Bac matematică M1 mate-info 2023, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numerele complexe z1=1+2i\displaystyle z_1=1+2i și z2=1−i\displaystyle z_2=1-i. Arătați că z12+4z2=1\displaystyle z_1^2+4z_2=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim z1=1+2i\displaystyle z_1=1+2i și z2=1−i\displaystyle z_2=1-i în expresia z12+4z2\displaystyle z_1^2+4z_2.
    z12+4z2=(1+2i)2+4(1−i)\displaystyle z_1^2+4z_2=(1+2i)^2+4(1-i)
  2. Dezvoltăm pătratul cu formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, unde a=1\displaystyle a=1 și b=2i\displaystyle b=2i, și distribuim 4\displaystyle 4 în paranteza (1−i)\displaystyle (1-i).
    (1+2i)2+4(1−i)=1+4i+4i2+4−4i\displaystyle (1+2i)^2+4(1-i)=1+4i+4i^2+4-4i
  3. Termenii 4i\displaystyle 4i și −4i\displaystyle -4i se reduc, iar 1+4=5\displaystyle 1+4=5.
    1+4i+4i2+4−4i=5+4i2\displaystyle 1+4i+4i^2+4-4i=5+4i^2
  4. Folosim i2=−1\displaystyle i^2=-1 și obținem egalitatea cerută.
    5+4⋅(−1)=5−4=1\displaystyle 5+4\cdot(-1)=5-4=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x+1\displaystyle f(x)=3x+1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x2+x+m\displaystyle g(x)=x^2+x+m, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care graficele funcțiilor f\displaystyle f și g\displaystyle g au exact un punct comun.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele comune ale graficelor se găsesc rezolvând ecuația f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x). Graficele au exact un punct comun când această ecuație are o singură soluție reală.
    3x+1=x2+x+m\displaystyle 3x+1=x^{2}+x+m
  2. Mutăm toți termenii în partea dreaptă și reducem termenii asemenea: x2+x+m−3x−1=0\displaystyle x^{2}+x+m-3x-1=0, deci obținem o ecuație de gradul al doilea.
    x2−2x+m−1=0\displaystyle x^{2}-2x+m-1=0
  3. O ecuație de gradul al doilea are o singură soluție reală când discriminantul este zero. Identificăm coeficienții: a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle b=-2, c=m−1\displaystyle c=m-1, și calculăm discriminantul: Δ=b2−4ac=(−2)2−4⋅1⋅(m−1)\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot (m-1).
    Δ=4−4(m−1)=8−4m\displaystyle \Delta=4-4(m-1)=8-4m
  4. Punem condiția Δ=0\displaystyle \Delta=0, adică 8−4m=0\displaystyle 8-4m=0, de unde 4m=8\displaystyle 4m=8. Pentru m=2\displaystyle m=2 ecuația devine x2−2x+1=0\displaystyle x^{2}-2x+1=0, adică (x−1)2=0\displaystyle (x-1)^{2}=0, cu soluția dublă x=1\displaystyle x=1, deci există exact un punct comun.
    8−4m=0⇒m=2\displaystyle 8-4m=0\Rightarrow m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg⁡(x2+9)=2lg⁡(x10)\displaystyle \lg\left(x^2+9\right)=2\lg\left(x\sqrt{10}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condițiile de existență: argumentele logaritmilor trebuie să fie strict pozitive. Expresia x2+9\displaystyle x^{2}+9 este mereu pozitivă, iar x10\displaystyle x\sqrt{10} trebuie să fie pozitiv, deci x>0\displaystyle x>0.
    x>0\displaystyle x>0
  2. Scriem membrul drept ca un singur logaritm, folosind regula puterii: 2lg⁡a=lg⁡a2\displaystyle 2\lg a=\lg a^{2}. Avem (x10)2=10x2\displaystyle \left(x\sqrt{10}\right)^{2}=10x^{2}, deci 2lg⁡(x10)=lg⁡(10x2)\displaystyle 2\lg\left(x\sqrt{10}\right)=\lg\left(10x^{2}\right).
    lg⁡(x2+9)=lg⁡(10x2)\displaystyle \lg\left(x^{2}+9\right)=\lg\left(10x^{2}\right)
  3. Logaritmul zecimal este injectiv, deci egalăm argumentele: x2+9=10x2\displaystyle x^{2}+9=10x^{2}. Mutăm termenii și obținem 9x2−9=0\displaystyle 9x^{2}-9=0, adică x2−1=0\displaystyle x^{2}-1=0.
    x2+9=10x2⇒x2−1=0\displaystyle x^{2}+9=10x^{2}\Rightarrow x^{2}-1=0
  4. Rezolvăm ecuația: x2=1\displaystyle x^{2}=1, deci x=−1\displaystyle x=-1 sau x=1\displaystyle x=1.
    x=−1 sau x=1\displaystyle x=-1\text{ sau }x=1
  5. Verificăm condiția x>0\displaystyle x>0: valoarea x=−1\displaystyle x=-1 nu convine, iar x=1\displaystyle x=1 convine. Soluția ecuației este x=1\displaystyle x=1.
    x=−1, care nu convine; x=1, care convine\displaystyle x=-1\text{, care nu convine; }x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea A\displaystyle A, a numerelor naturale de cel mult două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A\displaystyle A, acesta să fie divizibil cu 9\displaystyle 9.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de cel mult două cifre sunt 0,1,2,…,99\displaystyle 0, 1, 2, \ldots, 99, deci mulțimea A\displaystyle A are 99−0+1=100\displaystyle 99-0+1=100 elemente. Acesta este numărul cazurilor posibile.
