqrt{e^{x}}=e^{\frac{x}{2}}. Inegalitatea devine 2e2x−ex2≥−38\displaystyle 2e^{2x}-e^{\frac{x}{2}}\ge-\dfrac{3}{8}. Mutăm 38\displaystyle \dfrac{3}{8} în membrul stâng.
    2(ex)2−ex≥−38, deci 2e2x−ex2+38≥0\displaystyle 2(e^{x})^{2}-\sqrt{e^{x}}\ge-\dfrac{3}{8}\text{, deci }2e^{2x}-e^{\frac{x}{2}}+\dfrac{3}{8}\ge0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=arctg⁡x\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}x.

Arătați că ∫01f(tg⁡x) dx=12\displaystyle \int_0^1 f(\operatorname{tg}x)\,dx=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția de integrat: din f(x)=arctg⁡x\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}x rezultă f(tg⁡x)=arctg⁡(tg⁡x)\displaystyle f(\operatorname{tg}x)=\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}x).
    ∫01f(tg⁡x) dx=∫01arctg⁡(tg⁡x) dx\displaystyle \int_0^1 f(\operatorname{tg}x)\,dx=\int_0^1\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}x)\,dx
  2. Pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1] avem x∈(−π2,π2)\displaystyle x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right), pentru că 1<π2\displaystyle 1<\dfrac{\pi}{2}. Pe acest interval arctg⁡(tg⁡x)=x\displaystyle \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}x)=x, deoarece arctg⁡\displaystyle \operatorname{arctg} este inversa restricției tangentei la (−π2,π2)\displaystyle \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). Integrala devine integrala lui x\displaystyle x de la 0\displaystyle 0 la 1\displaystyle 1.
    ∫01arctg⁡(tg⁡x) dx=∫01x dx\displaystyle \int_0^1\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}x)\,dx=\int_0^1 x\,dx
  3. Calculăm integrala cu primitiva x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2} și aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫01x dx=x22∣01=12−0\displaystyle \int_0^1 x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\Big|_0^1=\frac{1}{2}-0
  4. Obținem rezultatul cerut: integrala este 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    ∫01f(tg⁡x) dx=12\displaystyle \int_0^1 f(\operatorname{tg}x)\,dx=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=arctg⁡x\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}x.

Calculați ∫01f(x)x2+1 dx\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{x^2+1}\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Cum f(x)=arctg⁡x\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}x, integrala devine I=∫01arctg⁡xx2+1 dx\displaystyle I=\int_0^1\frac{\operatorname{arctg}x}{x^2+1}\,dx.
    I=∫01arctg⁡xx2+1 dx\displaystyle I=\int_0^1\frac{\operatorname{arctg}x}{x^{2}+1}\,dx
  2. Observăm că 1x2+1=(arctg⁡x)′\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}+1}=(\operatorname{arctg}x)'. Deci, cu g(x)=arctg⁡x\displaystyle g(x)=\operatorname{arctg}x, integrala este de forma ∫01g′(x)g(x) dx\displaystyle \int_0^1 g'(x)g(x)\,dx.
    I=∫01(arctg⁡x)′arctg⁡x dx\displaystyle I=\int_0^1(\operatorname{arctg}x)'\operatorname{arctg}x\,dx
  3. O primitivă a lui g′(x)g(x)\displaystyle g'(x)g(x) este 12g2(x)\displaystyle \dfrac{1}{2}g^{2}(x), deoarece (12g2(x))′=g(x)g′(x)\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}g^{2}(x)\right)'=g(x)g'(x). Aplicăm formula Leibniz-Newton și obținem I=12arctg⁡2x∣01\displaystyle I=\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}^{2}x\Big|_0^1.
    I=12arctg⁡2x∣01\displaystyle I=\frac{1}{2}\operatorname{arctg}^{2}x\Big|_0^1
  4. Calculăm valorile la limite: arctg⁡1=π4\displaystyle \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4} și arctg⁡0=0\displaystyle \operatorname{arctg}0=0. Deci I=12arctg⁡21−12arctg⁡20=12arctg⁡21\displaystyle I=\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}^{2}1-\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}^{2}0=\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}^{2}1.
    I=12arctg⁡21−0=12⋅(π4)2\displaystyle I=\frac{1}{2}\operatorname{arctg}^{2}1-0=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\pi}{4}\right)^{2}
  5. Efectuăm calculul: (π4)2=π216\displaystyle \left(\dfrac{\pi}{4}\right)^{2}=\dfrac{\pi^{2}}{16}, iar 12⋅π216=π232\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi^{2}}{16}=\dfrac{\pi^{2}}{32}.
    I=π232\displaystyle I=\frac{\pi^{2}}{32}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=arctg⁡x\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}x.

