Bac matematică M2 științe ale naturii 2018, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul N=log⁡57+log⁡535−2log⁡5725\displaystyle N=\log_5 7+\log_5 35-2\log_5\frac{7}{25} este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula pentru suma logaritmilor cu aceeași bază: log⁡5a+log⁡5b=log⁡5(a⋅b)\displaystyle \log_5 a+\log_5 b=\log_5(a\cdot b). Astfel, primii doi termeni se unesc într-un singur logaritm.
    log⁡57+log⁡535=log⁡5(7⋅35)\displaystyle \log_5 7+\log_5 35=\log_5(7\cdot 35)
  2. Folosim formula mlog⁡5a=log⁡5am\displaystyle m\log_5 a=\log_5 a^{m} pentru m=2\displaystyle m=2 și a=725\displaystyle a=\frac{7}{25}. Scriem acum numărul N\displaystyle N cu doi logaritmi.
    N=log⁡5(7⋅35)−log⁡5(725)2\displaystyle N=\log_5(7\cdot 35)-\log_5\left(\frac{7}{25}\right)^2
  3. Folosim formula log⁡5a−log⁡5b=log⁡5ab\displaystyle \log_5 a-\log_5 b=\log_5\dfrac{a}{b}. Împărțirea la (725)2\displaystyle \left(\dfrac{7}{25}\right)^2 revine la înmulțirea cu 25272\displaystyle \dfrac{25^2}{7^2}.
    N=log⁡5(7⋅35⋅25272)\displaystyle N=\log_5\left(7\cdot 35\cdot\frac{25^2}{7^2}\right)
  4. Calculăm argumentul logaritmului. Mai întâi, 7⋅3572=24549=5\displaystyle \dfrac{7\cdot 35}{7^2}=\dfrac{245}{49}=5. Apoi, 252=625\displaystyle 25^2=625, deci argumentul este 5⋅625=3125\displaystyle 5\cdot 625=3125. Observăm că 3125=55\displaystyle 3125=5^5.
    7⋅35⋅25272=5⋅625=3125=55\displaystyle 7\cdot 35\cdot\frac{25^2}{7^2}=5\cdot 625=3125=5^5
  5. Folosim faptul că log⁡555=5\displaystyle \log_5 5^5=5. Rezultă că N=5\displaystyle N=5, deci N\displaystyle N este număr natural.
    N=log⁡555=5∈N\displaystyle N=\log_5 5^5=5\in\mathbb{N}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Știind că f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+2\displaystyle f(x)=x+2, calculați S=(f∘f)(1)+(f∘f)(2)+…+(f∘f)(10)\displaystyle S=(f\circ f)(1)+(f\circ f)(2)+\ldots+(f\circ f)(10).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm compunerea f∘f\displaystyle f\circ f: (f∘f)(x)=f(f(x))=f(x+2)=(x+2)+2=x+4\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=f(x+2)=(x+2)+2=x+4.
    (f∘f)(x)=x+4\displaystyle (f\circ f)(x)=x+4
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 1,2,…,10\displaystyle 1,2,\ldots,10 în (f∘f)(x)=x+4\displaystyle (f\circ f)(x)=x+4. Primul termen este 1+4=5\displaystyle 1+4=5, al doilea este 2+4=6\displaystyle 2+4=6, iar ultimul este 10+4=14\displaystyle 10+4=14. Suma devine suma numerelor consecutive de la 5\displaystyle 5 la 14\displaystyle 14.
    S=5+6+7+…+14\displaystyle S=5+6+7+\ldots+14
  3. Termenii 5,6,…,14\displaystyle 5,6,\ldots,14 formează o progresie aritmetică cu 10\displaystyle 10 termeni, primul termen 5\displaystyle 5 și ultimul 14\displaystyle 14. Suma este numărul de termeni înmulțit cu semisuma primului și ultimului termen: S=10⋅5+142=5⋅19=95\displaystyle S=10\cdot\dfrac{5+14}{2}=5\cdot 19=95.
    S=10⋅5+142=5⋅19=95\displaystyle S=10\cdot\dfrac{5+14}{2}=5\cdot 19=95
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2+1)+3=log⁡2(7x2+9)\displaystyle \log_2\left(x^2+1\right)+3=\log_2\left(7x^2+9\right).
