Bac matematică M4 pedagogic 2024, sesiunea a II-a varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2(2+3)−32+2=4\displaystyle \sqrt{2}\left(\sqrt{2}+3\right)-3\sqrt{2}+2=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se desface paranteza aplicând distributivitatea înmulțirii față de adunare: se înmulțește 2\displaystyle \sqrt{2} cu fiecare termen din paranteză.
    2(2+3)−32+2=2⋅2+32−32+2=\displaystyle \sqrt{2}\left(\sqrt{2}+3\right)-3\sqrt{2}+2=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2=
  2. Se calculează produsul 2⋅2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}, care este egal cu 2\displaystyle 2, deoarece 2⋅2=(2)2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=(\sqrt{2})^2=2.
    2⋅2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2
  3. Se înlocuiește produsul calculat în expresie, obținându-se 2+32−32+2\displaystyle 2+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2.
    2+32−32+2\displaystyle 2+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2
  4. Se reduc termenii asemenea 32\displaystyle 3\sqrt{2} și −32\displaystyle -3\sqrt{2}, care se anulează reciproc, rămânând doar termenii numerici, care se adună pentru a obține rezultatul final.
    =2+2=4\displaystyle =2+2=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=3x+2\displaystyle f(x)=3x+2 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, g(x)=2x+3\displaystyle g(x)=2x+3. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care f(m)=g(m)\displaystyle f(m)=g(m).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea funcției f\displaystyle f în punctul m\displaystyle m, înlocuind x\displaystyle x cu m\displaystyle m în expresia f(x)=3x+2\displaystyle f(x)=3x+2.
    f(m)=3m+2, pentru orice numa˘r real m\displaystyle f(m)=3m+2\text{, pentru orice număr real }m
  2. Se calculează valoarea funcției g\displaystyle g în punctul m\displaystyle m, înlocuind x\displaystyle x cu m\displaystyle m în expresia g(x)=2x+3\displaystyle g(x)=2x+3.
    g(m)=2m+3, pentru orice numa˘r real m\displaystyle g(m)=2m+3\text{, pentru orice număr real }m
  3. Se pune condiția din enunț, f(m)=g(m)\displaystyle f(m)=g(m), și se scrie ecuația obținută prin înlocuirea expresiilor calculate anterior.
    3m+2=2m+3\displaystyle 3m+2=2m+3
  4. Se rezolvă ecuația: se trec termenii cu m\displaystyle m într-o parte și termenii liberi în cealaltă parte, apoi se simplifică.
    3m−2m=3−2\displaystyle 3m-2m=3-2
  5. Se obține valoarea lui m\displaystyle m care satisface egalitatea f(m)=g(m)\displaystyle f(m)=g(m).
    m=1\displaystyle m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 24x−3=22−x\displaystyle 2^{4x-3}=2^{2-x}.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că ambii membri ai ecuației au aceeași bază, 2\displaystyle 2, deci ecuația este de forma 2f(x)=2g(x)\displaystyle 2^{f(x)}=2^{g(x)}.
    24x−3=22−x\displaystyle 2^{4x-3}=2^{2-x}
  2. Deoarece funcția exponențială f(t)=2t\displaystyle f(t)=2^t este injectivă (strict monotonă) pe mulțimea numerelor reale, egalitatea puterilor implică egalitatea exponenților.
    4x−3=2−x\displaystyle 4x-3=2-x
  3. Se rezolvă ecuația liniară obținută: se trec termenii cu x\displaystyle x într-o parte și cei numerici în cealaltă parte.
    4x−3=2−x, de unde obținem 5x=5\displaystyle 4x-3=2-x\text{, de unde obținem }5x=5
  4. Se împarte ecuația 5x=5\displaystyle 5x=5 prin 5\displaystyle 5 pentru a determina valoarea lui x\displaystyle x.
    x=55\displaystyle x=\frac{5}{5}
  5. Se simplifică fracția și se obține soluția finală a ecuației.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, numărul 2n+1\displaystyle 2n+1 să aparțină mulțimii A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică mulțimea A\displaystyle A și numărul total de elemente ale acesteia, care reprezintă numărul cazurilor posibile.
    A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, deci 9 cazuri posibile\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\text{, deci }9\text{ cazuri posibile}
  2. Se calculează valoarea lui 2n+1\displaystyle 2n+1 pentru fiecare n\displaystyle n din A\displaystyle A, pentru a stabili pentru care valori ale lui n\displaystyle n rezultatul aparține tot mulțimii A\displaystyle A.
