Bac matematică M1 mate-info 2022, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numerele complexe z1=1−2i\displaystyle z_1=1-2i și z2=2+i\displaystyle z_2=2+i. Arătați că (z1+i)(z2−1)=2\displaystyle (z_1+i)(z_2-1)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm suma z1+i\displaystyle z_1+i: înlocuim z1=1−2i\displaystyle z_1=1-2i și reducem termenii cu i\displaystyle i.
    z1+i=1−2i+i=1−i\displaystyle z_1+i=1-2i+i=1-i
  2. Calculăm diferența z2−1\displaystyle z_2-1: înlocuim z2=2+i\displaystyle z_2=2+i și reducem termenii reali.
    z2−1=2+i−1=1+i\displaystyle z_2-1=2+i-1=1+i
  3. Scriem produsul cerut cu cei doi factori obținuți.
    (z1+i)(z2−1)=(1−2i+i)(2+i−1)=(1−i)(1+i)\displaystyle (z_1+i)(z_2-1)=(1-2i+i)(2+i-1)=(1-i)(1+i)
  4. Aplicăm formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}, cu a=1\displaystyle a=1 și b=i\displaystyle b=i.
    (1−i)(1+i)=12−i2=1−i2\displaystyle (1-i)(1+i)=1^{2}-i^{2}=1-i^{2}
  5. Folosim i2=−1\displaystyle i^{2}=-1 și obținem rezultatul cerut.
    1−i2=1−(−1)=2\displaystyle 1-i^{2}=1-(-1)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+4x+m\displaystyle f(x)=x^2+4x+m, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați valorile reale ale lui m\displaystyle m pentru care f(x)>0\displaystyle f(x)>0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este de gradul al doilea, cu coeficientul dominant a=1>0\displaystyle a=1>0. Parabola este orientată în sus, deci f(x)>0\displaystyle f(x)>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} exact când f\displaystyle f nu are rădăcini reale, adică atunci când Δ<0\displaystyle \Delta<0.
    Δ<0\displaystyle \Delta<0
  2. Calculăm discriminantul cu a=1\displaystyle a=1, b=4\displaystyle b=4, c=m\displaystyle c=m: Δ=b2−4ac=42−4⋅1⋅m\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4\cdot 1\cdot m.
    Δ=16−4m\displaystyle \Delta=16-4m
  3. Impunem condiția Δ<0\displaystyle \Delta<0, adică 16−4m<0\displaystyle 16-4m<0.
    16−4m<0\displaystyle 16-4m<0
  4. Rezolvăm inecuația: 16<4m\displaystyle 16<4m. Împărțim la 4\displaystyle 4, un număr pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează: m>4\displaystyle m>4.
    m>4\displaystyle m>4
  5. Valorile cerute ale lui m\displaystyle m sunt cele din intervalul (4,+∞)\displaystyle (4,+\infty).
    m∈(4,+∞)\displaystyle m\in(4,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1+2log⁡2x−2=log⁡2x\displaystyle 1+2\log_2\sqrt{x-2}=\log_2 x.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condițiile de existență: pentru x−2\displaystyle \sqrt{x-2} și log⁡2x−2\displaystyle \log_2\sqrt{x-2} avem nevoie de x−2>0\displaystyle x-2>0, iar pentru log⁡2x\displaystyle \log_2 x avem x>0\displaystyle x>0. Rezultă x>2\displaystyle x>2.
    x∈(2,∞)\displaystyle x\in(2,\infty)
  2. Folosim 2log⁡2x−2=log⁡2(x−2)2=log⁡2(x−2)\displaystyle 2\log_2\sqrt{x-2}=\log_2\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}=\log_2(x-2), valabil deoarece x−2>0\displaystyle x-2>0. Ecuația devine 1+log⁡2(x−2)=log⁡2x\displaystyle 1+\log_2(x-2)=\log_2 x.
    1+log⁡2(x−2)=log⁡2x\displaystyle 1+\log_2(x-2)=\log_2 x
  3. Mutăm termenul log⁡2(x−2)\displaystyle \log_2(x-2) în membrul drept: 1=log⁡2x−log⁡2(x−2)\displaystyle 1=\log_2 x-\log_2(x-2). Din proprietatea diferenței de logaritmi obținem log⁡2xx−2=1\displaystyle \log_2\dfrac{x}{x-2}=1.
    log⁡2xx−2=1\displaystyle \log_2\frac{x}{x-2}=1
  4. Din definiția logaritmului, xx−2=21\displaystyle \dfrac{x}{x-2}=2^{1}, deci xx−2=2\displaystyle \dfrac{x}{x-2}=2.
    xx−2=2\displaystyle \frac{x}{x-2}=2
  5. Înmulțim cu x−2≠0\displaystyle x-2\neq 0: x=2(x−2)\displaystyle x=2(x-2), adică x=2x−4\displaystyle x=2x-4, de unde x=4\displaystyle x=4.
    x=4\displaystyle x=4
  6. Verificăm: 4>2\displaystyle 4>2, deci soluția convine. Direct: 1+2log⁡22=1+1=2\displaystyle 1+2\log_2\sqrt{2}=1+1=2 și log⁡24=2\displaystyle \log_2 4=2. Așadar ecuația are soluția x=4\displaystyle x=4.
    x=4, care convine\displaystyle x=4\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea A\displaystyle A, a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A\displaystyle A, acesta să aibă exact doi multipli în mulțimea A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \ldots, 99. Numărul lor este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90. Acesta este numărul cazurilor posibile.
