Bac matematică M4 pedagogic 2022, sesiunea a II-a varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că log⁡216−log⁡28+log⁡21=1\displaystyle \log_2 16-\log_2 8+\log_2 1=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm primul logaritm: 16=24\displaystyle 16=2^{4}, deci log⁡216=4\displaystyle \log_2 16=4.
    log⁡216=4\displaystyle \log_2 16=4
  2. Calculăm al doilea logaritm: 8=23\displaystyle 8=2^{3}, deci log⁡28=3\displaystyle \log_2 8=3.
    log⁡28=3\displaystyle \log_2 8=3
  3. Calculăm al treilea logaritm: 1=20\displaystyle 1=2^{0}, deci log⁡21=0\displaystyle \log_2 1=0. Avem astfel valorile celor trei logaritmi.
    log⁡216=4\displaystyle \log_2 16=4, log⁡28=3\displaystyle \ \log_2 8=3, log⁡21=0\displaystyle \ \log_2 1=0
  4. Înlocuim valorile în expresie și efectuăm operațiile: log⁡216−log⁡28+log⁡21=4−3+0=1\displaystyle \log_2 16-\log_2 8+\log_2 1=4-3+0=1, deci egalitatea este demonstrată.
    log⁡216−log⁡28+log⁡21=4−3+0=1\displaystyle \log_2 16-\log_2 8+\log_2 1=4-3+0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x+7\displaystyle f(x)=5x+7. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care punctul A(m,2022)\displaystyle A(m,2022) aparține graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(m,2022)\displaystyle A(m,2022) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(m)=2022\displaystyle f(m)=2022.
    f(m)=2022\displaystyle f(m)=2022
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu m\displaystyle m în formula f(x)=5x+7\displaystyle f(x)=5x+7 și obținem ecuația 5m+7=2022\displaystyle 5m+7=2022.
    5m+7=2022\displaystyle 5m+7=2022
  3. Scădem 7\displaystyle 7 din ambii membri: 5m=2022−7=2015\displaystyle 5m=2022-7=2015.
    5m=2015\displaystyle 5m=2015
  4. Împărțim la 5\displaystyle 5: m=20155=403\displaystyle m=\dfrac{2015}{5}=403. Deci punctul A(403,2022)\displaystyle A(403,2022) aparține graficului.
    m=403\displaystyle m=403
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x−2=3\displaystyle \sqrt{5x-2}=\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul există doar dacă 5x−2≥0\displaystyle 5x-2\ge 0, adică x≥25\displaystyle x\ge \dfrac{2}{5}.
    x≥25\displaystyle x\ge \dfrac{2}{5}
  2. Ridicăm ambii membri la pătrat: (5x−2)2=(3)2\displaystyle \left(\sqrt{5x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{3}\right)^{2}, deci 5x−2=3\displaystyle 5x-2=3.
    5x−2=3\displaystyle 5x-2=3
  3. Adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri: 5x=5\displaystyle 5x=5. Împărțim la 5\displaystyle 5: x=1\displaystyle x=1.
    5x=5⇒x=1\displaystyle 5x=5\Rightarrow x=1
  4. Verificăm: 1≥25\displaystyle 1\ge \dfrac{2}{5}, iar pentru x=1\displaystyle x=1 avem 5⋅1−2=3\displaystyle \sqrt{5\cdot 1-2}=\sqrt{3}, adevărat. Deci soluția convine.
    x=1, care convine\displaystyle x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După două scumpiri succesive cu 20%\displaystyle 20\% prețul unui obiect este de 180\displaystyle 180 lei. Determinați prețul inițial al obiectului.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul inițial al obiectului, în lei. O scumpire cu 20%\displaystyle 20\% înseamnă că se adaugă la preț 20100\displaystyle \dfrac{20}{100} din el.
