Bac matematică M1 mate-info 2019, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați modulul numărului complex z=(2−i)(3+2i)−4(1+i)\displaystyle z=(2-i)(3+2i)-4(1+i).
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem produsul (2−i)(3+2i)\displaystyle (2-i)(3+2i) înmulțind fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua.
    (2−i)(3+2i)=6+4i−3i−2i2\displaystyle (2-i)(3+2i)=6+4i-3i-2i^{2}
  2. Folosim i2=−1\displaystyle i^{2}=-1, deci −2i2=2\displaystyle -2i^{2}=2, și reducem termenii asemenea.
    (2−i)(3+2i)=6+2+i=8+i\displaystyle (2-i)(3+2i)=6+2+i=8+i
  3. Desfacem și 4(1+i)\displaystyle 4(1+i).
    4(1+i)=4+4i\displaystyle 4(1+i)=4+4i
  4. Scădem: z=(8+i)−(4+4i)\displaystyle z=(8+i)-(4+4i). Separăm partea reală și partea imaginară și obținem forma algebrică.
    z=6−3i+4i−2i2−4−4i=4−3i\displaystyle z=6-3i+4i-2i^{2}-4-4i=4-3i
  5. Pentru z=4−3i\displaystyle z=4-3i avem a=4\displaystyle a=4 și b=−3\displaystyle b=-3, deci ∣z∣=a2+b2\displaystyle |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
    ∣z∣=42+(−3)2=16+9=25=5\displaystyle |z|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați valorile reale ale lui m\displaystyle m pentru care x2−(2m+1)x+m(m−1)≥0\displaystyle x^2-(2m+1)x+m(m-1)\geq 0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este 1>0\displaystyle 1>0, deci parabola este orientată în sus. Inegalitatea x2−(2m+1)x+m(m−1)≥0\displaystyle x^{2}-(2m+1)x+m(m-1)\geq 0 are loc pentru orice x\displaystyle x real exact când nu există rădăcini reale distincte, adică Δ≤0\displaystyle \Delta\leq 0.
    Δ≤0\displaystyle \Delta\leq 0
  2. Identificăm coeficienții: a=1\displaystyle a=1, b=−(2m+1)\displaystyle b=-(2m+1), c=m(m−1)\displaystyle c=m(m-1). Atunci Δ=b2−4ac=(2m+1)2−4m(m−1)\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(2m+1)^{2}-4m(m-1).
    Δ=(2m+1)2−4m(m−1)\displaystyle \Delta=(2m+1)^{2}-4m(m-1)
  3. Desfacem parantezele: (2m+1)2=4m2+4m+1\displaystyle (2m+1)^{2}=4m^{2}+4m+1, iar 4m(m−1)=4m2−4m\displaystyle 4m(m-1)=4m^{2}-4m. Atunci Δ=4m2+4m+1−4m2+4m\displaystyle \Delta=4m^{2}+4m+1-4m^{2}+4m, deci după reducerea termenilor asemenea obținem Δ=8m+1\displaystyle \Delta=8m+1.
    Δ=8m+1\displaystyle \Delta=8m+1
  4. Impunem condiția Δ≤0\displaystyle \Delta\leq 0, adică 8m+1≤0\displaystyle 8m+1\leq 0. Rezultă 8m≤−1\displaystyle 8m\leq -1.
    8m≤−1\displaystyle 8m\leq -1
  5. Împărțim la 8>0\displaystyle 8>0, deci sensul inegalității se păstrează: m≤−18\displaystyle m\leq -\dfrac{1}{8}. Prin urmare m∈(−∞,−18]\displaystyle m\in\left(-\infty,-\dfrac{1}{8}\right].
    m∈(−∞,−18]\displaystyle m\in\left(-\infty,-\frac{1}{8}\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2log⁡2x−log⁡x2=1\displaystyle 2\log_2 x-\log_x 2=1.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență: pentru log⁡2x\displaystyle \log_2 x și log⁡x2\displaystyle \log_x 2 avem nevoie de x>0\displaystyle x>0 și x≠1\displaystyle x\neq 1. Deci x∈(0,1)∪(1,∞)\displaystyle x\in(0,1)\cup(1,\infty).
    x∈(0,1)∪(1,∞)\displaystyle x\in(0,1)\cup(1,\infty)
  2. Folosim log⁡x2=1log⁡2x\displaystyle \log_x 2=\dfrac{1}{\log_2 x} (are sens, deoarece log⁡2x≠0\displaystyle \log_2 x\neq 0 pentru x≠1\displaystyle x\neq 1). Ecuația devine 2log⁡2x−1log⁡2x=1\displaystyle 2\log_2 x-\dfrac{1}{\log_2 x}=1.
    2log⁡2x−1log⁡2x=1\displaystyle 2\log_2 x-\frac{1}{\log_2 x}=1
  3. Notăm t=log⁡2x\displaystyle t=\log_2 x, cu t≠0\displaystyle t\neq 0. Înmulțim ecuația cu t\displaystyle t: 2t2−1=t\displaystyle 2t^{2}-1=t, adică 2t2−t−1=0\displaystyle 2t^{2}-t-1=0. Descompunem: 2t2−t−1=(2t+1)(t−1)\displaystyle 2t^{2}-t-1=(2t+1)(t-1).
