Bac matematică M2 științe ale naturii 2014, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați numărul real

\displaystyle x

știind că numerele

\displaystyle 4

,

\displaystyle 36

și

\displaystyle x

sunt în progresie geometrică.

Vezi rezolvarea

Numerele $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 36$ și $\displaystyle x$ sunt în progresie geometrică, deci pătratul termenului din mijloc este egal cu produsul celorlalți doi termeni: $\displaystyle 36^{2}=4\cdot x$ .
$\displaystyle 36^{2}=4x$
Calculăm $\displaystyle 36^{2}=1296$ , deci ecuația devine $\displaystyle 1296=4x$ .
$\displaystyle 1296=4x$
Împărțim ambii membri la $\displaystyle 4$ : $\displaystyle x=\dfrac{1296}{4}=324$ .
$\displaystyle x=324$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+a

, unde

\displaystyle a

este număr real. Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle (f\circ f)(x)=x

pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Calculăm compunerea: $\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))$ . Cum $\displaystyle f(x)=x+a$ , înlocuim în $\displaystyle f$ argumentul $\displaystyle x+a$ .
$\displaystyle (f\circ f)(x)=f(x+a)=(x+a)+a$
Punem condiția din enunț: $\displaystyle (f\circ f)(x)=x$ pentru orice număr real $\displaystyle x$ , deci $\displaystyle (x+a)+a=x$ pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle (x+a)+a=x\text{ pentru orice număr real }x$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle x$ se simplifică în ambele părți, iar egalitatea devine $\displaystyle 2a=0$ .
$\displaystyle x+2a=x\Rightarrow 2a=0$
Din $\displaystyle 2a=0$ rezultă $\displaystyle a=0$ . Pentru $\displaystyle a=0$ avem $\displaystyle f(x)=x$ , deci $\displaystyle (f\circ f)(x)=x$ pentru orice $\displaystyle x$ real, iar condiția este îndeplinită.
$\displaystyle a=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 3^{-x+2}=\sqrt{3}

.

Vezi rezolvarea

Scriem radicalul ca putere cu exponent fracționar: $\displaystyle \sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}$ . Ecuația devine $\displaystyle 3^{-x+2}=3^{\frac{1}{2}}$ .
$\displaystyle 3^{-x+2}=3^{\frac{1}{2}}$
Baza $\displaystyle 3$ este pozitivă și diferită de $\displaystyle 1$ , deci funcția exponențială este injectivă. Egalăm exponenții: $\displaystyle -x+2=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle -x+2=\frac{1}{2}$
Izolăm pe $\displaystyle x$ : $\displaystyle -x=\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{3}{2}$ , deci $\displaystyle x=\dfrac{3}{2}$ .
$\displaystyle x=\frac{3}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați numărul submulțimilor cu cel mult

\displaystyle 3

elemente ale mulțimii

\displaystyle M=\{1,2,3,4\}

.

Vezi rezolvarea

Submulțimile cu cel mult $\displaystyle 3$ elemente sunt cele cu $\displaystyle 0$ , $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2$ sau $\displaystyle 3$ elemente. Numărul submulțimilor cu $\displaystyle k$ elemente ale lui $\displaystyle M$ este $\displaystyle C_4^k$ , deci le adunăm.
$\displaystyle C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3$
Calculăm fiecare combinare: $\displaystyle C_4^0=1$ , $\displaystyle C_4^1=4$ , $\displaystyle C_4^2=6$ , $\displaystyle C_4^3=4$ .
$\displaystyle 1+4+6+4$
Adunăm și obținem $\displaystyle 15$ . Verificare: mulțimea are $\displaystyle 2^4=16$ submulțimi în total, iar singura submulțime cu $\displaystyle 4$ elemente este $\displaystyle M$ , deci $\displaystyle 16-1=15$ .
$\displaystyle 2^4-1=15$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctul

\displaystyle A(2,-3)

și dreapta

\displaystyle d: 2x+y-5=0

. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul

\displaystyle A

și este perpendiculară pe dreapta

\displaystyle d

.

