Bac matematică M1 mate-info 2015, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați partea reală a numărului complex z=3+2i2−3i\displaystyle z=\frac{3+2i}{2-3i}.
Vezi rezolvarea
  1. Conjugatul numitorului 2−3i\displaystyle 2-3i este 2+3i\displaystyle 2+3i. Amplificăm fracția cu acest număr, ca numitorul să devină real: z=(3+2i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)\displaystyle z=\dfrac{(3+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}.
    z=(3+2i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)\displaystyle z=\dfrac{(3+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}
  2. Calculăm numitorul cu formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} și i2=−1\displaystyle i^{2}=-1: (2−3i)(2+3i)=4−9i2=4+9=13\displaystyle (2-3i)(2+3i)=4-9i^{2}=4+9=13.
    (2−3i)(2+3i)=4+9=13\displaystyle (2-3i)(2+3i)=4+9=13
  3. Calculăm numărătorul: (3+2i)(2+3i)=6+9i+4i+6i2=6+13i−6=13i\displaystyle (3+2i)(2+3i)=6+9i+4i+6i^{2}=6+13i-6=13i.
    (3+2i)(2+3i)=13i\displaystyle (3+2i)(2+3i)=13i
  4. Împărțim numărătorul la numitor: z=13i13=i\displaystyle z=\dfrac{13i}{13}=i.
    z=13i13=i\displaystyle z=\dfrac{13i}{13}=i
  5. Numărul z=i\displaystyle z=i se scrie 0+1⋅i\displaystyle 0+1\cdot i, deci partea reală este 0\displaystyle 0.
    Re⁡(z)=0\displaystyle \operatorname{Re}(z)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x−a\displaystyle f(x)=x^2+x-a are graficul tangent axei Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Graficul funcției de gradul al doilea este tangent axei Ox\displaystyle Ox atunci când ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are o singură soluție reală (dublă), adică discriminantul este egal cu zero: Δ=0\displaystyle \Delta=0.
    Δ=0\displaystyle \Delta=0
  2. Identificăm coeficienții din f(x)=x2+x−a\displaystyle f(x)=x^2+x-a: coeficientul lui x2\displaystyle x^2 este 1\displaystyle 1, coeficientul lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar termenul liber este −a\displaystyle -a.
    A=1\displaystyle A=1, B=1\displaystyle \ B=1, C=−a\displaystyle \ C=-a
  3. Calculăm discriminantul cu formula Δ=B2−4AC\displaystyle \Delta=B^2-4AC: Δ=12−4⋅1⋅(−a)\displaystyle \Delta=1^2-4\cdot 1\cdot(-a).
    Δ=1+4a\displaystyle \Delta=1+4a
  4. Punem condiția de tangență: 1+4a=0\displaystyle 1+4a=0, deci 4a=−1\displaystyle 4a=-1.
    1+4a=0⇔4a=−1\displaystyle 1+4a=0\Leftrightarrow 4a=-1
  5. Împărțim la 4\displaystyle 4 și obținem valoarea lui a\displaystyle a.
    a=−14\displaystyle a=-\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 22x+3⋅4x−16=0\displaystyle 2^{2x}+3\cdot 4^x-16=0.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 22x=(22)x=4x\displaystyle 2^{2x}=(2^{2})^{x}=4^{x}, deoarece 4=22\displaystyle 4=2^{2}.
    22x=4x\displaystyle 2^{2x}=4^{x}
  2. Înlocuim în ecuație: 4x+3⋅4x−16=0\displaystyle 4^{x}+3\cdot 4^{x}-16=0.
    4x+3⋅4x−16=0\displaystyle 4^{x}+3\cdot 4^{x}-16=0
  3. Reducem termenii asemenea: 4x+3⋅4x=4⋅4x\displaystyle 4^{x}+3\cdot 4^{x}=4\cdot 4^{x}. Mutăm 16\displaystyle 16 în membrul drept și obținem 4⋅4x=16\displaystyle 4\cdot 4^{x}=16.
    4⋅4x=16\displaystyle 4\cdot 4^{x}=16
  4. Împărțim ambii membri la 4\displaystyle 4 și obținem 4x=4=41\displaystyle 4^{x}=4=4^{1}.
