Bac matematică M4 pedagogic 2015, sesiunea a II-a varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (2+(12)4):3316=1\displaystyle \left(2+\left(\frac{1}{2}\right)^4\right):\frac{33}{16}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm puterea din paranteză: (12)4=1424=116\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\dfrac{1^{4}}{2^{4}}=\dfrac{1}{16}.
    (12)4=116\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{16}
  2. Adunăm 2\displaystyle 2 cu 116\displaystyle \dfrac{1}{16}, aducând pe 2\displaystyle 2 la numitorul 16\displaystyle 16: 2=3216\displaystyle 2=\dfrac{32}{16}, deci 2+116=3216+116=3316\displaystyle 2+\dfrac{1}{16}=\dfrac{32}{16}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{33}{16}.
    2+(12)4=2+116=3316\displaystyle 2+\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=2+\frac{1}{16}=\frac{33}{16}
  3. Înlocuim paranteza cu valoarea găsită și obținem 3316:3316\displaystyle \dfrac{33}{16}:\dfrac{33}{16}. Un număr nenul împărțit la el însuși este 1\displaystyle 1, deci expresia este egală cu 1\displaystyle 1, ceea ce trebuia arătat.
    3316:3316=1\displaystyle \frac{33}{16}:\frac{33}{16}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(2)+f(−2)=4\displaystyle f(2)+f(-2)=4, unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+a\displaystyle f(x)=x+a.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(2)\displaystyle f(2) înlocuind x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în formula f(x)=x+a\displaystyle f(x)=x+a.
    f(2)=2+a\displaystyle f(2)=2+a
  2. Calculăm f(−2)\displaystyle f(-2) înlocuind x\displaystyle x cu −2\displaystyle -2 în formula f(x)=x+a\displaystyle f(x)=x+a.
    f(−2)=−2+a\displaystyle f(-2)=-2+a
  3. Adunăm cele două valori și reducem termenii asemenea: 2\displaystyle 2 și −2\displaystyle -2 se anulează, rămâne 2a\displaystyle 2a.
    f(2)+f(−2)=(2+a)+(−2+a)=2a\displaystyle f(2)+f(-2)=(2+a)+(-2+a)=2a
  4. Folosim condiția din enunț, f(2)+f(−2)=4\displaystyle f(2)+f(-2)=4, și obținem ecuația 2a=4\displaystyle 2a=4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și aflăm a\displaystyle a.
    2a=4⇔a=2\displaystyle 2a=4\Leftrightarrow a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x2+2=33x\displaystyle 3^{x^2+2}=3^{3x}.
Vezi rezolvarea
  1. Ambele părți ale ecuației 3x2+2=33x\displaystyle 3^{x^2+2}=3^{3x} au aceeași bază, 3\displaystyle 3, pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1. Funcția exponențială este injectivă, deci egalăm exponenții.
    x2+2=3x\displaystyle x^{2}+2=3x
  2. Mutăm termenul 3x\displaystyle 3x în partea stângă și obținem ecuația de gradul al doilea x2−3x+2=0\displaystyle x^2-3x+2=0.
    x2+2=3x⇔x2−3x+2=0\displaystyle x^{2}+2=3x\Leftrightarrow x^{2}-3x+2=0
  3. Calculăm discriminantul pentru a=1\displaystyle a=1, b=−3\displaystyle b=-3, c=2\displaystyle c=2: Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^2-4ac.
    Δ=(−3)2−4⋅1⋅2=9−8=1\displaystyle \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1
  4. Aplicăm formula x=−b±Δ2a\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, deci x=3±12\displaystyle x=\dfrac{3\pm 1}{2}, de unde x1=3−12=1\displaystyle x_1=\dfrac{3-1}{2}=1 și x2=3+12=2\displaystyle x_2=\dfrac{3+1}{2}=2.
    x1=1 și x2=2\displaystyle x_1=1\text{ și }x_2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui obiect este 200\displaystyle 200 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două ori, succesiv, cu câte 10%\displaystyle 10\%.
Vezi rezolvarea
  1. La prima scumpire de 10%\displaystyle 10\%, calculăm mai întâi cât reprezintă 10%\displaystyle 10\% din prețul inițial de 200\displaystyle 200 de lei.
