Bac matematică M2 științe ale naturii 2022, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați termenul b4\displaystyle b_4 al progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\geq 1}, știind că b1=2\displaystyle b_1=\sqrt{2} și b2=4\displaystyle b_2=4.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie geometrică, rația este raportul dintre un termen și termenul precedent, deci q=b2b1\displaystyle q=\dfrac{b_2}{b_1}.
    q=b2b1=42\displaystyle q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{4}{\sqrt{2}}
  2. Raționalizăm fracția, amplificând cu 2\displaystyle \sqrt{2}: 42=422=22\displaystyle \dfrac{4}{\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.
    q=22\displaystyle q=2\sqrt{2}
  3. Folosim formula termenului general bn=b1⋅qn−1\displaystyle b_n=b_1\cdot q^{n-1}. Pentru n=4\displaystyle n=4 obținem b4=b1⋅q3\displaystyle b_4=b_1\cdot q^{3}, adică b4=2⋅(22)3\displaystyle b_4=\sqrt{2}\cdot\left(2\sqrt{2}\right)^{3}.
    b4=2⋅(22)3\displaystyle b_4=\sqrt{2}\cdot\left(2\sqrt{2}\right)^{3}
  4. Calculăm puterea: (22)3=23⋅(2)3=8⋅22=162\displaystyle \left(2\sqrt{2}\right)^{3}=2^{3}\cdot\left(\sqrt{2}\right)^{3}=8\cdot 2\sqrt{2}=16\sqrt{2}.
    (22)3=162\displaystyle \left(2\sqrt{2}\right)^{3}=16\sqrt{2}
  5. Înmulțim cu 2\displaystyle \sqrt{2}: b4=2⋅162=16⋅2=32\displaystyle b_4=\sqrt{2}\cdot 16\sqrt{2}=16\cdot 2=32.
    b4=32\displaystyle b_4=32
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=mx2−2x+1\displaystyle f(x)=mx^2-2x+1, unde m\displaystyle m este număr real nenul. Determinați numărul real nenul m\displaystyle m pentru care axa Ox\displaystyle Ox este tangentă graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Axa Ox\displaystyle Ox este tangentă graficului funcției de gradul al doilea exact atunci când ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are o singură soluție reală (rădăcină dublă), adică discriminantul este zero. Scriem condiția de tangență: Δ=0\displaystyle \Delta=0.
    Δ=0\displaystyle \Delta=0
  2. Identificăm coeficienții: a=m\displaystyle a=m, b=−2\displaystyle b=-2, c=1\displaystyle c=1. Calculăm discriminantul Δ=b2−4ac=(−2)2−4⋅m⋅1\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\cdot m\cdot 1 și îl egalăm cu zero.
    Δ=0⇔4−4m=0\displaystyle \Delta=0\Leftrightarrow 4-4m=0
  3. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: 4m=4\displaystyle 4m=4, deci m=1\displaystyle m=1. Valoarea este nenulă, deci convine.
    m=1\displaystyle m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+2−3x−6⋅3x−1=6\displaystyle 3^{x+2}-3^x-6\cdot 3^{x-1}=6.
Vezi rezolvarea
  1. Exprimăm toți termenii cu ajutorul puterii 3x−1\displaystyle 3^{x-1}. Avem 3x+2=33⋅3x−1\displaystyle 3^{x+2}=3^{3}\cdot 3^{x-1}, iar 3x=3⋅3x−1\displaystyle 3^{x}=3\cdot 3^{x-1}.
    3x+2=33⋅3x−1\displaystyle 3^{x+2}=3^{3}\cdot 3^{x-1},3x=3⋅3x−1\displaystyle \quad 3^{x}=3\cdot 3^{x-1}
  2. Înlocuim în ecuație și dăm factor comun 3x−1\displaystyle 3^{x-1}.
    3x−1(33−3−6)=6\displaystyle 3^{x-1}\left(3^3-3-6\right)=6
  3. Calculăm paranteza: 27−3−6=18\displaystyle 27-3-6=18. Ecuația devine 18⋅3x−1=6\displaystyle 18\cdot 3^{x-1}=6, deci 3x−1=618=13\displaystyle 3^{x-1}=\dfrac{6}{18}=\dfrac{1}{3}.
    3x−1⋅18=6⇔3x−1=13\displaystyle 3^{x-1}\cdot 18=6\Leftrightarrow 3^{x-1}=\frac{1}{3}
  4. Scriem 13=3−1\displaystyle \dfrac{1}{3}=3^{-1} și egalăm exponenții, deoarece funcția exponențială de bază 3 este injectivă. Obținem x−1=−1\displaystyle x-1=-1, deci x=0\displaystyle x=0.
    x−1=−1, deci x=0\displaystyle x-1=-1\text{, deci }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea A\displaystyle A, a numerelor naturale de două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A\displaystyle A, numărul 2n−60\displaystyle 2n-60 să aparțină mulțimii A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99, deci numărul cazurilor posibile este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    90\displaystyle 90
  2. Numărul 2n−60\displaystyle 2n-60 trebuie să aparțină mulțimii A\displaystyle A, adică să fie număr de două cifre: 10≤2n−60≤99\displaystyle 10\leq 2n-60\leq 99.
