Bac matematică M4 pedagogic 2011, sesiunea a II-a varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați log⁡2(5+17)+log⁡2(5−17)\displaystyle \log_2\left(5+\sqrt{17}\right)+\log_2\left(5-\sqrt{17}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm că logaritmii există: argumentele trebuie să fie pozitive. Avem 17<5\displaystyle \sqrt{17}<5, pentru că 17<25\displaystyle 17<25, deci 5−17>0\displaystyle 5-\sqrt{17}>0, iar 5+17>0\displaystyle 5+\sqrt{17}>0.
    5−17>0 și 5+17>0\displaystyle 5-\sqrt{17}>0\text{ și }5+\sqrt{17}>0
  2. Aplicăm formula log⁡2a+log⁡2b=log⁡2(ab)\displaystyle \log_2 a+\log_2 b=\log_2(ab), valabilă pentru a,b>0\displaystyle a,b>0.
    log⁡2((5+17)(5−17))\displaystyle \log_2\left(\left(5+\sqrt{17}\right)\left(5-\sqrt{17}\right)\right)
  3. Calculăm produsul cu formula (a+b)(a−b)=a2−b2\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}, cu a=5\displaystyle a=5 și b=17\displaystyle b=\sqrt{17}.
    (5+17)(5−17)=52−(17)2=25−17=8\displaystyle \left(5+\sqrt{17}\right)\left(5-\sqrt{17}\right)=5^{2}-\left(\sqrt{17}\right)^{2}=25-17=8
  4. Înlocuim produsul calculat în logaritm: expresia devine log⁡28\displaystyle \log_2 8.
    log⁡28\displaystyle \log_2 8
  5. Scriem 8=23\displaystyle 8=2^{3}, deci log⁡28=log⁡223=3\displaystyle \log_2 8=\log_2 2^{3}=3.
    3\displaystyle 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați P4−C41A51\displaystyle \frac{P_4-C_4^1}{A_5^1}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm permutările de 4 elemente: P4=4!=1⋅2⋅3⋅4\displaystyle P_4=4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4.
    P4=4!=24\displaystyle P_4=4!=24
  2. Calculăm combinările de 4 luate câte 1: C41=4!1!⋅3!=41\displaystyle C_4^1=\dfrac{4!}{1!\cdot 3!}=\dfrac{4}{1}.
    C41=4\displaystyle C_4^1=4
  3. Calculăm aranjamentele de 5 luate câte 1: A51=5!(5−1)!=5!4!=5\displaystyle A_5^1=\dfrac{5!}{(5-1)!}=\dfrac{5!}{4!}=5.
    A51=5\displaystyle A_5^1=5
  4. Înlocuim valorile obținute în fracție: P4−C41A51=24−45\displaystyle \dfrac{P_4-C_4^1}{A_5^1}=\dfrac{24-4}{5}.
    24−45=205\displaystyle \dfrac{24-4}{5}=\dfrac{20}{5}
  5. Împărțim 20 la 5: 205=4\displaystyle \dfrac{20}{5}=4. Deci valoarea expresiei este 4.
    P4−C41A51=4\displaystyle \dfrac{P_4-C_4^1}{A_5^1}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Graficul unei funcții de gradul al II-lea este o parabolă care are abscisa vârfului egală cu 2\displaystyle 2 și intersectează axa Ox\displaystyle Ox în două puncte distincte. Dacă unul dintre acestea are abscisa egală cu 5\displaystyle 5, determinați abscisa celuilalt punct de intersecție.
Vezi rezolvarea
  1. Parabola este graficul unei funcții de gradul al II-lea, deci este simetrică față de dreapta verticală care trece prin vârf. Abscisa vârfului este 2\displaystyle 2, deci axa de simetrie este dreapta de ecuație x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
  2. Punctele de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox au abscisele x1\displaystyle x_1 și 5\displaystyle 5, rădăcinile funcției. Ele sunt simetrice față de axa de simetrie, deci abscisa vârfului este media aritmetică a rădăcinilor. Notăm cu x1\displaystyle x_1 abscisa celuilalt punct.
    x1+52=2\displaystyle \frac{x_1+5}{2}=2
  3. Înmulțim ambii membri cu 2\displaystyle 2 și obținem x1+5=4\displaystyle x_1+5=4. Scădem 5\displaystyle 5 din ambii membri și obținem x1=−1\displaystyle x_1=-1. Abscisa celuilalt punct de intersecție este −1\displaystyle -1.
    x1=−1\displaystyle x_1=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația 2x+3=14\displaystyle 2^{x+3}=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 4=22\displaystyle 4=2^{2}, deci 14=122=2−2\displaystyle \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2^{2}}=2^{-2}.