    4x=41\displaystyle 4^{x}=4^{1}
  5. Funcția exponențială de bază 4\displaystyle 4 este injectivă, deci exponenții sunt egali. Soluția ecuației este x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând una dintre submulțimile cu două elemente ale mulțimii A={1,2,3,4,5,6,7}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7\}, aceasta să aibă un singur element număr par.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea A\displaystyle A are 7 elemente: 3 pare (2,4,6\displaystyle 2,4,6) și 4 impare (1,3,5,7\displaystyle 1,3,5,7). Probabilitatea se calculează ca raport între numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    {2,4,6} pare\displaystyle \{2,4,6\}\text{ pare}, {1,3,5,7} impare\displaystyle \ \{1,3,5,7\}\text{ impare}
  2. O submulțime favorabilă are exact un element par și unul impar. Alegem elementul par în C31\displaystyle C_3^1 moduri și elementul impar în C41\displaystyle C_4^1 moduri, deci numărul cazurilor favorabile este C31⋅C41=3⋅4=12\displaystyle C_3^1\cdot C_4^1=3\cdot 4=12.
    C31⋅C41=3⋅4=12\displaystyle C_3^1\cdot C_4^1=3\cdot 4=12
  3. Numărul cazurilor posibile este numărul submulțimilor cu două elemente ale unei mulțimi cu 7 elemente: C72=7⋅62=21\displaystyle C_7^2=\dfrac{7\cdot 6}{2}=21.
    C72=7⋅62=21\displaystyle C_7^2=\dfrac{7\cdot 6}{2}=21
  4. Aplicăm definiția clasică a probabilității: p=1221\displaystyle p=\dfrac{12}{21}. Simplificăm fracția prin 3 și obținem p=47\displaystyle p=\dfrac{4}{7}.
    p=1221=47\displaystyle p=\dfrac{12}{21}=\dfrac{4}{7}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(2,3)\displaystyle M(2,3) și N(4,1)\displaystyle N(4,1). Determinați ecuația mediatoarei segmentului MN\displaystyle MN.
Vezi rezolvarea
  1. Mediatoarea segmentului MN\displaystyle MN trece prin mijlocul P\displaystyle P al segmentului și este perpendiculară pe MN\displaystyle MN. Calculăm mijlocul: xP=xM+xN2=2+42=3\displaystyle x_P=\dfrac{x_M+x_N}{2}=\dfrac{2+4}{2}=3 și yP=yM+yN2=3+12=2\displaystyle y_P=\dfrac{y_M+y_N}{2}=\dfrac{3+1}{2}=2.
    P(3,2)\displaystyle P(3,2)
  2. Calculăm panta dreptei MN\displaystyle MN: mMN=yN−yMxN−xM=1−34−2=−22\displaystyle m_{MN}=\dfrac{y_N-y_M}{x_N-x_M}=\dfrac{1-3}{4-2}=\dfrac{-2}{2}.
    mMN=−1\displaystyle m_{MN}=-1
  3. Mediatoarea d\displaystyle d este perpendiculară pe MN\displaystyle MN, deci mMN⋅md=−1\displaystyle m_{MN}\cdot m_d=-1, adică −1⋅md=−1\displaystyle -1\cdot m_d=-1.
    mMN=−1⇒md=1\displaystyle m_{MN}=-1\Rightarrow m_d=1
  4. Scriem ecuația dreptei prin P(3,2)\displaystyle P(3,2) cu panta md=1\displaystyle m_d=1: y−yP=md(x−xP)\displaystyle y-y_P=m_d(x-x_P), adică y−2=1⋅(x−3)\displaystyle y-2=1\cdot(x-3), deci y=x−3+2\displaystyle y=x-3+2.
    y=x−1\displaystyle y=x-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că (sin⁡x+sin⁡(π−x))2+(cos⁡x+cos⁡(2π−x))2=4\displaystyle (\sin x+\sin(\pi-x))^2+(\cos x+\cos(2\pi-x))^2=4, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Reducem unghiul din primul sinus: sin⁡(π−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(\pi-x)=\sin x, pentru că unghiurile x\displaystyle x și π−x\displaystyle \pi-x sunt suplementare.
    sin⁡(π−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(\pi-x)=\sin x
  2. Reducem unghiul din cosinus: cos⁡(2π−x)=cos⁡(−x)=cos⁡x\displaystyle \cos(2\pi-x)=\cos(-x)=\cos x, pentru că funcția cosinus este periodică de perioadă 2π\displaystyle 2\pi și pară.
    cos⁡(2π−x)=cos⁡x\displaystyle \cos(2\pi-x)=\cos x
  3. Înlocuim în expresie: în fiecare paranteză apar doi termeni egali, deci sin⁡x+sin⁡(π−x)=2sin⁡x\displaystyle \sin x+\sin(\pi-x)=2\sin x și cos⁡x+cos⁡(2π−x)=2cos⁡x\displaystyle \cos x+\cos(2\pi-x)=2\cos x.
