Bac matematică M1 mate-info 2014, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați z+z‾\displaystyle z+\overline{z}, știind că z=3+4i\displaystyle z=3+4i și z‾\displaystyle \overline{z} este conjugatul numărului complex z\displaystyle z.
Vezi rezolvarea
  1. Conjugatul unui număr complex se obține schimbând semnul părții imaginare. Pentru z=3+4i\displaystyle z=3+4i, partea imaginară este 4\displaystyle 4, deci conjugatul are partea imaginară −4\displaystyle -4.
    z‾=3−4i\displaystyle \overline{z}=3-4i
  2. Scriem suma z+z‾\displaystyle z+\overline{z}, înlocuind cele două numere.
    z+z‾=(3+4i)+(3−4i)\displaystyle z+\overline{z}=(3+4i)+(3-4i)
  3. Adunăm separat părțile reale și părțile imaginare: 3+3=6\displaystyle 3+3=6, iar 4i−4i=0\displaystyle 4i-4i=0. Deci suma este 6\displaystyle 6.
    z+z‾=6+0i=6\displaystyle z+\overline{z}=6+0i=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real pozitiv m\displaystyle m pentru care dreapta x=2\displaystyle x=2 este axă de simetrie a graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−(m2−1)x+3\displaystyle f(x)=2x^2-\left(m^2-1\right)x+3.
Vezi rezolvarea
  1. Graficul funcției de gradul al doilea este o parabolă, iar axa ei de simetrie este dreapta verticală care trece prin vârf. Deci axa de simetrie este x=2\displaystyle x=2 exact când abscisa vârfului este 2\displaystyle 2.
    xV=2\displaystyle x_V=2
  2. Identificăm coeficienții funcției: a=2\displaystyle a=2, b=−(m2−1)\displaystyle b=-(m^2-1), c=3\displaystyle c=3. Abscisa vârfului este xV=−b2a\displaystyle x_V=-\dfrac{b}{2a}.
    xV=−−(m2−1)2⋅2=m2−14\displaystyle x_V=-\dfrac{-(m^2-1)}{2\cdot 2}=\dfrac{m^2-1}{4}
  3. Punem condiția ca abscisa vârfului să fie 2\displaystyle 2 și rezolvăm ecuația: înmulțim cu 4\displaystyle 4, apoi mutăm termenii într-o parte.
    m2−14=2⇒m2−1=8⇒m2−9=0\displaystyle \dfrac{m^2-1}{4}=2\Rightarrow m^2-1=8\Rightarrow m^2-9=0
  4. Rezolvăm ecuația m2−9=0\displaystyle m^2-9=0, adică m2=9\displaystyle m^2=9, deci m=−3\displaystyle m=-3 sau m=3\displaystyle m=3. Cerința este ca m\displaystyle m să fie pozitiv, deci m=−3\displaystyle m=-3 nu convine, iar m=3\displaystyle m=3 convine.
    m=−3 nu convine, m=3 convine\displaystyle m=-3\text{ nu convine, }m=3\text{ convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(2x−1)=2log⁡2x\displaystyle \log_2(2x-1)=2\log_2 x.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive. Din 2x−1>0\displaystyle 2x-1>0 rezultă x>12\displaystyle x>\dfrac{1}{2}, iar din x>0\displaystyle x>0 rezultă, în final, x>12\displaystyle x>\dfrac{1}{2}.
    x∈(12,+∞)\displaystyle x\in\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)
  2. Folosim proprietatea logaritmului unei puteri: 2log⁡2x=log⁡2x2\displaystyle 2\log_2 x=\log_2 x^{2}, valabilă pentru x>0\displaystyle x>0. Ecuația devine log⁡2(2x−1)=log⁡2x2\displaystyle \log_2(2x-1)=\log_2 x^{2}.
    log⁡2(2x−1)=log⁡2x2\displaystyle \log_2(2x-1)=\log_2 x^{2}
  3. Funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele logaritmilor: 2x−1=x2\displaystyle 2x-1=x^{2}.
    2x−1=x2\displaystyle 2x-1=x^{2}
  4. Aducem ecuația la forma generală: x2−2x+1=0\displaystyle x^{2}-2x+1=0. Recunoaștem un pătrat perfect: (x−1)2=0\displaystyle (x-1)^{2}=0.
    (x−1)2=0⇒x=1\displaystyle (x-1)^{2}=0\Rightarrow x=1
  5. Verificăm condiția de existență: 1>12\displaystyle 1>\dfrac{1}{2}, deci soluția convine. Verificare directă: log⁡2(2⋅1−1)=log⁡21=0\displaystyle \log_2(2\cdot 1-1)=\log_2 1=0 și 2log⁡21=0\displaystyle 2\log_2 1=0. Soluția ecuației este x=1\displaystyle x=1.
    x=1, convine\displaystyle x=1\text{, convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale abc‾\displaystyle \overline{abc}, cu a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c nenule, au suma cifrelor egală cu 5\displaystyle 5.