Demonstrați că π4−1n+2≤(n+1)∫01xnf(x) dx≤π4−12(n+2)\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{1}{n+2}\le(n+1)\int_0^1x^nf(x)\,dx\le\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2(n+2)}, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că (n+1)xn=(xn+1)′\displaystyle (n+1)x^n=\left(x^{n+1}\right)', deci integrala devine ∫01(xn+1)′arctg⁡x dx\displaystyle \int_0^1\left(x^{n+1}\right)'\operatorname{arctg}x\,dx. Integrăm prin părți.
    (n+1)∫01xnf(x) dx=∫01(xn+1)′arctg⁡x dx\displaystyle (n+1)\int_0^1x^n f(x)\,dx=\int_0^1\left(x^{n+1}\right)'\operatorname{arctg}x\,dx
  2. Aplicăm formula de integrare prin părți, cu (arctg⁡x)′=1x2+1\displaystyle (\operatorname{arctg}x)'=\dfrac{1}{x^2+1}. Termenul tabelar este xn+1arctg⁡x∣01=1⋅arctg⁡1−0=π4\displaystyle x^{n+1}\operatorname{arctg}x\Big|_0^1=1\cdot\operatorname{arctg}1-0=\dfrac{\pi}{4}.
    (n+1)∫01xnf(x) dx=π4−∫01xn+1x2+1 dx\displaystyle (n+1)\int_0^1x^n f(x)\,dx=\frac{\pi}{4}-\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x^2+1}\,dx
  3. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem 0≤x2≤1\displaystyle 0\le x^2\le 1, deci 1≤x2+1≤2\displaystyle 1\le x^2+1\le 2. Prin inversare obținem 12≤1x2+1≤1\displaystyle \dfrac{1}{2}\le\dfrac{1}{x^2+1}\le 1.
    12≤1x2+1≤1\displaystyle \frac{1}{2}\le\frac{1}{x^2+1}\le 1
  4. Cum xn+1≥0\displaystyle x^{n+1}\ge 0 pe [0,1]\displaystyle [0,1], înmulțim cu xn+1\displaystyle x^{n+1} și integrăm pe [0,1]\displaystyle [0,1], păstrând sensul inegalităților.
    12∫01xn+1dx≤∫01xn+1x2+1dx≤∫01xn+1dx\displaystyle \frac{1}{2}\int_0^1x^{n+1}dx\le\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x^2+1}dx\le\int_0^1x^{n+1}dx
  5. Calculăm ∫01xn+1dx=xn+2n+2∣01=1n+2\displaystyle \int_0^1x^{n+1}dx=\dfrac{x^{n+2}}{n+2}\Big|_0^1=\dfrac{1}{n+2}. Deci integrala rămasă este între 12(n+2)\displaystyle \dfrac{1}{2(n+2)} și 1n+2\displaystyle \dfrac{1}{n+2}.
    12(n+2)≤∫01xn+1x2+1dx≤1n+2\displaystyle \frac{1}{2(n+2)}\le\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x^2+1}dx\le\frac{1}{n+2}
  6. Din (n+1)∫01xnf(x) dx=π4−∫01xn+1x2+1dx\displaystyle (n+1)\int_0^1x^nf(x)\,dx=\dfrac{\pi}{4}-\int_0^1\dfrac{x^{n+1}}{x^2+1}dx, scăzând inegalitatea de mai sus din π4\displaystyle \dfrac{\pi}{4} (sensul se inversează) obținem inegalitatea cerută.
    π4−1n+2≤(n+1)∫01xnf(x) dx≤π4−12(n+2)\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{1}{n+2}\le(n+1)\int_0^1x^nf(x)\,dx\le\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2(n+2)}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.