Bac matematică M4 pedagogic 2025, sesiunea a II-a varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3⋅(32−16)+2:12=8\displaystyle 3\cdot\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{6}\right)+2:\frac{1}{2}=8.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem fracțiile din paranteză la numitor comun și efectuăm scăderea.
    32−16=96−16=86\displaystyle \frac{3}{2}-\frac{1}{6}=\frac{9}{6}-\frac{1}{6}=\frac{8}{6}
  2. Transformăm împărțirea la o fracție într-o înmulțire cu inversul acesteia.
    2:12=2⋅2\displaystyle 2:\frac{1}{2}=2\cdot2
  3. Înlocuim rezultatele obținute în expresia inițială, obținând forma cu înmulțiri și fără paranteze.
    3⋅(32−16)+2:12=3⋅86+2⋅2=\displaystyle 3\cdot\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{6}\right)+2:\frac{1}{2}=3\cdot\frac{8}{6}+2\cdot2=
  4. Efectuăm înmulțirile: simplificăm fracția obținută din prima înmulțire și calculăm produsul din a doua.
    3⋅86=246=4, iar 2⋅2=4\displaystyle 3\cdot\frac{8}{6}=\frac{24}{6}=4\text{, iar }2\cdot2=4
  5. Adunăm rezultatele obținute pentru a determina valoarea finală a expresiei.
    =4+4=8\displaystyle =4+4=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x−2\displaystyle f(x)=5x-2 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=2x+7\displaystyle g(x)=2x+7. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care f(1)+g(1)=2m\displaystyle f(1)+g(1)=2m.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea funcției f\displaystyle f în x=1\displaystyle x=1, înlocuind x=1\displaystyle x=1 în expresia f(x)=5x−2\displaystyle f(x)=5x-2.
    f(1)=5⋅1−2=3\displaystyle f(1)=5\cdot1-2=3
  2. Se calculează valoarea funcției g\displaystyle g în x=1\displaystyle x=1, înlocuind x=1\displaystyle x=1 în expresia g(x)=2x+7\displaystyle g(x)=2x+7.
    g(1)=2⋅1+7=9\displaystyle g(1)=2\cdot1+7=9
  3. Se reunesc cele două rezultate obținute, conform pasului de control din barem.
    f(1)=3\displaystyle f(1)=3, g(1)=9\displaystyle \ g(1)=9
  4. Se înlocuiesc valorile f(1)\displaystyle f(1) și g(1)\displaystyle g(1) în ecuația dată, obținându-se o ecuație în necunoscuta m\displaystyle m.
    3+9=2m\displaystyle 3+9=2m
  5. Se calculează suma din membrul stâng și se rezolvă ecuația pentru a afla valoarea lui m\displaystyle m.
    3+9=2m, de unde obținem m=6\displaystyle 3+9=2m\text{, de unde obținem }m=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2−x=22x−6\displaystyle 2^{-x}=2^{2x-6}.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că ambii membri ai ecuației sunt puteri ale aceleiași baze, 2\displaystyle 2, deci ecuația se poate scrie sub forma 2\displaystyle 2 la o putere egal cu 2\displaystyle 2 la altă putere.
    2−x=22x−6\displaystyle 2^{-x}=2^{2x-6}
  2. Deoarece bazele puterilor sunt egale (și baza 2\displaystyle 2 este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1), funcția exponențială este injectivă, deci exponenții trebuie să fie egali.
    −x=2x−6\displaystyle -x=2x-6
  3. Se trec toți termenii cu necunoscuta x\displaystyle x în membrul stâng și termenii liberi în membrul drept.
    −x−2x=−6\displaystyle -x-2x=-6
  4. Se reduc termenii asemenea din membrul stâng.
    −3x=−6\displaystyle -3x=-6
  5. Se împarte ecuația prin coeficientul lui x\displaystyle x, adică prin −3\displaystyle -3, pentru a obține valoarea lui x\displaystyle x.
    x=−6−3\displaystyle x=\dfrac{-6}{-3}
  6. Se simplifică fracția obținută, rezultând soluția finală a ecuației.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A={0,1,2,3,…,19}\displaystyle A=\{0,1,2,3,\ldots,19\}, numărul 3n+2\displaystyle 3n+2 să aparțină mulțimii A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică mulțimea A\displaystyle A și se numără elementele ei, adică numărul cazurilor posibile pentru alegerea lui n\displaystyle n.
    A={0,1,2,…,19}, deci 20 de cazuri posibile\displaystyle A=\{0,1,2,\ldots,19\}\text{, deci }20\text{ de cazuri posibile}
  2. Se pune condiția ca 3n+2\displaystyle 3n+2 să aparțină mulțimii A\displaystyle A, adică 3n+2\displaystyle 3n+2 să fie cuprins între 0\displaystyle 0 și 19\displaystyle 19.
    0≤3n+2≤19\displaystyle 0\leq 3n+2\leq 19
  3. Se rezolvă inecuația dublă pentru a determina valorile posibile ale lui n\displaystyle n.
    −2≤3n≤17⇒−23≤n≤173\displaystyle -2\leq 3n\leq 17\Rightarrow -\frac{2}{3}\leq n\leq \frac{17}{3}
  4. Deoarece n\displaystyle n este număr natural (element al mulțimii A\displaystyle A), se rețin doar valorile întregi care satisfac inegalitatea și aparțin lui A\displaystyle A.
    n∈{0,1,2,3,4,5}\displaystyle n\in\{0,1,2,3,4,5\}
  5. Se numără cazurile favorabile, adică valorile lui n\displaystyle n pentru care 3n+2\displaystyle 3n+2 aparține lui A\displaystyle A.
    6 de cazuri favorabile\displaystyle 6\text{ de cazuri favorabile}
  6. Se calculează probabilitatea ca raport între numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.
    p=620=310\displaystyle p=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,0)\displaystyle A(1,0), B(0,6)\displaystyle B(0,6), C(5,4)\displaystyle C(5,4) și D\displaystyle D, mijlocul segmentului AC\displaystyle AC. Determinați distanța dintre punctele B\displaystyle B și D\displaystyle D.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula de calcul a coordonatelor mijlocului unui segment, folosind coordonatele punctelor A\displaystyle A și C\displaystyle C.
    D(xA+xC2,yA+yC2)\displaystyle D\left(\dfrac{x_A+x_C}{2},\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)
  2. Se înlocuiesc coordonatele punctelor A(1,0)\displaystyle A(1,0) și C(5,4)\displaystyle C(5,4) în formula mijlocului.
    D(1+52,0+42)\displaystyle D\left(\dfrac{1+5}{2},\dfrac{0+4}{2}\right)
  3. Se efectuează calculele pentru a obține coordonatele punctului D\displaystyle D.
    D(3,2)\displaystyle D(3,2)
  4. Se scrie formula distanței dintre două puncte, aplicată pentru punctele B\displaystyle B și D\displaystyle D.
    BD=(xD−xB)2+(yD−yB)2\displaystyle BD=\sqrt{(x_D-x_B)^2+(y_D-y_B)^2}
  5. Se înlocuiesc coordonatele punctelor B(0,6)\displaystyle B(0,6) și D(3,2)\displaystyle D(3,2) în formula distanței.
    BD=(3−0)2+(2−6)2\displaystyle BD=\sqrt{(3-0)^2+(2-6)^2}
  6. Se calculează sub radical: pătratele diferențelor de coordonate.
    BD=9+16=25\displaystyle BD=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}
  7. Se extrage radicalul și se obține distanța finală dintre punctele B\displaystyle B și D\displaystyle D.
    BD=5\displaystyle BD=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=4\displaystyle AB=4 și AC=8\displaystyle AC=8. Arătați că sin⁡C=55\displaystyle \sin C=\frac{\sqrt{5}}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică triunghiul dreptunghic în A\displaystyle A, cu catetele AB=4\displaystyle AB=4 și AC=8\displaystyle AC=8, iar BC\displaystyle BC este ipotenuza.
    △ABC\displaystyle \triangle ABC, A^=90∘\displaystyle \ \widehat{A}=90^{\circ}, AB=4\displaystyle \ AB=4, AC=8\displaystyle \ AC=8
  2. Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC pentru a afla ipotenuza BC\displaystyle BC.
    BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}
  3. Se înlocuiesc valorile catetelor și se calculează suma pătratelor.
    BC2=42+82=16+64=80\displaystyle BC^{2}=4^{2}+8^{2}=16+64=80
  4. Se extrage rădăcina pătrată pentru a afla lungimea ipotenuzei BC\displaystyle BC.
    BC=80=16⋅5=45\displaystyle BC=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}
  5. Se scrie definiția sinusului unghiului C\displaystyle C în triunghiul dreptunghic, ca raport între cateta opusă (AB\displaystyle AB) și ipotenuză (BC\displaystyle BC).
    sin⁡C=ABBC\displaystyle \sin C=\frac{AB}{BC}
  6. Se înlocuiesc valorile AB\displaystyle AB și BC\displaystyle BC, apoi se simplifică și se raționalizează numitorul pentru a obține rezultatul final.
    sin⁡C=ABBC=445=15=55\displaystyle \sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+90−9x−9y\displaystyle x*y=xy+90-9x-9y.

Arătați că 0∗9=9\displaystyle 0*9=9.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile care trebuie înlocuite: x=0\displaystyle x=0 și y=9\displaystyle y=9.
    x∗y=xy+90−9x−9y\displaystyle x*y=xy+90-9x-9y, unde x=0\displaystyle \text{ unde } x=0, y=9\displaystyle \ y=9
  2. Se înlocuiesc valorile x=0\displaystyle x=0 și y=9\displaystyle y=9 în formula legii de compoziție, obținându-se expresia numerică corespunzătoare.
    0∗9=0⋅9+90−9⋅0−9⋅9=\displaystyle 0*9=0\cdot9+90-9\cdot0-9\cdot9=
  3. Se efectuează înmulțirile din expresia obținută: 0⋅9=0\displaystyle 0\cdot 9=0, 9⋅0=0\displaystyle 9\cdot 0=0 și 9⋅9=81\displaystyle 9\cdot 9=81.
    0∗9=0+90−0−81\displaystyle 0*9=0+90-0-81
  4. Se adună și se scad termenii pentru a obține rezultatul final al calculului.
    =90−81=9\displaystyle =90-81=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+90−9x−9y\displaystyle x*y=xy+90-9x-9y.

Arătați că x∗y=(x−9)(y−9)+9\displaystyle x*y=(x-9)(y-9)+9, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la legea de compoziție dată în enunț.
    x∗y=xy+90−9x−9y\displaystyle x*y=xy+90-9x-9y
  2. Scriem constanta 90\displaystyle 90 ca sumă 81+9\displaystyle 81+9, pentru a pregăti gruparea termenilor în vederea factorizării.
    x∗y=xy−9x−9y+81+9\displaystyle x*y=xy-9x-9y+81+9
  3. Grupăm termenii astfel încât să scoatem factor comun (y−9)\displaystyle (y-9) atât din termenii cu x\displaystyle x, cât și din cei cu −9\displaystyle -9.
    x∗y=x(y−9)−9(y−9)+9\displaystyle x*y=x(y-9)-9(y-9)+9
  4. Scoatem factorul comun (y−9)\displaystyle (y-9) și obținem forma factorizată finală a legii de compoziție, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    =x(y−9)−9(y−9)+9=(x−9)(y−9)+9, pentru orice numere \displaystyle =x(y-9)-9(y-9)+9=(x-9)(y-9)+9\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+90−9x−9y\displaystyle x*y=xy+90-9x-9y.

Arătați că e=10\displaystyle e=10 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție și se aduce la o formă factorizată, observând că x∗y=xy−9x−9y+90\displaystyle x*y = xy - 9x - 9y + 90 se poate rescrie ca (x−9)(y−9)+9\displaystyle (x-9)(y-9)+9, deoarece (x−9)(y−9)=xy−9x−9y+81\displaystyle (x-9)(y-9) = xy - 9x - 9y + 81, iar 81+9=90\displaystyle 81+9=90.
    x∗y=(x−9)(y−9)+9\displaystyle x*y=(x-9)(y-9)+9
  2. Pentru a arăta că e=10\displaystyle e=10 este element neutru, se verifică întâi condiția x∗10=x\displaystyle x*10=x, folosind forma factorizată a legii de compoziție obținută anterior.
    x∗10=(x−9)(10−9)+9=x−9+9=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*10=(x-9)(10-9)+9=x-9+9=x\text{, pentru orice număr real }x
  3. Se verifică și cealaltă condiție necesară pentru elementul neutru, anume 10∗x=x\displaystyle 10*x=x, folosind din nou forma factorizată a legii de compoziție.
    10∗x=(10−9)(x−9)+9=x−9+9=x, pentru orice numa˘r real x, deci e=10 este elementul neutru al \displaystyle 10*x=(10-9)(x-9)+9=x-9+9=x\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }e=10\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție „∗”\displaystyle \text{legii de compoziție „}*\text{”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+90−9x−9y\displaystyle x*y=xy+90-9x-9y.

Determinați simetricul numărului 263\displaystyle \frac{26}{3} în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Se rescrie legea de compoziție într-o formă convenabilă, punând în evidență factorul comun (x−9)(y−9)\displaystyle (x-9)(y-9).
    x∗y=xy+90−9x−9y=(x−9)(y−9)+9\displaystyle x*y=xy+90-9x-9y=(x-9)(y-9)+9
  2. Se determină elementul neutru e\displaystyle e al legii, punând condiția x∗e=x\displaystyle x*e=x pentru orice x\displaystyle x real.
    (x−9)(e−9)+9=x⇒(x−9)(e−9)=x−9⇒e−9=1⇒e=10\displaystyle (x-9)(e-9)+9=x\Rightarrow (x-9)(e-9)=x-9\Rightarrow e-9=1\Rightarrow e=10
  3. Deoarece legea este comutativă, condiția 263∗x=x∗263=10\displaystyle \dfrac{26}{3}*x=x*\dfrac{26}{3}=10 se reduce la o singură ecuație, folosind forma (a−9)(b−9)+9\displaystyle (a-9)(b-9)+9 cu a=263\displaystyle a=\dfrac{26}{3}, b=x\displaystyle b=x.
    (263−9)(x−9)+9=10\displaystyle \left(\frac{26}{3}-9\right)(x-9)+9=10
  4. Se calculează valoarea parantezei 263−9\displaystyle \dfrac{26}{3}-9, aducând la același numitor.
    263−9=26−273=−13\displaystyle \frac{26}{3}-9=\frac{26-27}{3}=-\frac{1}{3}
  5. Se înlocuiește valoarea obținută în ecuație, rezultând o ecuație simplă în x\displaystyle x.
    −13(x−9)+9=10\displaystyle -\frac{1}{3}(x-9)+9=10
  6. Se izolează termenul cu x\displaystyle x, scăzând 9\displaystyle 9 din ambii membri.
    −13(x−9)=1\displaystyle -\frac{1}{3}(x-9)=1
  7. Se înmulțește ecuația cu −3\displaystyle -3 pentru a elimina fracția, apoi se rezolvă pentru x\displaystyle x.
    x−9=−3⇒x=6\displaystyle x-9=-3\Rightarrow x=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+90−9x−9y\displaystyle x*y=xy+90-9x-9y.

Calculați 30∗31∗32∗33∗34\displaystyle 3^{0}*3^{1}*3^{2}*3^{3}*3^{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Se rescrie legea de compoziție pentru a observa structura ei: x∗y=xy−9x−9y+81+9=(x−9)(y−9)+9\displaystyle x*y = xy - 9x - 9y + 81 + 9 = (x-9)(y-9) + 9. Aceasta sugerează că numărul 9\displaystyle 9 are un rol special.
    x∗y=(x−9)(y−9)+9\displaystyle x*y=(x-9)(y-9)+9
  2. Se calculează x∗9\displaystyle x*9, folosind definiția legii: se înlocuiește y=9\displaystyle y=9 în formula x∗y=xy+90−9x−9y\displaystyle x*y=xy+90-9x-9y, obținând x∗9=9x+90−9x−81=9\displaystyle x*9 = 9x + 90 - 9x - 81 = 9. Analog, se calculează 9∗y=9y+90−81−9y=9\displaystyle 9*y = 9y+90-81-9y = 9. Deci compunerea oricărui număr real cu 9\displaystyle 9 (în orice ordine) dă rezultatul 9\displaystyle 9.
    x∗9=9 și 9∗y=9, pentru orice numere \displaystyle x*9=9\text{ și }9*y=9\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
  3. Se scrie expresia de calculat, observând că 30=1\displaystyle 3^{0}=1, 31=3\displaystyle 3^{1}=3, 32=9\displaystyle 3^{2}=9, 33=27\displaystyle 3^{3}=27, 34=81\displaystyle 3^{4}=81. Se înlocuiește 32\displaystyle 3^{2} cu valoarea sa 9\displaystyle 9, pentru a putea folosi proprietatea găsită anterior.
    30∗31∗32∗33∗34=30∗31∗9∗33∗34\displaystyle 3^{0}*3^{1}*3^{2}*3^{3}*3^{4}=3^{0}*3^{1}*9*3^{3}*3^{4}
  4. Deoarece legea ∗\displaystyle * este asociativă, putem grupa primii doi factori și, folosind faptul că orice număr compus cu 9\displaystyle 9 dă 9\displaystyle 9 (x∗9=9\displaystyle x*9=9, cu x=30∗31\displaystyle x=3^{0}*3^{1}), simplificăm expresia. Apoi grupăm ultimii doi factori și folosim din nou proprietatea 9∗y=9\displaystyle 9*y=9, unde y=33∗34\displaystyle y=3^{3}*3^{4}, obținând astfel rezultatul final.
    30∗31∗32∗33∗34=(30∗31)∗9∗33∗34=9∗(33∗34)=9\displaystyle 3^{0}*3^{1}*3^{2}*3^{3}*3^{4}=(3^{0}*3^{1})*9*3^{3}*3^{4}=9*(3^{3}*3^{4})=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+90−9x−9y\displaystyle x*y=xy+90-9x-9y.

Determinați numerele naturale de forma ab‾\displaystyle \overline{ab} pentru care a∗b=12\displaystyle a*b=12.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit legea de compoziție pentru perechea (a,b)\displaystyle (a,b) și se pune condiția a∗b=12\displaystyle a∗b=12.
    a∗b=ab+90−9a−9b=12\displaystyle a*b=ab+90-9a-9b=12
  2. Se rescrie expresia ab−9a−9b\displaystyle ab-9a-9b astfel încât să apară factorul comun (a−9)(b−9)\displaystyle (a-9)(b-9), observând că (a−9)(b−9)=ab−9a−9b+81\displaystyle (a-9)(b-9)=ab-9a-9b+81.
    ab−9a−9b=(a−9)(b−9)−81\displaystyle ab-9a-9b=(a-9)(b-9)-81
  3. Se înlocuiește în relația a∗b=12\displaystyle a∗b=12, obținând forma factorizată a ecuației.
    (a−9)(b−9)−81+90=12⇔(a−9)(b−9)+9=12⇔(a−9)(b−9)=3\displaystyle (a-9)(b-9)-81+90=12\Leftrightarrow(a-9)(b-9)+9=12\Leftrightarrow(a-9)(b-9)=3
  4. Se caută perechile de numere întregi (a−9)\displaystyle (a-9) și (b−9)\displaystyle (b-9) al căror produs este 3\displaystyle 3, știind că a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt cifre (0−9)\displaystyle (0-9), deci a−9\displaystyle a-9 și b−9\displaystyle b-9 aparțin intervalului [−9,0]\displaystyle [-9,0].
    (a−9,b−9)∈{(−1,−3),(−3,−1)}\displaystyle (a-9,b-9)\in\{(-1,-3),(-3,-1)\}
  5. Se rezolvă fiecare caz pentru a obține valorile cifrelor a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    a−9=−1\displaystyle a-9=-1,b−9=−3⇒a=8\displaystyle b-9=-3\Rightarrow a=8,b=6;a−9=−3\displaystyle b=6;\quad a-9=-3,b−9=−1⇒a=6\displaystyle b-9=-1\Rightarrow a=6,b=8\displaystyle b=8
  6. Se verifică condiția a≠0\displaystyle a\neq 0 (necesară pentru ca ab‾\displaystyle \overline{ab} să fie un număr de două cifre) și se scriu numerele obținute din perechile de cifre găsite.
    a≠0⇒obținem numerele 68 și 86\displaystyle a\ne0\Rightarrow\text{obținem numerele }68\text{ și }86
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=(a1−32−a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a&1\\-3&2-a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(M(1))=4\displaystyle \det(M(1))=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=1\displaystyle a=1 în matricea M(a)\displaystyle M(a) pentru a obține matricea M(1)\displaystyle M(1).
    M(1)=(11−32−1)=(11−31)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}1&1\\-3&2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\-3&1\end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul matricei M(1)\displaystyle M(1) folosind formula pentru determinantul unei matrice 2×2\displaystyle 2\times 2, ad−bc\displaystyle ad-bc, unde a=1\displaystyle a=1, b=1\displaystyle b=1, c=−3\displaystyle c=-3, d=1\displaystyle d=1.
    det⁡(M(1))=∣11−31∣=1⋅1−1⋅(−3)=\displaystyle \det(M(1))=\begin{vmatrix}1&1\\-3&1\end{vmatrix}=1\cdot1-1\cdot(-3)=
  3. Se efectuează calculele: produsul 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, produsul 1⋅(−3)=−3\displaystyle 1\cdot (-3)=-3, iar scăderea 1−(−3)\displaystyle 1-(-3) devine 1+3\displaystyle 1+3.
    =1+3=4\displaystyle =1+3=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=(a1−32−a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a&1\\-3&2-a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că 3M(4)−M(2)=2M(5)\displaystyle 3M(4)-M(2)=2M(5).
Vezi rezolvarea
  1. Se determină matricea M(4)\displaystyle M(4) înlocuind a=4\displaystyle a=4 în expresia generală a matricei M(a)\displaystyle M(a).
    M(4)=(41−32−4)=(41−3−2)\displaystyle M(4)=\begin{pmatrix}4&1\\-3&2-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&1\\-3&-2\end{pmatrix}
  2. Se determină matricea M(2)\displaystyle M(2) înlocuind a=2\displaystyle a=2 în expresia generală a matricei M(a)\displaystyle M(a).
    M(2)=(21−32−2)=(21−30)\displaystyle M(2)=\begin{pmatrix}2&1\\-3&2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\-3&0\end{pmatrix}
  3. Se înmulțește matricea M(4)\displaystyle M(4) cu scalarul 3\displaystyle 3, element cu element.
    3M(4)=3(41−3−2)=(123−9−6)\displaystyle 3M(4)=3\begin{pmatrix}4&1\\-3&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12&3\\-9&-6\end{pmatrix}
  4. Se scade matricea M(2)\displaystyle M(2) din 3M(4)\displaystyle 3M(4), element cu element, obținându-se matricea cerută în enunț.
    3M(4)−M(2)=(123−9−6)−(21−30)=(102−6−6)\displaystyle 3M(4)-M(2)=\begin{pmatrix}12&3\\-9&-6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&1\\-3&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&2\\-6&-6\end{pmatrix}
  5. Se scoate factor comun 2\displaystyle 2 din matricea obținută, pentru a o exprima ca produs dintre 2\displaystyle 2 și o matrice de forma M(a)\displaystyle M(a).
    (102−6−6)=2(51−3−3)\displaystyle \begin{pmatrix}10&2\\-6&-6\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}5&1\\-3&-3\end{pmatrix}
  6. Se observă că matricea din interiorul parantezei este M(5)\displaystyle M(5), deoarece M(5)=[[5,1],[−3,2−5]]=[[5,1],[−3,−3]]\displaystyle M(5)=[[5,1],[-3,2-5]]=[[5,1],[-3,-3]], deci rezultatul final este 2M(5)\displaystyle 2M(5).
    2(51−3−3)=2M(5)\displaystyle 2\begin{pmatrix}5&1\\-3&-3\end{pmatrix}=2M(5)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=(a1−32−a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a&1\\-3&2-a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(M(a))=0\displaystyle \det(M(a))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit matricea M(a)\displaystyle M(a) cu elementele date, pentru a putea calcula determinantul.
    M(a)=(a1−32−a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a&1\\-3&2-a\end{pmatrix}
  2. Se aplică formula determinantului unei matrice de ordin 2\displaystyle 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(M(a))=a⋅(2−a)−1⋅(−3)\displaystyle \det(M(a))=a\cdot(2-a)-1\cdot(-3)
  3. Se efectuează înmulțirile și se aduce expresia la forma unui polinom de gradul al doilea în a\displaystyle a.
    det⁡(M(a))=2a−a2+3\displaystyle \det(M(a))=2a-a^{2}+3
  4. Se rescrie expresia determinantului în forma standard, valabilă pentru orice număr real a\displaystyle a.
    det⁡(M(a))=∣a1−32−a∣=−a2+2a+3, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(M(a))=\begin{vmatrix}a&1\\-3&2-a\end{vmatrix}=-a^{2}+2a+3\text{, pentru orice număr real }a
  5. Se pune condiția ca determinantul să fie egal cu zero, obținându-se o ecuație de gradul al doilea în a\displaystyle a.
    −a2+2a+3=0\displaystyle -a^{2}+2a+3=0
  6. Se înmulțește ecuația cu −1\displaystyle -1 pentru a obține coeficientul lui a2\displaystyle a^2 pozitiv, apoi se calculează discriminantul.
    a2−2a−3=0, Δ=(−2)2−4⋅1⋅(−3)=4+12=16\displaystyle a^{2}-2a-3=0\text{, }\Delta=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16
  7. Se calculează rădăcinile ecuației folosind formula de rezolvare a ecuației de gradul al doilea.
    a1,2=2±162=2±42\displaystyle a_{1,2}=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{2\pm4}{2}
  8. Se obțin soluțiile finale ale ecuației, care sunt și soluțiile problemei date.
    −a2+2a+3=0, de unde obținem a=−1 sau a=3\displaystyle -a^{2}+2a+3=0\text{, de unde obținem }a=-1\text{ sau }a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=(a1−32−a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a&1\\-3&2-a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care M(3)⋅M(3)=xM(3)\displaystyle M(3)\cdot M(3)=xM(3).
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=3\displaystyle a=3 în expresia matricei M(a)\displaystyle M(a) pentru a obține matricea M(3)\displaystyle M(3).
    M(3)=(31−32−3)=(31−3−1)\displaystyle M(3)=\begin{pmatrix}3&1\\-3&2-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\-3&-1\end{pmatrix}
  2. Se calculează produsul M(3)⋅M(3)\displaystyle M(3)\cdot M(3) folosind regula de înmulțire a matricelor, element cu element.
    M(3)⋅M(3)=(3⋅3+1⋅(−3)3⋅1+1⋅(−1)−3⋅3+(−1)⋅(−3)−3⋅1+(−1)⋅(−1))\displaystyle M(3)\cdot M(3)=\begin{pmatrix}3\cdot3+1\cdot(-3)&3\cdot1+1\cdot(-1)\\-3\cdot3+(-1)\cdot(-3)&-3\cdot1+(-1)\cdot(-1)\end{pmatrix}
  3. Se efectuează calculele din fiecare poziție a matricei produs.
    M(3)⋅M(3)=(62−6−2)\displaystyle M(3)\cdot M(3)=\begin{pmatrix}6&2\\-6&-2\end{pmatrix}
  4. Se observă că matricea obținută este de fapt matricea M(3)\displaystyle M(3) înmulțită cu scalarul 2\displaystyle 2, deci M(3)⋅M(3)=2M(3)\displaystyle M(3)\cdot M(3)=2M(3).
    M(3)⋅M(3)=(62−6−2)=2M(3)\displaystyle M(3)\cdot M(3)=\begin{pmatrix}6&2\\-6&-2\end{pmatrix}=2M(3)
  5. Se scrie relația din enunț M(3)⋅M(3)=xM(3)\displaystyle M(3)\cdot M(3)=xM(3) folosind rezultatul obținut anterior.
    2M(3)=xM(3)\displaystyle 2M(3)=xM(3)
  6. Prin identificarea coeficienților (sau simplificare cu M(3)\displaystyle M(3), care este nenulă), se obține valoarea lui x\displaystyle x.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=(a1−32−a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a&1\\-3&2-a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care M(1)⋅X=2M(−1)\displaystyle M(1)\cdot X=2M(-1).
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la ecuația matriceală dată, M(1)⋅X=2⋅M(−1)\displaystyle M(1)\cdot X = 2\cdot M(-1), și se scriu explicit matricele M(1)\displaystyle M(1) și M(−1)\displaystyle M(-1) înlocuind a=1\displaystyle a=1, respectiv a=−1\displaystyle a=-1 în M(a)=[a1−32−a]\displaystyle M(a)=\begin{bmatrix}a & 1 \\ -3 & 2-a\end{bmatrix}.
    M(1)=(11−31), M(−1)=(−11−33)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}1&1\\-3&1\end{pmatrix}\text{, }M(-1)=\begin{pmatrix}-1&1\\-3&3\end{pmatrix}
  2. Se calculează determinantul matricei M(1)\displaystyle M(1), necesar pentru a verifica inversabilitatea și pentru a determina inversa.
    det⁡(M(1))=1⋅1−1⋅(−3)=1+3=4\displaystyle \det(M(1))=1\cdot1-1\cdot(-3)=1+3=4
  3. Se determină matricea adjunctă a lui M(1)\displaystyle M(1) și, folosind formula M−1=1det⁡M⋅M∗\displaystyle M^{-1}=\dfrac{1}{\det M}\cdot M^{*}, se calculează inversa matricei M(1)\displaystyle M(1).
    (M(1))−1=14(1−131)=(14−143414)\displaystyle (M(1))^{-1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}1&-1\\3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{pmatrix}
  4. Se înmulțește ecuația M(1)⋅X=2⋅M(−1)\displaystyle M(1)\cdot X=2\cdot M(-1) la stânga cu (M(1))−1\displaystyle (M(1))^{-1}, obținându-se X=2⋅(M(1))−1⋅M(−1)\displaystyle X=2\cdot (M(1))^{-1}\cdot M(-1).
    X=2⋅(M(1))−1⋅M(−1)\displaystyle X=2\cdot(M(1))^{-1}\cdot M(-1)
  5. Se efectuează înmulțirea matricelor (M(1))−1\displaystyle (M(1))^{-1} și M(−1)\displaystyle M(-1), element cu element.
    (M(1))−1⋅M(−1)=(14−143414)⋅(−11−33)=(12−12−3232)\displaystyle (M(1))^{-1}\cdot M(-1)=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&1\\-3&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}
  6. Se înmulțește rezultatul obținut cu 2\displaystyle 2 pentru a determina matricea finală X\displaystyle X, conform relației X=2(M(1))−1⋅M(−1)\displaystyle X=2(M(1))^{-1}\cdot M(-1).
    X=2(12−12−3232)=(1−1−33)\displaystyle X=2\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&3\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=(a1−32−a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a&1\\-3&2-a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele întregi m\displaystyle m pentru care det⁡(M(m)+mI2)≤det⁡(M(−2m))\displaystyle \det(M(m)+mI_2)\le\det(M(-2m)).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea M(m)+mI2\displaystyle M(m)+mI_2: adunăm m\displaystyle m pe diagonala principală a matricei M(m)=(m1−32−m)\displaystyle M(m)=\begin{pmatrix}m&1\\-3&2-m\end{pmatrix}.
    M(m)+mI2=(2m1−32)\displaystyle M(m)+mI_2=\begin{pmatrix}2m&1\\-3&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: det⁡(M(m)+mI2)=2m⋅2−1⋅(−3)\displaystyle \det(M(m)+mI_2)=2m\cdot 2-1\cdot(-3).
    det⁡(M(m)+mI2)=4m+3\displaystyle \det(M(m)+mI_2)=4m+3
  3. Scriem matricea M(−2m)\displaystyle M(-2m), înlocuind a=−2m\displaystyle a=-2m: 2−a=2+2m\displaystyle 2-a=2+2m.
    M(−2m)=(−2m1−32+2m)\displaystyle M(-2m)=\begin{pmatrix}-2m&1\\-3&2+2m\end{pmatrix}
  4. Calculăm det⁡(M(−2m))=−2m(2+2m)−1⋅(−3)=−4m−4m2+3\displaystyle \det(M(-2m))=-2m(2+2m)-1\cdot(-3)=-4m-4m^{2}+3. Astfel, pentru orice m\displaystyle m întreg avem ambii determinanți.
    det⁡(M(m)+mI2)=4m+3\displaystyle \det(M(m)+mI_2)=4m+3, det⁡(M(−2m))=−4m2−4m+3\displaystyle \ \det(M(-2m))=-4m^{2}-4m+3
  5. Inecuația det⁡(M(m)+mI2)≤det⁡(M(−2m))\displaystyle \det(M(m)+mI_2)\le\det(M(-2m)) devine 4m+3≤−4m2−4m+3\displaystyle 4m+3\le-4m^{2}-4m+3.
    4m+3≤−4m2−4m+3\displaystyle 4m+3\le-4m^{2}-4m+3
  6. Mutăm toți termenii în stânga: 4m2+8m≤0\displaystyle 4m^{2}+8m\le 0. Împărțim la 4>0\displaystyle 4>0.
    m2+2m≤0\displaystyle m^{2}+2m\le0
  7. Scriem m(m+2)≤0\displaystyle m(m+2)\le 0. Rădăcinile sunt −2\displaystyle -2 și 0\displaystyle 0, iar parabola are ramurile în sus, deci m∈[−2,0]\displaystyle m\in[-2,0]. Cum m\displaystyle m este întreg, rămân valorile din acest interval.
    m=−2\displaystyle m=-2, m=−1 și m=0\displaystyle \ m=-1\text{ și }m=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.