Bac matematică M2 științe ale naturii 2026, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați termenul a4\displaystyle a_4 al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}, în care a1=2\displaystyle a_1=2 și a3=14\displaystyle a_3=14.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula termenului general al progresiei aritmetice: a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r, unde r\displaystyle r este rația.
    a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r
  2. Înlocuim a1=2\displaystyle a_1=2 și a3=14\displaystyle a_3=14 în relație și obținem 14=2+2r\displaystyle 14=2+2r, adică 2r=a3−a1=12\displaystyle 2r=a_3-a_1=12.
    2r=a3−a1=14−2=12\displaystyle 2r=a_3-a_1=14-2=12
  3. Împărțim la 2\displaystyle 2 și aflăm rația progresiei: r=6\displaystyle r=6.
    r=6\displaystyle r=6
  4. Termenul a4\displaystyle a_4 se obține adunând rația la termenul a3\displaystyle a_3: a4=a3+r=14+6=20\displaystyle a_4=a_3+r=14+6=20.
    a4=a3+r=14+6=20\displaystyle a_4=a_3+r=14+6=20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ax+3\displaystyle f(x)=ax+3, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(0)+(f∘f)(0)=0\displaystyle f(0)+(f\circ f)(0)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează f(0)\displaystyle f(0) înlocuind x=0\displaystyle x=0 în expresia funcției f(x)=ax+3\displaystyle f(x)=ax+3.
    f(0)=a⋅0+3=3\displaystyle f(0)=a\cdot 0+3=3
  2. Se calculează (f∘f)(0)\displaystyle (f\circ f)(0), adică f(f(0))=f(3)\displaystyle f(f(0))=f(3), înlocuind x=3\displaystyle x=3 în expresia funcției.
    (f∘f)(0)=f(f(0))=f(3)=a⋅3+3=3a+3\displaystyle (f\circ f)(0)=f(f(0))=f(3)=a\cdot 3+3=3a+3
  3. Se scrie condiția din enunț folosind valorile calculate anterior pentru f(0)\displaystyle f(0) și (f∘f)(0)\displaystyle (f\circ f)(0).
    f(0)+(f∘f)(0)=0⇒3+3a+3=0\displaystyle f(0)+(f\circ f)(0)=0\Rightarrow 3+3a+3=0
  4. Se rezolvă ecuația obținută pentru a determina valoarea lui a\displaystyle a.
    3+3a+3=0⇒3a=−6⇒a=−2\displaystyle 3+3a+3=0\Rightarrow 3a=-6\Rightarrow a=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x−4⋅5x−2=105\displaystyle 5^x-4\cdot 5^{x-2}=105.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie 5x\displaystyle 5^x ca produs de puteri cu aceeași bază, folosind faptul că x=(x−2)+2\displaystyle x = (x-2)+2, pentru a putea evidenția factorul comun 5x−2\displaystyle 5^{x-2}.
    5x=5(x−2)+2=5x−2⋅52=25⋅5x−2\displaystyle 5^{x}=5^{(x-2)+2}=5^{x-2}\cdot 5^{2}=25\cdot 5^{x-2}
  2. Se înlocuiește 5x\displaystyle 5^x în ecuația inițială și se dă factor comun 5x−2\displaystyle 5^{x-2}.
    25⋅5x−2−4⋅5x−2=105\displaystyle 25\cdot 5^{x-2}-4\cdot 5^{x-2}=105
  3. Se reduc termenii asemenea, obținându-se o egalitate în care 5x−2\displaystyle 5^{x-2} este înmulțit cu un coeficient numeric, apoi se împarte prin acel coeficient pentru a izola puterea.
    5x−2⋅21=105\displaystyle 5^{x-2}\cdot 21=105, 5x−2=5\displaystyle \ 5^{x-2}=5
  4. Se scrie 5\displaystyle 5 ca 51\displaystyle 5^1, astfel încât în ambii membri să avem puteri de aceeași bază (5)\displaystyle (5), și se egalează exponenții.
    5x−2=51⇒x−2=1\displaystyle 5^{x-2}=5^{1}\Rightarrow x-2=1
  5. Se rezolvă ecuația liniară obținută pentru necunoscuta x\displaystyle x, obținându-se soluția finală.
    x−2=1\displaystyle x-2=1, x=3\displaystyle \ x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea A={1,2,3,9}\displaystyle A=\{1,2,3,9\}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru ca numărul de trei cifre să fie impar, cifra unităților trebuie să fie impară. Din mulțimea A={1,2,3,9}\displaystyle A=\{1,2,3,9\}, cifrele impare sunt 1,3\displaystyle 1, 3 și 9\displaystyle 9.
    cifre impare posibile: 1\displaystyle \text{cifre impare posibile: }1,3\displaystyle 3,9\displaystyle 9
  2. Se stabilește numărul de moduri de alegere a cifrei unităților: aceasta poate fi oricare dintre cele 3\displaystyle 3 cifre impare identificate.
    3 moduri\displaystyle 3\text{ moduri}
  3. După fixarea cifrei unităților, rămân 3\displaystyle 3 cifre disponibile din mulțimea A\displaystyle A (întrucât o cifră a fost deja folosită). Cifra sutelor se alege dintre acestea, toate fiind nenule, deci sunt 3\displaystyle 3 posibilități.
