Bac matematică M4 pedagogic 2019, sesiunea a II-a varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 45−75+108−3+25−80=5\displaystyle 4\sqrt{5}-\sqrt{75}+\sqrt{108}-\sqrt{3}+\sqrt{25}-\sqrt{80}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Scoatem factorii pătrați perfecți de sub radicali. Pentru primul radical: 75=25⋅3\displaystyle 75=25\cdot 3, deci 75=25⋅3=53\displaystyle \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}.
    75=53\displaystyle \sqrt{75}=5\sqrt{3}
  2. La fel pentru 108\displaystyle \sqrt{108}: 108=36⋅3\displaystyle 108=36\cdot 3, deci 108=36⋅3=63\displaystyle \sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}.
    108=63\displaystyle \sqrt{108}=6\sqrt{3}
  3. Mai avem 25=5\displaystyle \sqrt{25}=5 și, deoarece 80=16⋅5\displaystyle 80=16\cdot 5, 80=16⋅5=45\displaystyle \sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}.
    25=5\displaystyle \sqrt{25}=5,80=45\displaystyle \quad \sqrt{80}=4\sqrt{5}
  4. Înlocuim în expresia dată: 45−75+108−3+25−80\displaystyle 4\sqrt{5}-\sqrt{75}+\sqrt{108}-\sqrt{3}+\sqrt{25}-\sqrt{80} devine o sumă în care apar doar 5\displaystyle \sqrt{5}, 3\displaystyle \sqrt{3} și numere.
    45−53+63−3+5−45\displaystyle 4\sqrt{5}-5\sqrt{3}+6\sqrt{3}-\sqrt{3}+5-4\sqrt{5}
  5. Grupăm termenii asemenea: cei cu 5\displaystyle \sqrt{5}, cei cu 3\displaystyle \sqrt{3} și termenul liber.
    (45−45)+(−53+63−3)+5\displaystyle \left(4\sqrt{5}-4\sqrt{5}\right)+\left(-5\sqrt{3}+6\sqrt{3}-\sqrt{3}\right)+5
  6. Primul grup este 0\displaystyle 0. În al doilea grup coeficienții dau −5+6−1=0\displaystyle -5+6-1=0, deci și acest grup este 0\displaystyle 0. Rămâne doar 5\displaystyle 5, deci egalitatea este demonstrată.
    0+0+5=5\displaystyle 0+0+5=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+a\displaystyle f(x)=x+a, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, pentru care f(1)=8\displaystyle f(1)=8.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula funcției f(x)=x+a\displaystyle f(x)=x+a.
    f(1)=1+a\displaystyle f(1)=1+a
  2. Folosim condiția din enunț, f(1)=8\displaystyle f(1)=8, și obținem o ecuație în a\displaystyle a.
    1+a=8\displaystyle 1+a=8
  3. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri ai ecuației și aflăm valoarea lui a\displaystyle a.
    a=8−1=7\displaystyle a=8-1=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x−1=x\displaystyle \sqrt{2x-1}=x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că radicalul este definit doar când expresia de sub radical este pozitivă sau zero, iar rădăcina pătrată este nenegativă, deci x≥0\displaystyle x\geq 0. Condiția de existență: 2x−1≥0\displaystyle 2x-1\geq 0, adică x≥12\displaystyle x\geq \dfrac{1}{2}.
    x≥12\displaystyle x\geq \dfrac{1}{2}
  2. Ridicăm ecuația la pătrat: membrul stâng devine 2x−1\displaystyle 2x-1, iar membrul drept devine x2\displaystyle x^{2}.