    (2sin⁡x)2+(2cos⁡x)2\displaystyle (2\sin x)^2+(2\cos x)^2
  4. Ridicăm la pătrat și dăm factor comun pe 4\displaystyle 4. Apoi aplicăm formula fundamentală a trigonometriei: sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1. Rezultă că expresia este egală cu 4\displaystyle 4 pentru orice număr real x\displaystyle x.
    4sin⁡2x+4cos⁡2x=4(sin⁡2x+cos⁡2x)=4⋅1=4\displaystyle 4\sin^2 x+4\cos^2 x=4(\sin^2 x+\cos^2 x)=4\cdot 1=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(00−1x000−10)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}0&0&-1\\x&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(1)+A(−1)=2A(0)\displaystyle A(1)+A(-1)=2A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(00−11000−10)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}
  2. Înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 în A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(−1)\displaystyle A(-1).
    A(−1)=(00−1−1000−10)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricele element cu element. Pe poziția (2,1)\displaystyle (2,1) avem 1+(−1)=0\displaystyle 1+(-1)=0, iar pe pozițiile (1,3)\displaystyle (1,3) și (3,2)\displaystyle (3,2) avem −1+(−1)=−2\displaystyle -1+(-1)=-2.
    A(1)+A(−1)=(00−20000−20)\displaystyle A(1)+A(-1)=\begin{pmatrix}0&0&-2\\0&0&0\\0&-2&0\end{pmatrix}
  4. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(00−10000−10)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}
  5. Calculăm 2A(0)\displaystyle 2A(0), înmulțind fiecare element cu 2\displaystyle 2. Se obține chiar matricea de la suma A(1)+A(−1)\displaystyle A(1)+A(-1), deci A(1)+A(−1)=2A(0)\displaystyle A(1)+A(-1)=2A(0).
    A(1)+A(−1)=2(00−10000−10)=2A(0)\displaystyle A(1)+A(-1)=2\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}=2A(0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(00−1x000−10)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}0&0&-1\\x&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația det⁡(A(x)+I3)=0\displaystyle \det(A(x)+I_3)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm I3\displaystyle I_3 la A(x)\displaystyle A(x), adică adăugăm 1\displaystyle 1 pe fiecare element al diagonalei principale. Obținem matricea A(x)+I3\displaystyle A(x)+I_3 de mai jos.
    A(x)+I3=(10−1x100−11)\displaystyle A(x)+I_3=\begin{pmatrix}1&0&-1\\x&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul prin regula triunghiului. Produsul elementelor de pe diagonala principală este 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1, iar singurul alt produs nenul este (−1)⋅x⋅(−1)=x\displaystyle (-1)\cdot x\cdot(-1)=x. Ceilalți termeni conțin un element nul, deci sunt 0\displaystyle 0.
    det⁡(A(x)+I3)=∣10−1x100−11∣=1+x\displaystyle \det(A(x)+I_3)=\begin{vmatrix}1&0&-1\\x&1&0\\0&-1&1\end{vmatrix}=1+x
  3. Egalăm determinantul cu zero: 1+x=0\displaystyle 1+x=0. Este o ecuație de gradul întâi, cu soluția x=−1\displaystyle x=-1.
    1+x=0⇔x=−1\displaystyle 1+x=0\Leftrightarrow x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(00−1x000−10)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}0&0&-1\\x&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(aI3−bA(−1)+cA(−1)⋅A(−1))≥0\displaystyle \det(aI_3-bA(-1)+cA(-1)\cdot A(-1))\ge 0, pentru orice numere reale pozitive a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 în matricea dată și obținem matricea A(−1)\displaystyle A(-1).