    3 moduri pentru cifra \displaystyle 3\text{ moduri pentru cifra }sutelor\displaystyle \text{sutelor}
  4. După alegerea cifrei unităților și a cifrei sutelor, mai rămân 2\displaystyle 2 cifre disponibile (deoarece toate cele trei cifre ale numărului trebuie să fie distincte). Cifra zecilor se alege dintre acestea, deci sunt 2\displaystyle 2 posibilități.
    2 moduri pentru cifra \displaystyle 2\text{ moduri pentru cifra }zecilor\displaystyle \text{zecilor}
  5. Aplicând regula produsului, numărul total de numere de trei cifre distincte, impare, formate cu cifre din A\displaystyle A, se obține înmulțind numărul de posibilități pentru fiecare poziție.
    3⋅3⋅2=18 numere\displaystyle 3\cdot 3\cdot 2=18\text{ numere}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,0)\displaystyle A(1,0) și B(5,4)\displaystyle B(5,4) și dreapta d\displaystyle d de ecuație 2x+ay=0\displaystyle 2x+ay=0, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care mijlocul segmentului AB\displaystyle AB aparține dreptei d\displaystyle d.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula de calcul a coordonatelor mijlocului unui segment, folosind coordonatele punctelor A\displaystyle A și B\displaystyle B.
    M(xA+xB2,yA+yB2)\displaystyle M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)
  2. Se înlocuiesc coordonatele punctelor A(1,0)\displaystyle A(1,0) și B(5,4)\displaystyle B(5,4) în formula mijlocului.
    M(1+52,0+42)\displaystyle M\left(\dfrac{1+5}{2},\dfrac{0+4}{2}\right)
  3. Se efectuează calculele pentru a obține coordonatele mijlocului segmentului AB\displaystyle AB.
    M(3,2)\displaystyle M(3,2)
  4. Se pune condiția ca punctul M(3,2)\displaystyle M(3,2) să aparțină dreptei d\displaystyle d, adică să verifice ecuația 2x+ay=0\displaystyle 2x+ay=0, înlocuind coordonatele lui M\displaystyle M.
    2⋅3+a⋅2=0\displaystyle 2\cdot 3+a\cdot 2=0
  5. Se rezolvă ecuația obținută în raport cu necunoscuta a\displaystyle a.
    6+2a=0⇒2a=−6\displaystyle 6+2a=0\Rightarrow 2a=-6
  6. Se obține valoarea lui a\displaystyle a pentru care mijlocul segmentului AB\displaystyle AB aparține dreptei d\displaystyle d.
    a=−3\displaystyle a=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu BC=12\displaystyle BC=12 și C=π6\displaystyle C=\dfrac{\pi}{6}. Punctul M\displaystyle M aparține segmentului AC\displaystyle AC astfel încât 3AM=AC\displaystyle 3AM=AC. Arătați că BM=43\displaystyle BM=4\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci BC\displaystyle BC este ipotenuza. Unghiul C\displaystyle C are măsura π6\displaystyle \dfrac{\pi}{6}, iar cateta AB\displaystyle AB este opusă unghiului C\displaystyle C. Din sinus obținem AB=BC⋅sin⁡C=12⋅12\displaystyle AB=BC\cdot\sin C=12\cdot\dfrac{1}{2}.
    AB=6\displaystyle AB=6
  2. Cateta AC\displaystyle AC este alăturată unghiului C\displaystyle C, deci din cosinus avem AC=BC⋅cos⁡C=12⋅32\displaystyle AC=BC\cdot\cos C=12\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Astfel se obțin ambele catete.
    AB=6\displaystyle AB=6, AC=63\displaystyle \ AC=6\sqrt{3}
  3. Din condiția 3AM=AC\displaystyle 3AM=AC rezultă că AM\displaystyle AM este o treime din AC\displaystyle AC. Înlocuim AC=63\displaystyle AC=6\sqrt{3}: AM=AC3=633\displaystyle AM=\dfrac{AC}{3}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}.
    AM=23\displaystyle AM=2\sqrt{3}
  4. Punctul M\displaystyle M se află pe segmentul AC\displaystyle AC, deci triunghiul ABM\displaystyle ABM este dreptunghic în A\displaystyle A. Aplicăm teorema lui Pitagora: BM2=AM2+AB2=(23)2+62=12+36=48\displaystyle BM^2=AM^2+AB^2=\left(2\sqrt{3}\right)^2+6^2=12+36=48. Deci BM=48=43\displaystyle BM=\sqrt{48}=4\sqrt{3}.
    BM2=AM2+AB2=48\displaystyle BM^2=AM^2+AB^2=48, BM=43\displaystyle \ BM=4\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a−a1−a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a \\ -a & 1-a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=1\displaystyle \det(A(1))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea generală A(a)\displaystyle A(a) și se înlocuiește a=1\displaystyle a=1 în fiecare element al matricei.
    A(a)=(1a−a1−a)⇒A(1)=(11−11−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a \\ -a & 1-a \end{pmatrix}\Rightarrow A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1-1 \end{pmatrix}
  2. Se simplifică elementul din colțul dreapta-jos și se obține matricea A(1)\displaystyle A(1), apoi se scrie determinantul acesteia folosind formula pentru matrice 2×2\displaystyle 2\times 2.
