Bac matematică M1 mate-info 2017, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Se consideră numărul complex

\displaystyle z=4-i

. Calculați

\displaystyle z\cdot\overline{z}-z-\overline{z}

, unde

\displaystyle \overline{z}

este conjugatul lui

\displaystyle z

.

Vezi rezolvarea

Scriem conjugatul lui $\displaystyle z$ : dacă $\displaystyle z=4-i$ , atunci $\displaystyle \overline{z}=4+i$ .
$\displaystyle \overline{z}=4+i$
Înlocuim $\displaystyle z$ și $\displaystyle \overline{z}$ în expresia $\displaystyle z\cdot\overline{z}-z-\overline{z}$ .
$\displaystyle (4-i)(4+i)-(4-i)-(4+i)$
Calculăm produsul cu formula diferenței de pătrate: $\displaystyle (4-i)(4+i)=4^{2}-i^{2}$ .
$\displaystyle (4-i)(4+i)=4^{2}-i^{2}$
Calculăm suma $\displaystyle z+\overline{z}$ : părțile imaginare se reduc, deci $\displaystyle (4-i)+(4+i)=8$ .
$\displaystyle (4-i)+(4+i)=8$
Expresia devine $\displaystyle 4^{2}-i^{2}-8$ . Folosim $\displaystyle i^{2}=-1$ și obținem rezultatul final.
$\displaystyle 4^{2}-i^{2}-8=16+1-8=9$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați numărul real

\displaystyle m

, știind că axa

\displaystyle Ox

este tangentă graficului funcției

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-(2m+1)x+m^2-m+2

.

Vezi rezolvarea

Axa $\displaystyle Ox$ este tangentă graficului unei funcții de gradul al doilea exact atunci când ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are o rădăcină dublă, adică $\displaystyle \Delta=0$ . Identificăm coeficienții: $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-(2m+1)$ , $\displaystyle c=m^2-m+2$ .
$\displaystyle a=1$ , $\displaystyle \ b=-(2m+1)$ , $\displaystyle \ c=m^{2}-m+2$
Scriem discriminantul $\displaystyle \Delta=b^2-4ac$ , cu coeficienții de mai sus.
$\displaystyle \Delta=(2m+1)^{2}-4\left(m^{2}-m+2\right)$
Desfacem parantezele: $\displaystyle (2m+1)^2=4m^2+4m+1$ , iar $\displaystyle 4\left(m^2-m+2\right)=4m^2-4m+8$ . Reducem termenii asemenea și obținem $\displaystyle \Delta=8m-7$ .
$\displaystyle \Delta=4m^{2}+4m+1-4m^{2}+4m-8=8m-7$
Punem condiția de tangență, $\displaystyle \Delta=0$ , și rezolvăm ecuația de gradul întâi în $\displaystyle m$ . Obținem $\displaystyle 8m=7$ , deci $\displaystyle m=\dfrac{7}{8}$ .
$\displaystyle 8m-7=0\Leftrightarrow m=\frac{7}{8}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 3\log_x 5+\log_5(5x)=5

.

Vezi rezolvarea

Stabilim condițiile de existență: baza $\displaystyle x$ trebuie să fie pozitivă și diferită de $\displaystyle 1$ , iar argumentul $\displaystyle 5x$ trebuie să fie pozitiv. Deci $\displaystyle x\in(0,1)\cup(1,\infty)$ .
$\displaystyle x\in(0,1)\cup(1,\infty)$
Schimbăm baza primului logaritm în $\displaystyle 5$ : $\displaystyle \log_x 5=\dfrac{1}{\log_5 x}$ . Deci $\displaystyle 3\log_x 5=\dfrac{3}{\log_5 x}$ , cu $\displaystyle \log_5 x\neq 0$ deoarece $\displaystyle x\neq 1$ .
$\displaystyle 3\log_x 5=\dfrac{3}{\log_5 x}$
Desfacem al doilea logaritm: $\displaystyle \log_5(5x)=\log_5 5+\log_5 x=1+\log_5 x$ . Ecuația devine $\displaystyle \dfrac{3}{\log_5 x}+1+\log_5 x=5$ .
$\displaystyle \dfrac{3}{\log_5 x}+1+\log_5 x=5$
Notăm $\displaystyle t=\log_5 x$ , cu $\displaystyle t\neq 0$ . Ecuația este $\displaystyle \dfrac{3}{t}+1+t=5$ . Înmulțim cu $\displaystyle t$ și aducem toți termenii într-o parte: $\displaystyle 3+t+t^{2}=5t$ , deci $\displaystyle t^{2}-4t+3=0$ .
$\displaystyle t^{2}-4t+3=0$
Descompunem trinomul în factori: $\displaystyle t^{2}-4t+3=(t-1)(t-3)$ . Revenind la $\displaystyle t=\log_5 x$ , obținem ecuația de mai jos.
$\displaystyle \left(\log_5 x-1\right)\left(\log_5 x-3\right)=0$
Un produs este zero când un factor este zero. Din $\displaystyle \log_5 x=1$ obținem $\displaystyle x=5$ , iar din $\displaystyle \log_5 x=3$ obținem $\displaystyle x=5^{3}=125$ . Ambele valori sunt pozitive și diferite de $\displaystyle 1$ , deci convin. Verificare: pentru $\displaystyle x=5$ , $\displaystyle 3\cdot 1+2=5$ ; pentru $\displaystyle x=125$ , $\displaystyle 3\cdot\dfrac{1}{3}+4=5$ .
$\displaystyle x=5\text{ sau }x=125\text{, care verifică ecuația}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să fie multiplu de

