Bac matematică M2 științe ale naturii 2015, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numărul real care are partea întreagă −2\displaystyle -2 și partea fracționară 0,75\displaystyle 0,75.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru orice număr real x\displaystyle x avem x=[x]+{x}\displaystyle x=[x]+\{x\}, unde [x]\displaystyle [x] este partea întreagă și {x}\displaystyle \{x\} este partea fracționară, cu {x}∈[0,1)\displaystyle \{x\}\in[0,1). Aici [x]=−2\displaystyle [x]=-2 și {x}=0,75\displaystyle \{x\}=0{,}75, iar 0,75∈[0,1)\displaystyle 0{,}75\in[0,1).
    x=[x]+{x}\displaystyle x=[x]+\{x\}
  2. Înlocuim [x]=−2\displaystyle [x]=-2 și {x}=0,75\displaystyle \{x\}=0{,}75 în formulă și obținem suma.
    x=−2+0,75\displaystyle x=-2+0{,}75
  3. Calculăm suma: −2+0,75=−(2−0,75)=−1,25\displaystyle -2+0{,}75=-(2-0{,}75)=-1{,}25. Verificare: [−1,25]=−2\displaystyle [-1{,}25]=-2, iar −1,25−(−2)=0,75\displaystyle -1{,}25-(-2)=0{,}75, deci este corect.
    x=−1,25\displaystyle x=-1{,}25
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−43x+4\displaystyle f(x)=-\frac{4}{3}x+4 cu axa Ox\displaystyle Ox și, respectiv, cu axa Oy\displaystyle Oy.
Vezi rezolvarea
  1. Intersecția cu axa Ox\displaystyle Ox: punem condiția ca ordonata să fie zero, adică f(x)=0\displaystyle f(x)=0.
    −43x+4=0\displaystyle -\dfrac{4}{3}x+4=0
  2. Rezolvăm ecuația: 43x=4\displaystyle \dfrac{4}{3}x=4, deci x=4⋅34=3\displaystyle x=4\cdot\dfrac{3}{4}=3. Punctul de intersecție cu Ox\displaystyle Ox este A(3,0)\displaystyle A(3,0).
    A(3,0)\displaystyle A(3,0)
  3. Intersecția cu axa Oy\displaystyle Oy: punem x=0\displaystyle x=0 și obținem f(0)=−43⋅0+4=4\displaystyle f(0)=-\dfrac{4}{3}\cdot 0+4=4. Punctul de intersecție cu Oy\displaystyle Oy este B(0,4)\displaystyle B(0,4).
    A(3,0) și B(0,4)\displaystyle A(3,0)\text{ și }B(0,4)
  4. Aplicăm formula distanței dintre două puncte: AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2=(0−3)2+(4−0)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}=\sqrt{(0-3)^{2}+(4-0)^{2}}.
    AB=9+16\displaystyle AB=\sqrt{9+16}
  5. Calculăm: 9+16=25=5\displaystyle \sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. Distanța dintre cele două puncte este 5.
    AB=5\displaystyle AB=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (13)2x+10=81\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{2x+10}=81.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem baza ca putere a lui 3: 13=3−1\displaystyle \dfrac{1}{3}=3^{-1}.
    13=3−1\displaystyle \dfrac{1}{3}=3^{-1}
  2. Scriem și membrul drept ca putere a lui 3: 81=34\displaystyle 81=3^{4}.
    81=34\displaystyle 81=3^{4}
  3. Ecuația devine (3−1)2x+10=34\displaystyle \left(3^{-1}\right)^{2x+10}=3^{4}, adică 3−2x−10=34\displaystyle 3^{-2x-10}=3^{4}. Bazele sunt egale, deci egalăm exponenții: −2x−10=4\displaystyle -2x-10=4.
