Bac matematică M2 științe ale naturii 2014, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați conjugatul numărului complex z=1+i+i2+i3+i4+i5+i6\displaystyle z=1+i+i^2+i^3+i^4+i^5+i^6.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim puterile lui i\displaystyle i: i2=−1\displaystyle i^2=-1, i3=−i\displaystyle i^3=-i, i4=1\displaystyle i^4=1, iar apoi valorile se repetă din 4 în 4.
    i2=−1\displaystyle i^2=-1, i3=−i\displaystyle \ i^3=-i, i4=1\displaystyle \ i^4=1
  2. Calculăm puterile rămase: i5=i4⋅i=i\displaystyle i^5=i^4\cdot i=i și i6=i4⋅i2=−1\displaystyle i^6=i^4\cdot i^2=-1.
    i5=i\displaystyle i^5=i, i6=−1\displaystyle \ i^6=-1
  3. Înlocuim aceste valori în expresia lui z\displaystyle z.
    z=1+i−1−i+1+i−1\displaystyle z=1+i-1-i+1+i-1
  4. Grupăm termenii reali și imaginari: partea reală este 1−1+1−1=0\displaystyle 1-1+1-1=0, iar partea imaginară este i−i+i=i\displaystyle i-i+i=i. Deci z=i\displaystyle z=i.
    z=i\displaystyle z=i
  5. Conjugatul lui a+bi\displaystyle a+bi este a−bi\displaystyle a-bi. Pentru z=0+1⋅i\displaystyle z=0+1\cdot i obținem conjugatul 0−1⋅i\displaystyle 0-1\cdot i.
    z‾=−i\displaystyle \overline{z}=-i
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați valoarea maximă a funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−x2+4x−5\displaystyle f(x)=-x^2+4x-5.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții funcției de gradul al doilea: a=−1\displaystyle a=-1, b=4\displaystyle b=4, c=−5\displaystyle c=-5. Deoarece a<0\displaystyle a<0, parabola are ramurile în jos, deci funcția are o valoare maximă.
    a=−1\displaystyle a=-1, b=4\displaystyle \ b=4, c=−5\displaystyle \ c=-5
  2. Calculăm discriminantul cu formula Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac, înlocuind coeficienții: Δ=42−4⋅(−1)⋅(−5)=16−20\displaystyle \Delta=4^{2}-4\cdot(-1)\cdot(-5)=16-20.
    Δ=−4\displaystyle \Delta=-4
  3. Valoarea maximă a funcției este −Δ4a\displaystyle -\dfrac{\Delta}{4a}. Înlocuim Δ=−4\displaystyle \Delta=-4 și a=−1\displaystyle a=-1: numitorul este 4⋅(−1)=−4\displaystyle 4\cdot(-1)=-4, deci avem −−4−4\displaystyle -\dfrac{-4}{-4}.
    −−4−4=−1\displaystyle -\dfrac{-4}{-4}=-1
  4. Concluzie: valoarea maximă a funcției este −1\displaystyle -1. Verificare: abscisa vârfului este −b2a=2\displaystyle -\dfrac{b}{2a}=2, iar f(2)=−4+8−5=−1\displaystyle f(2)=-4+8-5=-1.
    fmax⁡=−1\displaystyle f_{\max}=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3−x2+3=x\displaystyle 3-\sqrt{x^2+3}=x.
Vezi rezolvarea
  1. Izolăm radicalul: din 3−x2+3=x\displaystyle 3-\sqrt{x^2+3}=x obținem 3−x=x2+3\displaystyle 3-x=\sqrt{x^2+3}.
    3−x=x2+3\displaystyle 3-x=\sqrt{x^2+3}
  2. Radicalul este mereu mai mare sau egal cu zero, deci trebuie ca 3−x≥0\displaystyle 3-x\ge 0, adică x≤3\displaystyle x\le 3. Expresia x2+3\displaystyle x^2+3 este pozitivă pentru orice x\displaystyle x real.
    x≤3\displaystyle x\le 3
  3. Ridicăm ambii membri la pătrat și folosim formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.
    9−6x+x2=x2+3\displaystyle 9-6x+x^2=x^2+3
  4. Reducem termenii x2\displaystyle x^2 din ambele părți: 9−6x=3\displaystyle 9-6x=3, deci 6x=6\displaystyle 6x=6.
    6x=6\displaystyle 6x=6
  5. Obținem x=1\displaystyle x=1. Verificăm: 1≤3\displaystyle 1\le 3 și 3−12+3=3−4=3−2=1\displaystyle 3-\sqrt{1^2+3}=3-\sqrt{4}=3-2=1, egal cu x\displaystyle x. Deci soluția convine.