    10≤2n−60≤99\displaystyle 10\leq 2n-60\leq 99
  3. Adunăm 60\displaystyle 60 în toate părțile inegalității: 70≤2n≤159\displaystyle 70\leq 2n\leq 159. Împărțim la 2\displaystyle 2: 35≤n≤79,5\displaystyle 35\leq n\leq 79{,}5. Cum n\displaystyle n este număr natural, rezultă 35≤n≤79\displaystyle 35\leq n\leq 79.
    35≤n≤79\displaystyle 35\leq n\leq 79
  4. Numărul cazurilor favorabile este numărul valorilor naturale ale lui n\displaystyle n de la 35\displaystyle 35 la 79\displaystyle 79: 79−35+1=45\displaystyle 79-35+1=45.
    79−35+1=45\displaystyle 79-35+1=45
  5. Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile: p=4590=12\displaystyle p=\dfrac{45}{90}=\dfrac{1}{2}.
    p=4590=12\displaystyle p=\frac{45}{90}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,4)\displaystyle A(-1,4), B(5,2)\displaystyle B(5,2) și C\displaystyle C, mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Determinați ecuația dreptei d\displaystyle d care trece prin punctul C\displaystyle C și este perpendiculară pe dreapta AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula mAB=yB−yAxB−xA\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}. Înlocuim: mAB=2−45−(−1)\displaystyle m_{AB}=\dfrac{2-4}{5-(-1)}.
    mAB=−26=−13\displaystyle m_{AB}=\dfrac{-2}{6}=-\dfrac{1}{3}
  2. Dreptele d\displaystyle d și AB\displaystyle AB sunt perpendiculare, deci md⋅mAB=−1\displaystyle m_d\cdot m_{AB}=-1. Rezultă md=−1mAB\displaystyle m_d=-\dfrac{1}{m_{AB}}.
    mAB=−13, md=3\displaystyle m_{AB}=-\dfrac{1}{3}\text{, }m_d=3
  3. Punctul C\displaystyle C este mijlocul lui AB\displaystyle AB, deci xC=−1+52\displaystyle x_C=\dfrac{-1+5}{2} și yC=4+22\displaystyle y_C=\dfrac{4+2}{2}.
    C(2,3)\displaystyle C(2,3)
  4. Dreapta d\displaystyle d trece prin C(2,3)\displaystyle C(2,3) și are panta md=3\displaystyle m_d=3, deci y−yC=md(x−xC)\displaystyle y-y_C=m_d(x-x_C), adică y−3=3(x−2)\displaystyle y-3=3(x-2). Desfacem parantezele: y=3x−6+3\displaystyle y=3x-6+3.
    y−3=3(x−2), adica˘ y=3x−3\displaystyle y-3=3(x-2)\text{, adică }y=3x-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul isoscel ABC\displaystyle ABC, cu măsura unghiului A\displaystyle A egală cu 120∘\displaystyle 120^\circ și AB=6\displaystyle AB=6. Arătați că aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 93\displaystyle 9\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel și ∠A=120∘\displaystyle \angle A=120^\circ. Unghiul de 120∘\displaystyle 120^\circ este obtuz, deci nu poate fi unghi la bază, iar laturile egale sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC. Rezultă AC=AB=6\displaystyle AC=AB=6.
    AC=AB=6\displaystyle AC=AB=6
  2. Folosim formula ariei cu două laturi și unghiul cuprins între ele: AΔABC=AB⋅AC⋅sin⁡A2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}.
    AΔABC=AB⋅AC⋅sin⁡120∘2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot\sin 120^\circ}{2}
  3. Avem sin⁡120∘=sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Înlocuim: AΔABC=6⋅6⋅322=3634=93\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{6\cdot 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}.
    AΔABC=6⋅6⋅322=3634=93\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{6\cdot 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(01−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} și B(x)=xI2+iA\displaystyle B(x)=xI_2+iA, unde x\displaystyle x este număr real și i2=−1\displaystyle i^2=-1.

Arătați că det⁡A=1\displaystyle \det A=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A=(01−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} și formula determinantului de ordinul doi: ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc.
    det⁡A=∣01−10∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}0&1\\-1&0\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula: înmulțim elementele de pe diagonala principală, 0⋅0\displaystyle 0\cdot 0, și scădem produsul elementelor de pe diagonala secundară, 1⋅(−1)\displaystyle 1\cdot(-1).
    det⁡A=0⋅0−1⋅(−1)\displaystyle \det A=0\cdot 0-1\cdot(-1)
  3. Calculăm produsele: 0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 0=0, iar 1⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot(-1)=-1. Scăderea lui −1\displaystyle -1 înseamnă adunarea lui 1\displaystyle 1, deci determinantul este 1\displaystyle 1.
    det⁡A=0+1=1\displaystyle \det A=0+1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(01−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} și B(x)=xI2+iA\displaystyle B(x)=xI_2+iA, unde x\displaystyle x este număr real și i2=−1\displaystyle i^2=-1.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care B(3)⋅B(5)=8B(x)\displaystyle B(3)\cdot B(5)=8B(x).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^2=A\cdot A: A2=(01−10)(01−10)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}. Obținem A2=−I2\displaystyle A^2=-I_2.
