Bac matematică M1 mate-info 2017, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \frac{2+i}{2-i}+\frac{2-i}{2+i}=\frac{6}{5}

, unde

\displaystyle i^2=-1

.

Vezi rezolvarea

Aducem cele două fracții la numitorul comun $\displaystyle (2-i)(2+i)$ , amplificând prima fracție cu $\displaystyle 2+i$ și a doua fracție cu $\displaystyle 2-i$ .
$\displaystyle \frac{(2+i)^2+(2-i)^2}{(2-i)(2+i)}$
Dezvoltăm pătratele de la numărător cu formulele $\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ și $\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ . Termenii $\displaystyle 4i$ și $\displaystyle -4i$ se reduc.
$\displaystyle (2+i)^2+(2-i)^2=4+4i+i^2+4-4i+i^2=8+2i^2$
Numitorul este o diferență de pătrate: $\displaystyle (2-i)(2+i)=2^2-i^2$ .
$\displaystyle (2-i)(2+i)=2^2-i^2=4-i^2$
Înlocuim $\displaystyle i^2=-1$ la numărător și la numitor: numărătorul este $\displaystyle 8+2\cdot(-1)=6$ , iar numitorul este $\displaystyle 4-(-1)=5$ . Astfel se obține rezultatul cerut.
$\displaystyle \frac{4+4i+i^2+4-4i+i^2}{2^2-i^2}=\frac{8-2}{4+1}=\frac{6}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră

\displaystyle x_1

și

\displaystyle x_2

soluțiile ecuației

\displaystyle x^2-(2m+3)x+m^2+3m+2=0

. Arătați că

\displaystyle (x_1-x_2)^2=1

, pentru orice număr real

\displaystyle m

.

Vezi rezolvarea

Scriem relațiile lui Viète pentru ecuația $\displaystyle x^2-(2m+3)x+m^2+3m+2=0$ , cu $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-(2m+3)$ , $\displaystyle c=m^2+3m+2$ . Suma rădăcinilor este $\displaystyle -\dfrac{b}{a}$ , iar produsul este $\displaystyle \dfrac{c}{a}$ .
$\displaystyle x_1+x_2=2m+3$ , $\displaystyle \quad x_1x_2=m^2+3m+2$
Exprimăm pătratul diferenței prin sumă și produs, folosind identitatea $\displaystyle (x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$ .
$\displaystyle (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
Înlocuim suma și produsul din relațiile lui Viète și dezvoltăm $\displaystyle (2m+3)^2=4m^2+12m+9$ .
$\displaystyle (x_1-x_2)^2=(2m+3)^2-4(m^2+3m+2)=4m^2+12m+9-4m^2-12m-8$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle 4m^2-4m^2=0$ , $\displaystyle 12m-12m=0$ , iar $\displaystyle 9-8=1$ . Rezultatul nu depinde de $\displaystyle m$ , deci egalitatea are loc pentru orice număr real $\displaystyle m$ .
$\displaystyle (x_1-x_2)^2=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{x-3}=5-x

.

Vezi rezolvarea

Ecuația conține radical, deci cerem $\displaystyle x-3\ge 0$ , iar membrul drept, fiind egal cu o rădăcină pătrată, trebuie să fie pozitiv sau nul: $\displaystyle 5-x\ge 0$ . Rezultă $\displaystyle x\ge 3$ și $\displaystyle x\le 5$ .
$\displaystyle x\in[3,5]$
Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat: $\displaystyle \left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=(5-x)^{2}$ , adică $\displaystyle x-3=(5-x)^{2}$ .
$\displaystyle x-3=(5-x)^{2}$
Desfacem pătratul: $\displaystyle (5-x)^{2}=25-10x+x^{2}$ . Ecuația devine $\displaystyle x-3=x^{2}-10x+25$ . Mutăm termenii în dreapta: $\displaystyle 0=x^{2}-10x+25-x+3$ , deci $\displaystyle x^{2}-11x+28=0$ .
$\displaystyle x-3=(5-x)^{2}$ , $\displaystyle \ x^{2}-11x+28=0$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=(-11)^{2}-4\cdot 1\cdot 28=121-112=9$ . Atunci $\displaystyle x=\dfrac{11\pm 3}{2}$ , deci $\displaystyle x=7$ sau $\displaystyle x=4$ .
$\displaystyle x=7\text{ sau }x=4$
Ridicarea la pătrat poate introduce soluții străine, deci verificăm în ecuația inițială. Pentru $\displaystyle x=7$ : $\displaystyle \sqrt{7-3}=2$ , iar $\displaystyle 5-7=-2$ , deci $\displaystyle 2\ne -2$ și $\displaystyle x=7$ nu verifică (nici nu aparține lui $\displaystyle [3,5]$ ). Pentru $\displaystyle x=4$ : $\displaystyle \sqrt{4-3}=1$ , iar $\displaystyle 5-4=1$ , deci $\displaystyle x=4$ verifică. Singura soluție a ecuației este $\displaystyle x=4$ .
$\displaystyle x=7\text{, care nu verifică }$ $\displaystyle \text{ecuația, sau }x=4\text{, care verifică ecuația}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma doar cu cifre pare.