    A(1)=(11−10)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, det⁡(A(1))=∣11−10∣=1⋅0−1⋅(−1)\displaystyle \ \det(A(1))=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}=1\cdot 0-1\cdot(-1)
  3. Se efectuează calculele numerice: produsul 1⋅0\displaystyle 1\cdot 0 este 0\displaystyle 0, iar produsul 1⋅(−1)\displaystyle 1\cdot (-1) este −1\displaystyle -1, deci se scade −1\displaystyle -1 din 0\displaystyle 0.
    1⋅0−1⋅(−1)=0−(−1)\displaystyle 1\cdot 0-1\cdot(-1)=0-(-1)
  4. Se finalizează calculul, obținând valoarea determinantului.
    =0+1=1\displaystyle =0+1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a−a1−a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a \\ -a & 1-a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(a+b)−A(a)⋅A(b)=ab A(1)\displaystyle A(a+b)-A(a)\cdot A(b)=ab\,A(1), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit matricea A(a+b)\displaystyle A(a+b), înlocuind a\displaystyle a cu a+b\displaystyle a+b în forma generală a matricei A\displaystyle A.
    A(a+b)=(1a+b−a−b1−a−b)\displaystyle A(a+b)=\begin{pmatrix} 1 & a+b \\ -a-b & 1-a-b \end{pmatrix}
  2. Se scriu matricele A(a)\displaystyle A(a) și A(b)\displaystyle A(b) explicit, pentru a calcula produsul lor.
    A(a)=(1a−a1−a), A(b)=(1b−b1−b)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a \\ -a & 1-a \end{pmatrix}\text{, }A(b)=\begin{pmatrix} 1 & b \\ -b & 1-b \end{pmatrix}
  3. Se calculează produsul A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b) element cu element, folosind regula de înmulțire a matricelor.
    A(a)⋅A(b)=(1⋅1+a⋅(−b)1⋅b+a⋅(1−b)−a⋅1+(1−a)⋅(−b)−a⋅b+(1−a)⋅(1−b))\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix} 1\cdot 1+a\cdot(-b) & 1\cdot b+a\cdot(1-b) \\ -a\cdot 1+(1-a)\cdot(-b) & -a\cdot b+(1-a)\cdot(1-b) \end{pmatrix}
  4. Se efectuează calculele din fiecare element al produsului, obținând forma finală a matricei A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b).
    A(a)⋅A(b)=(1−abb+a−ab−a−b+ab−ab+1−a−b+ab)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix} 1-ab & b+a-ab \\ -a-b+ab & -ab+1-a-b+ab \end{pmatrix}
  5. Se scrie diferența A(a+b)−A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a+b)-A(a)\cdot A(b), înlocuind cele două matrice calculate anterior.
    A(a+b)−A(a)⋅A(b)=(1a+b−a−b1−a−b)−(1−abb+a−ab−a−b+ab−ab+1−a−b+ab)\displaystyle A(a+b)-A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix} 1 & a+b \\ -a-b & 1-a-b \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1-ab & b+a-ab \\ -a-b+ab & -ab+1-a-b+ab \end{pmatrix}
  6. Se scade element cu element: pe prima linie, 1−(1−ab)=ab\displaystyle 1-(1-ab)=ab și (a+b)−(a+b−ab)=ab\displaystyle (a+b)-(a+b-ab)=ab; pe a doua linie, (−a−b)−(−a−b+ab)=−ab\displaystyle (-a-b)-(-a-b+ab)=-ab și (1−a−b)−(1−a−b)=0\displaystyle (1-a-b)-(1-a-b)=0.
    (1−(1−ab)(a+b)−(a+b−ab)(−a−b)−(−a−b+ab)(1−a−b)−(1−a−b))=(abab−ab0)\displaystyle \begin{pmatrix} 1-(1-ab) & (a+b)-(a+b-ab) \\ (-a-b)-(-a-b+ab) & (1-a-b)-(1-a-b) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ab & ab \\ -ab & 0 \end{pmatrix}
  7. Se observă că matricea obținută este egală cu ab\displaystyle ab înmulțit cu matricea A(1)=(11−10)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, deci A(a+b)−A(a)⋅A(b)=ab⋅A(1)\displaystyle A(a+b)-A(a)\cdot A(b)=ab\cdot A(1), ceea ce trebuia demonstrat.
    =(abab−ab0)=ab A(1)\displaystyle =\begin{pmatrix} ab & ab \\ -ab & 0 \end{pmatrix}=ab\,A(1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a−a1−a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a \\ -a & 1-a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care 2A(2a)−A(a)⋅A(a)−A(1)⋅A(2a−1)=2A(1)\displaystyle 2A(2a)-A(a)\cdot A(a)-A(1)\cdot A(2a-1)=2A(1).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(a)\displaystyle A(a) ca sumă între matricea unitate și a\displaystyle a ori o matrice fixă B\displaystyle B. Atunci A(a)=I2+aB\displaystyle A(a)=I_2+aB, cu B=(01−1−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}. În particular, A(1)=I2+B\displaystyle A(1)=I_2+B.