    A(−1)=(00−1−1000−10)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm A(−1)⋅A(−1)\displaystyle A(-1)\cdot A(-1), înmulțind fiecare linie cu coloanele matricei A(−1)\displaystyle A(-1). Prima linie dă (0,1,0)\displaystyle (0,1,0), a doua dă (0,0,1)\displaystyle (0,0,1), a treia dă (1,0,0)\displaystyle (1,0,0).
    A(−1)⋅A(−1)=(010001100)\displaystyle A(-1)\cdot A(-1)=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}
  3. Avem aI3=(a000a000a)\displaystyle aI_3=\begin{pmatrix}a&0&0\\0&a&0\\0&0&a\end{pmatrix}, −bA(−1)=(00bb000b0)\displaystyle -bA(-1)=\begin{pmatrix}0&0&b\\b&0&0\\0&b&0\end{pmatrix} și cA(−1)⋅A(−1)=(0c000cc00)\displaystyle cA(-1)\cdot A(-1)=\begin{pmatrix}0&c&0\\0&0&c\\c&0&0\end{pmatrix}. Adunând element cu element, obținem matricea de mai jos.
    aI3−bA(−1)+cA(−1)⋅A(−1)=(acbbaccba)\displaystyle aI_3-bA(-1)+cA(-1)\cdot A(-1)=\begin{pmatrix}a&c&b\\b&a&c\\c&b&a\end{pmatrix}
  4. Dezvoltăm determinantul după prima linie: a(a2−bc)−c(ab−c2)+b(b2−ac)\displaystyle a(a^2-bc)-c(ab-c^2)+b(b^2-ac). Efectuăm calculele și reducem termenii.
    ∣acbbaccba∣=a3+b3+c3−3abc\displaystyle \begin{vmatrix}a&c&b\\b&a&c\\c&b&a\end{vmatrix}=a^3+b^3+c^3-3abc
  5. Folosim identitatea a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)\displaystyle a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).
    det⁡(…)=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)\displaystyle \det(\ldots)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
  6. Observăm că a2+b2+c2−ab−bc−ca=12((a−b)2+(b−c)2+(c−a)2)\displaystyle a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\dfrac{1}{2}\left((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right), deoarece dezvoltând pătratele obținem 2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca\displaystyle 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca. Cum a,b,c>0\displaystyle a,b,c>0, avem a+b+c>0\displaystyle a+b+c>0, iar suma de pătrate este ≥0\displaystyle \ge 0. Deci produsul este ≥0\displaystyle \ge 0.
    det⁡(…)=12(a+b+c)((a−b)2+(b−c)2+(c−a)2)≥0\displaystyle \det(\ldots)=\frac{1}{2}(a+b+c)\left((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right)\ge 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∗y=xy−5x−5y+30\displaystyle x*y=xy-5x-5y+30.

Arătați că x∗y=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=(x-5)(y-5)+5, pentru orice numere întregi x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, pentru orice numere întregi x\displaystyle x și y\displaystyle y: x∗y=xy−5x−5y+30\displaystyle x*y=xy-5x-5y+30.
    x∗y=xy−5x−5y+30\displaystyle x*y=xy-5x-5y+30
  2. Descompunem termenul liber 30\displaystyle 30 ca 25+5\displaystyle 25+5, pentru a pregăti o grupare care să conțină produsul (x−5)(y−5)\displaystyle (x-5)(y-5).
    x∗y=xy−5x−5y+25+5\displaystyle x*y=xy-5x-5y+25+5
  3. Grupăm primii doi termeni și dăm factor comun pe x\displaystyle x: xy−5x=x(y−5)\displaystyle xy-5x=x(y-5). Grupăm apoi −5y+25\displaystyle -5y+25 și dăm factor comun −5\displaystyle -5: −5y+25=−5(y−5)\displaystyle -5y+25=-5(y-5).
    x∗y=x(y−5)−5(y−5)+5\displaystyle x*y=x(y-5)-5(y-5)+5
  4. Dăm factor comun pe y−5\displaystyle y-5 și obținem forma cerută, valabilă pentru orice x,y∈Z\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}.
    x∗y=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=(x-5)(y-5)+5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∗y=xy−5x−5y+30\displaystyle x*y=xy-5x-5y+30.