    10100⋅200=20 lei\displaystyle \frac{10}{100}\cdot 200=20\text{ lei}
  2. Adunăm creșterea la prețul inițial și obținem prețul după prima scumpire: 200+20\displaystyle 200+20.
    200+10100⋅200=220 de lei\displaystyle 200+\frac{10}{100}\cdot 200=220\text{ de lei}
  3. A doua scumpire se aplică la prețul curent de 220\displaystyle 220 de lei, nu la cel inițial. Calculăm 10%\displaystyle 10\% din 220\displaystyle 220.
    10100⋅220=22 lei\displaystyle \frac{10}{100}\cdot 220=22\text{ lei}
  4. Adunăm această creștere la 220\displaystyle 220 de lei și obținem prețul final al obiectului.
    220+10100⋅220=242 de lei\displaystyle 220+\frac{10}{100}\cdot 220=242\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele O(0,0)\displaystyle O(0,0), A(−3,4)\displaystyle A(-3,4) și B(3,4)\displaystyle B(3,4). Determinați distanța de la punctul O\displaystyle O la punctul M\displaystyle M, știind că M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula mijlocului unui segment: dacă A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B), atunci M(xA+xB2,yA+yB2)\displaystyle M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right).
    M(xA+xB2,yA+yB2)\displaystyle M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)
  2. Înlocuim coordonatele lui A(−3,4)\displaystyle A(-3,4) și B(3,4)\displaystyle B(3,4): xM=−3+32=0\displaystyle x_M=\dfrac{-3+3}{2}=0 și yM=4+42=4\displaystyle y_M=\dfrac{4+4}{2}=4. Deci M(0,4)\displaystyle M(0,4).
    M(0,4)\displaystyle M(0,4)
  3. Folosim formula distanței: OM=(xM−xO)2+(yM−yO)2=(0−0)2+(4−0)2=16\displaystyle OM=\sqrt{(x_M-x_O)^{2}+(y_M-y_O)^{2}}=\sqrt{(0-0)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{16}.
    OM=02+42=16\displaystyle OM=\sqrt{0^{2}+4^{2}}=\sqrt{16}
  4. Cum 16=4\displaystyle \sqrt{16}=4, obținem distanța cerută OM=4\displaystyle OM=4. Rezultatul se vede și direct: M\displaystyle M se află pe axa Oy\displaystyle Oy, la 4\displaystyle 4 unități de origine.
    OM=4\displaystyle OM=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că m(∢B)=45∘\displaystyle m(\sphericalangle B)=45^\circ și AB=AC=2\displaystyle AB=AC=\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel, cu AB=AC\displaystyle AB=AC, deci unghiurile de la bază sunt congruente: m(∢C)=m(∢B)=45∘\displaystyle m(\sphericalangle C)=m(\sphericalangle B)=45^\circ.
    m(∢C)=45∘\displaystyle m(\sphericalangle C)=45^\circ
  2. Suma unghiurilor unui triunghi este 180∘\displaystyle 180^\circ, deci m(∢A)=180∘−45∘−45∘=90∘\displaystyle m(\sphericalangle A)=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ. Triunghiul este dreptunghic în A\displaystyle A, iar catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC.
    m(∢A)=90∘\displaystyle m(\sphericalangle A)=90^\circ
  3. Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor, deci AΔABC=AB⋅AC2=2⋅22\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}.
    AΔABC=2⋅22\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}
  4. Calculăm: 2⋅2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2, deci AΔABC=22=1\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{2}{2}=1.
    AΔABC=1\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−2015\displaystyle x*y=x+y-2015.

Arătați că 1007∗1008=0\displaystyle 1007*1008=0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii de compoziție, x∗y=x+y−2015\displaystyle x*y=x+y-2015, și înlocuim x=1007\displaystyle x=1007 și y=1008\displaystyle y=1008.
    1007∗1008=1007+1008−2015\displaystyle 1007*1008=1007+1008-2015
  2. Calculăm suma 1007+1008\displaystyle 1007+1008, care este 2015\displaystyle 2015.
    1007+1008=2015\displaystyle 1007+1008=2015
  3. Scădem 2015\displaystyle 2015 din 2015\displaystyle 2015 și obținem 0\displaystyle 0, deci egalitatea cerută este adevărată.
