Bac matematică M1 mate-info 2015, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care numerele

\displaystyle 5

,

\displaystyle 2x+3

,

\displaystyle 2x+7

sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Vezi rezolvarea

Într-o progresie aritmetică, termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor săi, deci dublul termenului din mijloc este egal cu suma celorlalți doi. Pentru numerele $\displaystyle 5$ , $\displaystyle 2x+3$ , $\displaystyle 2x+7$ scriem această condiție.
$\displaystyle 2(2x+3)=5+(2x+7)$
Desfacem parantezele: în stânga obținem $\displaystyle 4x+6$ , iar în dreapta $\displaystyle 2x+12$ .
$\displaystyle 4x+6=2x+12$
Mutăm termenii cu $\displaystyle x$ în stânga și numerele în dreapta: $\displaystyle 4x-2x=12-6$ , deci $\displaystyle 2x=6$ .
$\displaystyle 2x=6$
Împărțim la $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle x=3$ . Verificare: numerele sunt $\displaystyle 5$ , $\displaystyle 9$ , $\displaystyle 13$ , cu rația $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle x=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Arătați că, pentru orice număr real

\displaystyle m

, graficul funcției

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+(m-1)x-m

intersectează axa

\displaystyle Ox

.

Vezi rezolvarea

Graficul funcției intersectează axa $\displaystyle Ox$ dacă ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are cel puțin o soluție reală. Aceasta este o ecuație de gradul al doilea cu coeficienții $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=m-1$ , $\displaystyle c=-m$ , deci are soluții reale exact când $\displaystyle \Delta\ge 0$ .
$\displaystyle a=1$ , $\displaystyle \ b=m-1$ , $\displaystyle \ c=-m$
Scriem discriminantul după formula $\displaystyle \Delta=b^2-4ac$ și înlocuim coeficienții. Deoarece $\displaystyle -4ac=-4\cdot 1\cdot(-m)=4m$ , obținem $\displaystyle (m-1)^2+4m$ .
$\displaystyle \Delta=(m-1)^2+4m$
Desfacem parantezele: $\displaystyle (m-1)^2=m^2-2m+1$ , apoi adunăm $\displaystyle 4m$ și reducem termenii asemenea.
$\displaystyle \Delta=m^2-2m+1+4m=m^2+2m+1$
Recunoaștem formula pătratului unei sume: $\displaystyle m^2+2m+1=(m+1)^2$ . Un pătrat de număr real este mereu nenegativ, deci $\displaystyle \Delta\ge 0$ pentru orice $\displaystyle m$ real. Prin urmare ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are soluții reale, iar graficul funcției $\displaystyle f$ intersectează axa $\displaystyle Ox$ pentru orice număr real $\displaystyle m$ .
$\displaystyle \Delta=(m+1)^2\ge 0\text{, deci, pentru orice }$ $\displaystyle \text{număr real }m\text{, graficul funcției }f\text{ intersectează axa }Ox$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{2-x}=2x-1

.

Vezi rezolvarea

Ecuația conține radical, deci trebuie să avem $\displaystyle 2-x\ge 0$ , adică $\displaystyle x\le 2$ . Deoarece radicalul este nenegativ, trebuie ca $\displaystyle 2x-1\ge 0$ , adică $\displaystyle x\ge \dfrac{1}{2}$ . Verificăm soluțiile la final.
$\displaystyle x\in\left[\dfrac{1}{2},2\right]$
Ridicăm ecuația la pătrat. Se obține $\displaystyle 2-x=(2x-1)^{2}$ .
$\displaystyle 2-x=(2x-1)^{2}$
Desfacem pătratul: $\displaystyle (2x-1)^{2}=4x^{2}-4x+1$ . Trecem toți termenii în partea dreaptă și reducem termenii asemenea, obținând ecuația de gradul al doilea $\displaystyle 4x^{2}-3x-1=0$ .
$\displaystyle 2-x=4x^{2}-4x+1\Leftrightarrow 4x^{2}-3x-1=0$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 4\cdot(-1)=9+16=25$ , deci $\displaystyle \sqrt{\Delta}=5$ .
$\displaystyle \Delta=25$
Aflăm rădăcinile: $\displaystyle x=\dfrac{3\pm 5}{8}$ , deci $\displaystyle x_1=-\dfrac{1}{4}$ și $\displaystyle x_2=1$ .
$\displaystyle x_1=-\dfrac{1}{4}$ , $\displaystyle \ x_2=1$
Verificăm soluțiile. Pentru $\displaystyle x=-\dfrac{1}{4}$ , membrul drept $\displaystyle 2x-1=-\dfrac{3}{2}$ este negativ, iar radicalul este pozitiv, deci nu convine. Pentru $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle \sqrt{2-1}=1$ și $\displaystyle 2\cdot 1-1=1$ , deci $\displaystyle x=1$ verifică ecuația. Soluția ecuației este $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle x_1=-\dfrac{1}{4}\text{, care nu verifică }$ $\displaystyle \text{ecuația, și }x_2=1\text{, care verifică ecuația}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea

\displaystyle \{1,2,3,4,5\}

, acesta să verifice relația

\displaystyle 5^{n-1}>(n+1)!

.

Vezi rezolvarea

Verificăm relația pentru $\displaystyle n=1$ : $\displaystyle 5^{0}=1$ , iar $\displaystyle (1+1)!=2!=2$ . Cum $\displaystyle 1\not>2$ , $\displaystyle n=1$ nu convine.
$\displaystyle 5^{0}=1\not>2=2!\text{, deci }n=1\text{ nu convine}$
Pentru $\displaystyle n=2$ : $\displaystyle 5^{1}=5$ , iar $\displaystyle 3!=6$ . Cum $\displaystyle 5\not>6$ , $\displaystyle n=2$ nu convine.
$\displaystyle 5^{1}=5\not>6=3!\text{, deci }n=2\text{ nu convine}$
Pentru $\displaystyle n=3$ : $\displaystyle 5^{2}=25$ , iar $\displaystyle 4!=24$ . Cum $\displaystyle 25>24$ , $\displaystyle n=3$ convine.
$\displaystyle 5^{2}=25>24=4!\text{, deci }n=3\text{ convine}$
Pentru $\displaystyle n=4$ : $\displaystyle 5^{3}=125$ , iar $\displaystyle 5!=120$ . Cum $\displaystyle 125>120$ , $\displaystyle n=4$ convine.
$\displaystyle 5^{3}=125>120=5!\text{, deci }n=4\text{ convine}$
Pentru $\displaystyle n=5$ : $\displaystyle 5^{4}=625$ , iar $\displaystyle 6!=720$ . Cum $\displaystyle 625\not>720$ , $\displaystyle n=5$ nu convine. Rămân doar valorile $\displaystyle 3$ și $\displaystyle 4$ , deci avem $\displaystyle 2$ cazuri favorabile.
$\displaystyle n\in\{3,4\}\text{, adică }2\text{ cazuri favorabile}$
Numărul cazurilor posibile este numărul de elemente ale mulțimii $\displaystyle \{1,2,3,4,5\}$ , adică $\displaystyle 5$ .
$\displaystyle 5\text{ cazuri posibile}$
Aplicăm definiția clasică a probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{2}{5}$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{2}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Determinați numărul real

\displaystyle b

, știind că, în reperul cartezian

\displaystyle xOy

, punctul de intersecție a dreptelor

\displaystyle x+(2a+1)y-4=0

și

\displaystyle 3x+by-8=0

este

\displaystyle M(a,-2)

.

Vezi rezolvarea

Punctul $\displaystyle M(a,-2)$ se află pe ambele drepte, deci coordonatele lui verifică ambele ecuații. Începem cu prima dreaptă: înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle a$ și $\displaystyle y$ cu $\displaystyle -2$ .
$\displaystyle a+(2a+1)\cdot(-2)-4=0$
Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: $\displaystyle a-4a-2-4=0$ , adică $\displaystyle -3a-6=0$ .
$\displaystyle -3a-6=0$
Rezolvăm ecuația în $\displaystyle a$ : $\displaystyle -3a=6$ , deci $\displaystyle a=-2$ .
$\displaystyle a=-2$
Acum punctul este $\displaystyle M(-2,-2)$ . Înlocuim $\displaystyle x=-2$ și $\displaystyle y=-2$ în a doua ecuație, $\displaystyle 3x+by-8=0$ .
$\displaystyle 3\cdot(-2)+b\cdot(-2)-8=0$
Calculăm: $\displaystyle -6-2b-8=0$ , deci $\displaystyle -2b=14$ , de unde $\displaystyle b=-7$ . Așadar $\displaystyle a=-2$ și $\displaystyle b=-7$ .
$\displaystyle a=-2\text{ și }b=-7$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\operatorname{tg}x