    2x−1=x2\displaystyle 2x-1=x^{2}
  3. Mutăm toți termenii în membrul drept și obținem o ecuație de gradul II: x2−2x+1=0\displaystyle x^{2}-2x+1=0.
    2x−1=x2⇒x2−2x+1=0\displaystyle 2x-1=x^{2}\Rightarrow x^{2}-2x+1=0
  4. Recunoaștem pătratul unei diferențe: (x−1)2=0\displaystyle (x-1)^{2}=0, deci x=1\displaystyle x=1.
    (x−1)2=0⇒x=1\displaystyle (x-1)^{2}=0\Rightarrow x=1
  5. Verificăm soluția în ecuația inițială, deoarece ridicarea la pătrat poate introduce soluții false. Pentru x=1\displaystyle x=1, 2⋅1−1=1=1\displaystyle \sqrt{2\cdot 1-1}=\sqrt{1}=1, egal cu x\displaystyle x. Soluția convine și respectă condiția x≥12\displaystyle x\geq \dfrac{1}{2}.
    x=1, care convine\displaystyle x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu cifrele 1,2,3,4,5,6,7,8\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8 și 9\displaystyle 9.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr de două cifre are forma ab‾\displaystyle \overline{ab}, cu cifra zecilor a\displaystyle a și cifra unităților b\displaystyle b. Trebuie să alegem două cifre distincte din mulțimea {1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, care are 9\displaystyle 9 elemente, iar ordinea contează. Aplicăm regula produsului: alegem pe rând cele două cifre.
    ab‾\displaystyle \overline{ab}, a≠b\displaystyle \ a\neq b, a\displaystyle \ a,b∈{1,2,…,9}\displaystyle b\in\{1,2,\ldots,9\}
  2. Cifra zecilor a\displaystyle a se poate alege din oricare dintre cele 9\displaystyle 9 cifre date, deci în 9\displaystyle 9 moduri.
    9 moduri\displaystyle 9\text{ moduri}
  3. Cifra unităților b\displaystyle b trebuie să fie diferită de cifra zecilor a\displaystyle a deja aleasă, deci se poate alege dintre celelalte 8\displaystyle 8 cifre, adică în 8\displaystyle 8 moduri, oricare ar fi a\displaystyle a.
    8 moduri\displaystyle 8\text{ moduri}
  4. Conform regulii produsului, numărul de numere este produsul numerelor de moduri de alegere a celor două cifre: 9⋅8=72\displaystyle 9\cdot 8=72. Se pot forma 72\displaystyle 72 de numere.
    9⋅8=72\displaystyle 9\cdot 8=72
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră dreapta d\displaystyle d de ecuație y=x−2\displaystyle y=x-2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a dreptei d\displaystyle d cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox se află pe axă, deci ordonata lui este zero. Notăm punctul cu A(x,0)\displaystyle A(x,0), adică punem y=0\displaystyle y=0.
    y=0\displaystyle y=0
  2. Înlocuim y\displaystyle y cu 0\displaystyle 0 în ecuația dreptei d\displaystyle d, y=x−2\displaystyle y=x-2, și obținem o ecuație în x\displaystyle x.
    0=x−2\displaystyle 0=x-2
  3. Rezolvăm ecuația: adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri și obținem x=2\displaystyle x=2. Deci punctul de intersecție este A(2,0)\displaystyle A(2,0).
    x−2=0⇒x=2\displaystyle x-2=0\Rightarrow x=2, A(2,0)\displaystyle \ A(2,0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=6\displaystyle AB=6, AC=8\displaystyle AC=8 și BC=10\displaystyle BC=10. Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că lungimile laturilor sunt 6\displaystyle 6, 8\displaystyle 8 și 10\displaystyle 10, deci verificăm dacă triunghiul este dreptunghic cu reciproca teoremei lui Pitagora. Calculăm pătratele laturilor mai scurte: AB2=62=36\displaystyle AB^{2}=6^{2}=36, AC2=82=64\displaystyle AC^{2}=8^{2}=64.
    AB2=36\displaystyle AB^{2}=36,AC2=64\displaystyle \quad AC^{2}=64
  2. Adunăm cele două pătrate și comparăm cu pătratul laturii BC\displaystyle BC, care este 102=100\displaystyle 10^{2}=100. Cum AB2+AC2=36+64=100=BC2\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=36+64=100=BC^{2}, triunghiul este dreptunghic în A\displaystyle A, iar ipotenuza este BC\displaystyle BC.
