Bac matematică M4 pedagogic 2016, sesiunea a II-a varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 25+64−169=0\displaystyle \sqrt{25}+\sqrt{64}-\sqrt{169}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm 25\displaystyle \sqrt{25}, deoarece 52=25\displaystyle 5^{2}=25.
    25=5\displaystyle \sqrt{25}=5
  2. Calculăm 64\displaystyle \sqrt{64}, deoarece 82=64\displaystyle 8^{2}=64.
    64=8\displaystyle \sqrt{64}=8
  3. Calculăm 169\displaystyle \sqrt{169}, deoarece 132=169\displaystyle 13^{2}=169. Cele trei valori obținute sunt 25=5\displaystyle \sqrt{25}=5, 64=8\displaystyle \sqrt{64}=8 și 169=13\displaystyle \sqrt{169}=13.
    25=5\displaystyle \sqrt{25}=5, 64=8\displaystyle \ \sqrt{64}=8, 169=13\displaystyle \ \sqrt{169}=13
  4. Înlocuim radicalii în expresie cu valorile lor: 25+64−169=5+8−13=13−13=0\displaystyle \sqrt{25}+\sqrt{64}-\sqrt{169}=5+8-13=13-13=0. Deci egalitatea este adevărată.
    5+8−13=0\displaystyle 5+8-13=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația 3(x+2)≤9\displaystyle 3(x+2)\le 9.
Vezi rezolvarea
  1. Inecuația dată este 3(x+2)≤9\displaystyle 3(x+2)\le 9. Împărțim ambii membri la 3\displaystyle 3, care este un număr pozitiv, deci sensul inegalității rămâne același.
    x+2≤3\displaystyle x+2\le 3
  2. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri ai inecuației, ca să izolăm necunoscuta x\displaystyle x. Sensul inegalității nu se schimbă.
    x≤3−2=1\displaystyle x\le 3-2=1
  3. Mulțimea soluțiilor este formată din toate numerele reale mai mici sau egale cu 1\displaystyle 1, adică intervalul (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1].
    x≤1\displaystyle x\le 1, deci x∈(−∞,1]\displaystyle \text{ deci }x\in(-\infty,1]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(2x−8)=log⁡32\displaystyle \log_3(2x-8)=\log_3 2.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci 2x−8>0\displaystyle 2x-8>0, adică x>4\displaystyle x>4.
    x>4\displaystyle x>4
  2. Logaritmii au aceeași bază, 3\displaystyle 3, iar funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: 2x−8=2\displaystyle 2x-8=2.
    2x−8=2\displaystyle 2x-8=2
  3. Adunăm 8\displaystyle 8 în ambii membri: 2x=10\displaystyle 2x=10, apoi împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x=5\displaystyle x=5.
    2x=10⇒x=5\displaystyle 2x=10\Rightarrow x=5
  4. Verificăm condiția de existență: 5>4\displaystyle 5>4, deci soluția convine. Într-adevăr, 2⋅5−8=2\displaystyle 2\cdot 5-8=2, deci log⁡32=log⁡32\displaystyle \log_3 2=\log_3 2. Soluția ecuației este x=5\displaystyle x=5.
    x=5\displaystyle x=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui obiect este 1000\displaystyle 1000 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se ieftinește de două ori, succesiv, cu câte 10%\displaystyle 10\%.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm cât reprezintă 10%\displaystyle 10\% din prețul inițial: 10%⋅1000=10100⋅1000=100\displaystyle 10\%\cdot 1000=\dfrac{10}{100}\cdot 1000=100 lei.
    10%⋅1000=100 lei\displaystyle 10\%\cdot 1000=100\text{ lei}
  2. Scădem reducerea din prețul inițial: 1000−10%⋅1000=1000−100=900\displaystyle 1000-10\%\cdot 1000=1000-100=900 lei.
    1000−10%⋅1000=900 de lei\displaystyle 1000-10\%\cdot 1000=900\text{ de lei}
  3. A doua ieftinire se aplică prețului curent, de 900\displaystyle 900 de lei. Calculăm 10%⋅900=10100⋅900=90\displaystyle 10\%\cdot 900=\dfrac{10}{100}\cdot 900=90 lei.
    10%⋅900=90 lei\displaystyle 10\%\cdot 900=90\text{ lei}
  4. Scădem a doua reducere din prețul curent: 900−10%⋅900=900−90=810\displaystyle 900-10\%\cdot 900=900-90=810 lei. Prețul final al obiectului este 810\displaystyle 810 lei.
    900−10%⋅900=810 lei\displaystyle 900-10\%\cdot 900=810\text{ lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,3)\displaystyle A(0,3), B(5,6)\displaystyle B(5,6) și C(5,3)\displaystyle C(5,3). Arătați că patrulaterul AOCB\displaystyle AOCB este paralelogram.
Vezi rezolvarea
  1. Patrulaterul AOCB\displaystyle AOCB are vârfurile în ordinea A,O,C,B\displaystyle A, O, C, B, deci diagonalele sunt AC\displaystyle AC și OB\displaystyle OB. Un patrulater este paralelogram dacă diagonalele lui au același mijloc, adică dacă sumele coordonatelor corespunzătoare ale capetelor celor două diagonale sunt egale. Punctul O\displaystyle O este originea, deci O(0,0)\displaystyle O(0,0).
    Diagonalele: AC și OB\displaystyle \text{Diagonalele: } AC \text{ și } OB,O(0,0)\displaystyle \quad O(0,0)
  2. Comparăm abscisele: suma absciselor capetelor diagonalei AC\displaystyle AC este xA+xC=0+5=5\displaystyle x_A+x_C=0+5=5, iar suma absciselor capetelor diagonalei OB\displaystyle OB este xO+xB=0+5=5\displaystyle x_O+x_B=0+5=5. Cele două sume sunt egale cu 5\displaystyle 5.
    xA+xC=xO+xB=5\displaystyle x_A+x_C=x_O+x_B=5
  3. Comparăm ordonatele: suma ordonatelor capetelor diagonalei AC\displaystyle AC este yA+yC=3+3=6\displaystyle y_A+y_C=3+3=6, iar suma ordonatelor capetelor diagonalei OB\displaystyle OB este yO+yB=0+6=6\displaystyle y_O+y_B=0+6=6. Cele două sume sunt egale cu 6\displaystyle 6.
    yA+yC=yO+yB=6\displaystyle y_A+y_C=y_O+y_B=6
  4. Sumele coordonatelor sunt egale, deci mijloacele diagonalelor coincid; ambele au coordonatele (52,3)\displaystyle \left(\dfrac{5}{2},3\right). Diagonalele AC\displaystyle AC și OB\displaystyle OB se înjumătățesc, deci patrulaterul AOCB\displaystyle AOCB este paralelogram.
    MAC=MOB=(52,3)⇒AOCB este paralelogram\displaystyle M_{AC}=M_{OB}=\left(\dfrac{5}{2},3\right)\Rightarrow AOCB\text{ este paralelogram}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că m(∠A)=60∘\displaystyle m(\angle A)=60^\circ și AB=AC=6\displaystyle AB=AC=6.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula ariei unui triunghi când se cunosc două laturi și unghiul dintre ele: A=AB⋅AC⋅sin⁡A2\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}. Aici laturile sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC, iar unghiul dintre ele este ∠A\displaystyle \angle A.
    AΔABC=AB⋅AC⋅sin⁡A2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}
  2. Înlocuim datele: AB=AC=6\displaystyle AB=AC=6, iar sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    AΔABC=6⋅6⋅322\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{6\cdot 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}
  3. Calculăm: 6⋅6=36\displaystyle 6\cdot 6=36, iar 36⋅32=183\displaystyle 36\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem 1832=93\displaystyle \dfrac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}.
    AΔABC=1832=93\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5.

Arătați că (−2)∗7=0\displaystyle (-2)*7=0.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5 pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. O aplicăm pentru x=−2\displaystyle x=-2 și y=7\displaystyle y=7, adică înlocuim pe x\displaystyle x cu −2\displaystyle -2 și pe y\displaystyle y cu 7\displaystyle 7.
    (−2)∗7=(−2)+7−5\displaystyle (-2)*7=(-2)+7-5
  2. Calculăm suma: −2+7=5\displaystyle -2+7=5.
    (−2)+7−5=5−5\displaystyle (-2)+7-5=5-5
  3. Scădem 5−5=0\displaystyle 5-5=0, deci (−2)∗7=0\displaystyle (-2)*7=0, adică egalitatea cerută este adevărată.
    5−5=0\displaystyle 5-5=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este asociativă dacă pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} avem (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z). Calculăm separat cele două grupări, pornind de la definiția x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5.
    (x∗y)∗zx∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z \overset{?}{=} x*(y*z)
  2. Calculăm mai întâi x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5, apoi înlocuim rezultatul în prima grupare: (x∗y)∗z=(x+y−5)∗z\displaystyle (x*y)*z=(x+y-5)*z.
    (x∗y)∗z=(x+y−5)∗z\displaystyle (x*y)*z=(x+y-5)*z
  3. Aplicăm definiția legii pentru numerele x+y−5\displaystyle x+y-5 și z\displaystyle z: suma lor minus 5\displaystyle 5. Reducem termenii asemenea.
    (x∗y)∗z=(x+y−5)+z−5=x+y+z−10\displaystyle (x*y)*z=(x+y-5)+z-5=x+y+z-10
  4. Calculăm acum a doua grupare. Mai întâi y∗z=y+z−5\displaystyle y*z=y+z-5, apoi înlocuim în x∗(y∗z)\displaystyle x*(y*z).
    x∗(y∗z)=x∗(y+z−5)\displaystyle x*(y*z)=x*(y+z-5)
  5. Aplicăm definiția legii pentru numerele x\displaystyle x și y+z−5\displaystyle y+z-5: suma lor minus 5\displaystyle 5. Obținem același rezultat ca la prima grupare, pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}, deci legea este asociativă.
    x∗(y∗z)=x+(y+z−5)−5=x+y+z−10=(x∗y)∗z\displaystyle x*(y*z)=x+(y+z-5)-5=x+y+z-10=(x*y)*z
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5.

Arătați că (1∗2)∗(8∗9)=(1∗9)∗(2∗8)\displaystyle (1*2)*(8*9)=(1*9)*(2*8).
Vezi rezolvarea
  1. Reținem regula legii: pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5. Calculăm separat cei doi membri ai egalității. Începem cu 1∗2\displaystyle 1*2.
    1∗2=1+2−5=−2\displaystyle 1*2=1+2-5=-2
  2. Calculăm 8∗9\displaystyle 8*9 cu aceeași regulă.
    8∗9=8+9−5=12\displaystyle 8*9=8+9-5=12
  3. Înlocuim cele două rezultate în membrul stâng și aplicăm din nou legea: (−2)∗12=−2+12−5\displaystyle (-2)*12=-2+12-5. Membrul stâng este 5\displaystyle 5.
    (1∗2)∗(8∗9)=(−2)∗12=−2+12−5=5\displaystyle (1*2)*(8*9)=(-2)*12=-2+12-5=5
  4. Trecem la membrul drept. Calculăm 1∗9\displaystyle 1*9 și 2∗8\displaystyle 2*8.
    1∗9=1+9−5=5, 2∗8=2+8−5=5\displaystyle 1*9=1+9-5=5\text{, }\quad 2*8=2+8-5=5
  5. Aplicăm legea pentru 5∗5=5+5−5=5\displaystyle 5*5=5+5-5=5. Membrul drept este 5\displaystyle 5, egal cu membrul stâng, deci egalitatea este demonstrată.
    (1∗9)∗(2∗8)=5∗5=5+5−5=5=(1∗2)∗(8∗9)\displaystyle (1*9)*(2*8)=5*5=5+5-5=5=(1*2)*(8*9)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5.

Determinați numărul real x\displaystyle x, pentru care (x∗x)∗x=x\displaystyle (x*x)*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗x\displaystyle x*x folosind definiția legii x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5, înlocuind y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    x∗x=x+x−5=2x−5\displaystyle x*x=x+x-5=2x-5
  2. Compunem 2x−5\displaystyle 2x-5 cu x\displaystyle x: primul număr este 2x−5\displaystyle 2x-5, iar al doilea este x\displaystyle x, deci (x∗x)∗x=(2x−5)∗x=(2x−5)+x−5\displaystyle (x*x)*x=(2x-5)*x=(2x-5)+x-5.
    (x∗x)∗x=(2x−5)+x−5=3x−10\displaystyle (x*x)*x=(2x-5)+x-5=3x-10
  3. Punem condiția (x∗x)∗x=x\displaystyle (x*x)*x=x, adică scriem ecuația obținută.
    3x−10=x\displaystyle 3x-10=x
  4. Scădem x\displaystyle x din ambii membri: 2x−10=0\displaystyle 2x-10=0, deci 2x=10\displaystyle 2x=10, iar prin împărțire la 2\displaystyle 2 obținem x=5\displaystyle x=5.
    3x−10=x⇔2x=10⇔x=5\displaystyle 3x-10=x\Leftrightarrow 2x=10\Leftrightarrow x=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5.

Determinați numărul real x\displaystyle x, pentru care 9x∗3x=7\displaystyle 9^x*3^x=7.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5 pentru 9x\displaystyle 9^x și 3x\displaystyle 3^x. Ecuația devine 9x+3x−5=7\displaystyle 9^x+3^x-5=7.
    9x+3x−5=7\displaystyle 9^{x}+3^{x}-5=7
  2. Observăm că 9x=(3x)2\displaystyle 9^x=\left(3^x\right)^2. Notăm t=3x\displaystyle t=3^x, cu t>0\displaystyle t>0. Ecuația devine t2+t−12=0\displaystyle t^2+t-12=0.
    t2+t−12=0\displaystyle t^{2}+t-12=0
  3. Descompunem trinomul: căutăm două numere cu produsul −12\displaystyle -12 și suma 1\displaystyle 1, adică 4\displaystyle 4 și −3\displaystyle -3. Obținem (t+4)(t−3)=0\displaystyle (t+4)(t-3)=0, adică (3x+4)(3x−3)=0\displaystyle (3^x+4)(3^x-3)=0.
    9x+3x−5=7⇔(3x+4)(3x−3)=0\displaystyle 9^{x}+3^{x}-5=7\Leftrightarrow(3^{x}+4)(3^{x}-3)=0
  4. Factorul 3x+4\displaystyle 3^x+4 este strict pozitiv, deci nu se anulează (soluția t=−4\displaystyle t=-4 nu convine, fiindcă t>0\displaystyle t>0). Rămâne 3x−3=0\displaystyle 3^x-3=0, deci 3x=3\displaystyle 3^x=3.
    3x=3\displaystyle 3^{x}=3
  5. Din 3x=31\displaystyle 3^x=3^1 rezultă x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5.

Demonstrați că x2∗1x2≥−3\displaystyle x^2*\frac{1}{x^2}\ge -3, pentru orice număr real nenul x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5 pentru x2\displaystyle x^2 și 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}: x2∗1x2=x2+1x2−5\displaystyle x^{2}*\dfrac{1}{x^{2}}=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-5. Inegalitatea de demonstrat devine x2+1x2−5≥−3\displaystyle x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-5\ge -3.
    x2∗1x2≥−3⇔x2+1x2−5≥−3\displaystyle x^{2}*\frac{1}{x^{2}}\ge -3\Leftrightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-5\ge -3
  2. Adunăm 3\displaystyle 3 la ambii membri: x2+1x2−5+3≥0\displaystyle x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-5+3\ge 0, adică x2+1x2−2≥0\displaystyle x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-2\ge 0.
    x2+1x2−2≥0\displaystyle x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2\ge 0
  3. Observăm că (x−1x)2=x2−2⋅x⋅1x+1x2=x2−2+1x2\displaystyle \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}=x^{2}-2+\dfrac{1}{x^{2}}. Deci inegalitatea este echivalentă cu (x−1x)2≥0\displaystyle \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{2}\ge 0, adevărată pentru orice x\displaystyle x real nenul, fiindcă pătratul unui număr real este mereu pozitiv sau nul. Prin urmare x2∗1x2≥−3\displaystyle x^{2}*\dfrac{1}{x^{2}}\ge -3.
    x2+1x2−2≥0⇔(x−1x)2≥0\displaystyle x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2\ge 0\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}\ge 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(a123)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1\\2&3\end{pmatrix} și B=(1101)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡B=1\displaystyle \det B=1.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordin 2: ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc.
    ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc
  2. Aplicăm formula pentru B=(1101)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}: det⁡B=∣1101∣=1⋅1−1⋅0\displaystyle \det B=\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1\cdot1-1\cdot0.
    det⁡B=∣1101∣=1⋅1−1⋅0\displaystyle \det B=\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1\cdot1-1\cdot0
  3. Calculăm produsele: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot1=1 și 1⋅0=0\displaystyle 1\cdot0=0. Rămâne 1−0=1\displaystyle 1-0=1, deci det⁡B=1\displaystyle \det B=1, ceea ce trebuia arătat.
    1−0=1, deci det⁡B=1\displaystyle 1-0=1\text{, deci }\det B=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(a123)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1\\2&3\end{pmatrix} și B=(1101)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a, știind că det⁡(aA(a))=0\displaystyle \det(aA(a))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim matricea A(a)\displaystyle A(a) cu scalarul a\displaystyle a: fiecare element al matricei se înmulțește cu a\displaystyle a.
    aA(a)=(a2a2a3a)\displaystyle aA(a)=\begin{pmatrix}a^{2}&a\\2a&3a\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul matricei obținute: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică a2⋅3a−a⋅2a\displaystyle a^{2}\cdot 3a-a\cdot 2a.
    det⁡(aA(a))=∣a2a2a3a∣=3a3−2a2\displaystyle \det(aA(a))=\begin{vmatrix}a^{2}&a\\2a&3a\end{vmatrix}=3a^{3}-2a^{2}
  3. Punem condiția din enunț, det⁡(aA(a))=0\displaystyle \det(aA(a))=0, și scoatem factorul comun a2\displaystyle a^{2}.
    3a3−2a2=0⇔a2(3a−2)=0\displaystyle 3a^{3}-2a^{2}=0\Leftrightarrow a^{2}(3a-2)=0
  4. Un produs este zero când unul dintre factori este zero: a2=0\displaystyle a^{2}=0 sau 3a−2=0\displaystyle 3a-2=0. Rezolvăm fiecare ecuație.
    a=0 sau a=23\displaystyle a=0\text{ sau }a=\frac{2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(a123)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1\\2&3\end{pmatrix} și B=(1101)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a, pentru care matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact atunci când determinantul ei este nenul. Deci trebuie să calculăm det⁡(A(a))\displaystyle \det(A(a)).
    A(a) inversabila˘⇔det⁡(A(a))≠0\displaystyle A(a)\text{ inversabilă}\Leftrightarrow\det(A(a))\ne0
  2. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică a⋅3−1⋅2\displaystyle a\cdot3-1\cdot2.
    det⁡(A(a))=∣a123∣=3a−2\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}a&1\\2&3\end{vmatrix}=3a-2
  3. Punem condiția 3a−2≠0\displaystyle 3a-2\ne0. Rezultă 3a≠2\displaystyle 3a\ne2, deci a≠23\displaystyle a\ne\dfrac{2}{3}.
    3a−2≠0⇔a≠23\displaystyle 3a-2\ne0\Leftrightarrow a\ne\frac{2}{3}
  4. Matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă pentru orice număr real a\displaystyle a diferit de 23\displaystyle \dfrac{2}{3}.
    a∈R∖{23}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{2}{3}\right\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(a123)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1\\2&3\end{pmatrix} și B=(1101)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că A(a−1)+A(a+1)=2A(a)\displaystyle A(a-1)+A(a+1)=2A(a), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(a−1)\displaystyle A(a-1), înlocuind a\displaystyle a cu a−1\displaystyle a-1 în definiția lui A(a)\displaystyle A(a). Doar elementul din colțul stânga sus depinde de a\displaystyle a.
    A(a−1)=(a−1123)\displaystyle A(a-1)=\begin{pmatrix}a-1&1\\2&3\end{pmatrix}
  2. La fel, scriem matricea A(a+1)\displaystyle A(a+1), înlocuind a\displaystyle a cu a+1\displaystyle a+1.
    A(a+1)=(a+1123)\displaystyle A(a+1)=\begin{pmatrix}a+1&1\\2&3\end{pmatrix}
  3. Adunăm cele două matrice element cu element: (a−1)+(a+1)=2a\displaystyle (a-1)+(a+1)=2a, 1+1=2\displaystyle 1+1=2, 2+2=4\displaystyle 2+2=4, 3+3=6\displaystyle 3+3=6.
    A(a−1)+A(a+1)=(2a246)\displaystyle A(a-1)+A(a+1)=\begin{pmatrix}2a&2\\4&6\end{pmatrix}
  4. Scoatem factorul 2\displaystyle 2 în fața matricei, adică împărțim fiecare element la 2\displaystyle 2. Matricea rămasă este chiar A(a)\displaystyle A(a), deci egalitatea este demonstrată pentru orice număr real a\displaystyle a.
    A(a−1)+A(a+1)=(2a246)=2(a123)=2A(a)\displaystyle A(a-1)+A(a+1)=\begin{pmatrix}2a&2\\4&6\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}a&1\\2&3\end{pmatrix}=2A(a)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(a123)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1\\2&3\end{pmatrix} și B=(1101)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că det⁡(A(a)+B)=a+3\displaystyle \det(A(a)+B)=a+3.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele A(a)\displaystyle A(a) și B\displaystyle B element cu element: a+1\displaystyle a+1, 1+1\displaystyle 1+1, 2+0\displaystyle 2+0, 3+1\displaystyle 3+1.
    A(a)+B=(a+1224)\displaystyle A(a)+B=\begin{pmatrix}a+1&2\\2&4\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul matricei sumă: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică (a+1)⋅4−2⋅2\displaystyle (a+1)\cdot 4-2\cdot 2.
    det⁡(A(a)+B)=4(a+1)−4=4a\displaystyle \det(A(a)+B)=4(a+1)-4=4a
  3. Punem condiția din enunț: determinantul este egal cu a+3\displaystyle a+3, deci 4a=a+3\displaystyle 4a=a+3.
    4a=a+3\displaystyle 4a=a+3
  4. Trecem termenii cu a\displaystyle a în același membru: 3a=3\displaystyle 3a=3, apoi împărțim la 3\displaystyle 3.
    3a=3⇒a=1\displaystyle 3a=3\Rightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(a123)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1\\2&3\end{pmatrix} și B=(1101)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Rezolvați în M2(R)\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) ecuația X⋅A(1)=B\displaystyle X\cdot A(1)=B.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu 1\displaystyle 1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(1123)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul lui A(1)\displaystyle A(1), ca să vedem dacă matricea este inversabilă: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe cea secundară.
    det⁡A(1)=1⋅3−1⋅2=1≠0\displaystyle \det A(1)=1\cdot 3-1\cdot 2=1\ne 0
  3. Determinantul este nenul, deci A(1)\displaystyle A(1) este inversabilă. Inversa se obține astfel: interschimbăm elementele de pe diagonala principală, schimbăm semnul elementelor de pe diagonala secundară și împărțim la determinant, care aici este 1\displaystyle 1.
    (A(1))−1=(3−1−21)\displaystyle (A(1))^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\end{pmatrix}
  4. Înmulțim ecuația la dreapta cu (A(1))−1\displaystyle (A(1))^{-1}. Deoarece A(1)⋅(A(1))−1=I2\displaystyle A(1)\cdot(A(1))^{-1}=I_2, rămâne X\displaystyle X egal cu B\displaystyle B înmulțit cu inversa.
    X⋅A(1)⋅(A(1))−1=B⋅(A(1))−1⇒X=B⋅(A(1))−1\displaystyle X\cdot A(1)\cdot (A(1))^{-1}=B\cdot (A(1))^{-1}\Rightarrow X=B\cdot (A(1))^{-1}
  5. Efectuăm înmulțirea matricelor, linie cu coloană.
    X=(1101)(3−1−21)=(1⋅3+1⋅(−2)1⋅(−1)+1⋅10⋅3+1⋅(−2)0⋅(−1)+1⋅1)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot 3+1\cdot(-2)&1\cdot(-1)+1\cdot 1\\0\cdot 3+1\cdot(-2)&0\cdot(-1)+1\cdot 1\end{pmatrix}
  6. Calculăm elementele și obținem soluția ecuației.
    X=(10−21)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.