Vezi rezolvarea

Cifrele pare sunt $\displaystyle 0, 2, 4, 6, 8$ , deci avem $\displaystyle 5$ cifre pare. Numărul are trei cifre, deci cifra sutelor nu poate fi $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \{0,2,4,6,8\}$
Cifra sutelor se alege dintre $\displaystyle 2, 4, 6, 8$ , adică în $\displaystyle 4$ moduri.
$\displaystyle 4\text{ moduri pentru cifra }$ $\displaystyle \text{sutelor}$
Cifra zecilor poate fi orice cifră pară diferită de cifra sutelor. Acum putem folosi și $\displaystyle 0$ , deci rămân $\displaystyle 5-1=4$ cifre posibile.
$\displaystyle 4\text{ moduri pentru cifra }$ $\displaystyle \text{sutelor, câte }4\text{ moduri pentru cifra }$ $\displaystyle \text{zecilor}$
Cifra unităților trebuie să fie diferită de primele două cifre alese, deci rămân $\displaystyle 5-2=3$ moduri.
$\displaystyle 3\text{ moduri pentru cifra }$ $\displaystyle \text{unităților}$
Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de alegeri pentru fiecare cifră. Obținem $\displaystyle 4\cdot 4\cdot 3=48$ , deci se pot forma $\displaystyle 48$ de numere.
$\displaystyle 4\cdot 4\cdot 3=48$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

și punctele

\displaystyle M

,

\displaystyle N

și

\displaystyle P

, mijloacele laturilor

\displaystyle AB

,

\displaystyle BC

, respectiv

\displaystyle AC

. Demonstrați că

\displaystyle \overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BP}

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle M$ este mijlocul lui $\displaystyle AB$ , iar $\displaystyle P$ este mijlocul lui $\displaystyle AC$ . Segmentul $\displaystyle MP$ unește mijloacele a două laturi ale triunghiului $\displaystyle ABC$ , deci este linie mijlocie.
$\displaystyle MP\text{ este linie mijlocie în }\triangle ABC$
Linia mijlocie $\displaystyle MP$ este paralelă cu a treia latură, adică $\displaystyle BC$ . La fel, $\displaystyle N$ este mijlocul lui $\displaystyle BC$ și $\displaystyle P$ este mijlocul lui $\displaystyle AC$ , deci $\displaystyle NP$ este linie mijlocie și este paralelă cu $\displaystyle AB$ .
$\displaystyle MP\parallel BC$ , $\displaystyle \ NP\parallel AB$
Punctele $\displaystyle M$ și $\displaystyle B$ sunt pe dreapta $\displaystyle AB$ , iar $\displaystyle N$ și $\displaystyle B$ sunt pe dreapta $\displaystyle BC$ . Din $\displaystyle MP\parallel BN$ și $\displaystyle NP\parallel BM$ rezultă că patrulaterul $\displaystyle BNPM$ are laturile opuse paralele două câte două, deci este paralelogram.
$\displaystyle BNPM\text{ este paralelogram}$
În paralelogramul $\displaystyle BNPM$ , $\displaystyle B$ și $\displaystyle P$ sunt vârfuri opuse, iar $\displaystyle BM$ și $\displaystyle BN$ sunt laturi care pornesc din $\displaystyle B$ . Conform regulii paralelogramului, suma vectorilor $\displaystyle \overrightarrow{BM}$ și $\displaystyle \overrightarrow{BN}$ este vectorul diagonalei $\displaystyle \overrightarrow{BP}$ .
$\displaystyle BNPM\text{ paralelogram, deci }\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BP}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Determinați numerele reale