Vezi rezolvarea

Scriem dreapta $\displaystyle d$ sub forma $\displaystyle y=mx+n$ , ca să citim panta: din $\displaystyle 2x+y-5=0$ obținem $\displaystyle y=-2x+5$ , deci panta lui $\displaystyle d$ este $\displaystyle m_d=-2$ .
$\displaystyle m_d=-2$
Dreptele perpendiculare au produsul pantelor egal cu $\displaystyle -1$ . Notăm cu $\displaystyle h$ dreapta căutată: $\displaystyle m_h\cdot m_d=-1$ , deci $\displaystyle m_h=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle m_h\cdot m_d=-1\Rightarrow m_h=\frac{1}{2}$
Scriem ecuația dreptei prin punctul $\displaystyle A(2,-3)$ cu panta $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ : $\displaystyle y-y_A=m_h(x-x_A)$ , adică $\displaystyle y+3=\dfrac{1}{2}(x-2)$ .
$\displaystyle y+3=\frac{1}{2}(x-2)$
Înmulțim cu $\displaystyle 2$ ca să scăpăm de fracție: $\displaystyle 2y+6=x-2$ . Mutăm toți termenii în stânga și obținem $\displaystyle x-2y-8=0$ .
$\displaystyle h:\ x-2y-8=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați

\displaystyle \sin 2x

, știind că

\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

și

\displaystyle \cos x=\frac{3\sqrt{5}}{7}

.

Vezi rezolvarea

Folosim identitatea fundamentală $\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ , deci $\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x$ .
$\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x$
Calculăm $\displaystyle \cos^{2}x=\left(\dfrac{3\sqrt{5}}{7}\right)^{2}=\dfrac{9\cdot 5}{49}=\dfrac{45}{49}$ .
$\displaystyle \cos^{2}x=\dfrac{45}{49}$
Înlocuim: $\displaystyle \sin^{2}x=1-\dfrac{45}{49}=\dfrac{4}{49}$ .
$\displaystyle \sin^{2}x=\dfrac{4}{49}$
Deoarece $\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ , avem $\displaystyle \sin x>0$ , deci $\displaystyle \sin x=\sqrt{\dfrac{4}{49}}=\dfrac{2}{7}$ .
$\displaystyle \sin x=\dfrac{2}{7}$
Aplicăm formula $\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x$ și obținem $\displaystyle \sin 2x=2\cdot\dfrac{2}{7}\cdot\dfrac{3\sqrt{5}}{7}=\dfrac{12\sqrt{5}}{49}$ .
$\displaystyle \sin 2x=\dfrac{12\sqrt{5}}{49}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle O(0,0)

,

\displaystyle A(0,2)

,

\displaystyle B(3,5)

și

\displaystyle C(6,8)

.

Determinați ecuația dreptei

\displaystyle AC

.

Vezi rezolvarea

Un punct $\displaystyle M(x,y)$ se află pe dreapta $\displaystyle AC$ dacă determinantul cu linia $\displaystyle (x,\ y,\ 1)$ și liniile coordonatelor punctelor $\displaystyle A(0,2)$ și $\displaystyle C(6,8)$ , completate cu $\displaystyle 1$ , este egal cu zero.
$\displaystyle AC:\begin{vmatrix}x&y&1\\0&2&1\\6&8&1\end{vmatrix}=0$
Dezvoltăm determinantul după prima linie: $\displaystyle x\cdot(2\cdot 1-1\cdot 8)-y\cdot(0\cdot 1-1\cdot 6)+(0\cdot 8-2\cdot 6)$ .
$\displaystyle x\cdot(-6)-y\cdot(-6)+(-12)=0$
Reducem ecuația: obținem $\displaystyle -6x+6y-12=0$ . Împărțim la $\displaystyle -6$ și obținem ecuația dreptei. Verificare: $\displaystyle A(0,2)$ și $\displaystyle C(6,8)$ verifică ecuația, deoarece $\displaystyle 0-2+2=0$ și $\displaystyle 6-8+2=0$ .
$\displaystyle AC:\ x-y+2=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle O(0,0)

,

\displaystyle A(0,2)

,

\displaystyle B(3,5)

și

\displaystyle C(6,8)

.

Verificați dacă punctele

\displaystyle A

,

\displaystyle B

și

\displaystyle C

sunt coliniare.