    x>0\displaystyle x>0
  2. Calculăm prețul după prima scumpire: x+20100x=x+x5=6x5\displaystyle x+\dfrac{20}{100}x=x+\dfrac{x}{5}=\dfrac{6x}{5}.
    x+20100x=6x5\displaystyle x+\frac{20}{100}x=\frac{6x}{5}
  3. A doua scumpire se aplică noului preț 6x5\displaystyle \dfrac{6x}{5}: 6x5+20100⋅6x5=6x5+6x25=30x+6x25=36x25\displaystyle \dfrac{6x}{5}+\dfrac{20}{100}\cdot\dfrac{6x}{5}=\dfrac{6x}{5}+\dfrac{6x}{25}=\dfrac{30x+6x}{25}=\dfrac{36x}{25}.
    6x5+20100⋅6x5=36x25\displaystyle \frac{6x}{5}+\frac{20}{100}\cdot\frac{6x}{5}=\frac{36x}{25}
  4. Prețul după cele două scumpiri este 180\displaystyle 180 lei, deci 36x25=180\displaystyle \dfrac{36x}{25}=180.
    36x25=180\displaystyle \frac{36x}{25}=180
  5. Rezolvăm ecuația: x=180⋅2536=5⋅25=125\displaystyle x=\dfrac{180\cdot 25}{36}=5\cdot 25=125. Prețul inițial este 125\displaystyle 125 lei.
    x=125 lei\displaystyle x=125\text{ lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(6,7)\displaystyle A(6,7) și B(2,5)\displaystyle B(2,5). Determinați ecuația dreptei AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem ecuația dreptei care trece prin A(6,7)\displaystyle A(6,7) și B(2,5)\displaystyle B(2,5): x−xAxB−xA=y−yAyB−yA\displaystyle \dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}.
    x−62−6=y−75−7\displaystyle \dfrac{x-6}{2-6}=\dfrac{y-7}{5-7}
  2. Calculăm numitorii: 2−6=−4\displaystyle 2-6=-4 și 5−7=−2\displaystyle 5-7=-2.
    x−6−4=y−7−2\displaystyle \dfrac{x-6}{-4}=\dfrac{y-7}{-2}
  3. Înmulțim ambii membri cu −4\displaystyle -4 și obținem x−6=2(y−7)\displaystyle x-6=2(y-7).
    x−6=2(y−7)\displaystyle x-6=2(y-7)
  4. Desfacem parantezele: x−6=2y−14\displaystyle x-6=2y-14. Mutăm termenii în stânga și obținem forma generală.
    x−2y+8=0\displaystyle x-2y+8=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că (sin⁡45∘−sin⁡30∘)(sin⁡45∘+sin⁡30∘)=14\displaystyle (\sin 45^\circ-\sin 30^\circ)(\sin 45^\circ+\sin 30^\circ)=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim valorile cunoscute ale sinusurilor: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} și sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\frac{1}{2}, sin⁡45∘=22\displaystyle \ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
  2. Înlocuim aceste valori în expresia (sin⁡45∘−sin⁡30∘)(sin⁡45∘+sin⁡30∘)\displaystyle (\sin 45^\circ-\sin 30^\circ)(\sin 45^\circ+\sin 30^\circ).
    (22−12)(22+12)\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)
  3. Produsul are forma (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}, cu a=22\displaystyle a=\dfrac{\sqrt{2}}{2} și b=12\displaystyle b=\dfrac{1}{2}.
    (22)2−(12)2\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}
  4. Calculăm pătratele: (22)2=24\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\dfrac{2}{4} și (12)2=14\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}.
    24−14\displaystyle \frac{2}{4}-\frac{1}{4}
  5. Scădem fracțiile cu același numitor și obținem 24−14=14\displaystyle \dfrac{2}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}, adică exact egalitatea cerută.
    (22−12)(22+12)=14\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+5(x+y)+7\displaystyle x\circ y=xy+5(x+y)+7.

Arătați că (−2)∘2=3\displaystyle (-2)\circ 2=3.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∘y=xy+5(x+y)+7\displaystyle x\circ y=xy+5(x+y)+7. Înlocuim x=−2\displaystyle x=-2 și y=2\displaystyle y=2.