    (3−1)2x+10=34⇔−2x−10=4\displaystyle \left(3^{-1}\right)^{2x+10}=3^{4}\Leftrightarrow -2x-10=4
  4. Adunăm 10 la ambii membri: −2x=14\displaystyle -2x=14. Împărțim la −2\displaystyle -2: x=−7\displaystyle x=-7.
    −2x=14⇒x=−7\displaystyle -2x=14\Rightarrow x=-7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=64\displaystyle C_n^0+C_n^1+C_n^2+\ldots+C_n^n=64.
Vezi rezolvarea
  1. Recunoaștem suma coeficienților binomiali. Din formula binomului lui Newton, (1+1)n=Cn0+Cn1+…+Cnn\displaystyle (1+1)^{n}=C_n^0+C_n^1+\ldots+C_n^n, deci suma este 2n\displaystyle 2^{n}.
    Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n\displaystyle C_n^0+C_n^1+C_n^2+\ldots+C_n^n=2^{n}
  2. Înlocuim suma în ecuația din enunț și obținem ecuația 2n=64\displaystyle 2^{n}=64.
    2n=64\displaystyle 2^{n}=64
  3. Scriem 64=26\displaystyle 64=2^{6}, deci 2n=26\displaystyle 2^{n}=2^{6}. Funcția exponențială de bază 2\displaystyle 2 este injectivă, deci n=6\displaystyle n=6, care este număr natural.
    2n=64⇔n=6\displaystyle 2^{n}=64\Leftrightarrow n=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(−1,1)\displaystyle M(-1,1), N(3,1)\displaystyle N(3,1) și P(3,5)\displaystyle P(3,5). Arătați că triunghiul MNP\displaystyle MNP este isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că triunghiul este isoscel, calculăm lungimile laturilor cu formula distanței dintre două puncte: AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}.
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}
  2. Calculăm lungimea laturii MN\displaystyle MN, folosind M(−1,1)\displaystyle M(-1,1) și N(3,1)\displaystyle N(3,1). Cele două puncte au aceeași ordonată, deci MN=(3+1)2+(1−1)2=16=4\displaystyle MN=\sqrt{(3+1)^{2}+(1-1)^{2}}=\sqrt{16}=4.
    MN=(3−(−1))2+(1−1)2=16=4\displaystyle MN=\sqrt{(3-(-1))^{2}+(1-1)^{2}}=\sqrt{16}=4
  3. Calculăm lungimea laturii NP\displaystyle NP, folosind N(3,1)\displaystyle N(3,1) și P(3,5)\displaystyle P(3,5). Cele două puncte au aceeași abscisă, deci NP=(3−3)2+(5−1)2=16=4\displaystyle NP=\sqrt{(3-3)^{2}+(5-1)^{2}}=\sqrt{16}=4.
    NP=(3−3)2+(5−1)2=16=4\displaystyle NP=\sqrt{(3-3)^{2}+(5-1)^{2}}=\sqrt{16}=4
  4. Deoarece MN=NP=4\displaystyle MN=NP=4, triunghiul MNP\displaystyle MNP are două laturi egale, deci este isoscel, cu vârful în N\displaystyle N.
    MN=NP=4⇒ΔMNP este isoscel\displaystyle MN=NP=4\Rightarrow \Delta MNP\text{ este isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați raza cercului înscris în triunghiul ABC\displaystyle ABC, știind că AB=6\displaystyle AB=6, AC=8\displaystyle AC=8 și BC=10\displaystyle BC=10.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm că triunghiul este dreptunghic: AB2+AC2=36+64=100=BC2\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=36+64=100=BC^{2}, deci ∠A=90∘\displaystyle \angle A=90^\circ.
    AB2+AC2=100=BC2⇒∠A=90∘\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=100=BC^{2}\Rightarrow \angle A=90^\circ
  2. Calculăm aria ca jumătate din produsul catetelor: AΔABC=AB⋅AC2=6⋅82\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{6\cdot 8}{2}.