    x=1, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=1\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele distincte.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, adică p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Numărăm numerele de două cifre ab‾\displaystyle \overline{ab} cu cifre distincte. Cifra zecilor a\displaystyle a poate fi oricare dintre cifrele de la 1\displaystyle 1 la 9\displaystyle 9, deci are 9\displaystyle 9 variante. Cifra unităților b\displaystyle b poate fi oricare cifră de la 0\displaystyle 0 la 9\displaystyle 9, diferită de a\displaystyle a, deci are tot 9\displaystyle 9 variante.
    a∈{1,2,…,9}: 9 variante\displaystyle a\in\{1,2,\dots,9\}\text{: }9\text{ variante},b≠a: 9 variante\displaystyle \quad b\neq a\text{: }9\text{ variante}
  3. Înmulțim numărul de variante pentru cele două cifre: 9⋅9=81\displaystyle 9\cdot 9=81. Deci avem 81\displaystyle 81 de cazuri favorabile.
    9⋅9=81\displaystyle 9\cdot 9=81
  4. Numărul cazurilor posibile este numărul tuturor numerelor naturale de două cifre, adică al numerelor de la 10\displaystyle 10 până la 99\displaystyle 99: 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  5. Înlocuim în formula probabilității și simplificăm fracția cu 9\displaystyle 9: p=8190=910\displaystyle p=\dfrac{81}{90}=\dfrac{9}{10}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=8190=910\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{81}{90}=\dfrac{9}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,3)\displaystyle A(2,3), B(4,0)\displaystyle B(4,0) și C(2,0)\displaystyle C(2,0). Determinați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că punctele A\displaystyle A și C\displaystyle C au aceeași abscisă, egală cu 2\displaystyle 2, deci dreapta AC\displaystyle AC este verticală. Punctele B\displaystyle B și C\displaystyle C au aceeași ordonată, egală cu 0\displaystyle 0, deci dreapta BC\displaystyle BC este orizontală.
    AC⊥BC\displaystyle AC\perp BC
  2. Deoarece o dreaptă verticală și una orizontală sunt perpendiculare, unghiul C\displaystyle C are 90∘\displaystyle 90^\circ, deci triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în C\displaystyle C.
    m(∠C)=90∘\displaystyle m(\angle C)=90^\circ
  3. Calculăm lungimea catetei AC\displaystyle AC, ca diferență a ordonatelor punctelor A\displaystyle A și C\displaystyle C, deoarece au aceeași abscisă: AC=(2−2)2+(3−0)2\displaystyle AC=\sqrt{(2-2)^2+(3-0)^2}.
    AC=02+32=3\displaystyle AC=\sqrt{0^2+3^2}=3
  4. Calculăm lungimea catetei BC\displaystyle BC, ca diferență a absciselor punctelor B\displaystyle B și C\displaystyle C, deoarece au aceeași ordonată: BC=(4−2)2+(0−0)2\displaystyle BC=\sqrt{(4-2)^2+(0-0)^2}.
    BC=22+02=2\displaystyle BC=\sqrt{2^2+0^2}=2
  5. Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor. Înlocuim AC=3\displaystyle AC=3 și BC=2\displaystyle BC=2: AΔABC=AC⋅BC2=3⋅22\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AC\cdot BC}{2}=\dfrac{3\cdot 2}{2}.
    AΔABC=AC⋅BC2=3\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AC\cdot BC}{2}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că (sin⁡x+cos⁡x)2+(sin⁡x−cos⁡x)2=2\displaystyle (\sin x+\cos x)^2+(\sin x-\cos x)^2=2 pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm primul pătrat cu formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, unde a=sin⁡x\displaystyle a=\sin x și b=cos⁡x\displaystyle b=\cos x.
    (sin⁡x+cos⁡x)2=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x\displaystyle (\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x
  2. Folosim identitatea fundamentală sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1 și simplificăm expresia primului pătrat.