    (−2)∘2=(−2)⋅2+5(−2+2)+7\displaystyle (-2)\circ 2=(-2)\cdot 2+5(-2+2)+7
  2. Calculăm produsul (−2)⋅2=−4\displaystyle (-2)\cdot 2=-4 și suma din paranteză −2+2=0\displaystyle -2+2=0, deci 5⋅0=0\displaystyle 5\cdot 0=0.
    −4+5⋅0+7\displaystyle -4+5\cdot 0+7
  3. Adunăm termenii: −4+0+7=3\displaystyle -4+0+7=3. Deci (−2)∘2=3\displaystyle (-2)\circ 2=3.
    −4+0+7=3\displaystyle -4+0+7=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+5(x+y)+7\displaystyle x\circ y=xy+5(x+y)+7.

Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Trebuie să arătăm că x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Pornim de la definiția legii: x∘y=xy+5(x+y)+7\displaystyle x\circ y=xy+5(x+y)+7.
    x∘y=xy+5(x+y)+7\displaystyle x\circ y=xy+5(x+y)+7
  2. Înmulțirea și adunarea numerelor reale sunt comutative, deci xy=yx\displaystyle xy=yx și x+y=y+x\displaystyle x+y=y+x. Înlocuind, obținem xy+5(x+y)+7=yx+5(y+x)+7\displaystyle xy+5(x+y)+7=yx+5(y+x)+7.
    x∘y=xy+5(x+y)+7=yx+5(y+x)+7\displaystyle x\circ y=xy+5(x+y)+7=yx+5(y+x)+7
  3. Expresia yx+5(y+x)+7\displaystyle yx+5(y+x)+7 este exact definiția lui y∘x\displaystyle y\circ x, obținută prin schimbarea rolurilor lui x\displaystyle x și y\displaystyle y în definiția legii. Deci x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}, adică legea „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
    yx+5(y+x)+7=y∘x, deci x∘y=y∘x, pentru orice numere \displaystyle yx+5(y+x)+7=y\circ x\text{, deci }x\circ y=y\circ x\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+5(x+y)+7\displaystyle x\circ y=xy+5(x+y)+7.

Demonstrați că x∘y=(x+5)(y+5)−18\displaystyle x\circ y=(x+5)(y+5)-18, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție și desfacem parantezele: 5(x+y)=5x+5y\displaystyle 5(x+y)=5x+5y. Obținem x∘y=xy+5x+5y+7\displaystyle x\circ y=xy+5x+5y+7.
    x∘y=xy+5x+5y+7\displaystyle x\circ y=xy+5x+5y+7
  2. Vrem să apară termenul 25\displaystyle 25 pentru a putea forma produsul (x+5)(y+5)\displaystyle (x+5)(y+5), așa că scriem 7=25−18\displaystyle 7=25-18.
    x∘y=xy+5x+5y+25−18\displaystyle x\circ y=xy+5x+5y+25-18
  3. Grupăm termenii: (xy+5x)+(5y+25)\displaystyle (xy+5x)+(5y+25). Din primul grup scoatem factor comun pe x\displaystyle x, iar din al doilea pe 5\displaystyle 5.
    x∘y=x(y+5)+5(y+5)−18\displaystyle x\circ y=x(y+5)+5(y+5)-18
  4. Acum y+5\displaystyle y+5 este factor comun pentru ambii termeni, deci îl scoatem în față. Rezultă egalitatea cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=(x+5)(y+5)−18, pentru orice numere \displaystyle x\circ y=(x+5)(y+5)-18\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+5(x+y)+7\displaystyle x\circ y=xy+5(x+y)+7.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∘x=7\displaystyle x\circ x=7.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție pentru x\displaystyle x și x\displaystyle x, adică înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția x∘y=xy+5(x+y)+7\displaystyle x\circ y=xy+5(x+y)+7.