    AΔABC=24\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=24
  3. Calculăm semiperimetrul: p=AB+AC+BC2=6+8+102\displaystyle p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=\dfrac{6+8+10}{2}.
    p=12\displaystyle p=12
  4. Folosim formula A=p⋅r\displaystyle \mathcal{A}=p\cdot r, deci 24=12⋅r\displaystyle 24=12\cdot r, de unde r=2412\displaystyle r=\dfrac{24}{12}.
    p=12, deci r=2\displaystyle p=12\text{, deci }r=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x,a)=(xaa−axa−a−ax)\displaystyle A(x,a)=\begin{pmatrix} x & a & a \\ -a & x & a \\ -a & -a & x \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și a\displaystyle a sunt numere reale.

Calculați det⁡(A(2,0))\displaystyle \det(A(2,0)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 și a=0\displaystyle a=0 în matricea A(x,a)\displaystyle A(x,a). Toate elementele care conțin pe a\displaystyle a devin 0\displaystyle 0, iar elementele de pe diagonală sunt egale cu 2\displaystyle 2.
    A(2,0)=(200020002)\displaystyle A(2,0)=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei obținute, care este un determinant de ordin 3\displaystyle 3 cu 2\displaystyle 2 pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest.
    det⁡(A(2,0))=∣200020002∣\displaystyle \det(A(2,0))=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}
  3. Matricea este diagonală, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonală: 2⋅2⋅2\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2. Obținem 8\displaystyle 8.
    det⁡(A(2,0))=2⋅2⋅2=8\displaystyle \det(A(2,0))=2\cdot 2\cdot 2=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x,a)=(xaa−axa−a−ax)\displaystyle A(x,a)=\begin{pmatrix} x & a & a \\ -a & x & a \\ -a & -a & x \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și a\displaystyle a sunt numere reale.

Arătați că A(x,a)+A(x,−a)=2xA(1,0)\displaystyle A(x,a)+A(x,-a)=2xA(1,0), pentru orice numere reale x\displaystyle x și a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(x,a)\displaystyle A(x,a) din enunțul comun, apoi obținem A(x,−a)\displaystyle A(x,-a) înlocuind pe a\displaystyle a cu −a\displaystyle -a în fiecare element.
    A(x,−a)=(x−a−aax−aaax)\displaystyle A(x,-a)=\begin{pmatrix} x & -a & -a \\ a & x & -a \\ a & a & x \end{pmatrix}
  2. Adunăm cele două matrice element cu element: pe diagonală obținem x+x=2x\displaystyle x+x=2x, iar în rest a+(−a)=0\displaystyle a+(-a)=0 și (−a)+a=0\displaystyle (-a)+a=0.
    A(x,a)+A(x,−a)=(x+xa−aa−a−a+ax+xa−a−a+a−a+ax+x)\displaystyle A(x,a)+A(x,-a)=\begin{pmatrix} x+x & a-a & a-a \\ -a+a & x+x & a-a \\ -a+a & -a+a & x+x \end{pmatrix}
  3. Efectuăm calculele: toate elementele de pe diagonala principală devin 2x\displaystyle 2x, iar celelalte devin 0\displaystyle 0.
    A(x,a)+A(x,−a)=(2x0002x0002x)\displaystyle A(x,a)+A(x,-a)=\begin{pmatrix} 2x & 0 & 0 \\ 0 & 2x & 0 \\ 0 & 0 & 2x \end{pmatrix}
  4. Observăm că A(1,0)\displaystyle A(1,0) se obține pentru x=1\displaystyle x=1 și a=0\displaystyle a=0, deci este matricea unitate de ordin 3\displaystyle 3.
    A(1,0)=(100010001)\displaystyle A(1,0)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
  5. Dăm factor comun pe 2x\displaystyle 2x din matricea obținută și o recunoaștem pe A(1,0)\displaystyle A(1,0). Astfel egalitatea cerută este demonstrată pentru orice x\displaystyle x și a\displaystyle a reale.