\displaystyle x

, știind că

\displaystyle \sin 2x=\cos x

și

\displaystyle x\in\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula sinusului unghiului dublu, $\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x$ , și înlocuim în ecuație: $\displaystyle 2\sin x\cos x=\cos x$ .
$\displaystyle 2\sin x\cos x=\cos x$
Mutăm tot în membrul stâng și dăm factor comun $\displaystyle \cos x$ : $\displaystyle 2\sin x\cos x-\cos x=0$ . Nu împărțim la $\displaystyle \cos x$ , ca să nu pierdem soluții.
$\displaystyle \cos x\,(2\sin x-1)=0$
Un produs este zero când un factor este zero, deci $\displaystyle \cos x=0$ sau $\displaystyle 2\sin x-1=0$ , adică $\displaystyle \sin x=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \cos x=0\text{ sau }\sin x=\frac{1}{2}$
Rezolvăm $\displaystyle \cos x=0$ pe intervalul $\displaystyle \left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right]$ . Pe acest interval, cosinusul se anulează doar în $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}$ .
$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$
Rezolvăm $\displaystyle \sin x=\dfrac{1}{2}$ pe $\displaystyle \left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right]$ . Soluțiile de bază sunt $\displaystyle \dfrac{\pi}{6}$ și $\displaystyle \dfrac{5\pi}{6}$ , iar în interval se află doar $\displaystyle \dfrac{5\pi}{6}$ , deoarece $\displaystyle \dfrac{\pi}{6}<\dfrac{\pi}{2}$ .
$\displaystyle x=\frac{5\pi}{6}$
Reunim soluțiile găsite în intervalul dat: $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2}$ sau $\displaystyle x=\dfrac{5\pi}{6}$ .
$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}\text{ sau }x=\frac{5\pi}{6}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&3\\1&3&a\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases}x+y+z=1\\x+ay+3z=2\\x+3y+az=2\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(a))=(a+1)(a-3)

, pentru orice număr real

\displaystyle a

.

Vezi rezolvarea

Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(a)$ și îl calculăm cu regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
$\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&3\\1&3&a\end{vmatrix}$
Termenii cu plus sunt $\displaystyle 1\cdot a\cdot a$ , $\displaystyle 1\cdot 3\cdot 1$ și $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 3$ , adică $\displaystyle a^{2}$ , $\displaystyle 3$ și $\displaystyle 3$ . Termenii cu minus sunt $\displaystyle 1\cdot a\cdot 1$ , $\displaystyle 1\cdot 3\cdot 3$ și $\displaystyle 1\cdot 1\cdot a$ , adică $\displaystyle a$ , $\displaystyle 9$ și $\displaystyle a$ .
$\displaystyle \det(A(a))=a^{2}+3+3-a-9-a$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle 3+3-9=-3$ și $\displaystyle -a-a=-2a$ .
$\displaystyle \det(A(a))=a^{2}-2a-3$
Descompunem trinomul în factori: căutăm două numere cu suma $\displaystyle -2$ și produsul $\displaystyle -3$ , adică $\displaystyle 1$ și $\displaystyle -3$ . Scriem $\displaystyle -2a=a-3a$ și dăm factor comun: $\displaystyle a^{2}+a-3a-3=a(a+1)-3(a+1)$ .
$\displaystyle a^{2}-2a-3=a(a+1)-3(a+1)=(a+1)(a-3)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&3\\1&3&a\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases}x+y+z=1\\x+ay+3z=2\\x+3y+az=2\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle m

pentru care

\displaystyle A(m)A(2-m)=A(2-m)A(m)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle A(m)A(2-m)$ . Observăm că în $\displaystyle A(2-m)$ apare numărul $\displaystyle 2-m$ în locul lui $\displaystyle a$ , iar $\displaystyle m(2-m)=2m-m^{2}$ . Înmulțim fiecare linie a primei matrice cu fiecare coloană a celei de-a doua.
$\displaystyle m(2-m)=2m-m^{2}$
Prima linie a produsului: $\displaystyle 1+1+1=3$ , apoi $\displaystyle 1+(2-m)+3=6-m$ , iar pe a treia coloană $\displaystyle 1+3+(2-m)=6-m$ . Prima coloană: $\displaystyle 1+m+3=m+4$ și $\displaystyle 1+3+m=m+4$ . Elementul din mijloc: $\displaystyle 1+m(2-m)+9=-m^{2}+2m+10$ . Elementul de pe linia 2, coloana 3: $\displaystyle 1+3m+3(2-m)=7$ . Elementul de pe linia 3, coloana 2: $\displaystyle 1+3(2-m)+3m=7$ . Elementul de pe linia 3, coloana 3 este la fel ca cel din mijloc.
$\displaystyle A(m)A(2-m)=\begin{pmatrix}3&6-m&6-m\\m+4&-m^{2}+2m+10&7\\m+4&7&-m^{2}+2m+10\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle A(2-m)A(m)$ la fel; rolurile lui $\displaystyle m$ și $\displaystyle 2-m$ se schimbă. Prima linie devine $\displaystyle 3$ , $\displaystyle 1+m+3=m+4$ și $\displaystyle 1+3+m=m+4$ . Prima coloană devine $\displaystyle 3$ , $\displaystyle 1+(2-m)+3=6-m$ și $\displaystyle 6-m$ . Celelalte elemente rămân la fel, deoarece produsul $\displaystyle m(2-m)$ este același, iar $\displaystyle 1+3m+3(2-m)=7$ și $\displaystyle 1+3(2-m)+3m=7$ .
$\displaystyle A(2-m)A(m)=\begin{pmatrix}3&m+4&m+4\\6-m&-m^{2}+2m+10&7\\6-m&7&-m^{2}+2m+10\end{pmatrix}$
Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice. Elementele $\displaystyle 3$ , $\displaystyle -m^{2}+2m+10$ și $\displaystyle 7$ coincid pentru orice $\displaystyle m$ . Singura condiție rămasă este $\displaystyle 6-m=m+4$ , din pozițiile $\displaystyle (1,2)$ , $\displaystyle (1,3)$ , $\displaystyle (2,1)$ și $\displaystyle (3,1)$ .
$\displaystyle 6-m=m+4$
Rezolvăm ecuația: $\displaystyle 6-m=m+4$ conduce la $\displaystyle 2=2m$ , deci $\displaystyle m=1$ . Pentru $\displaystyle m=1$ cele două matrice sunt egale, deoarece $\displaystyle 2-m=1$ , iar $\displaystyle A(1)$ comută cu ea însăși.
$\displaystyle m=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&3\\1&3&a\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases}x+y+z=1\\x+ay+3z=2\\x+3y+az=2\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numerele întregi