Vezi rezolvarea

Punctele $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ , $\displaystyle C$ sunt coliniare dacă determinantul format din coordonatele lor, completat cu coloana de $\displaystyle 1$ , este nul. Scriem acest determinant pentru $\displaystyle A(0,2)$ , $\displaystyle B(3,5)$ , $\displaystyle C(6,8)$ .
$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}0&2&1\\3&5&1\\6&8&1\end{vmatrix}$
Calculăm determinantul prin regula lui Sarrus: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: $\displaystyle 0\cdot 5\cdot 1+2\cdot 1\cdot 6+1\cdot 3\cdot 8-1\cdot 5\cdot 6-0\cdot 1\cdot 8-2\cdot 3\cdot 1$ .
$\displaystyle \Delta=0+12+24-30-0-6$
Efectuăm calculele: $\displaystyle 0+12+24=36$ , iar $\displaystyle 30+0+6=36$ , deci diferența este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \Delta=36-36=0$
Deoarece $\displaystyle \Delta=0$ , punctele $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ și $\displaystyle C$ sunt coliniare.
$\displaystyle \Delta=0\Rightarrow\text{ punctele }A$ , $\displaystyle B\text{ și }C\text{ sunt coliniare}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle O(0,0)

,

\displaystyle A(0,2)

,

\displaystyle B(3,5)

și

\displaystyle C(6,8)

.

Demonstrați că aria triunghiului

\displaystyle AOB

este egală cu aria triunghiului

\displaystyle BOC

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula ariei unui triunghi $\displaystyle MNP$ cu vârfurile date prin coordonate: $\displaystyle \mathcal{A}_{MNP}=\dfrac{1}{2}\left|\Delta\right|$ , unde $\displaystyle \Delta$ este determinantul format din coordonatele vârfurilor, completate cu o coloană de 1.
$\displaystyle \mathcal{A}_{MNP}=\dfrac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}x_M&y_M&1\\x_N&y_N&1\\x_P&y_P&1\end{vmatrix}\right|$
Pentru triunghiul $\displaystyle AOB$ scriem determinantul cu coordonatele punctelor $\displaystyle A(0,2)$ , $\displaystyle O(0,0)$ , $\displaystyle B(3,5)$ . Îl dezvoltăm după prima coloană, unde singurul element nenul este $\displaystyle 3$ , iar minorul său este $\displaystyle \begin{vmatrix}2&1\\0&1\end{vmatrix}=2$ . Obținem $\displaystyle \Delta=3\cdot 2=6$ , deci $\displaystyle \mathcal{A}_{AOB}=\dfrac{1}{2}\cdot 6=3$ .
$\displaystyle \begin{vmatrix}0&2&1\\0&0&1\\3&5&1\end{vmatrix}=6\Rightarrow\mathcal{A}_{AOB}=3$
Pentru triunghiul $\displaystyle BOC$ scriem determinantul cu coordonatele punctelor $\displaystyle B(3,5)$ , $\displaystyle O(0,0)$ , $\displaystyle C(6,8)$ . Îl dezvoltăm după a doua linie, unde singurul element nenul este $\displaystyle 1$ , pe poziția $\displaystyle (2,3)$ , cu semnul minus. Minorul este $\displaystyle \begin{vmatrix}3&5\\6&8\end{vmatrix}=3\cdot 8-5\cdot 6=-6$ , deci $\displaystyle \Delta=-1\cdot(-6)=6$ .
$\displaystyle \begin{vmatrix}3&5&1\\0&0&1\\6&8&1\end{vmatrix}=6$
Aria triunghiului $\displaystyle BOC$ este $\displaystyle \mathcal{A}_{BOC}=\dfrac{1}{2}\cdot 6=3$ . Cum $\displaystyle \mathcal{A}_{AOB}=3$ , cele două arii sunt egale.
$\displaystyle \mathcal{A}_{BOC}=3\Rightarrow\mathcal{A}_{AOB}=\mathcal{A}_{BOC}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}

și

\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}

.

Calculați

\displaystyle 2A+2B

.

Vezi rezolvarea

Înmulțim fiecare element al matricei $\displaystyle A$ cu $\displaystyle 2$ : $\displaystyle 2A=\begin{pmatrix}2\cdot 1&2\cdot 2\\2\cdot 3&2\cdot 4\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle 2A=\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}$
Înmulțim fiecare element al matricei $\displaystyle B$ cu $\displaystyle 2$ : $\displaystyle 2B=\begin{pmatrix}2\cdot 4&2\cdot 3\\2\cdot 2&2\cdot 1\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle 2B=\begin{pmatrix}8&6\\4&2\end{pmatrix}$
Adunăm matricele element cu element: $\displaystyle 2A+2B=\begin{pmatrix}2+8&4+6\\6+4&8+2\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle 2A+2B=\begin{pmatrix}10&10\\10&10\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}

și

\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}

.