Vezi rezolvarea
  1. Cifrele a,b,c\displaystyle a, b, c sunt nenule, deci fiecare este cel puțin 1\displaystyle 1, iar a+b+c=5\displaystyle a+b+c=5. Dacă toate ar fi 1\displaystyle 1, suma ar fi 3\displaystyle 3, deci mai avem de distribuit 2\displaystyle 2 unități. Fie adăugăm ambele unități la o singură cifră, fie câte una la două cifre diferite. Obținem cifrele 1,1,3\displaystyle 1,1,3 sau 1,2,2\displaystyle 1,2,2.
    {1,1,3} sau {1,2,2}\displaystyle \{1,1,3\}\text{ sau }\{1,2,2\}
  2. Nu există alte cazuri: dacă o cifră ar fi 4\displaystyle 4, celelalte două ar avea suma 1\displaystyle 1, imposibil cu cifre nenule. Cifrele 1,1,3\displaystyle 1,1,3 se așază în 3\displaystyle 3 moduri, după poziția cifrei 3\displaystyle 3.
    113\displaystyle 113, 131\displaystyle \ 131, 311\displaystyle \ 311
  3. Cifrele 1,2,2\displaystyle 1,2,2 se așază tot în 3\displaystyle 3 moduri, după poziția cifrei 1\displaystyle 1. În total avem 3+3=6\displaystyle 3+3=6 numere.
    122\displaystyle 122, 212\displaystyle \ 212, 221⇒3+3=6 numere\displaystyle \ 221\Rightarrow 3+3=6\text{ numere}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC și punctul D\displaystyle D astfel încât DB→+DC→=0→\displaystyle \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}. Determinați numărul real p\displaystyle p pentru care AD→=p(AB→+AC→)\displaystyle \overrightarrow{AD}=p\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Condiția dată este DB→+DC→=0→\displaystyle \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}, deci DB→=−DC→\displaystyle \overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{DC}.
    DB→=−DC→\displaystyle \overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{DC}
  2. Vectorii DB→\displaystyle \overrightarrow{DB} și DC→\displaystyle \overrightarrow{DC} sunt opuși, deci au aceeași lungime și sensuri contrare. Atunci D\displaystyle D se află pe dreapta BC\displaystyle BC, între B\displaystyle B și C\displaystyle C, la distanțe egale de ele: D\displaystyle D este mijlocul laturii BC\displaystyle BC.
    D este mijlocul laturii BC\displaystyle D\text{ este mijlocul laturii }BC
  3. Folosim relația lui Chasles: AB→=AD→+DB→\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB} și AC→=AD→+DC→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}.
    AB→=AD→+DB→\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB},AC→=AD→+DC→\displaystyle \quad \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}
  4. Adunăm relațiile: AB→+AC→=2AD→+(DB→+DC→)\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}+\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right). Cum DB→+DC→=0→\displaystyle \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}, obținem AB→+AC→=2AD→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}.
    AB→+AC→=2AD→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}
  5. Împărțim la 2: AD→=12(AB→+AC→)\displaystyle \overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right). Comparând cu AD→=p(AB→+AC→)\displaystyle \overrightarrow{AD}=p\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right), rezultă p=12\displaystyle p=\dfrac{1}{2}.
    AD→=12(AB→+AC→)⇒p=12\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\Rightarrow p=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că AC=6\displaystyle AC=6 și cos⁡B=45\displaystyle \cos B=\frac{4}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Latura AC\displaystyle AC este opusă unghiului B\displaystyle B, deci putem folosi teorema sinusurilor, pentru care avem nevoie de sin⁡B\displaystyle \sin B. Unghiul B\displaystyle B este unghi de triunghi, deci sin⁡B>0\displaystyle \sin B>0.
    sin⁡B>0\displaystyle \sin B>0
  2. Folosim relația sin⁡2B+cos⁡2B=1\displaystyle \sin^{2}B+\cos^{2}B=1 și înlocuim cos⁡B=45\displaystyle \cos B=\dfrac{4}{5}: sin⁡B=1−cos⁡2B=1−1625\displaystyle \sin B=\sqrt{1-\cos^{2}B}=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}.
    sin⁡B=1−1625=925\displaystyle \sin B=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}
  3. Calculăm radicalul: 925=35\displaystyle \sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}.
    sin⁡B=35\displaystyle \sin B=\dfrac{3}{5}
  4. Teorema sinusurilor spune că ACsin⁡B=2R\displaystyle \dfrac{AC}{\sin B}=2R. Înlocuim AC=6\displaystyle AC=6 și sin⁡B=35\displaystyle \sin B=\dfrac{3}{5}.
