Bac matematică M4 pedagogic 2026, sesiunea a II-a varianta 04: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați termenul

\displaystyle a_3

al progresiei aritmetice

\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}

, în care

\displaystyle a_1=2

și

\displaystyle a_2=16

.

Vezi rezolvarea

Într-o progresie aritmetică, diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă și se numește rație. O calculăm din primii doi termeni dați: $\displaystyle r=a_2-a_1$ .
$\displaystyle r=a_2-a_1$
Înlocuim valorile $\displaystyle a_1=2$ și $\displaystyle a_2=16$ și obținem rația: $\displaystyle r=16-2=14$ .
$\displaystyle r=16-2=14$
Fiecare termen se obține din cel precedent adunând rația, deci $\displaystyle a_3=a_2+r$ .
$\displaystyle a_3=a_2+r$
Înlocuim $\displaystyle a_2=16$ și $\displaystyle r=14$ și obținem $\displaystyle a_3=16+14=30$ .
$\displaystyle a_3=16+14=30$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x-2

. Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care

\displaystyle f(3)+f(5)=f(m)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle f(3)$ înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 3$ în formula funcției: $\displaystyle f(3)=3-2$ .
$\displaystyle f(3)=1$
Calculăm $\displaystyle f(5)=5-2$ și scriem $\displaystyle f(m)$ cu aceeași formulă: $\displaystyle f(m)=m-2$ .
$\displaystyle f(5)=3$ , $\displaystyle \ f(m)=m-2$
Înlocuim valorile în egalitatea $\displaystyle f(3)+f(5)=f(m)$ și obținem ecuația $\displaystyle 1+3=m-2$ .
$\displaystyle 1+3=m-2$
În membrul stâng avem $\displaystyle 4$ , deci $\displaystyle 4=m-2$ . Adunăm $\displaystyle 2$ în ambii membri și obținem $\displaystyle m=6$ .
$\displaystyle m=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{3x}=\sqrt{12-x}

.

Vezi rezolvarea

Scriem condițiile de existență ale radicalilor: expresiile de sub radical trebuie să fie pozitive sau nule. Aceasta înseamnă că $\displaystyle 3x\ge 0$ și $\displaystyle 12-x\ge 0$ , adică $\displaystyle x\in[0,12]$ .
$\displaystyle x\in[0,12]$
Ridicăm ecuația $\displaystyle \sqrt{3x}=\sqrt{12-x}$ la pătrat. Pe domeniul de existență, ambii membri sunt pozitivi sau nuli, deci obținem ecuația $\displaystyle 3x=12-x$ .
$\displaystyle 3x=12-x$
Rezolvăm ecuația liniară: adunăm $\displaystyle x$ în ambii membri și obținem $\displaystyle 4x=12$ , apoi împărțim la $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle 4x=12\Rightarrow x=3$
Verificăm soluția: $\displaystyle 3\in[0,12]$ . Pentru $\displaystyle x=3$ avem $\displaystyle \sqrt{3\cdot 3}=\sqrt{9}=3$ și $\displaystyle \sqrt{12-3}=\sqrt{9}=3$ , deci egalitatea este adevărată.
$\displaystyle x=3\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle A=\{20,21,22,\ldots,35\}

. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea

\displaystyle A

, acesta să fie multiplu de

\displaystyle 5

.

Vezi rezolvarea

Numărăm elementele mulțimii $\displaystyle A$ , adică cazurile posibile. Numerele merg de la $\displaystyle 20$ la $\displaystyle 35$ , deci sunt $\displaystyle 35-20+1$ elemente.
$\displaystyle 35-20+1=16$
Aflăm multiplii lui $\displaystyle 5$ din mulțime: $\displaystyle 20$ , $\displaystyle 25$ , $\displaystyle 30$ și $\displaystyle 35$ . Aceștia sunt cazurile favorabile, în număr de $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle \{20,25,30,35\}\text{, adică }4\text{ cazuri favorabile}$
Aplicăm formula probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$ , apoi simplificăm fracția prin $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle p=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle M(1,3)

și

\displaystyle N(7,1)

. Arătați că triunghiul

\displaystyle OMN

este dreptunghic.

Vezi rezolvarea

Folosim formula distanței dintre două puncte. Pentru originea $\displaystyle O(0,0)$ și punctul $\displaystyle M(1,3)$ , distanța $\displaystyle OM$ este $\displaystyle \sqrt{(1-0)^{2}+(3-0)^{2}}$ .
$\displaystyle OM=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$
Calculăm în același mod lungimea $\displaystyle ON$ , pentru $\displaystyle N(7,1)$ : $\displaystyle ON=\sqrt{7^{2}+1^{2}}$ .
$\displaystyle OM=\sqrt{10}$ , $\displaystyle \ ON=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}$
Calculăm lungimea laturii $\displaystyle MN$ folosind diferențele coordonatelor: $\displaystyle MN=\sqrt{(7-1)^{2}+(1-3)^{2}}$ .
$\displaystyle MN=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$
Cea mai mare latură este $\displaystyle ON$ , deci verificăm dacă $\displaystyle ON^{2}=OM^{2}+MN^{2}$ . Avem $\displaystyle OM^{2}=10$ , $\displaystyle MN^{2}=40$ , $\displaystyle ON^{2}=50$ . Cum $\displaystyle 10+40=50$ , din reciproca teoremei lui Pitagora rezultă că unghiul $\displaystyle \angle OMN$ este drept, deci triunghiul $\displaystyle OMN$ este dreptunghic.
$\displaystyle ON^{2}=50=10+40=OM^{2}+MN^{2}\ \Rightarrow\ \triangle OMN\text{ dreptunghic în }M$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

, dreptunghic în

\displaystyle A

, cu

\displaystyle BC=8

și măsura unghiului

\displaystyle B

egală cu

\displaystyle 45^\circ

. Arătați că perimetrul triunghiului

\displaystyle ABC

este egal cu

\displaystyle 8\left(1+\sqrt{2}\right)

.

Vezi rezolvarea

Triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle A$ , iar $\displaystyle \angle B=45^\circ$ , deci $\displaystyle \angle C=90^\circ-45^\circ=45^\circ$ . Prin urmare triunghiul este dreptunghic isoscel, cu $\displaystyle AB=AC$ .
$\displaystyle \angle C=45^\circ$ , $\displaystyle \quad AB=AC$
Folosim sinusul unghiului $\displaystyle B$ în triunghiul dreptunghic: $\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{AC}{BC}$ . Cum $\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ și $\displaystyle BC=8$ , obținem $\displaystyle AC=8\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
$\displaystyle AC=8\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$
Triunghiul fiind isoscel, $\displaystyle AB=AC$ , deci ambele catete au lungimea $\displaystyle 4\sqrt{2}$ . Verificăm cu teorema lui Pitagora: $\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=32+32=64=8^{2}$ .
$\displaystyle AB=AC=4\sqrt{2}$
Perimetrul este suma celor trei laturi: $\displaystyle P=BC+AB+AC=8+4\sqrt{2}+4\sqrt{2}=8+8\sqrt{2}$ . Dând factor comun pe $\displaystyle 8$ , obținem $\displaystyle P=8\left(1+\sqrt{2}\right)$ , ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle P_{\Delta ABC}=BC+AB+AC=8+8\sqrt{2}=8\left(1+\sqrt{2}\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\frac{1}{3}(x-2)(y-2)+2

.

Arătați că

\displaystyle 4\circ 8=6

.

Vezi rezolvarea

Folosim definiția $\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{3}(x-2)(y-2)+2$ și înlocuim $\displaystyle x=4$ , $\displaystyle y=8$ .
$\displaystyle 4\circ 8=\frac{1}{3}(4-2)(8-2)+2$
Calculăm parantezele: $\displaystyle 4-2=2$ și $\displaystyle 8-2=6$ .
$\displaystyle 4\circ 8=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot 6+2$
Efectuăm $\displaystyle 2\cdot 6=12$ , apoi $\displaystyle \dfrac{12}{3}=4$ . Adunăm $\displaystyle 2$ și obținem rezultatul cerut.
$\displaystyle 4\circ 8=4+2=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\frac{1}{3}(x-2)(y-2)+2

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle (-1)\circ x=x

.

Vezi rezolvarea

Scriem legea de compoziție pentru perechea $\displaystyle (-1,x)$ , adică înlocuim în formulă $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -1$ și $\displaystyle y$ cu $\displaystyle x$ : $\displaystyle (-1)\circ x=\dfrac{1}{3}(-1-2)(x-2)+2$ .
$\displaystyle (-1)\circ x=\dfrac{1}{3}(-1-2)(x-2)+2$
Avem $\displaystyle -1-2=-3$ , deci $\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot(-3)=-1$ și obținem $\displaystyle (-1)\circ x=-(x-2)+2$ .
$\displaystyle (-1)\circ x=-(x-2)+2$
Desfacem paranteza: $\displaystyle -(x-2)+2=-x+2+2=-x+4$ .
$\displaystyle (-1)\circ x=-x+4$
Condiția $\displaystyle (-1)\circ x=x$ devine ecuația $\displaystyle -x+4=x$ .
$\displaystyle -x+4=x$
Din $\displaystyle -x+4=x$ obținem $\displaystyle 4=2x$ , deci $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\frac{1}{3}(x-2)(y-2)+2

.

Arătați că

\displaystyle e=5

este elementul neutru al legii de compoziție „

\displaystyle \circ

”.

Vezi rezolvarea

Elementul neutru $\displaystyle e$ trebuie să satisfacă $\displaystyle x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ . Verificăm pentru $\displaystyle e=5$ , întâi $\displaystyle x\circ 5$ , înlocuind $\displaystyle y=5$ în definiția legii.
$\displaystyle x\circ 5=\frac{1}{3}(x-2)(5-2)+2$
Calculăm $\displaystyle 5-2=3$ , apoi simplificăm factorul $\displaystyle \frac{1}{3}$ cu $\displaystyle 3$ și obținem $\displaystyle x-2$ . Adunând $\displaystyle 2$ , rezultă $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x\circ 5=\frac{1}{3}(x-2)\cdot 3+2=x-2+2=x$
Legea nu este presupusă comutativă în enunț, așa că verificăm separat și $\displaystyle 5\circ x$ , înlocuind primul argument cu $\displaystyle 5$ .
$\displaystyle 5\circ x=\frac{1}{3}(5-2)(x-2)+2$
Calculăm $\displaystyle 5-2=3$ , simplificăm cu $\displaystyle \frac{1}{3}$ și obținem $\displaystyle x-2$ , apoi adunăm $\displaystyle 2$ . Ambele egalități sunt verificate, deci $\displaystyle 5$ este element neutru.
$\displaystyle 5\circ x=\frac{1}{3}\cdot 3\,(x-2)+2=x-2+2=x\text{, deci }x\circ 5=5\circ x=x\text{ și }e=5\text{ este element neutru}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\frac{1}{3}(x-2)(y-2)+2

.

Determinați numerele naturale

\displaystyle n

pentru care numărul

\displaystyle N=n\circ(-n)

este natural.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=n$ și $\displaystyle y=-n$ în definiția legii: $\displaystyle N=n\circ(-n)=\dfrac{1}{3}(n-2)(-n-2)+2$ .
$\displaystyle N=\frac{1}{3}(n-2)(-n-2)+2$
Avem $\displaystyle (-n-2)=-(n+2)$ , deci $\displaystyle (n-2)(-n-2)=-(n-2)(n+2)=-(n^{2}-4)=4-n^{2}$ .
$\displaystyle (n-2)(-n-2)=4-n^{2}$
Atunci $\displaystyle N=\dfrac{4-n^{2}}{3}+2=\dfrac{4-n^{2}+6}{3}=\dfrac{10-n^{2}}{3}$ .
$\displaystyle N=\frac{10-n^{2}}{3}$
Din $\displaystyle N\geq 0$ obținem $\displaystyle 10-n^{2}\geq 0$ , adică $\displaystyle n^{2}\leq 10$ . Cum $\displaystyle n$ este natural, rezultă $\displaystyle n\in\{0,1,2,3\}$ .
$\displaystyle n\in\{0,1,2,3\}$
Pentru $\displaystyle n=0$ : $\displaystyle N=\dfrac{10}{3}\notin\mathbb{N}$ . Pentru $\displaystyle n=1$ : $\displaystyle N=\dfrac{9}{3}=3\in\mathbb{N}$ . Pentru $\displaystyle n=2$ : $\displaystyle N=\dfrac{6}{3}=2\in\mathbb{N}$ . Pentru $\displaystyle n=3$ : $\displaystyle N=\dfrac{1}{3}\notin\mathbb{N}$ .
$\displaystyle N(0)=\frac{10}{3}$ , $\displaystyle \ N(1)=3$ , $\displaystyle \ N(2)=2$ , $\displaystyle \ N(3)=\frac{1}{3}$
Deci numărul $\displaystyle N$ este natural doar pentru $\displaystyle n=1$ și $\displaystyle n=2$ .
$\displaystyle n=1\text{ și }n=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\frac{1}{3}(x-2)(y-2)+2

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

, știind că

\displaystyle 1

este simetricul lui

\displaystyle x

în raport cu legea de compoziție „

\displaystyle \circ

”.

Vezi rezolvarea

Aflăm elementul neutru $\displaystyle e$ al legii. Din condiția $\displaystyle x\circ e=x$ obținem $\displaystyle \dfrac{1}{3}(x-2)(e-2)+2=x$ , deci $\displaystyle \dfrac{1}{3}(x-2)(e-2)=x-2$ pentru orice $\displaystyle x$ . Rezultă $\displaystyle \dfrac{e-2}{3}=1$ , adică $\displaystyle e=5$ .
$\displaystyle e=5$
Dacă $\displaystyle 1$ este simetricul lui $\displaystyle x$ , atunci $\displaystyle x\circ 1=1\circ x=e=5$ . Legea este comutativă, deci este suficient să scriem $\displaystyle x\circ 1=5$ . Înlocuim în definiția legii: $\displaystyle \dfrac{1}{3}(x-2)(1-2)+2=5$ , adică $\displaystyle -\dfrac{1}{3}(x-2)+2=5$ .
$\displaystyle x\circ 1=1\circ x=5$ , $\displaystyle \ -\frac{1}{3}(x-2)+2=5$
Rezolvăm ecuația liniară. Scădem $\displaystyle 2$ din ambii membri: $\displaystyle -\dfrac{1}{3}(x-2)=3$ . Înmulțim cu $\displaystyle -3$ : $\displaystyle x-2=-9$ .
$\displaystyle x-2=-9$
Din $\displaystyle x-2=-9$ rezultă $\displaystyle x=-7$ . Verificare: $\displaystyle (-7)\circ 1=\dfrac{1}{3}\cdot(-9)\cdot(-1)+2=3+2=5$ , adică elementul neutru, deci $\displaystyle 1$ este simetricul lui $\displaystyle -7$ .
$\displaystyle x=-7$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\frac{1}{3}(x-2)(y-2)+2

.

Determinați numerele naturale

\displaystyle m

și

\displaystyle p

pentru care

\displaystyle 2^m\circ 3^p=4

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=2^m$ și $\displaystyle y=3^p$ în definiția legii și impunem ca rezultatul să fie $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle \frac{1}{3}\left(2^m-2\right)\left(3^p-2\right)+2=4$
Scădem $\displaystyle 2$ din ambii membri, apoi înmulțim cu $\displaystyle 3$ : din $\displaystyle \frac{1}{3}\left(2^m-2\right)\left(3^p-2\right)=2$ obținem un produs egal cu $\displaystyle 6$ .
$\displaystyle \left(2^m-2\right)\left(3^p-2\right)=6$
Pentru $\displaystyle m,p\in\mathbb{N}$ ambii factori sunt numere întregi, deci sunt divizori ai lui $\displaystyle 6$ . Primul factor ia valorile: pentru $\displaystyle m=0$ este $\displaystyle -1$ , pentru $\displaystyle m=1$ este $\displaystyle 0$ , pentru $\displaystyle m=2$ este $\displaystyle 2$ , pentru $\displaystyle m=3$ este $\displaystyle 6$ , iar pentru $\displaystyle m\geq 4$ este cel puțin $\displaystyle 14$ , prea mare. Valoarea $\displaystyle 0$ nu convine, deoarece produsul ar fi $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle 2^m-2\in\{-1,\,2,\,6\}\text{, adică }m\in\{0,2,3\}$
Verificăm fiecare caz. Pentru $\displaystyle m=0$ : $\displaystyle 3^p-2=-6$ , deci $\displaystyle 3^p=-4$ , imposibil. Pentru $\displaystyle m=2$ : $\displaystyle 3^p-2=3$ , deci $\displaystyle 3^p=5$ , imposibil. Pentru $\displaystyle m=3$ : $\displaystyle 3^p-2=1$ , deci $\displaystyle 3^p=3$ și $\displaystyle p=1$ .
$\displaystyle m=3$ , $\displaystyle \ p=1$
Verificare: pentru $\displaystyle m=3$ și $\displaystyle p=1$ avem $\displaystyle \left(2^3-2\right)\left(3^1-2\right)=6\cdot 1=6$ , deci ecuația este satisfăcută. Singura soluție în numere naturale este $\displaystyle m=3$ și $\displaystyle p=1$ .
$\displaystyle \left(2^m-2\right)\left(3^p-2\right)=6$ , $\displaystyle \ m=3\text{ și }p=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2&0\\x&x-3\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(5))=4

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 5$ în matricea $\displaystyle A(x)$ . Elementul din stânga jos devine $\displaystyle 5$ , iar elementul din dreapta jos devine $\displaystyle 5-3=2$ .
$\displaystyle A(5)=\begin{pmatrix}2&0\\5&2\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul de ordin 2 ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: $\displaystyle \det(A(5))=2\cdot 2-0\cdot 5$ .
$\displaystyle \det(A(5))=2\cdot 2-0\cdot 5$
Efectuăm produsele: $\displaystyle 2\cdot 2=4$ , iar $\displaystyle 0\cdot 5=0$ . Rezultă că determinantul este $\displaystyle 4$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle \det(A(5))=4-0=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2&0\\x&x-3\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle 3A(5)-A(1)=2A(x)

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricele $\displaystyle A(5)$ și $\displaystyle A(1)$ , înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 5$ , respectiv cu $\displaystyle 1$ , în matricea $\displaystyle A(x)$ . Pentru $\displaystyle x=5$ avem $\displaystyle x-3=2$ , iar pentru $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle x-3=-2$ .
$\displaystyle A(5)=\begin{pmatrix}2&0\\5&2\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \quad A(1)=\begin{pmatrix}2&0\\1&-2\end{pmatrix}$
Înmulțim matricea $\displaystyle A(5)$ cu $\displaystyle 3$ , adică înmulțim fiecare element cu $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle 3A(5)=\begin{pmatrix}6&0\\15&6\end{pmatrix}$
Scădem matricea $\displaystyle A(1)$ din $\displaystyle 3A(5)$ , element cu element, apoi dăm factor comun $\displaystyle 2$ în matricea obținută.
$\displaystyle 3A(5)-A(1)=\begin{pmatrix}6&0\\15&6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\14&8\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}2&0\\7&4\end{pmatrix}$
Recunoaștem matricea din paranteză ca fiind $\displaystyle A(7)$ : pentru $\displaystyle x=7$ avem elementul de pe linia a doua, prima coloană, egal cu $\displaystyle 7$ și $\displaystyle x-3=4$ . Deci membrul stâng este $\displaystyle 2A(7)$ .
$\displaystyle 3A(5)-A(1)=2\begin{pmatrix}2&0\\7&4\end{pmatrix}=2A(7)$
Egalitatea din enunț devine $\displaystyle 2A(x)=2A(7)$ . Comparând elementele de pe linia a doua, prima coloană, obținem $\displaystyle x=7$ (și se verifică $\displaystyle x-3=4$ ). Deci $\displaystyle x=7$ .
$\displaystyle 2A(x)=2A(7)\Rightarrow x=7$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2&0\\x&x-3\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care

\displaystyle A(4)\cdot A(4)+2I_2=mA(4)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=4$ în $\displaystyle A(x)$ : primul element de pe a doua linie este $\displaystyle x=4$ , iar al doilea este $\displaystyle x-3=1$ .
$\displaystyle A(4)=\begin{pmatrix}2&0\\4&1\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle A(4)\cdot A(4)$ înmulțind linie cu coloană: $\displaystyle 2\cdot 2+0\cdot 4=4$ , $\displaystyle 2\cdot 0+0\cdot 1=0$ , $\displaystyle 4\cdot 2+1\cdot 4=12$ , $\displaystyle 4\cdot 0+1\cdot 1=1$ .
$\displaystyle A(4)\cdot A(4)=\begin{pmatrix}4&0\\12&1\end{pmatrix}$
Adunăm $\displaystyle 2I_2=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$ la produs și observăm că rezultatul este $\displaystyle 3A(4)$ , deoarece $\displaystyle 3\cdot 2=6$ , $\displaystyle 3\cdot 4=12$ , $\displaystyle 3\cdot 1=3$ .
$\displaystyle A(4)\cdot A(4)+2I_2=\begin{pmatrix}4&0\\12&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&0\\12&3\end{pmatrix}=3A(4)$
Din $\displaystyle 3A(4)=mA(4)$ și cum $\displaystyle A(4)\neq O_2$ , comparând de exemplu elementele de pe prima linie, $\displaystyle 3\cdot 2=m\cdot 2$ , rezultă $\displaystyle m=3$ .
$\displaystyle m=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2&0\\x&x-3\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle \det\left(A(x)+A\left(x^2\right)\right)=0

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricea $\displaystyle A\left(x^2\right)$ , înlocuind pe $\displaystyle x$ cu $\displaystyle x^2$ în $\displaystyle A(x)$ : $\displaystyle A\left(x^2\right)=\begin{pmatrix}2&0\\x^2&x^2-3\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A\left(x^2\right)=\begin{pmatrix}2&0\\x^2&x^2-3\end{pmatrix}$
Adunăm matricele element cu element: $\displaystyle 2+2=4$ , $\displaystyle 0+0=0$ , $\displaystyle x+x^2$ și $\displaystyle (x-3)+\left(x^2-3\right)=x^2+x-6$ .
$\displaystyle A(x)+A\left(x^2\right)=\begin{pmatrix}4&0\\x+x^2&x+x^2-6\end{pmatrix}$
Determinantul unei matrici $\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ este $\displaystyle ad-bc$ . Aici $\displaystyle b=0$ , deci determinantul este $\displaystyle 4\left(x+x^2-6\right)-0\cdot\left(x+x^2\right)$ .
$\displaystyle \det\left(A(x)+A\left(x^2\right)\right)=4\left(x+x^2-6\right)$
Din condiția $\displaystyle 4\left(x^2+x-6\right)=0$ , împărțind la $\displaystyle 4$ , obținem ecuația de gradul al doilea $\displaystyle x^2+x-6=0$ .
$\displaystyle x^2+x-6=0$
Discriminantul este $\displaystyle \Delta=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=25$ , deci $\displaystyle x=\dfrac{-1\pm5}{2}$ . Verificăm: $\displaystyle (x+3)(x-2)=x^2+x-6$ . Soluțiile sunt $\displaystyle -3$ și $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle x=-3\text{ sau }x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2&0\\x&x-3\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

pentru care suma elementelor matricei

\displaystyle A(x)\cdot A(a)

este egală cu

\displaystyle b

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Scriem produsul $\displaystyle A(x)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}2&0\\x&x-3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&0\\a&a-3\end{pmatrix}$ și îl calculăm linie cu linie.
$\displaystyle A(x)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}2&0\\x&x-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\a&a-3\end{pmatrix}$
Prima linie: $\displaystyle 2\cdot 2+0\cdot a=4$ și $\displaystyle 2\cdot 0+0\cdot(a-3)=0$ . A doua linie: $\displaystyle x\cdot 2+(x-3)a=2x+ax-3a$ și $\displaystyle x\cdot 0+(x-3)(a-3)=ax-3x-3a+9$ .
$\displaystyle A(x)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}4&0\\2x+ax-3a&ax-3a-3x+9\end{pmatrix}$
Adunăm cele patru elemente: $\displaystyle 4+0+(2x+ax-3a)+(ax-3a-3x+9)$ . Reducem termenii asemenea: $\displaystyle ax+ax=2ax$ , $\displaystyle 2x-3x=-x$ , $\displaystyle -3a-3a=-6a$ , $\displaystyle 4+9=13$ .
$\displaystyle 4+0+2x+ax-3a+ax-3a-3x+9=2ax-x-6a+13$
Cerem ca suma să fie egală cu $\displaystyle b$ pentru orice $\displaystyle x$ real. Grupăm termenii care conțin $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x(2a-1)-6a+13=b$
Egalitatea $\displaystyle x(2a-1)=b+6a-13$ are în dreapta o constantă, deci trebuie să fie adevărată pentru orice $\displaystyle x$ doar dacă coeficientul lui $\displaystyle x$ este nul.
$\displaystyle 2a-1=0\Rightarrow a=\frac{1}{2}$
Pentru $\displaystyle a=\dfrac{1}{2}$ termenul cu $\displaystyle x$ dispare, deci $\displaystyle b=-6a+13$ . Înlocuim $\displaystyle a$ și obținem $\displaystyle b=-6\cdot\dfrac{1}{2}+13=-3+13$ .
$\displaystyle a=\frac{1}{2}\text{ și }b=10$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2&0\\x&x-3\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Se consideră matricea

\displaystyle B=\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}

. Determinați matricea

\displaystyle C\in\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})

pentru care

\displaystyle A(5)\cdot C=B

.

Vezi rezolvarea

Calculăm matricea $\displaystyle A(5)$ , înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 5$ în $\displaystyle A(x)$ . Elementul din dreapta jos este $\displaystyle 5-3=2$ .
$\displaystyle A(5)=\begin{pmatrix}2&0\\5&2\end{pmatrix}$
Matricea $\displaystyle C$ aparține lui $\displaystyle \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})$ , deci are două linii și o coloană. O scriem cu necunoscutele $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ .
$\displaystyle C=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$
Efectuăm produsul $\displaystyle A(5)\cdot C$ , înmulțind fiecare linie a lui $\displaystyle A(5)$ cu coloana lui $\displaystyle C$ : $\displaystyle 2\cdot a+0\cdot b$ pe prima linie și $\displaystyle 5\cdot a+2\cdot b$ pe a doua.
$\displaystyle A(5)\cdot C=\begin{pmatrix}2a\\5a+2b\end{pmatrix}$
Egalăm produsul cu $\displaystyle B$ , element cu element, și obținem un sistem de două ecuații.
$\displaystyle \begin{cases}2a=4\\5a+2b=0\end{cases}$
Din prima ecuație, $\displaystyle 2a=4$ , rezultă $\displaystyle a=2$ . Înlocuim în a doua ecuație: $\displaystyle 10+2b=0$ , deci $\displaystyle 2b=-10$ și $\displaystyle b=-5$ .
$\displaystyle a=2$ , $\displaystyle \ b=-5$
Înlocuim valorile găsite în $\displaystyle C$ . Verificare: $\displaystyle 2\cdot 2=4$ și $\displaystyle 5\cdot 2+2\cdot(-5)=0$ , deci $\displaystyle A(5)\cdot C=B$ .
$\displaystyle C=\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M4 pedagogic 2026, sesiunea a II-a varianta 04: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.1)

Subiectul II.1.2)

Subiectul II.1.3)

Subiectul II.1.4)

Subiectul II.1.5)

Subiectul II.1.6)

Subiectul III.1.1)

Subiectul III.1.2)

Subiectul III.1.3)

Subiectul III.1.4)

Subiectul III.1.5)

Subiectul III.1.6)

Aceeași sesiune, alți ani