    (sin⁡x+cos⁡x)2=1+2sin⁡xcos⁡x\displaystyle (\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x
  3. Dezvoltăm al doilea pătrat cu formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, cu aceleași valori pentru a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    (sin⁡x−cos⁡x)2=sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x\displaystyle (\sin x-\cos x)^2=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x
  4. Aplicăm din nou identitatea fundamentală sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1.
    (sin⁡x−cos⁡x)2=1−2sin⁡xcos⁡x\displaystyle (\sin x-\cos x)^2=1-2\sin x\cos x
  5. Adunăm cele două rezultate: termenii cu sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin x\cos x se reduc, deci suma este 2\displaystyle 2 pentru orice număr real x\displaystyle x.
    (sin⁡x+cos⁡x)2+(sin⁡x−cos⁡x)2=1+2sin⁡xcos⁡x+1−2sin⁡xcos⁡x=2\displaystyle (\sin x+\cos x)^2+(\sin x-\cos x)^2=1+2\sin x\cos x+1-2\sin x\cos x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră determinantul D(a,b)=∣1111ab1a2b2∣\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&b\\1&a^2&b^2\end{vmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale. Calculați D(1,0)\displaystyle D(1,0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 și b=0\displaystyle b=0 în determinant. Pe a doua linie obținem 1, 1, 0\displaystyle 1,\ 1,\ 0, iar pe a treia linie 1, 12, 02\displaystyle 1,\ 1^{2},\ 0^{2}, adică 1, 1, 0\displaystyle 1,\ 1,\ 0.
    D(1,0)=∣111110110∣\displaystyle D(1,0)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&0\\1&1&0\end{vmatrix}
  2. Observăm că linia a doua și linia a treia sunt identice. Un determinant care are două linii egale este nul.
    L2=L3\displaystyle L_2=L_3
  3. Verificăm prin regula lui Sarrus. Suma produselor de pe diagonala principală și paralelele la ea este 1⋅1⋅0+1⋅0⋅1+1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot1\cdot0+1\cdot0\cdot1+1\cdot1\cdot1=1, iar suma produselor de pe diagonala secundară și paralelele la ea este 1⋅1⋅1+1⋅0⋅1+1⋅1⋅0=1\displaystyle 1\cdot1\cdot1+1\cdot0\cdot1+1\cdot1\cdot0=1. Diferența lor este 1−1=0\displaystyle 1-1=0.
    0\displaystyle 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră determinantul D(a,b)=∣1111ab1a2b2∣\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&b\\1&a^2&b^2\end{vmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că D(a,b)=(a−1)(b−1)(b−a)\displaystyle D(a,b)=(a-1)(b-1)(b-a) pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul dat: D(a,b)=∣1111ab1a2b2∣\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&b\\1&a^2&b^2\end{vmatrix}. Vrem să obținem zerouri pe prima linie, deci scădem prima coloană din celelalte două.
    D(a,b)=∣1111ab1a2b2∣\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&b\\1&a^2&b^2\end{vmatrix}
  2. Efectuăm C2→C2−C1\displaystyle C_2\to C_2-C_1 și C3→C3−C1\displaystyle C_3\to C_3-C_1. Valoarea determinantului nu se schimbă. Pe prima linie apar zerouri, iar în rest obținem a−1\displaystyle a-1, b−1\displaystyle b-1, a2−1\displaystyle a^2-1, b2−1\displaystyle b^2-1.
    D(a,b)=∣1001a−1b−11a2−1b2−1∣\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix}1&0&0\\1&a-1&b-1\\1&a^2-1&b^2-1\end{vmatrix}
  3. Descompunem diferențele de pătrate: a2−1=(a−1)(a+1)\displaystyle a^2-1=(a-1)(a+1) și b2−1=(b−1)(b+1)\displaystyle b^2-1=(b-1)(b+1).
    ∣1001a−1b−11(a−1)(a+1)(b−1)(b+1)∣\displaystyle \begin{vmatrix}1&0&0\\1&a-1&b-1\\1&(a-1)(a+1)&(b-1)(b+1)\end{vmatrix}
  4. Coloana a doua are factorul comun a−1\displaystyle a-1, iar coloana a treia are factorul comun b−1\displaystyle b-1. Le scoatem în fața determinantului.
    (a−1)(b−1)∣1001111a+1b+1∣\displaystyle (a-1)(b-1)\begin{vmatrix}1&0&0\\1&1&1\\1&a+1&b+1\end{vmatrix}
  5. Dezvoltăm determinantul după prima linie. Rămâne doar elementul 1\displaystyle 1 din colțul stânga sus, înmulțit cu minorul ∣11a+1b+1∣=(b+1)−(a+1)=b−a\displaystyle \begin{vmatrix}1&1\\a+1&b+1\end{vmatrix}=(b+1)-(a+1)=b-a.
    ∣1001111a+1b+1∣=(b+1)−(a+1)=b−a\displaystyle \begin{vmatrix}1&0&0\\1&1&1\\1&a+1&b+1\end{vmatrix}=(b+1)-(a+1)=b-a
  6. Înlocuim și obținem rezultatul cerut, valabil pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    D(a,b)=(a−1)(b−1)(b−a)\displaystyle D(a,b)=(a-1)(b-1)(b-a)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră determinantul D(a,b)=∣1111ab1a2b2∣\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&b\\1&a^2&b^2\end{vmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Demonstrați că numărul D(m,n)\displaystyle D(m,n) este par pentru orice numere întregi m\displaystyle m și n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus: D(m,n)=mn2+m2+n−m2n−n2−m\displaystyle D(m,n)=mn^{2}+m^{2}+n-m^{2}n-n^{2}-m. Grupăm termenii și obținem forma factorizată D(m,n)=(m−1)(n−1)(n−m)\displaystyle D(m,n)=(m-1)(n-1)(n-m).
    D(m,n)=(m−1)(n−1)(n−m)\displaystyle D(m,n)=(m-1)(n-1)(n-m)
  2. Dacă m\displaystyle m și n\displaystyle n au aceeași paritate, atunci n−m\displaystyle n-m este par, deci produsul (m−1)(n−1)(n−m)\displaystyle (m-1)(n-1)(n-m) are un factor par și este par.
    n−m este par, deci D(m,n) este par\displaystyle n-m\text{ este par, deci }D(m,n)\text{ este par}
  3. Dacă m\displaystyle m și n\displaystyle n au parități diferite, unul dintre ele este impar, iar pentru acesta m−1\displaystyle m-1 sau n−1\displaystyle n-1 este par. Deci (m−1)(n−1)\displaystyle (m-1)(n-1) este par și D(m,n)\displaystyle D(m,n) este par. În ambele cazuri, D(m,n)\displaystyle D(m,n) este par.
    (m−1)(n−1) este par, deci D(m,n) este par\displaystyle (m-1)(n-1)\text{ este par, deci }D(m,n)\text{ este par}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră inelul (Z6,+,⋅)\displaystyle (\mathbb{Z}_6,+,\cdot), unde Z6={0^,1^,2^,3^,4^,5^}\displaystyle \mathbb{Z}_6=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5}\}.

Rezolvați în Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6 ecuația 3^x+2^=5^\displaystyle \hat{3}x+\hat{2}=\hat{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Scădem 2^\displaystyle \hat{2} din ambii membri ai ecuației, adică adunăm opusul lui 2^\displaystyle \hat{2}, care este 4^\displaystyle \hat{4}. Obținem 3^x=5^−2^=3^\displaystyle \hat{3}x=\hat{5}-\hat{2}=\hat{3}.
    3^x=3^\displaystyle \hat{3}x=\hat{3}
  2. Elementul 3^\displaystyle \hat{3} nu este inversabil în Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6, deci nu putem împărți la 3^\displaystyle \hat{3}. Verificăm pe rând toate elementele lui Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6: 3^⋅0^=0^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{0}=\hat{0}, 3^⋅1^=3^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{1}=\hat{3}, 3^⋅2^=6^=0^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{2}=\hat{6}=\hat{0}, 3^⋅3^=9^=3^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{3}=\hat{9}=\hat{3}, 3^⋅4^=12^=0^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{4}=\hat{12}=\hat{0}, 3^⋅5^=15^=3^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{5}=\hat{15}=\hat{3}.
    3^x=3^ pentru x∈{1^,3^,5^}\displaystyle \hat{3}x=\hat{3}\text{ pentru }x\in\{\hat{1},\hat{3},\hat{5}\}
  3. Soluțiile sunt elementele pentru care produsul este 3^\displaystyle \hat{3}, adică cele impare: 1^\displaystyle \hat{1}, 3^\displaystyle \hat{3} și 5^\displaystyle \hat{5}.
    x1=1^\displaystyle x_1=\hat{1}, x2=3^\displaystyle \ x_2=\hat{3}, x3=5^\displaystyle \ x_3=\hat{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră inelul (Z6,+,⋅)\displaystyle (\mathbb{Z}_6,+,\cdot), unde Z6={0^,1^,2^,3^,4^,5^}\displaystyle \mathbb{Z}_6=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5}\}.

Determinați mulțimea valorilor funcției f:Z6→Z6\displaystyle f:\mathbb{Z}_6\to\mathbb{Z}_6, f(x)=x3−x\displaystyle f(x)=x^3-x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm cuburile primelor două elemente în Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6: 0^3=0^\displaystyle \hat{0}^3=\hat{0} și 1^3=1^\displaystyle \hat{1}^3=\hat{1}.
    0^3=0^\displaystyle \hat{0}^3=\hat{0}, 1^3=1^\displaystyle \ \hat{1}^3=\hat{1}
  2. Pentru 2^\displaystyle \hat{2}: 23=8=6+2\displaystyle 2^3=8=6+2, deci 2^3=2^\displaystyle \hat{2}^3=\hat{2}. Pentru 3^\displaystyle \hat{3}: 33=27=4⋅6+3\displaystyle 3^3=27=4\cdot 6+3, deci 3^3=3^\displaystyle \hat{3}^3=\hat{3}.
    2^3=2^\displaystyle \hat{2}^3=\hat{2}, 3^3=3^\displaystyle \ \hat{3}^3=\hat{3}
  3. Pentru 4^\displaystyle \hat{4}: 43=64=10⋅6+4\displaystyle 4^3=64=10\cdot 6+4, deci 4^3=4^\displaystyle \hat{4}^3=\hat{4}. Pentru 5^\displaystyle \hat{5}: 53=125=20⋅6+5\displaystyle 5^3=125=20\cdot 6+5, deci 5^3=5^\displaystyle \hat{5}^3=\hat{5}. Așadar x^3=x^\displaystyle \hat{x}^3=\hat{x} pentru orice x^∈Z6\displaystyle \hat{x}\in\mathbb{Z}_6.
    0^3=0^\displaystyle \hat{0}^3=\hat{0}, 1^3=1^\displaystyle \ \hat{1}^3=\hat{1}, 2^3=2^\displaystyle \ \hat{2}^3=\hat{2}, 3^3=3^\displaystyle \ \hat{3}^3=\hat{3}, 4^3=4^\displaystyle \ \hat{4}^3=\hat{4}, 5^3=5^\displaystyle \ \hat{5}^3=\hat{5}
  4. Deoarece x^3=x^\displaystyle \hat{x}^3=\hat{x}, obținem f(x^)=x^3−x^=x^−x^=0^\displaystyle f(\hat{x})=\hat{x}^3-\hat{x}=\hat{x}-\hat{x}=\hat{0} pentru orice x^∈Z6\displaystyle \hat{x}\in\mathbb{Z}_6. Deci mulțimea valorilor funcției are un singur element, 0^\displaystyle \hat{0}.
    Im⁡f={0^}\displaystyle \operatorname{Im}f=\{\hat{0}\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră inelul (Z6,+,⋅)\displaystyle (\mathbb{Z}_6,+,\cdot), unde Z6={0^,1^,2^,3^,4^,5^}\displaystyle \mathbb{Z}_6=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5}\}.

Determinați numărul elementelor mulțimii H={x10∣x∈Z6}\displaystyle H=\{x^{10}\mid x\in\mathbb{Z}_6\}.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm că în Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6 avem x3=x\displaystyle x^{3}=x pentru fiecare element. Calculăm cuburile: 0^3=0^\displaystyle \hat{0}^3=\hat{0}, 1^3=1^\displaystyle \hat{1}^3=\hat{1}, 2^3=8^=2^\displaystyle \hat{2}^3=\hat{8}=\hat{2}, 3^3=27^=3^\displaystyle \hat{3}^3=\widehat{27}=\hat{3}, 4^3=64^=4^\displaystyle \hat{4}^3=\widehat{64}=\hat{4}, 5^3=125^=5^\displaystyle \hat{5}^3=\widehat{125}=\hat{5}.
    x3=x, pentru orice x∈Z6\displaystyle x^{3}=x\text{, pentru orice }x\in\mathbb{Z}_6
  2. Reducem puterea 10: x10=(x3)3⋅x\displaystyle x^{10}=(x^{3})^{3}\cdot x. Folosind x3=x\displaystyle x^{3}=x obținem (x3)3⋅x=x3⋅x=x⋅x=x2\displaystyle (x^{3})^{3}\cdot x=x^{3}\cdot x=x\cdot x=x^{2}.
    x10=(x3)3⋅x=x3⋅x=x2\displaystyle x^{10}=(x^{3})^{3}\cdot x=x^{3}\cdot x=x^{2}
  3. Calculăm pătratele elementelor din Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6: 0^2=0^\displaystyle \hat{0}^2=\hat{0}, 1^2=1^\displaystyle \hat{1}^2=\hat{1}, 2^2=4^\displaystyle \hat{2}^2=\hat{4}, 3^2=9^=3^\displaystyle \hat{3}^2=\hat{9}=\hat{3}, 4^2=16^=4^\displaystyle \hat{4}^2=\widehat{16}=\hat{4}, 5^2=25^=1^\displaystyle \hat{5}^2=\widehat{25}=\hat{1}.
    0^2=0^\displaystyle \hat{0}^2=\hat{0}, 1^2=1^\displaystyle \ \hat{1}^2=\hat{1}, 2^2=4^\displaystyle \ \hat{2}^2=\hat{4}, 3^2=3^\displaystyle \ \hat{3}^2=\hat{3}, 4^2=4^\displaystyle \ \hat{4}^2=\hat{4}, 5^2=1^\displaystyle \ \hat{5}^2=\hat{1}
  4. Mulțimea H\displaystyle H conține valorile distincte obținute: 0^,1^,3^,4^\displaystyle \hat{0},\hat{1},\hat{3},\hat{4}. Deci H\displaystyle H are 4\displaystyle 4 elemente.
    H={x2∣x∈Z6}={0^,1^,3^,4^}, deci H are 4 elemente\displaystyle H=\{x^{2}\mid x\in\mathbb{Z}_6\}=\{\hat{0},\hat{1},\hat{3},\hat{4}\}\text{, deci }H\text{ are 4 elemente}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+ln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}+\ln x.

Calculați lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2\displaystyle \lim_{x\to2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2} este chiar definiția derivatei funcției f\displaystyle f în punctul 2\displaystyle 2, deci limita este f′(2)\displaystyle f'(2).
    lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2)
  2. Derivăm funcția f(x)=1x+ln⁡x\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}+\ln x: derivata lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este −1x2\displaystyle -\dfrac{1}{x^{2}}, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    f′(x)=−1x2+1x\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  3. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în expresia derivatei: f′(2)=−122+12\displaystyle f'(2)=-\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{2}.
    f′(2)=−14+12\displaystyle f'(2)=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}
  4. Aducem la numitor comun: −14+24=14\displaystyle -\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{4}. Deci limita este f′(2)=14\displaystyle f'(2)=\dfrac{1}{4}.
    lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)=14\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2)=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+ln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}+\ln x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1: y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1). Avem nevoie de valorile f(1)\displaystyle f(1) și f′(1)\displaystyle f'(1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1), înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în f(x)=1x+ln⁡x\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}+\ln x, și folosim ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    f(1)=11+ln⁡1=1+0=1\displaystyle f(1)=\dfrac{1}{1}+\ln 1=1+0=1
  3. Derivăm funcția: derivata lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este −1x2\displaystyle -\dfrac{1}{x^{2}}, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    f′(x)=−1x2+1x\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x}
  4. Calculăm f′(1)\displaystyle f'(1), înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia derivatei. Astfel avem f(1)=1\displaystyle f(1)=1 și f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0.
    f′(1)=−11+11=0\displaystyle f'(1)=-\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1}=0,f(1)=1\displaystyle \quad f(1)=1
  5. Înlocuim f(1)=1\displaystyle f(1)=1 și f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0 în formula tangentei. Termenul cu (x−1)\displaystyle (x-1) dispare, deci tangenta este o dreaptă orizontală.
    y−1=0⋅(x−1)⇒y=1\displaystyle y-1=0\cdot(x-1)\Rightarrow y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+ln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}+\ln x.

Demonstrați că f(x)≥1\displaystyle f(x)\ge1 pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Derivata lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este −1x2\displaystyle -\dfrac{1}{x^{2}}, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    f′(x)=−1x2+1x\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x}
  2. Aducem derivata la numitor comun, pentru a-i studia semnul: f′(x)=−1+xx2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-1+x}{x^{2}}.
    f′(x)=x−1x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}}
  3. Numitorul x2\displaystyle x^{2} este strict pozitiv pentru x>0\displaystyle x>0, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de semnul lui x−1\displaystyle x-1. Pentru x∈(0,1]\displaystyle x\in(0,1] avem x−1≤0\displaystyle x-1\le 0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 și f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,1]\displaystyle (0,1].
    x∈(0,1]⇒f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe (0,1]\displaystyle x\in(0,1]\Rightarrow f'(x)\le0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }(0,1]
  4. Pentru x∈[1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty) avem x−1≥0\displaystyle x-1\ge 0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0 și f\displaystyle f este crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    x∈[1,+∞)⇒f′(x)≥0, deci f este cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty)\Rightarrow f'(x)\ge0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[1,+\infty)
  5. Funcția scade până în 1\displaystyle 1 și crește după 1\displaystyle 1, deci valoarea minimă se atinge în x=1\displaystyle x=1. Calculăm f(1)=11+ln⁡1=1+0\displaystyle f(1)=\dfrac{1}{1}+\ln 1=1+0.
    f(1)=1\displaystyle f(1)=1
  6. Deoarece minimul funcției este f(1)=1\displaystyle f(1)=1, rezultă f(x)≥f(1)=1\displaystyle f(x)\ge f(1)=1 pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), ceea ce trebuia demonstrat.
    f(x)≥f(1)⇒f(x)≥1 pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f(x)\ge f(1)\Rightarrow f(x)\ge1\text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x+1}.

Calculați ∫01(x+1)f(x) dx\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}}{x+1} în integrala cerută: ∫01(x+1)f(x) dx=∫01(x+1)⋅x2x+1 dx\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)\,dx=\int_0^1 (x+1)\cdot\dfrac{x^{2}}{x+1}\,dx.
    ∫01(x+1)⋅x2x+1 dx\displaystyle \int_0^1 (x+1)\cdot\dfrac{x^{2}}{x+1}\,dx
  2. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem x+1>0\displaystyle x+1>0, deci putem simplifica factorul x+1\displaystyle x+1 de la numărător cu cel de la numitor: (x+1)f(x)=x2\displaystyle (x+1)f(x)=x^{2}. Obținem ∫01(x+1)f(x) dx=∫01x2 dx\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)\,dx=\int_0^1 x^{2}\,dx.
    ∫01(x+1)f(x) dx=∫01x2 dx\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)\,dx=\int_0^1 x^{2}\,dx
  3. O primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, deci ∫01x2 dx=x33∣01=133−033\displaystyle \int_0^1 x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}\Big|_0^1=\dfrac{1^{3}}{3}-\dfrac{0^{3}}{3}.
    x33∣01=13−0\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}\Big|_0^1=\dfrac{1}{3}-0
  4. Calculăm diferența: 13−0=13\displaystyle \dfrac{1}{3}-0=\dfrac{1}{3}. Deci integrala cerută este 13\displaystyle \dfrac{1}{3}.
    ∫01(x+1)f(x) dx=13\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)\,dx=\dfrac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x+1}.

Calculați ∫1e(x+1)f(x)ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e (x+1)f(x)\ln x\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}}{x+1} în integrand: (x+1)f(x)ln⁡x=(x+1)⋅x2x+1⋅ln⁡x\displaystyle (x+1)f(x)\ln x=(x+1)\cdot\dfrac{x^{2}}{x+1}\cdot\ln x. Simplificăm factorul x+1\displaystyle x+1, nenul pentru x∈[1,e]\displaystyle x\in[1,e].
    (x+1)f(x)ln⁡x=x2ln⁡x\displaystyle (x+1)f(x)\ln x=x^{2}\ln x
  2. Integrala devine o integrală de forma x2ln⁡x\displaystyle x^{2}\ln x pe intervalul [1,e]\displaystyle [1,e].
    ∫1e(x+1)f(x)ln⁡x dx=∫1ex2ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e (x+1)f(x)\ln x\,dx=\int_1^e x^{2}\ln x\,dx
  3. Alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x, deci u′=1x\displaystyle u'=\dfrac{1}{x}, și v′=x2\displaystyle v'=x^{2}, deci v=x33\displaystyle v=\dfrac{x^{3}}{3}. Formula este ∫1euv′ dx=uv∣1e−∫1eu′v dx\displaystyle \int_1^e uv'\,dx=uv\Big|_1^e-\int_1^e u'v\,dx.