    (2log⁡2x+1)(log⁡2x−1)=0\displaystyle (2\log_2 x+1)(\log_2 x-1)=0
  4. Un produs este nul când un factor este nul. Din 2t+1=0\displaystyle 2t+1=0 obținem t=−12\displaystyle t=-\dfrac{1}{2}, iar din t−1=0\displaystyle t-1=0 obținem t=1\displaystyle t=1. Ambele valori sunt nenule.
    log⁡2x=−12 sau log⁡2x=1\displaystyle \log_2 x=-\frac{1}{2}\text{ sau }\log_2 x=1
  5. Revenim la x\displaystyle x: din log⁡2x=−12\displaystyle \log_2 x=-\dfrac{1}{2} rezultă x=2−12=12\displaystyle x=2^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, iar din log⁡2x=1\displaystyle \log_2 x=1 rezultă x=2\displaystyle x=2. Ambele valori sunt pozitive și diferite de 1\displaystyle 1, deci convin.
    x=12 sau x=2, care convin\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{ sau }x=2\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi A\displaystyle A, știind că mulțimea A\displaystyle A are exact 16\displaystyle 16 submulțimi cu cel mult două elemente.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu n\displaystyle n numărul de elemente ale mulțimii A\displaystyle A. Submulțimile cu cel mult două elemente sunt cele cu 0\displaystyle 0, cu 1\displaystyle 1 sau cu 2\displaystyle 2 elemente.
    n=∣A∣\displaystyle n=|A|
  2. Numărul submulțimilor cu k\displaystyle k elemente este Cnk\displaystyle C_n^k. Adunăm numărul submulțimilor cu 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2 elemente.
    Cn0+Cn1+Cn2\displaystyle C_n^0+C_n^1+C_n^2
  3. Calculăm combinările: Cn0=1\displaystyle C_n^0=1, Cn1=n\displaystyle C_n^1=n, iar Cn2=n(n−1)2\displaystyle C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}. Egalăm suma cu 16\displaystyle 16, numărul dat de submulțimi.
    1+n+n(n−1)2=16\displaystyle 1+n+\frac{n(n-1)}{2}=16
  4. Înmulțim cu 2\displaystyle 2: 2+2n+n2−n=32\displaystyle 2+2n+n^{2}-n=32, deci n2+n−30=0\displaystyle n^{2}+n-30=0. Rădăcinile sunt 5\displaystyle 5 și −6\displaystyle -6. Cum n\displaystyle n este număr natural, rămâne n=5\displaystyle n=5.
    n2+n−30=0⇒n=5\displaystyle n^{2}+n-30=0\Rightarrow n=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, punctul M\displaystyle M mijlocul laturii BC\displaystyle BC și punctul N\displaystyle N mijlocul segmentului AM\displaystyle AM. Demonstrați că 2AN→+BN→+CN→=0→\displaystyle 2\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim faptul că M\displaystyle M este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC. Scriem BN→=BM→+MN→\displaystyle \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN} și CN→=CM→+MN→\displaystyle \overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MN}.
    BN→=BM→+MN→\displaystyle \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN},CN→=CM→+MN→\displaystyle \quad \overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MN}
  2. Adunăm cele două relații. Deoarece M\displaystyle M este mijlocul lui BC\displaystyle BC, vectorii BM→\displaystyle \overrightarrow{BM} și CM→\displaystyle \overrightarrow{CM} sunt opuși, deci BM→+CM→=0→\displaystyle \overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}. Obținem BN→+CN→=2MN→\displaystyle \overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{MN}.
    BN→+CN→=2MN→\displaystyle \overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{MN}
  3. Folosim faptul că N\displaystyle N este mijlocul segmentului AM\displaystyle AM. Atunci MN→=NA→\displaystyle \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{NA}, deoarece cei doi vectori au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime.
    MN→=NA→\displaystyle \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{NA}
  4. Înlocuim în expresia dată: 2AN→+BN→+CN→=2AN→+2MN→=2AN→+2NA→\displaystyle 2\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{NA}. Vectorii AN→\displaystyle \overrightarrow{AN} și NA→\displaystyle \overrightarrow{NA} sunt opuși, deci suma este 0→\displaystyle \overrightarrow{0}. Egalitatea este demonstrată.
    2AN→+BN→+CN→=2AN→+2NA→=0→\displaystyle 2\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{0}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați x∈(π2,π)\displaystyle x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right), știind că 1+3cos⁡x=cos⁡2x\displaystyle 1+3\cos x=\cos 2x.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula cosinusului unghiului dublu, cos⁡2x=2cos⁡2x−1\displaystyle \cos 2x=2\cos^{2} x-1, și o înlocuim în ecuația dată.
    1+3cos⁡x=2cos⁡2x−1\displaystyle 1+3\cos x=2\cos^{2} x-1
  2. Mutăm toți termenii în partea dreaptă și reducem termenii asemenea: 2cos⁡2x−3cos⁡x−1−1=0\displaystyle 2\cos^{2} x-3\cos x-1-1=0, deci obținem o ecuație de gradul al doilea în cos⁡x\displaystyle \cos x.
    2cos⁡2x−3cos⁡x−2=0\displaystyle 2\cos^{2} x-3\cos x-2=0
  3. Notăm t=cos⁡x\displaystyle t=\cos x, deci 2t2−3t−2=0\displaystyle 2t^{2}-3t-2=0. Discriminantul este Δ=9+16=25\displaystyle \Delta=9+16=25, iar rădăcinile sunt t=3±54\displaystyle t=\dfrac{3\pm 5}{4}, adică t=2\displaystyle t=2 și t=−12\displaystyle t=-\dfrac{1}{2}. Ecuația se scrie ca produs de factori.
