Bac matematică M1 mate-info 2016, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că log⁡201663+log⁡201632+0,0625=54\displaystyle \log_{2016}63+\log_{2016}32+\sqrt{0,0625}=\dfrac{5}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm formula pentru suma logaritmilor cu aceeași bază: log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(xy)\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y=\log_{a}(xy). Obținem log⁡201663+log⁡201632=log⁡2016(63⋅32)\displaystyle \log_{2016}63+\log_{2016}32=\log_{2016}(63\cdot 32).
    log⁡201663+log⁡201632=log⁡2016(63⋅32)\displaystyle \log_{2016}63+\log_{2016}32=\log_{2016}(63\cdot 32)
  2. Calculăm 63⋅32=2016\displaystyle 63\cdot 32=2016, deci produsul este chiar baza logaritmului.
    63⋅32=2016\displaystyle 63\cdot 32=2016
  3. Atunci log⁡20162016=1\displaystyle \log_{2016}2016=1, deoarece log⁡aa=1\displaystyle \log_{a}a=1.
    log⁡20162016=1\displaystyle \log_{2016}2016=1
  4. Calculăm radicalul: 0,0625=62510000=(25100)2\displaystyle 0{,}0625=\dfrac{625}{10000}=\left(\dfrac{25}{100}\right)^{2}, deci 0,0625=0,25\displaystyle \sqrt{0{,}0625}=0{,}25.
    log⁡20162016+0,25\displaystyle \log_{2016}2016+0{,}25
  5. Înlocuim log⁡20162016=1\displaystyle \log_{2016}2016=1 și scriem 0,25=14\displaystyle 0{,}25=\dfrac{1}{4}. Adunând, obținem 1+14=54\displaystyle 1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}, ceea ce trebuia arătat.
    1+14=54\displaystyle 1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m, pentru care soluțiile ecuației x2−(3m−4)x+m−3=0\displaystyle x^2-(3m-4)x+m-3=0 verifică relația x1+x2=2x1x2\displaystyle x_1+x_2=2x_1x_2.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația x2−(3m−4)x+m−3=0\displaystyle x^2-(3m-4)x+m-3=0 este de gradul al doilea, cu coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=−(3m−4)\displaystyle b=-(3m-4) și c=m−3\displaystyle c=m-3. Scriem relațiile lui Viète pentru soluțiile x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2: suma este x1+x2=−ba\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}, iar produsul este x1x2=ca\displaystyle x_1x_2=\dfrac{c}{a}.
    x1+x2=−ba=3m−4\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=3m-4,x1x2=ca=m−3\displaystyle \quad x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-3
  2. Înlocuim suma și produsul în relația dată x1+x2=2x1x2\displaystyle x_1+x_2=2x_1x_2.
    3m−4=2(m−3)\displaystyle 3m-4=2(m-3)
  3. Desfacem paranteza din membrul drept: 2(m−3)=2m−6\displaystyle 2(m-3)=2m-6.
    3m−4=2m−6\displaystyle 3m-4=2m-6
  4. Aducem termenii cu m\displaystyle m într-o parte și numerele în cealaltă: 3m−2m=−6+4\displaystyle 3m-2m=-6+4, deci m=−2\displaystyle m=-2. Acesta este numărul real cerut.
    3m−4=2m−6⇔m=−2\displaystyle 3m-4=2m-6\Leftrightarrow m=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2⋅2x+4x−8x=0\displaystyle 2\cdot 2^x+4^x-8^x=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem 4x=(2x)2\displaystyle 4^x=\left(2^x\right)^2 și 8x=(2x)3\displaystyle 8^x=\left(2^x\right)^3. Notăm t=2x\displaystyle t=2^x, cu t>0\displaystyle t>0.
    2t+t2−t3=0\displaystyle 2t+t^{2}-t^{3}=0, t=2x>0\displaystyle \ t=2^x>0
  2. Dăm factor comun 2x\displaystyle 2^x în ecuația inițială: 2⋅2x+4x−8x=2x(2+2x−4x)\displaystyle 2\cdot 2^x+4^x-8^x=2^x\left(2+2^x-4^x\right).
    2x(2+2x−4x)=0\displaystyle 2^x\left(2+2^x-4^x\right)=0
  3. Descompunem expresia din paranteză. Cu t=2x\displaystyle t=2^x avem 2+t−t2=−(t2−t−2)\displaystyle 2+t-t^2=-(t^2-t-2), iar t2−t−2=(t−2)(t+1)\displaystyle t^2-t-2=(t-2)(t+1). Deci 2+t−t2=(2−t)(1+t)\displaystyle 2+t-t^2=(2-t)(1+t).
    2x(2+2x−4x)=0⇔2x(2−2x)(1+2x)=0\displaystyle 2^x\left(2+2^x-4^x\right)=0\Leftrightarrow 2^x\left(2-2^x\right)\left(1+2^x\right)=0
  4. Deoarece 2x>0\displaystyle 2^x>0 și 1+2x>0\displaystyle 1+2^x>0 pentru orice x\displaystyle x real, acești factori nu se anulează. Rămâne 2−2x=0\displaystyle 2-2^x=0, adică 2x=2\displaystyle 2^x=2.