Arătați că

\displaystyle (A-B)\cdot(B-A)=-8I_2

.

Vezi rezolvarea

Calculăm diferența $\displaystyle A-B$ scăzând element cu element: $\displaystyle 1-4$ , $\displaystyle 2-3$ , $\displaystyle 3-2$ , $\displaystyle 4-1$ .
$\displaystyle A-B=\begin{pmatrix}-3&-1\\1&3\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle B-A$ , care este opusa matricei $\displaystyle A-B$ , deci schimbăm semnul fiecărui element.
$\displaystyle B-A=\begin{pmatrix}3&1\\-1&-3\end{pmatrix}$
Scriem produsul celor două matrice și calculăm fiecare element al său, ca sumă a produselor dintre elementele liniei din prima matrice și ale coloanei din a doua.
$\displaystyle (A-B)\cdot(B-A)=\begin{pmatrix}-3&-1\\1&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&1\\-1&-3\end{pmatrix}$
Prima linie: $\displaystyle (-3)\cdot 3+(-1)\cdot(-1)=-9+1=-8$ și $\displaystyle (-3)\cdot 1+(-1)\cdot(-3)=-3+3=0$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}-8&0\end{pmatrix}$
A doua linie: $\displaystyle 1\cdot 3+3\cdot(-1)=3-3=0$ și $\displaystyle 1\cdot 1+3\cdot(-3)=1-9=-8$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}0&-8\end{pmatrix}$
Adunăm rezultatele: matricea obținută are $\displaystyle -8$ pe diagonala principală și $\displaystyle 0$ în rest, deci este $\displaystyle -8$ ori matricea unitate $\displaystyle I_2$ .
$\displaystyle (A-B)\cdot(B-A)=\begin{pmatrix}-8&0\\0&-8\end{pmatrix}=-8I_2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}

și

\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}

.

Determinați matricea

\displaystyle X=\begin{pmatrix}a&b\\1&3\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R})

cu proprietatea că

\displaystyle A\cdot X=X\cdot B

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle A\cdot X$ , înmulțind liniile lui $\displaystyle A$ cu coloanele lui $\displaystyle X$ : $\displaystyle \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\1&3\end{pmatrix}$ , cu elementele $\displaystyle 1\cdot a+2\cdot 1$ , $\displaystyle 1\cdot b+2\cdot 3$ , $\displaystyle 3a+4\cdot 1$ , $\displaystyle 3b+4\cdot 3$ .
$\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}a+2&b+6\\3a+4&3b+12\end{pmatrix}$
Calculăm produsul $\displaystyle X\cdot B$ în același mod: $\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}$ , cu elementele $\displaystyle 4a+2b$ , $\displaystyle 3a+b$ , $\displaystyle 1\cdot 4+3\cdot 2=10$ , $\displaystyle 1\cdot 3+3\cdot 1=6$ .
$\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}a+2&b+6\\3a+4&3b+12\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ X\cdot B=\begin{pmatrix}4a+2b&3a+b\\10&6\end{pmatrix}$
Din $\displaystyle A\cdot X=X\cdot B$ egalăm elementele corespunzătoare și obținem un sistem de patru ecuații.
$\displaystyle \begin{cases}a+2=4a+2b\\b+6=3a+b\\3a+4=10\\3b+12=6\end{cases}$
Din a doua ecuație, $\displaystyle b$ se reduce și rămâne $\displaystyle 3a=6$ , deci $\displaystyle a=2$ . Aceeași valoare rezultă din a treia ecuație: $\displaystyle 3a+4=10$ .
$\displaystyle a=2$
Din a patra ecuație, $\displaystyle 3b+12=6$ , deci $\displaystyle 3b=-6$ și $\displaystyle b=-2$ .
$\displaystyle b=-2$
Verificăm prima ecuație, care revine la $\displaystyle 3a+2b=2$ : $\displaystyle 6-4=2$ , deci este adevărată. Înlocuind $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ în $\displaystyle X$ , obținem matricea căutată.
$\displaystyle a=2\text{ și }b=-2\text{, deci }X=\begin{pmatrix}2&-2\\1&3\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln\frac{x}{x+e}

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to e}f(x)

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f(x)=\ln\dfrac{x}{x+e}$ este compusă din funcții continue pe $\displaystyle (0,+\infty)$ : fracția $\displaystyle \dfrac{x}{x+e}$ are numitorul pozitiv, iar logaritmul se aplică unei valori pozitive. Deci $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle e$ și limita se obține înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle e$ .
$\displaystyle \lim_{x\to e}f(x)=\lim_{x\to e}\left(\ln\frac{x}{x+e}\right)$
Înlocuim $\displaystyle x=e$ în fracția de sub logaritm: numărătorul este $\displaystyle e$ , iar numitorul este $\displaystyle e+e=2e$ .
$\displaystyle \ln\frac{e}{e+e}=\ln\frac{e}{2e}$
Simplificăm fracția prin $\displaystyle e$ și obținem răspunsul final.
$\displaystyle \lim_{x\to e}f(x)=\ln\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln\frac{x}{x+e}

.