\displaystyle a

pentru care sistemul are soluție unică

\displaystyle (x_0,y_0,z_0)

, iar

\displaystyle x_0

,

\displaystyle y_0

și

\displaystyle z_0

sunt numere întregi.

Vezi rezolvarea

Calculăm determinantul matricei sistemului, dezvoltat după prima linie: $\displaystyle \det A(a)=(a^{2}-9)-(a-3)+(3-a)$ , adică $\displaystyle a^{2}-2a-3$ .
$\displaystyle \det A(a)=a^{2}-2a-3=(a-3)(a+1)$
Sistemul are soluție unică exact când $\displaystyle \det A(a)\neq 0$ , deci $\displaystyle a\neq -1$ și $\displaystyle a\neq 3$ .
$\displaystyle a\neq -1$ , $\displaystyle \ a\neq 3$
Scădem a treia ecuație din a doua: $\displaystyle (a-3)y+(3-a)z=0$ , adică $\displaystyle (a-3)(y-z)=0$ . Cum $\displaystyle a\neq 3$ , rezultă $\displaystyle y=z$ .
$\displaystyle y=z$
Înlocuind $\displaystyle z=y$ în primele două ecuații obținem $\displaystyle x+2y=1$ și $\displaystyle x+(a+3)y=2$ . Scăzând prima ecuație din a doua, rezultă $\displaystyle (a+1)y=1$ .
$\displaystyle (a+1)y=1$
Cum $\displaystyle a\neq -1$ , avem $\displaystyle y=z=\dfrac{1}{a+1}$ . Din $\displaystyle x+2y=1$ obținem $\displaystyle x=1-\dfrac{2}{a+1}=\dfrac{a-1}{a+1}$ .
$\displaystyle (x_0,y_0,z_0)=\left(\frac{a-1}{a+1},\frac{1}{a+1},\frac{1}{a+1}\right)$
Pentru ca $\displaystyle y_0=\dfrac{1}{a+1}$ să fie întreg, $\displaystyle a+1$ trebuie să fie divizor al lui $\displaystyle 1$ , deci $\displaystyle a+1\in\{-1,1\}$ .
$\displaystyle a+1=-1\text{ sau }a+1=1$
De aici $\displaystyle a=-2$ sau $\displaystyle a=0$ , valori diferite de $\displaystyle -1$ și de $\displaystyle 3$ . Pentru $\displaystyle a=0$ soluția este $\displaystyle (-1,1,1)$ , iar pentru $\displaystyle a=-2$ soluția este $\displaystyle (3,-1,-1)$ . În ambele cazuri $\displaystyle x_0,y_0,z_0$ sunt întregi.
$\displaystyle a=-2\text{ sau }a=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=-5xy+10x+10y-18

.

Arătați că

\displaystyle x*y=2-5(x-2)(y-2)

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Pornim de la definiția $\displaystyle x*y=-5xy+10x+10y-18$ .
$\displaystyle x*y=-5xy+10x+10y-18$
Scriem $\displaystyle -18=-20+2$ , ca să pregătim gruparea termenilor.
$\displaystyle x*y=-5xy+10x+10y-20+2$
Grupăm $\displaystyle -5xy+10x$ , unde factorul comun este $\displaystyle -5x$ , și $\displaystyle 10y-20$ , unde factorul comun este $\displaystyle 10$ .
$\displaystyle x*y=-5x(y-2)+10(y-2)+2$
Scoatem factorul comun $\displaystyle y-2$ : $\displaystyle (y-2)(-5x+10)$ . Apoi scriem $\displaystyle -5x+10=-5(x-2)$ .
$\displaystyle x*y=(y-2)(-5x+10)+2=-5(x-2)(y-2)+2$
Rearanjăm termenii și obținem forma cerută, pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle x*y=2-5(x-2)(y-2)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=-5xy+10x+10y-18

. Determinați numerele naturale

\displaystyle n

, știind că

\displaystyle (n*n)*n=n

.

