Bac matematică M4 pedagogic 2020, sesiunea a II-a varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 96⋅(64−16)=2\displaystyle \sqrt{96}\cdot\left(\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scoatem factorul de sub radical: 96=16⋅6\displaystyle 96=16\cdot 6, deci 96=16⋅6=46\displaystyle \sqrt{96}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{6}=4\sqrt{6}.
    96=46\displaystyle \sqrt{96}=4\sqrt{6}
  2. Aducem fracțiile din paranteză la numitorul comun 46\displaystyle 4\sqrt{6}: amplificăm prima fracție cu 6\displaystyle \sqrt{6} și a doua cu 4\displaystyle 4. Obținem 64=6⋅646=646\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}}{4}=\dfrac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}{4\sqrt{6}}=\dfrac{6}{4\sqrt{6}} și 16=446\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{6}}=\dfrac{4}{4\sqrt{6}}.
    64−16=6−446\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{6-4}{4\sqrt{6}}
  3. Înlocuim în expresia inițială 96\displaystyle \sqrt{96} cu 46\displaystyle 4\sqrt{6} și paranteza cu fracția obținută.
    96⋅(64−16)=46⋅6−446\displaystyle \sqrt{96}\cdot\left(\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)=4\sqrt{6}\cdot\frac{6-4}{4\sqrt{6}}
  4. Simplificăm cu 46\displaystyle 4\sqrt{6} și calculăm: 46⋅6−446=6−4=2\displaystyle 4\sqrt{6}\cdot\dfrac{6-4}{4\sqrt{6}}=6-4=2, deci egalitatea este adevărată.
    46⋅6−446=6−4=2\displaystyle 4\sqrt{6}\cdot\frac{6-4}{4\sqrt{6}}=6-4=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x+1\displaystyle f(x)=3x+1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x−1\displaystyle g(x)=x-1. Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care f(n)⋅g(n)=0\displaystyle f(n)\cdot g(n)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(n)=3n+1\displaystyle f(n)=3n+1 și g(n)=n−1\displaystyle g(n)=n-1 în egalitatea f(n)⋅g(n)=0\displaystyle f(n)\cdot g(n)=0 și obținem ecuația cu factori.
    (3n+1)(n−1)=0\displaystyle (3n+1)(n-1)=0
  2. Un produs este zero când cel puțin un factor este zero, deci avem 3n+1=0\displaystyle 3n+1=0 sau n−1=0\displaystyle n-1=0.
    3n+1=0 sau n−1=0\displaystyle 3n+1=0\text{ sau }n-1=0
  3. Din 3n+1=0\displaystyle 3n+1=0 rezultă 3n=−1\displaystyle 3n=-1, deci n=−13\displaystyle n=-\dfrac{1}{3}, iar din n−1=0\displaystyle n-1=0 rezultă n=1\displaystyle n=1.
    n=−13 sau n=1\displaystyle n=-\dfrac{1}{3}\text{ sau }n=1
  4. Cum n\displaystyle n trebuie să fie număr natural, iar −13∉N\displaystyle -\dfrac{1}{3}\notin\mathbb{N}, singura soluție convenabilă este n=1\displaystyle n=1.
    n=1\displaystyle n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 32x+5=36x−3\displaystyle 3^{2x+5}=3^{6x-3}.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația are aceeași bază, 3\displaystyle 3, în ambii membri. Funcția exponențială de bază 3\displaystyle 3 este injectivă, deci din 32x+5=36x−3\displaystyle 3^{2x+5}=3^{6x-3} rezultă că exponenții sunt egali.
    2x+5=6x−3\displaystyle 2x+5=6x-3
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x într-un membru și termenii liberi în celălalt: scădem 2x\displaystyle 2x din ambii membri și adunăm 3\displaystyle 3 la ambii membri. Obținem 5+3=6x−2x\displaystyle 5+3=6x-2x, adică 4x=8\displaystyle 4x=8.
    4x=8\displaystyle 4x=8
  3. Împărțim ambii membri la 4\displaystyle 4 și obținem x=84=2\displaystyle x=\dfrac{8}{4}=2. Verificare: pentru x=2\displaystyle x=2 ambii exponenți sunt egali cu 9\displaystyle 9, deci soluția convine.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor egală cu dublul cifrei unităților.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt cele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99. Numărul cazurilor posibile este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    90\displaystyle 90
  2. Notăm numărul cu ab‾\displaystyle \overline{ab}, unde a\displaystyle a este cifra zecilor și b\displaystyle b cifra unităților. Condiția cerută este a=2b\displaystyle a=2b, cu a∈{1,2,…,9}\displaystyle a\in\{1,2,\ldots,9\}.
    a=2b\displaystyle a=2b,a∈{1,…,9}\displaystyle \quad a\in\{1,\ldots,9\}
  3. Cum a=2b≤9\displaystyle a=2b\le 9, rezultă b≤4\displaystyle b\le 4. Cifra b=0\displaystyle b=0 nu convine, pentru că atunci a=0\displaystyle a=0, iar numărul nu ar fi de două cifre. Rămân b=1,2,3,4\displaystyle b=1,2,3,4, adică a=2,4,6,8\displaystyle a=2,4,6,8.
    b∈{1,2,3,4}\displaystyle b\in\{1,2,3,4\},a∈{2,4,6,8}\displaystyle \quad a\in\{2,4,6,8\}
  4. Numerele favorabile sunt 21,42,63,84\displaystyle 21, 42, 63, 84, deci sunt 4\displaystyle 4 cazuri favorabile.
    21\displaystyle 21,42\displaystyle 42,63\displaystyle 63,84, deci 4 cazuri favorabile\displaystyle 84\text{, deci }4\text{ cazuri favorabile}
  5. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și al celor posibile: p=490\displaystyle p=\dfrac{4}{90}. Simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2.
    p=490=245\displaystyle p=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele necoliniare A(1,3)\displaystyle A(1,3), B(3,5)\displaystyle B(3,5) și C(0,a)\displaystyle C(0,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci dreptele AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC sunt perpendiculare. Dacă ambele au pantă, produsul pantelor este −1\displaystyle -1. Calculăm mai întâi panta dreptei AB\displaystyle AB: mAB=yB−yAxB−xA\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.
    mAB=5−33−1=22=1\displaystyle m_{AB}=\dfrac{5-3}{3-1}=\dfrac{2}{2}=1
  2. Calculăm panta dreptei AC\displaystyle AC, folosind A(1,3)\displaystyle A(1,3) și C(0,a)\displaystyle C(0,a): mAC=a−30−1\displaystyle m_{AC}=\dfrac{a-3}{0-1}.
    mAC=a−3−1=3−a\displaystyle m_{AC}=\dfrac{a-3}{-1}=3-a
  3. Punem condiția de perpendicularitate mAB⋅mAC=−1\displaystyle m_{AB}\cdot m_{AC}=-1. Înlocuim mAB=1\displaystyle m_{AB}=1 și mAC=3−a\displaystyle m_{AC}=3-a, obținem 3−a=−1\displaystyle 3-a=-1, deci a=4\displaystyle a=4.
    1⋅(3−a)=−1, deci a=4\displaystyle 1\cdot(3-a)=-1\text{, deci }a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 3⋅sin⁡60∘+sin⁡30∘−4sin⁡230∘=1\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sin 60^\circ+\sin 30^\circ-4\sin^2 30^\circ=1.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile cunoscute ale sinusurilor: sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡30∘=12\displaystyle \ \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}
  2. Înlocuim aceste valori în expresia 3⋅sin⁡60∘+sin⁡30∘−4sin⁡230∘\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sin 60^\circ+\sin 30^\circ-4\sin^2 30^\circ.
    3⋅32+12−4⋅(12)2\displaystyle \sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}-4\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}
  3. Calculăm fiecare termen: 3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3, deci primul termen este 32\displaystyle \dfrac{3}{2}; iar (12)2=14\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}, deci 4⋅14=1\displaystyle 4\cdot\dfrac{1}{4}=1.
    32+12−1\displaystyle \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}-1
  4. Adunăm fracțiile, care au același numitor: 32+12=42=2\displaystyle \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{2}=2. Apoi scădem 1 și obținem 2−1=1\displaystyle 2-1=1, deci egalitatea este adevărată.
    32+12−1=2−1=1\displaystyle \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}-1=2-1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=−xy+4x+4y−12\displaystyle x\circ y=-xy+4x+4y-12.

Arătați că 2∘3=2\displaystyle 2\circ 3=2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∘y=−xy+4x+4y−12\displaystyle x\circ y=-xy+4x+4y-12 și luăm x=2\displaystyle x=2, y=3\displaystyle y=3.
    2∘3=−2⋅3+4⋅2+4⋅3−12\displaystyle 2\circ 3=-2\cdot 3+4\cdot 2+4\cdot 3-12
  2. Calculăm produsele: −2⋅3=−6\displaystyle -2\cdot 3=-6, 4⋅2=8\displaystyle 4\cdot 2=8, 4⋅3=12\displaystyle 4\cdot 3=12.
    −6+8+12−12\displaystyle -6+8+12-12
  3. Termenii 12\displaystyle 12 și −12\displaystyle -12 se reduc, iar −6+8=2\displaystyle -6+8=2. Deci 2∘3=2\displaystyle 2\circ 3=2, ceea ce trebuia arătat.
    −6+8+12−12=2\displaystyle -6+8+12-12=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=−xy+4x+4y−12\displaystyle x\circ y=-xy+4x+4y-12.

Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru comutativitate trebuie să arătăm că x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y. Pornim de la definiția legii pentru x∘y\displaystyle x\circ y.
    x∘y=−xy+4x+4y−12\displaystyle x\circ y=-xy+4x+4y-12
  2. Folosim comutativitatea înmulțirii (xy=yx\displaystyle xy=yx) și a adunării (4x+4y=4y+4x\displaystyle 4x+4y=4y+4x) și rescriem termenii în altă ordine.
    −xy+4x+4y−12=−yx+4y+4x−12\displaystyle -xy+4x+4y-12=-yx+4y+4x-12
  3. Expresia obținută este exact definiția lui y∘x\displaystyle y\circ x, adică în definiția legii se înlocuiește x\displaystyle x cu y\displaystyle y și y\displaystyle y cu x\displaystyle x. Deci x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, prin urmare legea este comutativă.
    x∘y=y∘x, pentru orice numere \displaystyle x\circ y=y\circ x\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=−xy+4x+4y−12\displaystyle x\circ y=-xy+4x+4y-12.

Demonstrați că x∘y=−(x−4)(y−4)+4\displaystyle x\circ y=-(x-4)(y-4)+4, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∘y=−xy+4x+4y−12\displaystyle x\circ y=-xy+4x+4y-12.
    x∘y=−xy+4x+4y−12\displaystyle x\circ y=-xy+4x+4y-12
  2. Scriem termenul liber −12\displaystyle -12 ca −16+4\displaystyle -16+4, pentru a obține numărul 16\displaystyle 16 care apare în produsul (x−4)(y−4)\displaystyle (x-4)(y-4) și pentru a păstra termenul +4\displaystyle +4 din forma cerută.
    x∘y=−xy+4x+4y−16+4\displaystyle x\circ y=-xy+4x+4y-16+4
  3. Grupăm primii doi termeni, −xy\displaystyle -xy și 4x\displaystyle 4x, și scoatem factor comun pe −x\displaystyle -x. Grupăm apoi 4y−16\displaystyle 4y-16 și scoatem factor comun pe 4\displaystyle 4. În ambele grupări apare factorul y−4\displaystyle y-4.
    x∘y=−x(y−4)+4(y−4)+4\displaystyle x\circ y=-x(y-4)+4(y-4)+4
  4. Scoatem factor comun pe y−4\displaystyle y-4 din primii doi termeni și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=(y−4)(−x+4)+4=−(x−4)(y−4)+4\displaystyle x\circ y=(y-4)(-x+4)+4=-(x-4)(y-4)+4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=−xy+4x+4y−12\displaystyle x\circ y=-xy+4x+4y-12.

Demonstrați că x∘4=4\displaystyle x\circ 4=4, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=4\displaystyle y=4 în definiția legii: x∘4=−x⋅4+4x+4⋅4−12\displaystyle x\circ 4=-x\cdot 4+4x+4\cdot 4-12.
    x∘4=−4x+4x+16−12\displaystyle x\circ 4=-4x+4x+16-12
  2. Observăm că legea se poate scrie în formă factorizată: x∘y=−(x−4)(y−4)+4\displaystyle x\circ y=-(x-4)(y-4)+4. Verificăm: −(x−4)(y−4)=−xy+4x+4y−16\displaystyle -(x-4)(y-4)=-xy+4x+4y-16, iar adăugând 4\displaystyle 4 obținem −xy+4x+4y−12\displaystyle -xy+4x+4y-12.
    x∘y=−(x−4)(y−4)+4\displaystyle x\circ y=-(x-4)(y-4)+4
  3. Pentru y=4\displaystyle y=4 în forma factorizată obținem x∘4=−(x−4)(4−4)+4\displaystyle x\circ 4=-(x-4)(4-4)+4.
    x∘4=−(x−4)(4−4)+4\displaystyle x\circ 4=-(x-4)(4-4)+4
  4. Cum 4−4=0\displaystyle 4-4=0, produsul se anulează pentru orice x\displaystyle x real, deci x∘4=−(x−4)⋅0+4=4\displaystyle x\circ 4=-(x-4)\cdot 0+4=4.
    x∘4=−(x−4)⋅0+4=4\displaystyle x\circ 4=-(x-4)\cdot 0+4=4, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=−xy+4x+4y−12\displaystyle x\circ y=-xy+4x+4y-12.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∘x=x\displaystyle x\circ x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub formă factorizată. Observăm că −xy+4x+4y−16=−(x−4)(y−4)\displaystyle -xy+4x+4y-16=-(x-4)(y-4), deci x∘y=−(x−4)(y−4)+4\displaystyle x\circ y=-(x-4)(y-4)+4.
    x∘y=−(x−4)(y−4)+4\displaystyle x\circ y=-(x-4)(y-4)+4
  2. Luăm y=x\displaystyle y=x în forma factorizată și obținem x∘x=−(x−4)(x−4)+4\displaystyle x\circ x=-(x-4)(x-4)+4.
    x∘x=−(x−4)2+4\displaystyle x\circ x=-(x-4)^{2}+4
  3. Impunem condiția x∘x=x\displaystyle x\circ x=x și obținem ecuația −(x−4)2+4=x\displaystyle -(x-4)^{2}+4=x.
    −(x−4)2+4=x\displaystyle -(x-4)^{2}+4=x
  4. Scriem 4−x=−(x−4)\displaystyle 4-x=-(x-4), deci ecuația devine −(x−4)2−(x−4)=0\displaystyle -(x-4)^{2}-(x-4)=0. Înmulțim cu −1\displaystyle -1 și dăm factor comun x−4\displaystyle x-4.
    (x−4)((x−4)+1)=0⇔(x−4)(x−3)=0\displaystyle (x-4)\left((x-4)+1\right)=0\Leftrightarrow (x-4)(x-3)=0
  5. Un produs este zero când un factor este zero, deci x−4=0\displaystyle x-4=0 sau x−3=0\displaystyle x-3=0. Soluțiile sunt x=3\displaystyle x=3 sau x=4\displaystyle x=4.
    x=3 sau x=4\displaystyle x=3\text{ sau }x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=−xy+4x+4y−12\displaystyle x\circ y=-xy+4x+4y-12.

Se consideră progresia aritmetică (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1} cu a1=−5\displaystyle a_1=-5 și rația r=3\displaystyle r=3. Arătați că a1∘a2∘a3∘a4=4\displaystyle a_1\circ a_2\circ a_3\circ a_4=4.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm al patrulea termen al progresiei aritmetice cu formula an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r, deci a4=a1+3r\displaystyle a_4=a_1+3r, cu a1=−5\displaystyle a_1=-5 și r=3\displaystyle r=3.
    a4=−5+3⋅3=4\displaystyle a_4=-5+3\cdot 3=4
  2. Arătăm că orice număr real x\displaystyle x compus cu 4\displaystyle 4 dă 4\displaystyle 4. Înlocuim y=4\displaystyle y=4 în definiția legii: x∘4=−4x+4x+16−12=4\displaystyle x\circ 4=-4x+4x+16-12=4. Analog 4∘x=4\displaystyle 4\circ x=4, deci 4\displaystyle 4 este element absorbant.
    x∘4=−4x+4x+16−12=4\displaystyle x\circ 4=-4x+4x+16-12=4, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  3. Legea fiind asociativă, putem grupa astfel: a1∘a2∘a3∘a4=(a1∘a2∘a3)∘4\displaystyle a_1\circ a_2\circ a_3\circ a_4=(a_1\circ a_2\circ a_3)\circ 4. Conform proprietății de mai sus, rezultatul este 4\displaystyle 4, deci a1∘a2∘a3∘a4=4\displaystyle a_1\circ a_2\circ a_3\circ a_4=4.
    a1∘a2∘a3∘a4=(a1∘a2∘a3)∘4=4\displaystyle a_1\circ a_2\circ a_3\circ a_4=(a_1\circ a_2\circ a_3)\circ 4=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(12−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(1x01)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=3\displaystyle \det A=3.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordinul doi: pentru (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} avem determinantul ad−bc\displaystyle ad-bc, adică produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare. Pentru matricea A\displaystyle A, diagonala principală are elementele 1\displaystyle 1 și 1\displaystyle 1, iar diagonala secundară are elementele 2\displaystyle 2 și −1\displaystyle -1.
    det⁡A=∣12−11∣=1⋅1−(−1)⋅2\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\-1&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-(-1)\cdot 2
  2. Calculăm produsele: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, iar (−1)⋅2=−2\displaystyle (-1)\cdot 2=-2. Scăderea unui număr negativ revine la adunare, deci 1−(−2)=1+2\displaystyle 1-(-2)=1+2, adică 3\displaystyle 3.
    det⁡A=1+2=3\displaystyle \det A=1+2=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(12−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(1x01)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că B(1)+B(3)=2B(2)\displaystyle B(1)+B(3)=2B(2).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1, respectiv cu 3\displaystyle 3, în B(x)=(1x01)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix} și obținem B(1)\displaystyle B(1) și B(3)\displaystyle B(3).
    B(1)=(1101)\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, B(3)=(1301)\displaystyle \ B(3)=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele element cu element: 1+1=2\displaystyle 1+1=2, 1+3=4\displaystyle 1+3=4, 0+0=0\displaystyle 0+0=0, 1+1=2\displaystyle 1+1=2.
    B(1)+B(3)=(1101)+(1301)=(2402)\displaystyle B(1)+B(3)=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\0&2\end{pmatrix}
  3. Scoatem factor comun pe 2\displaystyle 2 din toate elementele matricei: (2402)=2(1201)\displaystyle \begin{pmatrix}2&4\\0&2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}. Matricea din paranteză este B(2)\displaystyle B(2).
    (2402)=2(1201)=2B(2)\displaystyle \begin{pmatrix}2&4\\0&2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=2B(2)
  4. Concluzie: B(1)+B(3)=2B(2)\displaystyle B(1)+B(3)=2B(2), ceea ce trebuia arătat.
    B(1)+B(3)=2B(2)\displaystyle B(1)+B(3)=2B(2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(12−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(1x01)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(B(x))=1\displaystyle \det(B(x))=1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea B(x)=(1x01)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix} pentru un număr real x\displaystyle x oarecare și determinantul ei, de ordinul doi.
    det⁡(B(x))=∣1x01∣\displaystyle \det(B(x))=\begin{vmatrix}1&x\\0&1\end{vmatrix}
  2. Amintim regula de calcul pentru un determinant de ordinul doi: ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c
  3. Înlocuim elementele matricei: pe diagonala principală avem 1\displaystyle 1 și 1\displaystyle 1, iar pe diagonala secundară avem x\displaystyle x și 0\displaystyle 0.
    det⁡(B(x))=1⋅1−x⋅0\displaystyle \det(B(x))=1\cdot 1-x\cdot 0
  4. Calculăm: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, iar x⋅0=0\displaystyle x\cdot 0=0 pentru orice x\displaystyle x real. Deci determinantul este 1\displaystyle 1, indiferent de valoarea lui x\displaystyle x.
    1⋅1−x⋅0=1−0=1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle 1\cdot 1-x\cdot 0=1-0=1\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(12−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(1x01)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că B(x)⋅B(y)=B(x+y)\displaystyle B(x)\cdot B(y)=B(x+y), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul B(x)⋅B(y)\displaystyle B(x)\cdot B(y), înlocuind fiecare matrice cu forma ei, pentru x\displaystyle x și y\displaystyle y numere reale oarecare.
    B(x)⋅B(y)=(1x01)(1y01)\displaystyle B(x)\cdot B(y)=\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&y\\0&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului, linie pe coloană. Pe prima linie: 1⋅1+x⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1+x\cdot 0=1 și 1⋅y+x⋅1=x+y\displaystyle 1\cdot y+x\cdot 1=x+y. Pe a doua linie: 0⋅1+1⋅0=0\displaystyle 0\cdot 1+1\cdot 0=0 și 0⋅y+1⋅1=1\displaystyle 0\cdot y+1\cdot 1=1.
    (1⋅1+x⋅01⋅y+x⋅10⋅1+1⋅00⋅y+1⋅1)=(1x+y01)\displaystyle \begin{pmatrix}1\cdot 1+x\cdot 0&1\cdot y+x\cdot 1\\0\cdot 1+1\cdot 0&0\cdot y+1\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&x+y\\0&1\end{pmatrix}
  3. Matricea obținută are forma lui B\displaystyle B cu parametrul x+y\displaystyle x+y, deci este B(x+y)\displaystyle B(x+y). Egalitatea este adevărată pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    B(x)⋅B(y)=(1x+y01)=B(x+y), pentru orice numere \displaystyle B(x)\cdot B(y)=\begin{pmatrix}1&x+y\\0&1\end{pmatrix}=B(x+y)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(12−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(1x01)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A⋅B(x)=B(x)⋅A\displaystyle A\cdot B(x)=B(x)\cdot A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B(x)\displaystyle A\cdot B(x), înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B(x)\displaystyle B(x). Prima linie: 1⋅1+2⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot 0=1 și 1⋅x+2⋅1=x+2\displaystyle 1\cdot x+2\cdot 1=x+2. A doua linie: (−1)⋅1+1⋅0=−1\displaystyle (-1)\cdot 1+1\cdot 0=-1 și (−1)⋅x+1⋅1=−x+1\displaystyle (-1)\cdot x+1\cdot 1=-x+1.
    A⋅B(x)=(1x+2−1−x+1)\displaystyle A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}1&x+2\\-1&-x+1\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B(x)⋅A\displaystyle B(x)\cdot A. Prima linie: 1⋅1+x⋅(−1)=1−x\displaystyle 1\cdot 1+x\cdot(-1)=1-x și 1⋅2+x⋅1=2+x\displaystyle 1\cdot 2+x\cdot 1=2+x. A doua linie: 0⋅1+1⋅(−1)=−1\displaystyle 0\cdot 1+1\cdot(-1)=-1 și 0⋅2+1⋅1=1\displaystyle 0\cdot 2+1\cdot 1=1.
    B(x)⋅A=(1−x2+x−11)\displaystyle B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}1-x&2+x\\-1&1\end{pmatrix}
  3. Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice. Elementele de pe pozițiile (1,2)\displaystyle (1,2) și (2,1)\displaystyle (2,1) coincid deja. Rămân condițiile 1=1−x\displaystyle 1=1-x (poziția (1,1)\displaystyle (1,1)) și −x+1=1\displaystyle -x+1=1 (poziția (2,2)\displaystyle (2,2)).
    1=1−x și −x+1=1\displaystyle 1=1-x\text{ și }-x+1=1
  4. Ambele condiții dau x=0\displaystyle x=0, deci egalitatea A⋅B(x)=B(x)⋅A\displaystyle A\cdot B(x)=B(x)\cdot A are loc doar pentru x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(12−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(1x01)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați perechile de numere naturale (m,n)\displaystyle (m,n) pentru care B(2m)⋅B(2n)=B(2m+n−2)\displaystyle B(2^m)\cdot B(2^n)=B(2^{m+n}-2).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul B(x)⋅B(y)=(1x01)(1y01)=(1x+y01)=B(x+y)\displaystyle B(x)\cdot B(y)=\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&y\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&x+y\\0&1\end{pmatrix}=B(x+y). Deci B(2m)⋅B(2n)=B(2m+2n)\displaystyle B(2^m)\cdot B(2^n)=B(2^m+2^n).
    B(2m)⋅B(2n)=B(2m+2n)\displaystyle B(2^m)\cdot B(2^n)=B(2^m+2^n)
  2. Egalăm cu B(2m+n−2)\displaystyle B(2^{m+n}-2). Două matrici de tip B\displaystyle B sunt egale exact când parametrii lor coincid, deci 2m+2n=2m+n−2\displaystyle 2^m+2^n=2^{m+n}-2.
    2m+2n=2m+n−2\displaystyle 2^m+2^n=2^{m+n}-2
  3. Mutăm termenii și adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri: 2m+n−2m−2n+1=3\displaystyle 2^{m+n}-2^m-2^n+1=3. Cum 2m+n=2m⋅2n\displaystyle 2^{m+n}=2^m\cdot 2^n, membrul stâng se factorizează ca (2m−1)(2n−1)\displaystyle (2^m-1)(2^n-1).
    2m+n−2m−2n+1=3, deci (2m−1)(2n−1)=3\displaystyle 2^{m+n}-2^m-2^n+1=3\text{, deci }(2^m-1)(2^n-1)=3
  4. Pentru m,n\displaystyle m,n naturale, 2m−1\displaystyle 2^m-1 și 2n−1\displaystyle 2^n-1 sunt numere naturale cu produsul 3\displaystyle 3, care este prim. Deci perechea (2m−1, 2n−1)\displaystyle (2^m-1,\,2^n-1) este (1,3)\displaystyle (1,3) sau (3,1)\displaystyle (3,1).
    (2m−1,2n−1)∈{(1,3),(3,1)}\displaystyle (2^m-1,2^n-1)\in\{(1,3),(3,1)\}
  5. Din 2m−1=1\displaystyle 2^m-1=1 rezultă 2m=2\displaystyle 2^m=2, deci m=1\displaystyle m=1; din 2n−1=3\displaystyle 2^n-1=3 rezultă 2n=4\displaystyle 2^n=4, deci n=2\displaystyle n=2. Cazul al doilea dă m=2\displaystyle m=2, n=1\displaystyle n=1. Perechile căutate sunt (1,2)\displaystyle (1,2) și (2,1)\displaystyle (2,1).
    (1,2) și (2,1)\displaystyle (1,2)\text{ și }(2,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.