, pentru orice număr real

\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula sinusului unghiului dublu pentru numărător: $\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x$ .
$\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x$
Pentru numitor folosim formula cosinusului unghiului dublu: $\displaystyle \cos 2x=2\cos^{2}x-1$ .
$\displaystyle \cos 2x=2\cos^{2}x-1$
Adunăm 1 și obținem numitorul: $\displaystyle 1+\cos 2x=1+2\cos^{2}x-1=2\cos^{2}x$ .
$\displaystyle 1+\cos 2x=2\cos^{2}x$
Înlocuim numărătorul și numitorul în fracție. Pentru $\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ avem $\displaystyle \cos x\neq 0$ , deci putem simplifica fracția cu $\displaystyle 2\cos x$ . Obținem $\displaystyle \dfrac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\dfrac{2\sin x\cos x}{2\cos^{2}x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{tg}x$ .
$\displaystyle \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\frac{2\sin x\cos x}{2\cos^{2}x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{tg}x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră determinantul

\displaystyle D(x,y)=\begin{vmatrix}1 & x & \frac{1}{x}\\ 1 & y & \frac{1}{y}\\ 1 & \frac{1}{2} & 2\end{vmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale nenule.

Arătați că

\displaystyle D\left(2,\frac{1}{2}\right)=0

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=2$ și $\displaystyle y=\dfrac{1}{2}$ în determinant. Prima linie devine $\displaystyle \left(1,\ 2,\ \dfrac{1}{2}\right)$ , a doua linie devine $\displaystyle \left(1,\ \dfrac{1}{2},\ 2\right)$ , iar a treia linie rămâne $\displaystyle \left(1,\ \dfrac{1}{2},\ 2\right)$ .
$\displaystyle D\left(2,\frac{1}{2}\right)=\begin{vmatrix}1 & 2 & \frac{1}{2}\\ 1 & \frac{1}{2} & 2\\ 1 & \frac{1}{2} & 2\end{vmatrix}$
Observăm că linia a doua și linia a treia sunt identice. Un determinant cu două linii egale este nul, deci $\displaystyle D\left(2,\dfrac{1}{2}\right)=0$ .
$\displaystyle D\left(2,\frac{1}{2}\right)=0\text{, deoarece determinantul }$ $\displaystyle \text{are două linii egale}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră determinantul

\displaystyle D(x,y)=\begin{vmatrix}1 & x & \frac{1}{x}\\ 1 & y & \frac{1}{y}\\ 1 & \frac{1}{2} & 2\end{vmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale nenule.

Arătați că

\displaystyle D(x,y)=-\frac{1}{2xy}(2x-1)(2y-1)(x-y)

, pentru orice numere reale nenule

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Scădem linia a treia din prima linie și din a doua linie: $\displaystyle L_1\to L_1-L_3$ , $\displaystyle L_2\to L_2-L_3$ . Valoarea determinantului nu se schimbă, iar în prima coloană apar două zerouri.
$\displaystyle D(x,y)=\begin{vmatrix}0 & x-\frac{1}{2} & \frac{1}{x}-2\\ 0 & y-\frac{1}{2} & \frac{1}{y}-2\\ 1 & \frac{1}{2} & 2\end{vmatrix}$
Dezvoltăm determinantul după prima coloană. Singurul element nenul este $\displaystyle 1$ , aflat pe linia a treia, coloana întâi, cu semnul $\displaystyle (-1)^{3+1}=+1$ . Rămâne minorul de ordin doi.
$\displaystyle D(x,y)=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{y}-2\right)-\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x}-2\right)$
Aducem factorii la același numitor și scoatem factorii $\displaystyle 2x-1$ și $\displaystyle 2y-1$ . Avem $\displaystyle x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2x-1}{2}$ și $\displaystyle \dfrac{1}{y}-2=-\dfrac{2y-1}{y}$ . La fel, $\displaystyle y-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2y-1}{2}$ și $\displaystyle \dfrac{1}{x}-2=-\dfrac{2x-1}{x}$ .
$\displaystyle D(x,y)=-\frac{(2x-1)(2y-1)}{2y}+\frac{(2x-1)(2y-1)}{2x}$
Dăm factor comun $\displaystyle (2x-1)(2y-1)$ și reducem fracțiile la același numitor $\displaystyle 2xy$ . Diferența $\displaystyle \dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{2y}$ este $\displaystyle \dfrac{y-x}{2xy}$ , iar $\displaystyle y-x=-(x-y)$ . Obținem formula cerută, pentru orice $\displaystyle x,y$ reale nenule.
$\displaystyle D(x,y)=(2x-1)(2y-1)\left(\frac{1}{2x}-\frac{1}{2y}\right)=(2x-1)(2y-1)\cdot\frac{y-x}{2xy}=-\frac{1}{2xy}(2x-1)(2y-1)(x-y)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră determinantul