    2n+1∈{3,5,7,9,11,13,15,17,19}, pentru n=1\displaystyle 2n+1\in\{3,5,7,9,11,13,15,17,19\}\text{, pentru }n=1,2\displaystyle 2,…\displaystyle \ldots,9\displaystyle 9
  3. Se impune condiția ca 2n+1\displaystyle 2n+1 să fie cel mult 9\displaystyle 9 (cel mai mare element din A\displaystyle A), deoarece 2n+1\displaystyle 2n+1 este întotdeauna impar, deci apartenența la A\displaystyle A revine la a fi mai mic sau egal cu 9\displaystyle 9.
    2n+1≤9  ⟺  n≤4\displaystyle 2n+1\le 9\iff n\le 4
  4. Se verifică valorile n=1,2,3,4\displaystyle n=1,2,3,4, obținându-se 2n+1=3,5,7,9\displaystyle 2n+1=3,5,7,9, toate aparținând lui A\displaystyle A, în timp ce pentru n≥5\displaystyle n\ge 5, 2n+1≥11\displaystyle 2n+1\ge 11 nu mai aparține lui A\displaystyle A. Se numără cazurile favorabile și se calculează probabilitatea.
    n∈{1,2,3,4}, deci sunt 4 cazuri favorabile, de \displaystyle n\in\{1,2,3,4\}\text{, deci sunt }4\text{ cazuri favorabile, de }unde obținem p=49\displaystyle \text{unde obținem }p=\dfrac{4}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,0)\displaystyle A(3,0) și B(0,4)\displaystyle B(0,4). Calculați aria triunghiului AOB\displaystyle AOB.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică punctele din reper: originea O(0,0)\displaystyle O(0,0), A(3,0)\displaystyle A(3,0) situat pe axa Ox\displaystyle Ox și B(0,4)\displaystyle B(0,4) situat pe axa Oy\displaystyle Oy.
    O(0,0)\displaystyle O(0,0), A(3,0)\displaystyle \ A(3,0), B(0,4)\displaystyle \ B(0,4)
  2. Se observă că OA\displaystyle OA este segment pe axa Ox\displaystyle Ox, iar OB\displaystyle OB este segment pe axa Oy\displaystyle Oy, deci unghiul dintre OA\displaystyle OA și OB\displaystyle OB (unghiul din O\displaystyle O) este de 90°\displaystyle 90°, adică triunghiul AOB\displaystyle AOB este dreptunghic în O\displaystyle O.
    ∠AOB=90∘\displaystyle \angle AOB=90^\circ
  3. Se calculează lungimile catetelor AO\displaystyle AO și BO\displaystyle BO folosind coordonatele punctelor (distanța de la origine la fiecare punct de pe axă este egală cu valoarea absolută a coordonatei nenule).
    AO=32+02=3\displaystyle AO=\sqrt{3^2+0^2}=3, BO=02+42=4\displaystyle \ BO=\sqrt{0^2+4^2}=4
  4. Se scrie rezultatul obținut pentru lungimile celor două catete ale triunghiului dreptunghic AOB\displaystyle AOB.
    AO=3\displaystyle AO=3, BO=4\displaystyle \ BO=4
  5. Deoarece triunghiul este dreptunghic în O\displaystyle O, aria se calculează ca jumătate din produsul catetelor OA\displaystyle OA și OB\displaystyle OB.
    AΔAOB=AO⋅BO2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta AOB}=\dfrac{AO\cdot BO}{2}
  6. Se înlocuiesc valorile catetelor și se efectuează calculul pentru a obține aria triunghiului AOB\displaystyle AOB.
    AΔAOB=3⋅42=122=6\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta AOB}=\dfrac{3\cdot 4}{2}=\dfrac{12}{2}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că (sin⁡60∘+sin⁡30∘)(sin⁡60∘−sin⁡30∘)=sin⁡45∘⋅cos⁡45∘\displaystyle \left(\sin 60^\circ+\sin 30^\circ\right)\left(\sin 60^\circ-\sin 30^\circ\right)=\sin 45^\circ\cdot \cos 45^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Recunoaștem că membrul stâng are forma unui produs de tipul (a+b)(a−b)\displaystyle (a+b)(a-b), care se poate scrie ca diferență de pătrate.