    A(x,a)+A(x,−a)=2x⋅(100010001)=2xA(1,0)\displaystyle A(x,a)+A(x,-a)=2x\cdot\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=2xA(1,0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x,a)=(xaa−axa−a−ax)\displaystyle A(x,a)=\begin{pmatrix} x & a & a \\ -a & x & a \\ -a & -a & x \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și a\displaystyle a sunt numere reale.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația det⁡(A(x,−3))=0\displaystyle \det(A(x,-3))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−3\displaystyle a=-3 în matrice și obținem determinantul de calculat.
    det⁡(A(x,−3))=∣x−3−33x−333x∣\displaystyle \det(A(x,-3))=\begin{vmatrix} x & -3 & -3 \\ 3 & x & -3 \\ 3 & 3 & x \end{vmatrix}
  2. Folosim regula lui Sarrus. Mai întâi adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: x⋅x⋅x\displaystyle x\cdot x\cdot x, (−3)⋅(−3)⋅3\displaystyle (-3)\cdot(-3)\cdot 3 și (−3)⋅3⋅3\displaystyle (-3)\cdot 3\cdot 3.
    x3+27−27=x3\displaystyle x^{3}+27-27=x^{3}
  3. Calculăm produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: (−3)⋅x⋅3\displaystyle (-3)\cdot x\cdot 3, x⋅(−3)⋅3\displaystyle x\cdot(-3)\cdot 3 și (−3)⋅3⋅x\displaystyle (-3)\cdot 3\cdot x. Acestea se scad din primul total.
    −9x−9x−9x=−27x\displaystyle -9x-9x-9x=-27x
  4. Determinantul este primul total minus al doilea total: x3−(−27x)\displaystyle x^{3}-(-27x).
    det⁡(A(x,−3))=x3+27x\displaystyle \det(A(x,-3))=x^{3}+27x
  5. Ecuația devine x3+27x=0\displaystyle x^{3}+27x=0. Dăm factor comun pe x\displaystyle x.
    x(x2+27)=0\displaystyle x\left(x^{2}+27\right)=0
  6. Un produs este nul când un factor este nul. Factorul x2+27\displaystyle x^{2}+27 este mereu cel puțin 27\displaystyle 27, deci strict pozitiv și nu se anulează în numere reale. Rămâne doar x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=3xy+3x+3y+2\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2.

Arătați că x∘y=3(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=3(x+1)(y+1)-1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∘y=3xy+3x+3y+2\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∘y=3xy+3x+3y+2\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2
  2. Scriem termenul liber 2\displaystyle 2 ca 3−1\displaystyle 3-1, pentru că vrem să apară produsul (x+1)(y+1)\displaystyle (x+1)(y+1), care conține termenul 3\displaystyle 3 după înmulțire cu 3\displaystyle 3.
    x∘y=3xy+3x+3y+3−1\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+3-1
  3. Grupăm primii doi termeni: 3xy+3x=3x(y+1)\displaystyle 3xy+3x=3x(y+1). Grupăm apoi termenii 3y+3=3(y+1)\displaystyle 3y+3=3(y+1). Termenul −1\displaystyle -1 rămâne neschimbat.
    x∘y=3x(y+1)+3(y+1)−1\displaystyle x\circ y=3x(y+1)+3(y+1)-1
  4. Dăm factor comun pe y+1\displaystyle y+1: 3x(y+1)+3(y+1)=3(y+1)(x+1)\displaystyle 3x(y+1)+3(y+1)=3(y+1)(x+1). Obținem forma cerută, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∘y=3(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=3(x+1)(y+1)-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=3xy+3x+3y+2\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2.

Determinați numerele întregi a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că a∘b=2\displaystyle a\circ b=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condiția a∘b=2\displaystyle a\circ b=2 folosind definiția legii: 3ab+3a+3b+2=2\displaystyle 3ab+3a+3b+2=2.