\displaystyle D(x,y)=\begin{vmatrix}1 & x & \frac{1}{x}\\ 1 & y & \frac{1}{y}\\ 1 & \frac{1}{2} & 2\end{vmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale nenule.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle D(\log_2 x,2)=0

.

Vezi rezolvarea

Pentru ca $\displaystyle \log_2 x$ să existe, avem $\displaystyle x>0$ . Argumentul determinantului trebuie să fie nenul, deci $\displaystyle \log_2 x\neq 0$ , adică $\displaystyle x\neq 1$ .
$\displaystyle x>0$ , $\displaystyle \ x\neq 1$
Dezvoltăm determinantul: $\displaystyle D(x,y)=2y-\dfrac{1}{2y}-2x+\dfrac{x}{y}+\dfrac{1}{2x}-\dfrac{y}{x}$ . Aducem la numitorul comun $\displaystyle 2xy$ .
$\displaystyle D(x,y)=\dfrac{4xy^{2}-x-4x^{2}y+2x^{2}+y-2y^{2}}{2xy}$
Numărătorul se descompune în factori: $\displaystyle (2x-1)(2y-1)(y-x)=-4x^{2}y+2x^{2}-x+4xy^{2}-2y^{2}+y$ , ceea ce coincide cu numărătorul de mai sus.
$\displaystyle D(x,y)=\dfrac{(2x-1)(2y-1)(y-x)}{2xy}$
Notăm $\displaystyle a=\log_2 x$ , cu $\displaystyle a\neq 0$ . Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle a$ și $\displaystyle y$ cu $\displaystyle 2$ : $\displaystyle D(a,2)=\dfrac{(2a-1)(2\cdot 2-1)(2-a)}{4a}$ . Fracția este nulă când numărătorul este nul, iar numitorul $\displaystyle 4a$ este nenul. Înmulțind cu $\displaystyle -1$ , ecuația devine:
$\displaystyle (2\log_2 x-1)(2\cdot 2-1)(\log_2 x-2)=0$
Factorul $\displaystyle 2\cdot 2-1=3$ este nenul. Rămân ecuațiile $\displaystyle 2\log_2 x-1=0$ , adică $\displaystyle \log_2 x=\dfrac{1}{2}$ , și $\displaystyle \log_2 x-2=0$ , adică $\displaystyle \log_2 x=2$ .
$\displaystyle \log_2 x=\dfrac{1}{2}\text{ sau }\log_2 x=2$
Revenim la $\displaystyle x$ : din $\displaystyle \log_2 x=\dfrac{1}{2}$ rezultă $\displaystyle x=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$ , iar din $\displaystyle \log_2 x=2$ rezultă $\displaystyle x=2^{2}=4$ . Ambele valori sunt pozitive și diferite de $\displaystyle 1$ , deci verifică condițiile.
$\displaystyle x=\sqrt{2}\text{ sau }x=4\text{, care verifică ecuația}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2&a\\a&1&2\\2&a&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle 2A(1)-A(-1)=A(3)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=1$ în $\displaystyle A(a)$ și obținem matricea $\displaystyle A(1)$ .
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&1&2\\2&1&1\end{pmatrix}$
Înlocuim $\displaystyle a=-1$ în $\displaystyle A(a)$ și obținem matricea $\displaystyle A(-1)$ .
$\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-1&1&2\\2&-1&1\end{pmatrix}$
Înmulțim fiecare element al lui $\displaystyle A(1)$ cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 2A(1)=\begin{pmatrix}2&4&2\\2&2&4\\4&2&2\end{pmatrix}$
Scădem element cu element: $\displaystyle 2A(1)-A(-1)$ . De exemplu, pe prima linie avem $\displaystyle 2-1=1$ , $\displaystyle 4-2=2$ , $\displaystyle 2-(-1)=3$ .
$\displaystyle 2A(1)-A(-1)=\begin{pmatrix}2-1&4-2&2+1\\2+1&2-1&4-2\\4-2&2+1&2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\\2&3&1\end{pmatrix}$
Înlocuim $\displaystyle a=3$ în $\displaystyle A(a)$ și obținem o matrice egală cu cea de mai sus, deci $\displaystyle 2A(1)-A(-1)=A(3)$ .
$\displaystyle 2A(1)-A(-1)=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\\2&3&1\end{pmatrix}=A(3)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2&a\\a&1&2\\2&a&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