    A(a)=I2+aB\displaystyle A(a)=I_2+aB,B=(01−1−1)\displaystyle \quad B=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}
  2. Calculăm B2\displaystyle B^2 și observăm că B2=−B−I2\displaystyle B^2=-B-I_2.
    B2=(−1−110)=−B−I2\displaystyle B^2=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}=-B-I_2
  3. Calculăm produsul A(x)⋅A(y)\displaystyle A(x)\cdot A(y) folosind B2=−B−I2\displaystyle B^2=-B-I_2. Obținem (1−xy)I2+(x+y−xy)B\displaystyle (1-xy)I_2+(x+y-xy)B.
    A(x)A(y)=I2+(x+y)B+xyB2=(1−xy)I2+(x+y−xy)B\displaystyle A(x)A(y)=I_2+(x+y)B+xyB^2=(1-xy)I_2+(x+y-xy)B
  4. Pentru x=y=a\displaystyle x=y=a, produsul A(a)⋅A(a)\displaystyle A(a)\cdot A(a) este (1−a2)I2+(2a−a2)B\displaystyle (1-a^2)I_2+(2a-a^2)B. Scădem din A(2a)=I2+2aB\displaystyle A(2a)=I_2+2aB și obținem a2A(1)\displaystyle a^2A(1).
    A(2a)−A(a)A(a)=a2I2+a2B=a2A(1)\displaystyle A(2a)-A(a)A(a)=a^2I_2+a^2B=a^2A(1)
  5. Pentru x=1\displaystyle x=1 și y=2a−1\displaystyle y=2a-1, produsul A(1)⋅A(2a−1)\displaystyle A(1)\cdot A(2a-1) este (2−2a)I2+B\displaystyle (2-2a)I_2+B. Scădem din A(2a)\displaystyle A(2a) și obținem (2a−1)A(1)\displaystyle (2a-1)A(1).
    A(2a)−A(1)A(2a−1)=(2a−1)I2+(2a−1)B=(2a−1)A(1)\displaystyle A(2a)-A(1)A(2a-1)=(2a-1)I_2+(2a-1)B=(2a-1)A(1)
  6. Adunăm cele două diferențe. Membrul stâng al ecuației devine (a2+2a−1)A(1)\displaystyle (a^2+2a-1)A(1).
    2A(2a)−A(a)A(a)−A(1)A(2a−1)=(a2+2a−1)A(1)\displaystyle 2A(2a)-A(a)A(a)-A(1)A(2a-1)=(a^2+2a-1)A(1)
  7. Ecuația devine (a2+2a−1)A(1)=2A(1)\displaystyle (a^2+2a-1)A(1)=2A(1). Matricea A(1)\displaystyle A(1) este nenulă, deci identificăm coeficienții și obținem a2+2a−1=2\displaystyle a^2+2a-1=2.
    a2+2a−1=2  ⟺  a2+2a−3=0\displaystyle a^2+2a-1=2\iff a^2+2a-3=0
  8. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este 16\displaystyle 16, deci a=−2±42\displaystyle a=\dfrac{-2\pm 4}{2}, adică a=−3\displaystyle a=-3 sau a=1\displaystyle a=1.
    a=−3 sau a=1\displaystyle a=-3\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=16(x−5)(y−5)+5\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{6}(x-5)(y-5)+5, cu elementul neutru e=11\displaystyle e=11.

Arătați că 7∘8=6\displaystyle 7\circ 8=6.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile x=7\displaystyle x=7 și y=8\displaystyle y=8 care trebuie înlocuite în formulă.
    x∘y=16(x−5)(y−5)+5\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{6}(x-5)(y-5)+5, pentru x=7\displaystyle \text{ pentru }x=7, y=8\displaystyle \ y=8
  2. Se înlocuiește x\displaystyle x cu 7\displaystyle 7 și y\displaystyle y cu 8\displaystyle 8 în formula legii de compoziție.
    7∘8=16(7−5)(8−5)+5\displaystyle 7\circ 8=\dfrac{1}{6}(7-5)(8-5)+5
  3. Se calculează diferențele din paranteze: 7−5=2\displaystyle 7-5=2 și 8−5=3\displaystyle 8-5=3.
    7∘8=16⋅2⋅3+5\displaystyle 7\circ 8=\dfrac{1}{6}\cdot 2\cdot 3+5
  4. Se efectuează înmulțirea 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6, apoi se simplifică fracția 66=1\displaystyle \dfrac{6}{6}=1.
    7∘8=66+5=1+5\displaystyle 7\circ 8=\dfrac{6}{6}+5=1+5
  5. Se adună 1+5\displaystyle 1+5 pentru a obține rezultatul final al calculului.
    =1+5=6\displaystyle =1+5=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=16(x−5)(y−5)+5\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{6}(x-5)(y-5)+5, cu elementul neutru e=11\displaystyle e=11.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∘(6x−1)=10\displaystyle x\circ(6x-1)=10.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție pentru elementele x\displaystyle x și 6x−1\displaystyle 6x-1: x∘(6x−1)=16(x−5)((6x−1)−5)+5\displaystyle x\circ(6x-1) = \dfrac{1}{6}(x-5)((6x-1)-5)+5.
    x∘(6x−1)=16(x−5)(6x−1−5)+5\displaystyle x\circ(6x-1)=\dfrac{1}{6}(x-5)(6x-1-5)+5
  2. Se simplifică paranteza a doua: 6x−1−5=6x−6=6(x−1)\displaystyle 6x-1-5=6x-6=6(x-1), astfel încât factorul 6\displaystyle 6 se reduce cu cel de la numitor.
    x∘(6x−1)=16(x−5)⋅6(x−1)+5=(x−5)(x−1)+5\displaystyle x\circ(6x-1)=\dfrac{1}{6}(x-5)\cdot 6(x-1)+5=(x-5)(x-1)+5
  3. Se desfășoară produsul (x−5)(x−1)\displaystyle (x-5)(x-1) și se adună 5\displaystyle 5, obținându-se expresia finală în funcție de x\displaystyle x.
    x∘(6x−1)=x2−6x+5+5=x2−6x+10, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x\circ(6x-1)=x^2-6x+5+5=x^2-6x+10\text{, pentru orice număr real }x
  4. Se pune condiția din enunț ca x∘(6x−1)\displaystyle x\circ(6x-1) să fie egal cu 10\displaystyle 10 și se rezolvă ecuația obținută prin scăderea lui 10\displaystyle 10 din ambii membri, apoi factorizare.
    x2−6x+10=10⇔x2−6x=0⇔x(x−6)=0\displaystyle x^2-6x+10=10\Leftrightarrow x^2-6x=0\Leftrightarrow x(x-6)=0
  5. Se determină soluțiile ecuației: x=0\displaystyle x=0 sau x=6\displaystyle x=6.
    x2−6x+10=10\displaystyle x^2-6x+10=10, x=0 sau x=6\displaystyle \ x=0\text{ sau }x=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=16(x−5)(y−5)+5\displaystyle x\circ y=\dfrac{1}{6}(x-5)(y-5)+5, cu elementul neutru e=11\displaystyle e=11.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n, n≠5\displaystyle n\neq 5, ale căror simetrice în raport cu legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” sunt numere naturale pare.
Vezi rezolvarea
  1. Se pune condiția ca n\displaystyle n și n′\displaystyle n' să fie simetrice unul celuilalt față de legea de compoziție, adică n∘n′=n′∘n=e=11\displaystyle n\circ n'=n'\circ n=e=11. Se scrie legea de compoziție pentru perechea (n,n′)\displaystyle (n,n').
    n∘n′=16(n−5)(n′−5)+5=11\displaystyle n\circ n'=\dfrac{1}{6}(n-5)(n'-5)+5=11
  2. Se scade 5\displaystyle 5 din ambii membri și se înmulțește ecuația cu 6\displaystyle 6 pentru a elimina fracția, obținând relația dintre n\displaystyle n și n′\displaystyle n'.
    n∘n′=n′∘n=11\displaystyle n\circ n'=n'\circ n=11, (n−5)(n′−5)=36\displaystyle \ (n-5)(n'-5)=36
  3. Se notează d=n′−5\displaystyle d=n'-5. Cum n′\displaystyle n' trebuie să fie număr natural par, rezultă că n′−5\displaystyle n'-5 este impar, deci d\displaystyle d este un divizor impar al lui 36\displaystyle 36. Se listează divizorii impari (pozitivi și negativi) ai lui 36\displaystyle 36.
    d∈{−9,−3,−1,1,3,9}\displaystyle d\in\{-9,-3,-1,1,3,9\}
  4. Pentru fiecare divizor impar d\displaystyle d, se calculează n′=d+5\displaystyle n'=d+5 și n−5=36d\displaystyle n-5=\dfrac{36}{d}, deci n=5+36d\displaystyle n=5+\dfrac{36}{d}, apoi se reține doar situația în care atât n\displaystyle n cât și n′\displaystyle n' sunt numere naturale (n′\displaystyle n' fiind în plus par).
    d=1⇒n′=6\displaystyle d=1\Rightarrow n'=6, n=41;d=3⇒n′=8\displaystyle \ n=41;\quad d=3\Rightarrow n'=8, n=17;d=9⇒n′=14\displaystyle \ n=17;\quad d=9\Rightarrow n'=14, n=9\displaystyle \ n=9
  5. Pentru divizorii negativi d=−1,−3,−9\displaystyle d=-1,-3,-9 se obțin valori negative sau neconvenabile pentru n\displaystyle n (n=−31\displaystyle n=-31, n=−7\displaystyle n=-7, n′\displaystyle n' negativ), deci aceste cazuri se resping deoarece n\displaystyle n trebuie să fie natural.
    d=−1\displaystyle d=-1,−3\displaystyle -3,−9⇒n sau n′ nu sunt numere naturale, \displaystyle -9\Rightarrow n\text{ sau }n'\text{ nu sunt numere naturale, }se resping\displaystyle \text{se resping}
  6. Se rețin soluțiile valide obținute, adică valorile lui n\displaystyle n pentru care există n′\displaystyle n' natural par corespunzător.
    n=9\displaystyle n=9, n=17\displaystyle \ n=17, n=41\displaystyle \ n=41
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x−1+4ln⁡(x+3)\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}-1+4\ln(x+3).