    100\displaystyle 100
  2. Probabilitatea este p=cazuri favorabilecazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}. Cazurile favorabile sunt numerele din A\displaystyle A divizibile cu 9\displaystyle 9, adică de forma 9k\displaystyle 9k, cu 9k≤99\displaystyle 9k\le 99.
    9k≤99⇒k≤11\displaystyle 9k\le 99\Rightarrow k\le 11
  3. Numărul k\displaystyle k poate fi 0,1,2,…,11\displaystyle 0, 1, 2, \ldots, 11. Deci numerele favorabile sunt 9⋅0, 9⋅1, 9⋅2, …, 9⋅11\displaystyle 9\cdot 0,\ 9\cdot 1,\ 9\cdot 2,\ \ldots,\ 9\cdot 11, adică 12\displaystyle 12 numere.
    9⋅0\displaystyle 9\cdot 0, 9⋅1\displaystyle \ 9\cdot 1, 9⋅2\displaystyle \ 9\cdot 2, …\displaystyle \ \ldots, 9⋅11, deci sunt 12 cazuri favorabile\displaystyle \ 9\cdot 11\text{, deci sunt }12\text{ cazuri favorabile}
  4. Calculăm probabilitatea: p=12100\displaystyle p=\dfrac{12}{100}, iar după simplificarea prin 4\displaystyle 4 obținem 325\displaystyle \dfrac{3}{25}.
    p=12100=325\displaystyle p=\frac{12}{100}=\frac{3}{25}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În triunghiul ABC\displaystyle ABC, punctul M\displaystyle M este mijlocul laturii AC\displaystyle AC, iar punctele D\displaystyle D și E\displaystyle E aparțin segmentului AB\displaystyle AB, astfel încât AD=BE\displaystyle AD=BE. Arătați că MD→+ME→=CB→\displaystyle \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{CB}.
Vezi rezolvarea
  1. Descompunem MD→\displaystyle \overrightarrow{MD} prin regula triunghiului, trecând prin punctul A\displaystyle A: de la M\displaystyle M la A\displaystyle A, apoi de la A\displaystyle A la D\displaystyle D.
    MD→=MA→+AD→\displaystyle \overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}
  2. Descompunem ME→\displaystyle \overrightarrow{ME} trecând prin punctele C\displaystyle C și B\displaystyle B: de la M\displaystyle M la C\displaystyle C, de la C\displaystyle C la B\displaystyle B, apoi de la B\displaystyle B la E\displaystyle E.
    ME→=MC→+CB→+BE→\displaystyle \overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}
  3. Adunăm cele două egalități și grupăm termenii: vectorii cu originea în M\displaystyle M, vectorii AD→\displaystyle \overrightarrow{AD} și BE→\displaystyle \overrightarrow{BE}, și vectorul CB→\displaystyle \overrightarrow{CB}.
    MD→+ME→=(MA→+MC→)+(AD→+BE→)+CB→\displaystyle \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right)+\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}\right)+\overrightarrow{CB}
  4. Deoarece M\displaystyle M este mijlocul lui AC\displaystyle AC, vectorii MA→\displaystyle \overrightarrow{MA} și MC→\displaystyle \overrightarrow{MC} au aceeași lungime și sensuri opuse, deci suma lor este vectorul nul.
    MA→+MC→=0→\displaystyle \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}
  5. Punctele D\displaystyle D și E\displaystyle E sunt pe segmentul AB\displaystyle AB și AD=BE\displaystyle AD=BE. Vectorul AD→\displaystyle \overrightarrow{AD} are sensul de la A\displaystyle A spre B\displaystyle B, iar BE→\displaystyle \overrightarrow{BE} are sensul de la B\displaystyle B spre A\displaystyle A, cu aceeași lungime, deci sunt opuși și suma lor este vectorul nul.
    AD→+BE→=0→\displaystyle \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{0}
  6. Înlocuim cele două sume nule în egalitatea obținută și obținem relația cerută.
    MD→+ME→=0→+0→+CB→=CB→\displaystyle \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați x∈[0,π]\displaystyle x\in[0,\pi] pentru care sin⁡2x=1+cos⁡2x\displaystyle \sin 2x=1+\cos 2x.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula sinusului unghiului dublu: sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x.
    sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x
  2. Folosim formula cosinusului unghiului dublu: 1+cos⁡2x=1+2cos⁡2x−1=2cos⁡2x\displaystyle 1+\cos 2x=1+2\cos^{2}x-1=2\cos^{2}x.