    90\displaystyle 90
  2. Un număr n∈A\displaystyle n\in A are ca multipli în A\displaystyle A pe n,2n,3n,…\displaystyle n, 2n, 3n, \ldots, cât timp aceștia au cel mult două cifre. Numărul n\displaystyle n este el însuși multiplu al lui n\displaystyle n. Ca să avem exact doi multipli, trebuie ca 2n\displaystyle 2n să fie în A\displaystyle A, iar 3n\displaystyle 3n să nu mai fie.
    2n≤99<3n\displaystyle 2n\leq 99<3n
  3. Din 2n≤99\displaystyle 2n\leq 99 obținem n≤49,5\displaystyle n\leq 49{,}5, deci n≤49\displaystyle n\leq 49. Din 99<3n\displaystyle 99<3n obținem n>33\displaystyle n>33, deci n≥34\displaystyle n\geq 34.
    34≤n≤49\displaystyle 34\leq n\leq 49
  4. Numerele favorabile sunt 34,35,36,…,49\displaystyle 34, 35, 36, \ldots, 49. Numărul lor este 49−34+1=16\displaystyle 49-34+1=16. Acesta este numărul cazurilor favorabile.
    16\displaystyle 16
  5. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=1690\displaystyle p=\dfrac{16}{90}. Simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2 și obținem 845\displaystyle \dfrac{8}{45}.
    p=1690=845\displaystyle p=\frac{16}{90}=\frac{8}{45}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−2,−2)\displaystyle A(-2,-2), B(3,1)\displaystyle B(3,1) și M(2,4)\displaystyle M(2,4). Determinați coordonatele punctului N\displaystyle N, știind că patrulaterul ABMN\displaystyle ABMN este paralelogram.
Vezi rezolvarea
  1. În paralelogramul ABMN\displaystyle ABMN vârfurile se succed în ordinea A,B,M,N\displaystyle A, B, M, N, deci diagonalele sunt AM\displaystyle AM și BN\displaystyle BN. Diagonalele unui paralelogram au același mijloc. Notăm cu P\displaystyle P mijlocul segmentului AM\displaystyle AM.
    P este mijlocul lui AM și al lui BN\displaystyle P\text{ este mijlocul lui }AM\text{ și al lui }BN
  2. Calculăm coordonatele mijlocului P\displaystyle P al segmentului AM\displaystyle AM cu formula mijlocului, făcând media aritmetică a coordonatelor capetelor: xP=−2+22=0\displaystyle x_P=\dfrac{-2+2}{2}=0 și yP=−2+42=1\displaystyle y_P=\dfrac{-2+4}{2}=1.
    P(0,1)\displaystyle P(0,1)
  3. P\displaystyle P este și mijlocul lui BN\displaystyle BN, deci xP=xB+xN2\displaystyle x_P=\dfrac{x_B+x_N}{2} și yP=yB+yN2\displaystyle y_P=\dfrac{y_B+y_N}{2}. Obținem 0=3+xN2\displaystyle 0=\dfrac{3+x_N}{2} și 1=1+yN2\displaystyle 1=\dfrac{1+y_N}{2}.
    0=3+xN2\displaystyle 0=\dfrac{3+x_N}{2},1=1+yN2\displaystyle \quad 1=\dfrac{1+y_N}{2}
  4. Rezolvăm cele două ecuații: din prima, 3+xN=0\displaystyle 3+x_N=0, deci xN=−3\displaystyle x_N=-3; din a doua, 1+yN=2\displaystyle 1+y_N=2, deci yN=1\displaystyle y_N=1. Așadar punctul căutat este N(−3,1)\displaystyle N(-3,1).
    N(−3,1)\displaystyle N(-3,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, în care sin⁡(A+B)+cos⁡C=1\displaystyle \sin(A+B)+\cos C=1. Arătați că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic.
Vezi rezolvarea
  1. Într-un triunghi suma unghiurilor este π\displaystyle \pi, deci A+B=π−C\displaystyle A+B=\pi-C. Atunci sin⁡(A+B)=sin⁡(π−C)=sin⁡C\displaystyle \sin(A+B)=\sin(\pi-C)=\sin C.
    A+B=π−C\displaystyle A+B=\pi-C, sin⁡(A+B)=sin⁡C\displaystyle \ \sin(A+B)=\sin C
  2. Înlocuim în relația dată sin⁡(A+B)+cos⁡C=1\displaystyle \sin(A+B)+\cos C=1 și obținem sin⁡C+cos⁡C=1\displaystyle \sin C+\cos C=1.
    sin⁡C+cos⁡C=1\displaystyle \sin C+\cos C=1
  3. Ridicăm relația la pătrat: (sin⁡C+cos⁡C)2=1\displaystyle (\sin C+\cos C)^{2}=1, adică sin⁡2C+2sin⁡Ccos⁡C+cos⁡2C=1\displaystyle \sin^{2}C+2\sin C\cos C+\cos^{2}C=1.
    sin⁡2C+2sin⁡Ccos⁡C+cos⁡2C=1\displaystyle \sin^{2}C+2\sin C\cos C+\cos^{2}C=1
  4. Folosim sin⁡2C+cos⁡2C=1\displaystyle \sin^{2}C+\cos^{2}C=1 și 2sin⁡Ccos⁡C=sin⁡2C\displaystyle 2\sin C\cos C=\sin 2C. Rezultă 1+sin⁡2C=1\displaystyle 1+\sin 2C=1, deci sin⁡2C=0\displaystyle \sin 2C=0.
    sin⁡2C=0\displaystyle \sin 2C=0
  5. Deoarece C∈(0,π)\displaystyle C\in(0,\pi), avem 2C∈(0,2π)\displaystyle 2C\in(0,2\pi). În acest interval sin⁡2C=0\displaystyle \sin 2C=0 doar pentru 2C=π\displaystyle 2C=\pi, deci C=π2\displaystyle C=\dfrac{\pi}{2}. Așadar triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în C\displaystyle C.