Arătați că dreapta de ecuație

\displaystyle x=0

este asimptotă verticală la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Funcția este definită pe $\displaystyle (0,+\infty)$ , deci putem studia doar limita la dreapta în $\displaystyle 0$ . Scriem limita laterală a lui $\displaystyle f$ în $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to0\\x>0}}f(x)=\lim_{\substack{x\to0\\x>0}}\ln\frac{x}{x+e}$
Calculăm limita expresiei de sub logaritm când $\displaystyle x\to0$ , $\displaystyle x>0$ : numărătorul tinde la $\displaystyle 0$ , iar numitorul tinde la $\displaystyle e$ . Fracția tinde la $\displaystyle 0$ , cu valori pozitive.
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to0\\x>0}}\frac{x}{x+e}=\frac{0}{e}=0^{+}$
Logaritmul natural al unui număr pozitiv care tinde la $\displaystyle 0$ tinde la $\displaystyle -\infty$ . Deci limita laterală în $\displaystyle 0$ este infinită, iar dreapta $\displaystyle x=0$ este asimptotă verticală la graficul funcției $\displaystyle f$ .
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to0\\x>0}}f(x)=-\infty\Rightarrow\text{ dreapta de ecuație }x=0\text{ este asimptotă verticală }$ $\displaystyle \text{la graficul funcției }f$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln\frac{x}{x+e}

.

Determinați ecuația asimptotei spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Pentru a găsi asimptota spre $\displaystyle +\infty$ , calculăm limita funcției $\displaystyle f$ când $\displaystyle x\to+\infty$ . Dacă limita este un număr real $\displaystyle \ell$ , atunci dreapta $\displaystyle y=\ell$ este asimptotă orizontală.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\ln\frac{x}{x+e}$
Împărțim numărătorul și numitorul fracției din logaritm la $\displaystyle x$ , pentru a elimina nedeterminarea $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ .
$\displaystyle \frac{x}{x+e}=\frac{1}{1+\frac{e}{x}}$
Logaritmul este funcție continuă pe $\displaystyle (0,+\infty)$ , deci putem trece limita în interiorul lui. Cum $\displaystyle \dfrac{e}{x}\to 0$ , fracția din logaritm tinde la $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\ln\left(\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\frac{e}{x}}\right)=\ln\frac{1}{1+0}$
Deoarece $\displaystyle \ln 1=0$ , limita funcției la $\displaystyle +\infty$ este $\displaystyle 0$ . Așadar graficul are asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ dreapta $\displaystyle y=0$ .
$\displaystyle \ln 1=0\Rightarrow\text{ asimptota spre }+\infty\text{ are ecuația }y=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}x-6,&x\le 2\\x^2-a,&x>2\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

știind că funcția

\displaystyle f

este continuă în punctul

\displaystyle x=2

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=2$ dacă limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în $\displaystyle 2$ sunt egale.
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to2\\x<2}}f(x)=\lim_{\substack{x\to2\\x>2}}f(x)=f(2)$
Calculăm $\displaystyle f(2)$ folosind prima ramură, pentru că $\displaystyle 2\le 2$ . Limita la stânga are aceeași valoare, deoarece $\displaystyle x-6$ este continuă.
$\displaystyle f(2)=2-6=-4$ , $\displaystyle \quad \lim_{\substack{x\to2\\x<2}}f(x)=\lim_{x\to2}(x-6)=-4$
Calculăm limita la dreapta, folosind a doua ramură $\displaystyle x^2-a$ , care este continuă.
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to2\\x>2}}f(x)=\lim_{x\to2}(x^{2}-a)=4-a$
Egalăm limita la dreapta cu $\displaystyle f(2)$ și obținem ecuația $\displaystyle 4-a=-4$ . Rezolvând-o, găsim $\displaystyle a=8$ .
$\displaystyle 4-a=-4\Rightarrow a=8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}x-6,&x\le 2\\x^2-a,&x>2\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Pentru