    14=2−2\displaystyle \dfrac{1}{4}=2^{-2}
  2. Înlocuim în ecuația dată și obținem 2x+3=2−2\displaystyle 2^{x+3}=2^{-2}.
    2x+3=2−2\displaystyle 2^{x+3}=2^{-2}
  3. Funcția f(t)=2t\displaystyle f(t)=2^{t} este injectivă, deci din egalitatea puterilor rezultă egalitatea exponenților: x+3=−2\displaystyle x+3=-2.
    x+3=−2\displaystyle x+3=-2
  4. Scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri: x=−2−3=−5\displaystyle x=-2-3=-5. Deoarece −5\displaystyle -5 este număr întreg, soluția convine.
    x=−5∈Z\displaystyle x=-5\in\mathbb{Z}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Arătați că dreapta determinată de punctele A(1,−2)\displaystyle A(1,-2) și B(−2,4)\displaystyle B(-2,4) este perpendiculară pe dreapta d\displaystyle d de ecuație x−2y+3=0\displaystyle x-2y+3=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem ecuația dreptei d\displaystyle d sub forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n, izolând pe y\displaystyle y. Din x−2y+3=0\displaystyle x-2y+3=0 obținem 2y=x+3\displaystyle 2y=x+3, deci y=12x+32\displaystyle y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}.
    y=12x+32\displaystyle y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}
  2. Panta dreptei d\displaystyle d este coeficientul lui x\displaystyle x, adică md=12\displaystyle m_d=\dfrac{1}{2}.
    md=12\displaystyle m_d=\dfrac{1}{2}
  3. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula mAB=yB−yAxB−xA\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}, folosind A(1,−2)\displaystyle A(1,-2) și B(−2,4)\displaystyle B(-2,4): mAB=4−(−2)−2−1=6−3\displaystyle m_{AB}=\dfrac{4-(-2)}{-2-1}=\dfrac{6}{-3}.
    mAB=4−(−2)−2−1=6−3=−2\displaystyle m_{AB}=\dfrac{4-(-2)}{-2-1}=\dfrac{6}{-3}=-2
  4. Două drepte sunt perpendiculare dacă produsul pantelor este −1\displaystyle -1. Calculăm produsul: md⋅mAB=12⋅(−2)=−1\displaystyle m_d\cdot m_{AB}=\dfrac{1}{2}\cdot(-2)=-1, deci AB⊥d\displaystyle AB\perp d.
    md⋅mAB=12⋅(−2)=−1, deci AB⊥d\displaystyle m_d\cdot m_{AB}=\dfrac{1}{2}\cdot(-2)=-1\text{, deci }AB\perp d
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea razei cercului circumscris unui triunghi ABC\displaystyle ABC în care AB=6\displaystyle AB=6 și m(∢BCA)=60∘\displaystyle m(\sphericalangle BCA)=60^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu R\displaystyle R raza cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABC. Latura AB\displaystyle AB este opusă unghiului C\displaystyle C, adică unghiului BCA\displaystyle BCA, care are 60∘\displaystyle 60^\circ. Folosim teorema sinusurilor, deci avem nevoie de sin⁡60∘\displaystyle \sin 60^\circ.
    AB=6\displaystyle AB=6,m(∢C)=60∘\displaystyle \quad m(\sphericalangle C)=60^\circ
  2. Valoarea sinusului este sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  3. Teorema sinusurilor în triunghiul ABC\displaystyle ABC spune că raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus este egal cu 2R\displaystyle 2R. Pentru latura AB\displaystyle AB și unghiul C\displaystyle C obținem relația de mai jos.
    ABsin⁡C=2R\displaystyle \dfrac{AB}{\sin C}=2R
  4. Înlocuim AB=6\displaystyle AB=6 și sin⁡C=32\displaystyle \sin C=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Obținem 2R=632=123\displaystyle 2R=\dfrac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{12}{\sqrt{3}}.
    2R=632=123\displaystyle 2R=\dfrac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{12}{\sqrt{3}}
  5. Raționalizăm fracția amplificând cu 3\displaystyle \sqrt{3}: 123=1233=43\displaystyle \dfrac{12}{\sqrt{3}}=\dfrac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}. Deci 2R=43\displaystyle 2R=4\sqrt{3}, iar R=23\displaystyle R=2\sqrt{3}.