    (sin⁡60∘+sin⁡30∘)(sin⁡60∘−sin⁡30∘)=sin⁡260∘−sin⁡230∘\displaystyle \left(\sin 60^\circ+\sin 30^\circ\right)\left(\sin 60^\circ-\sin 30^\circ\right)=\sin^2 60^\circ-\sin^2 30^\circ
  2. Reamintim valorile exacte ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 30°\displaystyle 30°, 45°\displaystyle 45° și 60°\displaystyle 60°, necesare pentru calculul direct.
    sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2},sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2},sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  3. Înlocuim valorile exacte în expresia diferenței de pătrate obținute la membrul stâng.
    sin⁡260∘−sin⁡230∘=(32)2−(12)2\displaystyle \sin^2 60^\circ-\sin^2 30^\circ=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2
  4. Calculăm pătratele și efectuăm scăderea pentru a obține valoarea membrului stâng.
    (32)2−(12)2=34−14=12\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}
  5. Calculăm membrul drept, înlocuind valorile lui sin⁡45°\displaystyle \sin 45° și cos⁡45°\displaystyle \cos 45°, apoi efectuăm produsul.
    sin⁡45∘⋅cos⁡45∘=(22)2=24=12\displaystyle \sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}
  6. Comparăm valorile obținute pentru cei doi membri și constatăm că egalitatea este adevărată, verificând astfel afirmația din enunț.
    (sin⁡60∘+sin⁡30∘)(sin⁡60∘−sin⁡30∘)=sin⁡45∘⋅cos⁡45∘⇔(32)2−(12)2=(22)2⇔12=12\displaystyle \left(\sin 60^\circ+\sin 30^\circ\right)\left(\sin 60^\circ-\sin 30^\circ\right)=\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ \Leftrightarrow \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=3xy−2(x+y−1)\displaystyle x\circ y=3xy-2(x+y-1).

Arătați că 1∘2=2\displaystyle 1\circ 2=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2 care trebuie înlocuite.
    x∘y=3xy−2(x+y−1), unde x=1\displaystyle x\circ y=3xy-2(x+y-1)\text{, unde }x=1, y=2\displaystyle \ y=2
  2. Se înlocuiesc valorile x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2 în formula legii de compoziție.
    1∘2=3⋅1⋅2−2(1+2−1)=\displaystyle 1\circ 2=3\cdot 1\cdot 2-2\left(1+2-1\right)=
  3. Se calculează produsul 3⋅1⋅2\displaystyle 3 \cdot 1 \cdot 2 și suma din paranteză 1+2−1\displaystyle 1+2-1.
    3⋅1⋅2=6 și 1+2−1=2\displaystyle 3\cdot 1\cdot 2=6\text{ și }1+2-1=2
  4. Se înlocuiesc rezultatele obținute și se efectuează scăderea finală, obținându-se rezultatul cerut.
    =6−2⋅2=6−4=2\displaystyle =6-2\cdot 2=6-4=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=3xy−2(x+y−1)\displaystyle x\circ y=3xy-2(x+y-1).

Arătați că e=1\displaystyle e=1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim definiția elementului neutru: un element e∈R\displaystyle e\in\mathbb{R} este neutru pentru legea "∘\displaystyle \circ" dacă x∘e=x\displaystyle x\circ e=x și e∘x=x\displaystyle e\circ x=x, pentru orice număr real x\displaystyle x. Vom verifica dacă e=1\displaystyle e=1 satisface aceste condiții.
    e=1 verifica˘ x∘e=x și e∘x=x\displaystyle e=1\text{ verifică }x\circ e=x\text{ și }e\circ x=x, pentru orice x∈R\displaystyle \text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}
  2. Calculăm x∘1\displaystyle x\circ 1 folosind definiția legii de compoziție, înlocuind y=1\displaystyle y=1 și dezvoltăm paranteza.
    x∘1=3⋅x⋅1−2(x+1−1)=3x−2⋅x=3x−2x\displaystyle x\circ 1=3\cdot x\cdot 1-2(x+1-1)=3x-2\cdot x=3x-2x
  3. Simplificăm expresia obținută și obținem că x∘1=x\displaystyle x\circ 1=x, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∘1=3⋅x⋅1−2(x+1−1)=3x−2x=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x\circ 1=3\cdot x\cdot 1-2(x+1-1)=3x-2x=x\text{, pentru orice număr real }x
  4. Calculăm 1∘x\displaystyle 1\circ x folosind definiția legii de compoziție, înlocuind x=1\displaystyle x=1 și y=x\displaystyle y=x, apoi dezvoltăm paranteza.
    1∘x=3⋅1⋅x−2(1+x−1)=3x−2⋅x=3x−2x\displaystyle 1\circ x=3\cdot 1\cdot x-2(1+x-1)=3x-2\cdot x=3x-2x
  5. Simplificăm expresia obținută, verificăm că și a doua condiție este îndeplinită și concluzionăm care este elementul neutru al legii de compoziție.