    C=π2\displaystyle C=\frac{\pi}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(13a21−1a31)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&3&a\\2&1&-1\\a&3&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+3y+az=22x+y−z=−1ax+3y+z=1\displaystyle \begin{cases}x+3y+az=2\\2x+y-z=-1\\ax+3y+z=1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=0\displaystyle \det(A(1))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu 1\displaystyle 1 în matricea A(a)\displaystyle A(a). Prima și a treia linie devin identice.
    A(1)=(13121−1131)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&3&1\\2&1&-1\\1&3&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul după regula triunghiului: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și din cele două triunghiuri paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și din triunghiurile paralele cu ea.
    det⁡(A(1))=1⋅1⋅1+2⋅3⋅1+3⋅(−1)⋅1−1⋅1⋅1−(−1)⋅3⋅1−2⋅3⋅1\displaystyle \det(A(1))=1\cdot1\cdot1+2\cdot3\cdot1+3\cdot(-1)\cdot1-1\cdot1\cdot1-(-1)\cdot3\cdot1-2\cdot3\cdot1
  3. Calculăm fiecare produs în parte: 1\displaystyle 1, 6\displaystyle 6 și −3\displaystyle -3 se adună, iar 1\displaystyle 1, −3\displaystyle -3 și 6\displaystyle 6 sunt produsele care se scad, deci apar cu semnele −1\displaystyle -1, +3\displaystyle +3 și −6\displaystyle -6.
    1+6−3−1+3−6\displaystyle 1+6-3-1+3-6
  4. Adunăm termenii: 1+6−3=4\displaystyle 1+6-3=4, iar 4−1+3−6=0\displaystyle 4-1+3-6=0. Deci determinantul este nul.
    det⁡(A(1))=0\displaystyle \det(A(1))=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(13a21−1a31)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&3&a\\2&1&-1\\a&3&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+3y+az=22x+y−z=−1ax+3y+z=1\displaystyle \begin{cases}x+3y+az=2\\2x+y-z=-1\\ax+3y+z=1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că B(a)⋅B(a)⋅B(a)=a3B(1)\displaystyle B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)=a^3B(1), pentru orice număr real a\displaystyle a, unde B(a)=A(a)−A(0)\displaystyle B(a)=A(a)-A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(13021−1031)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&3&0\\2&1&-1\\0&3&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm B(a)=A(a)−A(0)\displaystyle B(a)=A(a)-A(0), scăzând matricele element cu element. Toate elementele care nu conțin pe a\displaystyle a se anulează, iar rămân doar cele de pe pozițiile (1,3)\displaystyle (1,3) și (3,1)\displaystyle (3,1).
    B(a)=(00a000a00)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}0&0&a\\0&0&0\\a&0&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm B(a)⋅B(a)\displaystyle B(a)\cdot B(a), înmulțind linii cu coloane. De exemplu, elementul (1,1)\displaystyle (1,1) este 0⋅0+0⋅0+a⋅a=a2\displaystyle 0\cdot 0+0\cdot 0+a\cdot a=a^2, elementul (1,3)\displaystyle (1,3) este 0⋅a+0⋅0+a⋅0=0\displaystyle 0\cdot a+0\cdot 0+a\cdot 0=0, iar elementul (3,3)\displaystyle (3,3) este a⋅a+0+0=a2\displaystyle a\cdot a+0+0=a^2. Celelalte elemente sunt 0\displaystyle 0.
    B(a)⋅B(a)=(a20000000a2)\displaystyle B(a)\cdot B(a)=\begin{pmatrix}a^2&0&0\\0&0&0\\0&0&a^2\end{pmatrix}
  4. Calculăm B(a)⋅B(a)⋅B(a)=(B(a)⋅B(a))⋅B(a)\displaystyle B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)=\left(B(a)\cdot B(a)\right)\cdot B(a). Matricea B(a)⋅B(a)\displaystyle B(a)\cdot B(a) este a2\displaystyle a^2 pe pozițiile (1,1)\displaystyle (1,1) și (3,3)\displaystyle (3,3), deci linia 1 a produsului este a2\displaystyle a^2 ori linia 1 din B(a)\displaystyle B(a), iar linia 3 este a2\displaystyle a^2 ori linia 3 din B(a)\displaystyle B(a). Linia 2 este nulă.
    B(a)⋅B(a)⋅B(a)=(00a3000a300)\displaystyle B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)=\begin{pmatrix}0&0&a^3\\0&0&0\\a^3&0&0\end{pmatrix}
  5. Dăm factor comun a3\displaystyle a^3 și observăm că matricea rămasă este chiar B(1)\displaystyle B(1), obținută din B(a)\displaystyle B(a) pentru a=1\displaystyle a=1. Deci egalitatea cerută este adevărată pentru orice a\displaystyle a real.
    B(a)⋅B(a)⋅B(a)=a3(001000100)=a3B(1)\displaystyle B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)=a^3\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}=a^3B(1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(13a21−1a31)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&3&a\\2&1&-1\\a&3&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+3y+az=22x+y−z=−1ax+3y+z=1\displaystyle \begin{cases}x+3y+az=2\\2x+y-z=-1\\ax+3y+z=1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații are o infinitate de soluții, atunci x0y0+y0z0+z0x0≤0\displaystyle x_0y_0+y_0z_0+z_0x_0\leq 0, pentru orice soluție (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) a sistemului de ecuații, cu x0\displaystyle x_0, y0\displaystyle y_0 și z0\displaystyle z_0 numere reale.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) prin dezvoltare după prima linie: det⁡(A(a))=1⋅(1⋅1−(−1)⋅3)−3⋅(2⋅1−(−1)⋅a)+a⋅(2⋅3−1⋅a)\displaystyle \det(A(a))=1\cdot(1\cdot 1-(-1)\cdot 3)-3\cdot(2\cdot 1-(-1)\cdot a)+a\cdot(2\cdot 3-1\cdot a).
    det⁡(A(a))=4−3(2+a)+a(6−a)=−a2+3a−2\displaystyle \det(A(a))=4-3(2+a)+a(6-a)=-a^2+3a-2
  2. Un sistem cu o infinitate de soluții are determinantul matricei nul. Rezolvăm ecuația −a2+3a−2=0\displaystyle -a^2+3a-2=0, adică a2−3a+2=0\displaystyle a^2-3a+2=0.
    a=1 sau a=2\displaystyle a=1\text{ sau }a=2
  3. Pentru a=1\displaystyle a=1, prima și a treia ecuație devin x+3y+z=2\displaystyle x+3y+z=2 și x+3y+z=1\displaystyle x+3y+z=1, deci sunt contradictorii: sistemul este incompatibil și nu are o infinitate de soluții. Rămâne doar a=2\displaystyle a=2.
    det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0, a=1 (incompatibil) sau a=2 ⇒ a=2\displaystyle \ a=1\text{ (incompatibil) sau }a=2\ \Rightarrow\ a=2
  4. Pentru a=2\displaystyle a=2 sistemul este x+3y+2z=2\displaystyle x+3y+2z=2, 2x+y−z=−1\displaystyle 2x+y-z=-1, 2x+3y+z=1\displaystyle 2x+3y+z=1. Scădem a doua ecuație din a treia și obținem 2y+2z=2\displaystyle 2y+2z=2, deci y=1−z\displaystyle y=1-z.
    y=1−z\displaystyle y=1-z
  5. Înlocuim y=1−z\displaystyle y=1-z în a doua ecuație: 2x+1−z−z=−1\displaystyle 2x+1-z-z=-1, deci x=z−1\displaystyle x=z-1. Verificăm în prima ecuație: (z−1)+3(1−z)+2z=2\displaystyle (z-1)+3(1-z)+2z=2, adevărat pentru orice z\displaystyle z. Notăm z=α\displaystyle z=\alpha, cu α∈R\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}, și obținem o infinitate de soluții.
    (x0,y0,z0)=(α−1, −α+1, α)\displaystyle (x_0,y_0,z_0)=(\alpha-1,\,-\alpha+1,\,\alpha), α∈R\displaystyle \ \alpha\in\mathbb{R}
  6. Înlocuim soluția în expresie: x0y0=(α−1)(−α+1)=−(α−1)2\displaystyle x_0y_0=(\alpha-1)(-\alpha+1)=-(\alpha-1)^2, iar y0z0+z0x0=α(−α+1)+α(α−1)=0\displaystyle y_0z_0+z_0x_0=\alpha(-\alpha+1)+\alpha(\alpha-1)=0, deoarece cei doi termeni sunt opuși. Rămâne −(α−1)2\displaystyle -(\alpha-1)^2, care este mai mic sau egal cu 0\displaystyle 0 pentru orice α\displaystyle \alpha real.
    x0y0+y0z0+z0x0=(α−1)(−α+1)+α(−α+1)+α(α−1)=−(α−1)2≤0\displaystyle x_0y_0+y_0z_0+z_0x_0=(\alpha-1)(-\alpha+1)+\alpha(-\alpha+1)+\alpha(\alpha-1)=-(\alpha-1)^2\leq 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție z1∗z2=z1+z24⋅∣z1z2∣+1\displaystyle z_1*z_2=\frac{z_1+z_2}{4\cdot|z_1z_2|+1}.

Arătați că (−1)∗2=19\displaystyle (-1)*2=\frac{1}{9}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția z1∗z2=z1+z24⋅∣z1z2∣+1\displaystyle z_1*z_2=\dfrac{z_1+z_2}{4\cdot|z_1z_2|+1} pentru z1=−1\displaystyle z_1=-1 și z2=2\displaystyle z_2=2.
    (−1)∗2=−1+24⋅∣−1⋅2∣+1\displaystyle (-1)*2=\frac{-1+2}{4\cdot|-1\cdot 2|+1}
  2. La numărător avem −1+2=1\displaystyle -1+2=1.
    −1+2=1\displaystyle -1+2=1
  3. La numitor, −1⋅2=−2\displaystyle -1\cdot 2=-2, deci ∣−1⋅2∣=∣−2∣=2\displaystyle |-1\cdot 2|=|-2|=2.
    ∣−1⋅2∣=2\displaystyle |-1\cdot 2|=2
  4. Numitorul devine 4⋅2+1=9\displaystyle 4\cdot 2+1=9. Așadar fracția este 19\displaystyle \dfrac{1}{9}, deci egalitatea cerută este adevărată.