\displaystyle 11

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$ .
$\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$
Numerele naturale de trei cifre sunt cele de la $\displaystyle 100$ până la $\displaystyle 999$ , deci numărul cazurilor posibile este $\displaystyle 999-100+1$ .
$\displaystyle 999-100+1=900$
Cazurile favorabile sunt multiplii de $\displaystyle 11$ de trei cifre. Cel mai mic este $\displaystyle 110=11\cdot 10$ , iar cel mai mare este $\displaystyle 990=11\cdot 90$ , deoarece $\displaystyle 11\cdot 91=1001$ are patru cifre.
$\displaystyle 110=11\cdot 10$ , $\displaystyle \ 990=11\cdot 90$
Numerele favorabile sunt $\displaystyle 11k$ , cu $\displaystyle k\in\{10,11,\ldots,90\}$ , deci numărul lor este $\displaystyle 90-10+1$ .
$\displaystyle 90-10+1=81$
Înlocuim în formulă: $\displaystyle p=\dfrac{81}{900}$ , apoi simplificăm fracția prin $\displaystyle 9$ .
$\displaystyle p=\dfrac{81}{900}=\dfrac{9}{100}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

, punctul

\displaystyle M

mijlocul laturii

\displaystyle BC

și punctul

\displaystyle N

mijlocul medianei

\displaystyle AM

. Demonstrați că

\displaystyle \overrightarrow{BN}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}

.

Vezi rezolvarea

Deoarece $\displaystyle N$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AM$ , vectorul $\displaystyle \overrightarrow{BN}$ este jumătate din suma vectorilor $\displaystyle \overrightarrow{BA}$ și $\displaystyle \overrightarrow{BM}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BM}\right)$
Deoarece $\displaystyle M$ este mijlocul lui $\displaystyle BC$ , avem $\displaystyle \overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ . Înlocuim și distribuim factorul $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$
Aplicăm relația lui Chasles pentru $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ : mergem de la $\displaystyle B$ la $\displaystyle A$ , apoi de la $\displaystyle A$ la $\displaystyle C$ .
$\displaystyle \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$
Înlocuim $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ în expresia lui $\displaystyle \overrightarrow{BN}$ și grupăm termenii cu $\displaystyle \overrightarrow{BA}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{3}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$
Folosim faptul că $\displaystyle \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ și obținem egalitatea cerută.
$\displaystyle \overrightarrow{BN}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că, dacă

\displaystyle (\sin x+3\cos y)^2+(\cos x-3\sin y)^2=10

și

\displaystyle x,y\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

, atunci

\displaystyle x=y

.

Vezi rezolvarea

Dezvoltăm pătratele din ipoteză: $\displaystyle (\sin x+3\cos y)^2=\sin^2 x+6\sin x\cos y+9\cos^2 y$ și $\displaystyle (\cos x-3\sin y)^2=\cos^2 x-6\cos x\sin y+9\sin^2 y$ .
$\displaystyle \sin^2 x+6\sin x\cos y+9\cos^2 y+\cos^2 x-6\cos x\sin y+9\sin^2 y=10$
Grupăm: $\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1$ și $\displaystyle 9\left(\cos^2 y+\sin^2 y\right)=9$ . Rămâne $\displaystyle 1+9+6\left(\sin x\cos y-\cos x\sin y\right)=10$ .
$\displaystyle 10+6\left(\sin x\cos y-\cos x\sin y\right)=10$
Folosim $\displaystyle \sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$ . Obținem $\displaystyle 10+6\sin(x-y)=10$ , deci $\displaystyle 6\sin(x-y)=0$ .
$\displaystyle \sin(x-y)=0$
Din $\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ și $\displaystyle -y\in\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$ , adunând obținem intervalul lui $\displaystyle x-y$ .
$\displaystyle x-y\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$
În intervalul $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ singurul număr cu sinusul egal cu $\displaystyle 0$ este $\displaystyle 0$ (celelalte soluții $\displaystyle k\pi$ , cu $\displaystyle k\neq 0$ , sunt în afara intervalului). Deci $\displaystyle x-y=0$ , adică $\displaystyle x=y$ .
$\displaystyle x-y=0\text{, adică }x=y$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră determinantul