    3ab+3a+3b+2=2\displaystyle 3ab+3a+3b+2=2
  2. Reducem termenul 2\displaystyle 2 din ambii membri și obținem 3ab+3a+3b=0\displaystyle 3ab+3a+3b=0. Împărțim cu 3\displaystyle 3 și obținem ab+a+b=0\displaystyle ab+a+b=0.
    ab+a+b=0\displaystyle ab+a+b=0
  3. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri, ca să putem factoriza: ab+a+b+1=1\displaystyle ab+a+b+1=1. Grupăm termenii: (a+1)(b+1)=1\displaystyle (a+1)(b+1)=1.
    (a+1)(b+1)=1\displaystyle (a+1)(b+1)=1
  4. Numerele a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt întregi, deci a+1\displaystyle a+1 și b+1\displaystyle b+1 sunt întregi cu produsul 1\displaystyle 1. Singurele posibilități sunt ca ambele să fie 1\displaystyle 1 sau ambele să fie −1\displaystyle -1.
    a+1=b+1=1 sau a+1=b+1=−1\displaystyle a+1=b+1=1\text{ sau }a+1=b+1=-1
  5. Dacă a+1=1\displaystyle a+1=1 și b+1=1\displaystyle b+1=1, atunci a=0\displaystyle a=0 și b=0\displaystyle b=0. Dacă a+1=−1\displaystyle a+1=-1 și b+1=−1\displaystyle b+1=-1, atunci a=−2\displaystyle a=-2 și b=−2\displaystyle b=-2.
    a=−2\displaystyle a=-2,b=−2 sau a=0\displaystyle b=-2\text{ sau }a=0,b=0\displaystyle b=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=3xy+3x+3y+2\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2.

Calculați (−1)∘0∘1∘…∘2015\displaystyle (-1)\circ 0\circ 1\circ\ldots\circ 2015.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm (−1)∘x\displaystyle (-1)\circ x pentru x\displaystyle x real oarecare, înlocuind în definiția x∘y=3xy+3x+3y+2\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2 primul număr cu −1\displaystyle -1.
    (−1)∘x=3⋅(−1)⋅x+3⋅(−1)+3x+2\displaystyle (-1)\circ x=3\cdot(-1)\cdot x+3\cdot(-1)+3x+2
  2. Efectuăm calculele: −3x+3x=0\displaystyle -3x+3x=0, iar −3+2=−1\displaystyle -3+2=-1. Deci rezultatul nu depinde de x\displaystyle x.
    (−1)∘x=−3x−3+3x+2=−1, pentru orice x∈R\displaystyle (-1)\circ x=-3x-3+3x+2=-1\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  3. Legea este asociativă, deci putem grupa factorii: păstrăm pe −1\displaystyle -1 și punem într-o paranteză toți ceilalți factori, de la 0\displaystyle 0 până la 2015\displaystyle 2015.
    (−1)∘0∘1∘…∘2015=(−1)∘(0∘1∘…∘2015)\displaystyle (-1)\circ 0\circ 1\circ\ldots\circ 2015=(-1)\circ(0\circ 1\circ\ldots\circ 2015)
  4. Paranteza 0∘1∘…∘2015\displaystyle 0\circ 1\circ\ldots\circ 2015 este un număr real, pe care îl notăm x\displaystyle x. Din (−1)∘x=−1\displaystyle (-1)\circ x=-1 obținem valoarea cerută.
    (−1)∘0∘1∘…∘2015=(−1)∘x=−1\displaystyle (-1)\circ 0\circ 1\circ\ldots\circ 2015=(-1)\circ x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex−ex+1\displaystyle f(x)=xe^x-e^x+1.