    635=2R\displaystyle \dfrac{6}{\frac{3}{5}}=2R
  5. Calculăm 635=6⋅53=10\displaystyle \dfrac{6}{\frac{3}{5}}=6\cdot\dfrac{5}{3}=10, deci 2R=10\displaystyle 2R=10, de unde R=5\displaystyle R=5.
    R=5\displaystyle R=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră determinantul D(x,y)=∣111xy2x2+1y2+15∣\displaystyle D(x,y)=\begin{vmatrix}1&1&1\\x&y&2\\x^2+1&y^2+1&5\end{vmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Calculați D(1,−1)\displaystyle D(1,-1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=−1\displaystyle y=-1 în determinant. Calculăm x2+1=12+1=2\displaystyle x^{2}+1=1^{2}+1=2 și y2+1=(−1)2+1=2\displaystyle y^{2}+1=(-1)^{2}+1=2, deci linia a treia devine 2, 2, 5\displaystyle 2,\ 2,\ 5, iar linia a doua devine 1, −1, 2\displaystyle 1,\ -1,\ 2.
    D(1,−1)=∣1111−12225∣\displaystyle D(1,-1)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-1&2\\2&2&5\end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie, cu semnele +, −, +\displaystyle +,\ -,\ +. Calculăm cei trei minori de ordin 2: ∣−1225∣=−5−4=−9\displaystyle \begin{vmatrix}-1&2\\2&5\end{vmatrix}=-5-4=-9, ∣1225∣=5−4=1\displaystyle \begin{vmatrix}1&2\\2&5\end{vmatrix}=5-4=1 și ∣1−122∣=2+2=4\displaystyle \begin{vmatrix}1&-1\\2&2\end{vmatrix}=2+2=4.
    D(1,−1)=1⋅(−9)−1⋅1+1⋅4\displaystyle D(1,-1)=1\cdot(-9)-1\cdot 1+1\cdot 4
  3. Efectuăm calculele: −9−1+4=−6\displaystyle -9-1+4=-6.
    D(1,−1)=−6\displaystyle D(1,-1)=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră determinantul D(x,y)=∣111xy2x2+1y2+15∣\displaystyle D(x,y)=\begin{vmatrix}1&1&1\\x&y&2\\x^2+1&y^2+1&5\end{vmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale. Arătați că D(x,y)=(x−2)(y−2)(y−x)\displaystyle D(x,y)=(x-2)(y-2)(y-x), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scădem coloana a treia din prima și din a doua, adică C1←C1−C3\displaystyle C_1 \leftarrow C_1-C_3 și C2←C2−C3\displaystyle C_2 \leftarrow C_2-C_3. Aceste operații nu schimbă valoarea determinantului și dau zerouri pe prima linie.
    D(x,y)=∣001x−2y−22(x−2)(x+2)(y−2)(y+2)5∣\displaystyle D(x,y)=\begin{vmatrix}0&0&1\\x-2&y-2&2\\(x-2)(x+2)&(y-2)(y+2)&5\end{vmatrix}
  2. Pe linia a treia avem x2+1−5=x2−4=(x−2)(x+2)\displaystyle x^2+1-5=x^2-4=(x-2)(x+2) și analog y2+1−5=y2−4=(y−2)(y+2)\displaystyle y^2+1-5=y^2-4=(y-2)(y+2). Pe linia a doua x−2\displaystyle x-2 și y−2\displaystyle y-2 apar prin scăderea valorii 2\displaystyle 2 din x\displaystyle x, respectiv y\displaystyle y. Obținem determinantul din barem.
    D(x,y)=∣001x−2y−22(x−2)(x+2)(y−2)(y+2)5∣\displaystyle D(x,y)=\begin{vmatrix}0&0&1\\x-2&y-2&2\\(x-2)(x+2)&(y-2)(y+2)&5\end{vmatrix}
  3. Scoatem factorul x−2\displaystyle x-2 din prima coloană și factorul y−2\displaystyle y-2 din a doua coloană.
    D(x,y)=(x−2)(y−2)∣001112x+2y+25∣\displaystyle D(x,y)=(x-2)(y-2)\begin{vmatrix}0&0&1\\1&1&2\\x+2&y+2&5\end{vmatrix}
  4. Dezvoltăm după prima linie, care are un singur element nenul, 1\displaystyle 1, pe poziția (1,3)\displaystyle (1,3). Semnul este (−1)1+3=1\displaystyle (-1)^{1+3}=1, iar minorul este ∣11x+2y+2∣=(y+2)−(x+2)=y−x\displaystyle \begin{vmatrix}1&1\\x+2&y+2\end{vmatrix}=(y+2)-(x+2)=y-x.
    ∣001112x+2y+25∣=y−x\displaystyle \begin{vmatrix}0&0&1\\1&1&2\\x+2&y+2&5\end{vmatrix}=y-x
  5. Înlocuim în expresia lui D(x,y)\displaystyle D(x,y) și obținem egalitatea cerută, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    D(x,y)=(x−2)(y−2)(y−x)\displaystyle D(x,y)=(x-2)(y-2)(y-x)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(11x1x1x11)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&1&x\\1&x&1\\x&1&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Calculați A(1)−A(−2)\displaystyle A(1)-A(-2).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în A(x)\displaystyle A(x). Toate elementele devin 1\displaystyle 1, deci obținem matricea cu toate elementele egale cu 1\displaystyle 1.
    A(1)=(111111111)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}
  2. Înlocuim x=−2\displaystyle x=-2 în A(x)\displaystyle A(x). Elementele care erau x\displaystyle x devin −2\displaystyle -2, iar cele egale cu 1\displaystyle 1 rămân neschimbate.
    A(−2)=(11−21−21−211)\displaystyle A(-2)=\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\-2&1&1\end{pmatrix}
  3. Scădem matricele element cu element: pe fiecare poziție scădem elementul din A(−2)\displaystyle A(-2) din elementul corespunzător din A(1)\displaystyle A(1). Unde în A(−2)\displaystyle A(-2) apare 1\displaystyle 1, diferența este 1−1=0\displaystyle 1-1=0. Unde apare −2\displaystyle -2, diferența este 1−(−2)=3\displaystyle 1-(-2)=3.
    A(1)−A(−2)=(1−11−11−(−2)1−11−(−2)1−11−(−2)1−11−1)\displaystyle A(1)-A(-2)=\begin{pmatrix}1-1&1-1&1-(-2)\\1-1&1-(-2)&1-1\\1-(-2)&1-1&1-1\end{pmatrix}
  4. Efectuăm calculele și obținem matricea finală, cu 3\displaystyle 3 pe diagonala secundară și 0\displaystyle 0 în rest.
    A(1)−A(−2)=(003030300)\displaystyle A(1)-A(-2)=\begin{pmatrix}0&0&3\\0&3&0\\3&0&0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(11x1x1x11)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&1&x\\1&x&1\\x&1&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că A(n)\displaystyle A(n) este inversabilă pentru orice număr natural n\displaystyle n, n≠1\displaystyle n\neq 1.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Deci calculăm det⁡(A(n))\displaystyle \det(A(n)) și arătăm că este nenul pentru n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}, n≠1\displaystyle n\neq 1.
    A(n) inversabila˘  ⟺  det⁡(A(n))≠0\displaystyle A(n)\text{ inversabilă}\iff \det(A(n))\neq 0
  2. Scriem determinantul și îl calculăm cu regula lui Sarrus: produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, minus produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
    det⁡(A(n))=∣11n1n1n11∣=(1⋅n⋅1+1⋅1⋅n+n⋅1⋅1)−(n⋅n⋅n+1⋅1⋅1+1⋅1⋅1)\displaystyle \det(A(n))=\begin{vmatrix}1&1&n\\1&n&1\\n&1&1\end{vmatrix}=\left(1\cdot n\cdot 1+1\cdot 1\cdot n+n\cdot 1\cdot 1\right)-\left(n\cdot n\cdot n+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1\right)
  3. Efectuăm calculele: prima paranteză este 3n\displaystyle 3n, a doua este n3+2\displaystyle n^{3}+2.
    det⁡(A(n))=3n−n3−2=−(n3−3n+2)\displaystyle \det(A(n))=3n-n^{3}-2=-(n^{3}-3n+2)
  4. Descompunem polinomul n3−3n+2\displaystyle n^{3}-3n+2. Observăm că n=1\displaystyle n=1 este rădăcină, deoarece 1−3+2=0\displaystyle 1-3+2=0, deci polinomul se împarte la n−1\displaystyle n-1. Câtul este n2+n−2\displaystyle n^{2}+n-2, care are rădăcinile 1\displaystyle 1 și −2\displaystyle -2, deci se scrie (n−1)(n+2)\displaystyle (n-1)(n+2).
    n3−3n+2=(n−1)(n2+n−2)=(n−1)2(n+2)\displaystyle n^{3}-3n+2=(n-1)(n^{2}+n-2)=(n-1)^{2}(n+2)
  5. Înlocuim descompunerea în determinant și obținem forma din barem.
    det⁡(A(n))=−(n+2)(n−1)2\displaystyle \det(A(n))=-(n+2)(n-1)^{2}
  6. Analizăm factorii. Pentru n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N} avem n+2≥2\displaystyle n+2\geq 2, deci n+2≠0\displaystyle n+2\neq 0. Cum n≠1\displaystyle n\neq 1, avem n−1≠0\displaystyle n-1\neq 0, deci (n−1)2≠0\displaystyle (n-1)^{2}\neq 0. Produsul a doi factori nenuli este nenul.
    n+2≠0 și (n−1)2≠0⇒det⁡(A(n))≠0\displaystyle n+2\neq 0\text{ și }(n-1)^{2}\neq 0\Rightarrow \det(A(n))\neq 0
  7. Deoarece determinantul este nenul, matricea A(n)\displaystyle A(n) este inversabilă pentru orice număr natural n\displaystyle n, n≠1\displaystyle n\neq 1, ceea ce trebuia demonstrat.
    n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}, n≠1⇒det⁡(A(n))≠0, deci A(n) inversabila˘\displaystyle \ n\neq 1\Rightarrow\det(A(n))\neq 0\text{, deci }A(n)\text{ inversabilă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(11x1x1x11)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&1&x\\1&x&1\\x&1&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați inversa matricei A(0)\displaystyle A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în matricea A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(110101011)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm det⁡(A(0))\displaystyle \det(A(0)) prin dezvoltare după prima linie: 1⋅∣0111∣−1⋅∣1101∣+0\displaystyle 1\cdot\begin{vmatrix}0&1\\1&1\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}+0. Avem ∣0111∣=−1\displaystyle \begin{vmatrix}0&1\\1&1\end{vmatrix}=-1 și ∣1101∣=1\displaystyle \begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1.
    det⁡(A(0))=1⋅(−1)−1⋅1+0=−2\displaystyle \det(A(0))=1\cdot(-1)-1\cdot 1+0=-2
  3. Deoarece det⁡(A(0))=−2≠0\displaystyle \det(A(0))=-2\neq 0, matricea A(0)\displaystyle A(0) este inversabilă și A−1(0)=1det⁡(A(0))⋅A∗\displaystyle A^{-1}(0)=\dfrac{1}{\det(A(0))}\cdot A^{*}, unde A∗\displaystyle A^{*} este matricea adjunctă.
    A−1(0)=−12 A∗\displaystyle A^{-1}(0)=-\dfrac{1}{2}\,A^{*}
  4. Calculăm complemenții algebrici Cij=(−1)i+jΔij\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}\Delta_{ij}. Obținem C11=−1\displaystyle C_{11}=-1, C12=−1\displaystyle C_{12}=-1, C13=1\displaystyle C_{13}=1, C21=−1\displaystyle C_{21}=-1, C22=1\displaystyle C_{22}=1, C23=−1\displaystyle C_{23}=-1, C31=1\displaystyle C_{31}=1, C32=−1\displaystyle C_{32}=-1, C33=−1\displaystyle C_{33}=-1.
    (C11C12C13C21C22C23C31C32C33)=(−1−11−11−11−1−1)\displaystyle \begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{21}&C_{22}&C_{23}\\C_{31}&C_{32}&C_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-1&1\\-1&1&-1\\1&-1&-1\end{pmatrix}
  5. Matricea adjunctă A∗\displaystyle A^{*} este transpusa matricei complemenților algebrici. Aceasta este simetrică, deci transpusa ei este egală cu ea însăși.
    A∗=(−1−11−11−11−1−1)\displaystyle A^{*}=\begin{pmatrix}-1&-1&1\\-1&1&-1\\1&-1&-1\end{pmatrix}
  6. Înmulțim A∗\displaystyle A^{*} cu −12\displaystyle -\dfrac{1}{2} și obținem inversa matricei A(0)\displaystyle A(0).
    A−1(0)=(1212−1212−1212−121212)\displaystyle A^{-1}(0)=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră șirul de numere reale (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, an=n+1n2\displaystyle a_n=\frac{n+1}{n^2}. Arătați că an+1an<1\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}<1 pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim n\displaystyle n cu n+1\displaystyle n+1 în formula șirului și obținem an+1=(n+1)+1(n+1)2=n+2(n+1)2\displaystyle a_{n+1}=\dfrac{(n+1)+1}{(n+1)^{2}}=\dfrac{n+2}{(n+1)^{2}}, iar an=n+1n2\displaystyle a_n=\dfrac{n+1}{n^{2}}.
    an+1=n+2(n+1)2\displaystyle a_{n+1}=\frac{n+2}{(n+1)^{2}}
  2. Raportul este an+1an=n+2(n+1)2⋅n2n+1\displaystyle \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+2}{(n+1)^{2}}\cdot\dfrac{n^{2}}{n+1}. Înmulțim numărătorii și numitorii: n2(n+2)(n+1)3\displaystyle \dfrac{n^{2}(n+2)}{(n+1)^{3}}.
    an+1an=n+2(n+1)2⋅n2n+1=n2(n+2)(n+1)3\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+2}{(n+1)^2}\cdot\frac{n^2}{n+1}=\frac{n^2(n+2)}{(n+1)^3}
  3. La numărător: n2(n+2)=n3+2n2\displaystyle n^{2}(n+2)=n^{3}+2n^{2}. La numitor, folosim formula cubului unei sume: (n+1)3=n3+3n2+3n+1\displaystyle (n+1)^{3}=n^{3}+3n^{2}+3n+1.
    an+1an=n3+2n2n3+3n2+3n+1\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n^3+2n^2}{n^3+3n^2+3n+1}
  4. Numitorul minus numărătorul este (n3+3n2+3n+1)−(n3+2n2)=n2+3n+1>0\displaystyle (n^{3}+3n^{2}+3n+1)-(n^{3}+2n^{2})=n^{2}+3n+1>0 pentru orice n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^{*}. Deci numitorul este mai mare decât numărătorul, iar ambii sunt pozitivi, așa că fracția este subunitară: an+1an<1\displaystyle \dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1 pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
    n3+2n2n3+3n2+3n+1<1, pentru orice numa˘r \displaystyle \frac{n^3+2n^2}{n^3+3n^2+3n+1}<1\text{, pentru orice număr }natural nenul n\displaystyle \text{natural nenul }n
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră șirul de numere reale (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, an=n+1n2\displaystyle a_n=\frac{n+1}{n^2}.

Demonstrați că șirul (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1} este mărginit.
Vezi rezolvarea
  1. Un șir este mărginit dacă există două numere reale între care se află toți termenii lui. Vom arăta că 0<an≤2\displaystyle 0<a_n\leq 2 pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
    0<an≤2\displaystyle 0<a_n\leq 2, ∀n≥1\displaystyle \ \forall n\geq 1
  2. Pentru n≥1\displaystyle n\geq 1, numărătorul n+1\displaystyle n+1 este pozitiv și numitorul n2\displaystyle n^{2} este pozitiv, deci fracția este pozitivă. Rezultă an>0\displaystyle a_n>0.
    n+1n2>0⇒an>0, pentru orice numa˘r \displaystyle \frac{n+1}{n^2}>0\Rightarrow a_n>0\text{, pentru orice număr }natural nenul n\displaystyle \text{natural nenul }n
  3. Pentru marginea superioară, folosim faptul că 1≤n\displaystyle 1\leq n pentru orice n\displaystyle n natural nenul. Atunci n+1≤n+n\displaystyle n+1\leq n+n, deci mărim numărătorul și păstrăm numitorul pozitiv.
    n+1n2≤n+nn2\displaystyle \frac{n+1}{n^2}\leq\frac{n+n}{n^2}
  4. Simplificăm fracția: n+n=2n\displaystyle n+n=2n, iar prin simplificare cu n\displaystyle n obținem 2nn2=2n\displaystyle \dfrac{2n}{n^2}=\dfrac{2}{n}.
    n+nn2=2nn2=2n\displaystyle \frac{n+n}{n^2}=\frac{2n}{n^2}=\frac{2}{n}
  5. Deoarece n≥1\displaystyle n\geq 1, avem 1n≤1\displaystyle \dfrac{1}{n}\leq 1, deci 2n≤2\displaystyle \dfrac{2}{n}\leq 2. Din lanțul de inegalități obținem an≤2\displaystyle a_n\leq 2 pentru orice n\displaystyle n. Împreună cu an>0\displaystyle a_n>0, rezultă 0<an≤2\displaystyle 0<a_n\leq 2, deci șirul este mărginit.
    n+1n2≤n+nn2=2n≤2⇒an≤2, pentru orice numa˘r \displaystyle \frac{n+1}{n^2}\leq\frac{n+n}{n^2}=\frac{2}{n}\leq 2\Rightarrow a_n\leq 2\text{, pentru orice număr }natural nenul n, deci (an)n≥1 ma˘rginit\displaystyle \text{natural nenul }n\text{, deci }(a_n)_{n\geq 1}\text{ mărginit}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră șirul de numere reale (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, an=n+1n2\displaystyle a_n=\frac{n+1}{n^2}.

Calculați lim⁡n→+∞(nan)n2+2\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(na_n\right)^{\sqrt{n^2+2}}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm nan=n⋅n+1n2\displaystyle n a_n=n\cdot\dfrac{n+1}{n^{2}} și simplificăm cu n\displaystyle n.
    nan=n+1n\displaystyle n a_n=\frac{n+1}{n}
  2. Limita devine o nedeterminare de tipul 1∞\displaystyle 1^{\infty}, deoarece n+1n→1\displaystyle \dfrac{n+1}{n}\to 1, iar exponentul n2+2→+∞\displaystyle \sqrt{n^{2}+2}\to+\infty.
    lim⁡n→+∞(nan)n2+2=lim⁡n→+∞(n+1n)n2+2\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(na_n\right)^{\sqrt{n^2+2}}=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\sqrt{n^2+2}}
  3. Scriem n+1n=1+1n\displaystyle \dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n}.
    (n+1n)n2+2=(1+1n)n2+2\displaystyle \left(\frac{n+1}{n}\right)^{\sqrt{n^2+2}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\sqrt{n^2+2}}
  4. Scriem exponentul n2+2=n⋅n2+2n\displaystyle \sqrt{n^{2}+2}=n\cdot\dfrac{\sqrt{n^{2}+2}}{n} și folosim abc=(ab)c\displaystyle a^{bc}=(a^{b})^{c}.
    (1+1n)n2+2=((1+1n)n)n2+2n\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{\sqrt{n^2+2}}=\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^{\frac{\sqrt{n^2+2}}{n}}
  5. Pentru n>0\displaystyle n>0 avem n2+2n=1+2n2\displaystyle \dfrac{\sqrt{n^{2}+2}}{n}=\sqrt{1+\dfrac{2}{n^{2}}}, deci exponentul tinde la 1\displaystyle 1.
    lim⁡n→+∞n2+2n=lim⁡n→+∞1+2n2=1\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^2+2}}{n}=\lim_{n\to+\infty}\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}=1
  6. Deoarece (1+1n)n→e\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\to e, iar exponentul tinde la 1\displaystyle 1, limita este e1\displaystyle e^{1}.
    lim⁡n→+∞((1+1n)n)n2+2n=e1=e\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^{\frac{\sqrt{n^2+2}}{n}}=e^1=e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2x+a,x<20,x=2x−b2x+1,x>2\displaystyle f(x)=\begin{cases}2x+a,&x<2\\0,&x=2\\\frac{x-b}{2x+1},&x>2\end{cases}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Determinați ecuația asimptotei spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem x>2\displaystyle x>2, deci folosim ramura a treia a funcției: f(x)=x−b2x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x-b}{2x+1}.
    f(x)=x−b2x+1\displaystyle f(x)=\frac{x-b}{2x+1}, x>2\displaystyle \ x>2
  2. Calculăm limita la +∞\displaystyle +\infty. Dăm factor comun x\displaystyle x la numărător și la numitor și simplificăm: x−b2x+1=1−bx2+1x\displaystyle \dfrac{x-b}{2x+1}=\dfrac{1-\frac{b}{x}}{2+\frac{1}{x}}. Termenii bx\displaystyle \dfrac{b}{x} și 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} tind la 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x−b2x+1=lim⁡x→+∞1−bx2+1x=12\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x-b}{2x+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{b}{x}}{2+\frac{1}{x}}=\frac{1}{2}
  3. Limita este finită, deci graficul are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty, de ecuație y=12\displaystyle y=\dfrac{1}{2}.
    y=12\displaystyle y=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2x+a,x<20,x=2x−b2x+1,x>2\displaystyle f(x)=\begin{cases}2x+a,&x<2\\0,&x=2\\\frac{x-b}{2x+1},&x>2\end{cases}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale. Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b pentru care funcția f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul (−∞,2)\displaystyle (-\infty,2) funcția f(x)=2x+a\displaystyle f(x)=2x+a este polinomială, iar pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty) funcția f(x)=x−b2x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x-b}{2x+1} este o fracție rațională cu numitorul 2x+1≠0\displaystyle 2x+1\neq 0. Deci f\displaystyle f este continuă pe aceste intervale pentru orice a,b∈R\displaystyle a,b\in\mathbb{R}. Rămâne de studiat continuitatea în punctul x=2\displaystyle x=2.
    f este continua˘ pe (−∞,2) și pe (2,+∞), pentru orice a\displaystyle f\text{ este continuă pe }(-\infty,2)\text{ și pe }(2,+\infty)\text{, pentru orice }a,b∈R\displaystyle b\in\mathbb{R}
  2. Funcția f\displaystyle f este continuă în x=2\displaystyle x=2 dacă limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în 2\displaystyle 2 sunt egale.
    lim⁡x→2x<2f(x)=lim⁡x→2x>2f(x)=f(2)\displaystyle \lim_{\substack{x\to2\\x<2}}f(x)=\lim_{\substack{x\to2\\x>2}}f(x)=f(2)
  3. Calculăm limita la stânga: pentru x<2\displaystyle x<2 avem f(x)=2x+a\displaystyle f(x)=2x+a.
    lim⁡x→2x<2(2x+a)=4+a\displaystyle \lim_{\substack{x\to2\\x<2}}(2x+a)=4+a
  4. Calculăm limita la dreapta: pentru x>2\displaystyle x>2 avem f(x)=x−b2x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x-b}{2x+1}. Valoarea funcției în 2\displaystyle 2 este f(2)=0\displaystyle f(2)=0.
    2−b5\displaystyle \dfrac{2-b}{5}
  5. Egalăm cele trei valori: 4+a=0\displaystyle 4+a=0 și 2−b5=0\displaystyle \dfrac{2-b}{5}=0. Rezultă a=−4\displaystyle a=-4 și b=2\displaystyle b=2.
    4+a=2−b5=0⇒a=−4\displaystyle 4+a=\dfrac{2-b}{5}=0\Rightarrow a=-4, b=2\displaystyle \ b=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2x+a,x<20,x=2x−b2x+1,x>2\displaystyle f(x)=\begin{cases}2x+a,&x<2\\0,&x=2\\\frac{x-b}{2x+1},&x>2\end{cases}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Pentru b=2\displaystyle b=2, rezolvați în mulțimea (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty) inecuația (7⋅f(x)−1)(2x−16)≤0\displaystyle \left(7\cdot f(x)-1\right)\left(2^x-16\right)\leq 0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x>2\displaystyle x>2 funcția are expresia f(x)=x−b2x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x-b}{2x+1}. Cu b=2\displaystyle b=2 obținem f(x)=x−22x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x-2}{2x+1}.
    f(x)=x−22x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x-2}{2x+1}, x>2\displaystyle \ x>2
  2. Aducem la același numitor primul factor: 7f(x)−1=7(x−2)−(2x+1)2x+1=5x−152x+1=5(x−3)2x+1\displaystyle 7f(x)-1=\dfrac{7(x-2)-(2x+1)}{2x+1}=\dfrac{5x-15}{2x+1}=\dfrac{5(x-3)}{2x+1}.
    7f(x)−1=5(x−3)2x+1\displaystyle 7f(x)-1=\dfrac{5(x-3)}{2x+1}
  3. Rezolvăm ecuația asociată: primul factor se anulează pentru x=3\displaystyle x=3, iar al doilea din 2x=16=24\displaystyle 2^x=16=2^4, adică x=4\displaystyle x=4. Ambele valori aparțin intervalului (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty).
    x=3 sau x=4\displaystyle x=3\text{ sau }x=4
  4. Studiem semnul primului factor. Pentru x>2\displaystyle x>2 numitorul 2x+1\displaystyle 2x+1 este pozitiv, deci semnul este dat de x−3\displaystyle x-3: negativ pe (2,3)\displaystyle (2,3) și pozitiv pe (3,+∞)\displaystyle (3,+\infty).
    7f(x)−1<0 pe (2,3)\displaystyle 7f(x)-1<0\text{ pe }(2,3),7f(x)−1>0 pe (3,+∞)\displaystyle \quad 7f(x)-1>0\text{ pe }(3,+\infty)
  5. Studiem semnul celui de-al doilea factor. Funcția 2x\displaystyle 2^x este strict crescătoare, deci 2x−16<0\displaystyle 2^x-16<0 pentru x<4\displaystyle x<4 și 2x−16>0\displaystyle 2^x-16>0 pentru x>4\displaystyle x>4.
    2x−16<0 pe (2,4)\displaystyle 2^x-16<0\text{ pe }(2,4),2x−16>0 pe (4,+∞)\displaystyle \quad 2^x-16>0\text{ pe }(4,+\infty)
  6. Înmulțim semnele. Pe (2,3)\displaystyle (2,3) produsul este pozitiv (minus ori minus), deci inecuația nu e verificată. Pe (3,4)\displaystyle (3,4) produsul este negativ. Pe (4,+∞)\displaystyle (4,+\infty) produsul este pozitiv. În punctele 3\displaystyle 3 și 4\displaystyle 4 produsul este 0\displaystyle 0, deci acestea convin. Mulțimea soluțiilor este intervalul [3,4]\displaystyle [3,4].
    x∈[3,4]\displaystyle x\in[3,4]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.