    1+cos⁡2x=2cos⁡2x\displaystyle 1+\cos 2x=2\cos^{2}x
  3. Înlocuim în ecuație: 2sin⁡xcos⁡x=2cos⁡2x\displaystyle 2\sin x\cos x=2\cos^{2}x. Mutăm totul în partea stângă și dăm factor comun 2cos⁡x\displaystyle 2\cos x.
    2sin⁡xcos⁡x=2cos⁡2x⇔2cos⁡x(sin⁡x−cos⁡x)=0\displaystyle 2\sin x\cos x=2\cos^{2}x\Leftrightarrow 2\cos x(\sin x-\cos x)=0
  4. Un produs este nul când un factor este nul, deci cos⁡x=0\displaystyle \cos x=0 sau sin⁡x−cos⁡x=0\displaystyle \sin x-\cos x=0.
    cos⁡x=0 sau sin⁡x=cos⁡x\displaystyle \cos x=0\text{ sau }\sin x=\cos x
  5. Pe intervalul [0,π]\displaystyle [0,\pi], ecuația cos⁡x=0\displaystyle \cos x=0 are singura soluție x=π2\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2}.
    x=π2\displaystyle x=\frac{\pi}{2}
  6. Pentru sin⁡x=cos⁡x\displaystyle \sin x=\cos x, valoarea cos⁡x=0\displaystyle \cos x=0 nu convine, deci putem împărți la cos⁡x\displaystyle \cos x și obținem tg⁡x=1\displaystyle \operatorname{tg}x=1. Pe [0,π]\displaystyle [0,\pi] rezultă x=π4\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4}.
    x=π4\displaystyle x=\frac{\pi}{4}
  7. Soluțiile ecuației pe intervalul [0,π]\displaystyle [0,\pi] sunt cele găsite mai sus.
    x=π2 sau x=π4\displaystyle x=\frac{\pi}{2}\text{ sau }x=\frac{\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a121a−1221)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & 2\\ 1 & a & -1\\ 2 & 2 & 1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y+2z=−2x+ay−z=42x+2y+z=2\displaystyle \begin{cases} ax+y+2z=-2\\ x+ay-z=4\\ 2x+2y+z=2\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0) și determinantul ei.
    det⁡(A(0))=∣01210−1221∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}0&1&2\\1&0&-1\\2&2&1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
    det⁡(A(0))=0⋅0⋅1+1⋅(−1)⋅2+1⋅2⋅2−2⋅0⋅2−1⋅1⋅1−(−1)⋅2⋅0\displaystyle \det(A(0))=0\cdot 0\cdot 1+1\cdot(-1)\cdot 2+1\cdot 2\cdot 2-2\cdot 0\cdot 2-1\cdot 1\cdot 1-(-1)\cdot 2\cdot 0
  3. Calculăm fiecare produs: 0\displaystyle 0, −2\displaystyle -2, 4\displaystyle 4, 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 și 0\displaystyle 0. Apoi adunăm și scădem termenii și obținem det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
    0−2+4−0−1−0=1\displaystyle 0-2+4-0-1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a121a−1221)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & 2\\ 1 & a & -1\\ 2 & 2 & 1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y+2z=−2x+ay−z=42x+2y+z=2\displaystyle \begin{cases} ax+y+2z=-2\\ x+ay-z=4\\ 2x+2y+z=2\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați mulțimea numerelor reale a\displaystyle a pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.
Vezi rezolvarea
  1. Sistemul are trei ecuații și trei necunoscute, deci are soluție unică exact când determinantul matricei sistemului este nenul. Calculăm det⁡(A(a))\displaystyle \det(A(a)).
    det⁡(A(a))=∣a121a−1221∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix} a & 1 & 2\\ 1 & a & -1\\ 2 & 2 & 1\end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie, cu minorii celor trei elemente.
    det⁡(A(a))=a∣a−121∣−1∣1−121∣+2∣1a22∣\displaystyle \det(A(a))=a\begin{vmatrix} a & -1\\ 2 & 1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix} 1 & a\\ 2 & 2\end{vmatrix}
  3. Calculăm cei trei determinanți de ordin doi: primul este a⋅1−(−1)⋅2=a+2\displaystyle a\cdot 1-(-1)\cdot 2=a+2, al doilea este 1⋅1−(−1)⋅2=3\displaystyle 1\cdot 1-(-1)\cdot 2=3, al treilea este 1⋅2−a⋅2=2−2a\displaystyle 1\cdot 2-a\cdot 2=2-2a.
    det⁡(A(a))=a(a+2)−3+2(2−2a)\displaystyle \det(A(a))=a(a+2)-3+2(2-2a)
  4. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea. Obținem un pătrat perfect.
    a2+2a−3+4−4a=a2−2a+1=(a−1)2\displaystyle a^{2}+2a-3+4-4a=a^{2}-2a+1=(a-1)^{2}
  5. Determinantul este nul doar când a−1=0\displaystyle a-1=0, adică pentru a=1\displaystyle a=1.
    (a−1)2=0⇔a=1\displaystyle (a-1)^{2}=0\Leftrightarrow a=1
  6. Sistemul are soluție unică exact când determinantul este nenul, deci pentru orice a\displaystyle a real diferit de 1\displaystyle 1.