    x∘x=x⋅x+5(x+x)+7\displaystyle x\circ x=x\cdot x+5(x+x)+7
  2. Efectuăm calculele: x⋅x=x2\displaystyle x\cdot x=x^{2}, iar 5(x+x)=10x\displaystyle 5(x+x)=10x. Deci x∘x=x2+10x+7\displaystyle x\circ x=x^{2}+10x+7.
    x∘x=x2+10x+7\displaystyle x\circ x=x^{2}+10x+7
  3. Punem condiția din enunț, x∘x=7\displaystyle x\circ x=7, și obținem ecuația:
    x2+10x+7=7\displaystyle x^{2}+10x+7=7
  4. Scădem 7\displaystyle 7 din ambii membri și obținem:
    x2+10x=0\displaystyle x^{2}+10x=0
  5. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(x+10)=0\displaystyle x(x+10)=0. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul, deci x=0\displaystyle x=0 sau x+10=0\displaystyle x+10=0.
    x(x+10)=0\displaystyle x(x+10)=0
  6. Rezolvăm cele două ecuații simple și obținem soluțiile. Răspuns final: x=0\displaystyle x=0 sau x=−10\displaystyle x=-10.
    x=0 sau x=−10\displaystyle x=0\text{ sau }x=-10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+5(x+y)+7\displaystyle x\circ y=xy+5(x+y)+7.

Demonstrați că ((−x)∘(−y))+((−x)∘y)+(x∘(−y))+(x∘y)=28\displaystyle ((-x)\circ(-y))+((-x)\circ y)+(x\circ(-y))+(x\circ y)=28, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∘y=xy+5(x+y)+7\displaystyle x\circ y=xy+5(x+y)+7 și o aplicăm pe rând pentru perechile (−x,−y)\displaystyle (-x,-y), (−x,y)\displaystyle (-x,y), (x,−y)\displaystyle (x,-y) și (x,y)\displaystyle (x,y).
    x∘y=xy+5(x+y)+7\displaystyle x\circ y=xy+5(x+y)+7
  2. Pentru primul termen înlocuim x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x și y\displaystyle y cu −y\displaystyle -y: (−x)∘(−y)=(−x)(−y)+5(−x−y)+7\displaystyle (-x)\circ(-y)=(-x)(-y)+5(-x-y)+7, adică xy−5x−5y+7\displaystyle xy-5x-5y+7.
    (−x)∘(−y)=xy−5x−5y+7, pentru orice numere \displaystyle (-x)\circ(-y)=xy-5x-5y+7\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
  3. Pentru al doilea termen: (−x)∘y=(−x)y+5(−x+y)+7\displaystyle (-x)\circ y=(-x)y+5(-x+y)+7, adică −xy−5x+5y+7\displaystyle -xy-5x+5y+7.
    (−x)∘y=−xy−5x+5y+7\displaystyle (-x)\circ y=-xy-5x+5y+7
  4. Pentru al treilea termen: x∘(−y)=x(−y)+5(x−y)+7\displaystyle x\circ(-y)=x(-y)+5(x-y)+7, adică −xy+5x−5y+7\displaystyle -xy+5x-5y+7.
    x∘(−y)=−xy+5x−5y+7\displaystyle x\circ(-y)=-xy+5x-5y+7
  5. Al patrulea termen se obține direct din definiție: x∘y=xy+5x+5y+7\displaystyle x\circ y=xy+5x+5y+7.
    x∘y=xy+5x+5y+7\displaystyle x\circ y=xy+5x+5y+7
  6. Adunăm cei patru termeni. Coeficienții lui xy\displaystyle xy dau 1−1−1+1=0\displaystyle 1-1-1+1=0, ai lui x\displaystyle x dau −5−5+5+5=0\displaystyle -5-5+5+5=0, ai lui y\displaystyle y dau −5+5−5+5=0\displaystyle -5+5-5+5=0, iar termenii liberi dau 4⋅7=28\displaystyle 4\cdot 7=28.