Determinați elementele simetrizabile în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se scrie sub formă factorizată: x∗y=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=(x-5)(y-5)+5. Într-adevăr, (x−5)(y−5)+5=xy−5x−5y+25+5=xy−5x−5y+30\displaystyle (x-5)(y-5)+5=xy-5x-5y+25+5=xy-5x-5y+30.
    x∗y=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=(x-5)(y-5)+5
  2. Elementul neutru e\displaystyle e satisface x∗e=x\displaystyle x*e=x pentru orice x\displaystyle x. Folosind forma factorizată, (x−5)(e−5)+5=x\displaystyle (x-5)(e-5)+5=x, deci (x−5)(e−5)=x−5\displaystyle (x-5)(e-5)=x-5 pentru orice x\displaystyle x întreg. Pentru x≠5\displaystyle x\neq 5 rezultă e−5=1\displaystyle e-5=1, deci e=6\displaystyle e=6. Verificăm: x∗6=6x−5x−30+30=x\displaystyle x*6=6x-5x-30+30=x, iar legea este comutativă, deci 6∗x=x\displaystyle 6*x=x.
    e=6\displaystyle e=6
  3. Un element x\displaystyle x este simetrizabil dacă există x′∈Z\displaystyle x'\in\mathbb{Z} cu x∗x′=x′∗x=6\displaystyle x*x'=x'*x=6. Legea fiind comutativă, este suficient să rezolvăm x∗x′=6\displaystyle x*x'=6, adică (x−5)(x′−5)+5=6\displaystyle (x-5)(x'-5)+5=6.
    (x−5)(x′−5)=1\displaystyle (x-5)(x'-5)=1
  4. Pentru x≠5\displaystyle x\neq 5 exprimăm simetricul: x′−5=1x−5\displaystyle x'-5=\dfrac{1}{x-5}, deci x′=5+1x−5\displaystyle x'=5+\dfrac{1}{x-5}. Pentru x=5\displaystyle x=5 ecuația devine 0=1\displaystyle 0=1, imposibil, deci 5\displaystyle 5 nu este simetrizabil.
    x′=5+1x−5\displaystyle x'=5+\frac{1}{x-5}
  5. Cerem ca x′\displaystyle x' să fie număr întreg. Cum x\displaystyle x este întreg, 1x−5\displaystyle \dfrac{1}{x-5} este întreg doar dacă x−5\displaystyle x-5 divide 1\displaystyle 1, adică x−5∈{−1,1}\displaystyle x-5\in\{-1,1\}.
    x−5∈{−1,1}\displaystyle x-5\in\{-1,1\}
  6. Din x−5=−1\displaystyle x-5=-1 obținem x=4\displaystyle x=4, iar din x−5=1\displaystyle x-5=1 obținem x=6\displaystyle x=6. Verificare: simetricul lui 4\displaystyle 4 este 5−1=4\displaystyle 5-1=4 (căci 4∗4=1+5=6\displaystyle 4*4=1+5=6), iar simetricul lui 6\displaystyle 6 este 5+1=6\displaystyle 5+1=6 (căci 6∗6=1+5=6\displaystyle 6*6=1+5=6). Deci elementele simetrizabile sunt 4\displaystyle 4 și 6\displaystyle 6.
    x=4 sau x=6\displaystyle x=4\text{ sau }x=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∗y=xy−5x−5y+30\displaystyle x*y=xy-5x-5y+30.

Calculați d1∗d2∗⋯∗d8\displaystyle d_1*d_2*\cdots*d_8, unde d1,d2,…,d8\displaystyle d_1,d_2,\ldots,d_8 sunt divizorii naturali ai lui 2015\displaystyle 2015.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea într-o formă factorizată: x∗y=xy−5x−5y+25+5=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=xy-5x-5y+25+5=(x-5)(y-5)+5.
    x∗y=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=(x-5)(y-5)+5
  2. Calculăm x∗5=(x−5)(5−5)+5=5\displaystyle x*5=(x-5)(5-5)+5=5 și, analog, 5∗y=(5−5)(y−5)+5=5\displaystyle 5*y=(5-5)(y-5)+5=5. Deci 5\displaystyle 5 absoarbe orice element.
    x∗5=5 și 5∗y=5\displaystyle x*5=5\text{ și }5*y=5
  3. Verificăm că 5\displaystyle 5 se află printre divizorii naturali ai lui 2015\displaystyle 2015: 2015=5⋅13⋅31\displaystyle 2015=5\cdot 13\cdot 31, deci 5∣2015\displaystyle 5\mid 2015. Așadar unul dintre numerele d1,…,d8\displaystyle d_1,\ldots,d_8 este 5\displaystyle 5.