    1∘x=3⋅1⋅x−2(1+x−1)=3x−2x=x, pentru orice numa˘r real x, deci e=1 este elementul neutru al \displaystyle 1\circ x=3\cdot 1\cdot x-2(1+x-1)=3x-2x=x\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }e=1\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție „∘”\displaystyle \text{legii de compoziție „}\circ\text{”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=3xy−2(x+y−1)\displaystyle x\circ y=3xy-2(x+y-1).

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care (x∘2)+(x∘3)=5\displaystyle (x\circ 2)+(x\circ 3)=5.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție pentru perechea (x,2)\displaystyle (x,2): x∘2=3x⋅2−2(x+2−1)\displaystyle x\circ 2=3x\cdot 2-2(x+2-1)
    x∘2=3x⋅2−2(x+2−1)\displaystyle x\circ 2=3x\cdot 2-2(x+2-1)
  2. Se efectuează calculele: se înmulțește și se desface paranteza pentru x∘2\displaystyle x\circ 2
    x∘2=6x−2(x+1)=6x−2x−2=4x−2\displaystyle x\circ 2=6x-2(x+1)=6x-2x-2=4x-2
  3. Se scrie definiția legii de compoziție pentru perechea (x,3)\displaystyle (x,3): x∘3=3x⋅3−2(x+3−1)\displaystyle x\circ 3=3x\cdot 3-2(x+3-1)
    x∘3=3x⋅3−2(x+3−1)\displaystyle x\circ 3=3x\cdot 3-2(x+3-1)
  4. Se efectuează calculele: se înmulțește și se desface paranteza pentru x∘3\displaystyle x\circ 3
    x∘3=9x−2(x+2)=9x−2x−4=7x−4\displaystyle x\circ 3=9x-2(x+2)=9x-2x-4=7x-4
  5. Se adună cele două rezultate obținute pentru a forma expresia (x∘2)+(x∘3)\displaystyle (x\circ 2)+(x\circ 3), valabilă pentru orice număr real x\displaystyle x
    (x∘2)+(x∘3)=4x−2+7x−4=11x−6, pentru orice numa˘r real x\displaystyle (x\circ 2)+(x\circ 3)=4x-2+7x-4=11x-6\text{, pentru orice număr real }x
  6. Se pune condiția din enunț ca suma să fie egală cu 5\displaystyle 5 și se rezolvă ecuația liniară obținută
    11x−6=5⇒11x=11\displaystyle 11x-6=5\Rightarrow 11x=11
  7. Se împarte ecuația prin 11\displaystyle 11 pentru a obține valoarea lui x\displaystyle x
    11x−6=5, de unde obținem x=1\displaystyle 11x-6=5\text{, de unde obținem }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=3xy−2(x+y−1)\displaystyle x\circ y=3xy-2(x+y-1).

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care (3n+1)∘1<7\displaystyle (3n+1)\circ 1<7.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină elementul neutru e\displaystyle e al legii de compoziție, punând condiția x∘e=x\displaystyle x\circ e=x pentru orice x\displaystyle x real.
    3xe−2(x+e−1)=x⇒e(3x−2)=3x−2⇒e=1\displaystyle 3xe-2(x+e-1)=x\Rightarrow e(3x-2)=3x-2\Rightarrow e=1
  2. Se verifică faptul că e=1\displaystyle e=1 este elementul neutru și pentru celălalt sens al compunerii, deci 1\displaystyle 1 este element neutru pentru legea dată.
    1∘x=3x−2(x+1−1)=x, pentru orice x∈R\displaystyle 1\circ x=3x-2(x+1-1)=x\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  3. Se aplică proprietatea elementului neutru pentru x=3n+1\displaystyle x=3n+1, folosind faptul că 1\displaystyle 1 este element neutru, deci (3n+1)∘1=3n+1\displaystyle (3n+1)\circ 1=3n+1 pentru orice număr natural n\displaystyle n.
    (3n+1)∘1=3n+1, pentru orice numa˘r \displaystyle (3n+1)\circ 1=3n+1\text{, pentru orice număr }natural n\displaystyle \text{natural }n
  4. Se pune condiția ca rezultatul obținut să fie mai mic decât 7\displaystyle 7 și se rezolvă inecuația liniară în n\displaystyle n.
    3n+1<7\displaystyle 3n+1<7
  5. Se rezolvă inecuația, izolând n\displaystyle n, și se rețin doar soluțiile care sunt numere naturale.
    3n+1<7⇒3n<6⇒n<2, de unde obținem n<2 și, cum n este numa˘r natural, \displaystyle 3n+1<7\Rightarrow 3n<6\Rightarrow n<2\text{, de unde obținem }n<2\text{ și, cum }n\text{ este număr natural, }rezulta˘ n=0 și n=1\displaystyle \text{rezultă }n=0\text{ și }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=3xy−2(x+y−1)\displaystyle x\circ y=3xy-2(x+y-1).