    A2=(−100−1)=−I2\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-I_2
  2. Scriem B(3)=3I2+iA\displaystyle B(3)=3I_2+iA și B(5)=5I2+iA\displaystyle B(5)=5I_2+iA. Înmulțim prin distributivitate: B(3)B(5)=15I2+3iA+5iA+i2A2\displaystyle B(3)B(5)=15I_2+3iA+5iA+i^2A^2, deoarece I2\displaystyle I_2 comută cu A\displaystyle A și I2⋅A=A\displaystyle I_2\cdot A=A.
    B(3)B(5)=15I2+8iA+i2A2\displaystyle B(3)B(5)=15I_2+8iA+i^{2}A^{2}
  3. Folosim i2=−1\displaystyle i^2=-1 și A2=−I2\displaystyle A^2=-I_2, deci i2A2=(−1)⋅(−I2)=I2\displaystyle i^2A^2=(-1)\cdot(-I_2)=I_2. Atunci 15I2+I2=16I2\displaystyle 15I_2+I_2=16I_2.
    B(3)B(5)=16I2+8iA\displaystyle B(3)B(5)=16I_2+8iA
  4. Dăm factor comun 8\displaystyle 8: 16I2+8iA=8(2I2+iA)\displaystyle 16I_2+8iA=8(2I_2+iA). Expresia din paranteză este B(2)\displaystyle B(2).
    16I2+8iA=8(2I2+iA)=8B(2)\displaystyle 16I_2+8iA=8(2I_2+iA)=8B(2)
  5. Din B(3)B(5)=8B(2)\displaystyle B(3)B(5)=8B(2) și B(3)B(5)=8B(x)\displaystyle B(3)B(5)=8B(x) rezultă B(x)=B(2)\displaystyle B(x)=B(2), adică xI2+iA=2I2+iA\displaystyle xI_2+iA=2I_2+iA. Deci x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(01−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} și B(x)=xI2+iA\displaystyle B(x)=xI_2+iA, unde x\displaystyle x este număr real și i2=−1\displaystyle i^2=-1. Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere întregi pentru care matricea B(m)+iB(n)\displaystyle B(m)+iB(n) nu\displaystyle \textbf{nu} este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem explicit matricea B(x)\displaystyle B(x): B(x)=xI2+iA=(xi−ix)\displaystyle B(x)=x I_2+iA=\begin{pmatrix}x&i\\-i&x\end{pmatrix}. Deci iB(n)=(ini2−i2in)=(in−11in)\displaystyle iB(n)=\begin{pmatrix}in&i^2\\-i^2&in\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}in&-1\\1&in\end{pmatrix}.
    (in−11in)\displaystyle \begin{pmatrix}in&-1\\1&in\end{pmatrix}
  2. Adunăm B(m)=(mi−im)\displaystyle B(m)=\begin{pmatrix}m&i\\-i&m\end{pmatrix} cu iB(n)\displaystyle iB(n), element cu element.
    (m+ini−1−i+1m+in)\displaystyle \begin{pmatrix}m+in&i-1\\-i+1&m+in\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară. Avem (i−1)(−i+1)=−(i−1)2=−(i2−2i+1)=2i\displaystyle (i-1)(-i+1)=-(i-1)^2=-(i^2-2i+1)=2i, deoarece (i−1)2=−2i\displaystyle (i-1)^2=-2i.
    det⁡(B(m)+iB(n))=(m+in)2−2i\displaystyle \det(B(m)+iB(n))=(m+in)^2-2i
  4. Matricea nu este inversabilă când determinantul este zero. Desfacem pătratul, folosind i2=−1\displaystyle i^2=-1: (m+in)2=m2−n2+2mn i\displaystyle (m+in)^2=m^2-n^2+2mn\,i. Atunci condiția devine o egalitate cu un număr complex egal cu 0\displaystyle 0.
    m2−n2+2(mn−1)i=0\displaystyle m^2-n^2+2(mn-1)i=0
  5. Un număr complex este zero dacă și numai dacă partea reală și partea imaginară sunt ambele zero. Obținem sistemul cu m,n∈Z\displaystyle m,n\in\mathbb{Z}.
    {m2−n2=0mn=1\displaystyle \begin{cases}m^2-n^2=0\\mn=1\end{cases}
  6. Din mn=1\displaystyle mn=1 cu m,n\displaystyle m,n întregi, rezultă m,n∈{−1,1}\displaystyle m,n\in\{-1,1\}, cu același semn. Verificăm: în ambele cazuri m2=n2=1\displaystyle m^2=n^2=1, deci și m2−n2=0\displaystyle m^2-n^2=0 este îndeplinită. Perechile căutate sunt (1,1)\displaystyle (1,1) și (−1,−1)\displaystyle (-1,-1).