    R=AB2⋅sin⁡C=23\displaystyle R=\dfrac{AB}{2\cdot\sin C}=2\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Pe mulțimea R\displaystyle \mathbb{R} se definesc legile de compoziție x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1 și x∘y=12(xy−x−y+3)\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}(xy-x-y+3).

Arătați că legea „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că legea este asociativă, trebuie să verificăm că pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} avem (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z). Calculăm mai întâi prima grupare. Avem x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1.
    x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1
  2. Aplicăm legea pentru numerele x∗y\displaystyle x*y și z\displaystyle z: înlocuim primul termen cu x+y−1\displaystyle x+y-1, adunăm z\displaystyle z și scădem 1\displaystyle 1.
    (x∗y)∗z=(x+y−1)+z−1=x+y+z−2\displaystyle (x*y)*z=(x+y-1)+z-1=x+y+z-2
  3. Calculăm acum a doua grupare. Întâi y∗z=y+z−1\displaystyle y*z=y+z-1.
    y∗z=y+z−1\displaystyle y*z=y+z-1
  4. Aplicăm legea pentru numerele x\displaystyle x și y∗z\displaystyle y*z: adunăm x\displaystyle x cu y+z−1\displaystyle y+z-1 și scădem 1\displaystyle 1.
    x∗(y∗z)=x+(y+z−1)−1=x+y+z−2\displaystyle x*(y*z)=x+(y+z-1)-1=x+y+z-2
  5. Cele două grupări dau aceeași expresie, x+y+z−2\displaystyle x+y+z-2, pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}. Deci legea „∗\displaystyle *” este asociativă.
    (x∗y)∗z=x∗(y∗z)=x+y+z−2\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)=x+y+z-2, ∀x\displaystyle \ \forall x,y\displaystyle y,z∈R\displaystyle z\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Pe mulțimea R\displaystyle \mathbb{R} se definesc legile de compoziție x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1 și x∘y=12(xy−x−y+3)\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}(xy-x-y+3).

Determinați elementul neutru al mulțimii R\displaystyle \mathbb{R} în raport cu legea „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul neutru e\displaystyle e trebuie să verifice condiția x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Legea este comutativă, deoarece x+y−1=y+x−1\displaystyle x+y-1=y+x-1, așa că este suficient să verificăm una dintre egalități. Scriem x∗e\displaystyle x*e după definiția legii: x∗e=x+e−1\displaystyle x*e=x+e-1.
    x∗e=e∗x=x+e−1\displaystyle x*e=e*x=x+e-1
  2. Impunem ca rezultatul să fie egal cu x\displaystyle x, pentru orice x\displaystyle x real: x+e−1=x\displaystyle x+e-1=x.
    x+e−1=x\displaystyle x+e-1=x
  3. Reducem termenul x\displaystyle x din ambii membri și obținem e−1=0\displaystyle e-1=0, deci e=1\displaystyle e=1. Valoarea nu depinde de x\displaystyle x, deci e=1\displaystyle e=1 este elementul neutru față de legea „∗\displaystyle *”.
    e=1\displaystyle e=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Pe mulțimea R\displaystyle \mathbb{R} se definesc legile de compoziție x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1 și x∘y=12(xy−x−y+3)\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}(xy-x-y+3).

Arătați că x∘y=12(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}(x-1)(y-1)+1, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}: x∘y=12(xy−x−y+3)\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{2}(xy-x-y+3).
    x∘y=12(xy−x−y+3)\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{2}(xy-x-y+3)
  2. Descompunem constanta 3\displaystyle 3 ca suma 1+2\displaystyle 1+2, pentru a obține în paranteză expresia xy−x−y+1\displaystyle xy-x-y+1.
    x∘y=12(xy−x−y+1+2)\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{2}(xy-x-y+1+2)
  3. Separăm termenul 2\displaystyle 2 din paranteză: 12⋅2=1\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot 2=1, deci rămâne un termen 1\displaystyle 1 adunat în afara parantezei.
    x∘y=12(xy−x−y+1)+1\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{2}(xy-x-y+1)+1
  4. Recunoaștem produsul: (x−1)(y−1)=xy−x−y+1\displaystyle (x-1)(y-1)=xy-x-y+1, deoarece prin desfacerea parantezelor obținem xy−x−y+1\displaystyle xy-x-y+1.
    xy−x−y+1=(x−1)(y−1)\displaystyle xy-x-y+1=(x-1)(y-1)
  5. Înlocuim în egalitatea de mai sus și obținem forma cerută, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∘y=12(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{2}(x-1)(y-1)+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.d)

5 puncte
Pe mulțimea R\displaystyle \mathbb{R} se definesc legile de compoziție x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1 și x∘y=12(xy−x−y+3)\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}(xy-x-y+3).

Rezolvați în R\displaystyle \mathbb{R} ecuația 2x∘3=1\displaystyle 2^x\circ 3=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea ∘\displaystyle \circ în formă factorizată. Avem xy−x−y+3=(x−1)(y−1)+2\displaystyle xy-x-y+3=(x-1)(y-1)+2, deci x∘y=12(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{2}(x-1)(y-1)+1.
    x∘y=12(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{2}(x-1)(y-1)+1
  2. Înlocuim primul element cu 2x\displaystyle 2^x și al doilea cu 3\displaystyle 3 în ecuația 2x∘3=1\displaystyle 2^x\circ 3=1. Obținem 12(2x−1)(3−1)+1=1\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(2^x-1\right)(3-1)+1=1, adică o scriem cu factorul 3−1=2\displaystyle 3-1=2.
    12⋅(2x−1)⋅2+1=1\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left(2^x-1\right)\cdot 2+1=1
  3. Simplificăm: 12⋅2=1\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot 2=1, deci rămâne 2x−1+1=1\displaystyle 2^x-1+1=1, de unde 2x=1\displaystyle 2^x=1.
    2x−1+1=1  ⇒  2x=1\displaystyle 2^x-1+1=1\;\Rightarrow\;2^x=1
  4. Cum 1=20\displaystyle 1=2^0 și funcția exponențială cu baza 2\displaystyle 2 este injectivă, obținem x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.e)

5 puncte
Pe mulțimea R\displaystyle \mathbb{R} se definesc legile de compoziție x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1 și x∘y=12(xy−x−y+3)\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}(xy-x-y+3).

Rezolvați în mulțimea numerelor reale sistemul {(x+1)∗y=3(2x)∘(y−1)=xy−1\displaystyle \begin{cases}(x+1)*y=3\\(2x)\circ(y-1)=xy-1\end{cases}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima ecuație folosind definiția legii ∗\displaystyle *: în loc de x\displaystyle x punem x+1\displaystyle x+1. Obținem (x+1)∗y=(x+1)+y−1=x+y\displaystyle (x+1)*y=(x+1)+y-1=x+y, deci ecuația devine x+y=3\displaystyle x+y=3.
    x+y=3\displaystyle x+y=3
  2. Explicităm partea stângă a celei de-a doua ecuații cu definiția legii ∘\displaystyle \circ, pentru 2x\displaystyle 2x și y−1\displaystyle y-1: (2x)∘(y−1)=12(2x(y−1)−2x−(y−1)+3)\displaystyle (2x)\circ(y-1)=\dfrac{1}{2}\left(2x(y-1)-2x-(y-1)+3\right). Dezvoltăm parantezele.
    (2x)∘(y−1)=12(2xy−4x−y+4)\displaystyle (2x)\circ(y-1)=\dfrac{1}{2}\left(2xy-4x-y+4\right)
  3. Egalăm cu xy−1\displaystyle xy-1: 12(2xy−4x−y+4)=xy−1\displaystyle \dfrac{1}{2}(2xy-4x-y+4)=xy-1. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și obținem 2xy−4x−y+4=2xy−2\displaystyle 2xy-4x-y+4=2xy-2. Reducem 2xy\displaystyle 2xy din ambele părți, deci −4x−y=−6\displaystyle -4x-y=-6, adică 4x+y=6\displaystyle 4x+y=6. Împreună cu prima ecuație avem un sistem liniar.
    {x+y=34x+y=6\displaystyle \begin{cases}x+y=3\\4x+y=6\end{cases}
  4. Scădem prima ecuație din a doua: (4x+y)−(x+y)=6−3\displaystyle (4x+y)-(x+y)=6-3, deci 3x=3\displaystyle 3x=3 și x=1\displaystyle x=1. Înlocuim în x+y=3\displaystyle x+y=3 și obținem y=2\displaystyle y=2.
    x=1\displaystyle x=1, y=2\displaystyle \ y=2
  5. Verificăm: 1+2=3\displaystyle 1+2=3 și 4⋅1+2=6\displaystyle 4\cdot 1+2=6, deci perechea convine. Soluția sistemului este x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2.
    x=1 și y=2\displaystyle x=1\text{ și }y=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.f)

5 puncte
Pe mulțimea R\displaystyle \mathbb{R} se definesc legile de compoziție x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1 și x∘y=12(xy−x−y+3)\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}(xy-x-y+3).

Demonstrați că (x∗y)∘z=(x∘z)∗(y∘z)\displaystyle (x*y)\circ z=(x\circ z)*(y\circ z), pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm primul membru. Mai întâi, după definiția legii ∗\displaystyle *, avem x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1, deci în legea ∘\displaystyle \circ înlocuim x\displaystyle x cu x+y−1\displaystyle x+y-1.
    (x∗y)∘z=(x+y−1)∘z=12((x+y−1)z−(x+y−1)−z+3)\displaystyle (x*y)\circ z=(x+y-1)\circ z=\frac{1}{2}\left((x+y-1)z-(x+y-1)-z+3\right)
  2. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: (x+y−1)z=xz+yz−z\displaystyle (x+y-1)z=xz+yz-z, iar −(x+y−1)=−x−y+1\displaystyle -(x+y-1)=-x-y+1. Constantele 1+3\displaystyle 1+3 dau 4\displaystyle 4, iar termenii în z\displaystyle z dau −2z\displaystyle -2z.
    (x∗y)∘z=12(xz+yz−x−y−2z+4)\displaystyle (x*y)\circ z=\frac{1}{2}(xz+yz-x-y-2z+4)
  3. Trecem la al doilea membru. Calculăm separat x∘z\displaystyle x\circ z și y∘z\displaystyle y\circ z, folosind definiția legii ∘\displaystyle \circ.
    x∘z=12(xz−x−z+3)\displaystyle x\circ z=\frac{1}{2}(xz-x-z+3),y∘z=12(yz−y−z+3)\displaystyle \quad y\circ z=\frac{1}{2}(yz-y-z+3)
  4. Aplicăm legea ∗\displaystyle *: a∗b=a+b−1\displaystyle a*b=a+b-1. Adunăm cele două expresii, scădem 1\displaystyle 1 (adică 22\displaystyle \frac{2}{2}) și reducem termenii: constantele dau 3+3−2=4\displaystyle 3+3-2=4, iar termenii în z\displaystyle z dau −2z\displaystyle -2z.
    (x∘z)∗(y∘z)=12(xz−x−z+3)+12(yz−y−z+3)−1=12(xz+yz−x−y−2z+4)\displaystyle (x\circ z)*(y\circ z)=\frac{1}{2}(xz-x-z+3)+\frac{1}{2}(yz-y-z+3)-1=\frac{1}{2}(xz+yz-x-y-2z+4)
  5. Cei doi membri au aceeași expresie, deci egalitatea este adevărată pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}.
    (x∗y)∘z=(x∘z)∗(y∘z)\displaystyle (x*y)\circ z=(x\circ z)*(y\circ z)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(12a2a1a12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&a\\2&a&1\\a&1&2\end{pmatrix}, B=(011101110)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații liniare (S) {x+2y+az=62x+ay+z=6ax+y+2z=6\displaystyle (S)\ \begin{cases}x+2y+az=6\\2x+ay+z=6\\ax+y+2z=6\end{cases}, unde a\displaystyle a este un parametru real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care tripletul (1,1,1)\displaystyle (1,1,1) este soluție a sistemului (S)\displaystyle (S).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1, y=1\displaystyle y=1, z=1\displaystyle z=1 în fiecare ecuație a sistemului (S)\displaystyle (S).
    {1+2⋅1+a⋅1=62⋅1+a⋅1+1=6a⋅1+1+2⋅1=6\displaystyle \begin{cases}1+2\cdot 1+a\cdot 1=6\\2\cdot 1+a\cdot 1+1=6\\a\cdot 1+1+2\cdot 1=6\end{cases}
  2. Efectuăm calculele în fiecare ecuație și obținem un sistem de trei ecuații cu necunoscuta a\displaystyle a.
    {1+2+a=62+a+1=6a+1+2=6\displaystyle \begin{cases}1+2+a=6\\2+a+1=6\\a+1+2=6\end{cases}
  3. Toate cele trei ecuații se reduc la aceeași ecuație, a+3=6\displaystyle a+3=6. Scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri.
    a=6−3=3\displaystyle a=6-3=3
  4. Ecuațiile sunt identice, deci valoarea a=3\displaystyle a=3 le verifică pe toate trei. Prin urmare, tripletul (1,1,1)\displaystyle (1,1,1) este soluție a sistemului (S)\displaystyle (S) pentru a=3\displaystyle a=3.
    a=3\displaystyle a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(12a2a1a12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&a\\2&a&1\\a&1&2\end{pmatrix}, B=(011101110)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații liniare (S) {x+2y+az=62x+ay+z=6ax+y+2z=6\displaystyle (S)\ \begin{cases}x+2y+az=6\\2x+ay+z=6\\ax+y+2z=6\end{cases}, unde a\displaystyle a este un parametru real. Arătați că A2−(a2+5)I3=(3a+2)B\displaystyle A^2-\left(a^2+5\right)I_3=(3a+2)B.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^2=A\cdot A. Elementele de pe diagonală se obțin înmulțind fiecare linie cu coloana de același rang: 1⋅1+2⋅2+a⋅a\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot 2+a\cdot a, apoi 2⋅2+a⋅a+1⋅1\displaystyle 2\cdot 2+a\cdot a+1\cdot 1, apoi a⋅a+1⋅1+2⋅2\displaystyle a\cdot a+1\cdot 1+2\cdot 2.
    1+4+a2=a2+5 pe fiecare poziție a \displaystyle 1+4+a^{2}=a^{2}+5\text{ pe fiecare poziție a }diagonalei\displaystyle \text{diagonalei}
  2. Calculăm elementele din afara diagonalei. De exemplu, linia 1 cu coloana 2 dă 1⋅2+2⋅a+a⋅1\displaystyle 1\cdot 2+2\cdot a+a\cdot 1, iar linia 1 cu coloana 3 dă 1⋅a+2⋅1+a⋅2\displaystyle 1\cdot a+2\cdot 1+a\cdot 2. Celelalte patru produse dau tot 3a+2\displaystyle 3a+2.
    3a+2 pe fiecare poziție din \displaystyle 3a+2\text{ pe fiecare poziție din }afara diagonalei\displaystyle \text{afara diagonalei}
  3. Adunăm rezultatele: pe diagonală avem a2+5\displaystyle a^2+5, iar în rest 3a+2\displaystyle 3a+2.
    A2=(a2+53a+23a+23a+2a2+53a+23a+23a+2a2+5)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}a^2+5&3a+2&3a+2\\3a+2&a^2+5&3a+2\\3a+2&3a+2&a^2+5\end{pmatrix}
  4. Înmulțim matricea unitate cu scalarul a2+5\displaystyle a^2+5: fiecare element al lui I3\displaystyle I_3 se înmulțește cu acest scalar, deci apare doar pe diagonală.
    (a2+5)I3=(a2+5000a2+5000a2+5)\displaystyle \left(a^2+5\right)I_3=\begin{pmatrix}a^2+5&0&0\\0&a^2+5&0\\0&0&a^2+5\end{pmatrix}
  5. Înmulțim matricea B\displaystyle B cu scalarul 3a+2\displaystyle 3a+2: elementele egale cu 1\displaystyle 1 devin 3a+2\displaystyle 3a+2, iar zerourile de pe diagonală rămân zerouri.
    (3a+2)B=(03a+23a+23a+203a+23a+23a+20)\displaystyle (3a+2)B=\begin{pmatrix}0&3a+2&3a+2\\3a+2&0&3a+2\\3a+2&3a+2&0\end{pmatrix}
  6. Scădem din A2\displaystyle A^2 matricea (a2+5)I3\displaystyle \left(a^2+5\right)I_3, element cu element. Pe diagonală a2+5\displaystyle a^2+5 se reduce și rămâne 0\displaystyle 0, iar celelalte elemente rămân 3a+2\displaystyle 3a+2. Obținem exact matricea (3a+2)B\displaystyle (3a+2)B din pasul anterior, deci egalitatea este demonstrată.
    A2−(a2+5)I3=(03a+23a+23a+203a+23a+23a+20)=(3a+2)B\displaystyle A^2-\left(a^2+5\right)I_3=\begin{pmatrix}0&3a+2&3a+2\\3a+2&0&3a+2\\3a+2&3a+2&0\end{pmatrix}=(3a+2)B
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(12a2a1a12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&a\\2&a&1\\a&1&2\end{pmatrix}, B=(011101110)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații liniare (S) {x+2y+az=62x+ay+z=6ax+y+2z=6\displaystyle (S)\ \begin{cases}x+2y+az=6\\2x+ay+z=6\\ax+y+2z=6\end{cases}, unde a\displaystyle a este un parametru real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care suma elementelor matricei A2\displaystyle A^2 este egală cu 0\displaystyle 0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm elementele matricei A2=A⋅A\displaystyle A^2=A\cdot A, înmulțind fiecare linie a lui A\displaystyle A cu fiecare coloană a lui A\displaystyle A. Pe prima linie obținem: 1+4+a2=a2+5\displaystyle 1+4+a^2=a^2+5, 2+2a+a=3a+2\displaystyle 2+2a+a=3a+2 și a+2+2a=3a+2\displaystyle a+2+2a=3a+2.
    linia 1: (a2+5, 3a+2, 3a+2)\displaystyle \text{linia 1: }\left(a^2+5,\ 3a+2,\ 3a+2\right)
  2. La fel calculăm liniile a doua și a treia. Obținem matricea cu a2+5\displaystyle a^2+5 pe diagonala principală și 3a+2\displaystyle 3a+2 în rest.
    A2=(a2+53a+23a+23a+2a2+53a+23a+23a+2a2+5)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}a^2+5&3a+2&3a+2\\3a+2&a^2+5&3a+2\\3a+2&3a+2&a^2+5\end{pmatrix}
  3. Adunăm elementele de pe o linie: a2+5+2(3a+2)=a2+6a+9\displaystyle a^2+5+2(3a+2)=a^2+6a+9. Cele trei linii au aceeași sumă, deci suma tuturor elementelor este 3(a2+6a+9)\displaystyle 3(a^2+6a+9).
    3a2+18a+27\displaystyle 3a^2+18a+27
  4. Punem condiția ca suma să fie 0\displaystyle 0: 3a2+18a+27=0\displaystyle 3a^2+18a+27=0. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem a2+6a+9=0\displaystyle a^2+6a+9=0, adică (a+3)2=0\displaystyle (a+3)^2=0.
    (a+3)2=0\displaystyle (a+3)^2=0
  5. Din (a+3)2=0\displaystyle (a+3)^2=0 rezultă a+3=0\displaystyle a+3=0, deci a=−3\displaystyle a=-3.
    a=−3\displaystyle a=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.d)

5 puncte
Se consideră matricele A=(12a2a1a12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&a\\2&a&1\\a&1&2\end{pmatrix}, B=(011101110)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații liniare (S) {x+2y+az=62x+ay+z=6ax+y+2z=6\displaystyle (S)\ \begin{cases}x+2y+az=6\\2x+ay+z=6\\ax+y+2z=6\end{cases}, unde a\displaystyle a este un parametru real.

Arătați că, pentru a=−3\displaystyle a=-3, sistemul (S)\displaystyle (S) este incompatibil.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−3\displaystyle a=-3 în sistemul (S)\displaystyle (S) și scriem sistemul obținut.
    {x+2y−3z=62x−3y+z=6−3x+y+2z=6\displaystyle \begin{cases}x+2y-3z=6\\2x-3y+z=6\\-3x+y+2z=6\end{cases}
  2. Adunăm cele trei ecuații membru cu membru. În membrul stâng adunăm separat coeficienții lui x\displaystyle x, ai lui y\displaystyle y și ai lui z\displaystyle z.
    (1+2−3)x+(2−3+1)y+(−3+1+2)z=6+6+6\displaystyle (1+2-3)x+(2-3+1)y+(-3+1+2)z=6+6+6
  3. Coeficienții se reduc la 0\displaystyle 0, iar în membrul drept obținem 18\displaystyle 18. Rezultă o contradicție.
    0⋅x+0⋅y+0⋅z=18⇒0=18\displaystyle 0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=18\Rightarrow 0=18
  4. Dacă sistemul ar avea o soluție, egalitatea 0=18\displaystyle 0=18 ar fi adevărată, ceea ce este fals. Deci sistemul nu are soluții, adică este incompatibil.
    (S) este incompatibil\displaystyle (S)\text{ este incompatibil}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.e)

5 puncte
Se consideră matricele A=(12a2a1a12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&a\\2&a&1\\a&1&2\end{pmatrix}, B=(011101110)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații liniare (S) {x+2y+az=62x+ay+z=6ax+y+2z=6\displaystyle (S)\ \begin{cases}x+2y+az=6\\2x+ay+z=6\\ax+y+2z=6\end{cases}, unde a\displaystyle a este un parametru real. Pentru a=0\displaystyle a=0, rezolvați sistemul (S)\displaystyle (S).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în fiecare ecuație a sistemului. Termenii care conțin a\displaystyle a dispar și obținem sistemul simplificat.
    {x+2y=62x+z=6y+2z=6\displaystyle \begin{cases}x+2y=6\\2x+z=6\\y+2z=6\end{cases}
  2. Din a doua ecuație exprimăm z\displaystyle z în funcție de x\displaystyle x.
    z=6−2x\displaystyle z=6-2x
  3. Din prima ecuație exprimăm y\displaystyle y în funcție de x\displaystyle x.
    y=6−x2\displaystyle y=\dfrac{6-x}{2}
  4. Înlocuim y\displaystyle y și z\displaystyle z în a treia ecuație: 6−x2+2(6−2x)=6\displaystyle \dfrac{6-x}{2}+2(6-2x)=6. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și obținem 6−x+24−8x=12\displaystyle 6-x+24-8x=12, deci −9x=−18\displaystyle -9x=-18.
    x=2\displaystyle x=2
  5. Calculăm y=6−22\displaystyle y=\dfrac{6-2}{2} și z=6−2⋅2\displaystyle z=6-2\cdot 2.
    (y,z)=(2,2)\displaystyle (y,z)=(2,2)
  6. Verificăm în a treia ecuație: y+2z=2+2⋅2=6\displaystyle y+2z=2+2\cdot 2=6, deci soluția convine. Sistemul are soluția unică x=2\displaystyle x=2, y=2\displaystyle y=2, z=2\displaystyle z=2.
    (x,y,z)=(2,2,2)\displaystyle (x,y,z)=(2,2,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.f)

5 puncte
Se consideră matricele A=(12a2a1a12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&a\\2&a&1\\a&1&2\end{pmatrix}, B=(011101110)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații liniare (S) {x+2y+az=62x+ay+z=6ax+y+2z=6\displaystyle (S)\ \begin{cases}x+2y+az=6\\2x+ay+z=6\\ax+y+2z=6\end{cases}, unde a\displaystyle a este un parametru real.

Determinați inversa matricei B\displaystyle B.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei B\displaystyle B prin regula lui Sarrus: suma produselor pe diagonala principală și pe paralelele ei este 0+1+1=2\displaystyle 0+1+1=2, iar suma produselor pe diagonala secundară și pe paralelele ei este 0+0+0=0\displaystyle 0+0+0=0. Deci det⁡B=2−0=2\displaystyle \det B=2-0=2.
    det⁡B=2\displaystyle \det B=2
  2. Deoarece det⁡B=2≠0\displaystyle \det B=2\neq 0, matricea B\displaystyle B este inversabilă și putem folosi formula B−1=1det⁡B⋅B∗\displaystyle B^{-1}=\dfrac{1}{\det B}\cdot B^{*}, unde B∗\displaystyle B^{*} este adjuncta matricei B\displaystyle B.
    det⁡B=2≠0⇒B este inversabila˘\displaystyle \det B=2\neq 0\Rightarrow B\text{ este inversabilă}
  3. Matricea B\displaystyle B este simetrică, deci BT=B\displaystyle B^{T}=B. Calculăm complemenții algebrici. Pe diagonală, de exemplu A11=∣0110∣=−1\displaystyle A_{11}=\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=-1, la fel A22=A33=−1\displaystyle A_{22}=A_{33}=-1. În afara diagonalei, de exemplu A12=(−1)1+2∣1110∣=−(−1)=1\displaystyle A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}1&1\\1&0\end{vmatrix}=-(-1)=1, și analog A13=A21=A23=A31=A32=1\displaystyle A_{13}=A_{21}=A_{23}=A_{31}=A_{32}=1.
    A11=A22=A33=−1\displaystyle A_{11}=A_{22}=A_{33}=-1,Aij=1 pentru i≠j\displaystyle \quad A_{ij}=1\text{ pentru }i\neq j
  4. Scriem adjuncta B∗\displaystyle B^{*} ca transpusă a matricei complemenților algebrici, care este simetrică.
    B∗=(−1111−1111−1)\displaystyle B^{*}=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}
  5. Înmulțim adjuncta cu 1det⁡B=12\displaystyle \dfrac{1}{\det B}=\dfrac{1}{2} și obținem inversa. Verificare: prima linie a lui B\displaystyle B înmulțită cu prima coloană a inversei dă 0⋅(−12)+1⋅12+1⋅12=1\displaystyle 0\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+1\cdot\dfrac{1}{2}+1\cdot\dfrac{1}{2}=1, deci rezultatul este corect.
    B−1=(−12121212−12121212−12)\displaystyle B^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.