Bac matematică M1 mate-info 2025, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați termenul b1\displaystyle b_1 al progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\ge 1}, în care b3=40\displaystyle b_3=40 și b4=80\displaystyle b_4=80.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie geometrică, raportul a doi termeni consecutivi este rația q\displaystyle q. Calculăm rația ca raport dintre b4\displaystyle b_4 și b3\displaystyle b_3: q=b4b3\displaystyle q=\dfrac{b_4}{b_3}.
    q=b4b3=8040=2\displaystyle q=\dfrac{b_4}{b_3}=\dfrac{80}{40}=2
  2. Scriem termenul al treilea cu formula termenului general bn=b1⋅qn−1\displaystyle b_n=b_1\cdot q^{n-1}. Pentru n=3\displaystyle n=3 obținem b3=b1⋅q2\displaystyle b_3=b_1\cdot q^{2}.
    b3=b1⋅q2\displaystyle b_3=b_1\cdot q^{2}
  3. Scoatem b1\displaystyle b_1 din relație: b1=b3q2\displaystyle b_1=\dfrac{b_3}{q^{2}}. Înlocuim b3=40\displaystyle b_3=40 și q=2\displaystyle q=2.
    b1=4022=404=10\displaystyle b_1=\dfrac{40}{2^{2}}=\dfrac{40}{4}=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați mulțimea numerelor reale m\displaystyle m pentru care graficul funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+m\displaystyle f(x)=x^2-2x+m intersectează axa Ox\displaystyle Ox în două puncte distincte.
Vezi rezolvarea
  1. Graficul funcției intersectează axa Ox\displaystyle Ox în punctele în care f(x)=0\displaystyle f(x)=0. Deci trebuie ca ecuația x2−2x+m=0\displaystyle x^{2}-2x+m=0 să aibă două soluții reale distincte.
    x2−2x+m=0\displaystyle x^{2}-2x+m=0
  2. O ecuație de gradul al doilea are două soluții reale distincte exact când discriminantul este strict pozitiv. Aici a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle b=-2, c=m\displaystyle c=m.
    a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle \ b=-2, c=m\displaystyle \ c=m, Δ>0\displaystyle \ \Delta>0
  3. Calculăm discriminantul: Δ=b2−4ac=(−2)2−4⋅1⋅m=4−4m\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot m=4-4m. Condiția Δ>0\displaystyle \Delta>0 devine 4−4m>0\displaystyle 4-4m>0.
    4−4m>0\displaystyle 4-4m>0
  4. Împărțim inegalitatea la 4\displaystyle 4 și obținem 1−m>0\displaystyle 1-m>0, deci m<1\displaystyle m<1. Mulțimea cerută este intervalul deschis (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1).
    m∈(−∞,1)\displaystyle m\in(-\infty,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+2⋅3x+1=63\displaystyle 3^x+2\cdot 3^{x+1}=63.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea puterilor: 3x+1=3x⋅3\displaystyle 3^{x+1}=3^{x}\cdot 3.
    3x+1=3⋅3x\displaystyle 3^{x+1}=3\cdot 3^{x}
  2. Înlocuim în ecuație: 3x+2⋅3⋅3x=63\displaystyle 3^x+2\cdot 3\cdot 3^x=63, adică 3x+6⋅3x=63\displaystyle 3^x+6\cdot 3^x=63.
    3x+6⋅3x=63\displaystyle 3^x+6\cdot 3^x=63
  3. Reducem termenii asemenea: 7⋅3x=63\displaystyle 7\cdot 3^x=63. Împărțim la 7\displaystyle 7 și obținem 3x=9\displaystyle 3^x=9.
    3x=9\displaystyle 3^x=9
  4. Scriem 9=32\displaystyle 9=3^2, deci 3x=32\displaystyle 3^x=3^2. Funcția exponențială este injectivă, deci exponenții sunt egali: x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, n2\displaystyle n^2 să fie număr natural de trei cifre.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \ldots, 99. Numărul lor este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90. Acesta este numărul cazurilor posibile.
    90\displaystyle 90
  2. Un număr natural are trei cifre dacă este cuprins între 100\displaystyle 100 și 999\displaystyle 999. Deci cerem ca 100≤n2≤999\displaystyle 100\le n^2\le 999.
    100≤n2≤999\displaystyle 100\le n^{2}\le 999
  3. Pentru n\displaystyle n de două cifre avem n≥10\displaystyle n\ge 10, deci n2≥102=100\displaystyle n^2\ge 10^2=100: condiția din stânga este mereu îndeplinită. Pentru condiția din dreapta observăm că 312=961\displaystyle 31^2=961 are trei cifre, iar 322=1024\displaystyle 32^2=1024 are patru cifre. Cum n2\displaystyle n^2 crește odată cu n\displaystyle n, trebuie ca n≤31\displaystyle n\le 31.
    102≤n2≤312⇒10≤n≤31\displaystyle 10^{2}\le n^{2}\le 31^{2}\Rightarrow 10\le n\le 31
  4. Cazurile favorabile sunt numerele 10,11,…,31\displaystyle 10, 11, \ldots, 31. Numărul lor este 31−10+1=22\displaystyle 31-10+1=22.
    22 cazuri favorabile\displaystyle 22\text{ cazuri favorabile}
  5. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=2290\displaystyle p=\dfrac{22}{90}. Simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2.
    p=2290=1145\displaystyle p=\frac{22}{90}=\frac{11}{45}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,2)\displaystyle A(1,2), B(7,4)\displaystyle B(7,4) și C\displaystyle C, astfel încât AB→=2AC→\displaystyle \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}. Determinați coordonatele punctului D\displaystyle D pentru care OD→=CB→\displaystyle \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CB}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm vectorul AB→\displaystyle \overrightarrow{AB} scăzând coordonatele lui A(1,2)\displaystyle A(1,2) din cele ale lui B(7,4)\displaystyle B(7,4): AB→=(7−1)i⃗+(4−2)j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=(7-1)\vec{i}+(4-2)\vec{j}.
    AB→=6i⃗+2j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=6\vec{i}+2\vec{j}
  2. Din AB→=2AC→\displaystyle \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC} rezultă AC→=12AB→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}, deci C\displaystyle C este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Atunci CB→=AB→−AC→=12AB→\displaystyle \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.
    CB→=12AB→\displaystyle \overrightarrow{CB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}
  3. Înlocuim AB→=6i⃗+2j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=6\vec{i}+2\vec{j}: CB→=12(6i⃗+2j⃗)=3i⃗+j⃗\displaystyle \overrightarrow{CB}=\dfrac{1}{2}(6\vec{i}+2\vec{j})=3\vec{i}+\vec{j}.
    CB→=3i⃗+j⃗\displaystyle \overrightarrow{CB}=3\vec{i}+\vec{j}
  4. Deoarece OD→=CB→\displaystyle \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CB}, avem OD→=3i⃗+j⃗\displaystyle \overrightarrow{OD}=3\vec{i}+\vec{j}, deci coordonatele punctului D\displaystyle D sunt componentele acestui vector.
    OD→=3i⃗+j⃗, deci D(3,1)\displaystyle \overrightarrow{OD}=3\vec{i}+\vec{j}\text{, deci }D(3,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC\displaystyle ABC, cu AB=10\displaystyle AB=10, înălțimea AD=8\displaystyle AD=8 și distanța de la punctul D\displaystyle D la dreapta AC\displaystyle AC egală cu 42\displaystyle 4\sqrt{2}. Arătați că aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 56\displaystyle 56.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABD\displaystyle ABD este dreptunghic în D\displaystyle D, cu ipotenuza AB=10\displaystyle AB=10 și cateta AD=8\displaystyle AD=8. Aplicăm teorema lui Pitagora și aflăm BD\displaystyle BD: BD2=AB2−AD2=100−64=36\displaystyle BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}=100-64=36.
    BD=6\displaystyle BD=6
  2. Fie DE⊥AC\displaystyle DE\perp AC, cu E∈AC\displaystyle E\in AC, deci DE=42\displaystyle DE=4\sqrt{2}. În triunghiul dreptunghic ADC\displaystyle ADC dublul ariei se scrie în două moduri: AD⋅DC=AC⋅DE\displaystyle AD\cdot DC=AC\cdot DE. Cum AC=64+DC2\displaystyle AC=\sqrt{64+DC^{2}}, obținem 8⋅DC=42⋅64+DC2\displaystyle 8\cdot DC=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{64+DC^{2}}.
    8⋅DC=42⋅64+DC2\displaystyle 8\cdot DC=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{64+DC^{2}}
  3. Împărțim la 4\displaystyle 4: 2⋅DC=2⋅64+DC2\displaystyle 2\cdot DC=\sqrt{2}\cdot\sqrt{64+DC^{2}}. Ridicăm la pătrat: 4⋅DC2=2(64+DC2)\displaystyle 4\cdot DC^{2}=2(64+DC^{2}), deci 2⋅DC2=128\displaystyle 2\cdot DC^{2}=128 și DC2=64\displaystyle DC^{2}=64. Cum DC>0\displaystyle DC>0, rezultă DC=8\displaystyle DC=8.
    DC=8\displaystyle DC=8
  4. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este ascuțitunghic, deci D\displaystyle D se află pe segmentul BC\displaystyle BC. Atunci BC=BD+DC=6+8\displaystyle BC=BD+DC=6+8.
    BC=14\displaystyle BC=14
  5. Aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este AΔABC=BC⋅AD2=14⋅82\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{BC\cdot AD}{2}=\dfrac{14\cdot 8}{2}.
    AΔABC=14⋅82=56\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{14\cdot 8}{2}=56
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a1−a31−21−3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & -a \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & a \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y−az=13x+y−2z=1x−3y+az=−3\displaystyle \begin{cases} ax+y-az=1 \\ 3x+y-2z=1 \\ x-3y+az=-3 \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=−2\displaystyle \det(A(0))=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(01031−21−30)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul prin regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
    det⁡(A(0))=0⋅1⋅0+1⋅(−2)⋅1+0⋅3⋅(−3)−0⋅1⋅1−0⋅(−2)⋅(−3)−1⋅3⋅0\displaystyle \det(A(0))=0\cdot 1\cdot 0+1\cdot(-2)\cdot 1+0\cdot 3\cdot(-3)-0\cdot 1\cdot 1-0\cdot(-2)\cdot(-3)-1\cdot 3\cdot 0
  3. Calculăm fiecare produs: toți sunt zero, cu excepția produsului 1⋅(−2)⋅1=−2\displaystyle 1\cdot(-2)\cdot 1=-2. Rezultă că determinantul este −2\displaystyle -2.
    det⁡(A(0))=0−2+0−0−0−0=−2\displaystyle \det(A(0))=0-2+0-0-0-0=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a1−a31−21−3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & -a \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & a \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y−az=13x+y−2z=1x−3y+az=−3\displaystyle \begin{cases} ax+y-az=1 \\ 3x+y-2z=1 \\ x-3y+az=-3 \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați mulțimea numerelor reale a\displaystyle a pentru care sistemul are soluție unică.
Vezi rezolvarea
  1. Sistemul are trei ecuații și trei necunoscute, deci are soluție unică dacă și numai dacă det⁡(A(a))≠0\displaystyle \det(A(a))\neq 0. Calculăm determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a).
    det⁡(A(a))=∣a1−a31−21−3a∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix} a & 1 & -a \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & a \end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Suma produselor pe diagonala principală și paralelele ei este a⋅1⋅a+1⋅(−2)⋅1+(−a)⋅3⋅(−3)=a2−2+9a\displaystyle a\cdot 1\cdot a+1\cdot(-2)\cdot 1+(-a)\cdot 3\cdot(-3)=a^{2}-2+9a.
    a2+9a−2\displaystyle a^{2}+9a-2
  3. Suma produselor pe diagonala secundară și paralelele ei este (−a)⋅1⋅1+a⋅(−2)⋅(−3)+1⋅3⋅a=−a+6a+3a=8a\displaystyle (-a)\cdot 1\cdot 1+a\cdot(-2)\cdot(-3)+1\cdot 3\cdot a=-a+6a+3a=8a.
    8a\displaystyle 8a
  4. Determinantul este diferența dintre cele două sume: det⁡(A(a))=a2+9a−2−8a\displaystyle \det(A(a))=a^{2}+9a-2-8a, deci det⁡(A(a))=a2+a−2\displaystyle \det(A(a))=a^{2}+a-2.
    det⁡(A(a))=a2+a−2\displaystyle \det(A(a))=a^{2}+a-2
  5. Aflăm valorile lui a\displaystyle a pentru care determinantul se anulează, rezolvând ecuația a2+a−2=0\displaystyle a^{2}+a-2=0. Discriminantul este Δ=1+8=9\displaystyle \Delta=1+8=9, deci a=−1±32\displaystyle a=\dfrac{-1\pm 3}{2}.
    det⁡(A(a))=0⇔a=−2 sau a=1\displaystyle \det(A(a))=0\Leftrightarrow a=-2\text{ sau }a=1
  6. Sistemul are soluție unică exact când det⁡(A(a))≠0\displaystyle \det(A(a))\neq 0, adică pentru a≠−2\displaystyle a\neq -2 și a≠1\displaystyle a\neq 1. Mulțimea cerută este R∖{−2,1}\displaystyle \mathbb{R}\setminus\{-2,1\}.
    a∈R∖{−2,1}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{-2,1\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a1−a31−21−3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & -a \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & a \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y−az=13x+y−2z=1x−3y+az=−3\displaystyle \begin{cases} ax+y-az=1 \\ 3x+y-2z=1 \\ x-3y+az=-3 \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=1\displaystyle a=1, determinați soluțiile (x1,y1,z1)\displaystyle (x_1,y_1,z_1) și (x2,y2,z2)\displaystyle (x_2,y_2,z_2) ale sistemului de ecuații pentru care y1=x2\displaystyle y_1=x_2 și z1=y2\displaystyle z_1=y_2.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=1\displaystyle a=1 sistemul devine {x+y−z=13x+y−2z=1x−3y+z=−3\displaystyle \begin{cases} x+y-z=1 \\ 3x+y-2z=1 \\ x-3y+z=-3 \end{cases}.
    {x+y−z=13x+y−2z=1x−3y+z=−3\displaystyle \begin{cases} x+y-z=1 \\ 3x+y-2z=1 \\ x-3y+z=-3 \end{cases}
  2. Scădem prima ecuație din a doua: (3x+y−2z)−(x+y−z)=1−1\displaystyle (3x+y-2z)-(x+y-z)=1-1, deci 2x−z=0\displaystyle 2x-z=0, adică z=2x\displaystyle z=2x.
    z=2x\displaystyle z=2x
  3. Înlocuim z=2x\displaystyle z=2x în prima ecuație: x+y−2x=1\displaystyle x+y-2x=1, deci y=x+1\displaystyle y=x+1.
    y=x+1\displaystyle y=x+1
  4. Verificăm a treia ecuație: x−3(x+1)+2x=−3\displaystyle x-3(x+1)+2x=-3, adică −3=−3\displaystyle -3=-3, adevărat pentru orice x\displaystyle x. Notăm x=α\displaystyle x=\alpha; soluția generală este (α,α+1,2α)\displaystyle (\alpha,\alpha+1,2\alpha).
    (x,y,z)=(α,α+1,2α)\displaystyle (x,y,z)=(\alpha,\alpha+1,2\alpha), α∈R\displaystyle \ \alpha\in\mathbb{R}
  5. Scriem (x1,y1,z1)=(α1,α1+1,2α1)\displaystyle (x_1,y_1,z_1)=(\alpha_1,\alpha_1+1,2\alpha_1) și (x2,y2,z2)=(α2,α2+1,2α2)\displaystyle (x_2,y_2,z_2)=(\alpha_2,\alpha_2+1,2\alpha_2). Condiția y1=x2\displaystyle y_1=x_2 dă α2=α1+1\displaystyle \alpha_2=\alpha_1+1, iar condiția z1=y2\displaystyle z_1=y_2 dă 2α1=α2+1\displaystyle 2\alpha_1=\alpha_2+1.
    {α2=α1+12α1=α2+1\displaystyle \begin{cases} \alpha_2=\alpha_1+1 \\ 2\alpha_1=\alpha_2+1 \end{cases}
  6. Înlocuim α2=α1+1\displaystyle \alpha_2=\alpha_1+1 în a doua relație: 2α1=α1+2\displaystyle 2\alpha_1=\alpha_1+2, deci α1=2\displaystyle \alpha_1=2 și α2=3\displaystyle \alpha_2=3.
    α1=2\displaystyle \alpha_1=2, α2=3\displaystyle \ \alpha_2=3
  7. Înlocuim parametrii în soluția generală: (x1,y1,z1)=(2,3,4)\displaystyle (x_1,y_1,z_1)=(2,3,4) și (x2,y2,z2)=(3,4,6)\displaystyle (x_2,y_2,z_2)=(3,4,6). Verificare: y1=3=x2\displaystyle y_1=3=x_2 și z1=4=y2\displaystyle z_1=4=y_2.
    α1=2\displaystyle \alpha_1=2, α2=3\displaystyle \ \alpha_2=3, (2,3,4) și (3,4,6)\displaystyle \ (2,3,4)\text{ și }(3,4,6)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy+1xy+x+y2−2\displaystyle x*y=\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{x+y}{2}-2.

Arătați că 1∗4=3\displaystyle 1*4=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii x∗y=xy+1xy+x+y2−2\displaystyle x*y=\sqrt{xy}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{x+y}{2}-2 și înlocuim x=1\displaystyle x=1, y=4\displaystyle y=4.
    1∗4=1⋅4+11⋅4+1+42−2\displaystyle 1*4=\sqrt{1\cdot 4}+\frac{1}{\sqrt{1\cdot 4}}+\frac{1+4}{2}-2
  2. Calculăm produsul de sub radical: 1⋅4=4\displaystyle 1\cdot 4=4, deci 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2. Suma 1+4\displaystyle 1+4 este 5\displaystyle 5.
    1∗4=2+12+52−2\displaystyle 1*4=2+\frac{1}{2}+\frac{5}{2}-2
  3. Adunăm fracțiile cu același numitor: 12+52=62=3\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{6}{2}=3. Apoi 2+3−2=3\displaystyle 2+3-2=3, deci egalitatea cerută este adevărată.
    2+12+52−2=2+3−2=3\displaystyle 2+\frac{1}{2}+\frac{5}{2}-2=2+3-2=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy+1xy+x+y2−2\displaystyle x*y=\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{x+y}{2}-2.

Determinați x∈M\displaystyle x\in M pentru care x∗x=1\displaystyle x*x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=x\displaystyle y=x în definiția legii. Cum x>0\displaystyle x>0, avem x2=x\displaystyle \sqrt{x^{2}}=x, deci 1x2=1x\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}}}=\dfrac{1}{x}.
    x∗x=x+1x+x+x2−2\displaystyle x*x=x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{x+x}{2}-2
  2. Reducem termenii asemenea: x∗x=2x+1x−2\displaystyle x*x=2x+\dfrac{1}{x}-2. Aducem la numitorul comun x\displaystyle x și obținem fracția de mai jos.
    x∗x=2x2−2x+1x\displaystyle x*x=\dfrac{2x^{2}-2x+1}{x}
  3. Din x∗x=1\displaystyle x*x=1 avem 2x2−2x+1x=1\displaystyle \dfrac{2x^{2}-2x+1}{x}=1. Înmulțim cu x≠0\displaystyle x\neq 0: 2x2−2x+1=x\displaystyle 2x^{2}-2x+1=x, deci ecuația de gradul al doilea este:
    2x2−3x+1=0\displaystyle 2x^{2}-3x+1=0
  4. Calculăm Δ=(−3)2−4⋅2⋅1=1\displaystyle \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 2\cdot 1=1. Rădăcinile sunt x=3±14\displaystyle x=\dfrac{3\pm 1}{4}, adică x=1\displaystyle x=1 și x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}.
    Δ=1\displaystyle \Delta=1,x=3±14\displaystyle \quad x=\dfrac{3\pm 1}{4}
  5. Ambele soluții sunt strict pozitive, deci aparțin mulțimii M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty). Răspunsul final este:
    x=12 sau x=1, care convin\displaystyle x=\dfrac{1}{2}\text{ sau }x=1\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy+1xy+x+y2−2\displaystyle x*y=\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{x+y}{2}-2.

Demonstrați că mulțimea [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) este parte stabilă a mulțimii M\displaystyle M în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru ca [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) să fie parte stabilă, trebuie ca pentru orice x,y∈[1,+∞)\displaystyle x,y\in[1,+\infty) să avem x∗y∈[1,+∞)\displaystyle x*y\in[1,+\infty). Fixăm x,y≥1\displaystyle x,y\ge 1; atunci xy≥1>0\displaystyle xy\ge 1>0, deci expresia are sens.
    x\displaystyle x,y≥1⇒xy≥1>0\displaystyle y\ge 1\Rightarrow xy\ge 1>0
  2. Notăm t=xy>0\displaystyle t=\sqrt{xy}>0. Atunci t+1t−2=t2−2t+1t=(t−1)2t\displaystyle t+\dfrac{1}{t}-2=\dfrac{t^{2}-2t+1}{t}=\dfrac{(t-1)^{2}}{t}.
    xy+1xy−2=(xy−1)2xy\displaystyle \sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}}-2=\frac{(\sqrt{xy}-1)^{2}}{\sqrt{xy}}
  3. Înlocuim în definiția legii: x∗y=(xy−1)2xy+x+y2\displaystyle x*y=\dfrac{(\sqrt{xy}-1)^{2}}{\sqrt{xy}}+\dfrac{x+y}{2}. Fracția este ≥0\displaystyle \ge 0, fiind raportul dintre un pătrat și un număr pozitiv, deci x∗y≥x+y2\displaystyle x*y\ge\dfrac{x+y}{2}.
    x∗y=(xy−1)2xy+x+y2≥x+y2\displaystyle x*y=\frac{(\sqrt{xy}-1)^2}{\sqrt{xy}}+\frac{x+y}{2}\ge\frac{x+y}{2}
  4. Cum x≥1\displaystyle x\ge 1 și y≥1\displaystyle y\ge 1, avem x+y≥2\displaystyle x+y\ge 2, deci x+y2≥1\displaystyle \dfrac{x+y}{2}\ge 1. Din inegalitatea precedentă rezultă x∗y≥1\displaystyle x*y\ge 1, deci x∗y∈[1,+∞)\displaystyle x*y\in[1,+\infty). Prin urmare, [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) este parte stabilă a lui M\displaystyle M în raport cu legea „∗\displaystyle *”.
    x+y2≥1, deci x∗y∈[1,+∞)\displaystyle \frac{x+y}{2}\ge 1\text{, deci }x*y\in[1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x−2x+2+ln⁡x+2x\displaystyle f(x)=\frac{2x-2}{x+2}+\ln\frac{x+2}{x}.

Arătați că f′(x)=4(x−1)x(x+2)2\displaystyle f'(x)=\frac{4(x-1)}{x(x+2)^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm primul termen cu formula câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, unde u=2x−2\displaystyle u=2x-2 și v=x+2\displaystyle v=x+2.
    (2x−2x+2)′=2(x+2)−(2x−2)(x+2)2\displaystyle \left(\dfrac{2x-2}{x+2}\right)'=\dfrac{2(x+2)-(2x-2)}{(x+2)^{2}}
  2. Derivăm al doilea termen cu formula (ln⁡w)′=w′w\displaystyle (\ln w)'=\dfrac{w'}{w}, unde w=x+2x\displaystyle w=\dfrac{x+2}{x}. Derivata lui w\displaystyle w se obține tot cu formula câtului: w′=x−(x+2)x2\displaystyle w'=\dfrac{x-(x+2)}{x^{2}}.
    (ln⁡x+2x)′=xx+2⋅x−(x+2)x2\displaystyle \left(\ln\dfrac{x+2}{x}\right)'=\dfrac{x}{x+2}\cdot\dfrac{x-(x+2)}{x^{2}}
  3. Adunăm cele două derivate și obținem expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(x)=2(x+2)−(2x−2)(x+2)2+xx+2⋅x−(x+2)x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x+2)-(2x-2)}{(x+2)^{2}}+\dfrac{x}{x+2}\cdot\dfrac{x-(x+2)}{x^{2}}
  4. Simplificăm prima fracție. La numărător avem 2x+4−2x+2=6\displaystyle 2x+4-2x+2=6.
    2(x+2)−(2x−2)(x+2)2=6(x+2)2\displaystyle \dfrac{2(x+2)-(2x-2)}{(x+2)^{2}}=\dfrac{6}{(x+2)^{2}}
  5. Simplificăm a doua fracție. Numărătorul x−(x+2)\displaystyle x-(x+2) este −2\displaystyle -2, iar x\displaystyle x se simplifică cu un factor x\displaystyle x din x2\displaystyle x^{2}.
    xx+2⋅−2x2=−2x(x+2)\displaystyle \dfrac{x}{x+2}\cdot\dfrac{-2}{x^{2}}=-\dfrac{2}{x(x+2)}
  6. Aducem la numitorul comun x(x+2)2\displaystyle x(x+2)^{2}: prima fracție se amplifică cu x\displaystyle x, a doua cu x+2\displaystyle x+2. Apoi reducem termenii de la numărător: 6x−2(x+2)=4x−4=4(x−1)\displaystyle 6x-2(x+2)=4x-4=4(x-1).
    f′(x)=6(x+2)2−2x(x+2)=6x−2(x+2)x(x+2)2=4(x−1)x(x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{6}{(x+2)^{2}}-\dfrac{2}{x(x+2)}=\dfrac{6x-2(x+2)}{x(x+2)^{2}}=\dfrac{4(x-1)}{x(x+2)^{2}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x−2x+2+ln⁡x+2x\displaystyle f(x)=\frac{2x-2}{x+2}+\ln\frac{x+2}{x}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Graficul lui f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty dacă limita lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x) este finită. Descompunem limita în două limite.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞2x−2x+2+lim⁡x→+∞ln⁡x+2x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x-2}{x+2}+\lim_{x\to+\infty}\ln\frac{x+2}{x}
  2. Pentru fracție dăm factor comun x\displaystyle x la numărător și la numitor: 2x−2x+2=2−2x1+2x\displaystyle \dfrac{2x-2}{x+2}=\dfrac{2-\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}}. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, fracțiile 2x\displaystyle \dfrac{2}{x} tind la 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞2x−2x+2=2−01+0=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2x-2}{x+2}=\frac{2-0}{1+0}=2
  3. Pentru logaritm avem x+2x=1+2x→1\displaystyle \dfrac{x+2}{x}=1+\dfrac{2}{x}\to 1 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Cum ln⁡\displaystyle \ln este continuă în 1\displaystyle 1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem limita logaritmului.
    lim⁡x→+∞ln⁡x+2x=ln⁡1=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln\frac{x+2}{x}=\ln 1=0
  4. Adunăm cele două limite: obținem limita lui f\displaystyle f la +∞\displaystyle +\infty, care este un număr finit.
    lim⁡x→+∞f(x)=2+0=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=2+0=2
  5. Deoarece lim⁡x→+∞f(x)=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=2 este finită, dreapta y=2\displaystyle y=2 este asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty la graficul lui f\displaystyle f.
    y=2\displaystyle y=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x−2x+2+ln⁡x+2x\displaystyle f(x)=\frac{2x-2}{x+2}+\ln\frac{x+2}{x}. Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care ecuația f(x)=n\displaystyle f(x)=n nu\displaystyle \text{nu} are soluții.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem f(x)=2x−2x+2+ln⁡(x+2)−ln⁡x\displaystyle f(x)=\dfrac{2x-2}{x+2}+\ln(x+2)-\ln x și derivăm. Avem (2x−2x+2)′=2(x+2)−(2x−2)(x+2)2=6(x+2)2\displaystyle \left(\dfrac{2x-2}{x+2}\right)'=\dfrac{2(x+2)-(2x-2)}{(x+2)^{2}}=\dfrac{6}{(x+2)^{2}}, iar (ln⁡(x+2)−ln⁡x)′=1x+2−1x=−2x(x+2)\displaystyle \left(\ln(x+2)-\ln x\right)'=\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x}=-\dfrac{2}{x(x+2)}.
    f′(x)=6(x+2)2−2x(x+2)\displaystyle f'(x)=\dfrac{6}{(x+2)^{2}}-\dfrac{2}{x(x+2)}
  2. Aducem la același numitor: f′(x)=6x−2(x+2)x(x+2)2=4x−4x(x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{6x-2(x+2)}{x(x+2)^{2}}=\dfrac{4x-4}{x(x+2)^{2}}.
    f′(x)=4(x−1)x(x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{4(x-1)}{x(x+2)^{2}}
  3. Pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) numitorul x(x+2)2\displaystyle x(x+2)^{2} este pozitiv, deci semnul lui f′\displaystyle f' este semnul lui x−1\displaystyle x-1. Rezultă f′(x)=0⇔x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1, f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pentru x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1) și f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pentru x>1\displaystyle x>1. Deci f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,1]\displaystyle (0,1] și crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    f′(x)=0⇔x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1, f descresca˘toare pe (0,1]\displaystyle \ f\text{ descrescătoare pe }(0,1], f cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle \ f\text{ crescătoare pe }[1,+\infty)
  4. Calculăm limita la capătul 0\displaystyle 0. Fracția tinde la −22=−1\displaystyle \dfrac{-2}{2}=-1, iar x+2x→+∞\displaystyle \dfrac{x+2}{x}\to+\infty, deci ln⁡x+2x→+∞\displaystyle \ln\dfrac{x+2}{x}\to+\infty.
    lim⁡x→0, x>0f(x)=−1+∞=+∞\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x>0}f(x)=-1+\infty=+\infty
  5. Minimul funcției se atinge în x=1\displaystyle x=1: f(1)=2−23+ln⁡31\displaystyle f(1)=\dfrac{2-2}{3}+\ln\dfrac{3}{1}.
    f(1)=ln⁡3\displaystyle f(1)=\ln 3
  6. Pe (0,1]\displaystyle (0,1] funcția este continuă și descrescătoare, de la +∞\displaystyle +\infty la ln⁡3\displaystyle \ln 3, deci ia toate valorile din [ln⁡3,+∞)\displaystyle [\ln 3,+\infty). Pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) valorile sunt cel puțin f(1)=ln⁡3\displaystyle f(1)=\ln 3, pentru că f\displaystyle f este crescătoare. Deci mulțimea valorilor este [ln⁡3,+∞)\displaystyle [\ln 3,+\infty).
    f((0,+∞))=[ln⁡3,+∞)\displaystyle f\big((0,+\infty)\big)=[\ln 3,+\infty)
  7. Ecuația f(x)=n\displaystyle f(x)=n nu are soluții exact când n<ln⁡3\displaystyle n<\ln 3. Deoarece e<3<e2\displaystyle e<3<e^{2}, avem 1<ln⁡3<2\displaystyle 1<\ln 3<2. Numerele naturale mai mici decât ln⁡3\displaystyle \ln 3 sunt 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1, iar pentru n≥2\displaystyle n\geq 2 avem n>ln⁡3\displaystyle n>\ln 3, deci ecuația are soluții.
    lim⁡x→0f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=+\infty, f(1)=ln⁡3\displaystyle \ f(1)=\ln 3, 1<ln⁡3<2\displaystyle \ 1<\ln 3<2, n=0 sau n=1\displaystyle \ n=0\text{ sau }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x22x2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{2x^2+1}.

Arătați că ∫−12(2x2+1)f(x) dx=3\displaystyle \int_{-1}^{2}(2x^2+1)f(x)\,dx=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x22x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}}{2x^{2}+1} în produs. Cum 2x2+1>0\displaystyle 2x^{2}+1>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, factorul se simplifică: (2x2+1)f(x)=(2x2+1)⋅x22x2+1\displaystyle (2x^{2}+1)f(x)=(2x^{2}+1)\cdot\dfrac{x^{2}}{2x^{2}+1}.
    (2x2+1)f(x)=x2\displaystyle (2x^{2}+1)f(x)=x^{2}
  2. Integrala devine ∫−12x2 dx\displaystyle \int_{-1}^{2}x^{2}\,dx. O primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫−12(2x2+1)f(x) dx=∫−12x2 dx=x33∣−12\displaystyle \int_{-1}^{2}(2x^{2}+1)f(x)\,dx=\int_{-1}^{2}x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}\Big|_{-1}^{2}
  3. Pentru x=2\displaystyle x=2 obținem 233=83\displaystyle \dfrac{2^{3}}{3}=\dfrac{8}{3}, iar pentru x=−1\displaystyle x=-1 obținem (−1)33=−13\displaystyle \dfrac{(-1)^{3}}{3}=-\dfrac{1}{3}. Scădem valoarea de la limita inferioară din cea de la limita superioară.
    83−(−13)=83+13=93=3\displaystyle \frac{8}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}=\frac{9}{3}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x22x2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{2x^2+1}.

Arătați că ∫02f(x) dx=1\displaystyle \int_{0}^{2}\sqrt{f(x)}\,dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem radicalul funcției: f(x)=x22x2+1=x22x2+1\displaystyle \sqrt{f(x)}=\sqrt{\dfrac{x^{2}}{2x^{2}+1}}=\dfrac{\sqrt{x^{2}}}{\sqrt{2x^{2}+1}}. Pe intervalul [0,2]\displaystyle [0,2] avem x≥0\displaystyle x\ge 0, deci x2=x\displaystyle \sqrt{x^{2}}=x.
    f(x)=x2x2+1\displaystyle \sqrt{f(x)}=\dfrac{x}{\sqrt{2x^{2}+1}}
  2. Căutăm o primitivă. Derivăm: (2x2+1)′=(2x2+1)′22x2+1=4x22x2+1=2x2x2+1\displaystyle \left(\sqrt{2x^{2}+1}\right)'=\dfrac{(2x^{2}+1)'}{2\sqrt{2x^{2}+1}}=\dfrac{4x}{2\sqrt{2x^{2}+1}}=\dfrac{2x}{\sqrt{2x^{2}+1}}. Deci funcția de integrat este jumătate din această derivată.
    x2x2+1=12(2x2+1)′\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{2x^{2}+1}}=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{2x^{2}+1}\right)'
  3. Scriem integrala cu această primitivă și aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫02x2x2+1 dx=12∫02(2x2+1)′22x2+1 dx=122x2+1∣02\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{x}{\sqrt{2x^{2}+1}}\,dx=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}\dfrac{(2x^{2}+1)'}{2\sqrt{2x^{2}+1}}\,dx=\dfrac{1}{2}\sqrt{2x^{2}+1}\Big|_{0}^{2}.
    ∫02x2x2+1 dx=122x2+1∣02\displaystyle \int_{0}^{2}\dfrac{x}{\sqrt{2x^{2}+1}}\,dx=\dfrac{1}{2}\sqrt{2x^{2}+1}\Big|_{0}^{2}
  4. Calculăm valorile în capete: pentru x=2\displaystyle x=2 avem 2⋅4+1=9=3\displaystyle \sqrt{2\cdot 4+1}=\sqrt{9}=3, iar pentru x=0\displaystyle x=0 avem 1=1\displaystyle \sqrt{1}=1. Deci rezultatul este 12⋅3−12⋅1\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot 3-\dfrac{1}{2}\cdot 1.
    12⋅3−12⋅1\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot 3-\dfrac{1}{2}\cdot 1
  5. Efectuăm scăderea: 32−12=1\displaystyle \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1, deci ∫02f(x) dx=1\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2}\sqrt{f(x)}\,dx=1.
    32−12=1\displaystyle \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x22x2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{2x^2+1}.

Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xnf(ex) dx\displaystyle I_n=\int_{0}^{1}\frac{x^n}{f\left(\sqrt{e^x}\right)}\,dx. Arătați că (n+1)In−In+1=2(n+1)n+2+1e\displaystyle (n+1)I_n-I_{n+1}=\frac{2(n+1)}{n+2}+\frac{1}{e}, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(ex)\displaystyle f\left(\sqrt{e^x}\right). Deoarece (ex)2=ex\displaystyle \left(\sqrt{e^x}\right)^2=e^x, obținem f(ex)=ex2ex+1\displaystyle f\left(\sqrt{e^x}\right)=\dfrac{e^x}{2e^x+1}.
    f(ex)=ex2ex+1\displaystyle f\left(\sqrt{e^x}\right)=\dfrac{e^x}{2e^x+1}
  2. Inversăm fracția și împărțim la ex\displaystyle e^x: 1f(ex)=2ex+1ex=2+e−x\displaystyle \dfrac{1}{f\left(\sqrt{e^x}\right)}=\dfrac{2e^x+1}{e^x}=2+e^{-x}. Deci In=∫01xn(2+e−x)dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n\left(2+e^{-x}\right)dx.
    In=∫01xn(2+e−x)dx\displaystyle I_n=\int_{0}^{1}x^n\left(2+e^{-x}\right)dx
  3. Scriem In+1=∫01xn+1(2+e−x)dx\displaystyle I_{n+1}=\int_0^1 x^{n+1}\left(2+e^{-x}\right)dx și formăm combinația (n+1)In−In+1\displaystyle (n+1)I_n-I_{n+1}, cu un singur semn de integrală.
    (n+1)In−In+1=∫01((n+1)xn−xn+1)(2+e−x)dx\displaystyle (n+1)I_n-I_{n+1}=\int_{0}^{1}\left((n+1)x^n-x^{n+1}\right)\left(2+e^{-x}\right)dx
  4. Separăm integrala în două părți: una polinomială, cu factorul 2\displaystyle 2, și una cu e−x\displaystyle e^{-x}.
    2∫01((n+1)xn−xn+1)dx+∫01((n+1)xn−xn+1)e−xdx\displaystyle 2\int_0^1\left((n+1)x^n-x^{n+1}\right)dx+\int_0^1\left((n+1)x^n-x^{n+1}\right)e^{-x}dx
  5. Calculăm partea polinomială. O primitivă a lui (n+1)xn−xn+1\displaystyle (n+1)x^n-x^{n+1} este xn+1−xn+2n+2\displaystyle x^{n+1}-\dfrac{x^{n+2}}{n+2}. Evaluând între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1 și înmulțind cu 2\displaystyle 2, obținem 2−2n+2\displaystyle 2-\dfrac{2}{n+2}.
    2xn+1∣01−2xn+2n+2∣01=2−2n+2=2(n+1)n+2\displaystyle 2x^{n+1}\Big|_0^1-\dfrac{2x^{n+2}}{n+2}\Big|_0^1=2-\dfrac{2}{n+2}=\dfrac{2(n+1)}{n+2}
  6. În a doua parte recunoaștem derivata unui produs: (xn+1e−x)′=(n+1)xne−x−xn+1e−x\displaystyle \left(x^{n+1}e^{-x}\right)'=(n+1)x^ne^{-x}-x^{n+1}e^{-x}, adică exact integrandul.
    (xn+1e−x)′=((n+1)xn−xn+1)e−x\displaystyle \left(x^{n+1}e^{-x}\right)'=\left((n+1)x^n-x^{n+1}\right)e^{-x}
  7. Integrăm: ∫01(xn+1e−x)′dx=xn+1e−x∣01=e−1−0=1e\displaystyle \int_0^1\left(x^{n+1}e^{-x}\right)'dx=x^{n+1}e^{-x}\Big|_0^1=e^{-1}-0=\dfrac{1}{e}. Adunând cu partea polinomială, obținem egalitatea cerută.
    (n+1)In−In+1=2−2n+2+xn+1e−x∣01=2(n+1)n+2+1e\displaystyle (n+1)I_n-I_{n+1}=2-\dfrac{2}{n+2}+x^{n+1}e^{-x}\Big|_0^1=\dfrac{2(n+1)}{n+2}+\dfrac{1}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.