\displaystyle \Delta(x,y)=\begin{vmatrix}1&1&1\\x+1&y+1&2\\x^2+x&y^2+y&2\end{vmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale.

Arătați că

\displaystyle \Delta(0,2)=-2

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle y=2$ în fiecare element al determinantului. Prima linie rămâne $\displaystyle 1,1,1$ . A doua linie: $\displaystyle x+1=1$ , $\displaystyle y+1=3$ , iar al treilea element este $\displaystyle 2$ . A treia linie: $\displaystyle x^2+x=0^2+0=0$ , $\displaystyle y^2+y=2^2+2=6$ , iar al treilea element este $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \Delta(0,2)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&3&2\\0&6&2\end{vmatrix}$
Calculăm determinantul de ordinul 3 cu regula lui Sarrus. Produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei sunt $\displaystyle 1\cdot 3\cdot 2=6$ , $\displaystyle 1\cdot 2\cdot 0=0$ și $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 6=6$ . Produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei sunt $\displaystyle 1\cdot 3\cdot 0=0$ , $\displaystyle 1\cdot 2\cdot 6=12$ și $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 2=2$ .
$\displaystyle 6+0+6-0-12-2$
Adunăm și scădem termenii: $\displaystyle 6+6+0=12$ , iar $\displaystyle 0+2+12=14$ , deci determinantul este $\displaystyle 12-14=-2$ , adică exact valoarea cerută.
$\displaystyle \Delta(0,2)=6+6+0-0-2-12=-2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră determinantul

\displaystyle \Delta(x,y)=\begin{vmatrix}1&1&1\\x+1&y+1&2\\x^2+x&y^2+y&2\end{vmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale.

Arătați că

\displaystyle \Delta(x,y)=(x-1)(y-1)(y-x)

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Scriem determinantul dat: $\displaystyle \Delta(x,y)=\begin{vmatrix}1&1&1\\x+1&y+1&2\\x^2+x&y^2+y&2\end{vmatrix}$ . Vrem să obținem zerouri pe prima linie, ca să-l putem dezvolta ușor.
$\displaystyle \Delta(x,y)=\begin{vmatrix}1&1&1\\x+1&y+1&2\\x^2+x&y^2+y&2\end{vmatrix}$
Facem operații pe coloane: $\displaystyle C_1\to C_1-C_3$ și $\displaystyle C_2\to C_2-C_3$ . Valoarea determinantului nu se schimbă. Pe prima linie apar zerouri, iar coloana $\displaystyle C_3$ rămâne neschimbată.
$\displaystyle \Delta(x,y)=\begin{vmatrix}0&0&1\\x+1-2&y+1-2&2\\x^2+x-2&y^2+y-2&2\end{vmatrix}$
Simplificăm elementele și descompunem în factori: $\displaystyle x+1-2=x-1$ , iar $\displaystyle x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ . La fel pentru $\displaystyle y$ . Obținem forma din barem.
$\displaystyle \Delta(x,y)=\begin{vmatrix}0&0&1\\x-1&y-1&2\\(x-1)(x+2)&(y-1)(y+2)&2\end{vmatrix}$
Dezvoltăm determinantul după prima linie. Singurul element nenul este $\displaystyle 1$ , aflat pe poziția $\displaystyle (1,3)$ , cu semnul $\displaystyle (-1)^{1+3}=1$ , deci rămâne minorul format din liniile 2 și 3, coloanele 1 și 2.
$\displaystyle \Delta(x,y)=\begin{vmatrix}x-1&y-1\\(x-1)(x+2)&(y-1)(y+2)\end{vmatrix}$
Scoatem factorul comun $\displaystyle x-1$ din prima coloană și $\displaystyle y-1$ din a doua coloană. Apoi calculăm determinantul de ordin 2: $\displaystyle 1\cdot(y+2)-1\cdot(x+2)=y-x$ . Deci $\displaystyle \Delta(x,y)=(x-1)(y-1)(y-x)$ , pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle \Delta(x,y)=(x-1)(y-1)\begin{vmatrix}1&1\\x+2&y+2\end{vmatrix}=(x-1)(y-1)(y-x)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră determinantul

\displaystyle \Delta(x,y)=\begin{vmatrix}1&1&1\\x+1&y+1&2\\x^2+x&y^2+y&2\end{vmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale.