    a∈R∖{1}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{1\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a121a−1221)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & 2\\ 1 & a & -1\\ 2 & 2 & 1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y+2z=−2x+ay−z=42x+2y+z=2\displaystyle \begin{cases} ax+y+2z=-2\\ x+ay-z=4\\ 2x+2y+z=2\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=1\displaystyle a=1, determinați soluțiile (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) ale sistemului pentru care x0\displaystyle x_0, y0\displaystyle y_0 și z0\displaystyle z_0 sunt numere întregi și x0>y0>z0\displaystyle x_0>y_0>z_0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem sistemul pentru a=1\displaystyle a=1: {x+y+2z=−2x+y−z=42x+2y+z=2\displaystyle \begin{cases} x+y+2z=-2\\ x+y-z=4\\ 2x+2y+z=2\end{cases}
    {x+y+2z=−2x+y−z=42x+2y+z=2\displaystyle \begin{cases} x+y+2z=-2\\ x+y-z=4\\ 2x+2y+z=2\end{cases}
  2. Scădem a doua ecuație din prima: (x+y+2z)−(x+y−z)=−2−4\displaystyle (x+y+2z)-(x+y-z)=-2-4, adică 3z=−6\displaystyle 3z=-6, deci z=−2\displaystyle z=-2.
    z=−2\displaystyle z=-2
  3. Înlocuim z=−2\displaystyle z=-2 în a doua ecuație: x+y+2=4\displaystyle x+y+2=4, deci x+y=2\displaystyle x+y=2. A treia ecuație devine 2(x+y)−2=2\displaystyle 2(x+y)-2=2, adică tot x+y=2\displaystyle x+y=2, deci este verificată. Sistemul este compatibil simplu nedeterminat.
    x+y=2\displaystyle x+y=2
  4. Notăm x=α\displaystyle x=\alpha, cu α∈R\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}. Atunci y=2−α\displaystyle y=2-\alpha și z=−2\displaystyle z=-2, deci soluțiile sunt de forma (α,2−α,−2)\displaystyle (\alpha,2-\alpha,-2).
    (α, 2−α, −2)\displaystyle (\alpha,\,2-\alpha,\,-2), α∈R\displaystyle \ \alpha\in\mathbb{R}
  5. Impunem α>2−α>−2\displaystyle \alpha>2-\alpha>-2. Din α>2−α\displaystyle \alpha>2-\alpha rezultă 2α>2\displaystyle 2\alpha>2, deci α>1\displaystyle \alpha>1. Din 2−α>−2\displaystyle 2-\alpha>-2 rezultă α<4\displaystyle \alpha<4.
    1<α<4\displaystyle 1<\alpha<4
  6. Cum soluțiile sunt întregi, α\displaystyle \alpha este număr întreg cu 1<α<4\displaystyle 1<\alpha<4, deci α=2\displaystyle \alpha=2 sau α=3\displaystyle \alpha=3. Pentru α=2\displaystyle \alpha=2 obținem (2,0,−2)\displaystyle (2,0,-2), iar pentru α=3\displaystyle \alpha=3 obținem (3,−1,−2)\displaystyle (3,-1,-2). În ambele cazuri x0>y0>z0\displaystyle x_0>y_0>z_0.
    α=2 sau α=3, deci soluțiile sunt (2,0,−2) și (3,−1,−2)\displaystyle \alpha=2\text{ sau }\alpha=3\text{, deci soluțiile sunt }(2,0,-2)\text{ și }(3,-1,-2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=[−1,1]\displaystyle M=[-1,1] se definește legea de compoziție x∗y=xy1+(1−x2)(1−y2)\displaystyle x*y=\dfrac{xy}{1+\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}}.

Arătați că 1∗12=12\displaystyle 1*\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii pentru x=1\displaystyle x=1 și y=12\displaystyle y=\dfrac{1}{2}, adică x∗y=xy1+(1−x2)(1−y2)\displaystyle x*y=\dfrac{xy}{1+\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}}.
    1∗12=1⋅121+(1−12)(1−(12)2)\displaystyle 1*\frac{1}{2}=\frac{1\cdot\frac{1}{2}}{1+\sqrt{\left(1-1^2\right)\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)}}
  2. La numărător avem 1⋅12=12\displaystyle 1\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}.
    1⋅12=12\displaystyle 1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
  3. Sub radical, primul factor este 1−12=0\displaystyle 1-1^2=0, deci produsul este 0\displaystyle 0 și 0=0\displaystyle \sqrt{0}=0.
    (1−12)(1−14)=0⋅34=0=0\displaystyle \sqrt{\left(1-1^2\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)}=\sqrt{0\cdot\frac{3}{4}}=\sqrt{0}=0
  4. Numitorul devine 1+0=1\displaystyle 1+\sqrt{0}=1, deci fracția este 121=12\displaystyle \dfrac{\frac{1}{2}}{1}=\dfrac{1}{2}. Am obținut 1∗12=12\displaystyle 1*\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}, ceea ce trebuia arătat.