Arătați că f′(x)=(x−1)(4x+3)x2(x+3)\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-1)(4x+3)}{x^2(x+3)}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se derivează pe rând fiecare termen al funcției: derivata lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este −1x2\displaystyle -\dfrac{1}{x^{2}}, derivata constantei −1\displaystyle -1 este 0\displaystyle 0, iar derivata lui 4ln⁡(x+3)\displaystyle 4\ln(x+3) este 4x+3\displaystyle \dfrac{4}{x+3}, conform regulii de derivare a funcției compuse.
    f′(x)=−1x2+0+4x+3\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+0+\dfrac{4}{x+3}
  2. Se scrie forma finală a derivatei, obținută prin însumarea termenilor de mai sus.
    f′(x)=−1x2+4x+3\displaystyle f'(x)=\dfrac{-1}{x^2}+\dfrac{4}{x+3}
  3. Se aduc cele două fracții la același numitor comun, x2(x+3)\displaystyle x^{2}(x+3), amplificând prima fracție cu (x+3)\displaystyle (x+3) și pe a doua cu x2\displaystyle x^{2}.
    f′(x)=−(x+3)x2(x+3)+4x2x2(x+3)\displaystyle f'(x)=\dfrac{-(x+3)}{x^2(x+3)}+\dfrac{4x^2}{x^2(x+3)}
  4. Se adună numărătorii peste numitorul comun și se desface paranteza, obținând un numărător de gradul al doilea.
    f′(x)=4x2−x−3x2(x+3)\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x^2-x-3}{x^2(x+3)}
  5. Se factorizează trinomul de la numărător, 4x2−x−3\displaystyle 4x^{2}-x-3, folosind descompunerea în doi factori (rădăcinile ecuației 4x2−x−3=0\displaystyle 4x^{2}-x-3=0 sunt x=1\displaystyle x=1 și x=−34\displaystyle x=-\dfrac{3}{4}), obținându-se forma finală a derivatei, valabilă pentru orice x\displaystyle x din (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′(x)=4x2−x−3x2(x+3)=(x−1)(4x+3)x2(x+3)\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x^2-x-3}{x^2(x+3)}=\dfrac{(x-1)(4x+3)}{x^2(x+3)}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x−1+4ln⁡(x+3)\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}-1+4\ln(x+3).

Arătați că lim⁡x→14ln⁡(x+3)−f(x)ln⁡x=1\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{4\ln(x+3)-f(x)}{\ln x}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit expresia 4ln⁡(x+3)−f(x)\displaystyle 4\ln(x+3) - f(x), folosind definiția funcției f\displaystyle f, pentru a simplifica limita.
    4ln⁡(x+3)−f(x)=4ln⁡(x+3)−(1x−1+4ln⁡(x+3))=−1x+1\displaystyle 4\ln(x+3)-f(x)=4\ln(x+3)-\left(\dfrac{1}{x}-1+4\ln(x+3)\right)=-\dfrac{1}{x}+1
  2. Se observă că, pentru x\displaystyle x tinzând la 1\displaystyle 1, atât numărătorul cât și numitorul limitei tind la 0\displaystyle 0, deci avem o nedeterminare de tipul 00\displaystyle \dfrac{0}{0}, ceea ce permite aplicarea regulii lui l'Hôpital.
    lim⁡x→1(−1x+1)=0, lim⁡x→1ln⁡x=0, deci avem o \displaystyle \lim_{x\to 1}\left(-\dfrac{1}{x}+1\right)=0\text{, }\lim_{x\to 1}\ln x=0\text{, deci avem o }nedeterminare 00\displaystyle \text{nedeterminare }\dfrac{0}{0}
  3. Se scrie limita cerută și se aplică regula lui l'Hôpital, derivând separat numărătorul și numitorul.
    lim⁡x→14ln⁡(x+3)−f(x)ln⁡x=lim⁡x→1−1x+1ln⁡x=lim⁡x→1(−1x+1)′(ln⁡x)′\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{4\ln(x+3)-f(x)}{\ln x}=\lim_{x\to 1}\dfrac{-\frac{1}{x}+1}{\ln x}=\lim_{x\to 1}\dfrac{\left(-\frac{1}{x}+1\right)'}{(\ln x)'}
  4. Se calculează derivatele numărătorului și numitorului: derivata lui −1x+1\displaystyle -\dfrac{1}{x}+1 este 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    (−1x+1)′=1x2, (ln⁡x)′=1x\displaystyle \left(-\dfrac{1}{x}+1\right)'=\dfrac{1}{x^2}\text{, }(\ln x)'=\dfrac{1}{x}
  5. Se înlocuiesc derivatele în raport, se simplifică expresia și se calculează limita finală pentru x\displaystyle x tinzând la 1\displaystyle 1.
    =lim⁡x→11x21x=lim⁡x→11x=1\displaystyle =\lim_{x\to 1}\dfrac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 1}\dfrac{1}{x}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x−1+4ln⁡(x+3)\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}-1+4\ln(x+3).

Demonstrați că 1x2−1x≥4ln⁡x+3x2+3\displaystyle \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}\ge 4\ln\dfrac{x+3}{x^2+3}, pentru orice x∈(0,1]\displaystyle x\in(0,1].