Demonstrați că numărul

\displaystyle \Delta(m,n)

este divizibil cu

\displaystyle 2

, pentru orice numere întregi

\displaystyle m

și

\displaystyle n

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=m$ și $\displaystyle y=n$ în determinant. Observăm că $\displaystyle m^2+m=m(m+1)$ și $\displaystyle n^2+n=n(n+1)$ .
$\displaystyle \Delta(m,n)=\begin{vmatrix}1&1&1\\m+1&n+1&2\\m(m+1)&n(n+1)&2\end{vmatrix}$
Produsul a două numere întregi consecutive este par, pentru că unul dintre ele este par. Deci există $\displaystyle k,l\in\mathbb{Z}$ astfel încât $\displaystyle m(m+1)=2k$ și $\displaystyle n(n+1)=2l$ .
$\displaystyle m(m+1)=2k\text{ și }n(n+1)=2l\text{, cu }k$ , $\displaystyle l\in\mathbb{Z}$
Înlocuim în ultima linie produsele cu $\displaystyle 2k$ , respectiv $\displaystyle 2l$ . Ultima linie devine $\displaystyle (2k,\ 2l,\ 2)$ , deci toate elementele ei au factorul $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \Delta(m,n)=\begin{vmatrix}1&1&1\\m+1&n+1&2\\2k&2l&2\end{vmatrix}$
Scoatem factorul $\displaystyle 2$ din ultima linie. Determinantul rămas are elemente întregi, deci valoarea lui este un număr întreg. Rezultă că $\displaystyle \Delta(m,n)$ este $\displaystyle 2$ ori un număr întreg, adică este divizibil cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \Delta(m,n)=2\begin{vmatrix}1&1&1\\m+1&n+1&2\\k&l&1\end{vmatrix}\text{, deci }\Delta(m,n)\text{ este divizibil cu }2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&0&a-1\\0&1&0\\a-1&0&a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Calculați

\displaystyle A(0)+A(2)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a$ cu $\displaystyle 0$ în matricea $\displaystyle A(a)$ . Elementele $\displaystyle a$ devin $\displaystyle 0$ , iar elementele $\displaystyle a-1$ devin $\displaystyle -1$ .
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}$
Înlocuim $\displaystyle a$ cu $\displaystyle 2$ în matricea $\displaystyle A(a)$ . Elementele $\displaystyle a$ devin $\displaystyle 2$ , iar elementele $\displaystyle a-1$ devin $\displaystyle 1$ . Linia din mijloc rămâne neschimbată.
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ A(2)=\begin{pmatrix}2&0&1\\0&1&0\\1&0&2\end{pmatrix}$
Adunăm cele două matrici element cu element: pe fiecare poziție adunăm elementele corespunzătoare. Pe diagonală obținem $\displaystyle 0+2=2$ , $\displaystyle 1+1=2$ , $\displaystyle 0+2=2$ , iar în afara diagonalei obținem $\displaystyle -1+1=0$ și $\displaystyle 0+0=0$ .
$\displaystyle A(0)+A(2)=\begin{pmatrix}0+2&0+0&-1+1\\0+0&1+1&0+0\\-1+1&0+0&0+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&0&a-1\\0&1&0\\a-1&0&a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle A(a)A(b)=A(2ab-a-b+1)