    2−2x=0⇔2x=2\displaystyle 2-2^x=0\Leftrightarrow 2^x=2
  5. Din 2x=21\displaystyle 2^x=2^1 rezultă x=1\displaystyle x=1, care este unica soluție reală a ecuației.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea {0,1,2,…,9}\displaystyle \{0,1,2,\ldots,9\}, acesta să fie soluție a ecuației f(n)=0\displaystyle f(n)=0, unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(n)=n3+3n−4\displaystyle f(n)=n^3+3n-4.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: mulțimea {0,1,2,…,9}\displaystyle \{0,1,2,\ldots,9\} are elementele de la 0\displaystyle 0 la 9\displaystyle 9, deci 10\displaystyle 10 elemente.
    nr. cazuri posibile=10\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=10
  2. Căutăm soluțiile ecuației f(n)=0\displaystyle f(n)=0, adică n3+3n−4=0\displaystyle n^3+3n-4=0. Observăm că n=1\displaystyle n=1 verifică ecuația: f(1)=13+3⋅1−4=0\displaystyle f(1)=1^3+3\cdot 1-4=0.
    f(1)=1+3−4=0\displaystyle f(1)=1+3-4=0
  3. Funcția f\displaystyle f este strict crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}, fiind suma dintre n3\displaystyle n^3 și 3n−4\displaystyle 3n-4, ambele strict crescătoare. Deci ecuația are o singură soluție reală, n=1\displaystyle n=1. Altfel: n3+3n−4=(n−1)(n2+n+4)\displaystyle n^3+3n-4=(n-1)(n^2+n+4), iar n2+n+4\displaystyle n^2+n+4 are discriminantul Δ=1−16=−15<0\displaystyle \Delta=1-16=-15<0, deci nu are rădăcini reale.
    n3+3n−4=(n−1)(n2+n+4)⇒n=1 este singura soluție\displaystyle n^3+3n-4=(n-1)(n^2+n+4)\Rightarrow n=1\text{ este singura soluție}
  4. Numărul cazurilor favorabile este 1\displaystyle 1, deoarece n=1\displaystyle n=1 aparține mulțimii și este singura soluție.
    nr. cazuri favorabile=1\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=1
  5. Aplicăm definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=110\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{1}{10}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=110\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=AC=63\displaystyle AB=AC=6\sqrt{3} și m(∡A)=120∘\displaystyle m(\measuredangle A)=120^\circ. Calculați lungimea vectorului AC→−AB→\displaystyle \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim regula triunghiului: AB→+BC→=AC→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}, deci AC→−AB→=BC→\displaystyle \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}.
    AC→−AB→=BC→\displaystyle \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}
  2. Lungimea cerută este ∣BC→∣=BC\displaystyle \left|\overrightarrow{BC}\right|=BC, deci calculăm latura BC\displaystyle BC din triunghiul ABC\displaystyle ABC.
    ∣AC→−AB→∣=BC\displaystyle \left|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right|=BC
  3. Teorema cosinusului: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A, cu cos⁡120∘=−12\displaystyle \cos 120^\circ=-\dfrac{1}{2}.
    BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡120∘\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos 120^\circ
  4. Avem AB2=AC2=(63)2=36⋅3=108\displaystyle AB^{2}=AC^{2}=\left(6\sqrt{3}\right)^{2}=36\cdot 3=108 și AB⋅AC=108\displaystyle AB\cdot AC=108.
    AB2=AC2=AB⋅AC=108\displaystyle AB^{2}=AC^{2}=AB\cdot AC=108
  5. Înlocuim: BC2=108+108−2⋅108⋅(−12)=108+108+108=324\displaystyle BC^{2}=108+108-2\cdot 108\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=108+108+108=324.
    BC2=324\displaystyle BC^{2}=324
  6. Cum BC>0\displaystyle BC>0, obținem BC=324=18\displaystyle BC=\sqrt{324}=18, deci lungimea vectorului AC→−AB→\displaystyle \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} este 18\displaystyle 18.
    BC=18\displaystyle BC=18
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡(a+b)=1\displaystyle \sin(a+b)=1, știind că a,b∈(0,π2)\displaystyle a,b\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), a≠b\displaystyle a\neq b și sin⁡a+cos⁡a=sin⁡b+cos⁡b\displaystyle \sin a+\cos a=\sin b+\cos b.
Vezi rezolvarea
  1. Ridicăm la pătrat egalitatea dată sin⁡a+cos⁡a=sin⁡b+cos⁡b\displaystyle \sin a+\cos a=\sin b+\cos b.
    (sin⁡a+cos⁡a)2=(sin⁡b+cos⁡b)2\displaystyle (\sin a+\cos a)^{2}=(\sin b+\cos b)^{2}
  2. Dezvoltăm pătratele și folosim sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, apoi reducem termenii egali.
    1+2sin⁡acos⁡a=1+2sin⁡bcos⁡b⇒2sin⁡acos⁡a=2sin⁡bcos⁡b\displaystyle 1+2\sin a\cos a=1+2\sin b\cos b\Rightarrow 2\sin a\cos a=2\sin b\cos b
  3. Aplicăm formula sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x și obținem egalitatea sinusurilor unghiurilor duble.
    sin⁡2a=sin⁡2b\displaystyle \sin 2a=\sin 2b
  4. Din a,b∈(0,π2)\displaystyle a,b\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) rezultă 2a,2b∈(0,π)\displaystyle 2a,2b\in(0,\pi). Egalitatea sin⁡2a=sin⁡2b\displaystyle \sin 2a=\sin 2b conduce la 2a=2b\displaystyle 2a=2b sau 2a=π−2b\displaystyle 2a=\pi-2b. Cum a≠b\displaystyle a\neq b, prima variantă este exclusă.
    2a=π−2b\displaystyle 2a=\pi-2b
  5. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem a+b=π2\displaystyle a+b=\dfrac{\pi}{2}, deci sin⁡(a+b)=sin⁡π2\displaystyle \sin(a+b)=\sin\dfrac{\pi}{2}.
    a+b=π2\displaystyle a+b=\dfrac{\pi}{2}, sin⁡(a+b)=sin⁡π2=1\displaystyle \ \sin(a+b)=\sin\dfrac{\pi}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră determinantul Δ(x,y)=∣x3yx22y2111∣\displaystyle \Delta(x,y)=\begin{vmatrix}x&3&y\\x^2&2&y^2\\1&1&1\end{vmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Calculați Δ(−1,0)\displaystyle \Delta(-1,0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 și y=0\displaystyle y=0 în determinant. Pe prima linie avem −1, 3, 0\displaystyle -1,\ 3,\ 0, pe a doua linie (−1)2=1, 2, 02=0\displaystyle (-1)^2=1,\ 2,\ 0^2=0, iar a treia linie rămâne 1, 1, 1\displaystyle 1,\ 1,\ 1.
    Δ(−1,0)=∣−130120111∣\displaystyle \Delta(-1,0)=\begin{vmatrix}-1&3&0\\1&2&0\\1&1&1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula triunghiului. Termenii cu plus sunt (−1)⋅2⋅1\displaystyle (-1)\cdot 2\cdot 1, 3⋅0⋅1\displaystyle 3\cdot 0\cdot 1 și 0⋅1⋅1\displaystyle 0\cdot 1\cdot 1. Termenii cu minus sunt 0⋅2⋅1\displaystyle 0\cdot 2\cdot 1, 3⋅1⋅1\displaystyle 3\cdot 1\cdot 1 și (−1)⋅0⋅1\displaystyle (-1)\cdot 0\cdot 1. Termenii care conțin factorul 0\displaystyle 0 sunt nuli.
    Δ(−1,0)=−2+0+0−0−3−0\displaystyle \Delta(-1,0)=-2+0+0-0-3-0
  3. Reducem termenii: −2−3=−5\displaystyle -2-3=-5. Deci determinantul are valoarea −5\displaystyle -5.
    Δ(−1,0)=−5\displaystyle \Delta(-1,0)=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră determinantul Δ(x,y)=∣x3yx22y2111∣\displaystyle \Delta(x,y)=\begin{vmatrix}x&3&y\\x^2&2&y^2\\1&1&1\end{vmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Demonstrați că Δ(x,y)=(x−y)(xy−3x−3y+2)\displaystyle \Delta(x,y)=(x-y)(xy-3x-3y+2), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul Δ(x,y)\displaystyle \Delta(x,y) și facem transformările C1→C1−C3\displaystyle C_1\to C_1-C_3 și C2→C2−C3\displaystyle C_2\to C_2-C_3. Astfel, pe ultima linie apar două zerouri.
    Δ(x,y)=∣x−y3−yyx2−y22−y2y2001∣\displaystyle \Delta(x,y)=\begin{vmatrix}x-y&3-y&y\\x^2-y^2&2-y^2&y^2\\0&0&1\end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după ultima linie. Singurul element nenul este 1\displaystyle 1, de pe poziția (3,3)\displaystyle (3,3), cu semnul +\displaystyle +, deci rămâne determinantul de ordinul doi format din primele două linii și primele două coloane.
    Δ(x,y)=∣x−y3−yx2−y22−y2∣\displaystyle \Delta(x,y)=\begin{vmatrix}x-y&3-y\\x^2-y^2&2-y^2\end{vmatrix}
  3. Folosim formula x2−y2=(x−y)(x+y)\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y) și scoatem factorul comun x−y\displaystyle x-y de pe prima coloană.
    Δ(x,y)=(x−y)∣13−yx+y2−y2∣\displaystyle \Delta(x,y)=(x-y)\begin{vmatrix}1&3-y\\x+y&2-y^2\end{vmatrix}
  4. Calculăm determinantul de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică 1⋅(2−y2)−(3−y)(x+y)\displaystyle 1\cdot(2-y^2)-(3-y)(x+y).
    (x−y)(2−y2−(3−y)(x+y))\displaystyle (x-y)\left(2-y^2-(3-y)(x+y)\right)
  5. Desfacem parantezele: (3−y)(x+y)=3x+3y−xy−y2\displaystyle (3-y)(x+y)=3x+3y-xy-y^2. Atunci 2−y2−3x−3y+xy+y2\displaystyle 2-y^2-3x-3y+xy+y^2, iar termenii −y2\displaystyle -y^2 și y2\displaystyle y^2 se reduc.
    Δ(x,y)=(x−y)(2−y2−3x+xy−3y+y2)=(x−y)(xy−3x−3y+2)\displaystyle \Delta(x,y)=(x-y)\left(2-y^2-3x+xy-3y+y^2\right)=(x-y)(xy-3x-3y+2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră determinantul Δ(x,y)=∣x3yx22y2111∣\displaystyle \Delta(x,y)=\begin{vmatrix}x&3&y\\x^2&2&y^2\\1&1&1\end{vmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Determinați numerele întregi distincte x\displaystyle x și y\displaystyle y, știind că 1y−xΔ(x,y)=8\displaystyle \dfrac{1}{y-x}\Delta(x,y)=8.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul prin dezvoltare după prima linie: Δ(x,y)=x(2−y2)−3(x2−y2)+y(x2−2)\displaystyle \Delta(x,y)=x(2-y^{2})-3(x^{2}-y^{2})+y(x^{2}-2).
    Δ(x,y)=2x−xy2−3x2+3y2+x2y−2y\displaystyle \Delta(x,y)=2x-xy^{2}-3x^{2}+3y^{2}+x^{2}y-2y
  2. Grupăm termenii astfel încât să apară factorul x−y\displaystyle x-y: 2(x−y)\displaystyle 2(x-y), xy(x−y)\displaystyle xy(x-y) și −3(x−y)(x+y)\displaystyle -3(x-y)(x+y). Dând factor comun x−y\displaystyle x-y, obținem Δ(x,y)=(x−y)(xy−3x−3y+2)\displaystyle \Delta(x,y)=(x-y)(xy-3x-3y+2).
    Δ(x,y)=(x−y)(xy−3x−3y+2)\displaystyle \Delta(x,y)=(x-y)(xy-3x-3y+2)
  3. Deoarece x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt distincte, y−x≠0\displaystyle y-x\neq 0 și putem împărți. Cum x−y=−(y−x)\displaystyle x-y=-(y-x), avem 1y−xΔ(x,y)=−(xy−3x−3y+2)\displaystyle \dfrac{1}{y-x}\Delta(x,y)=-(xy-3x-3y+2). Condiția din enunț devine −(xy−3x−3y+2)=8\displaystyle -(xy-3x-3y+2)=8, adică xy−3x−3y+2=−8\displaystyle xy-3x-3y+2=-8.
    xy−3x−3y+2=−8\displaystyle xy-3x-3y+2=-8
  4. Adunăm 8\displaystyle 8 la ambii membri și obținem xy−3x−3y+10=0\displaystyle xy-3x-3y+10=0. Scriem 10=9+1\displaystyle 10=9+1 și grupăm: xy−3x−3y+9=(x−3)(y−3)\displaystyle xy-3x-3y+9=(x-3)(y-3). Ecuația devine (x−3)(y−3)+1=0\displaystyle (x-3)(y-3)+1=0, adică (x−3)(y−3)=−1\displaystyle (x-3)(y-3)=-1.
    xy−3x−3y+2=−8⇔(x−3)(y−3)=−1\displaystyle xy-3x-3y+2=-8\Leftrightarrow (x-3)(y-3)=-1
  5. Cum x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt întregi, x−3\displaystyle x-3 și y−3\displaystyle y-3 sunt numere întregi cu produsul −1\displaystyle -1. Deci sunt divizori ai lui −1\displaystyle -1, adică 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1 în această ordine sau în ordine inversă.
    (x−3, y−3)∈{(1,−1), (−1,1)}\displaystyle (x-3,\,y-3)\in\{(1,-1),\,(-1,1)\}
  6. Din x−3=1\displaystyle x-3=1 și y−3=−1\displaystyle y-3=-1 obținem x=4\displaystyle x=4 și y=2\displaystyle y=2. Din x−3=−1\displaystyle x-3=-1 și y−3=1\displaystyle y-3=1 obținem x=2\displaystyle x=2 și y=4\displaystyle y=4. În ambele cazuri x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt distincte, deci convin.
    x=4\displaystyle x=4, y=2 sau x=2\displaystyle \ y=2\text{ sau }x=2, y=4\displaystyle \ y=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(n)=(12n3n012n001)\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}1&2^n&3^n\\0&1&2^n\\0&0&1\end{pmatrix}, unde n\displaystyle n este număr natural.

Calculați A(1)−A(0)\displaystyle A(1)-A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim n=1\displaystyle n=1 în A(n)\displaystyle A(n). Cum 21=2\displaystyle 2^1=2 și 31=3\displaystyle 3^1=3, obținem prima matrice.
    A(1)=(123012001)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Înlocuim n=0\displaystyle n=0 în A(n)\displaystyle A(n). Cum 20=1\displaystyle 2^0=1 și 30=1\displaystyle 3^0=1, toate puterile devin 1\displaystyle 1.
    A(0)=(111011001)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}
  3. Scriem diferența A(1)−A(0)\displaystyle A(1)-A(0), pe care o calculăm scăzând elementele de pe aceleași poziții.
    A(1)−A(0)=(123012001)−(111011001)\displaystyle A(1)-A(0)=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}
  4. Scădem element cu element: pe prima linie 1−1, 2−1, 3−1\displaystyle 1-1,\ 2-1,\ 3-1; pe a doua linie 0−0, 1−1, 2−1\displaystyle 0-0,\ 1-1,\ 2-1; pe a treia linie 0−0, 0−0, 1−1\displaystyle 0-0,\ 0-0,\ 1-1.
    A(1)−A(0)=(012001000)\displaystyle A(1)-A(0)=\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(n)=(12n3n012n001)\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}1&2^n&3^n\\0&1&2^n\\0&0&1\end{pmatrix}, unde n\displaystyle n este număr natural. Determinați inversa matricei A(1)\displaystyle A(1).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=1\displaystyle n=1 obținem matricea A(1)\displaystyle A(1), cu 21=2\displaystyle 2^1=2 și 31=3\displaystyle 3^1=3.
    A(1)=(123012001)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm det⁡(A(1))\displaystyle \det(A(1)). Matricea este superior triunghiulară, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală. Determinantul este nenul, deci matricea A(1)\displaystyle A(1) este inversabilă.
    det⁡(A(1))=∣123012001∣=1⋅1⋅1=1≠0\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{vmatrix}=1\cdot 1\cdot 1=1\neq 0
  3. Pentru formula A−1=1det⁡A⋅A∗\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\cdot A^{*} scriem mai întâi transpusa matricei, în care liniile devin coloane.
    tA(1)=(100210321)\displaystyle {}^tA(1)=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{pmatrix}
  4. Calculăm complemenții algebrici δij\displaystyle \delta_{ij} ai elementelor matricei A(1)\displaystyle A(1), adică (−1)i+j\displaystyle (-1)^{i+j} înmulțit cu minorul corespunzător. De exemplu δ21=−∣2301∣=−2\displaystyle \delta_{21}=-\begin{vmatrix}2&3\\0&1\end{vmatrix}=-2, δ31=∣2312∣=1\displaystyle \delta_{31}=\begin{vmatrix}2&3\\1&2\end{vmatrix}=1 și δ32=−∣1302∣=−2\displaystyle \delta_{32}=-\begin{vmatrix}1&3\\0&2\end{vmatrix}=-2. Ceilalți complemenți, δ11=δ22=δ33=1\displaystyle \delta_{11}=\delta_{22}=\delta_{33}=1 și δ12=δ13=δ23=0\displaystyle \delta_{12}=\delta_{13}=\delta_{23}=0, se calculează la fel. Matricea A∗\displaystyle A^{*} este transpusa matricei complemenților, deci pe poziția (i,j)\displaystyle (i,j) are complementul δji\displaystyle \delta_{ji}.
    A∗=(1−2101−2001)\displaystyle A^{*}=\begin{pmatrix}1&-2&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}
  5. Deoarece det⁡(A(1))=1\displaystyle \det(A(1))=1, avem (A(1))−1=11⋅A∗=A∗\displaystyle (A(1))^{-1}=\dfrac{1}{1}\cdot A^{*}=A^{*}.
    (A(1))−1=(1−2101−2001)\displaystyle (A(1))^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(n)=(12n3n012n001)\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}1&2^n&3^n\\0&1&2^n\\0&0&1\end{pmatrix}, unde n\displaystyle n este număr natural.

Demonstrați că, dacă A(n)⋅A(n)=A(p)\displaystyle A(n)\cdot A(n)=A(p), atunci n=0\displaystyle n=0 și p=1\displaystyle p=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(n)⋅A(n)\displaystyle A(n)\cdot A(n) element cu element, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Pe diagonală și sub diagonală obținem 1\displaystyle 1 și 0\displaystyle 0. Elementul din poziția (1,2)\displaystyle (1,2) este 1⋅2n+2n⋅1=2n+1\displaystyle 1\cdot 2^n+2^n\cdot 1=2^{n+1}. Elementul din poziția (2,3)\displaystyle (2,3) este 1⋅2n+2n⋅1=2n+1\displaystyle 1\cdot 2^n+2^n\cdot 1=2^{n+1}. Elementul din poziția (1,3)\displaystyle (1,3) este 1⋅3n+2n⋅2n+3n⋅1=2⋅3n+22n\displaystyle 1\cdot 3^n+2^n\cdot 2^n+3^n\cdot 1=2\cdot 3^n+2^{2n}.
    A(n)⋅A(n)=(12n+12⋅3n+22n012n+1001)\displaystyle A(n)\cdot A(n)=\begin{pmatrix}1&2^{n+1}&2\cdot 3^n+2^{2n}\\0&1&2^{n+1}\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Egalăm produsul cu matricea A(p)\displaystyle A(p). Două matrice sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale.
    (12n+12⋅3n+22n012n+1001)=(12p3p012p001)\displaystyle \begin{pmatrix}1&2^{n+1}&2\cdot 3^n+2^{2n}\\0&1&2^{n+1}\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2^p&3^p\\0&1&2^p\\0&0&1\end{pmatrix}
  3. Din egalitatea elementelor din poziția (1,2)\displaystyle (1,2) obținem 2n+1=2p\displaystyle 2^{n+1}=2^p. Funcția exponențială de bază 2\displaystyle 2 este injectivă, deci exponenții sunt egali.
    2n+1=2p⇔p=n+1\displaystyle 2^{n+1}=2^p\Leftrightarrow p=n+1
  4. Egalăm elementele din poziția (1,3)\displaystyle (1,3) și înlocuim p\displaystyle p cu n+1\displaystyle n+1. Scriem 3n+1=3⋅3n\displaystyle 3^{n+1}=3\cdot 3^n și trecem 2⋅3n\displaystyle 2\cdot 3^n în partea dreaptă.