Demonstrați că x∘y=3(x−23)(y−23)+23\displaystyle x\circ y=3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)\left(y-\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{2}{3}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la legea de compoziție dată în enunț.
    x∘y=3xy−2(x+y−1)\displaystyle x\circ y=3xy-2(x+y-1)
  2. Se desface paranteza, înmulțind cu −2\displaystyle -2.
    x∘y=3xy−2x−2y+2\displaystyle x\circ y=3xy-2x-2y+2
  3. Se scrie termenul liber 2\displaystyle 2 ca sumă de fracții, pregătind gruparea pentru factorul comun 23\displaystyle \dfrac{2}{3}.
    x∘y=3xy−2x−2y+43+23\displaystyle x\circ y=3xy-2x-2y+\dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{3}
  4. Se grupează termenii care conțin variabila x\displaystyle x și se scoate x\displaystyle x factor comun din primii doi termeni, respectiv se scoate −2\displaystyle -2 factor comun din următorii doi termeni, evidențiind expresia (y−23)\displaystyle \left(y-\dfrac{2}{3}\right).
    x∘y=3xy−2x−2y+43+23=3x(y−23)−2(y−23)+23=\displaystyle x\circ y=3xy-2x-2y+\dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{3}=3x\left(y-\dfrac{2}{3}\right)-2\left(y-\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{2}{3}=
  5. Se observă factorul comun (y−23)\displaystyle \left(y-\dfrac{2}{3}\right) în cei doi termeni și se scoate în evidență, obținând forma factorizată finală, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    =3(x−23)(y−23)+23, pentru orice numere \displaystyle =3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)\left(y-\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{2}{3}\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=3xy−2(x+y−1)\displaystyle x\circ y=3xy-2(x+y-1).

Arătați că (12∘23)∘(34∘45)=23\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\circ\dfrac{2}{3}\right)\circ\left(\dfrac{3}{4}\circ\dfrac{4}{5}\right)=\dfrac{2}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la legea de compoziție dată și se pune sub formă factorizată, pentru a evidenția un element special.
    x∘y=3xy−2(x+y−1)=3xy−2x−2y+2\displaystyle x\circ y=3xy-2(x+y-1)=3xy-2x-2y+2
  2. Se încearcă scrierea expresiei ca produs de tipul 3(x−23)(y−23)\displaystyle 3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)\left(y-\dfrac{2}{3}\right) plus o constantă, verificând identitatea prin dezvoltare.
    3(x−23)(y−23)+23=3xy−2x−2y+43+23=3xy−2x−2y+2\displaystyle 3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)\left(y-\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{2}{3}=3xy-2x-2y+\dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{3}=3xy-2x-2y+2
  3. Deoarece expresiile obținute coincid, se obține forma factorizată finală a legii de compoziție.
    x∘y=3(x−23)(y−23)+23, pentru orice x\displaystyle x\circ y=3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)\left(y-\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{2}{3}\text{, pentru orice }x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
  4. Se înlocuiește y=23\displaystyle y=\dfrac{2}{3} în forma factorizată pentru a observa că paranteza a doua se anulează, indiferent de x\displaystyle x.
    x∘23=3(x−23)(23−23)+23=3(x−23)⋅0+23=23\displaystyle x\circ \dfrac{2}{3}=3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{2}{3}=3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)\cdot 0+\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}
  5. Analog, înlocuind x=23\displaystyle x=\dfrac{2}{3}, se arată că și în cealaltă ordine rezultatul este tot 23\displaystyle \dfrac{2}{3}, deci 23\displaystyle \dfrac{2}{3} este element absorbant pentru orice x\displaystyle x real.
    x∘23=23∘x=23, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x\circ \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}\circ x=\dfrac{2}{3}\text{, pentru orice număr real }x
  6. Se calculează prima paranteză din expresia cerută, folosind faptul demonstrat mai sus, deoarece 12\displaystyle \dfrac{1}{2} compus cu 23\displaystyle \dfrac{2}{3} este exact de forma x∘23\displaystyle x\circ\dfrac{2}{3}.
    12∘23=23\displaystyle \dfrac{1}{2}\circ\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}
  7. Se înlocuiește rezultatul obținut în expresia totală, iar apoi se aplică din nou proprietatea elementului absorbant 23\displaystyle \dfrac{2}{3}, indiferent de valoarea celeilalte paranteze (34∘45)\displaystyle \left(\dfrac{3}{4}\circ\dfrac{4}{5}\right), obținând rezultatul final.
    (12∘23)∘(34∘45)=23∘(34∘45)=23\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\circ\dfrac{2}{3}\right)\circ\left(\dfrac{3}{4}\circ\dfrac{4}{5}\right)=\dfrac{2}{3}\circ\left(\dfrac{3}{4}\circ\dfrac{4}{5}\right)=\dfrac{2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a+1−11a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=1\displaystyle \det(A(1))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la matricea generală A(a)\displaystyle A(a) și se înlocuiește a=1\displaystyle a=1 în fiecare element al matricei.
    A(a)=(a+1−11a−1)⇒A(1)=(1+1−111−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{pmatrix}\Rightarrow A(1)=\begin{pmatrix}1+1&-1\\1&1-1\end{pmatrix}
  2. Se efectuează calculele numerice din elementele matricei pentru a obține forma finală a lui A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(2−110)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}
  3. Se scrie determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1) folosind notația cu bare verticale, pregătind aplicarea formulei ad−bc\displaystyle ad-bc.
    det⁡(A(1))=∣2−110∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}2&-1\\1&0\end{vmatrix}
  4. Se aplică formula determinantului de ordin 2\displaystyle 2, det⁡=ad−bc\displaystyle \det=ad-bc, identificând a=2\displaystyle a=2, b=−1\displaystyle b=-1, c=1\displaystyle c=1, d=0\displaystyle d=0, și se scrie produsul corespunzător.
    det⁡(A(1))=2⋅0−1⋅(−1)=\displaystyle \det(A(1))=2\cdot 0-1\cdot(-1)=
  5. Se efectuează înmulțirile: 2\displaystyle 2 înmulțit cu 0\displaystyle 0 dă 0\displaystyle 0, iar 1\displaystyle 1 înmulțit cu (−1)\displaystyle (-1) dă −1\displaystyle -1, deci se scade −1\displaystyle -1 din 0\displaystyle 0, adică se adună 1\displaystyle 1.
    =0−(−1)=0+1\displaystyle =0-(-1)=0+1
  6. Se finalizează calculul, obținând valoarea determinantului matricei A(1)\displaystyle A(1).
    =0+1=1\displaystyle =0+1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a+1−11a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că I2+A(a−1)=A(a)\displaystyle I_2+A(a-1)=A(a), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la matricea generală A(a)\displaystyle A(a) și determinăm matricea A(a−1)\displaystyle A(a-1), înlocuind pe a\displaystyle a cu a−1\displaystyle a-1 în fiecare element al matricei.
    A(a−1)=((a−1)+1−11(a−1)−1)=(a−11a−2)\displaystyle A(a-1)=\begin{pmatrix}(a-1)+1&-1\\1&(a-1)-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&-1\\1&a-2\end{pmatrix}
  2. Scriem suma I2+A(a−1)\displaystyle I_{2}+A(a-1), adunând cele două matrice element cu element (adunarea matricelor de aceeași dimensiune se face pe fiecare poziție).
    I2+A(a−1)=(1001)+(a−11a−2)=\displaystyle I_2+A(a-1)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a&-1\\1&a-2\end{pmatrix}=
  3. Efectuăm adunarea element cu element: primul element (1,1)\displaystyle (1,1) este 1+a\displaystyle 1+a, elementul (1,2)\displaystyle (1,2) este 0+(−1)\displaystyle 0+(-1), elementul (2,1)\displaystyle (2,1) este 0+1\displaystyle 0+1, elementul (2,2)\displaystyle (2,2) este 1+(a−2)\displaystyle 1+(a-2).
    I2+A(a−1)=(1+a0−10+11+(a−2))=(a+1−11a−1)\displaystyle I_2+A(a-1)=\begin{pmatrix}1+a&0-1\\0+1&1+(a-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{pmatrix}
  4. Comparăm rezultatul obținut cu matricea A(a)\displaystyle A(a) dată în enunț: se observă că cele două matrice coincid element cu element, deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real a\displaystyle a.
    =(a+1−11a−1)=A(a), pentru orice numa˘r real a\displaystyle =\begin{pmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{pmatrix}=A(a)\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a+1−11a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(A(a))=a\displaystyle \det(A(a))=a.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A(a)\displaystyle A(a) și se identifică elementele necesare pentru calculul determinantului de ordin 2\displaystyle 2.
    A(a)=(a+1−11a−1), deci det⁡(A(a))=∣a+1−11a−1∣\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{pmatrix}\text{, deci }\det(A(a))=\begin{vmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{vmatrix}
  2. Se aplică formula determinantului de ordin doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(a))=(a+1)⋅(a−1)−1⋅(−1)\displaystyle \det(A(a))=(a+1)\cdot(a-1)-1\cdot(-1)
  3. Se calculează produsul (a+1)(a−1)\displaystyle (a+1)(a-1) folosind formula de calcul prescurtat, apoi se efectuează operațiile rămase pentru a obține forma finală a determinantului.
    det⁡(A(a))=(a2−1)+1=a2, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(A(a))=(a^2-1)+1=a^2\text{, pentru orice număr real }a
  4. Se pune condiția din enunț ca determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) să fie egal cu a\displaystyle a, obținându-se ecuația de gradul al doilea în a\displaystyle a.
    a2=a\displaystyle a^2=a
  5. Se trece totul într-un singur membru și se factorizează expresia obținută, dând factor comun pe a\displaystyle a.
    a2−a=0⇔a(a−1)=0\displaystyle a^2-a=0\Leftrightarrow a(a-1)=0
  6. Un produs de doi factori este nul dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este nul, obținându-se soluțiile ecuației.
    a2=a, de unde obținem a=0 sau a=1\displaystyle a^2=a\text{, de unde obținem }a=0\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a+1−11a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care A(a)⋅A(a)=(8−440)\displaystyle A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}8&-4\\4&0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit matricea A(a)\displaystyle A(a) și se pregătește calculul produsului A(a)⋅A(a)\displaystyle A(a)\cdot A(a), înmulțind fiecare linie a primei matrice cu fiecare coloană a celei de-a doua.
    A(a)⋅A(a)=((a+1)(a+1)+(−1)(1)(a+1)(−1)+(−1)(a−1)(1)(a+1)+(a−1)(1)(1)(−1)+(a−1)(a−1))\displaystyle A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}(a+1)(a+1)+(-1)(1)&(a+1)(-1)+(-1)(a-1)\\(1)(a+1)+(a-1)(1)&(1)(-1)+(a-1)(a-1)\end{pmatrix}
  2. Se efectuează calculele pentru fiecare element al matricei produs, simplificând expresiile obținute.
    (a2+2a+1−1−a−1−a+1a+1+a−1−1+a2−2a+1)=(a2+2a−2a2aa2−2a)\displaystyle \begin{pmatrix}a^2+2a+1-1&-a-1-a+1\\a+1+a-1&-1+a^2-2a+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2+2a&-2a\\2a&a^2-2a\end{pmatrix}
  3. Se obține forma finală a produsului A(a)⋅A(a)\displaystyle A(a)\cdot A(a), valabilă pentru orice număr real a\displaystyle a.
    A(a)⋅A(a)=(a+1−11a−1)(a+1−11a−1)=(a2+2a−2a2aa2−2a), pentru orice numa˘r real a\displaystyle A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2+2a&-2a\\2a&a^2-2a\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }a
  4. Se pune condiția ca produsul A(a)⋅A(a)\displaystyle A(a)\cdot A(a) să fie egal cu matricea dată în enunț, egalând elementele corespunzătoare și obținând un sistem de ecuații în a\displaystyle a.
    (a2+2a−2a2aa2−2a)=(8−440)⇒{a2+2a=8−2a=−42a=4a2−2a=0\displaystyle \begin{pmatrix}a^2+2a&-2a\\2a&a^2-2a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&-4\\4&0\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{cases}a^2+2a=8\\-2a=-4\\2a=4\\a^2-2a=0\end{cases}
  5. Din ecuația −2a=−4\displaystyle -2a=-4 (respectiv 2a=4\displaystyle 2a=4) se obține a=2\displaystyle a=2; se verifică apoi în celelalte două ecuații: a2+2a=4+4=8\displaystyle a^{2}+2a=4+4=8 (adevărat) și a2−2a=4−4=0\displaystyle a^{2}-2a=4-4=0 (adevărat), deci soluția este valabilă.
    a=2, verifica˘ toate \displaystyle a=2\text{, verifică toate }ecuațiile sistemului\displaystyle \text{ecuațiile sistemului}
  6. Se scrie concluzia finală: egalarea matricelor conduce la soluția unică a=2\displaystyle a=2.
    (a2+2a−2a2aa2−2a)=(8−440), de unde obținem a=2\displaystyle \begin{pmatrix}a^2+2a&-2a\\2a&a^2-2a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&-4\\4&0\end{pmatrix}\text{, de unde obținem }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a+1−11a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care X⋅A(1)=A(2)\displaystyle X\cdot A(1)=A(2).
Vezi rezolvarea
  1. Se determină matricea A(1)\displaystyle A(1) înlocuind a=1\displaystyle a=1 în expresia lui A(a)\displaystyle A(a): prima linie devine (1+1,−1)=(2,−1)\displaystyle (1+1, -1) = (2, -1), iar a doua linie devine (1,1−1)=(1,0)\displaystyle (1, 1-1) = (1, 0).
    A(1)=(2−110)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}
  2. Se determină matricea A(2)\displaystyle A(2) înlocuind a=2\displaystyle a=2 în expresia lui A(a)\displaystyle A(a): prima linie devine (2+1,−1)=(3,−1)\displaystyle (2+1, -1) = (3, -1), iar a doua linie devine (1,2−1)=(1,1)\displaystyle (1, 2-1) = (1, 1).
    A(2)=(3−111)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}3&-1\\1&1\end{pmatrix}
  3. Se calculează determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1) pentru a verifica dacă aceasta este inversabilă: det⁡(A(1))=2⋅0−(−1)⋅1=0+1=1\displaystyle \det(A(1)) = 2\cdot 0 - (-1)\cdot 1 = 0+1 = 1, deci A(1)\displaystyle A(1) este inversabilă.
    det⁡(A(1))=2⋅0−(−1)⋅1=1≠0\displaystyle \det(A(1))=2\cdot 0-(-1)\cdot 1=1\neq 0
  4. Se calculează matricea adjunctă (transpusa matricei cofactorilor) a lui A(1)\displaystyle A(1): cofactorii sunt C11=0\displaystyle C_{11}=0, C12=−1\displaystyle C_{12}=-1, C21=1\displaystyle C_{21}=1, C22=2\displaystyle C_{22}=2, iar adjuncta este transpusa acestei matrice de cofactori.
    A∗(1)=(01−12)\displaystyle A^{*}(1)=\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}
  5. Se determină inversa lui A(1)\displaystyle A(1) folosind formula A−1=1det⁡(A)A∗\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}A^{*}, iar cum determinantul este 1\displaystyle 1, inversa coincide cu adjuncta calculată anterior.
    A−1(1)=11(01−12)=(01−12)\displaystyle A^{-1}(1)=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}
  6. Se calculează matricea X\displaystyle X prin înmulțirea lui A(2)\displaystyle A(2) cu inversa lui A(1)\displaystyle A(1), la dreapta, element cu element: pe prima linie, prima coloană se obține 3⋅0+(−1)⋅(−1)=1\displaystyle 3\cdot 0+(-1)\cdot(-1)=1, pe prima linie, a doua coloană se obține 3⋅1+(−1)⋅2=1\displaystyle 3\cdot 1+(-1)\cdot 2=1, pe a doua linie, prima coloană se obține 1⋅0+1⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot 0+1\cdot(-1)=-1, iar pe a doua linie, a doua coloană se obține 1⋅1+1⋅2=3\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 2=3.
    X=(3−111)(01−12)=(11−13)\displaystyle X=\begin{pmatrix}3&-1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\-1&3\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a+1−11a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că det⁡(A(a)+I2)≥0\displaystyle \det(A(a)+I_2)\geq 0, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A(a)+I2\displaystyle A(a)+I_2 adunând element cu element matricea A(a)\displaystyle A(a) cu matricea unitate I2\displaystyle I_2.
    A(a)+I2=(a+1−11a−1)+(1001)=(a+2−11a)\displaystyle A(a)+I_2=\begin{pmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+2&-1\\1&a\end{pmatrix}
  2. Se calculează determinantul matricei obținute, folosind formula determinantului pentru o matrice 2×2\displaystyle 2\times 2: det⁡=\displaystyle \det= produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(a)+I2)=(a+2)⋅a−(−1)⋅1=a2+2a+1\displaystyle \det(A(a)+I_2)=(a+2)\cdot a-(-1)\cdot 1=a^2+2a+1
  3. Se scrie forma finală a determinantului, valabilă pentru orice număr real a\displaystyle a, confirmând primul pas de control din barem.
    A(a)+I2=(a+2−11a)⇒det⁡(A(a)+I2)=a2+2a+1, pentru orice numa˘r real a\displaystyle A(a)+I_2=\begin{pmatrix}a+2&-1\\1&a\end{pmatrix}\Rightarrow \det(A(a)+I_2)=a^2+2a+1\text{, pentru orice număr real }a
  4. Se recunoaște că expresia obținută este un pătrat perfect, folosind formula (a+1)2=a2+2a+1\displaystyle (a+1)^2=a^2+2a+1, și se observă că un pătrat perfect este întotdeauna nenegativ.
    a2+2a+1=(a+1)2≥0, pentru orice numa˘r real a\displaystyle a^2+2a+1=(a+1)^2\geq 0\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.