Calculați f′(x)\displaystyle f'(x), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Avem f(x)=xex−ex+1\displaystyle f(x)=xe^{x}-e^{x}+1. Derivata unei sume este suma derivatelor, iar termenul xex\displaystyle xe^{x} se derivează cu regula produsului (uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)'=u'v+uv'. Derivata constantei 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=(xex)′−(ex)′+(1)′\displaystyle f'(x)=(xe^{x})'-(e^{x})'+(1)'
  2. Cu u=x\displaystyle u=x și v=ex\displaystyle v=e^{x} avem u′=1\displaystyle u'=1 și v′=ex\displaystyle v'=e^{x}, deci (xex)′=1⋅ex+x⋅ex=ex+xex\displaystyle (xe^{x})'=1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}=e^{x}+xe^{x}.
    (xex)′=ex+xex\displaystyle (xe^{x})'=e^{x}+xe^{x}
  3. Înlocuim în f′(x)\displaystyle f'(x), folosind (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x} și (1)′=0\displaystyle (1)'=0.
    f′(x)=ex+xex−ex\displaystyle f'(x)=e^{x}+xe^{x}-e^{x}
  4. Reducem termenii asemenea: ex−ex=0\displaystyle e^{x}-e^{x}=0, deci rămâne doar xex\displaystyle xe^{x}.
    f′(x)=xex\displaystyle f'(x)=xe^{x}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex−ex+1\displaystyle f(x)=xe^x-e^x+1.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞\displaystyle -\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre −∞\displaystyle -\infty are ecuația y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to-\infty}f(x). Calculăm această limită.
    L=lim⁡x→−∞(xex−ex+1)\displaystyle L=\lim_{x\to-\infty}\left(xe^x-e^x+1\right)
  2. Termenul xex\displaystyle xe^x are forma nedeterminată −∞⋅0\displaystyle -\infty\cdot 0. Îl scriem ca fracție, folosind ex=1e−x\displaystyle e^x=\dfrac{1}{e^{-x}}, ca să apară o formă de tip ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}.
    lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞(xe−x−ex+1)\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{x}{e^{-x}}-e^x+1\right)
  3. Pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty avem ex→0\displaystyle e^x\to 0, deci −ex→0\displaystyle -e^x\to 0. Rămâne limita lim⁡x→−∞xe−x\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x}{e^{-x}}, de forma −∞∞\displaystyle \dfrac{-\infty}{\infty}. Aplicăm regula lui L'Hôpital: derivata numărătorului este 1\displaystyle 1, iar derivata numitorului este −e−x\displaystyle -e^{-x}.
    lim⁡x→−∞xe−x=lim⁡x→−∞1−e−x\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{e^{-x}}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{-e^{-x}}
  4. Când x→−∞\displaystyle x\to-\infty, avem −x→+∞\displaystyle -x\to+\infty, deci e−x→+∞\displaystyle e^{-x}\to+\infty, iar 1−e−x→0\displaystyle \dfrac{1}{-e^{-x}}\to 0. Adunând cu 1\displaystyle 1 (iar −ex→0\displaystyle -e^x\to 0), obținem limita funcției.
    lim⁡x→−∞f(x)=0−0+1=1\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0-0+1=1
  5. Limita la −∞\displaystyle -\infty este finită și egală cu 1\displaystyle 1, deci graficul funcției f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre −∞\displaystyle -\infty dreapta de ecuație y=1\displaystyle y=1.
    y=1\displaystyle y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex−ex+1\displaystyle f(x)=xe^x-e^x+1.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f folosind regula de derivare a produsului: (xex)′=ex+xex\displaystyle (xe^x)'=e^x+xe^x, (−ex)′=−ex\displaystyle (-e^x)'=-e^x, iar (1)′=0\displaystyle (1)'=0.
    f′(x)=ex+xex−ex=xex\displaystyle f'(x)=e^x+xe^x-e^x=xe^x
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Cum ex>0\displaystyle e^x>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, produsul xex\displaystyle xe^x este nul doar când x=0\displaystyle x=0.
    f′(x)=0⇔x=0\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=0
  3. Studiem semnul derivatei pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0]. Aici x≤0\displaystyle x\le 0 și ex>0\displaystyle e^x>0, deci produsul xex\displaystyle xe^x este mai mic sau egal cu zero. Prin urmare f\displaystyle f este descrescătoare pe acest interval.
    f′(x)≤0, pentru orice x∈(−∞,0], deci f este descresca˘toare pe (−∞,0]\displaystyle f'(x)\le 0\text{, pentru orice }x\in(-\infty,0]\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }(-\infty,0]
  4. Studiem semnul derivatei pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty). Aici x≥0\displaystyle x\ge 0 și ex>0\displaystyle e^x>0, deci produsul xex\displaystyle xe^x este mai mare sau egal cu zero. Prin urmare f\displaystyle f este crescătoare pe acest interval.
    f′(x)≥0, pentru orice x∈[0,+∞), deci f este cresca˘toare pe [0,+∞)\displaystyle f'(x)\ge 0\text{, pentru orice }x\in[0,+\infty)\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x3+3x2+2x+1\displaystyle f(x)=4x^3+3x^2+2x+1.

Calculați ∫01f(x) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu expresia lui: ∫01f(x) dx=∫01(4x3+3x2+2x+1)dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1\left(4x^3+3x^2+2x+1\right)dx.
    ∫01(4x3+3x2+2x+1)dx\displaystyle \int_0^1\left(4x^3+3x^2+2x+1\right)dx
  2. Integrăm termen cu termen, folosind ∫xn dx=xn+1n+1\displaystyle \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Avem ∫4x3 dx=x4\displaystyle \int 4x^3\,dx=x^4, ∫3x2 dx=x3\displaystyle \int 3x^2\,dx=x^3, ∫2x dx=x2\displaystyle \int 2x\,dx=x^2 și ∫1 dx=x\displaystyle \int 1\,dx=x. Deci o primitivă este x4+x3+x2+x\displaystyle x^4+x^3+x^2+x, iar integrala devine (x4+x3+x2+x)∣01\displaystyle \left(x^4+x^3+x^2+x\right)\Big|_0^1.
    ∫01(4x3+3x2+2x+1)dx=(x4+x3+x2+x)∣01\displaystyle \int_0^1\left(4x^3+3x^2+2x+1\right)dx=\left(x^4+x^3+x^2+x\right)\Big|_0^1
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: F(1)−F(0)\displaystyle F(1)-F(0). Pentru x=1\displaystyle x=1 obținem 1+1+1+1=4\displaystyle 1+1+1+1=4, iar pentru x=0\displaystyle x=0 obținem 0\displaystyle 0. Deci integrala este 4−0=4\displaystyle 4-0=4.
    (14+13+12+1)−(04+03+02+0)=4−0=4\displaystyle \left(1^4+1^3+1^2+1\right)-\left(0^4+0^3+0^2+0\right)=4-0=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x3+3x2+2x+1\displaystyle f(x)=4x^3+3x^2+2x+1.

Determinați primitiva F\displaystyle F a funcției f\displaystyle f pentru care F(−1)=1\displaystyle F(-1)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Primitivele unei funcții polinomiale se află integrând fiecare termen în parte, cu formula ∫xn dx=xn+1n+1+c\displaystyle \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c. Adunăm o constantă reală c\displaystyle c.
    F(x)=∫(4x3+3x2+2x+1) dx\displaystyle F(x)=\int (4x^3+3x^2+2x+1)\,dx
  2. Integrăm termen cu termen: 4x3\displaystyle 4x^3 dă 4⋅x44=x4\displaystyle 4\cdot\dfrac{x^4}{4}=x^4, 3x2\displaystyle 3x^2 dă x3\displaystyle x^3, 2x\displaystyle 2x dă x2\displaystyle x^2, iar 1\displaystyle 1 dă x\displaystyle x. Se obține familia de primitive.