    (m,n)∈{(−1,−1),(1,1)}\displaystyle (m,n)\in\{(-1,-1),(1,1)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=[1,+∞)\displaystyle M=[1,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy−(x−1)(y−1)\displaystyle x*y=xy-\sqrt{(x-1)(y-1)}.

Arătați că 2∗5=8\displaystyle 2*5=8.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii x∗y=xy−(x−1)(y−1)\displaystyle x*y=xy-\sqrt{(x-1)(y-1)} pentru x=2\displaystyle x=2 și y=5\displaystyle y=5. Ambele numere aparțin mulțimii M=[1,+∞)\displaystyle M=[1,+\infty).
    2∗5=2⋅5−(2−1)(5−1)\displaystyle 2*5=2\cdot 5-\sqrt{(2-1)(5-1)}
  2. Calculăm 2⋅5=10\displaystyle 2\cdot 5=10, 2−1=1\displaystyle 2-1=1 și 5−1=4\displaystyle 5-1=4, deci sub radical avem 1⋅4\displaystyle 1\cdot 4.
    2∗5=10−1⋅4=10−4\displaystyle 2*5=10-\sqrt{1\cdot 4}=10-\sqrt{4}
  3. Deoarece 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, obținem 10−2=8\displaystyle 10-2=8, deci 2∗5=8\displaystyle 2*5=8, ceea ce trebuia arătat.
    2∗5=10−2=8\displaystyle 2*5=10-2=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=[1,+∞)\displaystyle M=[1,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy−(x−1)(y−1)\displaystyle x*y=xy-\sqrt{(x-1)(y-1)}.

Arătați că e=1\displaystyle e=1 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul e=1\displaystyle e=1 aparține mulțimii M=[1,+∞)\displaystyle M=[1,+\infty). Trebuie arătat că x∗1=1∗x=x\displaystyle x*1=1*x=x pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
    1∈[1,+∞)\displaystyle 1\in[1,+\infty),x∗1=1∗x=x\displaystyle \quad x*1=1*x=x, ∀x∈M\displaystyle \ \forall x\in M
  2. Înlocuim y=1\displaystyle y=1 în definiție: x∗1=x⋅1−(x−1)(1−1)\displaystyle x*1=x\cdot 1-\sqrt{(x-1)(1-1)}. Cum 1−1=0\displaystyle 1-1=0, radicalul este 0=0\displaystyle \sqrt{0}=0.
    x∗1=x⋅1−(x−1)⋅0=x−0=x\displaystyle x*1=x\cdot 1-\sqrt{(x-1)\cdot 0}=x-0=x
  3. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în definiție: 1∗x=1⋅x−(1−1)(x−1)\displaystyle 1*x=1\cdot x-\sqrt{(1-1)(x-1)}. Cum 1−1=0\displaystyle 1-1=0, radicalul este 0\displaystyle 0. Deoarece x∗1=1∗x=x\displaystyle x*1=1*x=x pentru orice x∈M\displaystyle x\in M, e=1\displaystyle e=1 este elementul neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    1∗x=1⋅x−0⋅(x−1)=x, deci e=1 este elementul neutru\displaystyle 1*x=1\cdot x-\sqrt{0\cdot(x-1)}=x\text{, deci }e=1\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=[1,+∞)\displaystyle M=[1,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy−(x−1)(y−1)\displaystyle x*y=xy-\sqrt{(x-1)(y-1)}.

Demonstrați că (nx)∗y≥x(n∗y)\displaystyle (nx)*y\geq x(n*y), pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M și orice număr natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\geq 2.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că nx∈M\displaystyle nx\in M, deoarece x≥1\displaystyle x\geq 1 și n≥2\displaystyle n\geq 2 dau nx≥2≥1\displaystyle nx\geq 2\geq 1. Aplicăm definiția legii pentru primul membru: (nx)∗y=nxy−(nx−1)(y−1)\displaystyle (nx)*y=nxy-\sqrt{(nx-1)(y-1)}.
    (nx)∗y=nxy−(nx−1)(y−1)\displaystyle (nx)*y=nxy-\sqrt{(nx-1)(y-1)}
  2. Calculăm al doilea membru: n∗y=ny−(n−1)(y−1)\displaystyle n*y=ny-\sqrt{(n-1)(y-1)}, deci după înmulțirea cu x\displaystyle x obținem x(n∗y)=nxy−x(n−1)(y−1)\displaystyle x(n*y)=nxy-x\sqrt{(n-1)(y-1)}.
    x(n∗y)=nxy−x(n−1)(y−1)\displaystyle x(n*y)=nxy-x\sqrt{(n-1)(y-1)}
  3. Scădem cele două expresii. Termenii nxy\displaystyle nxy se reduc, iar y−1\displaystyle \sqrt{y-1} se dă factor comun.