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția și se calculează derivata, aducând la același numitor.
    f′(x)=−1x2+4x+3=−(x+3)+4x2x2(x+3)=4x2−x−3x2(x+3)\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{4}{x+3}=\dfrac{-(x+3)+4x^2}{x^2(x+3)}=\dfrac{4x^2-x-3}{x^2(x+3)}
  2. Se factorizează numărătorul derivatei.
    4x2−x−3=(x−1)(4x+3)⇒f′(x)=(x−1)(4x+3)x2(x+3)\displaystyle 4x^2-x-3=(x-1)(4x+3)\Rightarrow f'(x)=\dfrac{(x-1)(4x+3)}{x^2(x+3)}
  3. Se analizează semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) pe (0,1]\displaystyle (0,1]: pentru x\displaystyle x din acest interval, x−1≤0\displaystyle x-1\leq 0, iar 4x+3>0\displaystyle 4x+3>0 și x2(x+3)>0\displaystyle x^{2}(x+3)>0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0, cu egalitate doar în x=1\displaystyle x=1; se obține monotonia cerută.
    f′(x)=0⇔x=1; f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe (0,1]\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1;\ f'(x)\le 0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }(0,1]
  4. Se observă că pentru x\displaystyle x în (0,1]\displaystyle (0,1], atât x\displaystyle x cât și x2\displaystyle x^{2} aparțin intervalului (0,1]\displaystyle (0,1], iar x2≤x\displaystyle x^{2}\leq x (deoarece 0<x≤1\displaystyle 0<x\leq 1).
    x∈(0,1]⇒x2≤x, cu x\displaystyle x\in(0,1]\Rightarrow x^2\le x\text{, cu }x, x2∈(0,1]\displaystyle \ x^2\in(0,1]
  5. Cum f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,1]\displaystyle (0,1] și x2≤x\displaystyle x^{2}\leq x, rezultă f(x2)≥f(x)\displaystyle f(x^{2})\geq f(x); se scriu explicit f(x)\displaystyle f(x) și f(x2)\displaystyle f(x^{2}) și se simplifică pentru a obține inegalitatea cerută.
    x≥x2\displaystyle x\ge x^2, f(x)≤f(x2)\displaystyle \ f(x)\le f(x^2), 1x2−1x≥4ln⁡x+3x2+3\displaystyle \ \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}\ge 4\ln\dfrac{x+3}{x^2+3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+4x)e−x\displaystyle f(x)=(x^2+4x)e^{-x}.

Arătați că ∫03f(x)ex dx=27\displaystyle \displaystyle\int_0^3 f(x)e^x\,dx=27.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie integrala dată în enunț, care implică produsul dintre f(x)\displaystyle f(x) și ex\displaystyle e^x.
    ∫03f(x)ex dx=∫03(x2+4x)e−x⋅ex dx\displaystyle \int_0^3 f(x)e^x\,dx=\int_0^3 (x^2+4x)e^{-x}\cdot e^x\,dx
  2. Se folosește proprietatea e−x⋅ex=1\displaystyle e^{-x}\cdot e^{x}=1 pentru a simplifica exponențialele din produs.
    e−x⋅ex=e0=1\displaystyle e^{-x}\cdot e^{x}=e^{0}=1
  3. Se înlocuiește în integrală, obținându-se un polinom simplu de integrat.
    ∫03f(x)ex dx=∫03(x2+4x) dx\displaystyle \int_0^3 f(x)e^x\,dx=\int_0^3 (x^2+4x)\,dx
  4. Se calculează o primitivă a polinomului x2+4x\displaystyle x^{2}+4x, folosind formula ∫xn dx=xn+1n+1\displaystyle \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}.
    ∫(x2+4x) dx=x33+2x2+C\displaystyle \int (x^2+4x)\,dx=\dfrac{x^3}{3}+2x^2+C
  5. Se scrie integrala definită folosind primitiva găsită, evaluată între limitele 0\displaystyle 0 și 3\displaystyle 3.
    ∫03(x2+4x) dx=(x33+2x2)∣03\displaystyle \int_0^3 (x^2+4x)\,dx=\left(\dfrac{x^3}{3}+2x^2\right)\Big|_0^3
  6. Se calculează valoarea primitivei în x=3\displaystyle x=3.
    (x33+2x2)∣x=3=273+2⋅9=9+18\displaystyle \left.\left(\dfrac{x^3}{3}+2x^2\right)\right|_{x=3}=\dfrac{27}{3}+2\cdot 9=9+18
  7. Se calculează valoarea primitivei în x=0\displaystyle x=0, care este 0\displaystyle 0, apoi se face diferența și se obține rezultatul final.
    =9+18=27\displaystyle =9+18=27
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+4x)e−x\displaystyle f(x)=(x^2+4x)e^{-x}.

Arătați că ∫−10f(x)x+4 dx=−1\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^0 \dfrac{f(x)}{x+4}\,dx=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Se descompune polinomul din f(x)\displaystyle f(x) prin factor comun: f(x)=(x2+4x)e−x=x(x+4)e−x\displaystyle f(x)=(x^{2}+4x)e^{-x}=x(x+4)e^{-x}, apoi se simplifică raportul f(x)x+4\displaystyle \dfrac{f(x)}{x+4}, valabil pentru x≠−4\displaystyle x\neq -4 (condiție îndeplinită pe [−1,0]\displaystyle [-1,0]).
    f(x)x+4=x(x+4)e−xx+4=xe−x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x+4}=\dfrac{x(x+4)e^{-x}}{x+4}=xe^{-x}
  2. Se scrie integrala cerută și se aplică metoda integrării prin părți, alegând u=x\displaystyle u=x și considerând e−x=(−e−x)′\displaystyle e^{-x}=(-e^{-x})', deci v=−e−x\displaystyle v=-e^{-x}.