pentru care

\displaystyle A(a)+bI_3=2(A(1)-I_3)(A(1)-I_3)

.

Vezi rezolvarea

Adunăm $\displaystyle bI_3$ la $\displaystyle A(a)$ : numărul $\displaystyle b$ se adaugă doar elementelor de pe diagonala principală, deci $\displaystyle A(a)+bI_3$ are forma de mai jos.
$\displaystyle A(a)+bI_3=\begin{pmatrix}1+b&2&a\\a&1+b&2\\2&a&1+b\end{pmatrix}$
Pentru $\displaystyle a=1$ avem $\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&1&2\\2&1&1\end{pmatrix}$ . Scădem $\displaystyle I_3$ , adică scădem 1 de pe diagonala principală.
$\displaystyle A(1)-I_3=\begin{pmatrix}0&2&1\\1&0&2\\2&1&0\end{pmatrix}$
Notăm $\displaystyle B=A(1)-I_3$ și calculăm $\displaystyle B\cdot B$ , înmulțind fiecare linie cu fiecare coloană. De exemplu, elementul din prima linie și prima coloană este $\displaystyle 0\cdot 0+2\cdot 1+1\cdot 2=4$ , iar cel din prima linie și a doua coloană este $\displaystyle 0\cdot 2+2\cdot 0+1\cdot 1=1$ . La fel se calculează restul elementelor.
$\displaystyle (A(1)-I_3)(A(1)-I_3)=\begin{pmatrix}4&1&4\\4&4&1\\1&4&4\end{pmatrix}$
Înmulțim cu 2 fiecare element al matricei $\displaystyle B^2$ și obținem membrul drept al egalității.
$\displaystyle 2(A(1)-I_3)(A(1)-I_3)=\begin{pmatrix}8&2&8\\8&8&2\\2&8&8\end{pmatrix}$
Egalăm elementele corespunzătoare. Din $\displaystyle a=8$ (poziția din prima linie, a treia coloană) și $\displaystyle 1+b=8$ (de pe diagonală) obținem $\displaystyle b=7$ . Celelalte elemente coincid: $\displaystyle 2=2$ și $\displaystyle a=8$ și pe a doua linie, prima coloană.
$\displaystyle a=8$ , $\displaystyle \ b=7$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2&a\\a&1&2\\2&a&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că matricea

\displaystyle A(n)

este inversabilă pentru orice număr natural

\displaystyle n

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricea pentru $\displaystyle a=n$ și calculăm determinantul cu regula lui Sarrus. Termenii cu semnul plus sunt $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1$ , $\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2$ și $\displaystyle n\cdot n\cdot n$ . Termenii cu semnul minus sunt $\displaystyle n\cdot 1\cdot 2$ , $\displaystyle 1\cdot 2\cdot n$ și $\displaystyle 2\cdot n\cdot 1$ .
$\displaystyle \det(A(n))=1+8+n^{3}-2n-2n-2n=n^{3}-6n+9$
Descompunem în factori polinomul $\displaystyle n^{3}-6n+9$ . Observăm că $\displaystyle n=-3$ este rădăcină, deoarece $\displaystyle -27+18+9=0$ , deci $\displaystyle n+3$ este factor. Împărțind la $\displaystyle n+3$ obținem câtul $\displaystyle n^{2}-3n+3$ . Verificare: $\displaystyle (n+3)(n^{2}-3n+3)=n^{3}-3n^{2}+3n+3n^{2}-9n+9=n^{3}-6n+9$ .
$\displaystyle \det(A(n))=(n+3)(n^{2}-3n+3)$
Studiem semnul celor doi factori. Pentru $\displaystyle n\in\mathbb{N}$ avem $\displaystyle n+3\geq 3>0$ . Pentru trinomul $\displaystyle n^{2}-3n+3$ discriminantul este $\displaystyle \Delta=9-12=-3<0$ și coeficientul lui $\displaystyle n^{2}$ este pozitiv, deci $\displaystyle n^{2}-3n+3>0$ pentru orice $\displaystyle n$ real.
$\displaystyle \Delta=-3<0\Rightarrow n^{2}-3n+3>0$ , $\displaystyle \quad n+3>0$
Produsul a doi factori strict pozitivi este strict pozitiv, deci determinantul nu se anulează pentru niciun număr natural $\displaystyle n$ . Ecuația $\displaystyle \det(A(n))=0$ nu are soluții în mulțimea numerelor naturale, deci matricea $\displaystyle A(n)$ este inversabilă pentru orice număr natural $\displaystyle n$ .
$\displaystyle \det(A(n))>0\neq 0\text{, deci }A(n)\text{ este inversabilă pentru }$ $\displaystyle \text{orice }n\in\mathbb{N}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln\frac{x+1}{x}

și șirul de numere reale

\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}

,

\displaystyle a_n=f(1)+f(2)+\ldots+f(n)

.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Asimptota orizontală spre $\displaystyle +\infty$ există dacă limita $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=L$ este un număr real finit; atunci ecuația ei este $\displaystyle y=L$ . Calculăm limita lui $\displaystyle f(x)=\ln\dfrac{x+1}{x}$ când $\displaystyle x\to+\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln\frac{x+1}{x}$
Simplificăm fracția din interiorul logaritmului: $\displaystyle \dfrac{x+1}{x}=1+\dfrac{1}{x}$ . Când $\displaystyle x\to+\infty$ , $\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0$ , deci argumentul logaritmului tinde la $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)=1$
Logaritmul este o funcție continuă pe $\displaystyle (0,+\infty)$ , deci putem trece la limită în argument: $\displaystyle \ln 1=0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln\frac{x+1}{x}=\ln 1=0$
Limita este finită și egală cu $\displaystyle 0$ , deci graficul funcției $\displaystyle f$ are asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ dreapta de ecuație $\displaystyle y=0$ .
$\displaystyle y=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln\frac{x+1}{x}

și șirul de numere reale

\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}

,

\displaystyle a_n=f(1)+f(2)+\ldots+f(n)

.

Arătați că șirul

\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}

este crescător.

Vezi rezolvarea

Un șir este crescător dacă $\displaystyle a_{n+1}-a_n\ge 0$ pentru orice $\displaystyle n\ge 1$ . Scriem $\displaystyle a_{n+1}=f(1)+f(2)+\ldots+f(n)+f(n+1)$ și $\displaystyle a_n=f(1)+f(2)+\ldots+f(n)$ .
$\displaystyle a_{n+1}=f(1)+\ldots+f(n)+f(n+1)$ , $\displaystyle \quad a_n=f(1)+\ldots+f(n)$
Scădem: termenii $\displaystyle f(1),\ldots,f(n)$ se reduc, deci rămâne doar ultimul termen.
$\displaystyle a_{n+1}-a_n=f(n+1)$
Înlocuim $\displaystyle x=n+1$ în $\displaystyle f(x)=\ln\dfrac{x+1}{x}$ .
$\displaystyle f(n+1)=\ln\frac{n+2}{n+1}$
Scriem $\displaystyle \dfrac{n+2}{n+1}=\dfrac{(n+1)+1}{n+1}=1+\dfrac{1}{n+1}$ .
$\displaystyle f(n+1)=\ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right)$
Pentru orice $\displaystyle n\ge 1$ avem $\displaystyle \dfrac{1}{n+1}>0$ , deci $\displaystyle 1+\dfrac{1}{n+1}>1$ . Cum $\displaystyle \ln t>0$ pentru $\displaystyle t>1$ , obținem $\displaystyle a_{n+1}-a_n>0$ , deci șirul este crescător.
$\displaystyle a_{n+1}-a_n=\ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right)>0\text{, pentru orice număr }$ $\displaystyle \text{natural nenul }n\text{, deci șirul }(a_n)_{n\ge 1}\text{ este crescător}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln\frac{x+1}{x}

și șirul de numere reale

\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}

,

\displaystyle a_n=f(1)+f(2)+\ldots+f(n)

.

Calculați

\displaystyle \lim_{n\to+\infty}(2n+1)(a_n-\ln n)

.

Vezi rezolvarea

Scriem fiecare termen al sumei folosind definiția funcției: $\displaystyle f(k)=\ln\dfrac{k+1}{k}$ , pentru $\displaystyle k=1,2,\ldots,n$ .
$\displaystyle a_n=\ln\frac{2}{1}+\ln\frac{3}{2}+\ldots+\ln\frac{n+1}{n}$
Folosim faptul că suma logaritmilor este logaritmul produsului. Produsul se telescopează: numărătorul fiecărei fracții se simplifică cu numitorul următoarei, deci rămâne $\displaystyle \dfrac{n+1}{1}$ .
$\displaystyle a_n=\ln\left(\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\ldots\cdot\frac{n+1}{n}\right)=\ln(n+1)$
Înlocuim $\displaystyle a_n=\ln(n+1)$ în limită și folosim diferența de logaritmi ca logaritm al câtului: $\displaystyle \ln(n+1)-\ln n=\ln\dfrac{n+1}{n}$ .
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}(2n+1)(\ln(n+1)-\ln n)=\lim_{n\to+\infty}(2n+1)\ln\frac{n+1}{n}$
Introducem factorul $\displaystyle 2n+1$ ca exponent al argumentului logaritmului.
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n+1}$
Scriem $\displaystyle \dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n}$ și exponentul $\displaystyle 2n+1=n\cdot\dfrac{2n+1}{n}$ , pentru a face să apară limita remarcabilă care dă $\displaystyle e$ .
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{\frac{2n+1}{n}}$
Folosim că $\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\to e$ , iar $\displaystyle \dfrac{2n+1}{n}\to 2$ . Din continuitatea logaritmului, limita este $\displaystyle \ln e^{2}=2$ .
$\displaystyle \ln e^{2}=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}2x+a+1, & x\le 1\\ x^2+a^2x, & x>1\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle a

pentru care funcția

\displaystyle f

este continuă în

\displaystyle x=1

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$ dacă limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în punct sunt egale: $\displaystyle \lim_{x\to1,\,x<1}f(x)=\lim_{x\to1,\,x>1}f(x)=f(1)$ .
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to1\\x<1}}f(x)=\lim_{\substack{x\to1\\x>1}}f(x)=f(1)$
Pentru $\displaystyle x\le 1$ avem $\displaystyle f(x)=2x+a+1$ , deci $\displaystyle \lim_{x\to1,\,x<1}f(x)=2\cdot 1+a+1$ și $\displaystyle f(1)=2\cdot 1+a+1$ .
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to1\\x<1}}f(x)=f(1)=a+3$
Pentru $\displaystyle x>1$ avem $\displaystyle f(x)=x^2+a^2x$ , deci $\displaystyle \lim_{x\to1,\,x>1}f(x)=1^2+a^2\cdot 1$ .
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to1\\x>1}}f(x)=1+a^2$
Egalăm cele două valori: $\displaystyle a+3=1+a^2$ , adică $\displaystyle a^2-a-2=0$ .
$\displaystyle a+3=1+a^2\Leftrightarrow a^2-a-2=0$
Discriminantul este $\displaystyle \Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)=9$ , deci $\displaystyle a=\dfrac{1\pm3}{2}$ . Obținem $\displaystyle a_1=-1$ și $\displaystyle a_2=2$ , valorile pentru care $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle a_1=-1\text{ și }a_2=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}2x+a+1, & x\le 1\\ x^2+a^2x, & x>1\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Pentru

\displaystyle a=2

, calculați

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(x)+x}\right)

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle x\to+\infty$ avem $\displaystyle x>1$ , deci folosim ramura $\displaystyle f(x)=x^{2}+a^{2}x$ . Pentru $\displaystyle a=2$ obținem $\displaystyle f(x)=x^{2}+4x$ , iar $\displaystyle f(x)+x=x^{2}+5x$ . Limita devine o diferență de radicali.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+4x}-\sqrt{x^{2}+5x}\right)$
Limita are forma $\displaystyle \infty-\infty$ . Amplificăm cu conjugata, adică suma radicalilor, și folosim formula $\displaystyle (A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2}$ .
$\displaystyle \frac{\left(\sqrt{x^{2}+4x}-\sqrt{x^{2}+5x}\right)\left(\sqrt{x^{2}+4x}+\sqrt{x^{2}+5x}\right)}{\sqrt{x^{2}+4x}+\sqrt{x^{2}+5x}}$
La numărător rămâne diferența expresiilor de sub radicali: $\displaystyle x^{2}+4x-(x^{2}+5x)=-x$ . Deci limita este limita raportului dintre $\displaystyle -x$ și suma radicalilor.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{-x}{\sqrt{x^{2}+4x}+\sqrt{x^{2}+5x}}$
Dăm factor comun pe $\displaystyle x$ la numitor. Pentru $\displaystyle x>0$ avem $\displaystyle \sqrt{x^{2}}=x$ , deci $\displaystyle \sqrt{x^{2}+4x}=x\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}$ și $\displaystyle \sqrt{x^{2}+5x}=x\sqrt{1+\dfrac{5}{x}}$ . Simplificăm fracția cu $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{-1}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+\sqrt{1+\frac{5}{x}}}$
Când $\displaystyle x\to+\infty$ , fracțiile $\displaystyle \dfrac{4}{x}$ și $\displaystyle \dfrac{5}{x}$ tind la $\displaystyle 0$ , deci fiecare radical tinde la $\displaystyle 1$ , iar numitorul tinde la $\displaystyle 2$ . Limita este $\displaystyle -\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \frac{-1}{1+1}=-\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}2x+a+1, & x\le 1\\ x^2+a^2x, & x>1\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Pentru

\displaystyle a=-1

, arătați că ecuația

\displaystyle f(x)+2^x=0

are cel puțin o soluție în intervalul

\displaystyle [-1,0]

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle a=-1$ și $\displaystyle x\in[-1,0]$ avem $\displaystyle x\le 1$ , deci $\displaystyle f(x)=2x+a+1=2x+(-1)+1=2x$ .
$\displaystyle f(x)=2x$ , $\displaystyle \ x\in[-1,0]$
Definim funcția auxiliară $\displaystyle g:[-1,0]\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle g(x)=f(x)+2^x=2x+2^x$ . Ecuația $\displaystyle f(x)+2^x=0$ este echivalentă cu $\displaystyle g(x)=0$ .
$\displaystyle g:[-1,0]\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle \ g(x)=2x+2^x$
Funcția $\displaystyle g$ este continuă pe $\displaystyle [-1,0]$ , fiind suma dintre funcția polinomială $\displaystyle 2x$ și funcția exponențială $\displaystyle 2^x$ , ambele continue.
$\displaystyle g\text{ continuă pe }[-1,0]$
Calculăm valoarea lui $\displaystyle g$ în capătul $\displaystyle -1$ : $\displaystyle g(-1)=2\cdot(-1)+2^{-1}=-2+\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle g(-1)=-2+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}<0$
Calculăm valoarea lui $\displaystyle g$ în capătul $\displaystyle 0$ : $\displaystyle g(0)=2\cdot 0+2^{0}=0+1$ .
$\displaystyle g(0)=1>0$
Funcția $\displaystyle g$ este continuă pe $\displaystyle [-1,0]$ și are semne diferite la capete, $\displaystyle g(-1)<0$ și $\displaystyle g(0)>0$ . Conform proprietății lui Darboux, există cel puțin un punct $\displaystyle c\in[-1,0]$ cu $\displaystyle g(c)=0$ , deci ecuația $\displaystyle f(x)+2^x=0$ are cel puțin o soluție în $\displaystyle [-1,0]$ .
$\displaystyle g\text{ continuă}$ , $\displaystyle \ g(-1)=-\frac{3}{2}<0$ , $\displaystyle \ g(0)=1>0\Rightarrow \exists\, c\in[-1,0]$ , $\displaystyle \ g(c)=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2015, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani