Bac matematică M4 pedagogic 2012, sesiunea a II-a varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Se consideră progresia aritmetică

\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}

cu rația

\displaystyle r=-2

și

\displaystyle a_1=19

. Calculați

\displaystyle a_7

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula termenului general al unei progresii aritmetice: $\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r$ . Pentru $\displaystyle n=7$ obținem $\displaystyle a_7=a_1+6r$ .
$\displaystyle a_7=a_1+6r$
Înlocuim $\displaystyle a_1=19$ și $\displaystyle r=-2$ în formula obținută: $\displaystyle a_7=19+6\cdot(-2)$ .
$\displaystyle a_7=19+6\cdot(-2)=19-12$
Efectuăm calculul: $\displaystyle 19-12=7$ . Deci al șaptelea termen al progresiei este $\displaystyle a_7=7$ .
$\displaystyle a_7=7$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați coordonatele punctelor de intersecție a graficului funcției

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=4-\frac{4x}{3}

cu axa

\displaystyle Ox

și respectiv cu axa

\displaystyle Oy

.

Vezi rezolvarea

Punctele de pe axa $\displaystyle Ox$ au ordonata $\displaystyle 0$ , deci intersecția cu $\displaystyle Ox$ se află rezolvând ecuația $\displaystyle f(x)=0$ .
$\displaystyle 4-\dfrac{4x}{3}=0$
Mutăm termenul cu $\displaystyle x$ în partea dreaptă: $\displaystyle 4=\dfrac{4x}{3}$ .
$\displaystyle \dfrac{4x}{3}=4$
Înmulțim cu $\displaystyle 3$ și apoi împărțim la $\displaystyle 4$ : $\displaystyle 4x=12$ , deci $\displaystyle x=3$ . Punctul de intersecție cu $\displaystyle Ox$ este $\displaystyle A(3,0)$ .
$\displaystyle G_f\cap Ox=\{A(3,0)\}$
Punctele de pe axa $\displaystyle Oy$ au abscisa $\displaystyle 0$ , deci intersecția cu $\displaystyle Oy$ se află calculând $\displaystyle f(0)$ .
$\displaystyle f(0)=4-\dfrac{4\cdot 0}{3}=4$
Punctul de intersecție cu $\displaystyle Oy$ este $\displaystyle B(0,4)$ .
$\displaystyle G_f\cap Oy=\{B(0,4)\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Arătați că ecuația

\displaystyle x^2-(2m+1)x+m^2+m=0

admite două soluții reale distincte, pentru orice

\displaystyle m\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Identificăm coeficienții ecuației de gradul al doilea $\displaystyle x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$ : $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-(2m+1)$ , $\displaystyle c=m^2+m$ .
$\displaystyle a=1$ , $\displaystyle \ b=-(2m+1)$ , $\displaystyle \ c=m^2+m$
Ecuația are două soluții reale distincte dacă discriminantul este strict pozitiv. Scriem discriminantul $\displaystyle \Delta=b^2-4ac$ cu coeficienții de mai sus.
$\displaystyle \Delta=(2m+1)^2-4(m^2+m)$
Dezvoltăm pătratul: $\displaystyle (2m+1)^2=4m^2+4m+1$ . Apoi desfacem parantezele în al doilea termen: $\displaystyle 4(m^2+m)=4m^2+4m$ .
$\displaystyle \Delta=4m^2+4m+1-4m^2-4m$
Termenii $\displaystyle 4m^2$ și $\displaystyle 4m$ se reduc, deci discriminantul este constant și strict pozitiv, indiferent de $\displaystyle m$ . Prin urmare, ecuația are două soluții reale distincte pentru orice $\displaystyle m\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle \Delta=1>0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 3^{x+1}+2\cdot 3^x=45

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle 3^{x+1}=3\cdot 3^{x}$ , folosind regula $\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}$ .
$\displaystyle 3^{x+1}=3\cdot 3^{x}$
Ecuația devine $\displaystyle 3\cdot 3^{x}+2\cdot 3^{x}=45$ , adică $\displaystyle (3+2)\cdot 3^{x}=45$ .
$\displaystyle (3+2)\cdot 3^{x}=45$
Obținem $\displaystyle 5\cdot 3^{x}=45$ . Împărțind la $\displaystyle 5$ , rezultă $\displaystyle 3^{x}=9$ .
$\displaystyle 5\cdot 3^{x}=45\Leftrightarrow 3^{x}=9$
Cum $\displaystyle 9=3^{2}$ , ecuația este $\displaystyle 3^{x}=3^{2}$ . Baza fiind aceeași, exponenții sunt egali, deci $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Se consideră paralelogramul

\displaystyle ABCD

și

\displaystyle M

,

\displaystyle N

,

\displaystyle P

,

\displaystyle Q

mijloacele laturilor

\displaystyle (AB)

,

\displaystyle (BC)

,

\displaystyle (CD)

, respectiv

\displaystyle (DA)

. Demonstrați că

\displaystyle \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}

.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle O$ centrul paralelogramului, adică intersecția diagonalelor. Într-un paralelogram diagonalele se înjumătățesc, deci $\displaystyle O$ este mijlocul lui $\displaystyle AC$ și al lui $\displaystyle BD$ , adică $\displaystyle AO=OC$ și $\displaystyle BO=OD$ .
$\displaystyle AO=OC$
În triunghiul $\displaystyle ABD$ , $\displaystyle M$ este mijlocul lui $\displaystyle AB$ și $\displaystyle O$ este mijlocul lui $\displaystyle BD$ , deci $\displaystyle MO$ este linie mijlocie: $\displaystyle MO\parallel AD$ și $\displaystyle MO=\dfrac{AD}{2}$ . Cum $\displaystyle Q$ este mijlocul lui $\displaystyle AD$ , avem $\displaystyle AQ=\dfrac{AD}{2}$ , deci $\displaystyle MO$ și $\displaystyle AQ$ sunt paralele și egale. Rezultă că $\displaystyle AMOQ$ este paralelogram.
$\displaystyle AMOQ\text{ este paralelogram}$
Aplicăm regula paralelogramului în $\displaystyle AMOQ$ : suma vectorilor $\displaystyle \overrightarrow{AM}$ și $\displaystyle \overrightarrow{AQ}$ este vectorul diagonalei care pornește din $\displaystyle A$ , adică $\displaystyle \overrightarrow{AO}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AO}$
În triunghiul $\displaystyle BCD$ , $\displaystyle N$ este mijlocul lui $\displaystyle BC$ și $\displaystyle O$ este mijlocul lui $\displaystyle BD$ , deci $\displaystyle NO$ este linie mijlocie: $\displaystyle NO\parallel CD$ și $\displaystyle NO=\dfrac{CD}{2}$ . Cum $\displaystyle P$ este mijlocul lui $\displaystyle CD$ , avem $\displaystyle CP=\dfrac{CD}{2}$ , deci $\displaystyle NO$ și $\displaystyle CP$ sunt paralele și egale. Rezultă că $\displaystyle CNOP$ este paralelogram.
$\displaystyle CNOP\text{ este paralelogram}$
Aplicăm regula paralelogramului în $\displaystyle CNOP$ : suma vectorilor $\displaystyle \overrightarrow{CN}$ și $\displaystyle \overrightarrow{CP}$ este vectorul diagonalei care pornește din $\displaystyle C$ , adică $\displaystyle \overrightarrow{CO}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{CN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CO}$
Adunăm cele două relații. Deoarece $\displaystyle O$ este mijlocul lui $\displaystyle AC$ , vectorii $\displaystyle \overrightarrow{AO}$ și $\displaystyle \overrightarrow{CO}$ au același modul și sens opus, deci $\displaystyle \overrightarrow{CO}=-\overrightarrow{AO}$ . Suma lor este vectorul nul.
$\displaystyle \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{0}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul dreptunghic

\displaystyle ABC

cu ipotenuza

\displaystyle BC=20

și

\displaystyle \cos B=\frac{3}{5}

. Calculați perimetrul triunghiului

\displaystyle ABC

.

Vezi rezolvarea

Triunghiul este dreptunghic în $\displaystyle A$ , deci ipotenuza este $\displaystyle BC$ . În triunghiul dreptunghic, cosinusul unghiului $\displaystyle B$ este raportul dintre cateta alăturată $\displaystyle AB$ și ipotenuza $\displaystyle BC$ : $\displaystyle \cos B=\dfrac{AB}{BC}$ .
$\displaystyle \cos B=\dfrac{AB}{BC}$
Înlocuim valorile cunoscute: $\displaystyle \dfrac{AB}{20}=\dfrac{3}{5}$ . De aici $\displaystyle AB=\dfrac{3\cdot 20}{5}=12$ .
$\displaystyle AB=\dfrac{3\cdot 20}{5}=12$
Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul $\displaystyle ABC$ : $\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$ , adică $\displaystyle 12^{2}+AC^{2}=20^{2}$ .
$\displaystyle 144+AC^{2}=400$
Obținem $\displaystyle AC^{2}=400-144=256$ , deci $\displaystyle AC=\sqrt{256}=16$ , deoarece $\displaystyle AC>0$ .
$\displaystyle AC=\sqrt{256}=16$
Perimetrul este suma laturilor: $\displaystyle P=AB+AC+BC=12+16+20=48$ .
$\displaystyle P=12+16+20=48$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y+1

.

Arătați că

\displaystyle (-5)*5=(-10)*10

.

Vezi rezolvarea

Folosim definiția legii: $\displaystyle x*y=x+y+1$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ .
$\displaystyle x*y=x+y+1$
Pentru primul membru înlocuim $\displaystyle x=-5$ și $\displaystyle y=5$ : $\displaystyle (-5)*5=-5+5+1=0+1$ .
$\displaystyle (-5)*5=-5+5+1=1$
Pentru al doilea membru înlocuim $\displaystyle x=-10$ și $\displaystyle y=10$ : $\displaystyle (-10)*10=-10+10+1=0+1$ .
$\displaystyle (-10)*10=-10+10+1=1$
Ambii membri sunt egali cu $\displaystyle 1$ , deci egalitatea este adevărată.
$\displaystyle (-5)*5=1=(-10)*10$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y+1

.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația

\displaystyle x^2*x\leq 13

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția $\displaystyle a*b=a+b+1$ pentru $\displaystyle a=x^{2}$ și $\displaystyle b=x$ .
$\displaystyle x^{2}*x=x^{2}+x+1$
Inecuația $\displaystyle x^{2}*x\leq 13$ devine $\displaystyle x^{2}+x+1\leq 13$ , adică, după ce scădem 13 din ambii membri, obținem inecuația de gradul al doilea.
$\displaystyle x^{2}*x\leq 13 \Leftrightarrow x^{2}+x-12\leq 0$
Pentru ecuația $\displaystyle x^{2}+x-12=0$ avem $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=1$ , $\displaystyle c=-12$ , deci discriminantul este $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac$ .
$\displaystyle \Delta=1+48=49$
Rădăcinile sunt $\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{-1\pm 7}{2}$ .
$\displaystyle x_1=-4$ , $\displaystyle \ x_2=3$
Deoarece coeficientul lui $\displaystyle x^{2}$ este $\displaystyle 1>0$ , trinomul este $\displaystyle \leq 0$ între rădăcini, inclusiv în rădăcini, deci obținem soluția inecuației.
$\displaystyle x\in[-4,3]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.d)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y+1

.

Demonstrați că

\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)

, pentru orice numere reale

\displaystyle x,y,z

.

Vezi rezolvarea

Folosim definiția legii: $\displaystyle a*b=a+b+1$ . Pentru a calcula $\displaystyle (x*y)*z$ , calculăm mai întâi $\displaystyle x*y$ , care este $\displaystyle x+y+1$ .
$\displaystyle x*y=x+y+1$
Aplicăm legea între rezultatul $\displaystyle x*y$ și $\displaystyle z$ : $\displaystyle (x+y+1)*z=(x+y+1)+z+1$ . Reducem termenii și obținem $\displaystyle x+y+z+2$ .
$\displaystyle (x*y)*z=(x+y+1)+z+1=x+y+z+2$
Pentru a calcula $\displaystyle x*(y*z)$ , calculăm mai întâi $\displaystyle y*z$ , care este $\displaystyle y+z+1$ .
$\displaystyle y*z=y+z+1$
Aplicăm legea între $\displaystyle x$ și rezultatul $\displaystyle y*z$ : $\displaystyle x*(y+z+1)=x+(y+z+1)+1$ . Reducem termenii și obținem $\displaystyle x+y+z+2$ .
$\displaystyle x*(y*z)=x+(y+z+1)+1=x+y+z+2$
Cele două expresii sunt egale cu $\displaystyle x+y+z+2$ , pentru orice numere reale $\displaystyle x,y,z$ . Deci legea este asociativă.
$\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)=x+y+z+2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.e)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y+1

.

Determinați simetricul elementului

\displaystyle x=3

în raport cu legea de compoziție "

\displaystyle *

", știind că elementul neutru este

\displaystyle e=-1

.

Vezi rezolvarea

Simetricul lui $\displaystyle 3$ este numărul $\displaystyle x'$ pentru care $\displaystyle 3*x'=x'*3=e$ , unde $\displaystyle e=-1$ este elementul neutru. Legea este comutativă, deoarece $\displaystyle x+y+1=y+x+1$ , deci este suficient să impunem o singură egalitate.
$\displaystyle 3*x'=x'*3=-1$
Scriem $\displaystyle 3*x'$ folosind definiția legii: $\displaystyle 3*x'=3+x'+1$ .
$\displaystyle 3*x'=x'+4$
Egalăm cu elementul neutru $\displaystyle -1$ și obținem ecuația $\displaystyle x'+4=-1$ .
$\displaystyle x'+4=-1$
Rezolvăm ecuația: scădem $\displaystyle 4$ din ambii membri. Simetricul lui $\displaystyle 3$ este $\displaystyle -5$ .
$\displaystyle x'=-1-4=-5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.f)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y+1

.

Determinați numărul elementelor mulțimii

\displaystyle A=\{n\in\mathbb{N}\mid n*(n+1)\leq 2012\}

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii $\displaystyle x*y=x+y+1$ pentru $\displaystyle x=n$ și $\displaystyle y=n+1$ .
$\displaystyle n*(n+1)=n+(n+1)+1$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle n+(n+1)+1=2n+2$ .
$\displaystyle n*(n+1)=2n+2$
Condiția $\displaystyle n*(n+1)\leq 2012$ devine $\displaystyle 2n+2\leq 2012$ .
$\displaystyle 2n+2\leq 2012$
Scădem 2 din ambii membri: $\displaystyle 2n\leq 2010$ . Împărțim la 2 și obținem $\displaystyle n\leq 1005$ .
$\displaystyle 2n+2\leq 2012 \Leftrightarrow n\leq 1005$
Cum $\displaystyle n\in\mathbb{N}$ , avem $\displaystyle n\in\{0,1,2,\ldots,1005\}$ . Numărul acestor valori este $\displaystyle 1005-0+1=1006$ .
$\displaystyle A\text{ are }1006\text{ elemente}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&a&a\\a&a&0\\a&0&a\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații (S)

\displaystyle \begin{cases}ay+az=1\\ax+ay=0\\ax+az=2\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este un număr real nenul.

Calculați determinantul matricei

\displaystyle A

.

Vezi rezolvarea

Scriem determinantul matricei $\displaystyle A$ și aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
$\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{vmatrix}$
Calculăm suma produselor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: $\displaystyle 1\cdot 3\cdot 2$ , $\displaystyle 2\cdot 1\cdot 3$ și $\displaystyle 3\cdot 2\cdot 1$ .
$\displaystyle 1\cdot3\cdot2+2\cdot1\cdot3+3\cdot2\cdot1=6+6+6=18$
Calculăm suma produselor de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: $\displaystyle 3\cdot 3\cdot 3$ , $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1$ și $\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2$ .
$\displaystyle 3\cdot3\cdot3+1\cdot1\cdot1+2\cdot2\cdot2=27+1+8=36$
Determinantul este diferența dintre prima sumă și a doua sumă: $\displaystyle \det A=18-36$ .
$\displaystyle \det A=18-36$
Efectuăm scăderea și obținem valoarea determinantului.
$\displaystyle \det A=-18$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&a&a\\a&a&0\\a&0&a\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații (S)

\displaystyle \begin{cases}ay+az=1\\ax+ay=0\\ax+az=2\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este un număr real nenul.

Arătați că matricea

\displaystyle B

este inversabilă pentru orice

\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}

.

Vezi rezolvarea

O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Deci trebuie să calculăm $\displaystyle \det B$ și să arătăm că este diferit de zero pentru orice $\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .
$\displaystyle B\text{ inversabilă}\Leftrightarrow \det B\neq 0$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle B$ și îl dezvoltăm după prima linie: primul element este $\displaystyle 0$ , deci rămân doar ceilalți doi termeni.
$\displaystyle \det B=\begin{vmatrix}0&a&a\\a&a&0\\a&0&a\end{vmatrix}=0\cdot\begin{vmatrix}a&0\\0&a\end{vmatrix}-a\begin{vmatrix}a&0\\a&a\end{vmatrix}+a\begin{vmatrix}a&a\\a&0\end{vmatrix}$
Calculăm minorii de ordinul doi: $\displaystyle \begin{vmatrix}a&0\\a&a\end{vmatrix}=a^{2}$ și $\displaystyle \begin{vmatrix}a&a\\a&0\end{vmatrix}=-a^{2}$ .
$\displaystyle \det B=-a\cdot a^{2}+a\cdot(-a^{2})$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle -a^{3}-a^{3}=-2a^{3}$ .
$\displaystyle \det B=-2a^{3}$
Cum $\displaystyle a\neq 0$ , avem $\displaystyle a^{3}\neq 0$ , deci $\displaystyle -2a^{3}\neq 0$ . Prin urmare matricea $\displaystyle B$ este inversabilă pentru orice $\displaystyle a$ real nenul.
$\displaystyle \det B=-2a^{3}\neq 0\text{ pentru orice }a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&a&a\\a&a&0\\a&0&a\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații (S)

\displaystyle \begin{cases}ay+az=1\\ax+ay=0\\ax+az=2\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este un număr real nenul.

Pentru

\displaystyle a=1

, arătați că

\displaystyle {}^t(AB)=BA

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=1$ în matricea $\displaystyle B$ .
$\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$
Calculăm produsul $\displaystyle A\cdot B$ : fiecare element este suma produselor dintre elementele unei linii din $\displaystyle A$ și cele ale unei coloane din $\displaystyle B$ . De exemplu, elementul de pe linia 1, coloana 1 este $\displaystyle 1\cdot 0+2\cdot 1+3\cdot 1=5$ , iar cel de pe linia 1, coloana 2 este $\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot 1+3\cdot 0=3$ . Procedăm la fel pentru toate elementele.
$\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}5&3&4\\4&5&3\\3&4&5\end{pmatrix}$
Calculăm produsul $\displaystyle B\cdot A$ . Linia 1 din $\displaystyle B$ este $\displaystyle (0,1,1)$ , deci linia 1 a produsului este suma liniilor 2 și 3 din $\displaystyle A$ : $\displaystyle (2+3,\ 3+1,\ 1+2)=(5,4,3)$ . Linia 2 din $\displaystyle B$ este $\displaystyle (1,1,0)$ , deci linia 2 este suma liniilor 1 și 2 din $\displaystyle A$ : $\displaystyle (3,5,4)$ . Linia 3 din $\displaystyle B$ este $\displaystyle (1,0,1)$ , deci linia 3 este suma liniilor 1 și 3 din $\displaystyle A$ : $\displaystyle (4,3,5)$ . Obținem ambele produse.
$\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}5&3&4\\4&5&3\\3&4&5\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ B\cdot A=\begin{pmatrix}5&4&3\\3&5&4\\4&3&5\end{pmatrix}$
Transpusa lui $\displaystyle A\cdot B$ se obține scriind liniile ca coloane: prima coloană $\displaystyle (5,4,3)$ devine prima linie, a doua coloană $\displaystyle (3,5,4)$ devine a doua linie, a treia coloană $\displaystyle (4,3,5)$ devine a treia linie. Matricea obținută coincide cu $\displaystyle B\cdot A$ , deci $\displaystyle {}^t(A\cdot B)=B\cdot A$ .
$\displaystyle {}^t(A\cdot B)=\begin{pmatrix}5&4&3\\3&5&4\\4&3&5\end{pmatrix}=B\cdot A$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.d)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&a&a\\a&a&0\\a&0&a\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații (S)

\displaystyle \begin{cases}ay+az=1\\ax+ay=0\\ax+az=2\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este un număr real nenul.

Pentru

\displaystyle a=1

, arătați că tripletul

\displaystyle \left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)

este soluție a sistemului (S).

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle a=1$ , sistemul (S) devine $\displaystyle \begin{cases}y+z=1\\x+y=0\\x+z=2\end{cases}$ .
$\displaystyle \begin{cases}y+z=1\\x+y=0\\x+z=2\end{cases}$
Înlocuim $\displaystyle x=\dfrac{1}{2}$ , $\displaystyle y=-\dfrac{1}{2}$ , $\displaystyle z=\dfrac{3}{2}$ în prima ecuație: $\displaystyle y+z=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=1$ , deci prima ecuație este verificată.
$\displaystyle y+z=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=1$
În a doua ecuație: $\displaystyle x+y=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$ , deci este verificată.
$\displaystyle x+y=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$
În a treia ecuație: $\displaystyle x+z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=2$ , deci este verificată.
$\displaystyle x+z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=2$
Tripletul verifică toate cele trei ecuații, deci $\displaystyle \left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right)$ este soluție a sistemului (S).
$\displaystyle \left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)\text{ este soluție a sistemului }$ $\displaystyle \text{(S)}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.e)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&a&a\\a&a&0\\a&0&a\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații (S)

\displaystyle \begin{cases}ay+az=1\\ax+ay=0\\ax+az=2\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este un număr real nenul.

Rezolvați sistemul (S), pentru

\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}

.

Vezi rezolvarea

Matricea sistemului (S) este chiar $\displaystyle B$ , deoarece ecuațiile au coeficienții din liniile matricei $\displaystyle B$ . Calculăm determinantul lui $\displaystyle B$ dezvoltând după prima linie: $\displaystyle \det B=0-a\cdot(a^{2}-0)+a\cdot(0-a^{2})$ .
$\displaystyle \det B=-a^{3}-a^{3}=-2a^{3}$
Cum $\displaystyle a\neq 0$ , avem $\displaystyle -2a^{3}\neq 0$ , deci sistemul este de tip Cramer și are soluție unică.
$\displaystyle \det B=-2a^{3}\neq 0$
Notăm $\displaystyle u=ax$ , $\displaystyle v=ay$ , $\displaystyle w=az$ . Sistemul devine un sistem cu coeficienți $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \begin{cases}v+w=1\\u+v=0\\u+w=2\end{cases}$
Adunăm cele trei ecuații: $\displaystyle 2(u+v+w)=3$ , deci $\displaystyle u+v+w=\dfrac{3}{2}$ .
$\displaystyle u+v+w=\dfrac{3}{2}$
Scădem pe rând ecuațiile: $\displaystyle u=\dfrac{3}{2}-(v+w)=\dfrac{3}{2}-1$ , $\displaystyle w=\dfrac{3}{2}-(u+v)=\dfrac{3}{2}-0$ , $\displaystyle v=\dfrac{3}{2}-(u+w)=\dfrac{3}{2}-2$ .
$\displaystyle u=\dfrac{1}{2}$ , $\displaystyle \ v=-\dfrac{1}{2}$ , $\displaystyle \ w=\dfrac{3}{2}$
Revenim la necunoscutele inițiale: $\displaystyle x=\dfrac{u}{a}$ , $\displaystyle y=\dfrac{v}{a}$ , $\displaystyle z=\dfrac{w}{a}$ , cu $\displaystyle a\neq 0$ .
$\displaystyle x=\dfrac{1}{2a}$ , $\displaystyle \ y=-\dfrac{1}{2a}$ , $\displaystyle \ z=\dfrac{3}{2a}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.f)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&a&a\\a&a&0\\a&0&a\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații (S)

\displaystyle \begin{cases}ay+az=1\\ax+ay=0\\ax+az=2\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este un număr real nenul.

Determinați numărul real nenul

\displaystyle a

pentru care soluția

\displaystyle (x_0,y_0,z_0)

a sistemului (S) verifică relația

\displaystyle x_0+y_0+z_0=\frac{1}{4}

.

Vezi rezolvarea

Adunăm cele trei ecuații ale sistemului (S). Fiecare dintre necunoscutele $\displaystyle x$ , $\displaystyle y$ , $\displaystyle z$ apare în exact două ecuații, deci în suma membrilor stângi obținem $\displaystyle 2a(x+y+z)$ . Suma membrilor drepți este $\displaystyle 1+0+2=3$ .
$\displaystyle 2a(x_0+y_0+z_0)=3$
Cum $\displaystyle a\neq 0$ , împărțim egalitatea la $\displaystyle 2a$ și obținem suma soluției în funcție de $\displaystyle a$ .
$\displaystyle x_0+y_0+z_0=\dfrac{3}{2a}$
Impunem condiția din enunț, $\displaystyle x_0+y_0+z_0=\dfrac{1}{4}$ , și înlocuim suma cu expresia găsită.
$\displaystyle \dfrac{3}{2a}=\dfrac{1}{4}$
Înmulțim pe diagonală: $\displaystyle 2a\cdot 1=3\cdot 4$ , deci $\displaystyle 2a=12$ , de unde $\displaystyle a=6$ . Valoarea este nenulă, deci convine.
$\displaystyle a=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M4 pedagogic 2012, sesiunea a II-a varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.d)

Subiectul II.1.e)

Subiectul II.1.f)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.1.d)

Subiectul III.1.e)

Subiectul III.1.f)

Aceeași sesiune, alți ani