Vezi rezolvarea

Scriem legea de compoziție într-o formă mai comodă, grupând termenii: $\displaystyle x*y=-5(x-2)(y-2)+2$ . Verificare: $\displaystyle -5(xy-2x-2y+4)+2=-5xy+10x+10y-18$ .
$\displaystyle x*y=2-5(x-2)(y-2)$
Calculăm $\displaystyle n*n$ , înlocuind $\displaystyle x=n$ și $\displaystyle y=n$ în forma obținută.
$\displaystyle n*n=2-5(n-2)^{2}$
Calculăm $\displaystyle (n*n)*n$ . Avem $\displaystyle (n*n)-2=-5(n-2)^{2}$ , deci $\displaystyle (n*n)*n=2-5\cdot\left(-5(n-2)^{2}\right)\cdot(n-2)$ .
$\displaystyle (n*n)*n=2+25(n-2)^{3}$
Punem condiția $\displaystyle (n*n)*n=n$ și obținem o ecuație în $\displaystyle n$ .
$\displaystyle 2+25(n-2)^{3}=n$
Scriem $\displaystyle n-2$ în dreapta: $\displaystyle 2+25(n-2)^{3}=n$ devine $\displaystyle 25(n-2)^{3}=n-2$ . Mutăm totul în stânga și dăm factor comun $\displaystyle n-2$ .
$\displaystyle (n-2)\left(25(n-2)^{2}-1\right)=0$
Din primul factor, $\displaystyle n=2$ . Din al doilea factor, $\displaystyle (n-2)^{2}=\dfrac{1}{25}$ , deci $\displaystyle n=2\pm\dfrac{1}{5}$ , adică $\displaystyle \dfrac{11}{5}$ sau $\displaystyle \dfrac{9}{5}$ , care nu sunt numere naturale. Reținem doar soluția naturală.
$\displaystyle n=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=-5xy+10x+10y-18

.

Arătați că, dacă

\displaystyle a*a=b

și

\displaystyle b*b=a

, atunci

\displaystyle a=b=2

sau

\displaystyle a=b=\frac{9}{5}

.

Vezi rezolvarea

Observăm că legea se poate scrie sub forma $\displaystyle x*y=2-5(x-2)(y-2)$ . Verificare: $\displaystyle -5(x-2)(y-2)=-5xy+10x+10y-20$ , iar adunând $\displaystyle 2$ obținem exact $\displaystyle -5xy+10x+10y-18$ .
$\displaystyle x*y=2-5(x-2)(y-2)$
Folosim forma găsită pentru prima relație, $\displaystyle a*a=b$ . Obținem $\displaystyle b=2-5(a-2)^2$ , adică $\displaystyle b-2=-5(a-2)^2$ .
$\displaystyle b-2=-5(a-2)^2$
La fel, pentru a doua relație, $\displaystyle b*b=a$ , obținem $\displaystyle a-2=-5(b-2)^2$ .
$\displaystyle a-2=-5(b-2)^2$
Înlocuim $\displaystyle b-2=-5(a-2)^2$ în a doua relație. Cum $\displaystyle \left(-5(a-2)^2\right)^2=25(a-2)^4$ , rezultă $\displaystyle a-2=-5\cdot 25\cdot(a-2)^4=-125(a-2)^4$ .
$\displaystyle a-2=-125(a-2)^4$
Notăm $\displaystyle t=a-2$ . Ecuația devine $\displaystyle t=-125t^4$ , adică $\displaystyle t(125t^3+1)=0$ .
$\displaystyle t\left(125t^3+1\right)=0$
Fie $\displaystyle t=0$ , fie $\displaystyle 125t^3=-1$ , adică $\displaystyle t^3=-\dfrac{1}{125}$ . Singura soluție reală a acesteia este $\displaystyle t=-\dfrac{1}{5}$ .
$\displaystyle t=0\text{ sau }t=-\dfrac{1}{5}$
Dacă $\displaystyle a-2=0$ , atunci $\displaystyle a=2$ și $\displaystyle b-2=-5\cdot 0=0$ , deci $\displaystyle b=2$ . Dacă $\displaystyle a-2=-\dfrac{1}{5}$ , atunci $\displaystyle a=\dfrac{9}{5}$ și $\displaystyle b-2=-5\cdot\dfrac{1}{25}=-\dfrac{1}{5}$ , deci $\displaystyle b=\dfrac{9}{5}$ . În ambele cazuri $\displaystyle a=b$ .
$\displaystyle a-2=0\text{, de unde }a=b=2\text{ sau }a-2=-\frac{1}{5}\text{, de unde }a=b=\frac{9}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2x+2}}

.