    (cos⁡x−2)(2cos⁡x+1)=0\displaystyle (\cos x-2)(2\cos x+1)=0
  4. Ecuația cos⁡x=2\displaystyle \cos x=2 nu are soluții, deoarece cos⁡x∈[−1,1]\displaystyle \cos x\in[-1,1]. Rămâne 2cos⁡x+1=0\displaystyle 2\cos x+1=0.
    cos⁡x=−12\displaystyle \cos x=-\dfrac{1}{2}
  5. Căutăm soluția în intervalul (π2,π)\displaystyle \left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right). Cum cos⁡π3=12\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}, avem x=π−π3=2π3\displaystyle x=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}, valoare care aparține intervalului.
    x=2π3\displaystyle x=\dfrac{2\pi}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(11112a2a4)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&a\\2&a&4\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+y+z=1x+2y+az=22x+ay+4z=3\displaystyle \begin{cases}x+y+z=1\\x+2y+az=2\\2x+ay+4z=3\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(a))=a(3−a)\displaystyle \det(A(a))=a(3-a), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi calculăm termenii cu semnul plus, adică produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: 1⋅2⋅4=8\displaystyle 1\cdot 2\cdot 4=8, 1⋅a⋅2=2a\displaystyle 1\cdot a\cdot 2=2a și 1⋅1⋅a=a\displaystyle 1\cdot 1\cdot a=a.
    8+2a+a\displaystyle 8+2a+a
  2. Calculăm termenii cu semnul minus, adică produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: 1⋅2⋅2=4\displaystyle 1\cdot 2\cdot 2=4, 1⋅1⋅4=4\displaystyle 1\cdot 1\cdot 4=4 și 1⋅a⋅a=a2\displaystyle 1\cdot a\cdot a=a^{2}.
    4+4+a2\displaystyle 4+4+a^{2}
  3. Scădem a doua sumă din prima și obținem det⁡(A(a))=8+a+2a−4−a2−4\displaystyle \det(A(a))=8+a+2a-4-a^{2}-4.
    det⁡(A(a))=8+a+2a−4−a2−4\displaystyle \det(A(a))=8+a+2a-4-a^{2}-4
  4. Reducem termenii asemenea: 8−4−4=0\displaystyle 8-4-4=0, iar a+2a=3a\displaystyle a+2a=3a. Rămâne −a2+3a\displaystyle -a^{2}+3a, iar dacă dăm factor comun pe a\displaystyle a obținem a(3−a)\displaystyle a(3-a), pentru orice a\displaystyle a real.
    det⁡(A(a))=−a2+3a=a(3−a)\displaystyle \det(A(a))=-a^{2}+3a=a(3-a)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(11112a2a4)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&a\\2&a&4\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+y+z=1x+2y+az=22x+ay+4z=3\displaystyle \begin{cases}x+y+z=1\\x+2y+az=2\\2x+ay+4z=3\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=0\displaystyle a=0, demonstrați că sistemul de ecuații este incompatibil.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=0\displaystyle a=0, matricea sistemului este A(0)=(111120204)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&0\\2&0&4\end{pmatrix}, iar sistemul devine {x+y+z=1x+2y=22x+4z=3\displaystyle \begin{cases}x+y+z=1\\x+2y=2\\2x+4z=3\end{cases}.
    A(0)=(111120204)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&0\\2&0&4\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0) prin dezvoltare după prima linie: det⁡(A(0))=1⋅(8−0)−1⋅(4−0)+1⋅(0−4)=8−4−4=0\displaystyle \det(A(0))=1\cdot(8-0)-1\cdot(4-0)+1\cdot(0-4)=8-4-4=0.
    det⁡(A(0))=0\displaystyle \det(A(0))=0
  3. Determinantul fiind nul, rangul lui A(0)\displaystyle A(0) este cel mult 2\displaystyle 2. Minorul format din primele două linii și primele două coloane este ∣1112∣=1⋅2−1⋅1=1≠0\displaystyle \begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\cdot 2-1\cdot 1=1\neq 0, deci rang⁡A(0)=2\displaystyle \operatorname{rang}A(0)=2.
    det⁡(A(0))=0 și ∣1112∣=1≠0, deci rang⁡A(0)=2\displaystyle \det(A(0))=0\text{ și }\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\neq 0\text{, deci }\operatorname{rang}A(0)=2
  4. Pentru teorema lui Rouché, formăm minorul caracteristic: bordăm minorul nenul de ordin 2\displaystyle 2 cu linia a treia și cu coloana termenilor liberi (1,2,3)\displaystyle (1,2,3).
    Δc=∣111122203∣\displaystyle \Delta_c=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&2\\2&0&3\end{vmatrix}
  5. Calculăm minorul caracteristic prin dezvoltare după prima linie: Δc=1⋅(6−0)−1⋅(3−4)+1⋅(0−4)=6+1−4=3≠0\displaystyle \Delta_c=1\cdot(6-0)-1\cdot(3-4)+1\cdot(0-4)=6+1-4=3\neq 0. Rezultă că rangul matricei extinse este 3\displaystyle 3, diferit de rangul matricei sistemului, care este 2\displaystyle 2. Conform teoremei lui Rouché, sistemul este incompatibil.
    ∣111122203∣=3≠0, deci sistemul este \displaystyle \begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&2\\2&0&3\end{vmatrix}=3\neq 0\text{, deci sistemul este }incompatibil\displaystyle \text{incompatibil}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(11112a2a4)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&a\\2&a&4\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+y+z=1x+2y+az=22x+ay+4z=3\displaystyle \begin{cases}x+y+z=1\\x+2y+az=2\\2x+ay+4z=3\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele întregi a\displaystyle a pentru care sistemul de ecuații are soluție unică (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) și x0\displaystyle x_0, y0\displaystyle y_0 și z0\displaystyle z_0 sunt numere întregi.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei sistemului, dezvoltând după prima linie: det⁡A(a)=1⋅(8−a2)−1⋅(4−2a)+1⋅(a−4)\displaystyle \det A(a)=1\cdot(8-a^{2})-1\cdot(4-2a)+1\cdot(a-4).
    det⁡A(a)=−a2+3a=−a(a−3)\displaystyle \det A(a)=-a^{2}+3a=-a(a-3)
  2. Sistemul are soluție unică exact când det⁡A(a)≠0\displaystyle \det A(a)\neq 0, adică a≠0\displaystyle a\neq 0 și a≠3\displaystyle a\neq 3.
    a∈Z∖{0,3}\displaystyle a\in\mathbb{Z}\setminus\{0,3\}
  3. Scădem prima ecuație din a doua și 2⋅\displaystyle 2\cdot prima ecuație din a treia, ca să eliminăm x\displaystyle x.
    {y+(a−1)z=1(a−2)y+2z=1\displaystyle \begin{cases}y+(a-1)z=1\\(a-2)y+2z=1\end{cases}
  4. Din prima ecuație y=1−(a−1)z\displaystyle y=1-(a-1)z. Înlocuim în a doua: (a−2)−(a−2)(a−1)z+2z=1\displaystyle (a-2)-(a-2)(a-1)z+2z=1, deci −[(a−2)(a−1)−2]z=3−a\displaystyle -\left[(a-2)(a-1)-2\right]z=3-a.
    −a(a−3)z=−(a−3)\displaystyle -a(a-3)z=-(a-3)
  5. Cum a≠0\displaystyle a\neq 0 și a≠3\displaystyle a\neq 3, împărțim cu −a(a−3)\displaystyle -a(a-3) și obținem z=1a\displaystyle z=\dfrac{1}{a}. Apoi y=1−(a−1)⋅1a=1a\displaystyle y=1-(a-1)\cdot\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{a}, iar x=1−y−z=1−2a\displaystyle x=1-y-z=1-\dfrac{2}{a}.
    (x0,y0,z0)=(1−2a,1a,1a)\displaystyle (x_0,y_0,z_0)=\left(1-\dfrac{2}{a},\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{a}\right)
  6. Cerem ca x0,y0,z0∈Z\displaystyle x_0,y_0,z_0\in\mathbb{Z}. Dacă 1a∈Z\displaystyle \dfrac{1}{a}\in\mathbb{Z}, atunci și 1−2a∈Z\displaystyle 1-\dfrac{2}{a}\in\mathbb{Z}. Cum a∈Z\displaystyle a\in\mathbb{Z}, rezultă că a\displaystyle a divide 1\displaystyle 1, deci a∈{−1,1}\displaystyle a\in\{-1,1\}.
    a∈{−1,1}\displaystyle a\in\{-1,1\}
  7. Valorile −1\displaystyle -1 și 1\displaystyle 1 sunt diferite de 0\displaystyle 0 și de 3\displaystyle 3, deci convin. Pentru a=−1\displaystyle a=-1 soluția este (3,−1,−1)\displaystyle (3,-1,-1), iar pentru a=1\displaystyle a=1 soluția este (−1,1,1)\displaystyle (-1,1,1).
    a=−1 sau a=1, care convin\displaystyle a=-1\text{ sau }a=1\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=x2y2+x2+y2\displaystyle x\circ y=\sqrt{x^2y^2+x^2+y^2}.

Demonstrați că x∘y=(x2+1)(y2+1)−1\displaystyle x\circ y=\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)-1}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii: x∘y=x2y2+x2+y2\displaystyle x\circ y=\sqrt{x^2y^2+x^2+y^2}. Vrem să ajungem la forma cu produsul (x2+1)(y2+1)\displaystyle (x^2+1)(y^2+1).
    x∘y=x2y2+x2+y2\displaystyle x\circ y=\sqrt{x^2y^2+x^2+y^2}
  2. Adăugăm și scădem 1\displaystyle 1 sub radical, ceea ce nu schimbă valoarea expresiei.
    x∘y=x2y2+x2+y2+1−1\displaystyle x\circ y=\sqrt{x^2y^2+x^2+y^2+1-1}
  3. Grupăm primii doi termeni, care au factor comun x2\displaystyle x^2, iar ceilalți doi termeni formează y2+1\displaystyle y^2+1. Scoatem factor comun x2\displaystyle x^2 din primii doi.
    x∘y=x2(y2+1)+(y2+1)−1\displaystyle x\circ y=\sqrt{x^2(y^2+1)+(y^2+1)-1}
  4. Dăm factor comun y2+1\displaystyle y^2+1 între primii doi termeni și obținem forma cerută, valabilă pentru orice x,y\displaystyle x,y reali.
    x∘y=(x2+1)(y2+1)−1\displaystyle x\circ y=\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)-1}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=x2y2+x2+y2\displaystyle x\circ y=\sqrt{x^2y^2+x^2+y^2}.

Determinați perechile de numere naturale a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că a∘b=1\displaystyle a\circ b=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condiția a∘b=1\displaystyle a\circ b=1 folosind definiția legii: a2b2+a2+b2=1\displaystyle \sqrt{a^2b^2+a^2+b^2}=1.
    a2b2+a2+b2=1\displaystyle \sqrt{a^2b^2+a^2+b^2}=1
  2. Observăm că expresia de sub radical se poate scrie ca produs minus 1, deoarece (a2+1)(b2+1)=a2b2+a2+b2+1\displaystyle (a^2+1)(b^2+1)=a^2b^2+a^2+b^2+1. Deci ecuația devine (a2+1)(b2+1)−1=1\displaystyle \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)-1}=1.
    (a2+1)(b2+1)−1=1\displaystyle \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)-1}=1
  3. Ridicăm la pătrat ambii membri: (a2+1)(b2+1)−1=1\displaystyle (a^2+1)(b^2+1)-1=1, apoi adunăm 1. Ridicarea la pătrat este echivalentă aici, pentru că ambii membri sunt pozitivi. Obținem (a2+1)(b2+1)=2\displaystyle (a^2+1)(b^2+1)=2.
    (a2+1)(b2+1)=2\displaystyle (a^2+1)(b^2+1)=2
  4. Cum a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere naturale, factorii a2+1\displaystyle a^2+1 și b2+1\displaystyle b^2+1 sunt numere naturale nenule. Produsul lor este 2, deci unul dintre ei este 1 și celălalt este 2.
    a2+1=1\displaystyle a^2+1=1, b2+1=2 sau a2+1=2\displaystyle \ b^2+1=2\text{ sau }a^2+1=2, b2+1=1\displaystyle \ b^2+1=1
  5. Rezolvăm fiecare caz. Din a2=0\displaystyle a^2=0 rezultă a=0\displaystyle a=0, iar din b2=1\displaystyle b^2=1 rezultă b=1\displaystyle b=1, pentru că b\displaystyle b este natural. Al doilea caz este simetric: a2=1\displaystyle a^2=1 dă a=1\displaystyle a=1, iar b2=0\displaystyle b^2=0 dă b=0\displaystyle b=0.
    (a,b)=(0,1) sau (a,b)=(1,0)\displaystyle (a,b)=(0,1)\text{ sau }(a,b)=(1,0)
  6. Verificăm: pentru a=1\displaystyle a=1 și b=0\displaystyle b=0 avem 0+1+0=1\displaystyle \sqrt{0+1+0}=1, iar pentru a=0\displaystyle a=0 și b=1\displaystyle b=1 obținem la fel 1\displaystyle 1. Perechile căutate sunt (1,0)\displaystyle (1,0) și (0,1)\displaystyle (0,1).
    a=1\displaystyle a=1, b=0 sau a=0\displaystyle \ b=0\text{ sau }a=0, b=1\displaystyle \ b=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=x2y2+x2+y2\displaystyle x\circ y=\sqrt{x^2y^2+x^2+y^2}.

Demonstrați că pentru orice număr natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\geq 2, numărul 1∘1∘…∘1⏟1 de n ori\displaystyle \underbrace{1\circ 1\circ\ldots\circ 1}_{1\text{ de }n\text{ ori}} nu este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm o identitate utilă: pentru orice x,y\displaystyle x,y reali, (x∘y)2+1=(x2+1)(y2+1)\displaystyle (x\circ y)^2+1=(x^2+1)(y^2+1). Într-adevăr, x2y2+x2+y2+1=(x2+1)(y2+1)\displaystyle x^2y^2+x^2+y^2+1=(x^2+1)(y^2+1).
    (x∘y)2+1=x2y2+x2+y2+1=(x2+1)(y2+1)\displaystyle (x\circ y)^2+1=x^2y^2+x^2+y^2+1=(x^2+1)(y^2+1)
  2. Notăm cu an\displaystyle a_n numărul 1∘1∘…∘1\displaystyle 1\circ 1\circ\ldots\circ 1 cu n\displaystyle n factori. Avem a1=1\displaystyle a_1=1, deci a12+1=2\displaystyle a_1^2+1=2. Cum an+1=an∘1\displaystyle a_{n+1}=a_n\circ 1, din identitatea anterioară rezultă an+12+1=(an2+1)(12+1)=2(an2+1)\displaystyle a_{n+1}^2+1=(a_n^2+1)(1^2+1)=2(a_n^2+1). Prin inducție, an2+1=2n\displaystyle a_n^2+1=2^n.
    an2+1=2n\displaystyle a_n^2+1=2^n
  3. Cum an>0\displaystyle a_n>0, din an2=2n−1\displaystyle a_n^2=2^n-1 obținem an=2n−1\displaystyle a_n=\sqrt{2^n-1}.
    1∘1∘…∘1⏟n ori=2n−1\displaystyle \underbrace{1\circ 1\circ\ldots\circ 1}_{n\text{ ori}}=\sqrt{2^n-1}
  4. Presupunem prin reducere la absurd că, pentru un n≥2\displaystyle n\geq 2, numărul an\displaystyle a_n este natural, adică an=k∈N\displaystyle a_n=k\in\mathbb{N}. Ridicând la pătrat, obținem k2=2n−1\displaystyle k^2=2^n-1.