    2⋅3n+22n=3n+1⇔22n=3⋅3n−2⋅3n=3n\displaystyle 2\cdot 3^n+2^{2n}=3^{n+1}\Leftrightarrow 2^{2n}=3\cdot 3^n-2\cdot 3^n=3^n
  5. Avem 4n=3n\displaystyle 4^n=3^n. Împărțim la 3n≠0\displaystyle 3^n\neq 0 și obținem (43)n=1\displaystyle \left(\dfrac{4}{3}\right)^n=1. Cum 43≠1\displaystyle \dfrac{4}{3}\neq 1, singura soluție naturală este n=0\displaystyle n=0. Atunci p=n+1=1\displaystyle p=n+1=1.
    4n=3n⇔(43)n=1⇔n=0, deci n=0 și p=1\displaystyle 4^n=3^n\Leftrightarrow\left(\dfrac{4}{3}\right)^n=1\Leftrightarrow n=0\text{, deci }n=0\text{ și }p=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡2x+1x\displaystyle f(x)=\ln\dfrac{2x+1}{x} și șirul de numere reale (xn)n≥1\displaystyle (x_n)_{n\geq 1}, xn=f(n)\displaystyle x_n=f(n).

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}f(x), dacă limita există și este finită. Calculăm deci această limită.
    L=lim⁡x→+∞ln⁡2x+1x\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}\ln\dfrac{2x+1}{x}
  2. Împărțim fiecare termen al numărătorului la x\displaystyle x: 2x+1x=2+1x\displaystyle \dfrac{2x+1}{x}=2+\dfrac{1}{x}.
    ln⁡2x+1x=ln⁡(2+1x)\displaystyle \ln\dfrac{2x+1}{x}=\ln\left(2+\dfrac{1}{x}\right)
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0, deci argumentul logaritmului tinde la 2\displaystyle 2. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este continuă în 2\displaystyle 2, deci limita este ln⁡2\displaystyle \ln 2.
    lim⁡x→+∞ln⁡(2+1x)=ln⁡2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln\left(2+\dfrac{1}{x}\right)=\ln 2
  4. Limita la +∞\displaystyle +\infty este finită și egală cu ln⁡2\displaystyle \ln 2, deci graficul lui f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty de ecuație y=ln⁡2\displaystyle y=\ln 2.
    y=ln⁡2\displaystyle y=\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡2x+1x\displaystyle f(x)=\ln\dfrac{2x+1}{x} și șirul de numere reale (xn)n≥1\displaystyle (x_n)_{n\geq 1}, xn=f(n)\displaystyle x_n=f(n).

Demonstrați că șirul (xn)n≥1\displaystyle (x_n)_{n\geq 1} este descrescător.
Vezi rezolvarea
  1. Din xn=f(n)\displaystyle x_n=f(n) avem xn=ln⁡2n+1n\displaystyle x_n=\ln\dfrac{2n+1}{n}, iar xn+1=f(n+1)\displaystyle x_{n+1}=f(n+1) este termenul următor.
    xn=ln⁡2n+1n\displaystyle x_n=\ln\dfrac{2n+1}{n},xn+1=ln⁡2n+3n+1\displaystyle \quad x_{n+1}=\ln\dfrac{2n+3}{n+1}
  2. Calculăm xn+1−xn\displaystyle x_{n+1}-x_n și folosim ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}.
    xn+1−xn=ln⁡2n+3n+1−ln⁡2n+1n=ln⁡(2n+3n+1⋅n2n+1)\displaystyle x_{n+1}-x_n=\ln\dfrac{2n+3}{n+1}-\ln\dfrac{2n+1}{n}=\ln\left(\dfrac{2n+3}{n+1}\cdot\dfrac{n}{2n+1}\right)
  3. Numărătorul este n(2n+3)=2n2+3n\displaystyle n(2n+3)=2n^{2}+3n, iar numitorul este (n+1)(2n+1)=2n2+3n+1\displaystyle (n+1)(2n+1)=2n^{2}+3n+1. Numitorul este cu 1 mai mare decât numărătorul, deci fracția este subunitară, iar cum ln⁡\displaystyle \ln este crescătoare, obținem ln⁡2n2+3n2n2+3n+1<ln⁡1\displaystyle \ln\dfrac{2n^{2}+3n}{2n^{2}+3n+1}<\ln 1.
    xn+1−xn=ln⁡2n2+3n2n2+3n+1<ln⁡1\displaystyle x_{n+1}-x_n=\ln\dfrac{2n^{2}+3n}{2n^{2}+3n+1}<\ln 1
  4. Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, rezultă xn+1−xn<0\displaystyle x_{n+1}-x_n<0 pentru orice n≥1\displaystyle n\geq 1, deci șirul (xn)n≥1\displaystyle (x_n)_{n\geq 1} este descrescător.
    xn+1−xn<0\displaystyle x_{n+1}-x_n<0, ∀n≥1\displaystyle \ \forall n\geq 1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡2x+1x\displaystyle f(x)=\ln\dfrac{2x+1}{x} și șirul de numere reale (xn)n≥1\displaystyle (x_n)_{n\geq 1}, xn=f(n)\displaystyle x_n=f(n).

Demonstrați că ln⁡2<xn≤ln⁡3\displaystyle \ln 2<x_n\leq \ln 3, pentru orice număr natural n\displaystyle n, n≥1\displaystyle n\geq 1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem termenul general: xn=f(n)=ln⁡2n+1n\displaystyle x_n=f(n)=\ln\dfrac{2n+1}{n}. Împărțim numărătorul la n\displaystyle n și obținem xn=ln⁡(2+1n)\displaystyle x_n=\ln\left(2+\dfrac{1}{n}\right).
    xn=ln⁡(2+1n)\displaystyle x_n=\ln\left(2+\dfrac{1}{n}\right)
  2. Pentru n≥1\displaystyle n\geq 1 șirul 1n\displaystyle \dfrac{1}{n} este descrescător, deci și 2+1n\displaystyle 2+\dfrac{1}{n} este descrescător. Cum ln⁡\displaystyle \ln este funcție crescătoare, șirul (xn)\displaystyle (x_n) este descrescător, adică xn≤x1\displaystyle x_n\leq x_1 pentru orice n≥1\displaystyle n\geq 1.
    xn≤x1\displaystyle x_n\leq x_1
  3. Calculăm primul termen: x1=ln⁡(2+11)=ln⁡3\displaystyle x_1=\ln\left(2+\dfrac{1}{1}\right)=\ln 3. Rezultă că xn≤x1=ln⁡3\displaystyle x_n\leq x_1=\ln 3 pentru orice n≥1\displaystyle n\geq 1.
    xn≤x1=ln⁡3\displaystyle x_n\leq x_1=\ln 3
  4. Pentru marginea inferioară, deoarece 1n>0\displaystyle \dfrac{1}{n}>0, avem 2+1n>2\displaystyle 2+\dfrac{1}{n}>2. Logaritmul natural fiind crescător, obținem xn=ln⁡(2+1n)>ln⁡2\displaystyle x_n=\ln\left(2+\dfrac{1}{n}\right)>\ln 2. Împreună cu xn≤ln⁡3\displaystyle x_n\leq\ln 3 rezultă ln⁡2<xn≤ln⁡3\displaystyle \ln 2<x_n\leq\ln 3 pentru orice n≥1\displaystyle n\geq 1.
    xn=ln⁡2n+1n=ln⁡(2+1n)>ln⁡2, deci ln⁡2<xn≤ln⁡3\displaystyle x_n=\ln\dfrac{2n+1}{n}=\ln\left(2+\dfrac{1}{n}\right)>\ln 2\text{, deci }\ln 2<x_n\leq\ln 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x2−8x+7x2−4x+3,x<1x2+4x−4+a,x≥1\displaystyle f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-8x+7}{x^2-4x+3}, & x<1\\ \sqrt{x^2+4x-4}+a, & x\geq 1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Calculați lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty avem x<1\displaystyle x<1, deci folosim prima ramură a funcției: f(x)=x2−8x+7x2−4x+3\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-8x+7}{x^2-4x+3}.
    lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞x2−8x+7x2−4x+3\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^2-8x+7}{x^2-4x+3}
  2. Limita are forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}. Cea mai mare putere a lui x\displaystyle x este x2\displaystyle x^2, așa că împărțim numărătorul și numitorul la x2\displaystyle x^2.
    lim⁡x→−∞x2−8x+7x2x2−4x+3x2\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\dfrac{\frac{x^2-8x+7}{x^2}}{\frac{x^2-4x+3}{x^2}}
  3. Simplificăm fiecare termen și obținem fracții cu x\displaystyle x la numitor.
    lim⁡x→−∞1−8x+7x21−4x+3x2\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\dfrac{1-\frac{8}{x}+\frac{7}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}
  4. Când x→−∞\displaystyle x\to-\infty, fracțiile 8x\displaystyle \dfrac{8}{x}, 7x2\displaystyle \dfrac{7}{x^2}, 4x\displaystyle \dfrac{4}{x} și 3x2\displaystyle \dfrac{3}{x^2} tind la 0\displaystyle 0. Rămâne raportul 11=1\displaystyle \dfrac{1}{1}=1.
    lim⁡x→−∞f(x)=1−0+01−0+0=1\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\dfrac{1-0+0}{1-0+0}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x2−8x+7x2−4x+3,x<1x2+4x−4+a,x≥1\displaystyle f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-8x+7}{x^2-4x+3}, & x<1\\ \sqrt{x^2+4x-4}+a, & x\geq 1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a, pentru care funcția f\displaystyle f este continuă în punctul x=1\displaystyle x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este continuă în x=1\displaystyle x=1 dacă limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în 1\displaystyle 1 sunt egale.
    lim⁡x→1x<1f(x)=lim⁡x→1x>1f(x)=f(1)\displaystyle \lim_{\substack{x\to1\\x<1}}f(x)=\lim_{\substack{x\to1\\x>1}}f(x)=f(1)
  2. Pentru x<1\displaystyle x<1 descompunem numărătorul și numitorul: x2−8x+7=(x−1)(x−7)\displaystyle x^{2}-8x+7=(x-1)(x-7), iar x2−4x+3=(x−1)(x−3)\displaystyle x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
    x2−8x+7x2−4x+3=(x−1)(x−7)(x−1)(x−3)\displaystyle \dfrac{x^{2}-8x+7}{x^{2}-4x+3}=\dfrac{(x-1)(x-7)}{(x-1)(x-3)}
  3. Simplificăm cu x−1\displaystyle x-1, diferit de 0\displaystyle 0 pentru x≠1\displaystyle x\neq1, și calculăm limita la stânga înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→1x<1f(x)=lim⁡x→1x<1x−7x−3=−6−2=3\displaystyle \lim_{\substack{x\to1\\x<1}}f(x)=\lim_{\substack{x\to1\\x<1}}\dfrac{x-7}{x-3}=\dfrac{-6}{-2}=3
  4. Pentru x≥1\displaystyle x\geq1 expresia x2+4x−4+a\displaystyle \sqrt{x^{2}+4x-4}+a este continuă, deci limita la dreapta și valoarea în 1\displaystyle 1 se obțin prin înlocuire: 1+4−4+a=1+a\displaystyle \sqrt{1+4-4}+a=1+a.
    lim⁡x→1x>1f(x)=1+a\displaystyle \lim_{\substack{x\to1\\x>1}}f(x)=1+a, f(1)=1+a\displaystyle \ f(1)=1+a
  5. Egalăm limita la stânga cu limita la dreapta și cu f(1)\displaystyle f(1): 3=1+a\displaystyle 3=1+a, de unde a=2\displaystyle a=2.
    3=1+a⇔a=2\displaystyle 3=1+a\Leftrightarrow a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x2−8x+7x2−4x+3,x<1x2+4x−4+a,x≥1\displaystyle f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-8x+7}{x^2-4x+3}, & x<1\\ \sqrt{x^2+4x-4}+a, & x\geq 1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=2\displaystyle a=2, calculați lim⁡x→1x>1ln⁡(f(x)−2)x−1\displaystyle \lim_{\substack{x\to1\\x>1}}\dfrac{\ln\left(f(x)-2\right)}{x-1}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x>1\displaystyle x>1 și a=2\displaystyle a=2 avem f(x)=x2+4x−4+2\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+4x-4}+2. Deci f(x)−2=x2+4x−4\displaystyle f(x)-2=\sqrt{x^2+4x-4}.
    f(x)−2=x2+4x−4\displaystyle f(x)-2=\sqrt{x^2+4x-4}
  2. Înlocuim în limită: L=lim⁡x→1x>1ln⁡x2+4x−4x−1\displaystyle L=\lim_{\substack{x\to1\\x>1}}\dfrac{\ln\sqrt{x^2+4x-4}}{x-1}. Pentru x→1\displaystyle x\to1 avem x2+4x−4→1\displaystyle x^2+4x-4\to1, deci ln⁡x2+4x−4→0\displaystyle \ln\sqrt{x^2+4x-4}\to0, iar numitorul tinde la 0\displaystyle 0: nedeterminare de tip 00\displaystyle \dfrac{0}{0}.
    L=lim⁡x→1x>1ln⁡x2+4x−4x−1\displaystyle L=\lim_{\substack{x\to1\\x>1}}\dfrac{\ln\sqrt{x^2+4x-4}}{x-1}
  3. Scriem x2+4x−4=(x2+4x−4)12\displaystyle \sqrt{x^2+4x-4}=\left(x^2+4x-4\right)^{\frac{1}{2}} și folosim ln⁡ab=bln⁡a\displaystyle \ln a^{b}=b\ln a. Obținem ln⁡x2+4x−4x−1=ln⁡(x2+4x−4)12(x−1)\displaystyle \dfrac{\ln\sqrt{x^2+4x-4}}{x-1}=\ln\left(x^2+4x-4\right)^{\frac{1}{2(x-1)}}.
    L=lim⁡x→1x>1ln⁡(x2+4x−4)12(x−1)\displaystyle L=\lim_{\substack{x\to1\\x>1}}\ln\left(x^2+4x-4\right)^{\frac{1}{2(x-1)}}
  4. Scriem x2+4x−4=1+u\displaystyle x^2+4x-4=1+u, unde u=x2+4x−5=(x−1)(x+5)\displaystyle u=x^2+4x-5=(x-1)(x+5), iar u→0\displaystyle u\to0. Exponentul se scrie 12(x−1)=1u⋅(x−1)(x+5)2(x−1)\displaystyle \dfrac{1}{2(x-1)}=\dfrac{1}{u}\cdot\dfrac{(x-1)(x+5)}{2(x-1)}. Rezultă L=lim⁡x→1x>1ln⁡((1+u)1u)(x−1)(x+5)2(x−1)\displaystyle L=\lim_{\substack{x\to1\\x>1}}\ln\left(\left(1+u\right)^{\frac{1}{u}}\right)^{\frac{(x-1)(x+5)}{2(x-1)}}.
    L=lim⁡x→1x>1ln⁡((1+x2+4x−5)1x2+4x−5)(x−1)(x+5)2(x−1)\displaystyle L=\lim_{\substack{x\to1\\x>1}}\ln\left(\left(1+x^2+4x-5\right)^{\frac{1}{x^2+4x-5}}\right)^{\frac{(x-1)(x+5)}{2(x-1)}}
  5. Simplificăm cu x−1≠0\displaystyle x-1\neq0: exponentul este x+52\displaystyle \dfrac{x+5}{2}, iar pentru x→1\displaystyle x\to1 tinde la 1+52=3\displaystyle \dfrac{1+5}{2}=3.
    (x−1)(x+5)2(x−1)=x+52→3\displaystyle \dfrac{(x-1)(x+5)}{2(x-1)}=\dfrac{x+5}{2}\to3
  6. Folosim limita remarcabilă lim⁡u→0(1+u)1u=e\displaystyle \lim_{u\to0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=e. Cum ln⁡\displaystyle \ln este continuă, obținem L=ln⁡e3=3\displaystyle L=\ln e^{3}=3.
    L=ln⁡e3=3\displaystyle L=\ln e^{3}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.