Bac matematică M4 pedagogic 2017, sesiunea a II-a varianta 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 925−3355=0\displaystyle \sqrt{\frac{9}{25}}-\frac{33}{55}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm radicalul: 925=925\displaystyle \sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}, iar 32=9\displaystyle 3^{2}=9 și 52=25\displaystyle 5^{2}=25, deci 925=35\displaystyle \sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}.
    925=35\displaystyle \sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}
  2. Simplificăm fracția 3355\displaystyle \dfrac{33}{55} prin 11\displaystyle 11: 33:11=3\displaystyle 33:11=3 și 55:11=5\displaystyle 55:11=5, deci 3355=35\displaystyle \dfrac{33}{55}=\dfrac{3}{5}.
    3355=35\displaystyle \frac{33}{55}=\frac{3}{5}
  3. Înlocuim în expresie: 925−3355=35−35=0\displaystyle \sqrt{\dfrac{9}{25}}-\dfrac{33}{55}=\dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{5}=0, deci egalitatea este demonstrată.
    35−3355=35−35=0\displaystyle \frac{3}{5}-\frac{33}{55}=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor naturale nenule inecuația 3(x−1)<6\displaystyle 3(x-1)<6.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim ambii membri ai inecuației 3(x−1)<6\displaystyle 3(x-1)<6 la 3\displaystyle 3, număr pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează.
    x−1<2\displaystyle x-1<2
  2. Adunăm 1\displaystyle 1 la ambii membri și obținem mulțimea soluțiilor reale ale inecuației.
    x−1<2⇔x<3\displaystyle x-1<2\Leftrightarrow x<3
  3. Căutăm numerele naturale nenule strict mai mici decât 3\displaystyle 3: x\displaystyle x trebuie să fie cel puțin 1\displaystyle 1, deci rămân doar 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2. Ambele verifică inecuația inițială: pentru x=1\displaystyle x=1 avem 0<6\displaystyle 0<6, iar pentru x=2\displaystyle x=2 avem 3<6\displaystyle 3<6.
    x=1 sau x=2\displaystyle x=1\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4(x2+4x+6)=log⁡42\displaystyle \log_4\left(x^2+4x+6\right)=\log_4 2.
Vezi rezolvarea
  1. Condiția de existență: x2+4x+6>0\displaystyle x^2+4x+6>0. Discriminantul este Δ=16−24=−8<0\displaystyle \Delta=16-24=-8<0, iar coeficientul lui x2\displaystyle x^2 este pozitiv, deci expresia este pozitivă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Argumentul 2\displaystyle 2 al celui de-al doilea logaritm este pozitiv.
    x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}
  2. Logaritmii au aceeași bază 4\displaystyle 4, iar funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: x2+4x+6=2\displaystyle x^2+4x+6=2. Mutăm 2\displaystyle 2 în membrul stâng și obținem x2+4x+4=0\displaystyle x^2+4x+4=0.
    x2+4x+6=2⇔x2+4x+4=0\displaystyle x^2+4x+6=2\Leftrightarrow x^2+4x+4=0
  3. Recunoaștem pătratul perfect: x2+4x+4=(x+2)2\displaystyle x^2+4x+4=(x+2)^2. Ecuația (x+2)2=0\displaystyle (x+2)^2=0 are soluția x=−2\displaystyle x=-2. Condiția de existență este îndeplinită pentru orice x\displaystyle x real, deci soluția convine. Verificare: (−2)2+4⋅(−2)+6=2>0\displaystyle (-2)^2+4\cdot(-2)+6=2>0.
    x=−2, care convine\displaystyle x=-2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale impare de două cifre se pot forma cu cifrele 1,2,3,4\displaystyle 1, 2, 3, 4 și 5\displaystyle 5.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr de două cifre are forma ab‾\displaystyle \overline{ab}, cu a\displaystyle a cifra zecilor și b\displaystyle b cifra unităților. Numărul este impar când ultima cifră este impară. Dintre cifrele 1,2,3,4,5\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, cele impare sunt 1\displaystyle 1, 3\displaystyle 3 și 5\displaystyle 5.
    b∈{1,3,5}\displaystyle b\in\{1,3,5\}
  2. Cifra unităților se poate alege în 3\displaystyle 3 moduri.
    3 moduri\displaystyle 3\text{ moduri}
  3. Enunțul nu cere cifre distincte, deci cifra zecilor poate fi oricare dintre cele 5\displaystyle 5 cifre date: 5\displaystyle 5 moduri.
    5 moduri\displaystyle 5\text{ moduri}
  4. Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de moduri de alegere a unităților cu numărul de moduri de alegere a zecilor. Se pot forma 15\displaystyle 15 numere.
    3⋅5=15\displaystyle 3\cdot 5=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(1,1)\displaystyle M(1,1), N(4,1)\displaystyle N(4,1) și P(4,4)\displaystyle P(4,4). Arătați că triunghiul MNP\displaystyle MNP este isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula distanței dintre punctele A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B): AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}. Pentru a arăta că triunghiul este isoscel, calculăm lungimile a două laturi și arătăm că sunt egale.
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
  2. Calculăm latura MN\displaystyle MN, cu M(1,1)\displaystyle M(1,1) și N(4,1)\displaystyle N(4,1): diferența abciselor este 4−1=3\displaystyle 4-1=3, iar diferența ordonatelor este 1−1=0\displaystyle 1-1=0. Obținem MN=32+02=9\displaystyle MN=\sqrt{3^2+0^2}=\sqrt{9}.
    MN=(4−1)2+(1−1)2=9=3\displaystyle MN=\sqrt{(4-1)^2+(1-1)^2}=\sqrt{9}=3
  3. Calculăm latura NP\displaystyle NP, cu N(4,1)\displaystyle N(4,1) și P(4,4)\displaystyle P(4,4): diferența abciselor este 4−4=0\displaystyle 4-4=0, iar diferența ordonatelor este 4−1=3\displaystyle 4-1=3. Obținem NP=02+32=9\displaystyle NP=\sqrt{0^2+3^2}=\sqrt{9}.
    NP=(4−4)2+(4−1)2=9=3\displaystyle NP=\sqrt{(4-4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{9}=3
  4. Comparăm cele două lungimi: MN=3\displaystyle MN=3 și NP=3\displaystyle NP=3, deci triunghiul MNP\displaystyle MNP are două laturi congruente, adică este isoscel, cu vârful în N\displaystyle N.
    MN=NP=3, deci ΔMNP este isoscel\displaystyle MN=NP=3\text{, deci }\Delta MNP\text{ este isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=6\displaystyle AB=6 și BC=12\displaystyle BC=12. Arătați că m(∠C)=30∘\displaystyle m(\angle C)=30^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. În triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC, cu unghiul drept în A\displaystyle A, ipotenuza este BC=12\displaystyle BC=12. Latura AB=6\displaystyle AB=6 este cateta opusă unghiului C\displaystyle C.
    AB=6 (cateta˘ opusa˘ lui C)\displaystyle AB=6\text{ (catetă opusă lui }C\text{)}, BC=12 (ipotenuza˘)\displaystyle \ BC=12\text{ (ipotenuză)}
  2. Sinusul unghiului C\displaystyle C este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză: sin⁡C=ABBC\displaystyle \sin C=\dfrac{AB}{BC}. Înlocuim valorile și simplificăm fracția cu 6\displaystyle 6.
    sin⁡C=ABBC=612=12\displaystyle \sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}
  3. Unghiul C\displaystyle C este ascuțit, fiindcă într-un triunghi dreptunghic celelalte două unghiuri sunt ascuțite. Pe intervalul (0∘,90∘)\displaystyle (0^\circ,90^\circ) singurul unghi cu sin⁡C=12\displaystyle \sin C=\dfrac{1}{2} este cel de 30∘\displaystyle 30^\circ, deoarece sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}.
    m(∠C)=30∘\displaystyle m(\angle C)=30^\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+7(x+y)+42\displaystyle x*y=xy+7(x+y)+42.

Arătați că 2∗(−2)=40\displaystyle \sqrt{2}*\left(-\sqrt{2}\right)=40.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția x∗y=xy+7(x+y)+42\displaystyle x*y=xy+7(x+y)+42 pentru x=2\displaystyle x=\sqrt{2} și y=−2\displaystyle y=-\sqrt{2}.
    2∗(−2)=2⋅(−2)+7(2+(−2))+42\displaystyle \sqrt{2}*\left(-\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}\cdot\left(-\sqrt{2}\right)+7\left(\sqrt{2}+\left(-\sqrt{2}\right)\right)+42
  2. Calculăm produsul: 2⋅(−2)=−2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\left(-\sqrt{2}\right)=-2. Suma celor două numere este 2−2=0\displaystyle \sqrt{2}-\sqrt{2}=0, deci termenul 7⋅0\displaystyle 7\cdot 0 este zero.
    2∗(−2)=−2+7⋅0+42\displaystyle \sqrt{2}*\left(-\sqrt{2}\right)=-2+7\cdot 0+42
  3. Adunăm termenii rămași: −2+0+42=40\displaystyle -2+0+42=40, ceea ce trebuia demonstrat.
    −2+42=40\displaystyle -2+42=40
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+7(x+y)+42\displaystyle x*y=xy+7(x+y)+42.

Arătați că x∗y=(x+7)(y+7)−7\displaystyle x*y=(x+7)(y+7)-7, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii: x∗y=xy+7(x+y)+42\displaystyle x*y=xy+7(x+y)+42.
    x∗y=xy+7(x+y)+42\displaystyle x*y=xy+7(x+y)+42
  2. Desfacem parantezele și scriem 42=49−7\displaystyle 42=49-7, ca să apară termenul 49=7⋅7\displaystyle 49=7\cdot 7 necesar produsului de binoame: x∗y=xy+7x+7y+49−7\displaystyle x*y=xy+7x+7y+49-7.
    x∗y=xy+7x+7y+49−7\displaystyle x*y=xy+7x+7y+49-7
  3. Grupăm termenii: xy+7x\displaystyle xy+7x dă x(y+7)\displaystyle x(y+7), iar 7y+49\displaystyle 7y+49 dă 7(y+7)\displaystyle 7(y+7). Rămâne x∗y=x(y+7)+7(y+7)−7\displaystyle x*y=x(y+7)+7(y+7)-7.
    x∗y=x(y+7)+7(y+7)−7\displaystyle x*y=x(y+7)+7(y+7)-7
  4. Dăm factor comun pe y+7\displaystyle y+7 și obținem x∗y=(x+7)(y+7)−7\displaystyle x*y=(x+7)(y+7)-7, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=(x+7)(y+7)−7\displaystyle x*y=(x+7)(y+7)-7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+7(x+y)+42\displaystyle x*y=xy+7(x+y)+42.

Verificați dacă e=−6\displaystyle e=-6 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul e\displaystyle e este neutru dacă x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x\displaystyle x real. Scriem legea sub formă factorizată: xy+7x+7y+42=(x+7)(y+7)−49+42=(x+7)(y+7)−7\displaystyle xy+7x+7y+42=(x+7)(y+7)-49+42=(x+7)(y+7)-7.
    x∗y=(x+7)(y+7)−7\displaystyle x*y=(x+7)(y+7)-7
  2. Calculăm x∗(−6)\displaystyle x*(-6), înlocuind y=−6\displaystyle y=-6 în forma factorizată. Factorul y+7\displaystyle y+7 devine −6+7=1\displaystyle -6+7=1.
    x∗(−6)=(x+7)(−6+7)−7=x+7−7=x\displaystyle x*(-6)=(x+7)(-6+7)-7=x+7-7=x
  3. Calculăm acum (−6)∗x\displaystyle (-6)*x, înlocuind primul termen cu −6\displaystyle -6. Primul factor devine −6+7=1\displaystyle -6+7=1.
    (−6)∗x=(−6+7)(x+7)−7=x+7−7=x\displaystyle (-6)*x=(-6+7)(x+7)-7=x+7-7=x
  4. Am obținut x∗(−6)=(−6)∗x=x\displaystyle x*(-6)=(-6)*x=x pentru orice x\displaystyle x real, deci e=−6\displaystyle e=-6 este elementul neutru al legii.
    x∗(−6)=(−6)∗x=x, deci e=−6 este elementul neutru\displaystyle x*(-6)=(-6)*x=x\text{, deci }e=-6\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+7(x+y)+42\displaystyle x*y=xy+7(x+y)+42.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care 2∗a=65\displaystyle 2*a=65.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție pentru x=2\displaystyle x=2 și y=a\displaystyle y=a, adică înlocuim în definiție: 2∗a=2a+7(2+a)+42\displaystyle 2*a=2a+7(2+a)+42.
    2∗a=2a+7(2+a)+42\displaystyle 2*a=2a+7(2+a)+42
  2. Desfacem parantezele: 2a+14+7a+42\displaystyle 2a+14+7a+42. Reducem termenii asemenea: 2a+7a=9a\displaystyle 2a+7a=9a, iar 14+42=56\displaystyle 14+42=56.
    2∗a=9a+56\displaystyle 2*a=9a+56
  3. Punem condiția 2∗a=65\displaystyle 2*a=65 și obținem ecuația liniară 9a+56=65\displaystyle 9a+56=65.
    9a+56=65\displaystyle 9a+56=65
  4. Scădem 56 din ambii membri: 9a=65−56=9\displaystyle 9a=65-56=9. Împărțim la 9 și obținem a=1\displaystyle a=1.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+7(x+y)+42\displaystyle x*y=xy+7(x+y)+42.

Determinați numerele reale x\displaystyle x, x>0\displaystyle x>0 pentru care (log⁡2x)∗(log⁡2x)=42\displaystyle \left(\log_2 x\right)*\left(\log_2 x\right)=42.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm t=log⁡2x\displaystyle t=\log_2 x, definit pentru x>0\displaystyle x>0, iar t\displaystyle t poate fi orice număr real. Aplicăm legea: t∗t=t2+7(t+t)+42\displaystyle t*t=t^{2}+7(t+t)+42, deci ecuația devine t2+14t+42=42\displaystyle t^{2}+14t+42=42.
    t2+14t+42=42\displaystyle t^{2}+14t+42=42
  2. Completăm pătratul: (t+7)2=t2+14t+49\displaystyle (t+7)^{2}=t^{2}+14t+49, deci t2+14t+42=(t+7)2−7\displaystyle t^{2}+14t+42=(t+7)^{2}-7. Ecuația devine (log⁡2x+7)2−7=42\displaystyle \left(\log_2 x+7\right)^{2}-7=42.
    (log⁡2x+7)2−7=42\displaystyle \left(\log_2 x+7\right)^{2}-7=42
  3. Adunăm 7 în ambii membri: (log⁡2x+7)2=49\displaystyle \left(\log_2 x+7\right)^{2}=49. Rezultă log⁡2x+7=−7\displaystyle \log_2 x+7=-7 sau log⁡2x+7=7\displaystyle \log_2 x+7=7.
    (log⁡2x+7)2=49⇔log⁡2x+7=−7 sau log⁡2x+7=7\displaystyle \left(\log_2 x+7\right)^{2}=49\Leftrightarrow\log_2 x+7=-7\text{ sau }\log_2 x+7=7
  4. Din prima ecuație, log⁡2x=−14\displaystyle \log_2 x=-14. Din a doua, log⁡2x=0\displaystyle \log_2 x=0.
    log⁡2x=−14 sau log⁡2x=0\displaystyle \log_2 x=-14\text{ sau }\log_2 x=0
  5. Obținem x=2−14\displaystyle x=2^{-14} sau x=20=1\displaystyle x=2^{0}=1. Ambele valori sunt strict pozitive, deci convin.
    x=2−14 sau x=1, care convin\displaystyle x=2^{-14}\text{ sau }x=1\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+7(x+y)+42\displaystyle x*y=xy+7(x+y)+42.

Determinați numerele întregi m\displaystyle m pentru care m∗(2−m)≥57\displaystyle m*(2-m)\geq 57.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie prin factorizare: x∗y=(x+7)(y+7)−7\displaystyle x*y=(x+7)(y+7)-7, deoarece (x+7)(y+7)=xy+7x+7y+49\displaystyle (x+7)(y+7)=xy+7x+7y+49, iar 49−7=42\displaystyle 49-7=42.
    x∗y=(x+7)(y+7)−7\displaystyle x*y=(x+7)(y+7)-7
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu m\displaystyle m și y\displaystyle y cu 2−m\displaystyle 2-m în forma factorizată. Al doilea factor devine (2−m)+7=9−m\displaystyle (2-m)+7=9-m.
    m∗(2−m)=(m+7)(9−m)−7\displaystyle m*(2-m)=(m+7)(9-m)-7
  3. Desfacem parantezele: (m+7)(9−m)=9m−m2+63−7m=−m2+2m+63\displaystyle (m+7)(9-m)=9m-m^2+63-7m=-m^2+2m+63. Scădem 7\displaystyle 7 și obținem −m2+2m+56\displaystyle -m^2+2m+56.
    m∗(2−m)=−m2+2m+56\displaystyle m*(2-m)=-m^2+2m+56
  4. Scriem inegalitatea cerută cu expresia obținută: −m2+2m+56≥57\displaystyle -m^2+2m+56\geq 57.
    −m2+2m+56≥57\displaystyle -m^2+2m+56\geq 57
  5. Trecem 57\displaystyle 57 în stânga: −m2+2m−1≥0\displaystyle -m^2+2m-1\geq 0. Aici recunoaștem minus un pătrat perfect: −m2+2m−1=−(m−1)2\displaystyle -m^2+2m-1=-(m-1)^2.
    −(m−1)2≥0\displaystyle -(m-1)^2\geq 0
  6. Cum (m−1)2≥0\displaystyle (m-1)^2\geq 0 pentru orice m\displaystyle m, expresia −(m−1)2\displaystyle -(m-1)^2 este mai mică sau egală cu 0\displaystyle 0. Ea este nenegativă doar când este egală cu 0\displaystyle 0, deci m−1=0\displaystyle m-1=0, adică m=1\displaystyle m=1. Valoarea 1\displaystyle 1 este număr întreg, deci convine.
    m=1\displaystyle m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(6−5−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}6&-5\\-1&1\end{pmatrix} și B=(1516)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&5\\1&6\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=1\displaystyle \det A=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, folosind elementele ei: pe prima linie 6\displaystyle 6 și −5\displaystyle -5, pe a doua linie −1\displaystyle -1 și 1\displaystyle 1.
    det⁡A=∣6−5−11∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}6&-5\\-1&1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică ∣abcd∣=a⋅d−c⋅b\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-c\cdot b.
    det⁡A=6⋅1−(−1)⋅(−5)\displaystyle \det A=6\cdot 1-(-1)\cdot(-5)
  3. Calculăm produsele: 6⋅1=6\displaystyle 6\cdot 1=6, iar (−1)⋅(−5)=5\displaystyle (-1)\cdot(-5)=5. Rămâne 6−5\displaystyle 6-5, deci determinantul este 1\displaystyle 1.
    det⁡A=6−5=1\displaystyle \det A=6-5=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(6−5−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}6&-5\\-1&1\end{pmatrix} și B=(1516)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&5\\1&6\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅B−B⋅A=O2\displaystyle A\cdot B-B\cdot A=O_2, unde O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B\displaystyle B. Primul rând: 6⋅1+(−5)⋅1=1\displaystyle 6\cdot 1+(-5)\cdot 1=1 și 6⋅5+(−5)⋅6=0\displaystyle 6\cdot 5+(-5)\cdot 6=0. Al doilea rând: (−1)⋅1+1⋅1=0\displaystyle (-1)\cdot 1+1\cdot 1=0 și (−1)⋅5+1⋅6=1\displaystyle (-1)\cdot 5+1\cdot 6=1.
    A⋅B=(1001)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A în același fel. Primul rând: 1⋅6+5⋅(−1)=1\displaystyle 1\cdot 6+5\cdot(-1)=1 și 1⋅(−5)+5⋅1=0\displaystyle 1\cdot(-5)+5\cdot 1=0. Al doilea rând: 1⋅6+6⋅(−1)=0\displaystyle 1\cdot 6+6\cdot(-1)=0 și 1⋅(−5)+6⋅1=1\displaystyle 1\cdot(-5)+6\cdot 1=1.
    B⋅A=(1001)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  3. Înlocuim cele două produse în diferența cerută: ambele sunt matricea unitate I2\displaystyle I_2.
    A⋅B−B⋅A=(6−5−11)⋅(1516)−(1516)⋅(6−5−11)=(1001)−(1001)\displaystyle A\cdot B-B\cdot A=\begin{pmatrix}6&-5\\-1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&5\\1&6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&5\\1&6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6&-5\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  4. Scădem matricele element cu element: fiecare element devine 0\displaystyle 0, deci diferența este matricea nulă O2\displaystyle O_2.
    (0000)=O2\displaystyle \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(6−5−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}6&-5\\-1&1\end{pmatrix} și B=(1516)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&5\\1&6\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(A+xB)=1−3x\displaystyle \det(A+xB)=1-3x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea xB\displaystyle xB, înmulțind fiecare element al lui B\displaystyle B cu x\displaystyle x, apoi o adunăm cu A\displaystyle A element cu element.
    A+xB=(6+x−5+5x−1+x1+6x)\displaystyle A+xB=\begin{pmatrix}6+x&-5+5x\\-1+x&1+6x\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A+xB)=(6+x)(1+6x)−(−5+5x)(−1+x)\displaystyle \det(A+xB)=(6+x)(1+6x)-(-5+5x)(-1+x)
  3. Efectuăm produsele: (6+x)(1+6x)=6x2+37x+6\displaystyle (6+x)(1+6x)=6x^{2}+37x+6 și (−5+5x)(−1+x)=5x2−10x+5\displaystyle (-5+5x)(-1+x)=5x^{2}-10x+5. Scădem și reducem termenii asemenea.
    det⁡(A+xB)=6x2+37x+6−5x2+10x−5=x2+47x+1\displaystyle \det(A+xB)=6x^{2}+37x+6-5x^{2}+10x-5=x^{2}+47x+1
  4. Punem condiția din enunț: det⁡(A+xB)=1−3x\displaystyle \det(A+xB)=1-3x.
    x2+47x+1=1−3x\displaystyle x^{2}+47x+1=1-3x
  5. Mutăm toți termenii în stânga și reducem: obținem o ecuație de gradul II fără termen liber.
    x2+50x=0\displaystyle x^{2}+50x=0
  6. Dăm x\displaystyle x factor comun: x(x+50)=0\displaystyle x(x+50)=0. Produsul este nul dacă un factor este nul, deci obținem soluțiile ecuației.
    x=−50 sau x=0\displaystyle x=-50\text{ sau }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(6−5−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}6&-5\\-1&1\end{pmatrix} și B=(1516)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&5\\1&6\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care A⋅(xy)=(7−1)\displaystyle A\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Efectuăm produsul dintre matricea A\displaystyle A și matricea coloană (xy)\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}: prima linie a lui A\displaystyle A se înmulțește cu coloana, apoi a doua linie.
    A⋅(xy)=(6x−5y−x+y)\displaystyle A\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6x-5y\\-x+y\end{pmatrix}
  2. Egalăm elementele corespunzătoare din (6x−5y−x+y)=(7−1)\displaystyle \begin{pmatrix}6x-5y\\-x+y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-1\end{pmatrix} și obținem un sistem de două ecuații cu necunoscutele x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    {6x−5y=7−x+y=−1\displaystyle \begin{cases}6x-5y=7\\-x+y=-1\end{cases}
  3. Din a doua ecuație, −x+y=−1\displaystyle -x+y=-1, exprimăm y\displaystyle y în funcție de x\displaystyle x: adunăm x\displaystyle x în ambii membri.
    y=x−1\displaystyle y=x-1
  4. Înlocuim y=x−1\displaystyle y=x-1 în prima ecuație, desfacem parantezele și rezolvăm ecuația în x\displaystyle x: 6x−5(x−1)=7\displaystyle 6x-5(x-1)=7, adică 6x−5x+5=7\displaystyle 6x-5x+5=7.
    x+5=7⇒x=2\displaystyle x+5=7\Rightarrow x=2
  5. Calculăm y\displaystyle y din y=x−1\displaystyle y=x-1 pentru x=2\displaystyle x=2. Verificare în prima ecuație: 6⋅2−5⋅1=7\displaystyle 6\cdot 2-5\cdot 1=7, deci soluția este corectă.
    x=2 și y=1\displaystyle x=2\text{ și }y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(6−5−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}6&-5\\-1&1\end{pmatrix} și B=(1516)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&5\\1&6\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡(A+B)+det⁡(A−B)=2(det⁡A+det⁡B)\displaystyle \det(A+B)+\det(A-B)=2(\det A+\det B).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm suma matricelor A\displaystyle A și B\displaystyle B, adunând elementele de pe aceleași poziții: A+B=(6+1−5+5−1+11+6)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}6+1&-5+5\\-1+1&1+6\end{pmatrix}.
    A+B=(7007)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}7&0\\0&7\end{pmatrix}
  2. Calculăm diferența A−B\displaystyle A-B, scăzând elementele de pe aceleași poziții: A−B=(6−1−5−5−1−11−6)\displaystyle A-B=\begin{pmatrix}6-1&-5-5\\-1-1&1-6\end{pmatrix}.
    A−B=(5−10−2−5)\displaystyle A-B=\begin{pmatrix}5&-10\\-2&-5\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul lui A+B\displaystyle A+B: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară, adică 7⋅7−0⋅0\displaystyle 7\cdot 7-0\cdot 0.
    det⁡(A+B)=49\displaystyle \det(A+B)=49
  4. Calculăm det⁡(A−B)=5⋅(−5)−(−10)⋅(−2)=−25−20=−45\displaystyle \det(A-B)=5\cdot(-5)-(-10)\cdot(-2)=-25-20=-45. Adunăm cei doi determinanți și obținem membrul stâng: 49+(−45)\displaystyle 49+(-45).
    det⁡(A+B)+det⁡(A−B)=49+(−45)=4\displaystyle \det(A+B)+\det(A-B)=49+(-45)=4
  5. Calculăm determinanții: det⁡A=6⋅1−(−5)⋅(−1)=6−5=1\displaystyle \det A=6\cdot 1-(-5)\cdot(-1)=6-5=1 și det⁡B=1⋅6−5⋅1=6−5=1\displaystyle \det B=1\cdot 6-5\cdot 1=6-5=1.
    det⁡A=1\displaystyle \det A=1, det⁡B=1\displaystyle \ \det B=1
  6. Calculăm membrul drept: 2(det⁡A+det⁡B)=2(1+1)=4\displaystyle 2(\det A+\det B)=2(1+1)=4. Cum membrul stâng este tot 4\displaystyle 4, egalitatea este demonstrată.
    2(det⁡A+det⁡B)=2(1+1)=4=det⁡(A+B)+det⁡(A−B)\displaystyle 2(\det A+\det B)=2(1+1)=4=\det(A+B)+\det(A-B)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(6−5−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}6&-5\\-1&1\end{pmatrix} și B=(1516)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&5\\1&6\end{pmatrix}.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), astfel încât A⋅X−B=I2\displaystyle A\cdot X-B=I_2, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A\displaystyle A, ca să vedem dacă A\displaystyle A este inversabilă: det⁡A=6⋅1−(−5)⋅(−1)\displaystyle \det A=6\cdot 1-(-5)\cdot(-1).
    det⁡A=6−5=1≠0\displaystyle \det A=6-5=1\neq 0
  2. Deoarece det⁡A≠0\displaystyle \det A\neq 0, matricea A\displaystyle A este inversabilă. Interschimbăm elementele de pe diagonala principală, schimbăm semnul elementelor de pe diagonala secundară și împărțim la det⁡A=1\displaystyle \det A=1.
    A−1=(1516)\displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}1&5\\1&6\end{pmatrix}
  3. Izolăm necunoscuta X\displaystyle X: mutăm B\displaystyle B în membrul drept, obținem A⋅X=I2+B\displaystyle A\cdot X=I_2+B, apoi înmulțim la stânga cu A−1\displaystyle A^{-1}, ținând cont că A−1A=I2\displaystyle A^{-1}A=I_2.
    X=A−1⋅(I2+B)\displaystyle X=A^{-1}\cdot(I_2+B)
  4. Calculăm suma I2+B\displaystyle I_2+B, adunând elementele de pe aceleași poziții.
    I2+B=(1001)+(1516)=(2517)\displaystyle I_2+B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&5\\1&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&5\\1&7\end{pmatrix}
  5. Efectuăm produsul A−1⋅(I2+B)\displaystyle A^{-1}\cdot(I_2+B), înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua, și obținem matricea X\displaystyle X.
    X=(1516)⋅(2517)=(2+55+352+65+42)=(740847)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&5\\1&6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&5\\1&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+5&5+35\\2+6&5+42\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&40\\8&47\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.