    (nx)∗y−x(n∗y)=x(n−1)(y−1)−(nx−1)(y−1)=y−1(xn−1−nx−1)\displaystyle (nx)*y-x(n*y)=x\sqrt{(n-1)(y-1)}-\sqrt{(nx-1)(y-1)}=\sqrt{y-1}\left(x\sqrt{n-1}-\sqrt{nx-1}\right)
  4. Amplificăm paranteza cu conjugata xn−1+nx−1\displaystyle x\sqrt{n-1}+\sqrt{nx-1}. La numărător apare diferența de pătrate: x2(n−1)−(nx−1)\displaystyle x^{2}(n-1)-(nx-1).
    xn−1−nx−1=x2(n−1)−(nx−1)xn−1+nx−1\displaystyle x\sqrt{n-1}-\sqrt{nx-1}=\frac{x^{2}(n-1)-(nx-1)}{x\sqrt{n-1}+\sqrt{nx-1}}
  5. Descompunem numărătorul: nx2−x2−nx+1=nx(x−1)−(x−1)(x+1)=(x−1)(nx−x−1)\displaystyle nx^{2}-x^{2}-nx+1=nx(x-1)-(x-1)(x+1)=(x-1)(nx-x-1).
    x2(n−1)−(nx−1)=(x−1)(nx−x−1)\displaystyle x^{2}(n-1)-(nx-1)=(x-1)(nx-x-1)
  6. Înlocuind în diferență, obținem forma factorizată, valabilă pentru x,y∈M\displaystyle x,y\in M și n≥2\displaystyle n\geq 2.
    (nx)∗y−x(n∗y)=y−1⋅(x−1)(nx−x−1)xn−1+nx−1\displaystyle (nx)*y-x(n*y)=\sqrt{y-1}\cdot\frac{(x-1)(nx-x-1)}{x\sqrt{n-1}+\sqrt{nx-1}}
  7. Studiem semnul factorilor. Avem y−1≥0\displaystyle \sqrt{y-1}\geq 0 și x−1≥0\displaystyle x-1\geq 0, pentru că x,y≥1\displaystyle x,y\geq 1. Numitorul este strict pozitiv, deoarece x≥1\displaystyle x\geq 1 și n−1≥1\displaystyle n-1\geq 1, deci xn−1≥1\displaystyle x\sqrt{n-1}\geq 1.
    y−1≥0\displaystyle \sqrt{y-1}\geq 0,x−1≥0\displaystyle \quad x-1\geq 0,xn−1+nx−1>0\displaystyle \quad x\sqrt{n-1}+\sqrt{nx-1}>0
  8. Rămâne factorul nx−x−1=x(n−1)−1\displaystyle nx-x-1=x(n-1)-1. Cum x≥1\displaystyle x\geq 1 și n−1≥1\displaystyle n-1\geq 1, avem x(n−1)≥1\displaystyle x(n-1)\geq 1, deci nx−x−1≥0\displaystyle nx-x-1\geq 0. Numărătorul este ≥ 0 și numitorul este pozitiv, deci diferența este ≥ 0, adică (nx)∗y≥x(n∗y)\displaystyle (nx)*y\geq x(n*y).
    nx−x−1=x(n−1)−1≥0, deci (nx)∗y≥x(n∗y)\displaystyle nx-x-1=x(n-1)-1\geq 0\text{, deci }(nx)*y\geq x(n*y)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4xx2+3\displaystyle f(x)=\frac{4\sqrt{x}}{x^2+3}.

Arătați că f′(x)=6(1−x2)x(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\frac{6\left(1-x^2\right)}{\sqrt{x}\left(x^2+3\right)^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula de derivare a unui raport: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}. Aici u=4x\displaystyle u=4\sqrt{x} și v=x2+3\displaystyle v=x^{2}+3.
    f′(x)=u′⋅v−u⋅v′v2\displaystyle f'(x)=\dfrac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}
  2. Calculăm derivatele. Deoarece (x)′=12x\displaystyle (\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, avem u′=2x\displaystyle u'=\dfrac{2}{\sqrt{x}}. Apoi v′=2x\displaystyle v'=2x.
    u′=2x\displaystyle u'=\dfrac{2}{\sqrt{x}},v′=2x\displaystyle \quad v'=2x
  3. Înlocuim în formulă și obținem expresia derivatei.
    f′(x)=2x⋅(x2+3)−4x⋅2x(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{x}}\cdot\left(x^{2}+3\right)-4\sqrt{x}\cdot 2x}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}
  4. Aducem numărătorul la numitorul x\displaystyle \sqrt{x}. Deoarece 4x⋅2x=8xx⋅xx=8x2x\displaystyle 4\sqrt{x}\cdot 2x=\dfrac{8x\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\dfrac{8x^{2}}{\sqrt{x}}, numărătorul devine o singură fracție.
    f′(x)=2(x2+3)−8x2x(x2+3)2=2x2+6−8x2x(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\dfrac{2\left(x^{2}+3\right)-8x^{2}}{\sqrt{x}}}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}=\dfrac{2x^{2}+6-8x^{2}}{\sqrt{x}\left(x^{2}+3\right)^{2}}
  5. Reducem termenii asemenea: 2x2−8x2=−6x2\displaystyle 2x^{2}-8x^{2}=-6x^{2}, deci numărătorul este 6−6x2=6(1−x2)\displaystyle 6-6x^{2}=6\left(1-x^{2}\right). Am obținut expresia cerută pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=6(1−x2)x(x2+3)2, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=\dfrac{6\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt{x}\left(x^{2}+3\right)^{2}}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4xx2+3\displaystyle f(x)=\frac{4\sqrt{x}}{x^2+3}.

Determinați a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty), știind că tangenta la graficul funcției f\displaystyle f în punctul A(a,f(a))\displaystyle A(a,f(a)) este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Tangenta la grafic în punctul de abscisă a\displaystyle a are panta f′(a)\displaystyle f'(a). O dreaptă paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox are panta 0\displaystyle 0, deci condiția cerută este f′(a)=0\displaystyle f'(a)=0.
    f′(a)=0\displaystyle f'(a)=0
  2. Calculăm derivata funcției cu formula derivatei unui cât, folosind că (x)′=12x\displaystyle (\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} și (x2+3)′=2x\displaystyle (x^{2}+3)'=2x.
    f′(x)=4⋅12x⋅(x2+3)−4x⋅2x(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{4\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot(x^{2}+3)-4\sqrt{x}\cdot 2x}{(x^{2}+3)^{2}}
  3. Aducem numărătorul la același numitor, x\displaystyle \sqrt{x}. Avem 8xx=8x2x\displaystyle 8x\sqrt{x}=\dfrac{8x^{2}}{\sqrt{x}}, deci numărătorul este 2(x2+3)−8x2x=6−6x2x\displaystyle \dfrac{2(x^{2}+3)-8x^{2}}{\sqrt{x}}=\dfrac{6-6x^{2}}{\sqrt{x}}.
    f′(x)=6(1−x2)x (x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{6(1-x^{2})}{\sqrt{x}\,(x^{2}+3)^{2}}
  4. Punem condiția f′(a)=0\displaystyle f'(a)=0. Numitorul a (a2+3)2\displaystyle \sqrt{a}\,(a^{2}+3)^{2} este strict pozitiv pentru a>0\displaystyle a>0, deci fracția este nulă doar când numărătorul este nul.
    f′(a)=0, deci 1−a2=0\displaystyle f'(a)=0\text{, deci }1-a^{2}=0
  5. Din a2=1\displaystyle a^{2}=1 rezultă a=1\displaystyle a=1 sau a=−1\displaystyle a=-1. Cum a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty), convine doar a=1\displaystyle a=1.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4xx2+3\displaystyle f(x)=\frac{4\sqrt{x}}{x^2+3}.

Demonstrați că xx2+3>x+1xx2+1x2+5\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x^2+3}>\frac{\sqrt{x+\frac{1}{x}}}{x^2+\frac{1}{x^2}+5}, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f\displaystyle f folosind formula pentru derivata unui raport. Derivata lui 4x\displaystyle 4\sqrt{x} este 2x\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{x}}. Aducem la același numitor: la numărător obținem 2(x2+3)−8x2x=6(1−x2)x\displaystyle \dfrac{2(x^{2}+3)-8x^{2}}{\sqrt{x}}=\dfrac{6(1-x^{2})}{\sqrt{x}}.
    f′(x)=2x(x2+3)−4x⋅2x(x2+3)2=6(1−x2)x (x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\frac{2}{\sqrt{x}}(x^{2}+3)-4\sqrt{x}\cdot 2x}{(x^{2}+3)^{2}}=\dfrac{6(1-x^{2})}{\sqrt{x}\,(x^{2}+3)^{2}}
  2. Studiem semnul derivatei pe intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty). Pentru x>1\displaystyle x>1 avem x2>1\displaystyle x^{2}>1, deci 1−x2<0\displaystyle 1-x^{2}<0, iar numitorul x (x2+3)2\displaystyle \sqrt{x}\,(x^{2}+3)^{2} este pozitiv. Rezultă că f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, deci f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
    f′(x)<0, pentru orice x∈(1,+∞)⇒f este strict \displaystyle f'(x)<0\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)\Rightarrow f\text{ este strict }descresca˘toare pe (1,+∞)\displaystyle \text{descrescătoare pe }(1,+\infty)
  3. Comparăm punctele x\displaystyle x și x+1x\displaystyle x+\dfrac{1}{x}. Pentru x>1\displaystyle x>1 avem 1x>0\displaystyle \dfrac{1}{x}>0, deci x+1x>x\displaystyle x+\dfrac{1}{x}>x, iar x>1\displaystyle x>1. Ambele puncte se află în intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), unde f\displaystyle f este descrescătoare.
    1<x<x+1x\displaystyle 1<x<x+\dfrac{1}{x}
  4. Scriem valoarea lui f\displaystyle f în x+1x\displaystyle x+\dfrac{1}{x}. Calculăm numitorul: (x+1x)2+3=x2+2+1x2+3=x2+1x2+5\displaystyle \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}+3=x^{2}+2+\dfrac{1}{x^{2}}+3=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+5.
    f(x+1x)=4x+1xx2+1x2+5\displaystyle f\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{4\sqrt{x+\frac{1}{x}}}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+5}
  5. Din descreșterea lui f\displaystyle f și din x<x+1x\displaystyle x<x+\dfrac{1}{x} rezultă f(x)>f(x+1x)\displaystyle f(x)>f\left(x+\dfrac{1}{x}\right). Înlocuind expresiile lui f(x)\displaystyle f(x) și f(x+1x)\displaystyle f\left(x+\dfrac{1}{x}\right) și împărțind inegalitatea cu 4\displaystyle 4, obținem inegalitatea cerută, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
    f(x)>f(x+1x)⇒xx2+3>x+1xx2+1x2+5\displaystyle f(x)>f\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\Rightarrow \dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}+3}>\dfrac{\sqrt{x+\frac{1}{x}}}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+2xex\displaystyle f(x)=\frac{e^x+2x}{e^x}.

Arătați că ∫01exf(x) dx=e\displaystyle \int_0^1 e^x f(x)\,dx=e.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim f(x)=ex+2xex\displaystyle f(x)=\dfrac{e^x+2x}{e^x} cu ex\displaystyle e^x. Numitorul ex\displaystyle e^x se simplifică și rămâne doar numărătorul: exf(x)=ex+2x\displaystyle e^x f(x)=e^x+2x.
    exf(x)=ex+2x\displaystyle e^x f(x)=e^x+2x
  2. Integrala devine ∫01exf(x) dx=∫01(ex+2x)dx\displaystyle \int_0^1 e^x f(x)\,dx=\int_0^1\left(e^x+2x\right)dx.
    ∫01exf(x) dx=∫01(ex+2x)dx\displaystyle \int_0^1 e^x f(x)\,dx=\int_0^1\left(e^x+2x\right)dx
  3. Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, iar o primitivă a lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^2. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫01(ex+2x)dx=(ex+x2)∣01\displaystyle \int_0^1\left(e^x+2x\right)dx=\left(e^x+x^2\right)\Big|_0^1.
    ∫01(ex+2x)dx=(ex+x2)∣01\displaystyle \int_0^1\left(e^x+2x\right)dx=\left(e^x+x^2\right)\Big|_0^1
  4. Calculăm valoarea primitivei în 1\displaystyle 1 și în 0\displaystyle 0 și facem diferența: (e1+12)−(e0+02)=e+1−1=e\displaystyle \left(e^1+1^2\right)-\left(e^0+0^2\right)=e+1-1=e. Deci ∫01exf(x) dx=e\displaystyle \int_0^1 e^x f(x)\,dx=e.
    e+1−1=e\displaystyle e+1-1=e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+2xex\displaystyle f(x)=\frac{e^x+2x}{e^x}.

Arătați că ∫−10f(x) dx=−1\displaystyle \int_{-1}^0 f(x)\,dx=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim fiecare termen de la numărător la ex\displaystyle e^{x} și folosim 1ex=e−x\displaystyle \dfrac{1}{e^{x}}=e^{-x}. Obținem f(x)=1+2xe−x\displaystyle f(x)=1+2xe^{-x}.
    f(x)=1+2xe−x\displaystyle f(x)=1+2xe^{-x}
  2. Integrala se desparte în două: ∫−10f(x) dx=∫−101 dx+2∫−10xe−x dx\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\,dx=\int_{-1}^{0}1\,dx+2\int_{-1}^{0}xe^{-x}\,dx.
    ∫−10f(x) dx=∫−101 dx+2∫−10xe−x dx\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\,dx=\int_{-1}^{0}1\,dx+2\int_{-1}^{0}xe^{-x}\,dx
  3. Pentru xe−x\displaystyle xe^{-x} integrăm prin părți: alegem u=x\displaystyle u=x și dv=e−xdx\displaystyle dv=e^{-x}dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=−e−x\displaystyle v=-e^{-x}. Rezultă ∫xe−x dx=−xe−x+∫e−x dx=−xe−x−e−x=−(x+1)e−x\displaystyle \int xe^{-x}\,dx=-xe^{-x}+\int e^{-x}\,dx=-xe^{-x}-e^{-x}=-(x+1)e^{-x}.
    ∫xe−x dx=−(x+1)e−x+C\displaystyle \int xe^{-x}\,dx=-(x+1)e^{-x}+C
  4. Adunăm primitivele: o primitivă a lui f\displaystyle f este F(x)=x−2(x+1)e−x\displaystyle F(x)=x-2(x+1)e^{-x}. Atunci ∫−10f(x) dx=(x−2(x+1)e−x)∣−10\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\,dx=\left(x-2(x+1)e^{-x}\right)\Big|_{-1}^{0}.