\displaystyle a=8

, rezolvați ecuația

\displaystyle f(x)=0

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle a=8$ , funcția este $\displaystyle f(x)=x-6$ dacă $\displaystyle x\le 2$ și $\displaystyle f(x)=x^{2}-8$ dacă $\displaystyle x>2$ . Rezolvăm ecuația $\displaystyle f(x)=0$ separat pe fiecare ramură, începând cu ramura $\displaystyle x\le 2$ .
$\displaystyle f(x)=\begin{cases}x-6,&x\le 2\\x^{2}-8,&x>2\end{cases}$
Pe ramura $\displaystyle x\le 2$ , ecuația $\displaystyle x-6=0$ are soluția $\displaystyle x=6$ . Dar $\displaystyle 6>2$ , deci nu se află în domeniul acestei ramuri și soluția nu convine.
$\displaystyle x=6\notin(-\infty,2]\text{, deci nu convine}$
Pe ramura $\displaystyle x>2$ , ecuația devine $\displaystyle x^{2}-8=0$ , adică $\displaystyle x^{2}=8$ . Obținem $\displaystyle x=\pm\sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2}$ .
$\displaystyle x^{2}=8\Rightarrow x=-2\sqrt{2}\text{ sau }x=2\sqrt{2}$
Verificăm domeniul $\displaystyle x>2$ . Valoarea $\displaystyle -2\sqrt{2}$ este negativă, deci nu convine. Pentru $\displaystyle 2\sqrt{2}$ : $\displaystyle \left(2\sqrt{2}\right)^{2}=8>4=2^{2}$ , deci $\displaystyle 2\sqrt{2}>2$ și soluția convine. Singura soluție a ecuației este $\displaystyle x=2\sqrt{2}$ .
$\displaystyle x=-2\sqrt{2}\text{ nu convine, }x=2\sqrt{2}\text{ convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}x-6,&x\le 2\\x^2-a,&x>2\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Pentru

\displaystyle a=8

, stabiliți semnul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle a=8$ , funcția devine $\displaystyle f(x)=x-6$ pentru $\displaystyle x\le 2$ și $\displaystyle f(x)=x^{2}-8$ pentru $\displaystyle x>2$ . Studiem semnul fiecărei ramuri separat.
$\displaystyle f(x)=\begin{cases}x-6,&x\le 2\\x^{2}-8,&x>2\end{cases}$
Pe intervalul $\displaystyle (-\infty,2]$ avem $\displaystyle x\le 2$ , deci $\displaystyle x-6\le 2-6=-4<0$ . Așadar $\displaystyle f(x)$ este negativă pe tot acest interval.
$\displaystyle x\in(-\infty,2]\Rightarrow f(x)=x-6<0$
Pe ramura $\displaystyle x>2$ rezolvăm ecuația $\displaystyle x^{2}-8=0$ . Rezultă $\displaystyle x=2\sqrt{2}$ sau $\displaystyle x=-2\sqrt{2}$ . Deoarece $\displaystyle 2\sqrt{2}=\sqrt{8}>2$ , iar $\displaystyle -2\sqrt{2}<2$ , doar $\displaystyle x=2\sqrt{2}$ se află în intervalul $\displaystyle (2,+\infty)$ .
$\displaystyle x=2\sqrt{2}\in(2,+\infty)$
Pentru $\displaystyle x\in(2,2\sqrt{2})$ avem $\displaystyle 4<x^{2}<8$ , deci $\displaystyle x^{2}-8<0$ . În $\displaystyle x=2\sqrt{2}$ funcția se anulează.
$\displaystyle x\in\left(2,2\sqrt{2}\right)\Rightarrow f(x)<0;\ f\left(2\sqrt{2}\right)=0$
Pentru $\displaystyle x>2\sqrt{2}$ avem $\displaystyle x^{2}>8$ , deci $\displaystyle x^{2}-8>0$ . Deci $\displaystyle f$ este negativă pe $\displaystyle (-\infty,2\sqrt{2})$ , se anulează în $\displaystyle 2\sqrt{2}$ și este pozitivă pe $\displaystyle (2\sqrt{2},+\infty)$ .
$\displaystyle x\in\left(2\sqrt{2},+\infty\right)\Rightarrow f(x)>0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2014, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani