Bac matematică M4 pedagogic 2014, sesiunea a II-a varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Scrieți în ordine crescătoare numerele

\displaystyle 2014^0

,

\displaystyle \sqrt{9}

și

\displaystyle 2

.

Vezi rezolvarea

Orice număr nenul ridicat la puterea $\displaystyle 0$ este egal cu $\displaystyle 1$ , deci $\displaystyle 2014^{0}=1$ .
$\displaystyle 2014^{0}=1$
Calculăm radicalul: $\displaystyle 3^{2}=9$ , deci $\displaystyle \sqrt{9}=3$ . Cele trei numere sunt acum $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 3$ și $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 2014^{0}=1$ , $\displaystyle \ \sqrt{9}=3$
Comparăm valorile: $\displaystyle 1<2<3$ .
$\displaystyle 1<2<3$
Înlocuim valorile cu numerele inițiale: $\displaystyle 1$ corespunde lui $\displaystyle 2014^{0}$ , iar $\displaystyle 3$ corespunde lui $\displaystyle \sqrt{9}$ . Ordinea crescătoare este $\displaystyle 2014^{0}<2<\sqrt{9}$ .
$\displaystyle 2014^{0}$ , $\displaystyle \ 2$ , $\displaystyle \ \sqrt{9}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați coordonatele punctului de intersecție dintre graficul funcției

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x-4

și axa

\displaystyle Ox

.

Vezi rezolvarea

Un punct de pe axa $\displaystyle Ox$ are ordonata egală cu $\displaystyle 0$ . Deci punctul de intersecție al graficului cu axa $\displaystyle Ox$ are ordonata $\displaystyle 0$ , adică $\displaystyle f(x)=0$ .
$\displaystyle f(x)=0$
Înlocuim expresia lui $\displaystyle f(x)$ și obținem ecuația $\displaystyle 2x-4=0$ .
$\displaystyle 2x-4=0$
Adunăm $\displaystyle 4$ în ambii membri: $\displaystyle 2x=4$ . Împărțim la $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle x=2$
Abscisa punctului este $\displaystyle 2$ , iar ordonata este $\displaystyle 0$ . Punctul de intersecție are coordonatele $\displaystyle (2,0)$ .
$\displaystyle x=2\text{ și }y=0$ , $\displaystyle \ \text{ adică punctul }(2,0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 2^{2x+1}=2^{-1}

.

Vezi rezolvarea

Observăm că ambele puteri au aceeași bază, $\displaystyle 2$ , care este pozitivă și diferită de $\displaystyle 1$ . Funcția exponențială de bază $\displaystyle 2$ este injectivă, deci putem egala exponenții.
$\displaystyle 2^{2x+1}=2^{-1}\Rightarrow 2x+1=-1$
Rezolvăm ecuația de gradul I: trecem pe $\displaystyle 1$ în membrul drept cu semn schimbat.
$\displaystyle 2x=-1-1=-2$
Împărțim la $\displaystyle 2$ și obținem soluția ecuației.
$\displaystyle x=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele

\displaystyle 1, 3, 5, 7

și

\displaystyle 9

.

Vezi rezolvarea

Un număr de trei cifre distincte are cifra sutelor, cifra zecilor și cifra unităților. Pentru cifra sutelor putem alege oricare dintre cele $\displaystyle 5$ cifre date: $\displaystyle 1, 3, 5, 7, 9$ , deci avem $\displaystyle 5$ posibilități.
$\displaystyle 5$
Cifra zecilor trebuie să fie diferită de cifra sutelor, deci rămân $\displaystyle 5-1=4$ posibilități. Cifra unităților trebuie să fie diferită de primele două cifre alese, deci rămân $\displaystyle 5-2=3$ posibilități.
$\displaystyle 4$ , $\displaystyle \ 3$
Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de posibilități pentru fiecare cifră, adică $\displaystyle 5\cdot 4\cdot 3=60$ . Se pot forma $\displaystyle 60$ de numere.
$\displaystyle 5\cdot 4\cdot 3=60$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(2,2)

,

\displaystyle B(5,2)

și

\displaystyle C(2,5)

. Arătați că triunghiul

\displaystyle ABC

este isoscel.

Vezi rezolvarea

Amintim formula distanței dintre două puncte: $\displaystyle MN=\sqrt{(x_N-x_M)^{2}+(y_N-y_M)^{2}}$ . Pentru a arăta că triunghiul este isoscel, calculăm lungimile laturilor și căutăm două egale.
$\displaystyle MN=\sqrt{(x_N-x_M)^{2}+(y_N-y_M)^{2}}$
Calculăm lungimea laturii $\displaystyle AB$ , cu $\displaystyle A(2,2)$ și $\displaystyle B(5,2)$ . Diferența absciselor este $\displaystyle 5-2=3$ , iar diferența ordonatelor este $\displaystyle 2-2=0$ , deci $\displaystyle AB=\sqrt{3^{2}+0^{2}}=\sqrt{9}=3$ .
$\displaystyle AB=\sqrt{(5-2)^{2}+(2-2)^{2}}=\sqrt{9}=3$
Calculăm lungimea laturii $\displaystyle AC$ , cu $\displaystyle A(2,2)$ și $\displaystyle C(2,5)$ . Diferența absciselor este $\displaystyle 2-2=0$ , iar diferența ordonatelor este $\displaystyle 5-2=3$ , deci $\displaystyle AC=\sqrt{0^{2}+3^{2}}=\sqrt{9}=3$ .
$\displaystyle AC=\sqrt{(2-2)^{2}+(5-2)^{2}}=\sqrt{9}=3$
Deoarece $\displaystyle AB=3$ și $\displaystyle AC=3$ , triunghiul $\displaystyle ABC$ are două laturi congruente, deci este isoscel, cu vârful în $\displaystyle A$ .
$\displaystyle AC=3\Rightarrow AB=AC\text{, deci }\Delta ABC\text{ este isoscel}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați aria triunghiului

\displaystyle ABC

dreptunghic în

\displaystyle A

știind că

\displaystyle AB=5

și

\displaystyle BC=13

.

Vezi rezolvarea

Triunghiul este dreptunghic în $\displaystyle A$ , deci ipotenuza este $\displaystyle BC$ , iar $\displaystyle AB$ și $\displaystyle AC$ sunt catetele. Scriem teorema lui Pitagora: $\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$ .
$\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$
Înlocuim $\displaystyle AB=5$ și $\displaystyle BC=13$ și izolăm $\displaystyle AC^{2}$ : $\displaystyle 25+AC^{2}=169$ , deci $\displaystyle AC^{2}=169-25=144$ .
$\displaystyle AC^{2}=144$
Cum $\displaystyle AC$ este o lungime, deci pozitivă, $\displaystyle AC=\sqrt{144}=12$ .
$\displaystyle AC=12$
Într-un triunghi dreptunghic, aria este semiprodusul catetelor. Catetele sunt $\displaystyle AB=5$ și $\displaystyle AC=12$ , deci $\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{5\cdot 12}{2}=\dfrac{60}{2}=30$ .
$\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{5\cdot 12}{2}=30$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy-x-y+5

.

Calculați

\displaystyle 0*1

.

Vezi rezolvarea

Legea de compoziție este $\displaystyle x*y=xy-x-y+5$ . Pentru a calcula $\displaystyle 0*1$ , punem $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle y=1$ în formulă.
$\displaystyle 0*1=0\cdot 1-0-1+5$
Calculăm produsul $\displaystyle 0\cdot 1=0$ , apoi grupăm termenii: $\displaystyle 0-0-1+5$ .
$\displaystyle 0-0-1+5=-1+5$
Efectuăm adunarea: $\displaystyle -1+5=4$ . Deci $\displaystyle 0*1=4$ .
$\displaystyle 0*1=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy-x-y+5

.

Arătați că legea de compoziție „

\displaystyle *

” este comutativă.

Vezi rezolvarea

Legea este comutativă dacă $\displaystyle x*y=y*x$ pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ . Scriem legea dată: $\displaystyle x*y=xy-x-y+5$ .
$\displaystyle x*y=xy-x-y+5$
Calculăm $\displaystyle y*x$ , înlocuind în definiție $\displaystyle x$ cu $\displaystyle y$ și $\displaystyle y$ cu $\displaystyle x$ : $\displaystyle y*x=yx-y-x+5$ .
$\displaystyle y*x=yx-y-x+5$
Folosim comutativitatea înmulțirii și a adunării numerelor reale: $\displaystyle yx=xy$ și $\displaystyle -y-x=-x-y$ . Atunci $\displaystyle y*x=xy-x-y+5=x*y$ pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ , deci legea „ $\displaystyle *$ ” este comutativă.
$\displaystyle y*x=yx-y-x+5=x*y\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy-x-y+5

.

Arătați că

\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+4

pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Pornim de la definiția legii de compoziție: $\displaystyle x*y=xy-x-y+5$ .
$\displaystyle x*y=xy-x-y+5$
Scriem $\displaystyle 5$ ca $\displaystyle 1+4$ , ca să apară termenul $\displaystyle 1$ necesar pentru produsul $\displaystyle (x-1)(y-1)$ .
$\displaystyle x*y=xy-x-y+1+4$
Dăm factor comun $\displaystyle x$ pentru primii doi termeni: $\displaystyle xy-x=x(y-1)$ . Apoi grupăm $\displaystyle -y+1=-(y-1)$ .
$\displaystyle x*y=x(y-1)-(y-1)+4$
Dăm factor comun $\displaystyle (y-1)$ și obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ .
$\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+4\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy-x-y+5

.

Verificați dacă

\displaystyle x*1=4

pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Scriem legea de compoziție sub o formă convenabilă. Desfacem produsul $\displaystyle (x-1)(y-1)=xy-x-y+1$ , deci $\displaystyle xy-x-y+5=(x-1)(y-1)+4$ .
$\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+4$
Înlocuim $\displaystyle y$ cu $\displaystyle 1$ în această formă.
$\displaystyle x*1=(x-1)(1-1)+4$
Calculăm paranteza $\displaystyle 1-1=0$ , deci produsul cu $\displaystyle x-1$ este $\displaystyle 0$ , iar rămâne doar $\displaystyle 4$ . Egalitatea este adevărată pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x*1=0+4=4\text{ pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy-x-y+5

.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

știind că

\displaystyle x*x=8

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle x*x$ folosind definiția legii, cu $\displaystyle y=x$ : $\displaystyle x*x=x\cdot x-x-x+5$ .
$\displaystyle x*x=x^{2}-2x+5$
Observăm că $\displaystyle x^{2}-2x+5=(x-1)^{2}+4$ , deoarece $\displaystyle (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1$ . Egalăm cu $\displaystyle 8$ și obținem ecuația din barem.
$\displaystyle (x-1)^{2}+4=8$
Scădem $\displaystyle 4$ din ambii membri, deci $\displaystyle (x-1)^{2}=4$ .
$\displaystyle (x-1)^{2}=4$
Din $\displaystyle (x-1)^{2}=4$ rezultă $\displaystyle x-1=2$ sau $\displaystyle x-1=-2$ , adică $\displaystyle x=3$ sau $\displaystyle x=-1$ . Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
$\displaystyle x_1=-1\text{ și }x_2=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy-x-y+5

.

Determinați numărul perechilor de numere întregi

\displaystyle (m,n)

știind că

\displaystyle m*n=5

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim legea de compoziție în egalitatea $\displaystyle m*n=5$ : obținem $\displaystyle mn-m-n+5=5$ , deci $\displaystyle mn-m-n=0$ .
$\displaystyle mn-m-n=0$
Adunăm $\displaystyle 1$ în ambii membri ca să putem factoriza: $\displaystyle mn-m-n+1=1$ . Membrul stâng se scrie ca produs: $\displaystyle (m-1)(n-1)$ .
$\displaystyle m*n=5\Leftrightarrow (m-1)(n-1)=1$
Cum $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ sunt întregi, $\displaystyle m-1$ și $\displaystyle n-1$ sunt întregi cu produsul $\displaystyle 1$ . Singurii divizori întregi ai lui $\displaystyle 1$ sunt $\displaystyle 1$ și $\displaystyle -1$ , deci ambii factori sunt egali cu $\displaystyle 1$ sau ambii sunt egali cu $\displaystyle -1$ .
$\displaystyle m-1=n-1=1\text{ sau }m-1=n-1=-1$
Din $\displaystyle m-1=n-1=1$ obținem $\displaystyle m=n=2$ , iar din $\displaystyle m-1=n-1=-1$ obținem $\displaystyle m=n=0$ . Avem deci perechile $\displaystyle (2,2)$ și $\displaystyle (0,0)$ , adică două perechi.
$\displaystyle m=n=0\text{ sau }m=n=2\text{, deci sunt două perechi}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Calculați

\displaystyle \det A

.

Vezi rezolvarea

Scriem determinantul matricei $\displaystyle A$ , adică determinantul de ordin 2 format din elementele ei: $\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&1\\2&0\end{vmatrix}$ .
$\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&1\\2&0\end{vmatrix}$
Aplicăm formula $\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c$ : produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem $\displaystyle \det A=1\cdot 0-1\cdot 2$ .
$\displaystyle \det A=1\cdot 0-1\cdot 2$
Efectuăm calculele: $\displaystyle 1\cdot 0=0$ și $\displaystyle 1\cdot 2=2$ , deci $\displaystyle \det A=0-2=-2$ .
$\displaystyle \det A=0-2=-2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Arătați că

\displaystyle A\cdot A+I_2=B

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle A\cdot A$ , înmulțind liniile lui $\displaystyle A$ cu coloanele lui $\displaystyle A$ . Elementul de pe poziția (1,1) este $\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 2=3$ .
$\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 2=3$
Celelalte elemente sunt: poziția (1,2): $\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 0=1$ ; poziția (2,1): $\displaystyle 2\cdot 1+0\cdot 2=2$ ; poziția (2,2): $\displaystyle 2\cdot 1+0\cdot 0=2$ . Deci $\displaystyle A\cdot A$ este matricea de mai jos.
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}$
Adunăm $\displaystyle I_2$ la $\displaystyle A\cdot A$ , element cu element: $\displaystyle 3+1=4$ , $\displaystyle 1+0=1$ , $\displaystyle 2+0=2$ , $\displaystyle 2+1=3$ . Rezultatul este exact $\displaystyle B$ .
$\displaystyle A\cdot A+I_2=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}=B$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Verificați dacă

\displaystyle A\cdot B=B\cdot A

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle A\cdot B$ înmulțind liniile lui $\displaystyle A$ cu coloanele lui $\displaystyle B$ . Elementul de pe linia $\displaystyle i$ și coloana $\displaystyle j$ este suma produselor dintre elementele liniei $\displaystyle i$ din prima matrice și ale coloanei $\displaystyle j$ din a doua.
$\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1\cdot 4+1\cdot 2&1\cdot 1+1\cdot 3\\2\cdot 4+0\cdot 2&2\cdot 1+0\cdot 3\end{pmatrix}$
Efectuăm calculele din fiecare element al matricei $\displaystyle A\cdot B$ .
$\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}6&4\\8&2\end{pmatrix}$
Calculăm acum produsul $\displaystyle B\cdot A$ , înmulțind liniile lui $\displaystyle B$ cu coloanele lui $\displaystyle A$ .
$\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}4\cdot 1+1\cdot 2&4\cdot 1+1\cdot 0\\2\cdot 1+3\cdot 2&2\cdot 1+3\cdot 0\end{pmatrix}$
Efectuăm calculele și comparăm cu rezultatul de la $\displaystyle A\cdot B$ . Cele două matrice sunt egale, deci $\displaystyle A\cdot B=B\cdot A$ .
$\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}6&4\\8&2\end{pmatrix}=A\cdot B$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Arătați că matricea

\displaystyle C=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}

este inversa matricei

\displaystyle A

.

Vezi rezolvarea

Matricea $\displaystyle C$ este inversa lui $\displaystyle A$ dacă $\displaystyle A\cdot C=I_2$ și $\displaystyle C\cdot A=I_2$ . Verificăm cele două produse.
$\displaystyle A\cdot C=I_2\text{ și }C\cdot A=I_2$
Calculăm elementele produsului $\displaystyle A\cdot C$ , înmulțind liniile lui $\displaystyle A$ cu coloanele lui $\displaystyle C$ : prima linie dă $\displaystyle 1\cdot 0+1\cdot 1=1$ și $\displaystyle 1\cdot\dfrac{1}{2}+1\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0$ , a doua linie dă $\displaystyle 2\cdot 0+0\cdot 1=0$ și $\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}+0\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=1$ .
$\displaystyle A\cdot C=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2$
Calculăm elementele produsului $\displaystyle C\cdot A$ : prima linie dă $\displaystyle 0\cdot 1+\dfrac{1}{2}\cdot 2=1$ și $\displaystyle 0\cdot 1+\dfrac{1}{2}\cdot 0=0$ , a doua linie dă $\displaystyle 1\cdot 1+\left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot 2=0$ și $\displaystyle 1\cdot 1+\left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot 0=1$ .
$\displaystyle C\cdot A=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2$
Cum $\displaystyle A\cdot C=C\cdot A=I_2$ , matricea $\displaystyle C$ este inversa matricei $\displaystyle A$ .
$\displaystyle A\cdot C=C\cdot A=I_2\Rightarrow C=A^{-1}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Determinați numerele reale

\displaystyle a

știind că

\displaystyle \det(A+aI_2)=10

.

Vezi rezolvarea

Calculăm matricea $\displaystyle aI_2$ : se înmulțește fiecare element al lui $\displaystyle I_2$ cu $\displaystyle a$ , deci obținem matricea cu $\displaystyle a$ pe diagonala principală și $\displaystyle 0$ în rest.
$\displaystyle aI_2=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}$
Adunăm matricele $\displaystyle A$ și $\displaystyle aI_2$ element cu element.
$\displaystyle A+aI_2=\begin{pmatrix}1+a&1\\2&0+a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+1&1\\2&a\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
$\displaystyle \det(A+aI_2)=(a+1)\cdot a-1\cdot 2=a^2+a-2$
Punem condiția din enunț, $\displaystyle \det(A+aI_2)=10$ , și aducem ecuația la forma generală mutând totul în membrul stâng.
$\displaystyle a^2+a-2=10\Leftrightarrow a^2+a-12=0$
Rezolvăm ecuația de gradul II. Discriminantul este $\displaystyle \Delta=1+48=49$ , cu $\displaystyle \sqrt{\Delta}=7$ . Soluțiile sunt $\displaystyle a=\dfrac{-1\pm 7}{2}$ .
$\displaystyle a_1=\dfrac{-1-7}{2}=-4\text{ și }a_2=\dfrac{-1+7}{2}=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Rezolvați în

\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R})

ecuația

\displaystyle A\cdot X=B

.

Vezi rezolvarea

Calculăm determinantul matricei $\displaystyle A$ : $\displaystyle \det A=1\cdot 0-1\cdot 2=-2$ . Deoarece $\displaystyle \det A\neq 0$ , matricea $\displaystyle A$ este inversabilă și putem înmulți ecuația la stânga cu $\displaystyle A^{-1}$ .
$\displaystyle \det A=-2\neq 0$
Înmulțim ecuația $\displaystyle A\cdot X=B$ la stânga cu $\displaystyle A^{-1}$ . Din $\displaystyle A^{-1}\cdot A=I_2$ și $\displaystyle I_2\cdot X=X$ obținem $\displaystyle X=A^{-1}\cdot B$ .
$\displaystyle A\cdot X=B\Leftrightarrow X=A^{-1}\cdot B$
Calculăm inversa lui $\displaystyle A$ : schimbăm între ele elementele de pe diagonala principală, schimbăm semnul elementelor de pe diagonala secundară și împărțim la determinant. Obținem $\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix}0&-1\\-2&1\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
Înmulțim $\displaystyle A^{-1}$ cu $\displaystyle B$ , linie cu coloană: $\displaystyle X=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}$ . Prima linie dă $\displaystyle 0\cdot 4+\frac{1}{2}\cdot 2=1$ și $\displaystyle 0\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{3}{2}$ , iar a doua linie dă $\displaystyle 1\cdot 4-\frac{1}{2}\cdot 2=3$ și $\displaystyle 1\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 3=-\frac{1}{2}$ .
$\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&\frac{3}{2}\\3&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M4 pedagogic 2014, sesiunea a II-a varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.1)

Subiectul II.1.2)

Subiectul II.1.3)

Subiectul II.1.4)

Subiectul II.1.5)

Subiectul II.1.6)

Subiectul III.1.1)

Subiectul III.1.2)

Subiectul III.1.3)

Subiectul III.1.4)

Subiectul III.1.5)

Subiectul III.1.6)

Aceeași sesiune, alți ani