    (−1)∗2=14⋅2+1=19\displaystyle (-1)*2=\frac{1}{4\cdot 2+1}=\frac{1}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție z1∗z2=z1+z24⋅∣z1z2∣+1\displaystyle z_1*z_2=\frac{z_1+z_2}{4\cdot|z_1z_2|+1}.

Arătați că e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim definiția elementului neutru: e\displaystyle e este element neutru dacă z∗e=z\displaystyle z*e=z și e∗z=z\displaystyle e*z=z pentru orice z∈C\displaystyle z\in\mathbb{C}. Verificăm cele două egalități pentru e=0\displaystyle e=0, pornind de la legea z1∗z2=z1+z24⋅∣z1z2∣+1\displaystyle z_1*z_2=\dfrac{z_1+z_2}{4\cdot|z_1z_2|+1}.
    z∗0=z și 0∗z=z, ∀z∈C\displaystyle z*0=z\text{ și }0*z=z\text{, }\forall z\in\mathbb{C}
  2. Înlocuim z1=z\displaystyle z_1=z și z2=0\displaystyle z_2=0 în lege. Produsul z⋅0\displaystyle z\cdot 0 este 0\displaystyle 0, deci ∣z⋅0∣=0\displaystyle |z\cdot 0|=0, iar numitorul devine 4⋅0+1=1\displaystyle 4\cdot 0+1=1. Numărătorul este z+0=z\displaystyle z+0=z.
    z∗0=z+04⋅∣z⋅0∣+1=z1=z\displaystyle z*0=\frac{z+0}{4\cdot|z\cdot0|+1}=\frac{z}{1}=z
  3. Verificăm separat și cealaltă ordine, cu z1=0\displaystyle z_1=0 și z2=z\displaystyle z_2=z. Din nou ∣0⋅z∣=0\displaystyle |0\cdot z|=0, deci numitorul este 1\displaystyle 1, iar numărătorul este 0+z=z\displaystyle 0+z=z. Obținem 0∗z=z\displaystyle 0*z=z, deci e=0\displaystyle e=0 este element neutru.
    0∗z=0+z4⋅∣0⋅z∣+1=z, deci e=0 este element neutru\displaystyle 0*z=\frac{0+z}{4\cdot|0\cdot z|+1}=z\text{, deci }e=0\text{ este element neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție z1∗z2=z1+z24⋅∣z1z2∣+1\displaystyle z_1*z_2=\frac{z_1+z_2}{4\cdot|z_1z_2|+1}.

Demonstrați că există cel puțin trei numere complexe distincte și nenule care verifică egalitatea ∣z∗z∣=∣z∣\displaystyle |z*z|=|z|.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm z∗z\displaystyle z*z, înlocuind z1=z2=z\displaystyle z_1=z_2=z în definiția legii. Numărătorul este z+z=2z\displaystyle z+z=2z, iar ∣z⋅z∣=∣z∣2\displaystyle |z\cdot z|=|z|^{2}.
    z∗z=2z4⋅∣z∣2+1\displaystyle z*z=\dfrac{2z}{4\cdot|z|^{2}+1}
  2. Scriem egalitatea ∣z∗z∣=∣z∣\displaystyle |z*z|=|z| cu expresia obținută. Numitorul 4⋅∣z∣2+1\displaystyle 4\cdot|z|^{2}+1 este pozitiv, deci modulul fracției este 2∣z∣4⋅∣z∣2+1\displaystyle \dfrac{2|z|}{4\cdot|z|^{2}+1}.
    2∣z∣4⋅∣z∣2+1=∣z∣\displaystyle \dfrac{2|z|}{4\cdot|z|^{2}+1}=|z|
  3. Căutăm numere nenule, deci ∣z∣≠0\displaystyle |z|\neq 0 și simplificăm cu ∣z∣\displaystyle |z|. Obținem 2=4⋅∣z∣2+1\displaystyle 2=4\cdot|z|^{2}+1.
    4⋅∣z∣2+1=2\displaystyle 4\cdot|z|^{2}+1=2
  4. Rezolvăm ecuația: 4⋅∣z∣2=1\displaystyle 4\cdot|z|^{2}=1, deci ∣z∣2=14\displaystyle |z|^{2}=\dfrac{1}{4}. Cum ∣z∣≥0\displaystyle |z|\geq 0, obținem ∣z∣=12\displaystyle |z|=\dfrac{1}{2}.
    ∣z∣=12\displaystyle |z|=\dfrac{1}{2}
  5. Orice număr complex de modul 12\displaystyle \dfrac{1}{2} verifică egalitatea, deoarece pașii de mai sus sunt reversibili. Alegem trei numere distincte și nenule, fiecare cu modulul 12\displaystyle \dfrac{1}{2}: 12\displaystyle \dfrac{1}{2}, −12\displaystyle -\dfrac{1}{2} și i2\displaystyle \dfrac{i}{2}. Deci există cel puțin trei numere complexe distincte și nenule care verifică ∣z∗z∣=∣z∣\displaystyle |z*z|=|z|.
    ∣2z4⋅∣z∣2+1∣=∣z∣\displaystyle \left|\dfrac{2z}{4\cdot|z|^{2}+1}\right|=|z|, 4⋅∣z∣2+1=2\displaystyle \ 4\cdot|z|^{2}+1=2, ∣z∣=12\displaystyle \ |z|=\dfrac{1}{2}, z∈{12, −12, i2}\displaystyle \ z\in\left\{\dfrac{1}{2},\,-\dfrac{1}{2},\,\dfrac{i}{2}\right\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x4+16x\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x^4+16}}{x}.

Arătați că f′(x)=(x2−4)(x2+4)x2x4+16\displaystyle f'(x)=\frac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2\sqrt{x^4+16}}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât, deci aplicăm formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x4+16\displaystyle u=\sqrt{x^4+16} și v=x\displaystyle v=x, deci v′=1\displaystyle v'=1.
    f′(x)=(x4+16)′⋅x−x4+16⋅1x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\left(\sqrt{x^4+16}\right)'\cdot x-\sqrt{x^4+16}\cdot 1}{x^{2}}
  2. Derivăm radicalul cu formula (u)′=u′2u\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, unde u=x4+16\displaystyle u=x^4+16 și u′=4x3\displaystyle u'=4x^3.
    (x4+16)′=4x32x4+16\displaystyle \left(\sqrt{x^4+16}\right)'=\dfrac{4x^3}{2\sqrt{x^4+16}}
  3. Înlocuim derivata radicalului în formula câtului.
    f′(x)=4x32x4+16⋅x−x4+16x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\dfrac{4x^3}{2\sqrt{x^4+16}}\cdot x-\sqrt{x^4+16}}{x^2}
  4. Simplificăm: 4x32x4+16⋅x=2x4x4+16\displaystyle \dfrac{4x^3}{2\sqrt{x^4+16}}\cdot x=\dfrac{2x^4}{\sqrt{x^4+16}}. Scriem apoi x4+16=x4+16x4+16\displaystyle \sqrt{x^4+16}=\dfrac{x^4+16}{\sqrt{x^4+16}} și aducem la același numitor.
    f′(x)=2x4−(x4+16)x4+16x2=2x4−x4−16x2x4+16\displaystyle f'(x)=\dfrac{\dfrac{2x^4-(x^4+16)}{\sqrt{x^4+16}}}{x^2}=\dfrac{2x^4-x^4-16}{x^2\sqrt{x^4+16}}
  5. Reducem termenii asemenea de la numărător: 2x4−x4−16=x4−16\displaystyle 2x^4-x^4-16=x^4-16.
    f′(x)=x4−16x2x4+16\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^4-16}{x^2\sqrt{x^4+16}}
  6. Scriem x4−16=(x2)2−42\displaystyle x^4-16=(x^2)^2-4^2 și aplicăm formula a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b), cu a=x2\displaystyle a=x^2 și b=4\displaystyle b=4. Obținem forma cerută, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=(x2−4)(x2+4)x2x4+16\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2\sqrt{x^4+16}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x4+16x\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x^4+16}}{x}.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} și n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right).
    y=mx+n\displaystyle y=mx+n,m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle \quad m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x},n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle \quad n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)
  2. Scriem raportul: f(x)x=x4+16x⋅x=x4+16x2\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\sqrt{x^4+16}}{x\cdot x}=\dfrac{\sqrt{x^4+16}}{x^2}.
    f(x)x=x4+16x2\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{\sqrt{x^4+16}}{x^2}
  3. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x2=x4\displaystyle x^2=\sqrt{x^4}, deci x4+16x2=x4+16x4=1+16x4\displaystyle \dfrac{\sqrt{x^4+16}}{x^2}=\sqrt{\dfrac{x^4+16}{x^4}}=\sqrt{1+\dfrac{16}{x^4}}. Cum 16x4→0\displaystyle \dfrac{16}{x^4}\to0, obținem m=1\displaystyle m=1.
    m=lim⁡x→+∞1+16x4=1\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac{16}{x^{4}}}=1
  4. Calculăm n=lim⁡x→+∞(f(x)−x)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right). Aducem la numitor comun: f(x)−x=x4+16x−x=x4+16−x2x\displaystyle f(x)-x=\dfrac{\sqrt{x^4+16}}{x}-x=\dfrac{\sqrt{x^4+16}-x^2}{x}.
    f(x)−x=x4+16−x2x\displaystyle f(x)-x=\frac{\sqrt{x^4+16}-x^2}{x}
  5. Amplificăm cu conjugata x4+16+x2\displaystyle \sqrt{x^4+16}+x^2. La numărător folosim (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^2-b^2, deci obținem (x4+16)−x4=16\displaystyle \left(x^4+16\right)-x^4=16.
    x4+16−x2x=16x(x4+16+x2)\displaystyle \frac{\sqrt{x^4+16}-x^2}{x}=\frac{16}{x\left(\sqrt{x^4+16}+x^2\right)}
  6. Numitorul x(x4+16+x2)→+∞\displaystyle x\left(\sqrt{x^4+16}+x^2\right)\to+\infty, iar numărătorul este constant, deci n=0\displaystyle n=0. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty este y=x\displaystyle y=x.
    n=lim⁡x→+∞16x(x4+16+x2)=0\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\frac{16}{x\left(\sqrt{x^4+16}+x^2\right)}=0, y=x\displaystyle \ y=x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x4+16x\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x^4+16}}{x}.

Determinați valorile reale ale lui m\displaystyle m pentru care ecuația f(x)+f(4x)=m\displaystyle f(x)+f\left(\frac{4}{x}\right)=m are exact două soluții.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(4x)\displaystyle f\left(\dfrac{4}{x}\right). Avem f(4x)=256x4+164x=x4⋅4x4+16x2=x4+16x=f(x)\displaystyle f\left(\dfrac{4}{x}\right)=\dfrac{\sqrt{\dfrac{256}{x^{4}}+16}}{\dfrac{4}{x}}=\dfrac{x}{4}\cdot\dfrac{4\sqrt{x^{4}+16}}{x^{2}}=\dfrac{\sqrt{x^{4}+16}}{x}=f(x). Ecuația devine 2f(x)=m\displaystyle 2f(x)=m.
    f(4x)=f(x) ⇒ 2f(x)=m\displaystyle f\left(\dfrac{4}{x}\right)=f(x)\ \Rightarrow\ 2f(x)=m
  2. Scriem f(x)=x2+16x2\displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}+\dfrac{16}{x^{2}}}. Derivata lui f2\displaystyle f^{2} este (f2)′=2x−32x3=2(x4−16)x3\displaystyle \left(f^{2}\right)'=2x-\dfrac{32}{x^{3}}=\dfrac{2\left(x^{4}-16\right)}{x^{3}}. Din f′=(f2)′2f\displaystyle f'=\dfrac{\left(f^{2}\right)'}{2f} obținem derivata lui f\displaystyle f.
    f′(x)=x4−16x2x4+16\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{4}-16}{x^{2}\sqrt{x^{4}+16}}
  3. Numitorul lui f′\displaystyle f' este pozitiv, deci semnul lui f′\displaystyle f' este semnul lui x4−16\displaystyle x^{4}-16. Pentru x>0\displaystyle x>0, f′(x)=0⇔x=2\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=2. Pe (0,2)\displaystyle (0,2) avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, deci f\displaystyle f este descrescătoare, iar pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty) avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, deci f\displaystyle f este crescătoare.
    f′(x)=0⇔x=2\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=2, f′(x)<0 pentru x∈(0,2)\displaystyle \ f'(x)<0\text{ pentru }x\in(0,2), f′(x)>0 pentru x∈(2,+∞)\displaystyle \ f'(x)>0\text{ pentru }x\in(2,+\infty)
  4. Notăm g(x)=f(x)+f(4x)=2f(x)\displaystyle g(x)=f(x)+f\left(\dfrac{4}{x}\right)=2f(x). Calculăm valoarea în punctul de extrem: f(2)=322=22\displaystyle f(2)=\dfrac{\sqrt{32}}{2}=2\sqrt{2}, deci g(2)=42\displaystyle g(2)=4\sqrt{2}.
    g(x)=2f(x)\displaystyle g(x)=2f(x), g(2)=42\displaystyle \ g(2)=4\sqrt{2}
  5. Calculăm limitele la capete. Pentru x→0+\displaystyle x\to0^{+}, numărătorul x4+16→4\displaystyle \sqrt{x^{4}+16}\to4, iar x→0+\displaystyle x\to0^{+}, deci g(x)→+∞\displaystyle g(x)\to+\infty. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty, g(x)=2x2+16x2→+∞\displaystyle g(x)=2\sqrt{x^{2}+\dfrac{16}{x^{2}}}\to+\infty.
    lim⁡x→0g(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to0}g(x)=+\infty, lim⁡x→+∞g(x)=+∞\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty
  6. Funcția g\displaystyle g scade strict de la +∞\displaystyle +\infty la 42\displaystyle 4\sqrt{2} pe (0,2)\displaystyle (0,2) și crește strict de la 42\displaystyle 4\sqrt{2} la +∞\displaystyle +\infty pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty). Dacă m>42\displaystyle m>4\sqrt{2}, ecuația g(x)=m\displaystyle g(x)=m are câte o soluție pe fiecare interval, deci exact două soluții. Pentru m=42\displaystyle m=4\sqrt{2} avem doar x=2\displaystyle x=2, iar pentru m<42\displaystyle m<4\sqrt{2} nu există soluții. Deci m∈(42,+∞)\displaystyle m\in\left(4\sqrt{2},+\infty\right).
    m∈(42,+∞)\displaystyle m\in\left(4\sqrt{2},+\infty\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{e^x}.

Arătați că ∫03exf(x) dx=12\displaystyle \int_0^3 e^xf(x)\,dx=12.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu expresia ei în integrala dată: exf(x)=ex⋅x2+1ex\displaystyle e^x f(x)=e^x\cdot\dfrac{x^2+1}{e^x}.
    ∫03exf(x) dx=∫03ex⋅x2+1ex dx\displaystyle \int_0^3 e^x f(x)\,dx=\int_0^3 e^x\cdot\frac{x^2+1}{e^x}\,dx
  2. Simplificăm ex\displaystyle e^x cu numitorul, deoarece ex≠0\displaystyle e^x\neq 0 pentru orice x\displaystyle x real. Rămâne de integrat polinomul x2+1\displaystyle x^2+1.
    ∫03(x2+1) dx\displaystyle \int_0^3 (x^2+1)\,dx
  3. Calculăm o primitivă a polinomului: primitiva lui x2\displaystyle x^2 este x33\displaystyle \dfrac{x^3}{3}, iar primitiva lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Scriem apoi integrala definită cu limitele 0\displaystyle 0 și 3\displaystyle 3.
    ∫03(x2+1) dx=(x33+x)∣03\displaystyle \int_0^3 (x^2+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Big|_0^3
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în 3\displaystyle 3 și scădem valoarea ei în 0\displaystyle 0, care este 0\displaystyle 0. Obținem 273+3=9+3=12\displaystyle \dfrac{27}{3}+3=9+3=12.
    273+3−0=9+3=12\displaystyle \frac{27}{3}+3-0=9+3=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{e^x}.

Arătați că orice primitivă G\displaystyle G a funcției g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=1f(x)\displaystyle g(x)=\frac{1}{f(x)} este convexă.
Vezi rezolvarea
  1. Avem g(x)=1f(x)=exx2+1\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{e^{x}}{x^{2}+1}, definită pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0.
    g(x)=exx2+1\displaystyle g(x)=\dfrac{e^{x}}{x^{2}+1}
  2. Fie G\displaystyle G o primitivă oarecare a lui g\displaystyle g. Atunci G′(x)=g(x)\displaystyle G'(x)=g(x), deci G′′(x)=g′(x)\displaystyle G''(x)=g'(x).
    G′(x)=g(x)\displaystyle G'(x)=g(x), G′′(x)=g′(x)\displaystyle \ G''(x)=g'(x)
  3. Folosim (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} cu u=ex\displaystyle u=e^{x} și v=x2+1\displaystyle v=x^{2}+1, deci u′=ex\displaystyle u'=e^{x} și v′=2x\displaystyle v'=2x. Obținem g′(x)=ex(x2+1)−ex⋅2x(x2+1)2\displaystyle g'(x)=\dfrac{e^{x}(x^{2}+1)-e^{x}\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
    g′(x)=ex(x2+1)−2xex(x2+1)2\displaystyle g'(x)=\dfrac{e^{x}(x^{2}+1)-2xe^{x}}{(x^{2}+1)^{2}}
  4. Dăm factor comun ex\displaystyle e^{x}: ex(x2+1−2x)=ex(x−1)2\displaystyle e^{x}(x^{2}+1-2x)=e^{x}(x-1)^{2}. Deci G′′(x)=g′(x)=ex(x−1)2(x2+1)2\displaystyle G''(x)=g'(x)=\dfrac{e^{x}(x-1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
    G′′(x)=ex(x−1)2(x2+1)2\displaystyle G''(x)=\dfrac{e^{x}(x-1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}
  5. Avem ex>0\displaystyle e^{x}>0, (x−1)2≥0\displaystyle (x-1)^{2}\geq 0 și (x2+1)2>0\displaystyle (x^{2}+1)^{2}>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Deci G′′(x)≥0\displaystyle G''(x)\geq 0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, adică G\displaystyle G este convexă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    G′′(x)=ex(x−1)2(x2+1)2≥0, pentru orice x∈R\displaystyle G''(x)=\dfrac{e^{x}(x-1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\geq 0\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{e^x}.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫01x3exf(x) dx=a−23\displaystyle \int_0^1\frac{x^3}{\sqrt{e^xf(x)}}\,dx=\frac{a-\sqrt{2}}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm radicalul din integrand: din definiția funcției, exf(x)=ex⋅x2+1ex=x2+1\displaystyle e^{x}f(x)=e^{x}\cdot\dfrac{x^{2}+1}{e^{x}}=x^{2}+1. Deci integrala devine ∫01x3x2+1 dx\displaystyle \int_0^1\dfrac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.
    ∫01x3x2+1 dx\displaystyle \int_0^1\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx
  2. Facem substituția t=x2+1\displaystyle t=x^{2}+1. Atunci dt=2x dx\displaystyle dt=2x\,dx, deci x3 dx=x2⋅x dx=t−12 dt\displaystyle x^{3}\,dx=x^{2}\cdot x\,dx=\dfrac{t-1}{2}\,dt. Limitele devin: pentru x=0\displaystyle x=0, t=1\displaystyle t=1, iar pentru x=1\displaystyle x=1, t=2\displaystyle t=2.
    12∫12t−1t dt\displaystyle \frac12\int_1^2\frac{t-1}{\sqrt{t}}\,dt
  3. Separăm fracția: t−1t=t1/2−t−1/2\displaystyle \dfrac{t-1}{\sqrt{t}}=t^{1/2}-t^{-1/2}. O primitivă este 23t3/2−2t1/2\displaystyle \dfrac{2}{3}t^{3/2}-2t^{1/2}.
    12(23tt−2t)∣12\displaystyle \frac12\left(\frac{2}{3}t\sqrt{t}-2\sqrt{t}\right)\Big|_1^2
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton. Pentru t=2\displaystyle t=2: 423−22=−223\displaystyle \dfrac{4\sqrt{2}}{3}-2\sqrt{2}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}. Pentru t=1\displaystyle t=1: 23−2=−43\displaystyle \dfrac{2}{3}-2=-\dfrac{4}{3}. Atunci integrala este 12(−223+43)=2−23\displaystyle \dfrac12\left(-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}+\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{2-\sqrt{2}}{3}.
    12(−223+43)=2−23\displaystyle \frac12\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{4}{3}\right)=\frac{2-\sqrt{2}}{3}
  5. Egalăm valoarea obținută cu expresia din enunț: 2−23=a−23\displaystyle \dfrac{2-\sqrt{2}}{3}=\dfrac{a-\sqrt{2}}{3}. Rezultă a=2\displaystyle a=2.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.