    5∣2015\displaystyle 5\mid 2015
  4. Legea este asociativă, deci putem grupa termenii oricum. Pe rând, fiecare compunere în care apare 5\displaystyle 5 dă 5\displaystyle 5, deoarece x∗5=5\displaystyle x*5=5 și 5∗y=5\displaystyle 5*y=5. Rezultatul rămâne 5\displaystyle 5 până la ultimul element, deci d1∗d2∗⋯∗d8=5\displaystyle d_1*d_2*\cdots*d_8=5.
    d1∗d2∗⋯∗d8=5\displaystyle d_1*d_2*\cdots*d_8=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x-\ln(x+1).

Calculați f′(x)\displaystyle f'(x), x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este o diferență de două funcții, deci derivăm termen cu termen: f′(x)=x′−(ln⁡(x+1))′\displaystyle f'(x)=x'-\left(\ln(x+1)\right)'.
    f′(x)=x′−(ln⁡(x+1))′\displaystyle f'(x)=x'-\left(\ln(x+1)\right)'
  2. Derivata lui x\displaystyle x în raport cu x\displaystyle x este x′=1\displaystyle x'=1.
    x′=1\displaystyle x'=1
  3. Pentru logaritm folosim formula (ln⁡u)′=u′u\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}. Aici u=x+1\displaystyle u=x+1 și u′=1\displaystyle u'=1, deci (ln⁡(x+1))′=1x+1\displaystyle \left(\ln(x+1)\right)'=\dfrac{1}{x+1}.
    (ln⁡(x+1))′=1x+1\displaystyle \left(\ln(x+1)\right)'=\dfrac{1}{x+1}
  4. Înlocuim cele două derivate în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x). Expresia are sens pentru x>−1\displaystyle x>-1, deoarece atunci x+1>0\displaystyle x+1>0. Obținem f′(x)=1−1x+1\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{x+1}, x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
    f′(x)=1−1x+1\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{x+1}, x∈(−1,+∞)\displaystyle \ x\in(-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x-\ln(x+1).

Calculați lim⁡x→1x−f(x)−ln⁡2x−1\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x-f(x)-\ln 2}{x-1}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x−ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x-\ln(x+1) în numărătorul fracției: x−f(x)−ln⁡2\displaystyle x-f(x)-\ln 2.
    x−f(x)−ln⁡2=x−(x−ln⁡(x+1))−ln⁡2\displaystyle x-f(x)-\ln 2=x-\left(x-\ln(x+1)\right)-\ln 2
  2. Reducem termenii x\displaystyle x și −x\displaystyle -x, deci numărătorul devine ln⁡(x+1)−ln⁡2\displaystyle \ln(x+1)-\ln 2. Limita cerută este acum o limită de forma 00\displaystyle \dfrac{0}{0} pentru x→1\displaystyle x\to 1.
    lim⁡x→1x−f(x)−ln⁡2x−1=lim⁡x→1ln⁡(x+1)−ln⁡2x−1\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x-f(x)-\ln2}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{\ln(x+1)-\ln2}{x-1}
  3. Notăm g(x)=ln⁡(x+1)\displaystyle g(x)=\ln(x+1). Cum g(1)=ln⁡2\displaystyle g(1)=\ln 2, limita este exact definiția derivatei: lim⁡x→1g(x)−g(1)x−1=g′(1)\displaystyle \lim_{x\to1}\dfrac{g(x)-g(1)}{x-1}=g'(1).
    lim⁡x→1ln⁡(x+1)−ln⁡2x−1=g′(1)\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\ln(x+1)-\ln2}{x-1}=g'(1)
  4. Derivăm: g′(x)=1x+1\displaystyle g'(x)=\dfrac{1}{x+1}. Atunci g′(1)=11+1\displaystyle g'(1)=\dfrac{1}{1+1}.
    g′(1)=12\displaystyle g'(1)=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x-\ln(x+1).