    121+0=12\displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{1+\sqrt{0}}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=[−1,1]\displaystyle M=[-1,1] se definește legea de compoziție x∗y=xy1+(1−x2)(1−y2)\displaystyle x*y=\dfrac{xy}{1+\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}}.

Arătați că x∗(−x)≥−x2\displaystyle x*(-x)\ge -x^2, pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=−x\displaystyle y=-x în definiția legii. Numărătorul devine x⋅(−x)=−x2\displaystyle x\cdot(-x)=-x^{2}, iar sub radical avem (1−x2)(1−(−x)2)=(1−x2)2\displaystyle \left(1-x^{2}\right)\left(1-(-x)^{2}\right)=\left(1-x^{2}\right)^{2}.
    x∗(−x)=−x21+(1−x2)2\displaystyle x*(-x)=\frac{-x^{2}}{1+\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{2}}}
  2. Folosim a2=∣a∣\displaystyle \sqrt{a^{2}}=|a|, deci radicalul este ∣1−x2∣\displaystyle \left|1-x^{2}\right|. Pentru x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1] avem x2≤1\displaystyle x^{2}\le 1, deci 1−x2≥0\displaystyle 1-x^{2}\ge 0 și ∣1−x2∣=1−x2\displaystyle \left|1-x^{2}\right|=1-x^{2}.
    (1−x2)2=∣1−x2∣=1−x2\displaystyle \sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=\left|1-x^{2}\right|=1-x^{2}
  3. Revenim în fracție: numitorul este 1+(1−x2)=2−x2\displaystyle 1+\left(1-x^{2}\right)=2-x^{2}, care este strict pozitiv, deoarece x2≤1\displaystyle x^{2}\le 1.
    x∗(−x)=−x21+∣1−x2∣=−x22−x2, pentru orice x∈M\displaystyle x*(-x)=\frac{-x^{2}}{1+\left|1-x^{2}\right|}=\frac{-x^{2}}{2-x^{2}}\text{, pentru orice }x\in M
  4. Calculăm diferența x∗(−x)−(−x2)=x∗(−x)+x2\displaystyle x*(-x)-\left(-x^{2}\right)=x*(-x)+x^{2} și aducem la numitor comun 2−x2\displaystyle 2-x^{2}.
    x∗(−x)+x2=−x2+x2(2−x2)2−x2\displaystyle x*(-x)+x^{2}=\frac{-x^{2}+x^{2}\left(2-x^{2}\right)}{2-x^{2}}
  5. Simplificăm numărătorul: −x2+2x2−x4=x2−x4=x2(1−x2)\displaystyle -x^{2}+2x^{2}-x^{4}=x^{2}-x^{4}=x^{2}\left(1-x^{2}\right).
    x∗(−x)+x2=x2(1−x2)2−x2\displaystyle x*(-x)+x^{2}=\frac{x^{2}\left(1-x^{2}\right)}{2-x^{2}}
  6. Studiem semnul: x2≥0\displaystyle x^{2}\ge 0, 1−x2≥0\displaystyle 1-x^{2}\ge 0 pentru x∈M\displaystyle x\in M, iar 2−x2>0\displaystyle 2-x^{2}>0. Deci fracția este nenegativă, adică x∗(−x)≥−x2\displaystyle x*(-x)\ge -x^{2} pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
    (x∗(−x))+x2=x2(1−x2)2−x2≥0, deci x∗(−x)≥−x2, pentru orice x∈M\displaystyle \left(x*(-x)\right)+x^{2}=\frac{x^{2}\left(1-x^{2}\right)}{2-x^{2}}\ge 0\text{, deci }x*(-x)\ge -x^{2}\text{, pentru orice }x\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=[−1,1]\displaystyle M=[-1,1] se definește legea de compoziție x∗y=xy1+(1−x2)(1−y2)\displaystyle x*y=\dfrac{xy}{1+\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}}.

Determinați perechile (a,b)\displaystyle (a,b) de numere din mulțimea M\displaystyle M pentru care a∗b=1\displaystyle a*b=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condiția a∗b=1\displaystyle a*b=1 folosind definiția legii: ab1+(1−a2)(1−b2)=1\displaystyle \dfrac{ab}{1+\sqrt{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)}}=1. Numitorul este cel puțin 1\displaystyle 1, deci este nenul.
    ab1+(1−a2)(1−b2)=1\displaystyle \dfrac{ab}{1+\sqrt{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)}}=1
  2. Înmulțim cu numitorul și izolăm radicalul: ab=1+(1−a2)(1−b2)\displaystyle ab=1+\sqrt{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)}, deci (1−a2)(1−b2)=ab−1\displaystyle \sqrt{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)}=ab-1.