    AB2+AC2=100=BC2⇒ΔABC este dreptunghic ıˆn A\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=100=BC^{2}\Rightarrow \Delta ABC\text{ este dreptunghic în }A
  3. Într-un triunghi dreptunghic aria este jumătate din produsul catetelor. Catetele sunt AB=6\displaystyle AB=6 și AC=8\displaystyle AC=8, deci AΔABC=AB⋅AC2=6⋅82=482=24\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{6\cdot 8}{2}=\dfrac{48}{2}=24.
    AΔABC=6⋅82=24\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{6\cdot 8}{2}=24
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y.

Arătați că (−1)∗3=−1\displaystyle (-1)*3=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y. O aplicăm pentru x=−1\displaystyle x=-1 și y=3\displaystyle y=3, adică înlocuim x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1 și y\displaystyle y cu 3\displaystyle 3.
    (−1)∗3=(−1)⋅3+(−1)+3\displaystyle (-1)*3=(-1)\cdot 3+(-1)+3
  2. Calculăm produsul: (−1)⋅3=−3\displaystyle (-1)\cdot 3=-3. Apoi adunăm termenii: −3−1+3=−1\displaystyle -3-1+3=-1. Deci egalitatea este demonstrată.
    −3−1+3=−1, deci (−1)∗3=−1\displaystyle -3-1+3=-1\text{, deci }(-1)*3=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y.

Demonstrați că x∗y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=(x+1)(y+1)-1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Plecăm de la definiția legii de compoziție: x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y, pentru x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y
  2. Adunăm și scădem 1\displaystyle 1 în membrul drept, ceea ce nu schimbă valoarea expresiei. Scopul este să obținem prin grupare un produs de forma (x+1)(y+1)\displaystyle (x+1)(y+1).
    x∗y=xy+x+y+1−1\displaystyle x*y=xy+x+y+1-1
  3. Grupăm termenii: xy+x=x(y+1)\displaystyle xy+x=x(y+1), iar y+1\displaystyle y+1 rămâne ca al doilea grup. Obținem x(y+1)+(y+1)−1\displaystyle x(y+1)+(y+1)-1.
    x∗y=x(y+1)+(y+1)−1\displaystyle x*y=x(y+1)+(y+1)-1
  4. Dăm factor comun pe y+1\displaystyle y+1: x(y+1)+(y+1)=(x+1)(y+1)\displaystyle x(y+1)+(y+1)=(x+1)(y+1). Deci egalitatea cerută este adevărată pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=(x+1)(y+1)−1, pentru orice numere \displaystyle x*y=(x+1)(y+1)-1\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y. Verificați dacă e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul e\displaystyle e este neutru dacă x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Verificăm ambele egalități pentru e=0\displaystyle e=0.
    x∗0=0∗x=x\displaystyle x*0=0*x=x
  2. Înlocuim y=0\displaystyle y=0 în x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y și obținem x∗0=x⋅0+x+0\displaystyle x*0=x\cdot 0+x+0.
    x∗0=x⋅0+x+0\displaystyle x*0=x\cdot 0+x+0
  3. Cum x⋅0=0\displaystyle x\cdot 0=0, rămâne x∗0=x\displaystyle x*0=x. Același rezultat apare din forma x∗y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=(x+1)(y+1)-1: x∗0=(x+1)(0+1)−1=x+1−1=x\displaystyle x*0=(x+1)(0+1)-1=x+1-1=x, pentru orice x\displaystyle x real.
    x∗0=(x+1)(0+1)−1=x+1−1=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*0=(x+1)(0+1)-1=x+1-1=x\text{, pentru orice număr real }x
  4. Verificăm și cealaltă egalitate: 0∗x=0⋅x+0+x=x\displaystyle 0*x=0\cdot x+0+x=x. În forma factorizată, 0∗x=(0+1)(x+1)−1=x+1−1=x\displaystyle 0*x=(0+1)(x+1)-1=x+1-1=x, pentru orice x\displaystyle x real.
    0∗x=(0+1)(x+1)−1=x+1−1=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle 0*x=(0+1)(x+1)-1=x+1-1=x\text{, pentru orice număr real }x
  5. Deoarece x∗0=0∗x=x\displaystyle x*0=0*x=x pentru orice x\displaystyle x real, concluzionăm că e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    x∗0=0∗x=x, deci e=0 este elementul neutru\displaystyle x*0=0*x=x\text{, deci }e=0\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y.

Verificați dacă −12\displaystyle -\frac{1}{2} este simetricul lui 1\displaystyle 1 în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm elementul neutru al legii: căutăm e\displaystyle e astfel încât x∗e=x\displaystyle x*e=x pentru orice x\displaystyle x real. Din xe+x+e=x\displaystyle xe+x+e=x rezultă e(x+1)=0\displaystyle e(x+1)=0 pentru orice x\displaystyle x, deci e=0\displaystyle e=0. Legea este comutativă, deci 0\displaystyle 0 este neutru și la stânga.
    e=0\displaystyle e=0
  2. Simetricul lui 1\displaystyle 1 este un număr y\displaystyle y pentru care 1∗y=y∗1=0\displaystyle 1*y=y*1=0. Verificăm dacă y=−12\displaystyle y=-\dfrac{1}{2} convine. Folosim definiția legii, rescrisă ca x∗y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=(x+1)(y+1)-1, pentru x=1\displaystyle x=1 și y=−12\displaystyle y=-\dfrac{1}{2}.
    1∗(−12)=(1+1)(−12+1)−1\displaystyle 1*\left(-\frac{1}{2}\right)=(1+1)\left(-\frac{1}{2}+1\right)-1
  3. Calculăm: 2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}=1, iar 1−1=0\displaystyle 1-1=0. Deci prima compunere dă elementul neutru.
    1∗(−12)=2⋅12−1=0\displaystyle 1*\left(-\frac{1}{2}\right)=2\cdot\frac{1}{2}-1=0
  4. Verificăm și compunerea în ordine inversă, (−12)∗1\displaystyle \left(-\dfrac{1}{2}\right)*1, cu aceeași formulă.
    (−12)∗1=(−12+1)(1+1)−1\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)*1=\left(-\frac{1}{2}+1\right)(1+1)-1
  5. Calculăm: 12⋅2=1\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot 2=1, iar 1−1=0\displaystyle 1-1=0. Ambele compuneri dau elementul neutru 0\displaystyle 0, deci −12\displaystyle -\dfrac{1}{2} este simetricul lui 1\displaystyle 1.
    (−12)∗1=12⋅2−1=0, deci −12 este simetricul lui 1\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)*1=\frac{1}{2}\cdot 2-1=0\text{, deci }-\frac{1}{2}\text{ este simetricul lui }1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y.

Determinați numerele reale x\displaystyle x, știind că x∗x∗x=x\displaystyle x*x*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie sub o formă mai comodă: x∗y=xy+x+y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=xy+x+y=(x+1)(y+1)-1, deoarece (x+1)(y+1)=xy+x+y+1\displaystyle (x+1)(y+1)=xy+x+y+1.
    x∗y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=(x+1)(y+1)-1
  2. Calculăm x∗x\displaystyle x*x, înlocuind y\displaystyle y cu x\displaystyle x în forma de mai sus.
    x∗x=(x+1)(x+1)−1=(x+1)2−1\displaystyle x*x=(x+1)(x+1)-1=(x+1)^2-1
  3. Calculăm x∗x∗x=(x∗x)∗x\displaystyle x*x*x=(x*x)*x. Avem (x∗x)+1=(x+1)2\displaystyle (x*x)+1=(x+1)^2, deci produsul devine (x+1)2⋅(x+1)−1\displaystyle (x+1)^2\cdot(x+1)-1.
    x∗x∗x=(x+1)3−1\displaystyle x*x*x=(x+1)^3-1
  4. Scriem ecuația x∗x∗x=x\displaystyle x*x*x=x, folosind rezultatul de mai sus.
    (x+1)3−1=x\displaystyle (x+1)^3-1=x
  5. Notăm t=x+1\displaystyle t=x+1. Ecuația devine t3−1=t−1\displaystyle t^3-1=t-1, adică t3−t=0\displaystyle t^3-t=0, deci t(t−1)(t+1)=0\displaystyle t(t-1)(t+1)=0. Revenind la x\displaystyle x, obținem x(x+1)(x+2)=0\displaystyle x(x+1)(x+2)=0.
    x(x+1)(x+2)=0\displaystyle x(x+1)(x+2)=0
  6. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul, deci x=0\displaystyle x=0, x=−1\displaystyle x=-1 sau x=−2\displaystyle x=-2. Toate sunt numere reale, deci sunt soluții.
    x=−2 sau x=−1 sau x=0\displaystyle x=-2\text{ sau }x=-1\text{ sau }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y.

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice relația n∗n=3\displaystyle n*n=3.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de o cifră sunt 0,1,2,…,9\displaystyle 0,1,2,\ldots,9, deci avem 10\displaystyle 10 cazuri posibile.
    10 cazuri posibile\displaystyle 10\text{ cazuri posibile}
  2. Scriem n∗n\displaystyle n*n după definiția legii: n∗n=n⋅n+n+n=n2+2n\displaystyle n*n=n\cdot n+n+n=n^{2}+2n.
    n∗n=n2+2n\displaystyle n*n=n^{2}+2n
  3. Observăm că n2+2n=(n+1)2−1\displaystyle n^{2}+2n=(n+1)^{2}-1, deci relația n∗n=3\displaystyle n*n=3 devine (n+1)2−1=3\displaystyle (n+1)^{2}-1=3.
    (n+1)2−1=3\displaystyle (n+1)^{2}-1=3
  4. Rezultă (n+1)2=4\displaystyle (n+1)^{2}=4, deci n+1=2\displaystyle n+1=2 sau n+1=−2\displaystyle n+1=-2, adică n=1\displaystyle n=1 sau n=−3\displaystyle n=-3. Doar n=1\displaystyle n=1 este număr natural de o cifră, deci avem un caz favorabil.
    n=1, deci este 1 caz \displaystyle n=1\text{, deci este 1 caz }favorabil\displaystyle \text{favorabil}
  5. Aplicăm definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=110\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{1}{10}.
    p=110\displaystyle p=\frac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−2a2a−3a1+3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1-2a & 2a\\ -3a & 1+3a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în fiecare element al matricei A(a)\displaystyle A(a): pe prima linie obținem 1−2⋅0\displaystyle 1-2\cdot 0 și 2⋅0\displaystyle 2\cdot 0, iar pe a doua linie −3⋅0\displaystyle -3\cdot 0 și 1+3⋅0\displaystyle 1+3\cdot 0.
    A(0)=(1−2⋅02⋅0−3⋅01+3⋅0)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1-2\cdot 0 & 2\cdot 0\\ -3\cdot 0 & 1+3\cdot 0\end{pmatrix}
  2. Efectuăm calculele: produsele cu 0\displaystyle 0 sunt 0\displaystyle 0, deci obținem matricea identitate de ordin 2\displaystyle 2.
    A(0)=(1001)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică 1⋅1−0⋅0\displaystyle 1\cdot 1-0\cdot 0, care este egal cu 1\displaystyle 1.
    det⁡(A(0))=∣1001∣=1⋅1−0⋅0=1\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-0\cdot 0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−2a2a−3a1+3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1-2a & 2a\\ -3a & 1+3a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(1)+A(5)=2A(3)\displaystyle A(1)+A(5)=2A(3).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a): 1−2⋅1=−1\displaystyle 1-2\cdot 1=-1, 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2, −3⋅1=−3\displaystyle -3\cdot 1=-3, 1+3⋅1=4\displaystyle 1+3\cdot 1=4.
    A(1)=(−12−34)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}-1&2\\-3&4\end{pmatrix}
  2. Înlocuim a=5\displaystyle a=5: 1−2⋅5=−9\displaystyle 1-2\cdot 5=-9, 2⋅5=10\displaystyle 2\cdot 5=10, −3⋅5=−15\displaystyle -3\cdot 5=-15, 1+3⋅5=16\displaystyle 1+3\cdot 5=16.
    A(5)=(−910−1516)\displaystyle A(5)=\begin{pmatrix}-9&10\\-15&16\end{pmatrix}
  3. Adunăm cele două matrice element cu element: −1+(−9)=−10\displaystyle -1+(-9)=-10, 2+10=12\displaystyle 2+10=12, −3+(−15)=−18\displaystyle -3+(-15)=-18, 4+16=20\displaystyle 4+16=20.
    A(1)+A(5)=(−12−34)+(−910−1516)=(−1012−1820)\displaystyle A(1)+A(5)=\begin{pmatrix}-1&2\\-3&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-9&10\\-15&16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10&12\\-18&20\end{pmatrix}
  4. Calculăm A(3)\displaystyle A(3): 1−2⋅3=−5\displaystyle 1-2\cdot 3=-5, 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6, −3⋅3=−9\displaystyle -3\cdot 3=-9, 1+3⋅3=10\displaystyle 1+3\cdot 3=10.
    A(3)=(−56−910)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}-5&6\\-9&10\end{pmatrix}
  5. Înmulțim matricea A(3)\displaystyle A(3) cu 2\displaystyle 2 și observăm că rezultatul coincide cu A(1)+A(5)\displaystyle A(1)+A(5), deci egalitatea este adevărată.
    2A(3)=2(−56−910)=(−1012−1820)=A(1)+A(5)\displaystyle 2A(3)=2\begin{pmatrix}-5&6\\-9&10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10&12\\-18&20\end{pmatrix}=A(1)+A(5)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−2a2a−3a1+3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1-2a & 2a\\ -3a & 1+3a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(1)⋅A(2)=A(5)\displaystyle A(1)\cdot A(2)=A(5).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în A(a)\displaystyle A(a): 1−2a=−1\displaystyle 1-2a=-1, 2a=2\displaystyle 2a=2, −3a=−3\displaystyle -3a=-3, 1+3a=4\displaystyle 1+3a=4.
    A(1)=(−12−34)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}-1&2\\-3&4\end{pmatrix}
  2. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 în A(a)\displaystyle A(a): 1−2a=−3\displaystyle 1-2a=-3, 2a=4\displaystyle 2a=4, −3a=−6\displaystyle -3a=-6, 1+3a=7\displaystyle 1+3a=7. Produsul devine înmulțirea celor două matrice.
    A(1)⋅A(2)=(−12−34)⋅(−34−67)\displaystyle A(1)\cdot A(2)=\begin{pmatrix}-1&2\\-3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-3&4\\-6&7\end{pmatrix}
  3. Prima linie: (−1)⋅(−3)+2⋅(−6)=3−12=−9\displaystyle (-1)\cdot(-3)+2\cdot(-6)=3-12=-9 și (−1)⋅4+2⋅7=−4+14=10\displaystyle (-1)\cdot 4+2\cdot 7=-4+14=10. A doua linie: (−3)⋅(−3)+4⋅(−6)=9−24=−15\displaystyle (-3)\cdot(-3)+4\cdot(-6)=9-24=-15 și (−3)⋅4+4⋅7=−12+28=16\displaystyle (-3)\cdot 4+4\cdot 7=-12+28=16.
    A(1)⋅A(2)=(−910−1516)\displaystyle A(1)\cdot A(2)=\begin{pmatrix}-9&10\\-15&16\end{pmatrix}
  4. Pentru a=5\displaystyle a=5: 1−2a=−9\displaystyle 1-2a=-9, 2a=10\displaystyle 2a=10, −3a=−15\displaystyle -3a=-15, 1+3a=16\displaystyle 1+3a=16. Se obține exact matricea produsului, deci egalitatea este adevărată.
    A(5)=(−910−1516)=A(1)⋅A(2)\displaystyle A(5)=\begin{pmatrix}-9&10\\-15&16\end{pmatrix}=A(1)\cdot A(2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−2a2a−3a1+3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1-2a & 2a\\ -3a & 1+3a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a pentru care matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă dacă și numai dacă det⁡(A(a))≠0\displaystyle \det(A(a))\neq 0. Scriem determinantul ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(a))=(1−2a)(1+3a)−(−3a)⋅2a\displaystyle \det(A(a))=(1-2a)(1+3a)-(-3a)\cdot 2a
  2. Desfacem parantezele: (1−2a)(1+3a)=1+3a−2a−6a2\displaystyle (1-2a)(1+3a)=1+3a-2a-6a^{2}, iar −(−3a)⋅2a=6a2\displaystyle -(-3a)\cdot 2a=6a^{2}.
    det⁡(A(a))=1+3a−2a−6a2+6a2\displaystyle \det(A(a))=1+3a-2a-6a^{2}+6a^{2}
  3. Reducem termenii asemenea: termenii cu a2\displaystyle a^{2} se anulează, iar 3a−2a=a\displaystyle 3a-2a=a.
    det⁡(A(a))=1+a\displaystyle \det(A(a))=1+a
  4. Punem condiția de inversabilitate: 1+a≠0\displaystyle 1+a\neq 0, deci a≠−1\displaystyle a\neq -1.
    a≠−1\displaystyle a\neq -1
  5. Matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă pentru orice număr real a\displaystyle a diferit de −1\displaystyle -1.
    a∈R∖{−1}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−2a2a−3a1+3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1-2a & 2a\\ -3a & 1+3a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că A(a)⋅A(−1)=A(−1)⋅A(a)=A(−1)\displaystyle A(a)\cdot A(-1)=A(-1)\cdot A(a)=A(-1), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea A(−1)\displaystyle A(-1) înlocuind a\displaystyle a cu −1\displaystyle -1 în fiecare element: 1−2a=1+2=3\displaystyle 1-2a=1+2=3, 2a=−2\displaystyle 2a=-2, −3a=3\displaystyle -3a=3, iar 1+3a=1−3=−2\displaystyle 1+3a=1-3=-2.
    A(−1)=(3−23−2)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}3&-2\\3&-2\end{pmatrix}
  2. Calculăm prima linie a produsului A(a)⋅A(−1)\displaystyle A(a)\cdot A(-1), înmulțind prima linie a lui A(a)\displaystyle A(a) cu fiecare coloană a lui A(−1)\displaystyle A(-1). Termenii în a\displaystyle a se reduc.
    (1−2a)⋅3+2a⋅3=3−6a+6a=3(1−2a)⋅(−2)+2a⋅(−2)=−2+4a−4a=−2\displaystyle \begin{aligned}(1-2a)\cdot 3+2a\cdot 3&=3-6a+6a=3\\(1-2a)\cdot(-2)+2a\cdot(-2)&=-2+4a-4a=-2\end{aligned}
  3. Calculăm a doua linie a produsului A(a)⋅A(−1)\displaystyle A(a)\cdot A(-1) în același fel și obținem A(−1)\displaystyle A(-1), pentru orice a\displaystyle a real.
    −3a⋅3+(1+3a)⋅3=−9a+3+9a=3−3a⋅(−2)+(1+3a)⋅(−2)=6a−2−6a=−2  ⇒  A(a)⋅A(−1)=(3−23−2)=A(−1)\displaystyle \begin{aligned}-3a\cdot 3+(1+3a)\cdot 3&=-9a+3+9a=3\\-3a\cdot(-2)+(1+3a)\cdot(-2)&=6a-2-6a=-2\end{aligned}\;\Rightarrow\; A(a)\cdot A(-1)=\begin{pmatrix}3&-2\\3&-2\end{pmatrix}=A(-1)
  4. Calculăm acum A(−1)⋅A(a)\displaystyle A(-1)\cdot A(a). Cele două linii ale lui A(−1)\displaystyle A(-1) sunt egale, deci ambele linii ale produsului sunt egale. Calculăm prima linie.
    3(1−2a)+(−2)(−3a)=3−6a+6a=33⋅2a+(−2)(1+3a)=6a−2−6a=−2\displaystyle \begin{aligned}3(1-2a)+(-2)(-3a)&=3-6a+6a=3\\3\cdot 2a+(-2)(1+3a)&=6a-2-6a=-2\end{aligned}
  5. A doua linie a produsului dă aceleași valori, deci A(−1)⋅A(a)=A(−1)\displaystyle A(-1)\cdot A(a)=A(-1). Împreună cu rezultatul anterior, egalitățile cerute sunt demonstrate pentru orice număr real a\displaystyle a.
    A(−1)⋅A(a)=(3−23−2)=A(−1), deci A(a)⋅A(−1)=A(−1)⋅A(a)=A(−1), pentru orice a∈R\displaystyle A(-1)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}3&-2\\3&-2\end{pmatrix}=A(-1)\text{, deci }A(a)\cdot A(-1)=A(-1)\cdot A(a)=A(-1)\text{, pentru orice }a\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−2a2a−3a1+3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1-2a & 2a\\ -3a & 1+3a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele naturale nenule n\displaystyle n pentru care det⁡(A(n4))<32\displaystyle \det\left(A\left(n^4\right)\right)<32.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡A(a)=(1−2a)(1+3a)−2a⋅(−3a)\displaystyle \det A(a)=(1-2a)(1+3a)-2a\cdot(-3a).
    det⁡A(a)=(1−2a)(1+3a)−2a⋅(−3a)\displaystyle \det A(a)=(1-2a)(1+3a)-2a\cdot(-3a)
  2. Efectuăm calculele: (1−2a)(1+3a)=1+3a−2a−6a2=1+a−6a2\displaystyle (1-2a)(1+3a)=1+3a-2a-6a^{2}=1+a-6a^{2}, iar −2a⋅(−3a)=6a2\displaystyle -2a\cdot(-3a)=6a^{2}. Termenii în a2\displaystyle a^{2} se reduc.
    det⁡A(a)=1+a−6a2+6a2=1+a\displaystyle \det A(a)=1+a-6a^{2}+6a^{2}=1+a
  3. Înlocuim a=n4\displaystyle a=n^{4} în formula det⁡A(a)=1+a\displaystyle \det A(a)=1+a.
    det⁡(A(n4))=1+n4\displaystyle \det\left(A\left(n^{4}\right)\right)=1+n^{4}
  4. Impunem condiția din enunț: 1+n4<32\displaystyle 1+n^{4}<32. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem n4<31\displaystyle n^{4}<31.
    1+n4<32⇔n4<31\displaystyle 1+n^{4}<32\Leftrightarrow n^{4}<31
  5. Verificăm numerele naturale nenule: 14=1<31\displaystyle 1^{4}=1<31, 24=16<31\displaystyle 2^{4}=16<31, dar 34=81>31\displaystyle 3^{4}=81>31. Pentru n≥3\displaystyle n\geq 3 avem n4≥81>31\displaystyle n^{4}\geq 81>31, deci inegalitatea nu mai este adevărată. Rămân doar valorile n=1\displaystyle n=1 și n=2\displaystyle n=2.
    n=1 sau n=2\displaystyle n=1\text{ sau }n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.