    k2=2n−1\displaystyle k^2=2^n-1, k∈N\displaystyle \ k\in\mathbb{N}
  5. Pentru n≥1\displaystyle n\geq 1, numărul 2n\displaystyle 2^n este par, deci 2n−1\displaystyle 2^n-1 este impar. Atunci k2\displaystyle k^2 este impar, deci k\displaystyle k este impar și îl scriem k=2m+1\displaystyle k=2m+1, cu m∈N\displaystyle m\in\mathbb{N}.
    k=2m+1\displaystyle k=2m+1, m∈N\displaystyle \ m\in\mathbb{N}
  6. Înlocuim k\displaystyle k în egalitatea k2=2n−1\displaystyle k^2=2^n-1. Obținem 2n−1=4m2+4m+1\displaystyle 2^n-1=4m^2+4m+1, deci 2n=4m2+4m+2\displaystyle 2^n=4m^2+4m+2. Împărțind la 2\displaystyle 2, obținem 2n−1=2m2+2m+1\displaystyle 2^{n-1}=2m^2+2m+1.
    2n−1=2m2+2m+1\displaystyle 2^{n-1}=2m^2+2m+1
  7. Cum n≥2\displaystyle n\geq 2, exponentul n−1≥1\displaystyle n-1\geq 1, deci 2n−1\displaystyle 2^{n-1} este par. Dar 2m2+2m+1\displaystyle 2m^2+2m+1 este impar, fiind un număr par plus 1\displaystyle 1. Contradicție, deci presupunerea este falsă și numărul 2n−1\displaystyle \sqrt{2^n-1} nu este natural pentru niciun n≥2\displaystyle n\geq 2.
    2n−1 par≠2m2+2m+1 impar, imposibil\displaystyle 2^{n-1}\text{ par}\neq 2m^2+2m+1\text{ impar, imposibil}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+2−x+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}-x+1.

Arătați că f′(x)=x+1−x2+2x+2x2+2x+2\displaystyle f'(x)=\frac{x+1-\sqrt{x^2+2x+2}}{\sqrt{x^2+2x+2}}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x2+2x+2=(x+1)2+1>0\displaystyle x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci radicalul este definit și derivabil pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    x2+2x+2=(x+1)2+1>0\displaystyle x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1>0
  2. Derivăm termen cu termen. Pentru radical folosim formula (u)′=u′2u\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, cu u=x2+2x+2\displaystyle u=x^{2}+2x+2 și u′=2x+2\displaystyle u'=2x+2. Derivata lui −x+1\displaystyle -x+1 este −1\displaystyle -1.
    f′(x)=2x+22x2+2x+2−1\displaystyle f'(x)=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^{2}+2x+2}}-1
  3. Simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2: la numărător 2x+2=2(x+1)\displaystyle 2x+2=2(x+1).
    f′(x)=2(x+1)2x2+2x+2−1=x+1x2+2x+2−1\displaystyle f'(x)=\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^{2}+2x+2}}-1=\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}-1
  4. Aducem la numitor comun: scriem 1=x2+2x+2x2+2x+2\displaystyle 1=\dfrac{\sqrt{x^{2}+2x+2}}{\sqrt{x^{2}+2x+2}} și reunim fracțiile. Obținem exact expresia cerută.
    f′(x)=x+1−x2+2x+2x2+2x+2\displaystyle f'(x)=\frac{x+1-\sqrt{x^{2}+2x+2}}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+2−x+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}-x+1.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre −∞\displaystyle -\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota oblică spre −∞\displaystyle -\infty are ecuația y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→−∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x} și n=lim⁡x→−∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to-\infty}(f(x)-mx). Începem cu m\displaystyle m.
    m=lim⁡x→−∞x2+2x+2−x+1x\displaystyle m=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+2x+2}-x+1}{x}
  2. Împărțim fiecare termen la x\displaystyle x: f(x)x=x2+2x+2x−1+1x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\sqrt{x^2+2x+2}}{x}-1+\dfrac{1}{x}. Pentru x<0\displaystyle x<0 avem x=−x2\displaystyle x=-\sqrt{x^2}, deci x2+2x+2x=−1+2x+2x2\displaystyle \dfrac{\sqrt{x^2+2x+2}}{x}=-\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x^2}}.
    f(x)x=−1+2x+2x2−1+1x\displaystyle \frac{f(x)}{x}=-\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}-1+\frac{1}{x}
  3. Când x→−∞\displaystyle x\to-\infty, fracțiile 2x\displaystyle \dfrac{2}{x}, 2x2\displaystyle \dfrac{2}{x^2} și 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} tind la 0\displaystyle 0, deci radicalul tinde la 1\displaystyle 1 și m=−1−1=−2\displaystyle m=-1-1=-2.
    m=lim⁡x→−∞f(x)x=−2\displaystyle m=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=-2
  4. Calculăm n=lim⁡x→−∞(f(x)+2x)\displaystyle n=\lim_{x\to-\infty}(f(x)+2x). Deoarece −x+2x=x\displaystyle -x+2x=x, avem f(x)+2x=x2+2x+2+x+1\displaystyle f(x)+2x=\sqrt{x^2+2x+2}+x+1. Limita are forma ∞−∞\displaystyle \infty-\infty, deci amplificăm cu conjugata x2+2x+2−(x+1)\displaystyle \sqrt{x^2+2x+2}-(x+1).
    f(x)+2x=(x2+2x+2)2−(x+1)2x2+2x+2−(x+1)\displaystyle f(x)+2x=\frac{\left(\sqrt{x^2+2x+2}\right)^2-(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x+2}-(x+1)}
  5. La numărător, (x+1)2=x2+2x+1\displaystyle (x+1)^2=x^2+2x+1, deci x2+2x+2−(x+1)2=1\displaystyle x^2+2x+2-(x+1)^2=1.
    f(x)+2x=1x2+2x+2−x−1\displaystyle f(x)+2x=\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}-x-1}
  6. Când x→−∞\displaystyle x\to-\infty, x2+2x+2→+∞\displaystyle \sqrt{x^2+2x+2}\to+\infty și −x−1→+∞\displaystyle -x-1\to+\infty, deci numitorul tinde la +∞\displaystyle +\infty, iar fracția tinde la 0\displaystyle 0.
    n=lim⁡x→−∞(f(x)+2x)=0\displaystyle n=\lim_{x\to-\infty}(f(x)+2x)=0
  7. Cu m=−2\displaystyle m=-2 și n=0\displaystyle n=0, dreapta y=−2x\displaystyle y=-2x este asimptotă oblică spre −∞\displaystyle -\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
    y=−2x\displaystyle y=-2x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+2−x+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}-x+1.

Determinați imaginea funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece x2+2x+2>0\displaystyle x^2+2x+2>0 pentru orice x\displaystyle x. Calculăm derivata: radicalul se derivează ca 2x+22x2+2x+2\displaystyle \dfrac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+2}}, iar derivata lui −x+1\displaystyle -x+1 este −1\displaystyle -1.
    f′(x)=x+1x2+2x+2−1=x+1−x2+2x+2x2+2x+2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}-1=\dfrac{x+1-\sqrt{x^2+2x+2}}{\sqrt{x^2+2x+2}}
  2. Scriem x2+2x+2=(x+1)2+1>(x+1)2\displaystyle x^2+2x+2=(x+1)^2+1>(x+1)^2. Rezultă x2+2x+2>∣x+1∣≥x+1\displaystyle \sqrt{x^2+2x+2}>|x+1|\ge x+1. Numărătorul derivatei este negativ, iar numitorul este pozitiv, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    x2+2x+2>x+1⇒f′(x)<0\displaystyle \sqrt{x^2+2x+2}>x+1\Rightarrow f'(x)<0
  3. Funcția f\displaystyle f este continuă (fiind derivabilă) și f′<0\displaystyle f'<0 pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci f\displaystyle f este strict descrescătoare. Imaginea ei este intervalul deschis cu capetele date de limitele la −∞\displaystyle -\infty și la +∞\displaystyle +\infty.
    f continua˘ și strict \displaystyle f\text{ continuă și strict }descresca˘toare pe R\displaystyle \text{descrescătoare pe }\mathbb{R}
  4. Calculăm limita la −∞\displaystyle -\infty. Pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty avem x2+2x+2→+∞\displaystyle \sqrt{x^2+2x+2}\to+\infty și −x+1→+∞\displaystyle -x+1\to+\infty. Suma a doi termeni care tind la +∞\displaystyle +\infty tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty
  5. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem cazul nedeterminat ∞−∞\displaystyle \infty-\infty. Scriem f(x)=x2+2x+2−(x−1)\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}-(x-1) și amplificăm cu conjugata. La numărător, x2+2x+2−(x−1)2=4x+1\displaystyle x^2+2x+2-(x-1)^2=4x+1. Apoi împărțim numărătorul și numitorul la x\displaystyle x.
    f(x)=4x+1x2+2x+2+x−1=4+1x1+2x+2x2+1−1x→41+1=2\displaystyle f(x)=\dfrac{4x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}+x-1}=\dfrac{4+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}+1-\frac{1}{x}}\to\dfrac{4}{1+1}=2
  6. Funcția f\displaystyle f este continuă și strict descrescătoare, iar limitele sunt lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty și lim⁡x→+∞f(x)=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=2. Valoarea 2\displaystyle 2 nu este atinsă, deoarece f\displaystyle f se apropie de ea doar când x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Deci imaginea este intervalul deschis (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty).
    Im⁡f=(2,+∞)\displaystyle \operatorname{Im}f=(2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x\ln(x+1). Calculați ∫12(3x−2)f(x)ln⁡(x+1) dx\displaystyle \int_1^2\frac{(3x-2)f(x)}{\ln(x+1)}\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x\ln(x+1) în expresia de sub integrală: (3x−2)f(x)ln⁡(x+1)=(3x−2)⋅xln⁡(x+1)ln⁡(x+1)\displaystyle \dfrac{(3x-2)f(x)}{\ln(x+1)}=\dfrac{(3x-2)\cdot x\ln(x+1)}{\ln(x+1)}.
    (3x−2)⋅xln⁡(x+1)ln⁡(x+1)\displaystyle \dfrac{(3x-2)\cdot x\ln(x+1)}{\ln(x+1)}
  2. Pentru x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2] avem ln⁡(x+1)>0\displaystyle \ln(x+1)>0, deci putem simplifica: (3x−2)⋅xln⁡(x+1)ln⁡(x+1)=(3x−2)x=3x2−2x\displaystyle \dfrac{(3x-2)\cdot x\ln(x+1)}{\ln(x+1)}=(3x-2)x=3x^{2}-2x.
    3x2−2x\displaystyle 3x^{2}-2x
  3. Primitiva lui 3x2\displaystyle 3x^{2} este x3\displaystyle x^{3}, iar primitiva lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}. Obținem ∫12(3x2−2x) dx=(x3−x2)∣12\displaystyle \int_1^2(3x^{2}-2x)\,dx=\left(x^{3}-x^{2}\right)\Big|_1^2.
    ∫12(3x2−2x) dx=(x3−x2)∣12\displaystyle \int_1^2(3x^{2}-2x)\,dx=\left(x^{3}-x^{2}\right)\Big|_1^2
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: (23−22)−(13−12)=8−4−1+1=4\displaystyle \left(2^{3}-2^{2}\right)-\left(1^{3}-1^{2}\right)=8-4-1+1=4.
    8−4−1+1=4\displaystyle 8-4-1+1=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x\ln(x+1).

Arătați că ∫01f(x) dx=14\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Avem de calculat ∫01f(x) dx=∫01xln⁡(x+1) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 x\ln(x+1)\,dx.
    ∫01xln⁡(x+1) dx\displaystyle \int_0^1 x\ln(x+1)\,dx
  2. Folosim integrarea prin părți. Alegem ca primitivă a lui x\displaystyle x funcția x2−12\displaystyle \dfrac{x^{2}-1}{2}, deoarece (x2−12)′=x\displaystyle \left(\dfrac{x^{2}-1}{2}\right)'=x. Această alegere se va simplifica cu numitorul x+1\displaystyle x+1.
    x=(x2−12)′\displaystyle x=\left(\frac{x^{2}-1}{2}\right)'
  3. Aplicăm formula ∫abu′v dx=uv∣ab−∫abuv′ dx\displaystyle \int_a^b u'v\,dx=uv\Big|_a^b-\int_a^b uv'\,dx, cu u=x2−12\displaystyle u=\dfrac{x^{2}-1}{2} și v=ln⁡(x+1)\displaystyle v=\ln(x+1), deci v′=1x+1\displaystyle v'=\dfrac{1}{x+1}.
    ∫01xln⁡(x+1) dx=x2−12ln⁡(x+1)∣01−∫01x2−12⋅1x+1 dx\displaystyle \int_0^1 x\ln(x+1)\,dx=\frac{x^{2}-1}{2}\ln(x+1)\Big|_0^1-\int_0^1\frac{x^{2}-1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}\,dx
  4. Scriem x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1), deci x2−12(x+1)=x−12\displaystyle \dfrac{x^{2}-1}{2(x+1)}=\dfrac{x-1}{2}. Termenul x2−12ln⁡(x+1)∣01\displaystyle \dfrac{x^{2}-1}{2}\ln(x+1)\Big|_0^1 este 0−−12ln⁡1=0\displaystyle 0-\dfrac{-1}{2}\ln 1=0.
    ∫01xln⁡(x+1) dx=x2−12ln⁡(x+1)∣01−12∫01(x−1) dx\displaystyle \int_0^1 x\ln(x+1)\,dx=\frac{x^{2}-1}{2}\ln(x+1)\Big|_0^1-\frac{1}{2}\int_0^1(x-1)\,dx
  5. Primitiva lui x−1\displaystyle x-1 este x22−x\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}-x. Evaluăm între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1: (12−1)−0=−12\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}-1\right)-0=-\dfrac{1}{2}.
    ∫01(x−1) dx=(x22−x)∣01=−12\displaystyle \int_0^1(x-1)\,dx=\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)\Big|_0^1=-\frac{1}{2}
  6. Înlocuim: 0−12⋅(−12)=14\displaystyle 0-\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}. Deci ∫01f(x) dx=14\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\dfrac{1}{4}.
    −12(x22−x)∣01=14\displaystyle -\frac{1}{2}\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)\Big|_0^1=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x\ln(x+1).

Calculați lim⁡t→01t3∫0tf(x) dx\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{1}{t^3}\int_0^t f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm forma nedeterminată: ∫0tf(x) dx→0\displaystyle \int_0^t f(x)\,dx\to 0 când t→0\displaystyle t\to 0, iar t3→0\displaystyle t^{3}\to 0. Avem forma 00\displaystyle \dfrac{0}{0}, deci putem aplica regula lui L'Hospital.
    lim⁡t→0∫0tf(x) dxt3  are forma  00\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\int_0^t f(x)\,dx}{t^{3}}\ \text{ are forma }\ \frac{0}{0}
  2. Derivăm numărătorul și numitorul. Funcția f\displaystyle f este continuă, deci derivata lui ∫0tf(x) dx\displaystyle \int_0^t f(x)\,dx în raport cu t\displaystyle t este f(t)\displaystyle f(t). Derivata lui t3\displaystyle t^{3} este 3t2\displaystyle 3t^{2}.
    lim⁡t→0f(t)3t2\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{f(t)}{3t^{2}}
  3. Înlocuim f(t)=tln⁡(t+1)\displaystyle f(t)=t\ln(t+1) și simplificăm prin t\displaystyle t, pentru t≠0\displaystyle t\neq 0.
    lim⁡t→0tln⁡(t+1)3t2=lim⁡t→0ln⁡(t+1)3t\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{t\ln(t+1)}{3t^{2}}=\lim_{t\to0}\frac{\ln(t+1)}{3t}
  4. Scoatem factorul 13\displaystyle \dfrac{1}{3} în fața limitei și folosim limita remarcabilă lim⁡t→0ln⁡(1+t)t=1\displaystyle \lim_{t\to0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}=1.
    13⋅lim⁡t→0ln⁡(t+1)t=13⋅1=13\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\lim_{t\to0}\frac{\ln(t+1)}{t}=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.