Demonstrați că ln⁡(x+1)≤x\displaystyle \ln(x+1)\le x, pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Inegalitatea ln⁡(x+1)≤x\displaystyle \ln(x+1)\le x este echivalentă cu x−ln⁡(x+1)≥0\displaystyle x-\ln(x+1)\ge 0, adică f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge 0. Calculăm f(0)\displaystyle f(0) și vom arăta că 0\displaystyle 0 este punctul de minim al lui f\displaystyle f.
    f(0)=0−ln⁡1=0\displaystyle f(0)=0-\ln 1=0
  2. Derivăm funcția f\displaystyle f pe intervalul (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty), folosind faptul că (ln⁡(x+1))′=1x+1\displaystyle (\ln(x+1))'=\dfrac{1}{x+1}.
    f′(x)=1−1x+1\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{x+1}
  3. Aducem derivata la același numitor: cum x+1>0\displaystyle x+1>0, semnul lui f′\displaystyle f' este dat de numărătorul x\displaystyle x.
    f′(x)=xx+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{x}{x+1}
  4. Rezolvăm f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 și obținem x=0\displaystyle x=0. Pentru x∈(−1,0)\displaystyle x\in(-1,0) numărătorul este negativ și numitorul pozitiv, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0. Pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty) ambii sunt pozitivi, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0.
    f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0, f′(x)<0, pentru orice x∈(−1,0) și f′(x)>0, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle \ f'(x)<0\text{, pentru orice }x\in(-1,0)\text{ și }f'(x)>0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
  5. Deci f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (−1,0]\displaystyle (-1,0] și strict crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty), așadar f\displaystyle f are un minim global în x=0\displaystyle x=0, egal cu f(0)=0\displaystyle f(0)=0.
    f(x)≥f(0)=0, pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle f(x)\ge f(0)=0\text{, pentru orice }x\in(-1,+\infty)
  6. Din f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge 0 rezultă x−ln⁡(x+1)≥0\displaystyle x-\ln(x+1)\ge 0, deci ln⁡(x+1)≤x\displaystyle \ln(x+1)\le x pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty), ceea ce trebuia demonstrat.
    f(x)≥f(0)⇒ln⁡(x+1)≤x, pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle f(x)\ge f(0)\Rightarrow\ln(x+1)\le x\text{, pentru orice }x\in(-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}.

Calculați ∫01f(x) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrala cerută, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia ei: ∫01xx2+1 dx\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x}{x^{2}+1}\,dx.
    ∫01xx2+1 dx\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{x^{2}+1}\,dx
  2. Observăm că derivata lui x2+1\displaystyle x^{2}+1 este 2x\displaystyle 2x, deci numărătorul x\displaystyle x este jumătate din această derivată. Scriem x=12⋅2x\displaystyle x=\dfrac{1}{2}\cdot 2x și scoatem constanta 12\displaystyle \dfrac{1}{2} în fața integralei.
    12∫01(x2+1)′x2+1 dx\displaystyle \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{(x^{2}+1)'}{x^{2}+1}\,dx
  3. Integrala unei fracții cu derivata numitorului la numărător este logaritmul natural al numitorului: ∫u′u dx=ln⁡∣u∣\displaystyle \int \dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|. Cum x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0, nu avem nevoie de modul. Rezultă o primitivă, evaluată între limitele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    ∫01xx2+1dx=12ln⁡(x2+1)∣01\displaystyle \int_0^1\frac{x}{x^{2}+1}dx=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)\Big|_0^1
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: înlocuim pe x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1, apoi cu 0\displaystyle 0, și scădem. Pentru x=1\displaystyle x=1 obținem ln⁡2\displaystyle \ln 2, iar pentru x=0\displaystyle x=0 obținem ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    12(ln⁡2−ln⁡1)=12(ln⁡2−0)\displaystyle \frac{1}{2}\left(\ln 2-\ln 1\right)=\frac{1}{2}\left(\ln 2-0\right)
  5. Rezultatul final al integralei este 12ln⁡2\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln 2.
    12ln⁡2\displaystyle \frac{1}{2}\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}.

Arătați că ∫01f(x)+x2f(x)x4+1dx=π8\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)+x^2f(x)}{x^4+1}dx=\frac{\pi}{8}.
Vezi rezolvarea
  1. La numărător dăm factor comun pe f(x)\displaystyle f(x): f(x)+x2f(x)=f(x)(1+x2)\displaystyle f(x)+x^2f(x)=f(x)(1+x^2).
    f(x)+x2f(x)=f(x)(1+x2)\displaystyle f(x)+x^2f(x)=f(x)\left(1+x^{2}\right)
  2. Înlocuim f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x^2+1} și simplificăm: f(x)(1+x2)=xx2+1⋅(1+x2)=x\displaystyle f(x)(1+x^2)=\dfrac{x}{x^2+1}\cdot(1+x^2)=x. Deci integrandul devine xx4+1\displaystyle \dfrac{x}{x^4+1}.
    ∫01f(x)+x2f(x)x4+1dx=∫01xx4+1dx\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)+x^2f(x)}{x^4+1}dx=\int_0^1\frac{x}{x^4+1}dx
  3. Notăm t=x2\displaystyle t=x^2, deci dt=2x dx\displaystyle dt=2x\,dx, adică x dx=dt2\displaystyle x\,dx=\dfrac{dt}{2}. Pentru x=0\displaystyle x=0 avem t=0\displaystyle t=0, iar pentru x=1\displaystyle x=1 avem t=1\displaystyle t=1. Cum x4=t2\displaystyle x^4=t^2, integrala devine o integrală în t\displaystyle t.
    ∫01xx4+1dx=12∫011t2+1dt\displaystyle \int_0^1\frac{x}{x^4+1}dx=\frac{1}{2}\int_0^1\frac{1}{t^2+1}dt
  4. O primitivă a lui 1t2+1\displaystyle \dfrac{1}{t^2+1} este arctg⁡t\displaystyle \operatorname{arctg} t. Obținem 12arctg⁡t∣01=12(arctg⁡1−arctg⁡0)\displaystyle \dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}t\Big|_0^1=\dfrac{1}{2}(\operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}0), adică, în variabila inițială, 12arctg⁡(x2)∣01\displaystyle \dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}(x^2)\Big|_0^1.
    12arctg⁡(x2)∣01=12(arctg⁡1−arctg⁡0)\displaystyle \frac{1}{2}\operatorname{arctg}(x^2)\Big|_0^1=\frac{1}{2}\left(\operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}0\right)
  5. Cum arctg⁡1=π4\displaystyle \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4} și arctg⁡0=0\displaystyle \operatorname{arctg}0=0, obținem 12⋅π4=π8\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{8}, ceea ce trebuia arătat.
    12arctg⁡(x2)∣01=π8\displaystyle \frac{1}{2}\operatorname{arctg}(x^2)\Big|_0^1=\frac{\pi}{8}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}. Calculați lim⁡x→11x−1∫1xf(t) dt\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{1}{x-1}\int_1^x f(t)\,dt.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm F(x)=∫1xf(t) dt\displaystyle F(x)=\int_1^x f(t)\,dt. Pentru x→1\displaystyle x\to1 avem F(x)→∫11f(t) dt=0\displaystyle F(x)\to\int_1^1 f(t)\,dt=0, iar numitorul x−1→0\displaystyle x-1\to0. Avem deci cazul de nedeterminare 00\displaystyle \dfrac{0}{0}.
    lim⁡x→1F(x)x−1=00\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{F(x)}{x-1}=\frac{0}{0}
  2. Funcția f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, fiind raport de funcții polinomiale cu x2+1>0\displaystyle x^2+1>0. Rezultă că F\displaystyle F este derivabilă și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), iar (x−1)′=1\displaystyle (x-1)'=1.
    F′(x)=f(x), iar (x−1)′=1\displaystyle F'(x)=f(x)\text{, iar }(x-1)'=1
  3. Aplicăm regula lui l'Hospital: lim⁡x→1F(x)x−1=lim⁡x→1F′(x)1\displaystyle \lim_{x\to1}\dfrac{F(x)}{x-1}=\lim_{x\to1}\dfrac{F'(x)}{1}.
    lim⁡x→1F(x)x−1=lim⁡x→1(∫1xf(t) dt)′\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{F(x)}{x-1}=\lim_{x\to1}\left(\int_1^x f(t)\,dt\right)'
  4. Înlocuim derivata integralei cu f(x)\displaystyle f(x) și folosim continuitatea lui f\displaystyle f în 1\displaystyle 1: lim⁡x→1f(x)=f(1)=112+1=12\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=f(1)=\dfrac{1}{1^2+1}=\dfrac{1}{2}.
    lim⁡x→1f(x)=12\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.