    (1−a2)(1−b2)=ab−1\displaystyle \sqrt{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)}=ab-1
  3. Radicalul este mai mare sau egal cu 0\displaystyle 0, deci ab−1≥0\displaystyle ab-1\ge 0, adică ab≥1\displaystyle ab\ge 1.
    ab≥1\displaystyle ab\ge 1
  4. Cum a,b∈[−1,1]\displaystyle a,b\in[-1,1], avem ∣a∣≤1\displaystyle |a|\le 1 și ∣b∣≤1\displaystyle |b|\le 1, deci ∣ab∣≤1\displaystyle |ab|\le 1, adică ab≤1\displaystyle ab\le 1. Împreună cu ab≥1\displaystyle ab\ge 1 rezultă ab=1\displaystyle ab=1.
    ab=1\displaystyle ab=1
  5. Egalitatea ab=1\displaystyle ab=1 cu ∣a∣≤1\displaystyle |a|\le 1 și ∣b∣≤1\displaystyle |b|\le 1 are loc doar dacă ∣a∣=∣b∣=1\displaystyle |a|=|b|=1, pentru că dacă unul ar fi mai mic strict decât 1\displaystyle 1, produsul ar fi mai mic strict decât 1\displaystyle 1. Cum ab>0\displaystyle ab>0, a\displaystyle a și b\displaystyle b au același semn: a=b=1\displaystyle a=b=1 sau a=b=−1\displaystyle a=b=-1. Verificare: în ambele cazuri radicalul este 0\displaystyle 0 și a∗b=11+0=1\displaystyle a*b=\dfrac{1}{1+0}=1, deci perechile convin.
    (a,b)∈{(−1,−1),(1,1)}\displaystyle (a,b)\in\{(-1,-1),(1,1)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−1−ln⁡(ex+x2)\displaystyle f(x)=x-1-\ln\left(e^x+x^2\right).

Arătați că f′(x)=x(x−2)ex+x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{e^x+x^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen: (x)′=1\displaystyle (x)'=1, (−1)′=0\displaystyle (-1)'=0, iar pentru logaritm folosim formula (ln⁡u)′=u′u\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}, cu u=ex+x2\displaystyle u=e^x+x^2.
    f′(x)=1−(ex+x2)′ex+x2\displaystyle f'(x)=1-\frac{\left(e^x+x^2\right)'}{e^x+x^2}
  2. Calculăm u′=(ex+x2)′=ex+2x\displaystyle u'=\left(e^x+x^2\right)'=e^x+2x. Înlocuim în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(x)=1−1ex+x2⋅(ex+2x)\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{e^x+x^2}\cdot\left(e^x+2x\right)
  3. Aducem la numitor comun: scriem 1=ex+x2ex+x2\displaystyle 1=\dfrac{e^x+x^2}{e^x+x^2} și scădem numărătorii.
    f′(x)=ex+x2−ex−2xex+x2\displaystyle f'(x)=\frac{e^x+x^2-e^x-2x}{e^x+x^2}
  4. Reducem termenii ex\displaystyle e^x și obținem x2−2x\displaystyle x^2-2x la numărător, apoi dăm factor comun pe x\displaystyle x. Numitorul ex+x2\displaystyle e^x+x^2 este strict pozitiv, deci expresia este definită pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=x2−2xex+x2=x(x−2)ex+x2, x∈R\displaystyle f'(x)=\frac{x^2-2x}{e^x+x^2}=\frac{x(x-2)}{e^x+x^2}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−1−ln⁡(ex+x2)\displaystyle f(x)=x-1-\ln\left(e^x+x^2\right).

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de coordonate (a,f(a))\displaystyle (a,f(a)) este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Tangenta la grafic în punctul de abscisă a\displaystyle a are panta f′(a)\displaystyle f'(a). Ea este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox când panta este zero, deci trebuie ca f′(a)=0\displaystyle f'(a)=0.
    f′(a)=0\displaystyle f'(a)=0
  2. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f. Derivata lui x−1\displaystyle x-1 este 1\displaystyle 1, iar pentru ln⁡u\displaystyle \ln u folosim (ln⁡u)′=u′u\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}, cu u=ex+x2\displaystyle u=e^x+x^2 și u′=ex+2x\displaystyle u'=e^x+2x.
    f′(x)=1−ex+2xex+x2\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{e^x+2x}{e^x+x^2}
  3. Aducem la același numitor și reducem termenii asemenea: ex\displaystyle e^x se reduce, iar la numărător rămâne x2−2x=x(x−2)\displaystyle x^2-2x=x(x-2). Numitorul ex+x2\displaystyle e^x+x^2 este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real.
    f′(x)=ex+x2−ex−2xex+x2=x(x−2)ex+x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^x+x^2-e^x-2x}{e^x+x^2}=\dfrac{x(x-2)}{e^x+x^2}
  4. Punem condiția f′(a)=0\displaystyle f'(a)=0. O fracție este zero când numărătorul este zero, deoarece numitorul nu se anulează niciodată. Deci a(a−2)=0\displaystyle a(a-2)=0, adică a=0\displaystyle a=0 sau a=2\displaystyle a=2.
    a(a−2)ea+a2=0⇔a=0 sau a=2\displaystyle \dfrac{a(a-2)}{e^a+a^2}=0\Leftrightarrow a=0\text{ sau }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−1−ln⁡(ex+x2)\displaystyle f(x)=x-1-\ln\left(e^x+x^2\right).

Determinați imaginea funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Expresia ex+x2\displaystyle e^x+x^2 este strict pozitivă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci f\displaystyle f este definită și derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Calculăm derivata: f′(x)=1−ex+2xex+x2\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{e^x+2x}{e^x+x^2}. Aducem la același numitor.
    f′(x)=x2−2xex+x2=x(x−2)ex+x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^2-2x}{e^x+x^2}=\dfrac{x(x-2)}{e^x+x^2}
  2. Numitorul ex+x2\displaystyle e^x+x^2 este pozitiv, deci semnul derivatei este dat de x(x−2)\displaystyle x(x-2). Avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pentru x<0\displaystyle x<0, f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pentru x∈(0,2)\displaystyle x\in(0,2) și f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pentru x>2\displaystyle x>2. Rezultă monotonia lui f\displaystyle f.
    f cresca˘toare pe (−∞,0]\displaystyle f\text{ crescătoare pe }(-\infty,0], f descresca˘toare pe [0,2]\displaystyle \ f\text{ descrescătoare pe }[0,2], f cresca˘toare pe [2,+∞)\displaystyle \ f\text{ crescătoare pe }[2,+\infty)
  3. Calculăm valorile funcției în punctele în care se schimbă monotonia. În 0 avem f(0)=0−1−ln⁡1=−1\displaystyle f(0)=0-1-\ln 1=-1. În 2 avem f(2)=1−ln⁡(e2+4)\displaystyle f(2)=1-\ln\left(e^2+4\right). Deoarece e2+4>e2\displaystyle e^2+4>e^2, rezultă ln⁡(e2+4)>2\displaystyle \ln\left(e^2+4\right)>2, deci f(2)<−1\displaystyle f(2)<-1.
    f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1,f(2)=1−ln⁡(e2+4)<−1\displaystyle \quad f(2)=1-\ln\left(e^2+4\right)<-1
  4. Pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty avem ex→0\displaystyle e^x\to 0, deci pentru x<0\displaystyle x<0 expresia din logaritm este mai mică decât 1+x2\displaystyle 1+x^2. Atunci f(x)>x−1−ln⁡(1+x2)\displaystyle f(x)>x-1-\ln\left(1+x^2\right) nu ajută, așa că scriem direct f(x)=x−1−ln⁡(ex+x2)\displaystyle f(x)=x-1-\ln\left(e^x+x^2\right) și observăm că ln⁡(ex+x2)\displaystyle \ln\left(e^x+x^2\right) crește ca 2ln⁡∣x∣\displaystyle 2\ln|x|, deci este neglijabil față de x\displaystyle x. Termenul x−1\displaystyle x-1 tinde la −∞\displaystyle -\infty, iar ln⁡(ex+x2)\displaystyle \ln\left(e^x+x^2\right) este mic în comparație cu el, deci limita este −∞\displaystyle -\infty.
    lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty
  5. Scoatem ex\displaystyle e^x factor comun în logaritm: ln⁡(ex+x2)=x+ln⁡(1+x2ex)\displaystyle \ln\left(e^x+x^2\right)=x+\ln\left(1+\dfrac{x^2}{e^x}\right). Atunci f(x)=−1−ln⁡(1+x2ex)\displaystyle f(x)=-1-\ln\left(1+\dfrac{x^2}{e^x}\right). Cum x2ex→0\displaystyle \dfrac{x^2}{e^x}\to 0 pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty, logaritmul tinde la ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    lim⁡x→+∞f(x)=−1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=-1
  6. Folosim continuitatea și monotonia pe fiecare interval. Pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0] funcția f\displaystyle f ia toate valorile din (−∞,−1]\displaystyle (-\infty,-1]. Pe [0,2]\displaystyle [0,2] ia valorile din [f(2),−1]\displaystyle [f(2),-1], iar pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty) ia valorile din [f(2),−1)\displaystyle [f(2),-1). Reuniunea lor este (−∞,−1]\displaystyle (-\infty,-1], iar valoarea maximă −1\displaystyle -1 este atinsă în x=0\displaystyle x=0, deci imaginea funcției f\displaystyle f este (−∞,−1]\displaystyle (-\infty,-1].
    lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, f(0)=−1\displaystyle \ f(0)=-1, lim⁡x→+∞f(x)=−1, imaginea funcției f este (−∞,−1]\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-1\text{, imaginea funcției }f\text{ este }(-\infty,-1]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1x+3\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x+3}}.

Arătați că ∫03f(x)x+3 dx=12\displaystyle \displaystyle\int_0^3 f(x)\sqrt{x+3}\,dx=12.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+1x+3\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x+3}} în integrală: f(x)x+3=x2+1x+3⋅x+3\displaystyle f(x)\sqrt{x+3}=\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x+3}}\cdot\sqrt{x+3}.
    ∫03f(x)x+3 dx=∫03x2+1x+3⋅x+3 dx\displaystyle \int_0^3 f(x)\sqrt{x+3}\,dx=\int_0^3 \dfrac{x^2+1}{\sqrt{x+3}}\cdot\sqrt{x+3}\,dx
  2. Pe intervalul [0,3]\displaystyle [0,3] avem x+3>0\displaystyle \sqrt{x+3}>0, deci radicalul se simplifică cu numitorul. Rămâne de integrat polinomul x2+1\displaystyle x^2+1.
    ∫03f(x)x+3 dx=∫03(x2+1)dx\displaystyle \int_0^3 f(x)\sqrt{x+3}\,dx=\int_0^3\left(x^2+1\right)dx
  3. Primitiva lui x2\displaystyle x^2 este x33\displaystyle \dfrac{x^3}{3}, iar primitiva lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫03(x2+1)dx=(x33+x)∣03\displaystyle \int_0^3\left(x^2+1\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Big|_0^3
  4. În 3\displaystyle 3 obținem 333+3=9+3\displaystyle \dfrac{3^3}{3}+3=9+3, iar în 0\displaystyle 0 obținem 0\displaystyle 0. Diferența este 12\displaystyle 12, deci egalitatea cerută este adevărată.
    (333+3)−0=9+3=12\displaystyle \left(\frac{3^3}{3}+3\right)-0=9+3=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1x+3\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x+3}}.

Arătați că ∫−21f(x)x2+1 dx=2\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{1}\frac{f(x)}{x^2+1}\,dx=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+1x+3\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x+3}} în integrandul f(x)x2+1\displaystyle \dfrac{f(x)}{x^2+1} și simplificăm prin x2+1\displaystyle x^2+1, care este nenul pe [−2,1]\displaystyle [-2,1].
    f(x)x2+1=1x+3\displaystyle \frac{f(x)}{x^2+1}=\frac{1}{\sqrt{x+3}}
  2. Observăm că (x+3)′=1\displaystyle (x+3)'=1, deci integrandul este (x+3)′x+3\displaystyle \dfrac{(x+3)'}{\sqrt{x+3}}. Acesta este derivata funcției 2x+3\displaystyle 2\sqrt{x+3}, deoarece (2x+3)′=1x+3\displaystyle \left(2\sqrt{x+3}\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫−21f(x)x2+1 dx=∫−21(x+3)′x+3 dx=2x+3∣−21\displaystyle \int_{-2}^{1}\frac{f(x)}{x^2+1}\,dx=\int_{-2}^{1}\frac{(x+3)'}{\sqrt{x+3}}\,dx=2\sqrt{x+3}\Big|_{-2}^{1}
  3. Calculăm în capete: pentru x=1\displaystyle x=1 avem 24=4\displaystyle 2\sqrt{4}=4, iar pentru x=−2\displaystyle x=-2 avem 21=2\displaystyle 2\sqrt{1}=2. Scădem valorile și obținem rezultatul cerut.
    24−21=4−2=2\displaystyle 2\sqrt{4}-2\sqrt{1}=4-2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1x+3\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x+3}}.

Demonstrați că ∫011f(x) dx≤π2\displaystyle \displaystyle\int_0^1\frac{1}{f(x)}\,dx\le\frac{\pi}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem inversul funcției f\displaystyle f: 1f(x)=x+3x2+1\displaystyle \dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x^{2}+1}.
    1f(x)=x+3x2+1\displaystyle \frac{1}{f(x)}=\frac{\sqrt{x+3}}{x^{2}+1}
  2. Pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1] avem x+3≤4\displaystyle x+3\le 4, deci x+3≤2\displaystyle \sqrt{x+3}\le 2. Numitorul x2+1\displaystyle x^{2}+1 este pozitiv, deci inegalitatea se păstrează la împărțire.
    1f(x)=x+3x2+1≤2x2+1\displaystyle \frac{1}{f(x)}=\frac{\sqrt{x+3}}{x^{2}+1}\le\frac{2}{x^{2}+1}, ∀x∈[0,1]\displaystyle \ \forall x\in[0,1]
  3. Integrăm inegalitatea pe [0,1]\displaystyle [0,1]. Integrala păstrează inegalitățile, iar constanta 2\displaystyle 2 iese în fața integralei.
    ∫011f(x) dx≤2∫011x2+1 dx\displaystyle \int_0^1\frac{1}{f(x)}\,dx\le 2\int_0^1\frac{1}{x^{2}+1}\,dx
  4. Calculăm integrala rațională: o primitivă a lui 1x2+1\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}+1} este arctg⁡x\displaystyle \operatorname{arctg}x.
    2∫011x2+1 dx=2arctg⁡x∣01\displaystyle 2\int_0^1\frac{1}{x^{2}+1}\,dx=2\operatorname{arctg}x\Big|_0^1
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: arctg⁡1=π4\displaystyle \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4}, iar arctg⁡0=0\displaystyle \operatorname{arctg}0=0. Deci majorantul este π2\displaystyle \dfrac{\pi}{2}, de unde rezultă inegalitatea cerută.
    2arctg⁡x∣01=2⋅π4=π2, deci ∫011f(x) dx≤π2\displaystyle 2\operatorname{arctg}x\Big|_0^1=2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\text{, deci }\int_0^1\frac{1}{f(x)}\,dx\le\frac{\pi}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.