    F(x)=x4+x3+x2+x+c, unde c∈R\displaystyle F(x)=x^4+x^3+x^2+x+c\text{, unde }c\in\mathbb{R}
  3. Impunem condiția F(−1)=1\displaystyle F(-1)=1: înlocuim x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1 în expresia lui F\displaystyle F.
    F(−1)=(−1)4+(−1)3+(−1)2+(−1)+c=1−1+1−1+c=c\displaystyle F(-1)=(-1)^4+(-1)^3+(-1)^2+(-1)+c=1-1+1-1+c=c
  4. Din F(−1)=1\displaystyle F(-1)=1 și F(−1)=c\displaystyle F(-1)=c rezultă c=1\displaystyle c=1. Înlocuim constanta în familia de primitive și obținem primitiva cerută.
    c=1, deci F(x)=x4+x3+x2+x+1\displaystyle c=1\text{, deci }F(x)=x^4+x^3+x^2+x+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x3+3x2+2x+1\displaystyle f(x)=4x^3+3x^2+2x+1.

Arătați că pentru orice număr real nenul a\displaystyle a are loc relația ∫0af(x) dx+1a∫a0f(x) dx=a4−1\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx+\frac{1}{a}\int_a^0 f(x)\,dx=a^4-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu 4x3+3x2+2x+1\displaystyle 4x^3+3x^2+2x+1 în ambele integrale și obținem expresia din membrul stâng.
    ∫0a(4x3+3x2+2x+1)dx+1a∫a0(4x3+3x2+2x+1)dx\displaystyle \int_0^a\left(4x^3+3x^2+2x+1\right)dx+\frac{1}{a}\int_a^0\left(4x^3+3x^2+2x+1\right)dx
  2. Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui f\displaystyle f este F(x)=x4+x3+x2+x\displaystyle F(x)=x^4+x^3+x^2+x.
    F(x)=x4+x3+x2+x\displaystyle F(x)=x^4+x^3+x^2+x
  3. Cu formula Leibniz-Newton, ∫0af(x) dx=F(a)−F(0)\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx=F(a)-F(0), iar F(0)=0\displaystyle F(0)=0.
    ∫0af(x) dx=a4+a3+a2+a\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx=a^4+a^3+a^2+a
  4. Deoarece limitele sunt inversate, ∫a0f(x) dx=−∫0af(x) dx\displaystyle \int_a^0 f(x)\,dx=-\int_0^a f(x)\,dx.
    ∫a0f(x) dx=−(a4+a3+a2+a)\displaystyle \int_a^0 f(x)\,dx=-\left(a^4+a^3+a^2+a\right)
  5. Înlocuim în expresie, cu a≠0\displaystyle a\neq 0: (a4+a3+a2+a)−1a(a4+a3+a2+a)\displaystyle \left(a^4+a^3+a^2+a\right)-\dfrac{1}{a}\left(a^4+a^3+a^2+a\right). Împărțim fiecare termen la a\displaystyle a și obținem a4+a3+a2+a−(a3+a2+a+1)\displaystyle a^4+a^3+a^2+a-\left(a^3+a^2+a+1\right).
    (a4+a3+a2+a)−1a(a4+a3+a2+a)=a4+a3+a2+a−a3−a2−a−1\displaystyle \left(a^4+a^3+a^2+a\right)-\frac{1}{a}\left(a^4+a^3+a^2+a\right)=a^4+a^3+a^2+a-a^3-a^2-a-1
  6. Reducem termenii a3\displaystyle a^3, a2\displaystyle a^2 și a\displaystyle a și rămâne a4−1\displaystyle a^4-1, pentru orice a\displaystyle a real nenul, deci relația este demonstrată.
    a4−1, pentru orice numa˘r real \displaystyle a^4-1\text{, pentru orice număr real }nenul a\displaystyle \text{nenul }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.