    ∫−10f(x) dx=(x−2(x+1)e−x)∣−10\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\,dx=\left(x-2(x+1)e^{-x}\right)\Big|_{-1}^{0}
  5. Calculăm valorile primitivei în capete. Pentru x=0\displaystyle x=0: F(0)=0−2⋅1⋅e0=−2\displaystyle F(0)=0-2\cdot 1\cdot e^{0}=-2. Pentru x=−1\displaystyle x=-1: x+1=0\displaystyle x+1=0, deci F(−1)=−1−0=−1\displaystyle F(-1)=-1-0=-1.
    F(0)=−2\displaystyle F(0)=-2,F(−1)=−1\displaystyle \quad F(-1)=-1
  6. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫−10f(x) dx=F(0)−F(−1)=−2−(−1)=−1\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\,dx=F(0)-F(-1)=-2-(-1)=-1. Deci integrala este −1\displaystyle -1, cum trebuia arătat.
    −2−(−1)=−1\displaystyle -2-(-1)=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+2xex\displaystyle f(x)=\frac{e^x+2x}{e^x}.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫01F(x)f′′(x) dx=a(e+1)e2\displaystyle \int_0^1 F(x)f''(x)\,dx=\frac{a(e+1)}{e^2}, unde F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} este primitiva funcției f\displaystyle f cu proprietatea F(0)=0\displaystyle F(0)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm funcția: f(x)=1+2xe−x\displaystyle f(x)=1+2xe^{-x}. Derivăm: f′(x)=2e−x−2xe−x=2(1−x)e−x\displaystyle f'(x)=2e^{-x}-2xe^{-x}=2(1-x)e^{-x}. Deci f′(0)=2\displaystyle f'(0)=2 și f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0.
    f′(x)=2(1−x)e−x\displaystyle f'(x)=2(1-x)e^{-x},f′(0)=2\displaystyle \quad f'(0)=2,f′(1)=0\displaystyle \quad f'(1)=0
  2. Aplicăm integrarea prin părți cu u=F(x)\displaystyle u=F(x) și dv=f′′(x) dx\displaystyle dv=f''(x)\,dx, deci du=f(x) dx\displaystyle du=f(x)\,dx și v=f′(x)\displaystyle v=f'(x). Apoi integrăm f(x)f′(x)\displaystyle f(x)f'(x), care are primitiva f2(x)2\displaystyle \dfrac{f^{2}(x)}{2}.
    ∫01F(x)f′′(x) dx=F(x)f′(x)∣01−f2(x)2∣01=F(1)f′(1)−F(0)f′(0)−f2(1)−f2(0)2\displaystyle \int_0^1 F(x)f''(x)\,dx=F(x)f'(x)\Big|_0^1-\frac{f^2(x)}{2}\Big|_0^1=F(1)f'(1)-F(0)f'(0)-\frac{f^2(1)-f^2(0)}{2}
  3. Termenul de frontieră se anulează: f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0 și F(0)=0\displaystyle F(0)=0, deci F(1)f′(1)=0\displaystyle F(1)f'(1)=0 și F(0)f′(0)=0\displaystyle F(0)f'(0)=0.
    F(1)f′(1)−F(0)f′(0)=0−0=0\displaystyle F(1)f'(1)-F(0)f'(0)=0-0=0
  4. Calculăm valorile funcției f\displaystyle f în capete: f(0)=1\displaystyle f(0)=1 și f(1)=1+2e=e+2e\displaystyle f(1)=1+\dfrac{2}{e}=\dfrac{e+2}{e}.
    f(0)=1\displaystyle f(0)=1,f(1)=e+2e\displaystyle \quad f(1)=\frac{e+2}{e}
  5. Calculăm diferența pătratelor: f2(1)−f2(0)=(e+2)2e2−1=4e+4e2\displaystyle f^2(1)-f^2(0)=\dfrac{(e+2)^2}{e^2}-1=\dfrac{4e+4}{e^2}. Împărțim la 2 și obținem 2(e+1)e2\displaystyle \dfrac{2(e+1)}{e^2}. Integrala este minus acest număr.
    ∫01F(x)f′′(x) dx=0−12⋅4(e+1)e2=−2(e+1)e2\displaystyle \int_0^1 F(x)f''(x)\,dx=0-\frac{1}{2}\cdot\frac{4(e+1)}{e^2}=\frac{-2(e+1)}{e^2}
  6. Comparăm cu a(e+1)e2\displaystyle \dfrac{a(e+1)}{e^2} și obținem a=−2\displaystyle a=-2.
    −2(e+1)e2=a(e+1)e2⇒a=−2\displaystyle \frac{-2(e+1)}{e^2}=\frac{a(e+1)}{e^2}\Rightarrow a=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.