    (xy−5x−5y+7)+(−xy−5x+5y+7)+(−xy+5x−5y+7)+(xy+5x+5y+7)=28, pentru orice numere \displaystyle (xy-5x-5y+7)+(-xy-5x+5y+7)+(-xy+5x-5y+7)+(xy+5x+5y+7)=28\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+5(x+y)+7\displaystyle x\circ y=xy+5(x+y)+7.

Determinați perechile (a,b)\displaystyle (a,b) de numere întregi pentru care a∘b=−19\displaystyle a\circ b=-19.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condiția a∘b=−19\displaystyle a\circ b=-19 folosind definiția legii: ab+5(a+b)+7=−19\displaystyle ab+5(a+b)+7=-19.
    ab+5a+5b+7=−19\displaystyle ab+5a+5b+7=-19
  2. Mutăm termenul liber în stânga: ab+5a+5b+26=0\displaystyle ab+5a+5b+26=0.
    ab+5a+5b+26=0\displaystyle ab+5a+5b+26=0
  3. Observăm că (a+5)(b+5)=ab+5a+5b+25\displaystyle (a+5)(b+5)=ab+5a+5b+25, deci ab+5a+5b+26=(a+5)(b+5)+1\displaystyle ab+5a+5b+26=(a+5)(b+5)+1. Ecuația devine (a+5)(b+5)+1=0\displaystyle (a+5)(b+5)+1=0, adică (a+5)(b+5)=−1\displaystyle (a+5)(b+5)=-1.
    (a+5)(b+5)=−1\displaystyle (a+5)(b+5)=-1
  4. Cum a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt întregi, a+5\displaystyle a+5 și b+5\displaystyle b+5 sunt numere întregi al căror produs este −1\displaystyle -1. Deci ele sunt divizori întregi ai lui −1\displaystyle -1, adică 1\displaystyle 1 sau −1\displaystyle -1, cu semne opuse.
    (a+5, b+5)∈{(1,−1),(−1,1)}\displaystyle (a+5,\,b+5)\in\{(1,-1),(-1,1)\}
  5. Dacă a+5=1\displaystyle a+5=1 și b+5=−1\displaystyle b+5=-1, obținem a=−4\displaystyle a=-4 și b=−6\displaystyle b=-6. Dacă a+5=−1\displaystyle a+5=-1 și b+5=1\displaystyle b+5=1, obținem a=−6\displaystyle a=-6 și b=−4\displaystyle b=-4.
    (a,b)∈{(−6,−4),(−4,−6)}\displaystyle (a,b)\in\{(-6,-4),(-4,-6)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(55−4−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&5\\-4&-4\end{pmatrix} și X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, folosind elementele ei: 5,5\displaystyle 5, 5 pe prima linie și −4,−4\displaystyle -4, -4 pe a doua linie.
    det⁡A=∣55−4−4∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}5&5\\-4&-4\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin 2: ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡A=5⋅(−4)−5⋅(−4)\displaystyle \det A=5\cdot(-4)-5\cdot(-4)
  3. Calculăm cele două produse: fiecare este egal cu −20\displaystyle -20, deci scăderea dă 0\displaystyle 0.
    det⁡A=−20+20=0\displaystyle \det A=-20+20=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(55−4−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&5\\-4&-4\end{pmatrix} și X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A⋅A=A\displaystyle A\cdot A=A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅A=(55−4−4)⋅(55−4−4)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}5&5\\-4&-4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5&5\\-4&-4\end{pmatrix} și aplicăm regula de înmulțire a matricelor: fiecare element se obține înmulțind linia din prima matrice cu coloana din a doua.
    A⋅A=(55−4−4)⋅(55−4−4)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}5&5\\-4&-4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5&5\\-4&-4\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului. Pe prima linie: 5⋅5+5⋅(−4)=25−20\displaystyle 5\cdot 5+5\cdot(-4)=25-20 pentru ambele elemente. Pe a doua linie: (−4)⋅5+(−4)⋅(−4)=−20+16\displaystyle (-4)\cdot 5+(-4)\cdot(-4)=-20+16 pentru ambele elemente.
    A⋅A=(25−2025−20−20+16−20+16)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}25-20&25-20\\-20+16&-20+16\end{pmatrix}
  3. Efectuăm calculele din fiecare element: 25−20=5\displaystyle 25-20=5 și −20+16=−4\displaystyle -20+16=-4. Obținem exact matricea A\displaystyle A, deci A⋅A=A\displaystyle A\cdot A=A.
    A⋅A=(55−4−4)=A\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}5&5\\-4&-4\end{pmatrix}=A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(55−4−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&5\\-4&-4\end{pmatrix} și X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că X(−1)+X(1)=2I2\displaystyle X(-1)+X(1)=2I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−1\displaystyle a=-1 în definiția X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA și obținem X(−1)=I2+(−1)⋅A=I2−A\displaystyle X(-1)=I_2+(-1)\cdot A=I_2-A.
    X(−1)=I2−A\displaystyle X(-1)=I_2-A
  2. Scriem explicit matricea: X(−1)=(1001)−(55−4−4)=(−4−545)\displaystyle X(-1)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5&5\\-4&-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&-5\\4&5\end{pmatrix}.
    X(−1)=(−4−545)\displaystyle X(-1)=\begin{pmatrix}-4&-5\\4&5\end{pmatrix}
  3. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în definiția X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA și obținem X(1)=I2+A\displaystyle X(1)=I_2+A.
    X(1)=I2+A\displaystyle X(1)=I_2+A
  4. Adunăm cele două matrice: X(−1)+X(1)=(I2−A)+(I2+A)=2I2+(−A+A)=2I2\displaystyle X(-1)+X(1)=(I_2-A)+(I_2+A)=2I_2+(-A+A)=2I_2, deoarece termenii cu A\displaystyle A se reduc.
    X(−1)+X(1)=I2−A+I2+A=2I2\displaystyle X(-1)+X(1)=I_2-A+I_2+A=2I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(55−4−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&5\\-4&-4\end{pmatrix} și X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că X(a)⋅X(−1)=X(−1)\displaystyle X(a)\cdot X(-1)=X(-1), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea X(−1)\displaystyle X(-1): în definiția X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA punem a=−1\displaystyle a=-1, deci X(−1)=I2−A\displaystyle X(-1)=I_2-A.
    X(−1)=I2−A\displaystyle X(-1)=I_2-A
  2. Scriem produsul X(a)⋅X(−1)\displaystyle X(a)\cdot X(-1) cu cele două expresii și îl dezvoltăm prin distributivitate.
    X(a)⋅X(−1)=(I2+aA)(I2−A)=I22−I2⋅A+aA⋅I2−aA2\displaystyle X(a)\cdot X(-1)=(I_2+aA)(I_2-A)=I_2^2-I_2\cdot A+aA\cdot I_2-aA^2
  3. Calculăm A2\displaystyle A^2 prin înmulțirea matricei A\displaystyle A cu ea însăși: elementele sunt 25−20=5\displaystyle 25-20=5 și −20+16=−4\displaystyle -20+16=-4. Obținem A2=A\displaystyle A^2=A.
    A2=(55−4−4)(55−4−4)=(55−4−4)=A\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}5&5\\-4&-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&5\\-4&-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&5\\-4&-4\end{pmatrix}=A
  4. Înlocuim în dezvoltare: I22=I2\displaystyle I_2^2=I_2, iar I2⋅A=A⋅I2=A\displaystyle I_2\cdot A=A\cdot I_2=A, deoarece I2\displaystyle I_2 este elementul neutru la înmulțire. Folosim și A2=A\displaystyle A^2=A.
    X(a)⋅X(−1)=I2−A+aA−aA\displaystyle X(a)\cdot X(-1)=I_2-A+aA-aA
  5. Termenii aA\displaystyle aA și −aA\displaystyle -aA se reduc, deci produsul este I2−A\displaystyle I_2-A, adică X(−1)\displaystyle X(-1), pentru orice număr real a\displaystyle a.
    X(a)⋅X(−1)=I2−A=X(−1), pentru orice numa˘r real a\displaystyle X(a)\cdot X(-1)=I_2-A=X(-1)\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(55−4−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&5\\-4&-4\end{pmatrix} și X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a pentru care matricea X(a)\displaystyle X(a) nu este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea X(a)\displaystyle X(a) nu este inversabilă exact când det⁡(X(a))=0\displaystyle \det(X(a))=0. Calculăm mai întâi aA\displaystyle aA și apoi suma I2+aA\displaystyle I_2+aA.
    X(a)=(1001)+(5a5a−4a−4a)=(1+5a5a−4a1−4a)\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5a&5a\\-4a&-4a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+5a&5a\\-4a&1-4a\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(X(a))=(1+5a)(1−4a)−5a⋅(−4a)\displaystyle \det(X(a))=(1+5a)(1-4a)-5a\cdot(-4a)
  3. Efectuăm înmulțirile: (1+5a)(1−4a)=1−4a+5a−20a2=1+a−20a2\displaystyle (1+5a)(1-4a)=1-4a+5a-20a^{2}=1+a-20a^{2}, iar −5a⋅(−4a)=20a2\displaystyle -5a\cdot(-4a)=20a^{2}. Termenii în a2\displaystyle a^{2} se reduc.
    det⁡(X(a))=1+a−20a2+20a2=1+a, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(X(a))=1+a-20a^{2}+20a^{2}=1+a\text{, pentru orice număr real }a
  4. Matricea nu este inversabilă când det⁡(X(a))=0\displaystyle \det(X(a))=0, deci rezolvăm ecuația 1+a=0\displaystyle 1+a=0.
    a=−1\displaystyle a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(55−4−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&5\\-4&-4\end{pmatrix} și X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a pentru care det⁡(X(a2))≤10\displaystyle \det\left(X\left(a^2\right)\right)\le 10.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm aA=(5a5a−4a−4a)\displaystyle aA=\begin{pmatrix}5a&5a\\-4a&-4a\end{pmatrix} și adunăm cu I2\displaystyle I_2.
    X(a)=(1+5a5a−4a1−4a)\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}1+5a&5a\\-4a&1-4a\end{pmatrix}
  2. Avem det⁡(X(a))=(1+5a)(1−4a)−5a⋅(−4a)\displaystyle \det(X(a))=(1+5a)(1-4a)-5a\cdot(-4a). Desfacem parantezele: 1−4a+5a−20a2+20a2\displaystyle 1-4a+5a-20a^{2}+20a^{2}.
    det⁡(X(a))=1−4a+5a−20a2+20a2=a+1\displaystyle \det(X(a))=1-4a+5a-20a^{2}+20a^{2}=a+1
  3. Pentru că det⁡(X(a))=a+1\displaystyle \det(X(a))=a+1 pentru orice real a\displaystyle a, înlocuim a\displaystyle a cu a2\displaystyle a^{2} și obținem determinantul cerut.
    det⁡(X(a2))=a2+1\displaystyle \det\left(X\left(a^{2}\right)\right)=a^{2}+1
  4. Inegalitatea det⁡(X(a2))≤10\displaystyle \det\left(X\left(a^{2}\right)\right)\le 10 devine a2+1≤10\displaystyle a^{2}+1\le 10, adică a2≤9\displaystyle a^{2}\le 9.
    a2+1≤10  ⟺  a2−9≤0\displaystyle a^{2}+1\le 10\iff a^{2}-9\le 0
  5. Descompunem a2−9=(a−3)(a+3)≤0\displaystyle a^{2}-9=(a-3)(a+3)\le 0. Rădăcinile sunt −3\displaystyle -3 și 3\displaystyle 3, iar expresia este negativă sau nulă între rădăcini, deci a∈[−3,3]\displaystyle a\in[-3,3].
    a∈[−3,3]\displaystyle a\in[-3,3]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.