Bac matematică M4 pedagogic 2018, sesiunea a II-a varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (3+1)(3−1)−(2+1)(2−1)=1\displaystyle (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)-(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula diferenței de pătrate: (a+b)(a−b)=a2−b2\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}. O vom aplica pentru fiecare dintre cele două produse.
    (a+b)(a−b)=a2−b2\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}
  2. Aplicăm formula pentru primul produs, cu a=3\displaystyle a=\sqrt{3} și b=1\displaystyle b=1.
    (3+1)(3−1)=(3)2−12=3−1\displaystyle (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^{2}-1^{2}=3-1
  3. Aplicăm formula pentru al doilea produs, cu a=2\displaystyle a=\sqrt{2} și b=1\displaystyle b=1.
    (2+1)(2−1)=(2)2−12=2−1\displaystyle (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^{2}-1^{2}=2-1
  4. Înlocuim cele două produse în expresia dată și obținem diferența dintre 3−1\displaystyle 3-1 și 2−1\displaystyle 2-1.
    (3−1)−(2−1)\displaystyle (3-1)-(2-1)
  5. Calculăm: 3−1=2\displaystyle 3-1=2, iar 2−1=1\displaystyle 2-1=1, deci diferența este 2−1=1\displaystyle 2-1=1. Egalitatea este demonstrată.
    2−1=1\displaystyle 2-1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−2\displaystyle f(x)=3x-2. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația f(x)<4\displaystyle f(x)<4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim expresia funcției f(x)=3x−2\displaystyle f(x)=3x-2 în inecuația f(x)<4\displaystyle f(x)<4.
    3x−2<4\displaystyle 3x-2<4
  2. Adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri ai inecuației, ca să izolăm termenul cu x\displaystyle x. Sensul inegalității se păstrează.
    3x<4+2⇔3x<6\displaystyle 3x<4+2\Leftrightarrow 3x<6
  3. Împărțim ambii membri la 3\displaystyle 3, care este un număr pozitiv, deci sensul inegalității rămâne același. Soluția este mulțimea numerelor reale mai mici decât 2\displaystyle 2.
    x<2⇒x∈(−∞,2)\displaystyle x<2\Rightarrow x\in(-\infty,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x3+3)=log⁡230\displaystyle \log_2\left(x^3+3\right)=\log_2 30.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv. Cum 30>0\displaystyle 30>0, rămâne condiția x3+3>0\displaystyle x^{3}+3>0.
    x3+3>0\displaystyle x^{3}+3>0
  2. Logaritmul în baza 2\displaystyle 2 este injectiv, deci egalitatea logaritmilor implică egalitatea argumentelor: x3+3=30\displaystyle x^{3}+3=30.
    x3+3=30\displaystyle x^{3}+3=30
  3. Trecem 30\displaystyle 30 în membrul stâng și obținem ecuația x3+3−30=0\displaystyle x^{3}+3-30=0, adică x3−27=0\displaystyle x^{3}-27=0.
    x3−27=0\displaystyle x^{3}-27=0
  4. Scriem ecuația sub forma x3=27=33\displaystyle x^{3}=27=3^{3}. Funcția x↦x3\displaystyle x\mapsto x^{3} este injectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci singura soluție reală este x=3\displaystyle x=3.
    x=3\displaystyle x=3
  5. Verificăm condiția de existență: pentru x=3\displaystyle x=3 avem x3+3=27+3=30>0\displaystyle x^{3}+3=27+3=30>0. Deci soluția convine.
    x=3, care convine\displaystyle x=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 1,2,3,4\displaystyle 1,2,3,4 și 5\displaystyle 5.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul are trei cifre distincte, alese dintre 1,2,3,4,5\displaystyle 1,2,3,4,5. Nu apare cifra 0\displaystyle 0, deci orice cifră poate fi pe prima poziție. Pentru cifra sutelor avem 5\displaystyle 5 posibilități.
    5\displaystyle 5
  2. Cifra zecilor trebuie să fie diferită de cifra sutelor, deci rămân 4\displaystyle 4 posibilități.
    4\displaystyle 4
  3. Cifra unităților trebuie să fie diferită de primele două cifre alese, deci rămân 3\displaystyle 3 posibilități.
    3\displaystyle 3
  4. Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de posibilități de la fiecare alegere. Rezultă 60\displaystyle 60 de numere.
    5⋅4⋅3=60\displaystyle 5\cdot 4\cdot 3=60
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(2,3)\displaystyle M(2,3) și N(−1,4)\displaystyle N(-1,4). Determinați coordonatele punctului P\displaystyle P, simetricul punctului N\displaystyle N față de punctul M\displaystyle M.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul P\displaystyle P este simetricul lui N\displaystyle N față de M\displaystyle M, deci M\displaystyle M este mijlocul segmentului NP\displaystyle NP. Scriem formulele coordonatelor mijlocului: xM=xN+xP2\displaystyle x_M=\dfrac{x_N+x_P}{2} și yM=yN+yP2\displaystyle y_M=\dfrac{y_N+y_P}{2}.
    xM=xN+xP2\displaystyle x_M=\frac{x_N+x_P}{2},yM=yN+yP2\displaystyle \quad y_M=\frac{y_N+y_P}{2}
  2. Înlocuim xM=2\displaystyle x_M=2 și xN=−1\displaystyle x_N=-1 în prima formulă: 2=−1+xP2\displaystyle 2=\dfrac{-1+x_P}{2}. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și obținem 4=−1+xP\displaystyle 4=-1+x_P, deci xP=5\displaystyle x_P=5.
    2=−1+xP2, de unde xP=5\displaystyle 2=\frac{-1+x_P}{2}\text{, de unde }x_P=5
  3. Înlocuim yM=3\displaystyle y_M=3 și yN=4\displaystyle y_N=4 în a doua formulă: 3=4+yP2\displaystyle 3=\dfrac{4+y_P}{2}. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și obținem 6=4+yP\displaystyle 6=4+y_P, deci yP=2\displaystyle y_P=2. Așadar P(5,2)\displaystyle P(5,2).
    3=4+yP2, de unde yP=2, deci P(5,2)\displaystyle 3=\frac{4+y_P}{2}\text{, de unde }y_P=2\text{, deci }P(5,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea laturii BC\displaystyle BC a triunghiului ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, știind că AB=8\displaystyle AB=8 și m(∡C)=30∘\displaystyle m(\measuredangle C)=30^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. În triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, ipotenuza este BC\displaystyle BC, iar latura AB\displaystyle AB este cateta opusă unghiului C\displaystyle C. Folosim sinusul unghiului C\displaystyle C: sinusul este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză.
    sin⁡C=ABBC\displaystyle \sin C=\dfrac{AB}{BC}
  2. Știm că sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} și că AB=8\displaystyle AB=8. Înlocuim aceste valori în egalitate.
    12=8BC\displaystyle \dfrac{1}{2}=\dfrac{8}{BC}
  3. Rezolvăm proporția prin produsul mezilor și al extremilor: BC=2⋅8\displaystyle BC=2\cdot 8. Deci lungimea laturii BC\displaystyle BC este:
    BC=16\displaystyle BC=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6.

Arătați că 1∗2=2\displaystyle 1*2=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6 pentru x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2.
    1∗2=1⋅2−2(1+2)+6\displaystyle 1*2=1\cdot 2-2(1+2)+6
  2. Calculăm separat produsul 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2 și suma 1+2=3\displaystyle 1+2=3, deci termenul scăzut este 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6.
    1∗2=2−6+6\displaystyle 1*2=2-6+6
  3. Reducem termenii opuși −6\displaystyle -6 și +6\displaystyle +6 și obținem 2\displaystyle 2, adică exact egalitatea cerută.
    1∗2=2\displaystyle 1*2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6.

Demonstrați că x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6 și desfacem paranteza: −2(x+y)=−2x−2y\displaystyle -2(x+y)=-2x-2y.
    x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6
  2. Scriem 6=4+2\displaystyle 6=4+2, deoarece 4\displaystyle 4 apare în dezvoltarea produsului (x−2)(y−2)\displaystyle (x-2)(y-2).
    x∗y=xy−2x−2y+4+2\displaystyle x*y=xy-2x-2y+4+2
  3. Grupăm xy−2x=x(y−2)\displaystyle xy-2x=x(y-2) și −2y+4=−2(y−2)\displaystyle -2y+4=-2(y-2). Termenul +2\displaystyle +2 rămâne neschimbat.
    x∗y=x(y−2)−2(y−2)+2\displaystyle x*y=x(y-2)-2(y-2)+2
  4. Scoatem factorul comun y−2\displaystyle y-2 și obținem egalitatea cerută, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x(y−2)−2(y−2)+2=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x(y-2)-2(y-2)+2=(x-2)(y-2)+2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6.

Arătați că e=3\displaystyle e=3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată. Avem (x−2)(y−2)=xy−2x−2y+4\displaystyle (x-2)(y-2)=xy-2x-2y+4, deci x∗y=xy−2(x+y)+6=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6=(x-2)(y-2)+2.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2
  2. Pentru a arăta că e=3\displaystyle e=3 este element neutru, verificăm că x∗3=3∗x=x\displaystyle x*3=3*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Începem cu x∗3\displaystyle x*3, înlocuind y=3\displaystyle y=3 în forma factorizată.
    x∗3=(x−2)(3−2)+2\displaystyle x*3=(x-2)(3-2)+2
  3. Calculăm: 3−2=1\displaystyle 3-2=1, deci (x−2)⋅1=x−2\displaystyle (x-2)\cdot 1=x-2, iar adunând 2\displaystyle 2 obținem x\displaystyle x.
    x∗3=x−2+2=x\displaystyle x*3=x-2+2=x
  4. Verificăm și în cealaltă ordine: 3∗x=(3−2)(x−2)+2\displaystyle 3*x=(3-2)(x-2)+2.
    3∗x=(3−2)(x−2)+2=x−2+2=x\displaystyle 3*x=(3-2)(x-2)+2=x-2+2=x
  5. Am obținut x∗3=3∗x=x\displaystyle x*3=3*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci e=3\displaystyle e=3 este elementul neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    3∗x=x=x∗3, deci e=3 este elementul neutru\displaystyle 3*x=x=x*3\text{, deci }e=3\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care n∗n≤n\displaystyle n*n\le n.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată: x∗y=xy−2x−2y+4+2=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=xy-2x-2y+4+2=(x-2)(y-2)+2.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2
  2. Pentru x=y=n\displaystyle x=y=n obținem n∗n=(n−2)(n−2)+2\displaystyle n*n=(n-2)(n-2)+2, deci inegalitatea n∗n≤n\displaystyle n*n\le n devine (n−2)2+2≤n\displaystyle (n-2)^{2}+2\le n.
    (n−2)(n−2)+2≤n\displaystyle (n-2)(n-2)+2\le n
  3. Avem n2−4n+4+2−n≤0\displaystyle n^{2}-4n+4+2-n\le 0, adică n2−5n+6≤0\displaystyle n^{2}-5n+6\le 0, care se descompune în (n−2)(n−3)≤0\displaystyle (n-2)(n-3)\le 0.
    (n−2)(n−2)+2≤n⇔(n−2)(n−3)≤0\displaystyle (n-2)(n-2)+2\le n\Leftrightarrow (n-2)(n-3)\le 0
  4. Rădăcinile sunt 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3, iar coeficientul lui n2\displaystyle n^{2} este pozitiv, deci inecuația are soluțiile n∈[2,3]\displaystyle n\in[2,3].
    n∈[2,3]\displaystyle n\in[2,3]
  5. Deoarece n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}, în intervalul [2,3]\displaystyle [2,3] se găsesc doar numerele 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3.
    n=2 sau n=3\displaystyle n=2\text{ sau }n=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care (2x∗2x)∗2x=10\displaystyle \left(2^x*2^x\right)*2^x=10.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie factorizat: x∗y=xy−2x−2y+4+2\displaystyle x*y=xy-2x-2y+4+2, deci x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2
  2. Notăm a=2x\displaystyle a=2^x și calculăm 2x∗2x=(2x−2)(2x−2)+2\displaystyle 2^x*2^x=(2^x-2)(2^x-2)+2.
    2x∗2x=(2x−2)2+2\displaystyle 2^x*2^x=\left(2^x-2\right)^2+2
  3. Compunem rezultatul cu 2x\displaystyle 2^x: primul factor este (2x−2)2+2−2=(2x−2)2\displaystyle \left(2^x-2\right)^2+2-2=\left(2^x-2\right)^2, iar al doilea este 2x−2\displaystyle 2^x-2. Obținem (2x−2)2(2x−2)+2\displaystyle \left(2^x-2\right)^2\left(2^x-2\right)+2.
    (2x∗2x)∗2x=(2x−2)3+2\displaystyle \left(2^x*2^x\right)*2^x=\left(2^x-2\right)^3+2
  4. Egalăm cu 10\displaystyle 10: (2x−2)3+2=10\displaystyle \left(2^x-2\right)^3+2=10, deci (2x−2)3=8\displaystyle \left(2^x-2\right)^3=8.
    (2x−2)3=8\displaystyle \left(2^x-2\right)^3=8
  5. Deoarece 8=23\displaystyle 8=2^3 și funcția cub este injectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, obținem 2x−2=2\displaystyle 2^x-2=2, deci 2x=4=22\displaystyle 2^x=4=2^2.
    2x−2=2⇔2x=22\displaystyle 2^x-2=2\Leftrightarrow 2^x=2^2
  6. Funcția exponențială de bază 2\displaystyle 2 este injectivă, deci x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6.

Determinați numerele raționale p\displaystyle p și q\displaystyle q, știind că 23−1∗23−1=p+q3\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}*\frac{2}{\sqrt{3}-1}=p+q\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub formă factorizată. Avem (x−2)(y−2)=xy−2x−2y+4\displaystyle (x-2)(y-2)=xy-2x-2y+4, deci x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2
  2. Pentru x=y=23−1\displaystyle x=y=\dfrac{2}{\sqrt{3}-1} forma factorizată devine o diferență la pătrat plus 2.
    23−1∗23−1=(23−1−2)2+2\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}*\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\left(\frac{2}{\sqrt{3}-1}-2\right)^2+2
  3. Raționalizăm fracția: 23−1=2(3+1)(3−1)(3+1)=2(3+1)2\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{2}.
    23−1=3+1\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1
  4. Scădem 2: 3+1−2=3−1\displaystyle \sqrt{3}+1-2=\sqrt{3}-1. Deci expresia devine (3−1)2+2\displaystyle \left(\sqrt{3}-1\right)^2+2.
    (23−1−2)2+2=(3−1)2+2\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{3}-1}-2\right)^2+2=\left(\sqrt{3}-1\right)^2+2
  5. Calculăm: (3−1)2=3−23+1=4−23\displaystyle \left(\sqrt{3}-1\right)^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}. Adunând 2\displaystyle 2 obținem 6−23\displaystyle 6-2\sqrt{3}.
    (3−1)2+2=6−23\displaystyle \left(\sqrt{3}-1\right)^2+2=6-2\sqrt{3}
  6. Egalăm 6−23=p+q3\displaystyle 6-2\sqrt{3}=p+q\sqrt{3}. Cum p,q\displaystyle p,q sunt raționale, iar 3\displaystyle \sqrt{3} este irațional, identificăm coeficienții: p=6\displaystyle p=6 și q=−2\displaystyle q=-2.
    p=6 și q=−2\displaystyle p=6\text{ și }q=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−24−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&4\\-1&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=I2+aA\displaystyle M(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula determinantului de ordinul doi: pentru matricea (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} avem det⁡=a⋅d−b⋅c\displaystyle \det=a\cdot d-b\cdot c.
    det⁡(abcd)=a⋅d−b⋅c\displaystyle \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=a\cdot d-b\cdot c
  2. Înlocuim elementele matricei A\displaystyle A: a=−2\displaystyle a=-2, b=4\displaystyle b=4, c=−1\displaystyle c=-1, d=2\displaystyle d=2.
    det⁡A=(−2)⋅2−(−1)⋅4\displaystyle \det A=(-2)\cdot 2-(-1)\cdot 4
  3. Calculăm produsele: (−2)⋅2=−4\displaystyle (-2)\cdot 2=-4, iar (−1)⋅4=−4\displaystyle (-1)\cdot 4=-4, deci scăderea lui −4\displaystyle -4 înseamnă adunarea lui 4\displaystyle 4. Obținem −4+4=0\displaystyle -4+4=0, deci det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
    det⁡A=−4+4=0\displaystyle \det A=-4+4=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−24−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&4\\-1&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=I2+aA\displaystyle M(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A⋅A=O2\displaystyle A\cdot A=O_2, unde O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A și îl calculăm element cu element: fiecare element se obține înmulțind linia corespunzătoare din prima matrice cu coloana corespunzătoare din a doua.
    A⋅A=(−24−12)⋅(−24−12)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}-2&4\\-1&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2&4\\-1&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele produsului: linia 1 cu coloana 1 dă (−2)(−2)+4⋅(−1)\displaystyle (-2)(-2)+4\cdot(-1), linia 1 cu coloana 2 dă (−2)⋅4+4⋅2\displaystyle (-2)\cdot 4+4\cdot 2, linia 2 cu coloana 1 dă (−1)(−2)+2⋅(−1)\displaystyle (-1)(-2)+2\cdot(-1), iar linia 2 cu coloana 2 dă (−1)⋅4+2⋅2\displaystyle (-1)\cdot 4+2\cdot 2.
    A⋅A=((−2)(−2)+4⋅(−1)(−2)⋅4+4⋅2(−1)(−2)+2⋅(−1)(−1)⋅4+2⋅2)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}(-2)(-2)+4\cdot(-1)&(-2)\cdot 4+4\cdot 2\\(-1)(-2)+2\cdot(-1)&(-1)\cdot 4+2\cdot 2\end{pmatrix}
  3. Efectuăm înmulțirile și observăm că în fiecare element se adună două numere opuse, deci toate elementele sunt zero. Rezultă A⋅A=O2\displaystyle A\cdot A=O_2.
    (4−4−8+82−2−4+4)=(0000)=O2\displaystyle \begin{pmatrix}4-4&-8+8\\2-2&-4+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−24−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&4\\-1&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=I2+aA\displaystyle M(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că M(a)⋅M(b)=M(a+b)\displaystyle M(a)\cdot M(b)=M(a+b), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul M(a)⋅M(b)\displaystyle M(a)\cdot M(b) folosind definiția: M(a)=I2+aA\displaystyle M(a)=I_2+aA și M(b)=I2+bA\displaystyle M(b)=I_2+bA.
    M(a)⋅M(b)=(I2+aA)(I2+bA)\displaystyle M(a)\cdot M(b)=(I_2+aA)(I_2+bA)
  2. Desfacem parantezele folosind distributivitatea înmulțirii matricelor față de adunare. Scalarii a\displaystyle a și b\displaystyle b ies în fața produsului, iar I2\displaystyle I_2 este element neutru: I2⋅I2=I2\displaystyle I_2\cdot I_2=I_2, I2⋅bA=bA\displaystyle I_2\cdot bA=bA, aA⋅I2=aA\displaystyle aA\cdot I_2=aA.
    (I2+aA)(I2+bA)=I2+aA+bA+abA⋅A\displaystyle (I_2+aA)(I_2+bA)=I_2+aA+bA+abA\cdot A
  3. Calculăm A⋅A\displaystyle A\cdot A: elementele sunt (−2)(−2)+4⋅(−1)=0\displaystyle (-2)(-2)+4\cdot(-1)=0, (−2)⋅4+4⋅2=0\displaystyle (-2)\cdot 4+4\cdot 2=0, (−1)(−2)+2⋅(−1)=0\displaystyle (-1)(-2)+2\cdot(-1)=0 și (−1)⋅4+2⋅2=0\displaystyle (-1)\cdot 4+2\cdot 2=0.
    A⋅A=(0000)=O2\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
  4. Înlocuim A⋅A=O2\displaystyle A\cdot A=O_2, deci abA⋅A=abO2=O2\displaystyle abA\cdot A=abO_2=O_2. Grupăm termenii în care apare A\displaystyle A: aA+bA=(a+b)A\displaystyle aA+bA=(a+b)A. Rezultatul este chiar M(a+b)\displaystyle M(a+b), adică egalitatea cerută este demonstrată pentru orice a,b∈R\displaystyle a,b\in\mathbb{R}.
    I2+(a+b)A+abO2=I2+(a+b)A=M(a+b)\displaystyle I_2+(a+b)A+abO_2=I_2+(a+b)A=M(a+b)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−24−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&4\\-1&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=I2+aA\displaystyle M(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale t\displaystyle t, știind că M(t)⋅M(t2)=M(90)\displaystyle M(t)\cdot M\left(t^2\right)=M(90).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^{2}=A\cdot A. Elementele sunt (−2)(−2)+4⋅(−1)=0\displaystyle (-2)(-2)+4\cdot(-1)=0, (−2)⋅4+4⋅2=0\displaystyle (-2)\cdot 4+4\cdot 2=0, (−1)(−2)+2⋅(−1)=0\displaystyle (-1)(-2)+2\cdot(-1)=0, (−1)⋅4+2⋅2=0\displaystyle (-1)\cdot 4+2\cdot 2=0. Deci A2\displaystyle A^{2} este matricea nulă.
    A2=(0000)=O2\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
  2. Pentru a,b∈R\displaystyle a,b\in\mathbb{R} avem M(a)⋅M(b)=(I2+aA)(I2+bA)=I2+(a+b)A+ab A2\displaystyle M(a)\cdot M(b)=(I_2+aA)(I_2+bA)=I_2+(a+b)A+ab\,A^{2}. Cum A2=O2\displaystyle A^{2}=O_2, ultimul termen dispare și rămâne I2+(a+b)A\displaystyle I_2+(a+b)A.
    M(a)⋅M(b)=I2+(a+b)A=M(a+b)\displaystyle M(a)\cdot M(b)=I_2+(a+b)A=M(a+b)
  3. Luăm a=t\displaystyle a=t și b=t2\displaystyle b=t^{2} în relația M(a)⋅M(b)=M(a+b)\displaystyle M(a)\cdot M(b)=M(a+b).
    M(t)⋅M(t2)=M(t+t2)\displaystyle M(t)\cdot M\left(t^{2}\right)=M\left(t+t^{2}\right)
  4. Ecuația devine M(t+t2)=M(90)\displaystyle M\left(t+t^{2}\right)=M(90). Cum A≠O2\displaystyle A\neq O_2, egalitatea I2+xA=I2+yA\displaystyle I_2+xA=I_2+yA implică x=y\displaystyle x=y. Deci t+t2=90\displaystyle t+t^{2}=90, adică o ecuație de gradul II.
    t2+t−90=0\displaystyle t^{2}+t-90=0
  5. Discriminantul este Δ=12−4⋅1⋅(−90)=1+360=361=192\displaystyle \Delta=1^{2}-4\cdot 1\cdot(-90)=1+360=361=19^{2}. Rădăcinile sunt t=−1±192\displaystyle t=\dfrac{-1\pm 19}{2}, adică t=182=9\displaystyle t=\dfrac{18}{2}=9 și t=−202=−10\displaystyle t=\dfrac{-20}{2}=-10.
    t=−10 sau t=9\displaystyle t=-10\text{ sau }t=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−24−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&4\\-1&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=I2+aA\displaystyle M(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că inversa matricei I2+A\displaystyle I_2+A este matricea I2−A\displaystyle I_2-A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm pătratul matricei A\displaystyle A, adică A⋅A\displaystyle A\cdot A, element cu element (linie înmulțită cu coloană): A2=(4−4−8+82−2−4+4)\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}4-4&-8+8\\2-2&-4+4\end{pmatrix}. Obținem matricea nulă.
    A2=(0000)=O2\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
  2. Calculăm produsul (I2+A)(I2−A)\displaystyle (I_2+A)(I_2-A). Folosim distributivitatea și faptul că I2\displaystyle I_2 este element neutru la înmulțire: (I2+A)(I2−A)=I2−A+A−A⋅A\displaystyle (I_2+A)(I_2-A)=I_2-A+A-A\cdot A. Termenii cu A\displaystyle A se reduc, iar A2=O2\displaystyle A^{2}=O_2.
    (I2+A)(I2−A)=I2−A+A−A⋅A=I2−O2=I2\displaystyle (I_2+A)(I_2-A)=I_2-A+A-A\cdot A=I_2-O_2=I_2
  3. Verificăm și produsul în ordine inversă: (I2−A)(I2+A)=I2+A−A−A⋅A=I2−O2=I2\displaystyle (I_2-A)(I_2+A)=I_2+A-A-A\cdot A=I_2-O_2=I_2. Cum ambele produse sunt egale cu I2\displaystyle I_2, matricea I2−A\displaystyle I_2-A este inversa matricei I2+A\displaystyle I_2+A.
    (I2−A)(I2+A)=I2+A−A−A⋅A=I2, deci I2−A este inversa lui I2+A\displaystyle (I_2-A)(I_2+A)=I_2+A-A-A\cdot A=I_2\text{, deci }I_2-A\text{ este inversa lui }I_2+A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−24−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&4\\-1&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=I2+aA\displaystyle M(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real. Rezolvați în M2(R)\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) ecuația (I2+A)⋅X=A−I2\displaystyle (I_2+A)\cdot X=A-I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea I2+A=(−14−13)\displaystyle I_2+A=\begin{pmatrix}-1&4\\-1&3\end{pmatrix} și determinantul det⁡(I2+A)=−3+4=1≠0\displaystyle \det(I_2+A)=-3+4=1\neq 0. Determinantul fiind nenul, matricea este inversabilă, deci ecuația se poate rezolva înmulțind la stânga cu inversa.
    det⁡(I2+A)=−3+4=1≠0\displaystyle \det(I_2+A)=-3+4=1\neq 0
  2. Calculăm A2\displaystyle A^2. Se obține matricea nulă A2=O2\displaystyle A^2=O_2, deci (I2+A)(I2−A)=I2−A2=I2\displaystyle (I_2+A)(I_2-A)=I_2-A^2=I_2. Prin urmare inversa lui I2+A\displaystyle I_2+A este I2−A\displaystyle I_2-A.
    (I2+A)−1=I2−A=(3−41−1)\displaystyle (I_2+A)^{-1}=I_2-A=\begin{pmatrix}3&-4\\1&-1\end{pmatrix}
  3. Înmulțim ecuația la stânga cu inversa matricei I2+A\displaystyle I_2+A. În partea stângă rămâne X\displaystyle X.
    X=(I2+A)−1⋅(A−I2)\displaystyle X=(I_2+A)^{-1}\cdot(A-I_2)
  4. Înlocuim inversa cu I2−A\displaystyle I_2-A și desfacem parantezele, folosind A2=O2\displaystyle A^2=O_2. Rezultă X=−(I2−A)2=2A−I2\displaystyle X=-(I_2-A)^2=2A-I_2.
    X=(I2−A)(A−I2)=−(I2−2A+A2)=2A−I2\displaystyle X=(I_2-A)(A-I_2)=-(I_2-2A+A^2)=2A-I_2
  5. Calculăm 2A−I2\displaystyle 2A-I_2 și obținem soluția ecuației. Verificare prin înmulțirea directă a lui I2−A\displaystyle I_2-A cu A−I2=(−34−11)\displaystyle A-I_2=\begin{pmatrix}-3&4\\-1&1\end{pmatrix} dă același rezultat.
    X=2A−I2=(−58−23)\displaystyle X=2A-I_2=\begin{pmatrix}-5&8\\-2&3\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.