    ∫−10f(x)x+4 dx=∫−10xe−x dx=∫−10x(−e−x)′dx\displaystyle \int_{-1}^0 \dfrac{f(x)}{x+4}\,dx=\int_{-1}^0 xe^{-x}\,dx=\int_{-1}^0 x\left(-e^{-x}\right)'dx
  3. Se aplică formula de integrare prin părți ∫uv′=uv−∫u′v\displaystyle \int u v' = uv - \int u'v, obținând antiderivata sub forma cerută de barem.
    ∫−10x(−e−x)′dx=−xe−x∣−10−∫−10(−e−x)dx=−xe−x∣−10−e−x∣−10\displaystyle \int_{-1}^0 x\left(-e^{-x}\right)'dx=-xe^{-x}\Big|_{-1}^0-\int_{-1}^0\left(-e^{-x}\right)dx=-xe^{-x}\Big|_{-1}^0-e^{-x}\Big|_{-1}^0
  4. Se evaluează primul termen −xe−x\displaystyle -xe^{-x} la capetele intervalului: la x=0\displaystyle x=0 se obține 0\displaystyle 0, iar la x=−1\displaystyle x=-1 se obține e\displaystyle e, deci diferența este −e\displaystyle -e.
    −xe−x∣−10=(0)−(e)=−e\displaystyle -xe^{-x}\Big|_{-1}^0=(0)-\left(e\right)=-e
  5. Se evaluează al doilea termen −e−x\displaystyle -e^{-x} la capetele intervalului: la x=0\displaystyle x=0 se obține −1\displaystyle -1, iar la x=−1\displaystyle x=-1 se obține −e\displaystyle -e, deci diferența este −1+e\displaystyle -1+e.
    −e−x∣−10=(−1)−(−e)=−1+e\displaystyle -e^{-x}\Big|_{-1}^0=(-1)-(-e)=-1+e
  6. Se adună cele două rezultate obținute mai sus pentru a finaliza calculul integralei.
    =−e−1+e=−1\displaystyle =-e-1+e=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+4x)e−x\displaystyle f(x)=(x^2+4x)e^{-x}.

Se consideră funcția g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=f(x2)x2\displaystyle g(x)=\dfrac{f(x^2)}{x^2}. Demonstrați că orice primitivă G:(0,+∞)→R\displaystyle G:(0,+\infty)\to\mathbb{R} a funcției g\displaystyle g este concavă.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la funcția g(x)=(x2+4)e−x2\displaystyle g(x) = (x^{2}+4)e^{-x^{2}}, definită pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), pentru care se consideră G\displaystyle G o primitivă a sa pe acest interval, deci G′(x)=g(x)\displaystyle G'(x)=g(x).
    G′(x)=g(x)=(x2+4)e−x2\displaystyle G'(x)=g(x)=(x^2+4)e^{-x^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  2. Pentru a studia concavitatea lui G\displaystyle G, se derivează relația G′=g\displaystyle G'=g, obținându-se G′′=g′\displaystyle G''=g'. Se aplică regula de derivare a produsului pentru g(x)=(x2+4)⋅e−x2\displaystyle g(x)=(x^2+4)\cdot e^{-x^2}.
    G′′(x)=(x2+4)′e−x2+(x2+4)(e−x2)′\displaystyle G''(x)=(x^2+4)'e^{-x^2}+(x^2+4)\left(e^{-x^2}\right)'
  3. Se calculează separat cele două derivate necesare: derivata lui (x2+4)\displaystyle (x^{2}+4) și derivata funcției exponențiale compuse e−x2\displaystyle e^{-x^{2}}.
    (x2+4)′=2x\displaystyle (x^2+4)'=2x,(e−x2)′=−2x e−x2\displaystyle \quad \left(e^{-x^2}\right)'=-2x\,e^{-x^2}
  4. Se înlocuiesc aceste derivate în expresia lui G′′(x)\displaystyle G''(x) și se dă factor comun pentru a simplifica.
    G′′(x)=2xe−x2+(x2+4)(−2x)e−x2=2xe−x2[1−(x2+4)]=−2x(x2+3)e−x2\displaystyle G''(x)=2xe^{-x^2}+(x^2+4)(-2x)e^{-x^2}=2xe^{-x^2}\left[1-(x^2+4)\right]=-2x(x^2+3)e^{-x^2}
  5. Pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty) avem x>0\displaystyle x>0, x2+3>0\displaystyle x^{2}+3>0 și e−x2>0\displaystyle e^{-x^{2}}>0, deci produsul −2x(x2+3)e−x2\displaystyle -2x(x^{2}+3)e^{-x^{2}} este negativ sau nul, ceea ce arată că G′′≤0\displaystyle G'' \leq 0 pe acest interval, deci G\displaystyle G este concavă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    =2xe−x2+(x2+4)(−2x)e−x2=−2x(x2+3)e−x2≤0, deci funcția G este concava˘\displaystyle =2xe^{-x^2}+(x^2+4)(-2x)e^{-x^2}=-2x(x^2+3)e^{-x^2}\le 0\text{, deci funcția }G\text{ este concavă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.