, pentru orice numere reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricele $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&0&a-1\\0&1&0\\a-1&0&a\end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(b)=\begin{pmatrix}b&0&b-1\\0&1&0\\b-1&0&b\end{pmatrix}$ și le înmulțim, element cu element, linie pe coloană.
$\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix}a&0&a-1\\0&1&0\\a-1&0&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b&0&b-1\\0&1&0\\b-1&0&b\end{pmatrix}$
Elementul de pe linia 1, coloana 1 este $\displaystyle a\cdot b+0\cdot 0+(a-1)(b-1)=ab+ab-a-b+1=2ab-a-b+1$ . Elementul de pe linia 1, coloana 3 este $\displaystyle a(b-1)+0\cdot 0+(a-1)b=ab-a+ab-b=2ab-a-b$ .
$\displaystyle c_{11}=2ab-a-b+1$ , $\displaystyle \quad c_{13}=2ab-a-b$
Elementul de pe linia 3, coloana 1 este $\displaystyle (a-1)b+0\cdot 0+a(b-1)=2ab-a-b$ . Elementul de pe linia 3, coloana 3 este $\displaystyle (a-1)(b-1)+0\cdot 0+ab=2ab-a-b+1$ . Elementul de pe linia 2, coloana 2 este $\displaystyle 0\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot 0=1$ , iar celelalte elemente de pe linia 2 și coloana 2 sunt $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle c_{31}=2ab-a-b$ , $\displaystyle \quad c_{33}=2ab-a-b+1$ , $\displaystyle \quad c_{22}=1$
Punem laolaltă elementele calculate și obținem matricea produs.
$\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix}2ab-a-b+1&0&2ab-a-b\\0&1&0\\2ab-a-b&0&2ab-a-b+1\end{pmatrix}$
Notăm $\displaystyle t=2ab-a-b+1$ . Atunci $\displaystyle 2ab-a-b=t-1$ , deci matricea obținută are forma $\displaystyle \begin{pmatrix}t&0&t-1\\0&1&0\\t-1&0&t\end{pmatrix}$ , adică $\displaystyle A(t)$ . Prin urmare $\displaystyle A(a)A(b)=A(2ab-a-b+1)$ pentru orice $\displaystyle a,b$ reali.
$\displaystyle A(a)A(b)=A(2ab-a-b+1)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&0&a-1\\0&1&0\\a-1&0&a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle A\left(\frac{1}{2}\right)A\left(\frac{3}{2}\right)A\left(\frac{5}{2}\right)\cdot\ldots\cdot A\left(\frac{2017}{2}\right)=A\left(\frac{1}{2}\right)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul a două matrice din familia dată (relația de la punctul b). Elementul din colțul stânga-sus este $\displaystyle ab+(a-1)(b-1)=2ab-a-b+1$ , iar cel din colțul dreapta-sus este $\displaystyle a(b-1)+(a-1)b=2ab-a-b$ . Elementul din mijloc rămâne $\displaystyle 1$ , iar celelalte elemente sunt $\displaystyle 0$ . Obținem $\displaystyle A(a)A(b)=A(2ab-a-b+1)$ .
$\displaystyle A(a)A(b)=A(2ab-a-b+1)$
Luăm $\displaystyle a=\dfrac{1}{2}$ în relație și îl lăsăm pe $\displaystyle b$ oarecare. Termenii cu $\displaystyle b$ se reduc: $\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot b-\dfrac{1}{2}-b+1=\dfrac{1}{2}$ . Deci $\displaystyle A\left(\dfrac{1}{2}\right)A(b)=A\left(\dfrac{1}{2}\right)$ pentru orice $\displaystyle b$ real.
$\displaystyle A\left(\frac{1}{2}\right)A(b)=A\left(2\cdot\frac{1}{2}\cdot b-\frac{1}{2}-b+1\right)=A\left(\frac{1}{2}\right)$
Grupăm factorii de la stânga la dreapta. Primii doi factori dau $\displaystyle A\left(\dfrac{1}{2}\right)A\left(\dfrac{3}{2}\right)=A\left(\dfrac{1}{2}\right)$ . Înmulțind rezultatul cu $\displaystyle A\left(\dfrac{5}{2}\right)$ , obținem din nou $\displaystyle A\left(\dfrac{1}{2}\right)$ . Repetăm raționamentul pentru fiecare factor următor, până la $\displaystyle A\left(\dfrac{2017}{2}\right)$ , iar de fiecare dată în stânga rămâne $\displaystyle A\left(\dfrac{1}{2}\right)$ .
$\displaystyle A\left(\frac{1}{2}\right)A\left(\frac{3}{2}\right)A\left(\frac{5}{2}\right)=A\left(\frac{1}{2}\right)A\left(\frac{5}{2}\right)=A\left(\frac{1}{2}\right)$
După ce am absorbit toți factorii până la penultimul, produsul devine $\displaystyle A\left(\dfrac{1}{2}\right)A\left(\dfrac{2017}{2}\right)$ . Aplicând încă o dată relația din pasul 2, cu $\displaystyle b=\dfrac{2017}{2}$ , obținem $\displaystyle A\left(\dfrac{1}{2}\right)$ . Deci produsul cerut este egal cu $\displaystyle A\left(\dfrac{1}{2}\right)$ .
$\displaystyle A\left(\frac{1}{2}\right)A\left(\frac{3}{2}\right)\cdot\ldots\cdot A\left(\frac{2017}{2}\right)=A\left(\frac{1}{2}\right)A\left(\frac{2017}{2}\right)=A\left(\frac{1}{2}\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{3x^2+3x+1}{x^3(x+1)^3}

.