    2015−2015=0, deci 1007∗1008=0\displaystyle 2015-2015=0\text{, deci }1007*1008=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−2015\displaystyle x*y=x+y-2015.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Asociativitatea înseamnă că (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z) pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}. Calculăm separat cele două grupări.
    (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z), ∀x\displaystyle \ \forall x,y\displaystyle y,z∈R\displaystyle z\in\mathbb{R}
  2. Mai întâi înlocuim x∗y\displaystyle x*y cu x+y−2015\displaystyle x+y-2015, apoi aplicăm legea între acest rezultat și z\displaystyle z: din a∗z=a+z−2015\displaystyle a*z=a+z-2015, cu a=x+y−2015\displaystyle a=x+y-2015.
    (x∗y)∗z=(x+y−2015)+z−2015\displaystyle (x*y)*z=(x+y-2015)+z-2015
  3. Reducem termenii constanți: −2015−2015=−4030\displaystyle -2015-2015=-4030.
    (x∗y)∗z=x+y+z−4030\displaystyle (x*y)*z=x+y+z-4030
  4. Calculăm acum cealaltă grupare. Înlocuim y∗z\displaystyle y*z cu y+z−2015\displaystyle y+z-2015, apoi aplicăm legea între x\displaystyle x și acest rezultat: din x∗b=x+b−2015\displaystyle x*b=x+b-2015, cu b=y+z−2015\displaystyle b=y+z-2015.
    x∗(y∗z)=x+(y+z−2015)−2015\displaystyle x*(y*z)=x+(y+z-2015)-2015
  5. Reducem termenii constanți și obținem aceeași expresie ca la prima grupare. Deci (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z) pentru orice x,y,z\displaystyle x,y,z reale, adică legea „∗\displaystyle *” este asociativă.
    x∗(y∗z)=x+y+z−4030=(x∗y)∗z\displaystyle x*(y*z)=x+y+z-4030=(x*y)*z
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−2015\displaystyle x*y=x+y-2015.

Verificați dacă e=2015\displaystyle e=2015 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția elementului neutru: e\displaystyle e este element neutru dacă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x. Vom verifica această egalitate pentru e=2015\displaystyle e=2015.
    x∗2015=2015∗x=x\displaystyle x*2015=2015*x=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Calculăm x∗2015\displaystyle x*2015 folosind definiția legii x∗y=x+y−2015\displaystyle x*y=x+y-2015, cu y=2015\displaystyle y=2015. Termenii 2015\displaystyle 2015 și −2015\displaystyle -2015 se reduc.
    x∗2015=x+2015−2015=x\displaystyle x*2015=x+2015-2015=x
  3. Calculăm acum 2015∗x\displaystyle 2015*x, înlocuind în definiția legii pe primul loc numărul 2015\displaystyle 2015. Din nou, termenii 2015\displaystyle 2015 și −2015\displaystyle -2015 se reduc, deci obținem x\displaystyle x.
    2015∗x=2015+x−2015=x\displaystyle 2015*x=2015+x-2015=x
  4. Din cele două calcule rezultă că x∗2015=2015∗x=x\displaystyle x*2015=2015*x=x pentru orice x\displaystyle x real, deci e=2015\displaystyle e=2015 este element neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    2015∗x=x∗2015=x\displaystyle 2015*x=x*2015=x, ∀x∈R, deci e=2015 este element neutru\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\text{, deci }e=2015\text{ este element neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−2015\displaystyle x*y=x+y-2015.

Determinați numărul real x\displaystyle x, știind că x∗x=2015\displaystyle x*x=2015.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru y=x\displaystyle y=x: x∗x=x+x−2015\displaystyle x*x=x+x-2015.
    x∗x=x+x−2015\displaystyle x*x=x+x-2015
  2. Din condiția x∗x=2015\displaystyle x*x=2015 obținem ecuația x+x−2015=2015\displaystyle x+x-2015=2015.
    x+x−2015=2015\displaystyle x+x-2015=2015
  3. Reducem termenii asemenea: 2x−2015=2015\displaystyle 2x-2015=2015. Adunăm 2015\displaystyle 2015 în ambii membri și obținem 2x=4030\displaystyle 2x=4030.
    2x=4030\displaystyle 2x=4030
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x=2015\displaystyle x=2015.
    x=2015\displaystyle x=2015
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−2015\displaystyle x*y=x+y-2015.

Arătați că x∗(x+2015)=(x+1007)∗(x+1008)\displaystyle x*(x+2015)=(x+1007)*(x+1008), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem definiția legii de compoziție: pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, a∗b=a+b−2015\displaystyle a*b=a+b-2015. O vom aplica separat celor doi membri ai egalității de demonstrat.
    a∗b=a+b−2015\displaystyle a*b=a+b-2015
  2. Calculăm membrul stâng: înlocuim a=x\displaystyle a=x și b=x+2015\displaystyle b=x+2015 în definiție.
    x∗(x+2015)=x+(x+2015)−2015\displaystyle x*(x+2015)=x+(x+2015)-2015
  3. Reducem termenii: +2015\displaystyle +2015 și −2015\displaystyle -2015 se anulează, deci membrul stâng este 2x\displaystyle 2x.
    x∗(x+2015)=2x\displaystyle x*(x+2015)=2x
  4. Calculăm membrul drept: înlocuim a=x+1007\displaystyle a=x+1007 și b=x+1008\displaystyle b=x+1008 în definiție.
    (x+1007)∗(x+1008)=(x+1007)+(x+1008)−2015\displaystyle (x+1007)*(x+1008)=(x+1007)+(x+1008)-2015
  5. Adunăm termenii: 1007+1008=2015\displaystyle 1007+1008=2015, iar 2015−2015=0\displaystyle 2015-2015=0. Rămâne 2x\displaystyle 2x, adică exact valoarea membrului stâng. Deci egalitatea este adevărată pentru orice x\displaystyle x real.
    (x+1007)∗(x+1008)=2x+2015−2015=2x=x∗(x+2015)\displaystyle (x+1007)*(x+1008)=2x+2015-2015=2x=x*(x+2015)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−2015\displaystyle x*y=x+y-2015.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x∗25x=−1985\displaystyle 5^x*25^x=-1985.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii: a∗b=a+b−2015\displaystyle a*b=a+b-2015, cu a=5x\displaystyle a=5^x și b=25x\displaystyle b=25^x. Ecuația devine 5x+25x−2015=−1985\displaystyle 5^x+25^x-2015=-1985.
    5x+25x−2015=−1985\displaystyle 5^x+25^x-2015=-1985
  2. Mutăm termenii în aceeași parte: 5x+25x=30\displaystyle 5^x+25^x=30. Scriem 25x=52x=(5x)2\displaystyle 25^x=5^{2x}=\left(5^x\right)^2, deci ecuația devine o ecuație în 5x\displaystyle 5^x.
    5x+52x−30=0⇔(5x)2+5x−30=0\displaystyle 5^x+5^{2x}-30=0\Leftrightarrow\left(5^x\right)^2+5^x-30=0
  3. Notăm t=5x\displaystyle t=5^x. Cum 5x>0\displaystyle 5^x>0 pentru orice x\displaystyle x real, avem t>0\displaystyle t>0. Ecuația devine t2+t−30=0\displaystyle t^2+t-30=0.
    t2+t−30=0\displaystyle t^2+t-30=0, t>0\displaystyle \ t>0
  4. Discriminantul este Δ=1+120=121\displaystyle \Delta=1+120=121, deci t=−1±112\displaystyle t=\dfrac{-1\pm 11}{2}. Rădăcinile sunt t1=5\displaystyle t_1=5 și t2=−6\displaystyle t_2=-6.
    t1=5, t2=−6\displaystyle t_1=5\text{, }t_2=-6
  5. Valoarea t=5\displaystyle t=5 este pozitivă, deci convine. Revenim la notație: 5x=5\displaystyle 5^x=5, de unde x=1\displaystyle x=1.
    5x=5⇔x=1\displaystyle 5^x=5\Leftrightarrow x=1
  6. Valoarea t=−6\displaystyle t=-6 nu convine, deoarece 5x>0\displaystyle 5^x>0. Deci 5x=−6\displaystyle 5^x=-6 nu are soluție reală, iar singura soluție a ecuației este x=1\displaystyle x=1.
    5x=−6 nu are soluție, deci x=1\displaystyle 5^x=-6\text{ nu are soluție, deci }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix} și B=(ab34)\displaystyle B=\begin{pmatrix}a&b\\3&4\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că det⁡A=3\displaystyle \det A=3.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordin 2: ∣pqrs∣=p⋅s−q⋅r\displaystyle \begin{vmatrix}p&q\\r&s\end{vmatrix}=p\cdot s-q\cdot r, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    ∣pqrs∣=p⋅s−q⋅r\displaystyle \begin{vmatrix}p&q\\r&s\end{vmatrix}=p\cdot s-q\cdot r
  2. Pentru matricea A\displaystyle A avem 1\displaystyle 1 și 0\displaystyle 0 pe diagonala principală, iar −1\displaystyle -1 și 3\displaystyle 3 pe diagonala secundară. Înlocuim în formulă.
    det⁡A=∣1−130∣=1⋅0−(−1)⋅3\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&-1\\3&0\end{vmatrix}=1\cdot 0-(-1)\cdot 3
  3. Calculăm produsele: 1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 0=0, iar −(−1)⋅3=+3\displaystyle -(-1)\cdot 3=+3. Astfel obținem 0+3\displaystyle 0+3, adică 3\displaystyle 3.
    det⁡A=0+3=3\displaystyle \det A=0+3=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix} și B=(ab34)\displaystyle B=\begin{pmatrix}a&b\\3&4\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b astfel încât B−A=4I2\displaystyle B-A=4I_2, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm diferența B−A\displaystyle B-A scăzând element cu element: a−1\displaystyle a-1, b−(−1)=b+1\displaystyle b-(-1)=b+1, 3−3=0\displaystyle 3-3=0, 4−0=4\displaystyle 4-0=4.
    B−A=(a−1b+104)\displaystyle B-A=\begin{pmatrix}a-1&b+1\\0&4\end{pmatrix}
  2. Calculăm 4I2\displaystyle 4I_2 înmulțind fiecare element al matricei unitate cu 4\displaystyle 4.
    4I2=(4004)\displaystyle 4I_2=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}
  3. Scriem egalitatea B−A=4I2\displaystyle B-A=4I_2 cu matricele obținute.
    (a−1b+104)=(4004)\displaystyle \begin{pmatrix}a-1&b+1\\0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}
  4. Două matrice sunt egale dacă elementele de pe aceleași poziții sunt egale. Din primul element obținem a−1=4\displaystyle a-1=4, iar din elementul de pe prima linie, a doua coloană, obținem b+1=0\displaystyle b+1=0. Celelalte egalități (0=0\displaystyle 0=0 și 4=4\displaystyle 4=4) sunt adevărate.
    a−1=4 și b+1=0\displaystyle a-1=4\text{ și }b+1=0
  5. Rezolvăm ecuațiile: a=4+1=5\displaystyle a=4+1=5 și b=−1\displaystyle b=-1.
    a=5 și b=−1\displaystyle a=5\text{ și }b=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix} și B=(ab34)\displaystyle B=\begin{pmatrix}a&b\\3&4\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Pentru a=0\displaystyle a=0, determinați numărul real b\displaystyle b pentru care det⁡B=9\displaystyle \det B=9.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=0\displaystyle a=0 matricea devine B=(0b34)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&b\\3&4\end{pmatrix}.
    B=(0b34)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&b\\3&4\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, deci det⁡B=0⋅4−b⋅3\displaystyle \det B=0\cdot 4-b\cdot 3.
    det⁡B=∣0b34∣=0⋅4−b⋅3=−3b\displaystyle \det B=\begin{vmatrix}0&b\\3&4\end{vmatrix}=0\cdot 4-b\cdot 3=-3b
  3. Din condiția det⁡B=9\displaystyle \det B=9 obținem ecuația −3b=9\displaystyle -3b=9.
    −3b=9\displaystyle -3b=9
  4. Împărțim ambii membri la −3\displaystyle -3 și obținem b=9−3\displaystyle b=\dfrac{9}{-3}.
    −3b=9⇔b=−3\displaystyle -3b=9\Leftrightarrow b=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix} și B=(ab34)\displaystyle B=\begin{pmatrix}a&b\\3&4\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că AB=BA\displaystyle AB=BA.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul AB\displaystyle AB, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B\displaystyle B. Prima linie: 1⋅a+(−1)⋅3=a−3\displaystyle 1\cdot a+(-1)\cdot 3=a-3, iar 1⋅b+(−1)⋅4=b−4\displaystyle 1\cdot b+(-1)\cdot 4=b-4. A doua linie: 3⋅a+0⋅3=3a\displaystyle 3\cdot a+0\cdot 3=3a, iar 3⋅b+0⋅4=3b\displaystyle 3\cdot b+0\cdot 4=3b.
    AB=(a−3b−43a3b)\displaystyle AB=\begin{pmatrix}a-3&b-4\\3a&3b\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul BA\displaystyle BA, înmulțind liniile lui B\displaystyle B cu coloanele lui A\displaystyle A. Prima linie: a⋅1+b⋅3=a+3b\displaystyle a\cdot 1+b\cdot 3=a+3b, iar a⋅(−1)+b⋅0=−a\displaystyle a\cdot(-1)+b\cdot 0=-a. A doua linie: 3⋅1+4⋅3=15\displaystyle 3\cdot 1+4\cdot 3=15, iar 3⋅(−1)+4⋅0=−3\displaystyle 3\cdot(-1)+4\cdot 0=-3.
    AB=(a−3b−43a3b)\displaystyle AB=\begin{pmatrix}a-3&b-4\\3a&3b\end{pmatrix}, BA=(a+3b−a15−3)\displaystyle \ BA=\begin{pmatrix}a+3b&-a\\15&-3\end{pmatrix}
  3. Egalitatea AB=BA\displaystyle AB=BA înseamnă că elementele corespunzătoare ale celor două matrice sunt egale. Obținem un sistem de patru ecuații.
    {a−3=a+3bb−4=−a3a=153b=−3\displaystyle \begin{cases}a-3=a+3b\\b-4=-a\\3a=15\\3b=-3\end{cases}
  4. Din prima ecuație, a\displaystyle a se reduce și rămâne −3=3b\displaystyle -3=3b, deci b=−1\displaystyle b=-1. Din a treia ecuație, a=5\displaystyle a=5. Verificăm în a doua ecuație: b−4=−1−4=−5\displaystyle b-4=-1-4=-5, iar −a=−5\displaystyle -a=-5, deci se verifică. Valorile a=5\displaystyle a=5 și b=−1\displaystyle b=-1 verifică toate cele patru ecuații.
    a=5 și b=−1\displaystyle a=5\text{ și }b=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix} și B=(ab34)\displaystyle B=\begin{pmatrix}a&b\\3&4\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că inversa matricei A\displaystyle A este matricea (013−113)\displaystyle \begin{pmatrix}0&\frac{1}{3}\\-1&\frac{1}{3}\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu C=(013−113)\displaystyle C=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{3}\\-1&\frac{1}{3}\end{pmatrix} matricea dată. Pentru a arăta că C=A−1\displaystyle C=A^{-1}, verificăm că A⋅C=I2\displaystyle A\cdot C=I_2 și C⋅A=I2\displaystyle C\cdot A=I_2.
    A⋅C=I2 și C⋅A=I2\displaystyle A\cdot C=I_2\text{ și }C\cdot A=I_2
  2. Calculăm A⋅C\displaystyle A\cdot C, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui C\displaystyle C: 1⋅0+(−1)⋅(−1)=1\displaystyle 1\cdot 0+(-1)\cdot(-1)=1, 1⋅13+(−1)⋅13=0\displaystyle 1\cdot\frac{1}{3}+(-1)\cdot\frac{1}{3}=0, 3⋅0+0⋅(−1)=0\displaystyle 3\cdot 0+0\cdot(-1)=0, 3⋅13+0⋅13=1\displaystyle 3\cdot\frac{1}{3}+0\cdot\frac{1}{3}=1.
    A⋅C=(1⋅0+(−1)⋅(−1)1⋅13+(−1)⋅133⋅0+0⋅(−1)3⋅13+0⋅13)\displaystyle A\cdot C=\begin{pmatrix}1\cdot 0+(-1)\cdot(-1)&1\cdot\frac{1}{3}+(-1)\cdot\frac{1}{3}\\3\cdot 0+0\cdot(-1)&3\cdot\frac{1}{3}+0\cdot\frac{1}{3}\end{pmatrix}
  3. Efectuăm calculele și obținem A⋅C=(1001)=I2\displaystyle A\cdot C=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2.
    A⋅C=(1001)=I2\displaystyle A\cdot C=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
  4. Calculăm C⋅A\displaystyle C\cdot A, înmulțind liniile lui C\displaystyle C cu coloanele lui A\displaystyle A: 0⋅1+13⋅3=1\displaystyle 0\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot 3=1, 0⋅(−1)+13⋅0=0\displaystyle 0\cdot(-1)+\frac{1}{3}\cdot 0=0, (−1)⋅1+13⋅3=0\displaystyle (-1)\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot 3=0, (−1)⋅(−1)+13⋅0=1\displaystyle (-1)\cdot(-1)+\frac{1}{3}\cdot 0=1.
    C⋅A=(0⋅1+13⋅30⋅(−1)+13⋅0(−1)⋅1+13⋅3(−1)⋅(−1)+13⋅0)\displaystyle C\cdot A=\begin{pmatrix}0\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot 3&0\cdot(-1)+\frac{1}{3}\cdot 0\\(-1)\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot 3&(-1)\cdot(-1)+\frac{1}{3}\cdot 0\end{pmatrix}
  5. Rezultă C⋅A=(1001)=I2\displaystyle C\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2. Cum A⋅C=C⋅A=I2\displaystyle A\cdot C=C\cdot A=I_2, matricea C\displaystyle C este inversa lui A\displaystyle A.
    C⋅A=(1001)=I2, deci A−1=(013−113)\displaystyle C\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2\text{, deci }A^{-1}=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{3}\\-1&\frac{1}{3}\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix} și B=(ab34)\displaystyle B=\begin{pmatrix}a&b\\3&4\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Pentru a=b=1\displaystyle a=b=1, rezolvați în M2(R)\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) ecuația B⋅X=A\displaystyle B\cdot X=A.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 și b=1\displaystyle b=1 în matricea B\displaystyle B și obținem B=(1134)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\3&4\end{pmatrix}. Ecuația este B⋅X=A\displaystyle B\cdot X=A.
    B=(1134)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\3&4\end{pmatrix}
  2. Calculăm det⁡B=1⋅4−1⋅3=1\displaystyle \det B=1\cdot 4-1\cdot 3=1. Deoarece det⁡B≠0\displaystyle \det B\neq 0, matricea B\displaystyle B este inversabilă.
    det⁡B=1⋅4−1⋅3=1\displaystyle \det B=1\cdot 4-1\cdot 3=1
  3. Pentru o matrice (pqrs)\displaystyle \begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix} cu determinantul d\displaystyle d, inversa este 1d(s−q−rp)\displaystyle \dfrac{1}{d}\begin{pmatrix}s&-q\\-r&p\end{pmatrix}. Cu d=1\displaystyle d=1 obținem inversa lui B\displaystyle B.
    B−1=(4−1−31)\displaystyle B^{-1}=\begin{pmatrix}4&-1\\-3&1\end{pmatrix}
  4. Înmulțim ecuația B⋅X=A\displaystyle B\cdot X=A la stânga cu B−1\displaystyle B^{-1}. Cum B−1⋅B=I2\displaystyle B^{-1}\cdot B=I_2, obținem X=B−1⋅A\displaystyle X=B^{-1}\cdot A.
    X=B−1⋅A=(4−1−31)⋅(1−130)\displaystyle X=B^{-1}\cdot A=\begin{pmatrix}4&-1\\-3&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix}
  5. Calculăm produsul linie pe coloană: 4⋅1+(−1)⋅3=1\displaystyle 4\cdot 1+(-1)\cdot 3=1, 4⋅(−1)+(−1)⋅0=−4\displaystyle 4\cdot(-1)+(-1)\cdot 0=-4, −3⋅1+1⋅3=0\displaystyle -3\cdot 1+1\cdot 3=0, −3⋅(−1)+1⋅0=3\displaystyle -3\cdot(-1)+1\cdot 0=3.
    X=(4⋅1−1⋅34⋅(−1)−1⋅0−3⋅1+1⋅3−3⋅(−1)+1⋅0)\displaystyle X=\begin{pmatrix}4\cdot 1-1\cdot 3&4\cdot(-1)-1\cdot 0\\-3\cdot 1+1\cdot 3&-3\cdot(-1)+1\cdot 0\end{pmatrix}
  6. Rezultă soluția ecuației: X=(1−403)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&-4\\0&3\end{pmatrix}.
    X=(1−403)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&-4\\0&3\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.