    ∫1ex2ln⁡x dx=(x33ln⁡x)∣1e−∫1e1x⋅x33 dx\displaystyle \int_1^e x^{2}\ln x\,dx=\left(\frac{x^{3}}{3}\ln x\right)\Big|_1^e-\int_1^e \frac{1}{x}\cdot\frac{x^{3}}{3}\,dx
  4. Simplificăm în noua integrală: 1x⋅x33=x23\displaystyle \dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{x^{3}}{3}=\dfrac{x^{2}}{3}.
    (x33ln⁡x)∣1e−∫1ex23 dx\displaystyle \left(\frac{x^{3}}{3}\ln x\right)\Big|_1^e-\int_1^e \frac{x^{2}}{3}\,dx
  5. Pentru primul termen, ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, deci valoarea este e33⋅1−13⋅0\displaystyle \dfrac{e^{3}}{3}\cdot 1-\dfrac{1}{3}\cdot 0.
    (x33ln⁡x)∣1e=e33\displaystyle \left(\frac{x^{3}}{3}\ln x\right)\Big|_1^e=\frac{e^{3}}{3}
  6. Pentru a doua integrală, o primitivă a lui x23\displaystyle \dfrac{x^{2}}{3} este x39\displaystyle \dfrac{x^{3}}{9}, deci integrala este e39−19\displaystyle \dfrac{e^{3}}{9}-\dfrac{1}{9}.
    ∫1ex23 dx=x39∣1e=e3−19\displaystyle \int_1^e \frac{x^{2}}{3}\,dx=\frac{x^{3}}{9}\Big|_1^e=\frac{e^{3}-1}{9}
  7. Scădem: e33−e3−19=3e3−e3+19\displaystyle \dfrac{e^{3}}{3}-\dfrac{e^{3}-1}{9}=\dfrac{3e^{3}-e^{3}+1}{9}, deci rezultatul este 2e3+19\displaystyle \dfrac{2e^{3}+1}{9}.
    e33−e3−19=2e3+19\displaystyle \frac{e^{3}}{3}-\frac{e^{3}-1}{9}=\frac{2e^{3}+1}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x+1}.

Arătați că F(e−1)=e2−4e+72\displaystyle F(e-1)=\frac{e^2-4e+7}{2}, unde F:(−1,+∞)→R\displaystyle F:(-1,+\infty)\to\mathbb{R} este primitiva funcției f\displaystyle f pentru care F(0)=1\displaystyle F(0)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim numărătorul la x+1\displaystyle x+1: x2=(x+1)(x−1)+1\displaystyle x^{2}=(x+1)(x-1)+1, deci f(x)=(x+1)(x−1)+1x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{(x+1)(x-1)+1}{x+1}.
    f(x)=x−1+1x+1\displaystyle f(x)=x-1+\dfrac{1}{x+1}
  2. Integrăm termen cu termen pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty), unde x+1>0\displaystyle x+1>0, deci ∫1x+1dx=ln⁡(x+1)\displaystyle \int\dfrac{1}{x+1}dx=\ln(x+1). Obținem primitivele lui f\displaystyle f.
    F(x)=x22−x+ln⁡(x+1)+c\displaystyle F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}-x+\ln(x+1)+c
  3. Din F(0)=1\displaystyle F(0)=1 avem 022−0+ln⁡1+c=1\displaystyle \dfrac{0^{2}}{2}-0+\ln 1+c=1, adică c=1\displaystyle c=1.
    c=1⇒F(x)=x22−x+ln⁡(x+1)+1\displaystyle c=1\Rightarrow F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}-x+\ln(x+1)+1
  4. Pentru x=e−1\displaystyle x=e-1 avem x+1=e\displaystyle x+1=e, deci ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1. Atunci F(e−1)=(e−1)22−(e−1)+1+1=e2−2e+12−e+3\displaystyle F(e-1)=\dfrac{(e-1)^{2}}{2}-(e-1)+1+1=\dfrac{e^{2}-2e+1}{2}-e+3. Aducem la numitor comun: e2−2e+1−2e+62\displaystyle \dfrac{e^{2}-2e+1-2e+6}{2}.
    F(e−1)=e2−4e+72\displaystyle F(e-1)=\dfrac{e^{2}-4e+7}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.