Arătați că

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^3}-\frac{1}{(x+1)^3}

, pentru orice

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Dezvoltăm $\displaystyle (x+1)^{3}$ cu formula cubului sumei: $\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ , cu $\displaystyle a=x$ și $\displaystyle b=1$ .
$\displaystyle (x+1)^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1$
Din dezvoltarea de mai sus rezultă că $\displaystyle 3x^{2}+3x+1=(x^{3}+3x^{2}+3x+1)-x^{3}$ , deci numărătorul este diferența dintre $\displaystyle (x+1)^{3}$ și $\displaystyle x^{3}$ .
$\displaystyle 3x^{2}+3x+1=(x+1)^{3}-x^{3}$
Înlocuim numărătorul în expresia lui $\displaystyle f(x)$ .
$\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}+3x^{2}+3x+1-x^{3}}{x^{3}(x+1)^{3}}=\frac{(x+1)^{3}-x^{3}}{x^{3}(x+1)^{3}}$
Separăm fracția în două fracții care au același numitor $\displaystyle x^{3}(x+1)^{3}$ .
$\displaystyle f(x)=\frac{(x+1)^{3}}{x^{3}(x+1)^{3}}-\frac{x^{3}}{x^{3}(x+1)^{3}}$
Simplificăm prima fracție cu $\displaystyle (x+1)^{3}$ și a doua cu $\displaystyle x^{3}$ , ambele nenule pentru $\displaystyle x>0$ . Obținem egalitatea cerută, pentru orice $\displaystyle x\in(0,+\infty)$ .
$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{3}}-\frac{1}{(x+1)^{3}}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{3x^2+3x+1}{x^3(x+1)^3}

.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Asimptota orizontală spre $\displaystyle +\infty$ are ecuația $\displaystyle y=L$ , unde $\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}f(x)$ , dacă această limită există și este finită. Calculăm deci această limită pentru $\displaystyle f(x)=\dfrac{3x^{2}+3x+1}{x^{3}(x+1)^{3}}$ .
$\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^{2}+3x+1}{x^{3}(x+1)^{3}}$
Observăm că $\displaystyle (x+1)^{3}-x^{3}=3x^{2}+3x+1$ . Atunci $\displaystyle \dfrac{1}{x^{3}}-\dfrac{1}{(x+1)^{3}}=\dfrac{(x+1)^{3}-x^{3}}{x^{3}(x+1)^{3}}=\dfrac{3x^{2}+3x+1}{x^{3}(x+1)^{3}}$ , deci funcția se scrie ca o diferență de două fracții.
$\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^{3}}-\dfrac{1}{(x+1)^{3}}$
Când $\displaystyle x\to+\infty$ , avem $\displaystyle x^{3}\to+\infty$ și $\displaystyle (x+1)^{3}\to+\infty$ , deci $\displaystyle \dfrac{1}{x^{3}}\to 0$ și $\displaystyle \dfrac{1}{(x+1)^{3}}\to 0$ . Rezultă că limita diferenței este $\displaystyle 0-0=0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{1}{x^{3}}-\dfrac{1}{(x+1)^{3}}\right)=0$
Limita la $\displaystyle +\infty$ este finită și egală cu $\displaystyle 0$ , deci graficul funcției $\displaystyle f$ admite asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ dreapta de ecuație $\displaystyle y=0$ .
$\displaystyle y=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{3x^2+3x+1}{x^3(x+1)^3}

.

Calculați

\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(n)\right)^{2n^3}

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle (x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1$ . Atunci $\displaystyle f(x)=\dfrac{(x+1)^3-x^3}{x^3(x+1)^3}$ , adică funcția se descompune ca diferență de două fracții.
$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{3}}-\frac{1}{(x+1)^{3}}$
Scriem $\displaystyle S_n=f(1)+f(2)+\ldots+f(n)$ cu formula găsită. Termenii se reduc doi câte doi, deci rămân doar primul și ultimul.
$\displaystyle S_n=\frac{1}{1^{3}}-\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{3}}-\frac{1}{3^{3}}+\ldots+\frac{1}{n^{3}}-\frac{1}{(n+1)^{3}}=1-\frac{1}{(n+1)^{3}}$
Când $\displaystyle n\to+\infty$ , $\displaystyle \dfrac{1}{(n+1)^3}\to 0$ , deci suma tinde la 1. Limita cerută are forma $\displaystyle 1^{\infty}$ , pe care o rezolvăm cu limita remarcabilă cu numărul $\displaystyle e$ .
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}S_n=1$
Alegem $\displaystyle u_n=\dfrac{-1}{(n+1)^3}\to 0$ , deci baza este $\displaystyle 1+u_n$ . Scriem exponentul $\displaystyle 2n^3=\dfrac{(n+1)^3}{-1}\cdot\dfrac{-2n^3}{(n+1)^3}$ , pentru a obține forma $\displaystyle (1+u_n)^{1/u_n}$ .
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\left(1+\frac{-1}{(n+1)^3}\right)^{\frac{(n+1)^3}{-1}}\right)^{\frac{-2n^3}{(n+1)^3}}$
Expresia dintre parantezele mari tinde la $\displaystyle e$ , conform limitei remarcabile. Limita exponentului: $\displaystyle \dfrac{-2n^3}{(n+1)^3}$ are numărătorul și numitorul de același grad, deci limita este raportul coeficienților dominanți, $\displaystyle \dfrac{-2}{1}=-2$ .
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{-2n^{3}}{(n+1)^{3}}=-2$
Înlocuim: limita este $\displaystyle e^{-2}$ , adică $\displaystyle \dfrac{1}{e^2}$ .
$\displaystyle e^{\lim_{n\to+\infty}\frac{-2n^{3}}{(n+1)^{3}}}=e^{-2}=\frac{1}{e^{2}}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^3+3x^2-x+a,&x\le 0\\\frac{e^{4x}-1}{e^{3x}-1},&x>0\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x^3}

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle x\to-\infty$ avem $\displaystyle x<0$ , deci se folosește prima formulă, $\displaystyle f(x)=x^3+3x^2-x+a$ . Limita cerută devine astfel o limită de raport de polinoame.
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x^3}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3+3x^2-x+a}{x^3}$
Scoatem factorul dominant $\displaystyle x^3$ de la numărător, împărțind fiecare termen la $\displaystyle x^3$ : $\displaystyle 3x^2=x^3\cdot\dfrac{3}{x}$ , $\displaystyle -x=x^3\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)$ , $\displaystyle a=x^3\cdot\dfrac{a}{x^3}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{x^3\left(1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{a}{x^3}\right)}{x^3}$
Simplificăm fracția prin $\displaystyle x^3\neq 0$ . Rămâne limita unei sume de termeni simpli.
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{a}{x^3}\right)$
Pentru $\displaystyle x\to-\infty$ avem $\displaystyle \dfrac{3}{x}\to 0$ , $\displaystyle \dfrac{1}{x^2}\to 0$ și $\displaystyle \dfrac{a}{x^3}\to 0$ , deoarece $\displaystyle a$ este constant. Rămâne doar termenul $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle 1+0-0+0=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^3+3x^2-x+a,&x\le 0\\\frac{e^{4x}-1}{e^{3x}-1},&x>0\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care funcția

\displaystyle f

este continuă în punctul

\displaystyle x=0

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=0$ dacă limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în $\displaystyle 0$ sunt egale.
$\displaystyle \lim_{x\to0,\,x<0}f(x)=\lim_{x\to0,\,x>0}f(x)=f(0)$
Pentru $\displaystyle x\le0$ , $\displaystyle f$ este polinom, deci limita la stânga în $\displaystyle 0$ se obține prin înlocuire și coincide cu $\displaystyle f(0)$ .
$\displaystyle \lim_{x\to0,\,x<0}f(x)=0^3+3\cdot0^2-0+a=a$ , $\displaystyle \quad f(0)=a$
Pentru $\displaystyle x>0$ , limita la dreapta are forma $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ . Descompunem numărătorul cu diferența de pătrate și numitorul cu diferența de cuburi: $\displaystyle e^{4x}-1=\left(e^{2x}-1\right)\left(e^{2x}+1\right)$ și $\displaystyle e^{3x}-1=\left(e^{x}-1\right)\left(e^{2x}+e^{x}+1\right)$ .
$\displaystyle \frac{e^{4x}-1}{e^{3x}-1}=\frac{\left(e^{2x}-1\right)\left(e^{2x}+1\right)}{\left(e^{x}-1\right)\left(e^{2x}+e^{x}+1\right)}$
Descompunem și $\displaystyle e^{2x}-1=\left(e^{x}-1\right)\left(e^{x}+1\right)$ , apoi simplificăm factorul $\displaystyle e^{x}-1$ , care este nenul pentru $\displaystyle x>0$ .
$\displaystyle \frac{\left(e^{x}+1\right)\left(e^{2x}+1\right)}{e^{2x}+e^{x}+1}$
Calculăm limita la dreapta înlocuind $\displaystyle x=0$ în expresia simplificată: numărătorul tinde la $\displaystyle 2\cdot2=4$ , iar numitorul la $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle \lim_{x\to0,\,x>0}f(x)=\frac{(1+1)(1+1)}{1+1+1}=\frac{4}{3}$
Egalăm limita la stânga, limita la dreapta și $\displaystyle f(0)$ : $\displaystyle a=\dfrac{4}{3}$ .
$\displaystyle a=\frac{4}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^3+3x^2-x+a,&x\le 0\\\frac{e^{4x}-1}{e^{3x}-1},&x>0\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Demonstrați că, dacă

\displaystyle a\in(-6,-3)

, atunci ecuația

\displaystyle f(x)=0

are cel puțin două soluții reale distincte în intervalul

\displaystyle (-3,-1)

.

Vezi rezolvarea

Pe intervalul $\displaystyle (-3,-1)$ avem $\displaystyle x\le 0$ , deci $\displaystyle f(x)=x^{3}+3x^{2}-x+a$ . Această funcție este polinomială, deci continuă pe $\displaystyle [-3,-1]$ .
$\displaystyle f(x)=x^{3}+3x^{2}-x+a\text{, continuă pe }[-3,-1]$
Calculăm $\displaystyle f(-3)$ : $\displaystyle (-3)^{3}=-27$ , $\displaystyle 3\cdot(-3)^{2}=27$ , iar $\displaystyle -(-3)=3$ .
$\displaystyle f(-3)=-27+27+3+a=3+a$
Calculăm $\displaystyle f(-2)$ : $\displaystyle (-2)^{3}=-8$ , $\displaystyle 3\cdot(-2)^{2}=12$ , iar $\displaystyle -(-2)=2$ .
$\displaystyle f(-2)=-8+12+2+a=6+a$
Calculăm $\displaystyle f(-1)$ : $\displaystyle (-1)^{3}=-1$ , $\displaystyle 3\cdot(-1)^{2}=3$ , iar $\displaystyle -(-1)=1$ .
$\displaystyle f(-1)=-1+3+1+a=3+a$
Din $\displaystyle a\in(-6,-3)$ rezultă $\displaystyle 3+a<0$ (pentru că $\displaystyle a<-3$ ) și $\displaystyle 6+a>0$ (pentru că $\displaystyle a>-6$ ). Deci $\displaystyle f(-3)$ și $\displaystyle f(-1)$ sunt negative, iar $\displaystyle f(-2)$ este pozitivă.
$\displaystyle f(-3)=3+a<0$ , $\displaystyle \ f(-1)=3+a<0\text{ și }f(-2)=6+a>0$
Pe intervalul $\displaystyle [-3,-2]$ , $\displaystyle f$ este continuă și $\displaystyle f(-3)\cdot f(-2)<0$ . Conform proprietății lui Darboux, există cel puțin o soluție a ecuației $\displaystyle f(x)=0$ în $\displaystyle (-3,-2)$ . La fel, pe $\displaystyle [-2,-1]$ , $\displaystyle f$ este continuă și $\displaystyle f(-2)\cdot f(-1)<0$ , deci există cel puțin o soluție în $\displaystyle (-2,-1)$ .
$\displaystyle \exists\, x_1\in(-3,-2)$ , $\displaystyle \ f(x_1)=0\text{ și }\exists\, x_2\in(-2,-1)$ , $\displaystyle \ f(x_2)=0$
Intervalele $\displaystyle (-3,-2)$ și $\displaystyle (-2,-1)$ sunt disjuncte și conținute în $\displaystyle (-3,-1)$ , deci soluțiile sunt distincte. Ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are cel puțin două soluții reale distincte în $\displaystyle (-3,-1)$ .
$\displaystyle \text{ecuația }f(x)=0\text{ are cel puțin o soluție }$ $\displaystyle \text{în }(-3,-2)\text{ și cel puțin o soluție în }(-2,-1)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2017, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani