Bac matematică M4 pedagogic 2010, sesiunea a II-a varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numărul submulțimilor mulțimii A={1,3,5,7,9}\displaystyle A=\{1,3,5,7,9\}, care au două elemente.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea A\displaystyle A are 5\displaystyle 5 elemente. O submulțime cu două elemente se alege fără a ține cont de ordine, deci numărul ei este numărul de combinări de 5\displaystyle 5 luate câte 2\displaystyle 2: C52\displaystyle C_5^2.
    C52\displaystyle C_5^2
  2. Scriem formula combinărilor: Cnk=n!k! (n−k)!\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}. Înlocuim n=5\displaystyle n=5 și k=2\displaystyle k=2.
    C52=5!2!⋅3!=5⋅42\displaystyle C_5^2=\dfrac{5!}{2!\cdot 3!}=\dfrac{5\cdot 4}{2}
  3. Calculăm: 5⋅4=20\displaystyle 5\cdot 4=20, iar 20:2=10\displaystyle 20:2=10. Deci există 10\displaystyle 10 submulțimi cu două elemente.
    C52=10\displaystyle C_5^2=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați m∈R∖{13}\displaystyle m\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{1}{3}\right\} pentru care funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(3m−1)x+2\displaystyle f(x)=(3m-1)x+2 este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este de gradul I, de forma f(x)=ax+b\displaystyle f(x)=ax+b, cu panta a=3m−1\displaystyle a=3m-1 și termenul liber b=2\displaystyle b=2. O funcție de gradul I este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R} exact când panta este strict pozitivă.
    a=3m−1\displaystyle a=3m-1
  2. Punem condiția ca panta să fie strict pozitivă: 3m−1>0\displaystyle 3m-1>0.
    3m−1>0\displaystyle 3m-1>0
  3. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri și obținem 3m>1\displaystyle 3m>1. Împărțim la 3\displaystyle 3, care este pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează: m>13\displaystyle m>\dfrac{1}{3}. Valoarea m=13\displaystyle m=\dfrac{1}{3} este exclusă și prin enunț.
    m>13\displaystyle m>\dfrac{1}{3}
  4. Scriem mulțimea valorilor lui m\displaystyle m sub formă de interval. Pentru orice m>13\displaystyle m>\dfrac{1}{3}, funcția f\displaystyle f este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    m∈(13,+∞)\displaystyle m\in\left(\dfrac{1}{3},+\infty\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Arătați că x1x2−5(x1+x2)=−10\displaystyle x_1x_2-5(x_1+x_2)=-10, unde x1,x2\displaystyle x_1,x_2 sunt soluțiile ecuației ax2−(2a+1)x+5=0\displaystyle ax^2-(2a+1)x+5=0, a∈R∗\displaystyle a\in\mathbb{R}^*.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții ecuației ax2−(2a+1)x+5=0\displaystyle ax^2-(2a+1)x+5=0: A=a\displaystyle A=a, B=−(2a+1)\displaystyle B=-(2a+1), C=5\displaystyle C=5. Cum a≠0\displaystyle a\neq 0, ecuația este de gradul al doilea și putem folosi relațiile lui Viète.
    A=a\displaystyle A=a, B=−(2a+1)\displaystyle \ B=-(2a+1), C=5\displaystyle \ C=5
  2. Scriem relațiile lui Viète: x1+x2=−BA\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{B}{A} și x1x2=CA\displaystyle x_1x_2=\dfrac{C}{A}. Înlocuim coeficienții și obținem suma și produsul soluțiilor.
    x1+x2=2a+1a\displaystyle x_1+x_2=\frac{2a+1}{a}, x1x2=5a\displaystyle \ x_1x_2=\frac{5}{a}
  3. Înlocuim suma și produsul în expresia dată: x1x2−5(x1+x2)=5a−5⋅2a+1a\displaystyle x_1x_2-5(x_1+x_2)=\dfrac{5}{a}-5\cdot\dfrac{2a+1}{a}.
    5a−5⋅2a+1a\displaystyle \frac{5}{a}-5\cdot\frac{2a+1}{a}
  4. Fracțiile au același numitor a\displaystyle a, deci le scriem împreună și desfacem parantezele: 5−5(2a+1)a=5−10a−5a=−10aa\displaystyle \dfrac{5-5(2a+1)}{a}=\dfrac{5-10a-5}{a}=\dfrac{-10a}{a}.
    5−10a−5a=−10aa\displaystyle \frac{5-10a-5}{a}=\frac{-10a}{a}
  5. Simplificăm prin a≠0\displaystyle a\neq 0 și obținem x1x2−5(x1+x2)=−10\displaystyle x_1x_2-5(x_1+x_2)=-10, adică egalitatea cerută.
    x1x2−5(x1+x2)=−10\displaystyle x_1x_2-5(x_1+x_2)=-10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡23x−2x+2=1\displaystyle \log_2\frac{3x-2}{x+2}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, iar numitorul nenul, adică 3x−2x+2>0\displaystyle \dfrac{3x-2}{x+2}>0 și x+2≠0\displaystyle x+2\neq 0. Fracția este pozitivă când numărătorul și numitorul au același semn, deci x∈(−∞,−2)∪(23,+∞)\displaystyle x\in(-\infty,-2)\cup\left(\dfrac{2}{3},+\infty\right).
    3x−2x+2>0\displaystyle \dfrac{3x-2}{x+2}>0, x+2≠0 ⇒ x∈(−∞,−2)∪(23,+∞)\displaystyle \ x+2\neq 0\ \Rightarrow\ x\in(-\infty,-2)\cup\left(\dfrac{2}{3},+\infty\right)
  2. Folosim definiția logaritmului: log⁡2A=1\displaystyle \log_2 A=1 exact când A=21=2\displaystyle A=2^{1}=2. Ecuația devine 3x−2x+2=2\displaystyle \dfrac{3x-2}{x+2}=2.
    3x−2x+2=2\displaystyle \dfrac{3x-2}{x+2}=2
  3. Înmulțim ecuația cu x+2\displaystyle x+2, care este nenul, și obținem 3x−2=2(x+2)\displaystyle 3x-2=2(x+2), adică 3x−2=2x+4\displaystyle 3x-2=2x+4.
    3x−2=2x+4\displaystyle 3x-2=2x+4
  4. Trecem termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: 3x−2x=4+2\displaystyle 3x-2x=4+2, deci x=6\displaystyle x=6.
    x=6\displaystyle x=6
  5. Verificăm soluția: 6>23\displaystyle 6>\dfrac{2}{3}, deci respectă condiția de existență. Înlocuind, 3⋅6−26+2=168=2\displaystyle \dfrac{3\cdot 6-2}{6+2}=\dfrac{16}{8}=2, iar log⁡22=1\displaystyle \log_2 2=1. Soluția ecuației este x=6\displaystyle x=6.
    x=6\displaystyle x=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați vectorul de poziție al centrului de greutate al triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că rA⃗=3⋅i⃗−2⋅j⃗\displaystyle \vec{r_A}=3\cdot\vec{i}-2\cdot\vec{j}, rB⃗=−5⋅i⃗+4⋅j⃗\displaystyle \vec{r_B}=-5\cdot\vec{i}+4\cdot\vec{j}, rC⃗=8⋅i⃗+7⋅j⃗\displaystyle \vec{r_C}=8\cdot\vec{i}+7\cdot\vec{j}.
Vezi rezolvarea
  1. Vectorul de poziție al centrului de greutate G\displaystyle G al triunghiului este media aritmetică a vectorilor de poziție ai vârfurilor, deci rG⃗\displaystyle \vec{r_G} este suma celor trei vectori împărțită la 3\displaystyle 3.
    rG⃗=rA⃗+rB⃗+rC⃗3\displaystyle \vec{r_G}=\frac{\vec{r_A}+\vec{r_B}+\vec{r_C}}{3}
  2. Înlocuim vectorii de poziție dați în formulă.
    rG⃗=(3i⃗−2j⃗)+(−5i⃗+4j⃗)+(8i⃗+7j⃗)3\displaystyle \vec{r_G}=\frac{(3\vec{i}-2\vec{j})+(-5\vec{i}+4\vec{j})+(8\vec{i}+7\vec{j})}{3}
  3. Adunăm separat componentele pe direcția lui i⃗\displaystyle \vec{i} și pe direcția lui j⃗\displaystyle \vec{j}. Pe direcția lui i⃗\displaystyle \vec{i} avem 3−5+8=6\displaystyle 3-5+8=6, iar pe direcția lui j⃗\displaystyle \vec{j} avem −2+4+7=9\displaystyle -2+4+7=9.
    rA⃗+rB⃗+rC⃗=6i⃗+9j⃗\displaystyle \vec{r_A}+\vec{r_B}+\vec{r_C}=6\vec{i}+9\vec{j}
  4. Împărțim suma la 3\displaystyle 3: 63=2\displaystyle \dfrac{6}{3}=2 și 93=3\displaystyle \dfrac{9}{3}=3. Răspuns final: vectorul de poziție al centrului de greutate este rG⃗=2i⃗+3j⃗\displaystyle \vec{r_G}=2\vec{i}+3\vec{j}.
    rG⃗=2⋅i⃗+3⋅j⃗\displaystyle \vec{r_G}=2\cdot\vec{i}+3\cdot\vec{j}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctul A(4,3)\displaystyle A(4,3) și are panta m=tg⁡45∘\displaystyle m=\operatorname{tg}45^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim valoarea cunoscută tg⁡45∘=1\displaystyle \operatorname{tg}45^\circ=1, deci panta dreptei este m=1\displaystyle m=1.
    m=tg⁡45∘=1\displaystyle m=\operatorname{tg}45^\circ=1
  2. Ecuația dreptei de pantă m\displaystyle m care trece prin A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) este y−yA=m(x−xA)\displaystyle y-y_A=m(x-x_A). Pentru A(4,3)\displaystyle A(4,3) și m=1\displaystyle m=1 obținem y−3=1⋅(x−4)\displaystyle y-3=1\cdot(x-4).
    y−3=1⋅(x−4)\displaystyle y-3=1\cdot(x-4)
  3. Desfacem parantezele: y−3=x−4\displaystyle y-3=x-4. Mutăm termenul −3\displaystyle -3 în membrul drept: y=x−4+3\displaystyle y=x-4+3, deci y=x−1\displaystyle y=x-1.
    y=x−1\displaystyle y=x-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile de compoziție x∗y=x+y+2\displaystyle x*y=x+y+2 și x∘y=xy−2x−2y+m\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+m, m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}.

Arătați că legea „∗\displaystyle *” este asociativă pe mulțimea numerelor reale.
Vezi rezolvarea
  1. Legea „∗\displaystyle *” este asociativă dacă pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} avem (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z). Calculăm separat cele două părți. Începem cu (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z: mai întâi x∗y=x+y+2\displaystyle x*y=x+y+2.
    x∗y=x+y+2\displaystyle x*y=x+y+2
  2. Aplicăm definiția legii între rezultatul x∗y\displaystyle x*y și z\displaystyle z: u∗z=u+z+2\displaystyle u*z=u+z+2, cu u=x+y+2\displaystyle u=x+y+2. Obținem (x∗y)∗z=(x+y+2)+z+2=x+y+z+4\displaystyle (x*y)*z=(x+y+2)+z+2=x+y+z+4.
    (x∗y)∗z=x+y+z+4\displaystyle (x*y)*z=x+y+z+4
  3. Trecem la x∗(y∗z)\displaystyle x*(y*z). Mai întâi y∗z=y+z+2\displaystyle y*z=y+z+2.
    y∗z=y+z+2\displaystyle y*z=y+z+2
  4. Aplicăm definiția între x\displaystyle x și y∗z\displaystyle y*z: x∗v=x+v+2\displaystyle x*v=x+v+2, cu v=y+z+2\displaystyle v=y+z+2. Obținem x∗(y∗z)=x+(y+z+2)+2=x+y+z+4\displaystyle x*(y*z)=x+(y+z+2)+2=x+y+z+4.
    x∗(y∗z)=x+y+z+4\displaystyle x*(y*z)=x+y+z+4
  5. Cele două expresii sunt egale pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}, deci legea „∗\displaystyle *” este asociativă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    (x∗y)∗z=x∗(y∗z)=x+y+z+4\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)=x+y+z+4, ∀x\displaystyle \ \forall x,y\displaystyle y,z∈R\displaystyle z\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile de compoziție x∗y=x+y+2\displaystyle x*y=x+y+2 și x∘y=xy−2x−2y+m\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+m, m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}.

Determinați m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R} pentru care 11∘1=0\displaystyle 11\circ 1=0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim legea x∘y=xy−2x−2y+m\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+m și luăm x=11\displaystyle x=11, y=1\displaystyle y=1. Legea ∗\displaystyle * din enunțul comun nu intervine în această cerință.
    11∘1=11⋅1−2⋅11−2⋅1+m\displaystyle 11\circ 1=11\cdot 1-2\cdot 11-2\cdot 1+m
  2. Calculăm: 11⋅1=11\displaystyle 11\cdot 1=11, 2⋅11=22\displaystyle 2\cdot 11=22, 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2, deci 11−22−2+m=m−13\displaystyle 11-22-2+m=m-13.
    11∘1=11−22−2+m=m−13\displaystyle 11\circ 1=11-22-2+m=m-13
  3. Din condiția 11∘1=0\displaystyle 11\circ 1=0 obținem ecuația m−13=0\displaystyle m-13=0.
    m−13=0\displaystyle m-13=0
  4. Adunăm 13\displaystyle 13 în ambii membri ai ecuației și obținem valoarea lui m\displaystyle m.
    m=13\displaystyle m=13
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile de compoziție x∗y=x+y+2\displaystyle x*y=x+y+2 și x∘y=xy−2x−2y+m\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+m, m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (x−1)∘4=(3∗3)+m\displaystyle (x-1)\circ 4=(3*3)+m.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∘y=xy−2x−2y+m\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+m pentru x−1\displaystyle x-1 și 4\displaystyle 4: (x−1)∘4=(x−1)⋅4−2(x−1)−2⋅4+m\displaystyle (x-1)\circ 4=(x-1)\cdot 4-2(x-1)-2\cdot 4+m.
    (x−1)∘4=4(x−1)−2(x−1)−8+m\displaystyle (x-1)\circ 4=4(x-1)-2(x-1)-8+m
  2. Desfacem parantezele: 4x−4−2x+2−8+m\displaystyle 4x-4-2x+2-8+m. Reducem termenii asemenea: 2x−10+m\displaystyle 2x-10+m.
    (x−1)∘4=2x−10+m\displaystyle (x-1)\circ 4=2x-10+m
  3. Folosim x∗y=x+y+2\displaystyle x*y=x+y+2: 3∗3=3+3+2=8\displaystyle 3*3=3+3+2=8. Deci (3∗3)+m=8+m\displaystyle (3*3)+m=8+m.
    (3∗3)+m=m+8\displaystyle (3*3)+m=m+8
  4. Ecuația devine 2x−10+m=m+8\displaystyle 2x-10+m=m+8.
    2x−10+m=m+8\displaystyle 2x-10+m=m+8
  5. Reducem m\displaystyle m din ambii membri: 2x−10=8\displaystyle 2x-10=8. Atunci 2x=18\displaystyle 2x=18, deci x=9\displaystyle x=9.
    x=9\displaystyle x=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.d)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile de compoziție x∗y=x+y+2\displaystyle x*y=x+y+2 și x∘y=xy−2x−2y+m\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+m, m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}.

Determinați m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R} pentru care legea „∘\displaystyle \circ” admite elementul neutru e=3\displaystyle e=3.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul neutru e=3\displaystyle e=3 trebuie să verifice x∘3=x\displaystyle x\circ 3=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Legea este comutativă, deci este suficient să verificăm doar la dreapta.
    x∘3=x\displaystyle x\circ 3=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Înlocuim y=3\displaystyle y=3 în definiția legii: x∘3=x⋅3−2x−2⋅3+m\displaystyle x\circ 3=x\cdot 3-2x-2\cdot 3+m.
    x∘3=3x−2x−6+m\displaystyle x\circ 3=3x-2x-6+m
  3. Reducem termenii asemenea: 3x−2x=x\displaystyle 3x-2x=x. Condiția x∘3=x\displaystyle x\circ 3=x devine o egalitate în care apare x−6+m\displaystyle x-6+m în membrul stâng.
    3x−6−2x+m=x⇒x−6+m=x\displaystyle 3x-6-2x+m=x\Rightarrow x-6+m=x
  4. Scădem x\displaystyle x din ambii membri și obținem −6+m=0\displaystyle -6+m=0. Condiția nu depinde de x\displaystyle x, deci egalitatea are loc pentru orice x\displaystyle x real exact atunci când m−6=0\displaystyle m-6=0. Deci m=6\displaystyle m=6.
    m=6\displaystyle m=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.e)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile de compoziție x∗y=x+y+2\displaystyle x*y=x+y+2 și x∘y=xy−2x−2y+m\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+m, m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}.

Pentru m=6\displaystyle m=6 determinați elementele x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} ale căror simetrice, în raport cu legea „∘\displaystyle \circ”, verifică relația x′=32−x\displaystyle x'=\frac{3}{2}-x.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=6\displaystyle m=6 legea este x∘y=xy−2x−2y+6\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+6. Observăm că această expresie se scrie (x−2)(y−2)+2\displaystyle (x-2)(y-2)+2, deoarece (x−2)(y−2)=xy−2x−2y+4\displaystyle (x-2)(y-2)=xy-2x-2y+4. Legea este comutativă.
    x∘y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\circ y=(x-2)(y-2)+2
  2. Elementul neutru e\displaystyle e trebuie să verifice x∘e=x\displaystyle x\circ e=x pentru orice x\displaystyle x real. Avem (x−2)(e−2)+2=x\displaystyle (x-2)(e-2)+2=x, adică (x−2)(e−2)=x−2\displaystyle (x-2)(e-2)=x-2 pentru orice x\displaystyle x. Rezultă e−2=1\displaystyle e-2=1, deci e=3\displaystyle e=3.
    e=3\displaystyle e=3
  3. Simetricul x′\displaystyle x' al lui x\displaystyle x verifică x∘x′=e=3\displaystyle x\circ x'=e=3. Scriem (x−2)(x′−2)+2=3\displaystyle (x-2)(x'-2)+2=3, deci (x−2)(x′−2)=1\displaystyle (x-2)(x'-2)=1.
    (x−2)(x′−2)=1\displaystyle (x-2)(x'-2)=1
  4. Pentru ca ecuația să aibă soluție trebuie x≠2\displaystyle x\neq 2. Atunci x′−2=1x−2\displaystyle x'-2=\dfrac{1}{x-2}, deci x′=2+1x−2=2x−3x−2\displaystyle x'=2+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{2x-3}{x-2}. Elementele x≠2\displaystyle x\neq 2 sunt simetrizabile.
    x′=2x−3x−2\displaystyle x'=\frac{2x-3}{x-2}, x∈R∖{2}\displaystyle \ x\in\mathbb{R}\setminus\{2\}
  5. Înlocuim x′\displaystyle x' în relația dată: 2x−3x−2=32−x\displaystyle \dfrac{2x-3}{x-2}=\dfrac{3}{2}-x. Amplificăm cu 2(x−2)\displaystyle 2(x-2), care este nenul, și scriem 32−x=3−2x2\displaystyle \dfrac{3}{2}-x=\dfrac{3-2x}{2}. Obținem 2(2x−3)=(3−2x)(x−2)\displaystyle 2(2x-3)=(3-2x)(x-2).
    2(2x−3)=(3−2x)(x−2)\displaystyle 2(2x-3)=(3-2x)(x-2)
  6. Desfacem parantezele: 4x−6=3x−6−2x2+4x=−2x2+7x−6\displaystyle 4x-6=3x-6-2x^{2}+4x=-2x^{2}+7x-6. Aducem totul într-o parte: 2x2−3x=0\displaystyle 2x^{2}-3x=0, adică x(2x−3)=0\displaystyle x(2x-3)=0.
    2x2−3x=0⇔x(2x−3)=0\displaystyle 2x^{2}-3x=0\Leftrightarrow x(2x-3)=0
  7. Soluțiile sunt x=0\displaystyle x=0 și x=32\displaystyle x=\dfrac{3}{2}. Ambele sunt diferite de 2\displaystyle 2, deci sunt convenabile. Verificare: pentru x=0\displaystyle x=0, x′=32=32−0\displaystyle x'=\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}-0; pentru x=32\displaystyle x=\dfrac{3}{2}, x′=0=32−32\displaystyle x'=0=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}.
    x∈{0,32}\displaystyle x\in\left\{0,\frac{3}{2}\right\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.f)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile de compoziție x∗y=x+y+2\displaystyle x*y=x+y+2 și x∘y=xy−2x−2y+m\displaystyle x\circ y=xy-2x-2y+m, m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}.

Arătați că numerele reale a=x∗x\displaystyle a=x*x, b=a∗x\displaystyle b=a*x, c=b∗x\displaystyle c=b*x sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=x+y+2\displaystyle x*y=x+y+2 și calculăm a=x∗x\displaystyle a=x*x, înlocuind y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    a=x+x+2=2x+2\displaystyle a=x+x+2=2x+2
  2. Calculăm b=a∗x\displaystyle b=a*x, cu a=2x+2\displaystyle a=2x+2: b=(2x+2)+x+2\displaystyle b=(2x+2)+x+2.
    b=(2x+2)+x+2=3x+4\displaystyle b=(2x+2)+x+2=3x+4
  3. Calculăm c=b∗x\displaystyle c=b*x, cu b=3x+4\displaystyle b=3x+4: c=(3x+4)+x+2\displaystyle c=(3x+4)+x+2. Astfel obținem toți cei trei termeni.
    a=2x+2\displaystyle a=2x+2, b=3x+4\displaystyle \ b=3x+4, c=4x+6\displaystyle \ c=4x+6
  4. Pentru a arăta că a,b,c\displaystyle a,b,c sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, calculăm diferențele b−a\displaystyle b-a și c−b\displaystyle c-b.
    b−a=(3x+4)−(2x+2)=x+2\displaystyle b-a=(3x+4)-(2x+2)=x+2,c−b=(4x+6)−(3x+4)=x+2\displaystyle \quad c-b=(4x+6)-(3x+4)=x+2
  5. Cum b−a=c−b=x+2\displaystyle b-a=c-b=x+2 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, numerele a,b,c\displaystyle a,b,c sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, cu rația x+2\displaystyle x+2.
    b−a=c−b=x+2\displaystyle b-a=c-b=x+2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(000100110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} și C=I3+A\displaystyle C=I_3+A.

Calculați det⁡(C)+det⁡(A)\displaystyle \det(C)+\det(A).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea C\displaystyle C adunând matricea unitate I3\displaystyle I_3 cu matricea A\displaystyle A, element cu element: C=I3+A\displaystyle C=I_3+A.
    C=(100010001)+(000100110)=(100110111)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}
  2. Matricea A\displaystyle A are prima linie formată doar din zerouri, deci determinantul ei este 0\displaystyle 0. Este și triunghiulară, cu diagonala nulă, deci produsul elementelor de pe diagonală este 0\displaystyle 0.
    det⁡(A)=0⋅0⋅0=0\displaystyle \det(A)=0\cdot 0\cdot 0=0
  3. Matricea C\displaystyle C este inferior triunghiulară, deci determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonala principală, toate egale cu 1\displaystyle 1.
    det⁡(C)=1⋅1⋅1=1\displaystyle \det(C)=1\cdot 1\cdot 1=1
  4. Adunăm cei doi determinanți și obținem răspunsul final: det⁡(C)+det⁡(A)=1+0\displaystyle \det(C)+\det(A)=1+0.
    det⁡(C)+det⁡(A)=1+0=1\displaystyle \det(C)+\det(A)=1+0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(000100110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} și C=I3+A\displaystyle C=I_3+A.

Calculați C−1\displaystyle C^{-1}, unde C−1\displaystyle C^{-1} este inversa matricei C\displaystyle C.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea C=I3+A\displaystyle C=I_3+A, adunând element cu element.
    C=(100110111)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}
  2. Matricea C\displaystyle C este inferior triunghiulară, deci det⁡(C)\displaystyle \det(C) este produsul elementelor de pe diagonala principală. Cum det⁡(C)≠0\displaystyle \det(C)\neq 0, matricea C\displaystyle C este inversabilă.
    det⁡(C)=1⋅1⋅1=1≠0\displaystyle \det(C)=1\cdot1\cdot1=1\neq 0
  3. Calculăm puterile lui A\displaystyle A: A2=A⋅A\displaystyle A^2=A\cdot A și A3=A2⋅A\displaystyle A^3=A^2\cdot A. Observăm că A3=O3\displaystyle A^3=O_3.
    A2=(000000100)\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix},A3=O3\displaystyle \quad A^{3}=O_3
  4. Verificăm că (I3+A)(I3−A+A2)=I3+A3=I3\displaystyle (I_3+A)(I_3-A+A^2)=I_3+A^3=I_3, deoarece A3=O3\displaystyle A^3=O_3. Deci C−1=I3−A+A2\displaystyle C^{-1}=I_3-A+A^2.
    C−1=I3−A+A2\displaystyle C^{-1}=I_3-A+A^{2}
  5. Înlocuim matricele în C−1=I3−A+A2\displaystyle C^{-1}=I_3-A+A^2 și calculăm element cu element. Pe ultima linie, elementul din stânga este 0−1+1=0\displaystyle 0-1+1=0, iar cel din mijloc este 0−1+0=−1\displaystyle 0-1+0=-1.
    C−1=(100−1100−11)\displaystyle C^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(000100110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} și C=I3+A\displaystyle C=I_3+A. Calculați M=C⋅(C−2A+A2)−I3\displaystyle M=C\cdot\left(C-2A+A^2\right)-I_3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^2=A\cdot A. Elementul de pe linia a treia, coloana întâi, este produsul liniei a treia a lui A\displaystyle A, (1,1,0)\displaystyle (1,1,0), cu coloana întâi a lui A\displaystyle A, (0,1,1)T\displaystyle (0,1,1)^T: 1⋅0+1⋅1+0⋅1=1\displaystyle 1\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot 1=1. Celelalte elemente sunt nule.
    A2=(000000100)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}
  2. Scriem C=I3+A\displaystyle C=I_3+A și calculăm C−2A=I3−A\displaystyle C-2A=I_3-A.
    C−2A=(100−110−1−11)\displaystyle C-2A=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}
  3. Adunăm A2\displaystyle A^2 la C−2A\displaystyle C-2A și obținem matricea din paranteză.
    C−2A+A2=(100−1100−11)\displaystyle C-2A+A^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix}
  4. Înmulțim C\displaystyle C cu matricea din paranteză. Prima linie este (1,0,0)\displaystyle (1,0,0). A doua linie este suma primelor două linii ale matricei din paranteză, (0,1,0)\displaystyle (0,1,0). A treia linie este suma tuturor celor trei linii, (0,0,1)\displaystyle (0,0,1). Rezultatul este matricea unitate.
    C⋅(C−2A+A2)=(100010001)=I3\displaystyle C\cdot\left(C-2A+A^2\right)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I_3
  5. Scădem I3\displaystyle I_3: M=I3−I3\displaystyle M=I_3-I_3, deci M\displaystyle M este matricea nulă.
    M=I3−I3=O3\displaystyle M=I_3-I_3=O_3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.d)

5 puncte
Se consideră matricele A=(000100110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} și C=I3+A\displaystyle C=I_3+A.

Arătați că det⁡(I3+xA)=1\displaystyle \det(I_3+xA)=1, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea xA\displaystyle xA, înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu x\displaystyle x.
    xA=(000x00xx0)\displaystyle xA=\begin{pmatrix}0&0&0\\x&0&0\\x&x&0\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricea unitate I3\displaystyle I_3 și matricea xA\displaystyle xA, element cu element.
    I3+xA=(100x10xx1)\displaystyle I_3+xA=\begin{pmatrix}1&0&0\\x&1&0\\x&x&1\end{pmatrix}
  3. Matricea obținută este inferior triunghiulară: toate elementele de deasupra diagonalei principale sunt 0\displaystyle 0. Determinantul unei astfel de matrice este produsul elementelor de pe diagonală, adică 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1. Verificăm și prin dezvoltare după prima linie, care dă determinantul minorului de ordin 2, tot inferior triunghiular.
    det⁡(I3+xA)=1⋅∣10x1∣=1⋅(1⋅1−0⋅x)=1\displaystyle \det(I_3+xA)=1\cdot\begin{vmatrix}1&0\\x&1\end{vmatrix}=1\cdot(1\cdot 1-0\cdot x)=1
  4. Rezultatul nu depinde de x\displaystyle x, deci egalitatea este adevărată pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    det⁡(I3+xA)=1\displaystyle \det(I_3+xA)=1, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.e)

5 puncte
Se consideră matricele A=(000100110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} și C=I3+A\displaystyle C=I_3+A.

Arătați că matricea C+Ct\displaystyle C+C^t este inversabilă, unde Ct\displaystyle C^t este transpusa matricei C\displaystyle C.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm C=I3+A\displaystyle C=I_3+A, adunând element cu element matricea unitate și matricea A\displaystyle A.
    C=(100110111)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}
  2. Transpusa Ct\displaystyle C^t se obține scriind liniile lui C\displaystyle C drept coloane.
    Ct=(111011001)\displaystyle C^t=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}
  3. Adunăm element cu element matricele C\displaystyle C și Ct\displaystyle C^t.
    C+Ct=(211121112)\displaystyle C+C^t=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus: produsele pe diagonala principală și pe paralelele ei se adună, iar cele de pe diagonala secundară și paralelele ei se scad.
    det⁡(C+Ct)=(8+1+1)−(2+2+2)=10−6\displaystyle \det(C+C^t)=(8+1+1)-(2+2+2)=10-6
  5. Obținem det⁡(C+Ct)=4≠0\displaystyle \det(C+C^t)=4\neq 0, deci matricea C+Ct\displaystyle C+C^t este inversabilă.
    det⁡(C+Ct)=4≠0⇒C+Ct este matrice inversabila˘\displaystyle \det(C+C^t)=4\neq 0\Rightarrow C+C^t\text{ este matrice inversabilă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.f)

5 puncte
Se consideră matricele A=(000100110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} și C=I3+A\displaystyle C=I_3+A.

Calculați A2010\displaystyle A^{2010}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^2=A\cdot A, înmulțind linie cu coloană. Prima linie a lui A\displaystyle A este nulă, deci prima linie a produsului este nulă. A doua linie (1,0,0)\displaystyle (1,0,0) înmulțită cu coloanele lui A\displaystyle A dă (0,0,0)\displaystyle (0,0,0). A treia linie (1,1,0)\displaystyle (1,1,0) dă pe prima coloană 1⋅0+1⋅1+0⋅1=1\displaystyle 1\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot 1=1, iar pe celelalte coloane 0\displaystyle 0.
    A2=(000000100)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm A3=A2⋅A\displaystyle A^3=A^2\cdot A. Singura linie nenulă a lui A2\displaystyle A^2 este a treia, (1,0,0)\displaystyle (1,0,0), iar înmulțită cu A\displaystyle A dă prima linie a lui A\displaystyle A, adică (0,0,0)\displaystyle (0,0,0). Celelalte linii sunt nule, deci A3\displaystyle A^3 este matricea nulă.
    A3=(000000000)=O3\displaystyle A^3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=O_3
  3. Observăm că 2010\displaystyle 2010 se împarte exact la 3\displaystyle 3, deoarece 2010=3⋅670\displaystyle 2010=3\cdot 670. Deci A2010\displaystyle A^{2010} se scrie ca A3\displaystyle A^3 ridicată la puterea 670\displaystyle 670.
    A2010=(A3)670\displaystyle A^{2010}=\left(A^3\right)^{670}
  4. Înlocuim A3=O3\displaystyle A^3=O_3. Orice putere naturală nenulă a matricei nule este matricea nulă, deci A2010=O3\displaystyle A^{2010}=O_3.
    A2010=(A3)670=(O3)670=O3\displaystyle A^{2010}=\left(A^3\right)^{670}=\left(O_3\right)^{670}=O_3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.