Bac matematică M4 pedagogic 2013, sesiunea a II-a varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3(1+3)−27=3\displaystyle 3\left(1+\sqrt{3}\right)-\sqrt{27}=3.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la membrul stâng al egalității: 3(1+3)−27\displaystyle 3\left(1+\sqrt{3}\right)-\sqrt{27}.
    3(1+3)−27\displaystyle 3\left(1+\sqrt{3}\right)-\sqrt{27}
  2. Scriem 27=9⋅3\displaystyle 27=9\cdot 3, deci 27=9⋅3=9⋅3=33\displaystyle \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}.
    27=33\displaystyle \sqrt{27}=3\sqrt{3}
  3. Înmulțim: 3(1+3)=3+33\displaystyle 3\left(1+\sqrt{3}\right)=3+3\sqrt{3}.
    3(1+3)=3+33\displaystyle 3\left(1+\sqrt{3}\right)=3+3\sqrt{3}
  4. Înlocuim în expresie: 3+33−33\displaystyle 3+3\sqrt{3}-3\sqrt{3}. Termenii 33\displaystyle 3\sqrt{3} și −33\displaystyle -3\sqrt{3} se reduc, deci rămâne 3\displaystyle 3, adică membrul drept al egalității.
    3+33−33=3\displaystyle 3+3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+3\displaystyle f(x)=x+3. Arătați că f(−3)+f(3)=6\displaystyle f(-3)+f(3)=6.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(−3)\displaystyle f(-3) înlocuind x\displaystyle x cu −3\displaystyle -3 în formula funcției: f(−3)=−3+3=0\displaystyle f(-3)=-3+3=0.
    f(−3)=−3+3=0\displaystyle f(-3)=-3+3=0
  2. Calculăm f(3)\displaystyle f(3) înlocuind x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în formula funcției: f(3)=3+3=6\displaystyle f(3)=3+3=6.
    f(3)=3+3=6\displaystyle f(3)=3+3=6
  3. Adunăm cele două valori: f(−3)+f(3)=0+6=6\displaystyle f(-3)+f(3)=0+6=6, deci egalitatea cerută este adevărată.
    f(−3)+f(3)=0+6=6\displaystyle f(-3)+f(3)=0+6=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (x+3)2−x2−15=0\displaystyle (x+3)^2-x^2-15=0.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm pătratul sumei folosind formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, cu a=x\displaystyle a=x și b=3\displaystyle b=3.
    (x+3)2=x2+6x+9\displaystyle (x+3)^2=x^2+6x+9
  2. Înlocuim dezvoltarea în ecuație: x2+6x+9−x2−15=0\displaystyle x^2+6x+9-x^2-15=0.
    x2+6x+9−x2−15=0\displaystyle x^2+6x+9-x^2-15=0
  3. Reducem termenii x2\displaystyle x^2, care se anulează, și calculăm 9−15=−6\displaystyle 9-15=-6. Rămâne o ecuație liniară.
    6x−6=0\displaystyle 6x-6=0
  4. Trecem −6\displaystyle -6 în partea dreaptă: 6x=6\displaystyle 6x=6. Împărțim la 6\displaystyle 6 și obținem soluția ecuației.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 10%\displaystyle 10\% prețul unui produs este 220\displaystyle 220 de lei. Calculați prețul produsului înainte de scumpire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul inițial al produsului, în lei. Scumpirea cu 10%\displaystyle 10\% înseamnă că la prețul inițial se adaugă 10%\displaystyle 10\% din el, iar noul preț este 220\displaystyle 220 de lei.
    x+10100x=220\displaystyle x+\frac{10}{100}x=220
  2. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: 1+10100=110100=1110\displaystyle 1+\dfrac{10}{100}=\dfrac{110}{100}=\dfrac{11}{10}, deci ecuația devine o egalitate cu un singur termen în x\displaystyle x.
    1110x=220\displaystyle \frac{11}{10}x=220
  3. Înmulțim ambii membri cu 1011\displaystyle \dfrac{10}{11} și obținem x=220⋅1011=20⋅10\displaystyle x=220\cdot\dfrac{10}{11}=20\cdot 10.
    x=220⋅1011=200\displaystyle x=220\cdot\frac{10}{11}=200
  4. Prețul produsului înainte de scumpire a fost 200\displaystyle 200 de lei. Verificare: 10%\displaystyle 10\% din 200\displaystyle 200 este 20\displaystyle 20, iar 200+20=220\displaystyle 200+20=220.
    200 de lei\displaystyle 200\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele P(2,3)\displaystyle P(2,3) și R(4,3)\displaystyle R(4,3). Determinați coordonatele mijlocului segmentului PR\displaystyle PR.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului PR\displaystyle PR. Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: xM=xP+xR2\displaystyle x_M=\dfrac{x_P+x_R}{2} și yM=yP+yR2\displaystyle y_M=\dfrac{y_P+y_R}{2}.
    xM=xP+xR2\displaystyle x_M=\frac{x_P+x_R}{2}, yM=yP+yR2\displaystyle \ y_M=\frac{y_P+y_R}{2}
  2. Din P(2,3)\displaystyle P(2,3) și R(4,3)\displaystyle R(4,3) avem xP=2\displaystyle x_P=2, yP=3\displaystyle y_P=3, xR=4\displaystyle x_R=4, yR=3\displaystyle y_R=3.
    xP=2\displaystyle x_P=2, yP=3\displaystyle \ y_P=3, xR=4\displaystyle \ x_R=4, yR=3\displaystyle \ y_R=3
  3. Calculăm abscisa mijlocului: xM=2+42=62=3\displaystyle x_M=\dfrac{2+4}{2}=\dfrac{6}{2}=3.
    xM=2+42=3\displaystyle x_M=\frac{2+4}{2}=3
  4. Calculăm ordonata mijlocului: yM=3+32=62=3\displaystyle y_M=\dfrac{3+3}{2}=\dfrac{6}{2}=3. Deci mijlocul segmentului PR\displaystyle PR este M(3,3)\displaystyle M(3,3).
    yM=3+32=3\displaystyle y_M=\frac{3+3}{2}=3, M(3,3)\displaystyle \ M(3,3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați lungimea laturii AB\displaystyle AB a triunghiului ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, știind că BC=20\displaystyle BC=20 și cos⁡B=25\displaystyle \cos B=\frac{2}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC, iar AB\displaystyle AB este cateta alăturată unghiului B\displaystyle B. Cosinusul unghiului B\displaystyle B este raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză.
    cos⁡B=ABBC\displaystyle \cos B=\frac{AB}{BC}
  2. Înlocuim valorile cunoscute: cos⁡B=25\displaystyle \cos B=\dfrac{2}{5} și BC=20\displaystyle BC=20.
    25=AB20\displaystyle \frac{2}{5}=\frac{AB}{20}
  3. Înmulțim ambii membri cu 20\displaystyle 20 și calculăm: AB=20⋅25=405=8\displaystyle AB=20\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{40}{5}=8.
    AB=8\displaystyle AB=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2.

Calculați 3∘(−2)\displaystyle 3\circ(-2).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2 și înlocuim x=3\displaystyle x=3 și y=−2\displaystyle y=-2.
    3∘(−2)=3⋅(−2)+2⋅3+2⋅(−2)+2\displaystyle 3\circ(-2)=3\cdot(-2)+2\cdot 3+2\cdot(-2)+2
  2. Calculăm produsele: 3⋅(−2)=−6\displaystyle 3\cdot(-2)=-6, 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6 și 2⋅(−2)=−4\displaystyle 2\cdot(-2)=-4.
    3∘(−2)=−6+6+(−4)+2\displaystyle 3\circ(-2)=-6+6+(-4)+2
  3. Adunăm termenii: −6+6=0\displaystyle -6+6=0, iar −4+2=−2\displaystyle -4+2=-2.
    3∘(−2)=−2\displaystyle 3\circ(-2)=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2.

Verificați dacă legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este comutativă dacă x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y. Scriem expresia lui x∘y\displaystyle x\circ y direct din definiție.
    x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2
  2. Calculăm y∘x\displaystyle y\circ x, înlocuind în definiție pe x\displaystyle x cu y\displaystyle y și pe y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    x∘y=xy+2x+2y+2 și y∘x=yx+2y+2x+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2\text{ și }y\circ x=yx+2y+2x+2
  3. Înmulțirea numerelor reale este comutativă (xy=yx\displaystyle xy=yx), iar adunarea este comutativă (2x+2y=2y+2x\displaystyle 2x+2y=2y+2x). Deci cele două expresii coincid, adică legea este comutativă.
    x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x, ∀x\displaystyle \ \forall x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2.

Arătați că x∘y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=(x+2)(y+2)-2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2.
    x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2
  2. Scriem termenul liber 2\displaystyle 2 ca 4−2\displaystyle 4-2, ca să obținem un termen 4\displaystyle 4 care ne ajută la factorizare.
    x∘y=xy+2x+2y+4−2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+4-2
  3. Grupăm primii patru termeni: xy+2x+2y+4\displaystyle xy+2x+2y+4. Dăm factor comun x\displaystyle x din primii doi termeni și 2\displaystyle 2 din ultimii doi.
    xy+2x+2y+4=x(y+2)+2(y+2)\displaystyle xy+2x+2y+4=x(y+2)+2(y+2)
  4. Dăm factor comun y+2\displaystyle y+2 și obținem produsul (x+2)(y+2)\displaystyle (x+2)(y+2). Rămâne termenul −2\displaystyle -2, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    x∘y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=(x+2)(y+2)-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∘x=x\displaystyle x\circ x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4\displaystyle (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4, deci x∘y=xy+2x+2y+4−2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+4-2.
    x∘y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=(x+2)(y+2)-2
  2. Înlocuim y=x\displaystyle y=x în x∘y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=(x+2)(y+2)-2 și obținem x∘x=(x+2)(x+2)−2\displaystyle x\circ x=(x+2)(x+2)-2.
    x∘x=(x+2)2−2\displaystyle x\circ x=(x+2)^2-2
  3. Ecuația x∘x=x\displaystyle x\circ x=x devine (x+2)2−2=x\displaystyle (x+2)^2-2=x.
    (x+2)2−2=x\displaystyle (x+2)^2-2=x
  4. Dezvoltăm: x2+4x+4−2=x\displaystyle x^2+4x+4-2=x, deci x2+4x+2−x=0\displaystyle x^2+4x+2-x=0, adică x2+3x+2=0\displaystyle x^2+3x+2=0.
    x2+3x+2=0\displaystyle x^2+3x+2=0
  5. Discriminantul este Δ=9−8=1\displaystyle \Delta=9-8=1, deci x=−3±12\displaystyle x=\dfrac{-3\pm 1}{2}. Echivalent, x2+3x+2=(x+1)(x+2)=0\displaystyle x^2+3x+2=(x+1)(x+2)=0.
    x1=−3−12=−2\displaystyle x_1=\dfrac{-3-1}{2}=-2,x2=−3+12=−1\displaystyle \quad x_2=\dfrac{-3+1}{2}=-1
  6. Numerele reale pentru care x∘x=x\displaystyle x\circ x=x sunt −2\displaystyle -2 și −1\displaystyle -1.
    x=−2 sau x=−1\displaystyle x=-2\text{ sau }x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2.

Verificați dacă x∘(−2)=−2\displaystyle x\circ(-2)=-2, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în forma factorizată. Observăm că (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4\displaystyle (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4, deci x∘y=xy+2x+2y+4−2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+4-2.
    x∘y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=(x+2)(y+2)-2
  2. Înlocuim y=−2\displaystyle y=-2 în forma factorizată: x∘(−2)=(x+2)(−2+2)−2\displaystyle x\circ(-2)=(x+2)(-2+2)-2.
    x∘(−2)=(x+2)(−2+2)−2\displaystyle x\circ(-2)=(x+2)(-2+2)-2
  3. Factorul −2+2\displaystyle -2+2 este egal cu 0\displaystyle 0, deci produsul (x+2)⋅0=0\displaystyle (x+2)\cdot 0=0 pentru orice x\displaystyle x real și rămâne doar −2\displaystyle -2.
    x∘(−2)=(x+2)⋅0−2=−2\displaystyle x\circ(-2)=(x+2)\cdot 0-2=-2
  4. Egalitatea x∘(−2)=−2\displaystyle x\circ(-2)=-2 este adevărată pentru orice număr real x\displaystyle x, deci verificarea este încheiată.
    −2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle -2\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2.

Calculați (−2013)∘(−2012)∘…∘(−2)\displaystyle (-2013)\circ(-2012)\circ\ldots\circ(-2).
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie sub forma x∘y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=(x+2)(y+2)-2, deoarece (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4\displaystyle (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4.
    x∘y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=(x+2)(y+2)-2
  2. Calculăm x∘(−2)\displaystyle x\circ(-2): factorul y+2\displaystyle y+2 devine 0\displaystyle 0, deci rezultatul nu depinde de x\displaystyle x.
    x∘(−2)=(x+2)⋅0−2=−2\displaystyle x\circ(-2)=(x+2)\cdot 0-2=-2
  3. Numărul −2\displaystyle -2 este ultimul termen al compunerii. Legea fiind asociativă, grupăm toți termenii de la −2013\displaystyle -2013 până la −3\displaystyle -3 și obținem compunerea de mai jos.
    ((−2013)∘(−2012)∘…∘(−3))∘(−2)\displaystyle \big((-2013)\circ(-2012)\circ\ldots\circ(-3)\big)\circ(-2)
  4. Notăm cu x\displaystyle x rezultatul din paranteză, care este un număr real. Aplicând x∘(−2)=−2\displaystyle x\circ(-2)=-2, obținem valoarea expresiei.
    (−2013)∘(−2012)∘…∘(−2)=x∘(−2)=−2\displaystyle (-2013)\circ(-2012)\circ\ldots\circ(-2)=x\circ(-2)=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(121−13121m).A(m)=\begin{pmatrix}1&2&1\\-1&3&1\\2&1&m\end{pmatrix}.

Calculați det⁡(A(0))\displaystyle \det(A(0)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m\displaystyle m cu 0\displaystyle 0 în matricea A(m)\displaystyle A(m) și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(121−131210)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&2&1\\-1&3&1\\2&1&0\end{pmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: 1⋅3⋅0\displaystyle 1\cdot 3\cdot 0, 2⋅1⋅2\displaystyle 2\cdot 1\cdot 2 și 1⋅(−1)⋅1\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1.
    1⋅3⋅0+2⋅1⋅2+1⋅(−1)⋅1=0+4−1=3\displaystyle 1\cdot 3\cdot 0+2\cdot 1\cdot 2+1\cdot(-1)\cdot 1=0+4-1=3
  3. Calculăm apoi suma produselor de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: 1⋅3⋅2\displaystyle 1\cdot 3\cdot 2, 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1 și 2⋅(−1)⋅0\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 0.
    1⋅3⋅2+1⋅1⋅1+2⋅(−1)⋅0=6+1+0=7\displaystyle 1\cdot 3\cdot 2+1\cdot 1\cdot 1+2\cdot(-1)\cdot 0=6+1+0=7
  4. Determinantul este diferența dintre prima sumă și a doua sumă: 3−7\displaystyle 3-7.
    det⁡(A(0))=3−7=−4\displaystyle \det(A(0))=3-7=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(121−13121m).A(m)=\begin{pmatrix}1&2&1\\-1&3&1\\2&1&m\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡(A(m))=5m−4\displaystyle \det(A(m))=5m-4, pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
    det⁡(A(m))=∣121−13121m∣\displaystyle \det(A(m))=\begin{vmatrix}1&2&1\\-1&3&1\\2&1&m\end{vmatrix}
  2. Produsele cu semnul plus sunt: 1⋅3⋅m=3m\displaystyle 1\cdot 3\cdot m=3m, apoi 2⋅1⋅2=4\displaystyle 2\cdot 1\cdot 2=4, apoi 1⋅(−1)⋅1=−1\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1=-1.
    3m+4−1\displaystyle 3m+4-1
  3. Produsele care se scad sunt: 1⋅3⋅2=6\displaystyle 1\cdot 3\cdot 2=6, apoi 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1, apoi m⋅(−1)⋅2=−2m\displaystyle m\cdot(-1)\cdot 2=-2m. Scăzându-le, obținem −6\displaystyle -6, −1\displaystyle -1 și +2m\displaystyle +2m.
    −6−1+2m\displaystyle -6-1+2m
  4. Adunăm toți termenii obținuți, în forma din barem.
    det⁡(A(m))=3m−1+4−6+2m−1\displaystyle \det(A(m))=3m-1+4-6+2m-1
  5. Reducem termenii asemenea: termenii cu m\displaystyle m dau 3m+2m=5m\displaystyle 3m+2m=5m, iar numerele dau −1+4−6−1=−4\displaystyle -1+4-6-1=-4. Rezultă egalitatea cerută, pentru orice număr real m\displaystyle m.
    det⁡(A(m))=5m−4\displaystyle \det(A(m))=5m-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(121−13121m).A(m)=\begin{pmatrix}1&2&1\\-1&3&1\\2&1&m\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care det⁡(A(m))=m2\displaystyle \det(A(m))=m^2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A(m)\displaystyle A(m) prin dezvoltare după prima linie: det⁡(A(m))=1⋅(3m−1)−2⋅(−m−2)+1⋅(−1−6)\displaystyle \det(A(m))=1\cdot(3m-1)-2\cdot(-m-2)+1\cdot(-1-6).
    det⁡(A(m))=(3m−1)+(2m+4)−7\displaystyle \det(A(m))=(3m-1)+(2m+4)-7
  2. Reducem termenii asemenea și obținem det⁡(A(m))=5m−4\displaystyle \det(A(m))=5m-4.
    det⁡(A(m))=5m−4\displaystyle \det(A(m))=5m-4
  3. Impunem condiția det⁡(A(m))=m2\displaystyle \det(A(m))=m^2, adică 5m−4=m2\displaystyle 5m-4=m^2, și aducem ecuația la forma generală: m2−5m+4=0\displaystyle m^2-5m+4=0.
    m2−5m+4=0\displaystyle m^2-5m+4=0
  4. Calculăm discriminantul ecuației de gradul II: Δ=(−5)2−4⋅1⋅4=9\displaystyle \Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot4=9, deci Δ=3\displaystyle \sqrt{\Delta}=3.
    Δ=9\displaystyle \Delta=9
  5. Rădăcinile sunt m=5−32=1\displaystyle m=\dfrac{5-3}{2}=1 și m=5+32=4\displaystyle m=\dfrac{5+3}{2}=4. Ambele sunt numere reale, deci convin.
    m=1 sau m=4\displaystyle m=1\text{ sau }m=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(121−13121m).A(m)=\begin{pmatrix}1&2&1\\-1&3&1\\2&1&m\end{pmatrix}.

Arătați că A(m)+A(−m)=2A(0)\displaystyle A(m)+A(-m)=2A(0) pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(−m)\displaystyle A(-m), înlocuind m\displaystyle m cu −m\displaystyle -m în ultimul element al matricei; celelalte elemente nu depind de m\displaystyle m.
    A(−m)=(121−13121−m)\displaystyle A(-m)=\begin{pmatrix}1&2&1\\-1&3&1\\2&1&-m\end{pmatrix}
  2. Scriem suma A(m)+A(−m)\displaystyle A(m)+A(-m).
    A(m)+A(−m)=(121−13121m)+(121−13121−m)\displaystyle A(m)+A(-m)=\begin{pmatrix}1&2&1\\-1&3&1\\2&1&m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&2&1\\-1&3&1\\2&1&-m\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricele element cu element. Pe ultima poziție, m+(−m)=0\displaystyle m+(-m)=0, iar celelalte elemente se dublează.
    A(m)+A(−m)=(242−262420)\displaystyle A(m)+A(-m)=\begin{pmatrix}2&4&2\\-2&6&2\\4&2&0\end{pmatrix}
  4. Scriem matricea A(0)\displaystyle A(0), înlocuind m\displaystyle m cu 0\displaystyle 0, apoi o înmulțim cu 2\displaystyle 2, adică înmulțim fiecare element cu 2\displaystyle 2. Obținem aceeași matrice ca la suma calculată, deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real m\displaystyle m.
    2A(0)=2(121−131210)=(242−262420)=A(m)+A(−m)\displaystyle 2A(0)=2\begin{pmatrix}1&2&1\\-1&3&1\\2&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4&2\\-2&6&2\\4&2&0\end{pmatrix}=A(m)+A(-m)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(121−13121m).A(m)=\begin{pmatrix}1&2&1\\-1&3&1\\2&1&m\end{pmatrix}.

Verificați dacă A(0)⋅(−11−12−2−2−735)=−4I3,A(0)\cdot\begin{pmatrix}-1&1&-1\\2&-2&-2\\-7&3&5\end{pmatrix}=-4I_3, unde I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=0\displaystyle m=0 în matricea A(m)\displaystyle A(m) și scriem produsul cerut: A(0)⋅B\displaystyle A(0)\cdot B, unde B\displaystyle B este a doua matrice din enunț.
    (121−131210)⋅(−11−12−2−2−735)\displaystyle \begin{pmatrix}1&2&1\\-1&3&1\\2&1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&1&-1\\2&-2&-2\\-7&3&5\end{pmatrix}
  2. Prima linie a produsului se obține înmulțind linia (1, 2, 1)\displaystyle (1,\ 2,\ 1) cu fiecare coloană a lui B\displaystyle B: 1⋅(−1)+2⋅2+1⋅(−7)=−4\displaystyle 1\cdot(-1)+2\cdot 2+1\cdot(-7)=-4, 1⋅1+2⋅(−2)+1⋅3=0\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot(-2)+1\cdot 3=0, 1⋅(−1)+2⋅(−2)+1⋅5=0\displaystyle 1\cdot(-1)+2\cdot(-2)+1\cdot 5=0.
    (−400)\displaystyle \begin{pmatrix}-4&0&0\end{pmatrix}
  3. A doua linie se obține din linia (−1, 3, 1)\displaystyle (-1,\ 3,\ 1): (−1)⋅(−1)+3⋅2+1⋅(−7)=0\displaystyle (-1)\cdot(-1)+3\cdot 2+1\cdot(-7)=0, (−1)⋅1+3⋅(−2)+1⋅3=−4\displaystyle (-1)\cdot 1+3\cdot(-2)+1\cdot 3=-4, (−1)⋅(−1)+3⋅(−2)+1⋅5=0\displaystyle (-1)\cdot(-1)+3\cdot(-2)+1\cdot 5=0.
    (0−40)\displaystyle \begin{pmatrix}0&-4&0\end{pmatrix}
  4. A treia linie se obține din linia (2, 1, 0)\displaystyle (2,\ 1,\ 0): 2⋅(−1)+1⋅2+0⋅(−7)=0\displaystyle 2\cdot(-1)+1\cdot 2+0\cdot(-7)=0, 2⋅1+1⋅(−2)+0⋅3=0\displaystyle 2\cdot 1+1\cdot(-2)+0\cdot 3=0, 2⋅(−1)+1⋅(−2)+0⋅5=−4\displaystyle 2\cdot(-1)+1\cdot(-2)+0\cdot 5=-4.
    (00−4)\displaystyle \begin{pmatrix}0&0&-4\end{pmatrix}
  5. Punem cele trei linii într-o singură matrice și observăm că ea este −4I3\displaystyle -4I_3, deci egalitatea din enunț este adevărată.
    A(0)⋅B=(−4000−4000−4)=−4I3\displaystyle A(0)\cdot B=\begin{pmatrix}-4&0&0\\0&-4&0\\0&0&-4\end{pmatrix}=-4I_3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(121−13121m).A(m)=\begin{pmatrix}1&2&1\\-1&3&1\\2&1&m\end{pmatrix}.

Pentru m=0\displaystyle m=0, rezolvați sistemul {x+2y+z=2−x+3y+z=32x+y+mz=1\begin{cases}x+2y+z=2\\-x+3y+z=3\\2x+y+mz=1\end{cases}
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=0\displaystyle m=0 în ultima ecuație. Termenul mz\displaystyle mz dispare și obținem sistemul de mai jos.
    {x+2y+z=2−x+3y+z=32x+y=1\displaystyle \begin{cases}x+2y+z=2\\-x+3y+z=3\\2x+y=1\end{cases}
  2. Scădem prima ecuație din a doua ca să eliminăm z\displaystyle z: (−x+3y+z)−(x+2y+z)=3−2\displaystyle (-x+3y+z)-(x+2y+z)=3-2. Obținem o ecuație doar în x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    −2x+y=1\displaystyle -2x+y=1
  3. Adunăm ecuația −2x+y=1\displaystyle -2x+y=1 cu a treia ecuație, 2x+y=1\displaystyle 2x+y=1. Termenii în x\displaystyle x se reduc și rămâne 2y=2\displaystyle 2y=2, deci y=1\displaystyle y=1.
    y=1\displaystyle y=1
  4. Înlocuim y=1\displaystyle y=1 în 2x+y=1\displaystyle 2x+y=1. Obținem 2x=0\displaystyle 2x=0, deci x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
  5. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 și y=1\displaystyle y=1 în prima ecuație: 0+2+z=2\displaystyle 0+2+z=2, deci z=0\displaystyle z=0. Verificare în a doua ecuație: −0+3+0=3\displaystyle -0+3+0=3, corect. Soluția sistemului este cea de mai jos.
    x=0\displaystyle x=0, y=1\displaystyle \ y=1, z=0\displaystyle \ z=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.