Determinați intervalele de monotonie ale funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Trinomul $\displaystyle x^{2}+2x+2$ are discriminantul $\displaystyle \Delta=4-8=-4<0$ și coeficientul dominant pozitiv, deci $\displaystyle x^{2}+2x+2>0$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ . Funcția $\displaystyle f$ este derivabilă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ .
$\displaystyle x^{2}+2x+2>0$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$
Aplicăm formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ cu $\displaystyle u=x$ și $\displaystyle v=\sqrt{x^{2}+2x+2}$ . Avem $\displaystyle u'=1$ și $\displaystyle v'=\dfrac{2x+2}{2\sqrt{x^{2}+2x+2}}=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+2x+2}-x\cdot\dfrac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}}{x^{2}+2x+2}$
Amplificăm primul termen din numărător cu radicalul: $\displaystyle \sqrt{x^{2}+2x+2}=\dfrac{x^{2}+2x+2}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}$ . Numărătorul devine $\displaystyle \dfrac{x^{2}+2x+2-x^{2}-x}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}=\dfrac{x+2}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}$ . Împărțind la $\displaystyle x^{2}+2x+2$ obținem derivata.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x+2}{\left(x^{2}+2x+2\right)\sqrt{x^{2}+2x+2}}$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$
Numitorul $\displaystyle \left(x^{2}+2x+2\right)\sqrt{x^{2}+2x+2}$ este strict pozitiv pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , deci semnul lui $\displaystyle f'(x)$ coincide cu semnul lui $\displaystyle x+2$ .
$\displaystyle \operatorname{sgn} f'(x)=\operatorname{sgn}(x+2)$
Dacă $\displaystyle x\in(-\infty,-2]$ , atunci $\displaystyle x+2\leq 0$ , deci $\displaystyle f'(x)\leq 0$ . Prin urmare $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle (-\infty,-2]$ .
$\displaystyle x\in(-\infty,-2]\Rightarrow f'(x)\leq 0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }(-\infty,-2]$
Dacă $\displaystyle x\in[-2,+\infty)$ , atunci $\displaystyle x+2\geq 0$ , deci $\displaystyle f'(x)\geq 0$ . Prin urmare $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle [-2,+\infty)$ .
$\displaystyle x\in[-2,+\infty)\Rightarrow f'(x)\geq 0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[-2,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2x+2}}

.

Arătați că

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)\right)^{2x}=\frac{1}{e^2}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)$ . Pentru $\displaystyle x>0$ avem $\displaystyle \sqrt{x^2+2x+2}=x\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x^2}}$ , deci $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}}$ , care tinde la $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=1$
Din $\displaystyle f(x)\to 1$ și $\displaystyle 2x\to+\infty$ , limita are forma nedeterminată $\displaystyle 1^{\infty}$ . Folosim limita remarcabilă $\displaystyle \lim_{u\to 0}(1+u)^{1/u}=e$ .
$\displaystyle 1^{\infty}$
Scriem $\displaystyle \left(f(x)\right)^{2x}=\left(f(x)^2\right)^{x}$ , iar $\displaystyle f(x)^2=\dfrac{x^2}{x^2+2x+2}$ (radicalul dispare prin ridicare la pătrat).
$\displaystyle \left(f(x)\right)^{2x}=\left(\frac{x^2}{x^2+2x+2}\right)^x$
Scriem baza ca $\displaystyle 1+u(x)$ : $\displaystyle \dfrac{x^2}{x^2+2x+2}=1+\dfrac{-2x-2}{x^2+2x+2}$ , unde $\displaystyle u(x)=\dfrac{-2x-2}{x^2+2x+2}\to 0$ când $\displaystyle x\to+\infty$ .
$\displaystyle \frac{x^2}{x^2+2x+2}=1+\frac{-2x-2}{x^2+2x+2}$
Scriem expresia sub forma $\displaystyle \left((1+u)^{1/u}\right)^{u\cdot x}$ , cu $\displaystyle u=\dfrac{-2x-2}{x^2+2x+2}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\left(1+\frac{-2x-2}{x^2+2x+2}\right)^{\frac{x^2+2x+2}{-2x-2}}\right)^{\frac{-2x-2}{x^2+2x+2}\cdot x}$
Baza interioară tinde la $\displaystyle e$ . Exponentul este $\displaystyle \dfrac{-2x-2}{x^2+2x+2}\cdot x=\dfrac{-2x^2-2x}{x^2+2x+2}$ , iar limita lui este raportul coeficienților dominanți: $\displaystyle \dfrac{-2}{1}=-2$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{-2x^2-2x}{x^2+2x+2}=-2$
Deci limita cerută este $\displaystyle e^{-2}=\dfrac{1}{e^2}$ .
$\displaystyle e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{-2x^2-2x}{x^2+2x+2}}=e^{-2}=\frac{1}{e^2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2x+2}}

.

Demonstrați că pentru orice număr real

\displaystyle a

,

\displaystyle a\in(-\sqrt{2},-1)

, ecuația

\displaystyle f(x)=a

are exact două soluții reale distincte.

Vezi rezolvarea

Definim funcția $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle g(x)=f(x)-a$ . Numitorul $\displaystyle x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1$ este strict pozitiv, deci $\displaystyle f$ este derivabilă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ . Soluțiile ecuației $\displaystyle f(x)=a$ sunt zerourile funcției $\displaystyle g$ , iar $\displaystyle g'(x)=f'(x)$ .
$\displaystyle g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}-a$ , $\displaystyle \quad g'(x)=f'(x)$
Calculăm derivata lui $\displaystyle f$ cu formula pentru derivata câtului. Avem $\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+2x+2}\right)'=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}$ . După aducerea la același numitor, numărătorul devine $\displaystyle x^{2}+2x+2-x(x+1)=x+2$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+2x+2}-\dfrac{x(x+1)}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}}{x^{2}+2x+2}=\dfrac{x+2}{\left(x^{2}+2x+2\right)\sqrt{x^{2}+2x+2}}$
Numitorul derivatei este strict pozitiv, deci semnul lui $\displaystyle g'(x)$ este semnul lui $\displaystyle x+2$ . Pentru $\displaystyle x<-2$ derivata este negativă, iar pentru $\displaystyle x>-2$ este pozitivă. Deci $\displaystyle g$ este strict descrescătoare pe $\displaystyle (-\infty,-2)$ și strict crescătoare pe $\displaystyle (-2,+\infty)$ , iar $\displaystyle x=-2$ este punct de minim.
$\displaystyle g\text{ strict descrescătoare pe }(-\infty,-2)\text{ și strict crescătoare pe }(-2,+\infty)$
Calculăm limitele lui $\displaystyle g$ la capetele domeniului. Scoatem $\displaystyle x^{2}$ de sub radical: $\displaystyle \sqrt{x^{2}+2x+2}=|x|\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}}$ . Pentru $\displaystyle x\to-\infty$ avem $\displaystyle |x|=-x$ , deci $\displaystyle f(x)\to-1$ . Pentru $\displaystyle x\to+\infty$ avem $\displaystyle |x|=x$ , deci $\displaystyle f(x)\to1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=-1-a$ , $\displaystyle \qquad \lim_{x\to+\infty}g(x)=1-a$
Calculăm valoarea minimă a lui $\displaystyle g$ , în punctul $\displaystyle x=-2$ . Aici $\displaystyle x^{2}+2x+2=4-4+2=2$ , deci $\displaystyle f(-2)=\dfrac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$ .
$\displaystyle g(-2)=-\sqrt{2}-a$
Folosim ipoteza $\displaystyle -\sqrt{2}<a<-1$ . Din $\displaystyle a<-1$ rezultă $\displaystyle -1-a>0$ și $\displaystyle 1-a>0$ . Din $\displaystyle a>-\sqrt{2}$ rezultă $\displaystyle -\sqrt{2}-a<0$ . Deci $\displaystyle g$ are limită pozitivă la $\displaystyle -\infty$ , valoare negativă în $\displaystyle -2$ și limită pozitivă la $\displaystyle +\infty$ . Funcția $\displaystyle g$ este continuă. Pe $\displaystyle (-\infty,-2)$ este strict descrescătoare și trece de la valori pozitive la o valoare negativă, deci are exact un zero. Pe $\displaystyle (-2,+\infty)$ este strict crescătoare și trece de la o valoare negativă la valori pozitive, deci are exact un zero. Cele două zerouri sunt în intervale disjuncte, deci sunt distincte, iar în $\displaystyle x=-2$ funcția nu se anulează. Prin urmare ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are exact două soluții reale distincte.
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=-1-a>0$ , $\displaystyle \ g(-2)=-\sqrt{2}-a<0$ , $\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}g(x)=1-a>0\ \Rightarrow\ f(x)=a\text{ are exact două soluții }$ $\displaystyle \text{reale distincte}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}

și, pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

, se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n f(x)\,dx

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=2\left(\sqrt{2}-1\right)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim pe $\displaystyle f(x)$ cu expresia dată și obținem integrala $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx$ .
$\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx$
Scriem $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x+1}}=(x+1)^{-\frac{1}{2}}$ . Cum $\displaystyle \left(\sqrt{x+1}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$ , o primitivă a funcției este $\displaystyle F(x)=2\sqrt{x+1}$ , deoarece $\displaystyle F'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}$ .
$\displaystyle F(x)=2\sqrt{x+1}$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx=2\sqrt{x+1}\Big|_0^1$ .
$\displaystyle \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx=2\sqrt{x+1}\Big|_0^1$
Calculăm $\displaystyle 2\sqrt{1+1}-2\sqrt{0+1}=2\sqrt{2}-2$ , iar prin factor comun obținem $\displaystyle 2\left(\sqrt{2}-1\right)$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle 2\sqrt{2}-2=2\left(\sqrt{2}-1\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}

și, pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

, se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n f(x)\,dx

.

Demonstrați că

\displaystyle I_n\leq\frac{1}{n+1}

, pentru orice număr natural nenul

\displaystyle n

.

Vezi rezolvarea

Scriem integrala $\displaystyle I_n$ explicit, folosind definiția lui $\displaystyle f$ : $\displaystyle I_n=\int_0^1 \dfrac{x^{n}}{\sqrt{x+1}}\,dx$ .
$\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^{n}}{\sqrt{x+1}}\,dx$
Pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ avem $\displaystyle x+1\geq 1$ , deci $\displaystyle \sqrt{x+1}\geq 1$ , iar inversul său verifică $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\leq 1$ .
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+1}}\leq 1$
Pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ avem $\displaystyle x^{n}\geq 0$ . Înmulțim inegalitatea precedentă cu $\displaystyle x^{n}$ , care este nenegativ, deci sensul inegalității se păstrează.
$\displaystyle x\in[0,1]\Rightarrow \frac{x^{n}}{\sqrt{x+1}}\leq x^{n}$
Integrăm inegalitatea pe intervalul $\displaystyle [0,1]$ . Integrala păstrează inegalitatea, deoarece limitele sunt în ordine crescătoare.
$\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^{n}}{\sqrt{x+1}}\,dx\leq\int_0^1 x^{n}\,dx$
Calculăm integrala din membrul drept cu o primitivă a lui $\displaystyle x^{n}$ , anume $\displaystyle \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ : $\displaystyle \int_0^1 x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_0^1=\dfrac{1}{n+1}$ . Deci $\displaystyle I_n\leq\dfrac{1}{n+1}$ , pentru orice $\displaystyle n\in\mathbb{N}^*$ .
$\displaystyle I_n\leq\int_0^1 x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_0^1=\frac{1}{n+1}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}

și, pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

, se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n f(x)\,dx

.

Demonstrați că

\displaystyle (2n+1)I_n=2\sqrt{2}-2nI_{n-1}

, pentru orice număr natural

\displaystyle n

,

\displaystyle n\geq 2

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle \left(\sqrt{x+1}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$ , deci $\displaystyle f(x)=2\left(\sqrt{x+1}\right)'$ . Atunci $\displaystyle I_n$ se scrie ca integrala lui $\displaystyle x^n$ ori această derivată, înmulțită cu 2.
$\displaystyle I_n=2\int_0^1 x^n\left(\sqrt{x+1}\right)'dx$
Integrăm prin părți, cu $\displaystyle u=x^n$ și $\displaystyle dv=\left(\sqrt{x+1}\right)'dx$ . Termenul în afara integralei se evaluează între $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 1$ : în $\displaystyle 0$ este $\displaystyle 0$ (deoarece $\displaystyle n\geq 1$ ), iar în $\displaystyle 1$ este $\displaystyle \sqrt{2}$ .
$\displaystyle I_n=2x^n\sqrt{x+1}\Big|_0^1-2n\int_0^1 x^{n-1}\sqrt{x+1}\,dx=2\sqrt{2}-2n\int_0^1 x^{n-1}\sqrt{x+1}\,dx$
Scriem $\displaystyle \sqrt{x+1}=\dfrac{x+1}{\sqrt{x+1}}$ , ca să apară din nou funcția $\displaystyle f$ sub integrală.
$\displaystyle I_n=2\sqrt{2}-2n\int_0^1 x^{n-1}\frac{x+1}{\sqrt{x+1}}\,dx$
Înmulțim $\displaystyle x^{n-1}(x+1)=x^n+x^{n-1}$ și despărțim integrala în două, pe care le recunoaștem ca $\displaystyle I_n$ și $\displaystyle I_{n-1}$ .
$\displaystyle I_n=2\sqrt{2}-2n\int_0^1\frac{x^n+x^{n-1}}{\sqrt{x+1}}\,dx=2\sqrt{2}-2nI_n-2nI_{n-1}$
Mutăm termenul $\displaystyle -2nI_n$ în partea stângă: $\displaystyle I_n+2nI_n=(2n+1)I_n$ . Obținem egalitatea cerută.
$\displaystyle (2n+1)I_n=2\sqrt{2}-2nI_{n-1}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2017, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani