Bac matematică M4 pedagogic 2021, sesiunea a II-a varianta 04: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Se consideră progresia aritmetică

\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}

, cu

\displaystyle a_1=2

și

\displaystyle a_3=14

. Calculați termenul

\displaystyle a_2

.

Vezi rezolvarea

Reținem proprietatea progresiei aritmetice: orice termen, în afară de primul, este media aritmetică a termenilor vecini. Pentru $\displaystyle a_2$ , vecinii sunt $\displaystyle a_1$ și $\displaystyle a_3$ .
$\displaystyle a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$
Înlocuim valorile date, $\displaystyle a_1=2$ și $\displaystyle a_3=14$ , în formulă.
$\displaystyle a_2=\frac{2+14}{2}$
Calculăm suma de la numărător, $\displaystyle 2+14=16$ , apoi împărțim la $\displaystyle 2$ . Obținem $\displaystyle a_2=8$ . Verificare: rația este $\displaystyle 6$ , iar $\displaystyle 2,\ 8,\ 14$ este într-adevăr progresie aritmetică.
$\displaystyle a_2=\frac{16}{2}=8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-2x

. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției

\displaystyle f

cu axa

\displaystyle Ox

.

Vezi rezolvarea

Punctele de intersecție cu axa $\displaystyle Ox$ au ordonata $\displaystyle 0$ , deci abscisele lor sunt soluțiile ecuației $\displaystyle f(x)=0$ . Scriem ecuația cu expresia lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f(x)=0\Leftrightarrow x^2-2x=0$
Dăm factor comun pe $\displaystyle x$ în membrul stâng al ecuației.
$\displaystyle x(x-2)=0$
Un produs este zero când cel puțin un factor este zero, deci $\displaystyle x=0$ sau $\displaystyle x-2=0$ . Obținem cele două soluții, care sunt abscisele cerute.
$\displaystyle x=0\text{ și }x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 7^{3-x}=49^x

.

Vezi rezolvarea

Scriem baza $\displaystyle 49$ ca putere a lui $\displaystyle 7$ : $\displaystyle 49=7^{2}$ .
$\displaystyle 49=7^{2}$
Folosim regula $\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}$ : $\displaystyle 49^{x}=(7^{2})^{x}=7^{2x}$ . Ecuația devine $\displaystyle 7^{3-x}=7^{2x}$ .
$\displaystyle 7^{3-x}=7^{2x}$
Funcția $\displaystyle t\mapsto 7^{t}$ este injectivă, deci din egalitatea puterilor cu aceeași bază rezultă egalitatea exponenților: $\displaystyle 3-x=2x$ .
$\displaystyle 7^{3-x}=7^{2x}\Leftrightarrow 3-x=2x$
Adunăm $\displaystyle x$ în ambii membri: $\displaystyle 3=2x+x$ , adică $\displaystyle 3=3x$ .
$\displaystyle 3=3x$
Împărțim la $\displaystyle 3$ și obținem soluția ecuației.
$\displaystyle x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr

\displaystyle n

din mulțimea

\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,9\}

, numărul

\displaystyle n+2

să fie impar.

Vezi rezolvarea

Numărăm cazurile posibile: mulțimea $\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,9\}$ are 9 elemente, deci sunt $\displaystyle 9$ numere care pot fi alese.
$\displaystyle 9$
Numărul $\displaystyle n+2$ are aceeași paritate ca $\displaystyle n$ , deoarece $\displaystyle 2$ este par. Așadar $\displaystyle n+2$ este impar exact când $\displaystyle n$ este impar.
$\displaystyle n+2\text{ impar}\iff n\text{ impar}$
Numerele impare din mulțimea $\displaystyle A$ sunt $\displaystyle 1,3,5,7,9$ , deci avem $\displaystyle 5$ cazuri favorabile.
$\displaystyle 1$ , $\displaystyle 3$ , $\displaystyle 5$ , $\displaystyle 7$ , $\displaystyle 9\text{, deci 5 cazuri }$ $\displaystyle \text{favorabile}$
Aplicăm formula probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{5}{9}$ .
$\displaystyle p=\frac{5}{9}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(0,-3)

,

\displaystyle B(3,1)

și

\displaystyle C(a,0)

, unde

\displaystyle a

este număr real. Determinați numerele reale

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle AB=AC

.

Vezi rezolvarea

Calculăm distanța $\displaystyle AB$ cu formula distanței dintre două puncte: diferențele coordonatelor sunt $\displaystyle 3-0=3$ și $\displaystyle 1-(-3)=4$ . Obținem $\displaystyle AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ .
$\displaystyle AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5$
Calculăm distanța $\displaystyle AC$ : diferențele coordonatelor sunt $\displaystyle a-0=a$ și $\displaystyle 0-(-3)=3$ . Obținem $\displaystyle AC=\sqrt{a^{2}+3^{2}}$ .
$\displaystyle AC=\sqrt{a^{2}+3^{2}}=\sqrt{a^{2}+9}$
Egalăm cele două distanțe, conform condiției $\displaystyle AB=AC$ .
$\displaystyle AB=AC\Leftrightarrow\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{a^{2}+3^{2}}$
Ridicăm la pătrat ambii membri, care sunt pozitivi: $\displaystyle 25=a^{2}+9$ . Deci $\displaystyle a^{2}=25-9=16=4^{2}$ .
$\displaystyle a^{2}=16=4^{2}$
Din $\displaystyle a^{2}=4^{2}$ rezultă $\displaystyle a=\pm 4$ . Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
$\displaystyle a=-4\text{ sau }a=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle (1+\sin 30^\circ)\cdot\cos^2 45^\circ+\cos^2 60^\circ=1

.

Vezi rezolvarea

Reținem valorile cunoscute: $\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$ , $\displaystyle \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ și $\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \sin 30^\circ=\frac{1}{2}$ , $\displaystyle \ \cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\displaystyle \ \cos 60^\circ=\frac{1}{2}$
Ridicăm la pătrat: $\displaystyle \cos^2 45^\circ=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{2}{4}$ și $\displaystyle \cos^2 60^\circ=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$ .
$\displaystyle \cos^2 45^\circ=\frac{2}{4}$ , $\displaystyle \ \cos^2 60^\circ=\frac{1}{4}$
Înlocuim în expresie: $\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{2}\right)\cdot\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}$ , iar paranteza este $\displaystyle 1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$ .
$\displaystyle \left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{4}+\frac{1}{4}$
Efectuăm produsul: $\displaystyle \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{4}$ . Adunăm: $\displaystyle \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1$ , deci egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle \frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=4x+4y-3

.

Arătați că

\displaystyle 0*3=9

.

Vezi rezolvarea

Scriem definiția legii de compoziție: pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ avem $\displaystyle x*y=4x+4y-3$ .
$\displaystyle x*y=4x+4y-3$
Înlocuim $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle y=3$ în definiție.
$\displaystyle 0*3=4\cdot 0+4\cdot 3-3$
Calculăm produsele: $\displaystyle 4\cdot 0=0$ , iar $\displaystyle 4\cdot 3=12$ . Rămâne $\displaystyle 12-3=9$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle 0*3=0+12-3=9$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=4x+4y-3

.

Arătați că legea de compoziție „

\displaystyle *

” este comutativă.

Vezi rezolvarea

Comutativitatea înseamnă că $\displaystyle x*y=y*x$ pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ . Fixăm două numere reale oarecare $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ și scriem definiția legii pentru perechea $\displaystyle (x,y)$ .
$\displaystyle x*y=4x+4y-3$
Adunarea numerelor reale este comutativă, deci putem schimba ordinea termenilor $\displaystyle 4x$ și $\displaystyle 4y$ . Expresia nu se modifică.
$\displaystyle x*y=4x+4y-3=4y+4x-3$
Expresia $\displaystyle 4y+4x-3$ este exact definiția lui $\displaystyle y*x$ , adică se obține din definiția legii prin înlocuirea lui $\displaystyle x$ cu $\displaystyle y$ și a lui $\displaystyle y$ cu $\displaystyle x$ . Deci $\displaystyle x*y=y*x$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ , adică legea este comutativă.
$\displaystyle x*y=y*x\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=4x+4y-3

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle (-3)*x=9

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii $\displaystyle x*y=4x+4y-3$ pentru primul element $\displaystyle -3$ și al doilea element $\displaystyle x$ : $\displaystyle (-3)*x=4\cdot(-3)+4x-3$ .
$\displaystyle (-3)*x=4\cdot(-3)+4x-3$
Calculăm $\displaystyle 4\cdot(-3)=-12$ , apoi reducem termenii constanți: $\displaystyle -12-3=-15$ .
$\displaystyle (-3)*x=4x-15$
Din condiția $\displaystyle (-3)*x=9$ obținem ecuația de gradul întâi $\displaystyle 4x-15=9$ .
$\displaystyle 4x-15=9$
Adunăm $\displaystyle 15$ în ambii membri: $\displaystyle 4x=9+15=24$ . Apoi împărțim la $\displaystyle 4$ și obținem $\displaystyle x=6$ .
$\displaystyle 4x=24\text{, de unde }x=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=4x+4y-3

.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle (-x)*(2x)=x^2

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii $\displaystyle x*y=4x+4y-3$ pentru numerele $\displaystyle -x$ și $\displaystyle 2x$ : $\displaystyle (-x)*(2x)=4\cdot(-x)+4\cdot 2x-3$ .
$\displaystyle (-x)*(2x)=4\cdot(-x)+4\cdot 2x-3$
Efectuăm calculele: $\displaystyle -4x+8x=4x$ , deci $\displaystyle (-x)*(2x)=4x-3$ .
$\displaystyle (-x)*(2x)=4x-3$
Egalăm cu $\displaystyle x^2$ : $\displaystyle 4x-3=x^2$ . Mutăm toți termenii în partea dreaptă și obținem ecuația de gradul al doilea $\displaystyle x^2-4x+3=0$ .
$\displaystyle x^2-4x+3=0$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$ , deci $\displaystyle \sqrt{\Delta}=2$ . Rădăcinile sunt $\displaystyle x_1=\dfrac{4-2}{2}=1$ și $\displaystyle x_2=\dfrac{4+2}{2}=3$ .
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=4x+4y-3

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle 2^x*2^x=1

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii $\displaystyle x*y=4x+4y-3$ pentru $\displaystyle x\to 2^x$ și $\displaystyle y\to 2^x$ , adică $\displaystyle 2^x*2^x=4\cdot 2^x+4\cdot 2^x-3$ .
$\displaystyle 2^x*2^x=4\cdot 2^x+4\cdot 2^x-3$
Adunăm termenii asemenea: $\displaystyle 4\cdot 2^x+4\cdot 2^x=8\cdot 2^x$ .
$\displaystyle 2^x*2^x=8\cdot 2^x-3$
Din enunț, $\displaystyle 2^x*2^x=1$ , deci obținem ecuația $\displaystyle 8\cdot 2^x-3=1$ .
$\displaystyle 8\cdot 2^x-3=1$
Adunăm $\displaystyle 3$ în ambii membri: $\displaystyle 8\cdot 2^x=4$ . Împărțim la $\displaystyle 8$ : $\displaystyle 2^x=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle 2^x=\frac{1}{2}$
Deoarece $\displaystyle \dfrac{1}{2}=2^{-1}$ , ecuația devine $\displaystyle 2^x=2^{-1}$ . Funcția exponențială este injectivă, deci $\displaystyle x=-1$ .
$\displaystyle 8\cdot 2^x-3=1\Leftrightarrow 2^x=\frac{1}{2}\text{, de unde }x=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=4x+4y-3

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

, știind că scăzând

\displaystyle x

din numărul

\displaystyle x*\left(\frac{x}{2}*\frac{x}{4}\right)

, se obține numărul cu 1 mai mic decât

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Calculăm mai întâi compunerea din interior, $\displaystyle \dfrac{x}{2}*\dfrac{x}{4}$ , folosind definiția $\displaystyle a*b=4a+4b-3$ : înlocuim $\displaystyle a=\dfrac{x}{2}$ și $\displaystyle b=\dfrac{x}{4}$ .
$\displaystyle \frac{x}{2}*\frac{x}{4}=4\cdot\frac{x}{2}+4\cdot\frac{x}{4}-3$
Simplificăm: $\displaystyle 4\cdot\dfrac{x}{2}=2x$ și $\displaystyle 4\cdot\dfrac{x}{4}=x$ , deci suma este $\displaystyle 3x-3$ .
$\displaystyle \frac{x}{2}*\frac{x}{4}=2x+x-3=3x-3$
Calculăm acum $\displaystyle x*(3x-3)$ , cu $\displaystyle a=x$ și $\displaystyle b=3x-3$ : $\displaystyle x*(3x-3)=4x+4(3x-3)-3$ .
$\displaystyle x*(3x-3)=4x+12x-12-3=16x-15$
Traducem enunțul într-o ecuație: scăzând $\displaystyle x$ din $\displaystyle 16x-15$ obținem numărul cu 1 mai mic decât $\displaystyle x$ , adică $\displaystyle x-1$ .
$\displaystyle 16x-15-x=x-1$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle 15x-15=x-1$ . Aducem termenii cu $\displaystyle x$ în stânga: $\displaystyle 14x=14$ , deci $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle 15x-15=x-1\Rightarrow 14x=14\Rightarrow x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&6\\-2&-7\end{pmatrix}

și

\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2&x+2\\x-2&-2\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det A=5

.

Vezi rezolvarea

Scriem formula determinantului de ordin 2: pentru o matrice $\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ , determinantul este $\displaystyle ad-bc$ .
$\displaystyle \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$
Identificăm elementele matricei $\displaystyle A$ : $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=6$ , $\displaystyle c=-2$ , $\displaystyle d=-7$ , și le înlocuim în formulă.
$\displaystyle \det A=1\cdot(-7)-6\cdot(-2)$
Efectuăm înmulțirile: $\displaystyle 1\cdot(-7)=-7$ , iar $\displaystyle 6\cdot(-2)=-12$ . Scăderea unui număr negativ revine la adunare, deci obținem $\displaystyle -7+12$ , adică $\displaystyle 5$ .
$\displaystyle \det A=-7+12=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&6\\-2&-7\end{pmatrix}

și

\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2&x+2\\x-2&-2\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle 2B(1)-A=3I_2

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=1$ în matricea $\displaystyle B(x)$ : elementele sunt $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 1+2=3$ , $\displaystyle 1-2=-1$ și $\displaystyle -2$ .
$\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}$
Înmulțim matricea $\displaystyle B(1)$ cu $\displaystyle 2$ , adică fiecare element se înmulțește cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 2B(1)=\begin{pmatrix}4&6\\-2&-4\end{pmatrix}$
Scădem matricea $\displaystyle A$ element cu element: $\displaystyle 4-1=3$ , $\displaystyle 6-6=0$ , $\displaystyle -2-(-2)=0$ , $\displaystyle -4-(-7)=3$ .
$\displaystyle 2B(1)-A=\begin{pmatrix}4&6\\-2&-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&6\\-2&-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}$
Scriem matricea obținută ca $\displaystyle 3$ înmulțit cu matricea unitate $\displaystyle I_2$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle \begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=3I_2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&6\\-2&-7\end{pmatrix}

și

\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2&x+2\\x-2&-2\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle B(1)\cdot B(3)-3I_2=2B(0)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 1$ și cu $\displaystyle 3$ în matricea $\displaystyle B(x)$ și obținem $\displaystyle B(1)$ și $\displaystyle B(3)$ .
$\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \quad B(3)=\begin{pmatrix}2&5\\1&-2\end{pmatrix}$
Calculăm produsul $\displaystyle B(1)\cdot B(3)$ , înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este $\displaystyle 2\cdot 2+3\cdot 1=7$ , iar cel de pe linia 1, coloana 2 este $\displaystyle 2\cdot 5+3\cdot(-2)=4$ . Elementul de pe linia 2, coloana 1 este $\displaystyle (-1)\cdot 2+(-2)\cdot 1=-4$ , iar cel de pe linia 2, coloana 2 este $\displaystyle (-1)\cdot 5+(-2)\cdot(-2)=-1$ .
$\displaystyle B(1)\cdot B(3)=\begin{pmatrix}7&4\\-4&-1\end{pmatrix}$
Scriem $\displaystyle 3I_2=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}$ și scădem această matrice din produs, element cu element. Se modifică doar elementele de pe diagonala principală: $\displaystyle 7-3=4$ și $\displaystyle -1-3=-4$ .
$\displaystyle B(1)\cdot B(3)-3I_2=\begin{pmatrix}7-3&4\\-4&-1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&4\\-4&-4\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle B(0)=\begin{pmatrix}2&2\\-2&-2\end{pmatrix}$ , apoi $\displaystyle 2B(0)$ , înmulțind fiecare element cu $\displaystyle 2$ . Rezultatul coincide cu matricea obținută la pasul anterior, deci egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle B(1)\cdot B(3)-3I_2=\begin{pmatrix}4&4\\-4&-4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}2&2\\-2&-2\end{pmatrix}=2B(0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&6\\-2&-7\end{pmatrix}

și

\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2&x+2\\x-2&-2\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle B(x)\cdot B(x)=x^2I_2

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Scriem produsul $\displaystyle B(x)\cdot B(x)$ cu matricea $\displaystyle B(x)$ luată de două ori și aplicăm regula de înmulțire a matricelor: element cu element, linie înmulțită cu coloană.
$\displaystyle B(x)\cdot B(x)=\begin{pmatrix}2&x+2\\x-2&-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&x+2\\x-2&-2\end{pmatrix}$
Elementul de pe linia 1, coloana 1 este prima linie înmulțită cu prima coloană. Folosim $\displaystyle (x+2)(x-2)=x^2-4$ .
$\displaystyle 2\cdot 2+(x+2)(x-2)=4+(x^2-4)$
Elementul de pe linia 1, coloana 2 este prima linie înmulțită cu a doua coloană.
$\displaystyle 2(x+2)+(x+2)(-2)=2(x+2)-2(x+2)$
Elementul de pe linia 2, coloana 1 este a doua linie înmulțită cu prima coloană.
$\displaystyle (x-2)\cdot 2+(-2)(x-2)=2(x-2)-2(x-2)$
Elementul de pe linia 2, coloana 2 este a doua linie înmulțită cu a doua coloană. Scriem apoi matricea produs cu cele patru elemente.
$\displaystyle B(x)\cdot B(x)=\begin{pmatrix}4+(x^2-4)&2(x+2)-2(x+2)\\2(x-2)-2(x-2)&(x^2-4)+4\end{pmatrix}$
Simplificăm: pe diagonală $\displaystyle 4+(x^2-4)=x^2$ , iar în celelalte două poziții diferențele sunt egale cu $\displaystyle 0$ . Scoatem $\displaystyle x^2$ în fața matricei și recunoaștem matricea unitate $\displaystyle I_2$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}x^2&0\\0&x^2\end{pmatrix}=x^2\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=x^2I_2\text{, pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&6\\-2&-7\end{pmatrix}

și

\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2&x+2\\x-2&-2\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle \det(B(x))=\det(B(x+1))

.

Vezi rezolvarea

Calculăm determinantul matricei $\displaystyle B(x)$ ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: $\displaystyle \det(B(x))=2\cdot(-2)-(x+2)(x-2)$ .
$\displaystyle \det(B(x))=-4-(x+2)(x-2)$
Aplicăm formula diferenței de pătrate: $\displaystyle (x+2)(x-2)=x^{2}-4$ , deci $\displaystyle \det(B(x))=-4-(x^{2}-4)=-x^{2}$ .
$\displaystyle \det(B(x))=-x^{2}$
Matricea $\displaystyle B(x+1)$ se obține înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle x+1$ , deci $\displaystyle \det(B(x+1))=-(x+1)^{2}$ .
$\displaystyle \det(B(x))=-x^{2}\text{ și }\det(B(x+1))=-(x+1)^{2}$
Egalăm cei doi determinanți: $\displaystyle -x^{2}=-(x+1)^{2}$ , adică $\displaystyle x^{2}=x^{2}+2x+1$ .
$\displaystyle x^{2}=x^{2}+2x+1$
Reducem termenii $\displaystyle x^{2}$ din ambii membri și obținem $\displaystyle 2x+1=0$ , de unde $\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle 2x+1=0\text{, de unde }x=-\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&6\\-2&-7\end{pmatrix}

și

\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2&x+2\\x-2&-2\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numărul natural

\displaystyle n

pentru care

\displaystyle B(3)\cdot B(3)+B(4)\cdot B(4)=B(n)\cdot B(n)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle B(x)\cdot B(x)$ pentru $\displaystyle x$ real oarecare, înmulțind matricea cu ea însăși. Pe diagonala principală obținem $\displaystyle 2\cdot 2+(x+2)(x-2)=x^{2}$ . Pe diagonala secundară obținem $\displaystyle 2(x+2)-2(x+2)=0$ , și la fel în celălalt colț.
$\displaystyle B(x)\cdot B(x)=\begin{pmatrix}x^{2}&0\\0&x^{2}\end{pmatrix}=x^{2}I_2$
Particularizăm formula pentru $\displaystyle x=3$ , $\displaystyle x=4$ și $\displaystyle x=n$ .
$\displaystyle B(3)\cdot B(3)=3^{2}I_2$ , $\displaystyle \ B(4)\cdot B(4)=4^{2}I_2\text{ și }B(n)\cdot B(n)=n^{2}I_2$
Înlocuim în ecuația dată și adunăm matricele din membrul stâng: $\displaystyle 9+16=25$ .
$\displaystyle 9I_2+16I_2=25I_2=n^{2}I_2$
Egalăm elementele de pe diagonala principală și obținem $\displaystyle n^{2}=25$ . Cum $\displaystyle n$ este număr natural, nu poate fi $\displaystyle -5$ , deci $\displaystyle n=5$ .
$\displaystyle 25I_2=n^{2}I_2\text{, deci }n^{2}=25\text{ și }n=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M4 pedagogic 2021, sesiunea a II-a varianta 04: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.1)

Subiectul II.1.2)

Subiectul II.1.3)

Subiectul II.1.4)

Subiectul II.1.5)

Subiectul II.1.6)

Subiectul III.1.1)

Subiectul III.1.2)

Subiectul III.1.3)

Subiectul III.1.4)

Subiectul III.1.5)

Subiectul III.1.6)

Aceeași sesiune, alți ani