Vezi rezolvarea
  1. Argumentele logaritmilor sunt strict pozitive pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}: x2+1≥1>0\displaystyle x^{2}+1\geq 1>0 și 7x2+9≥9>0\displaystyle 7x^{2}+9\geq 9>0. Deci ecuația are sens pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}
  2. Scriem numărul 3\displaystyle 3 ca logaritm în baza 2\displaystyle 2: 3=log⁡28\displaystyle 3=\log_2 8, pentru că 23=8\displaystyle 2^{3}=8.
    3=log⁡28\displaystyle 3=\log_2 8
  3. Folosim formula log⁡2a+log⁡2b=log⁡2(ab)\displaystyle \log_2 a+\log_2 b=\log_2(ab). Ecuația devine log⁡2(8(x2+1))=log⁡2(7x2+9)\displaystyle \log_2\left(8\left(x^{2}+1\right)\right)=\log_2\left(7x^{2}+9\right).
    log⁡2(8(x2+1))=log⁡2(7x2+9)\displaystyle \log_2\left(8\left(x^{2}+1\right)\right)=\log_2\left(7x^{2}+9\right)
  4. Funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: 8(x2+1)=7x2+9\displaystyle 8\left(x^{2}+1\right)=7x^{2}+9. Desfacem parantezele și obținem 8x2+8=7x2+9\displaystyle 8x^{2}+8=7x^{2}+9, apoi x2=1\displaystyle x^{2}=1.
    8(x2+1)=7x2+9⇒x2=1\displaystyle 8\left(x^{2}+1\right)=7x^{2}+9\Rightarrow x^{2}=1
  5. Din x2=1\displaystyle x^{2}=1 rezultă x=−1\displaystyle x=-1 sau x=1\displaystyle x=1. Ambele valori sunt soluții, deoarece condițiile de existență sunt îndeplinite pentru orice x\displaystyle x real. Verificare pentru x=1\displaystyle x=1: log⁡22+3=4\displaystyle \log_2 2+3=4, iar log⁡216=4\displaystyle \log_2 16=4. Pentru x=−1\displaystyle x=-1 se obține același rezultat, deoarece apare doar x2\displaystyle x^{2}.
    x=−1 sau x=1, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=-1\text{ sau }x=1\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={i,i2,i3,i4}\displaystyle A=\{i,i^2,i^3,i^4\}, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1, acesta să fie număr real.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: mulțimea A={i,i2,i3,i4}\displaystyle A=\{i,i^{2},i^{3},i^{4}\} are patru elemente, deci putem alege oricare dintre cele patru numere.
    nr. cazuri posibile=4\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=4
  2. Calculăm fiecare element al mulțimii folosind i2=−1\displaystyle i^{2}=-1: i3=i2⋅i=−i\displaystyle i^{3}=i^{2}\cdot i=-i, iar i4=i2⋅i2=(−1)⋅(−1)=1\displaystyle i^{4}=i^{2}\cdot i^{2}=(-1)\cdot(-1)=1.
    A={i, −1, −i, 1}\displaystyle A=\{i,\,-1,\,-i,\,1\}
  3. Alegem dintre aceste numere pe cele reale, adică cele fără parte imaginară nenulă: −1\displaystyle -1 și 1\displaystyle 1. Numerele i\displaystyle i și −i\displaystyle -i nu sunt reale. Avem două cazuri favorabile.
    nr. cazuri favorabile=2\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=2
  4. Aplicăm formula probabilității, raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, și simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=24=12\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(1,n)\displaystyle M(1,n), N(n,3)\displaystyle N(n,3) și P(2n,5)\displaystyle P(2n,5), unde n\displaystyle n este număr natural. Știind că vectorii MN→\displaystyle \overrightarrow{MN} și MP→\displaystyle \overrightarrow{MP} sunt coliniari, determinați numărul natural n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm coordonatele vectorilor MN→\displaystyle \overrightarrow{MN} și MP→\displaystyle \overrightarrow{MP}, scăzând coordonatele lui M(1,n)\displaystyle M(1,n) din cele ale lui N(n,3)\displaystyle N(n,3), respectiv P(2n,5)\displaystyle P(2n,5).
    MN→=(n−1)i⃗+(3−n)j⃗\displaystyle \overrightarrow{MN}=(n-1)\vec{i}+(3-n)\vec{j}, MP→=(2n−1)i⃗+(5−n)j⃗\displaystyle \ \overrightarrow{MP}=(2n-1)\vec{i}+(5-n)\vec{j}
  2. Doi vectori sunt coliniari dacă au coordonatele proporționale: n−12n−1=3−n5−n\displaystyle \dfrac{n-1}{2n-1}=\dfrac{3-n}{5-n}. Scriem condiția fără numitori, ca egalitate de produse.
    (n−1)(5−n)=(3−n)(2n−1)\displaystyle (n-1)(5-n)=(3-n)(2n-1)
  3. Efectuăm produsele: în stânga (n−1)(5−n)=−n2+6n−5\displaystyle (n-1)(5-n)=-n^{2}+6n-5, iar în dreapta (3−n)(2n−1)=−2n2+7n−3\displaystyle (3-n)(2n-1)=-2n^{2}+7n-3.
    −n2+6n−5=−2n2+7n−3\displaystyle -n^{2}+6n-5=-2n^{2}+7n-3
  4. Mutăm toți termenii în stânga și reducem termenii asemenea, ceea ce dă o ecuație de gradul al doilea.
    n2−n−2=0\displaystyle n^{2}-n-2=0
  5. Rezolvăm ecuația: Δ=1+8=9\displaystyle \Delta=1+8=9, deci n=1±32\displaystyle n=\dfrac{1\pm 3}{2}, adică n=2\displaystyle n=2 sau n=−1\displaystyle n=-1. Cum n\displaystyle n este număr natural, rămâne n=2\displaystyle n=2. Verificare: pentru n=2\displaystyle n=2 avem MN→=(1,1)\displaystyle \overrightarrow{MN}=(1,1) și MP→=(3,3)\displaystyle \overrightarrow{MP}=(3,3), deci vectorii sunt coliniari.
    n=2\displaystyle n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡(x−π3)+cos⁡(x+π6)=0\displaystyle \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm primul termen cu formula sinusului diferenței, sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\displaystyle \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b, pentru a=x\displaystyle a=x și b=π3\displaystyle b=\dfrac{\pi}{3}.
    sin⁡(x−π3)=sin⁡xcos⁡π3−cos⁡xsin⁡π3\displaystyle \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin x\cos\frac{\pi}{3}-\cos x\sin\frac{\pi}{3}
  2. Dezvoltăm al doilea termen cu formula cosinusului sumei, cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\displaystyle \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b, pentru a=x\displaystyle a=x și b=π6\displaystyle b=\dfrac{\pi}{6}.
    cos⁡(x+π6)=cos⁡xcos⁡π6−sin⁡xsin⁡π6\displaystyle \cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos x\cos\frac{\pi}{6}-\sin x\sin\frac{\pi}{6}
  3. Adunăm cele două dezvoltări și obținem expresia scrisă cu unghiurile π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3} și π6\displaystyle \dfrac{\pi}{6}.
    sin⁡xcos⁡π3−sin⁡π3cos⁡x+cos⁡xcos⁡π6−sin⁡xsin⁡π6\displaystyle \sin x\cos\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}\cos x+\cos x\cos\frac{\pi}{6}-\sin x\sin\frac{\pi}{6}
  4. Folosim valorile unghiurilor remarcabile: cos⁡π3=12=sin⁡π6\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}=\sin\dfrac{\pi}{6} și sin⁡π3=32=cos⁡π6\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos\dfrac{\pi}{6}.
    cos⁡π3=sin⁡π6=12\displaystyle \cos\frac{\pi}{3}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}, sin⁡π3=cos⁡π6=32\displaystyle \ \sin\frac{\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}
  5. Înlocuim în sumă: termenii cu sin⁡x\displaystyle \sin x se reduc, 12sin⁡x−12sin⁡x=0\displaystyle \dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\sin x=0, iar termenii cu cos⁡x\displaystyle \cos x se reduc, −32cos⁡x+32cos⁡x=0\displaystyle -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x=0. Deci suma este 0\displaystyle 0 pentru orice x\displaystyle x real.
    12sin⁡x−32cos⁡x+32cos⁡x−12sin⁡x=0\displaystyle \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și X(a)=(241391aa21)\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}2&4&1\\3&9&1\\a&a^2&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(X(−1))=12\displaystyle \det(X(-1))=12.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−1\displaystyle a=-1 în matricea X(a)\displaystyle X(a). Cum (−1)2=1\displaystyle (-1)^{2}=1, ultima linie devine −1, 1, 1\displaystyle -1,\ 1,\ 1.
    X(−1)=(241391−111)\displaystyle X(-1)=\begin{pmatrix}2&4&1\\3&9&1\\-1&1&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei X(−1)\displaystyle X(-1).
    det⁡(X(−1))=∣241391−111∣\displaystyle \det(X(-1))=\begin{vmatrix}2&4&1\\3&9&1\\-1&1&1\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula lui Sarrus. Produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei sunt 2⋅9⋅1\displaystyle 2\cdot 9\cdot 1, 4⋅1⋅(−1)\displaystyle 4\cdot 1\cdot(-1) și 1⋅3⋅1\displaystyle 1\cdot 3\cdot 1, adică 18\displaystyle 18, −4\displaystyle -4 și 3\displaystyle 3.
    18+(−4)+3\displaystyle 18+(-4)+3
  4. Produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei sunt 1⋅9⋅(−1)\displaystyle 1\cdot 9\cdot(-1), 2⋅1⋅1\displaystyle 2\cdot 1\cdot 1 și 4⋅3⋅1\displaystyle 4\cdot 3\cdot 1, adică −9\displaystyle -9, 2\displaystyle 2 și 12\displaystyle 12. Ele se scad din primele.
    −(−9)−2−12\displaystyle -(-9)-2-12
  5. Adunăm cele două grupe de termeni și calculăm: 18+3−4+9−12−2=12\displaystyle 18+3-4+9-12-2=12.
    18+3+(−4)−(−9)−12−2=12\displaystyle 18+3+(-4)-(-9)-12-2=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și X(a)=(241391aa21)\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}2&4&1\\3&9&1\\a&a^2&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(X(a)−I3)=0\displaystyle \det(X(a)-I_3)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scădem matricea unitate din X(a)\displaystyle X(a): se scade 1\displaystyle 1 de pe diagonala principală, iar celelalte elemente rămân neschimbate.
    X(a)−I3=(141381aa20)\displaystyle X(a)-I_3=\begin{pmatrix}1&4&1\\3&8&1\\a&a^2&0\end{pmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după ultima linie, care conține un zero. Avem doi termeni: a⋅∣4181∣\displaystyle a\cdot\begin{vmatrix}4&1\\8&1\end{vmatrix} și −a2⋅∣1131∣\displaystyle -a^2\cdot\begin{vmatrix}1&1\\3&1\end{vmatrix}, iar termenul cu 0\displaystyle 0 dispare.
    det⁡(X(a)−I3)=a⋅∣4181∣−a2⋅∣1131∣+0\displaystyle \det(X(a)-I_3)=a\cdot\begin{vmatrix}4&1\\8&1\end{vmatrix}-a^2\cdot\begin{vmatrix}1&1\\3&1\end{vmatrix}+0
  3. Calculăm determinanții de ordin 2\displaystyle 2: 4⋅1−1⋅8=−4\displaystyle 4\cdot 1-1\cdot 8=-4 și 1⋅1−1⋅3=−2\displaystyle 1\cdot 1-1\cdot 3=-2. Înlocuim și obținem valoarea determinantului.
    det⁡(X(a)−I3)=−4a+2a2=2a2−4a\displaystyle \det(X(a)-I_3)=-4a+2a^2=2a^2-4a
  4. Egalăm determinantul cu zero: 2a2−4a=0\displaystyle 2a^2-4a=0. Dăm factor comun pe 2a\displaystyle 2a și obținem 2a(a−2)=0\displaystyle 2a(a-2)=0. Un produs este nul dacă unul dintre factori este nul.
    2a(a−2)=0\displaystyle 2a(a-2)=0
  5. Din 2a=0\displaystyle 2a=0 rezultă a=0\displaystyle a=0, iar din a−2=0\displaystyle a-2=0 rezultă a=2\displaystyle a=2. Deci determinantul este nul pentru cele două valori ale lui a\displaystyle a.
    a=0 sau a=2\displaystyle a=0\text{ sau }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și X(a)=(241391aa21)\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}2&4&1\\3&9&1\\a&a^2&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,4)\displaystyle A(2,4), B(3,9)\displaystyle B(3,9) și C(a,a2)\displaystyle C(a,a^2), unde a\displaystyle a este număr natural. Determinați numerele naturale a\displaystyle a pentru care ABC\displaystyle ABC este triunghi și are aria mai mică decât 3.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C formează triunghi dacă Δ=det⁡X(a)≠0\displaystyle \Delta=\det X(a)\neq 0, iar aria este A=12∣Δ∣\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{1}{2}|\Delta|, unde Δ=∣241391aa21∣\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}2&4&1\\3&9&1\\a&a^2&1\end{vmatrix}.
    A=12∣Δ∣\displaystyle \mathcal{A}=\frac{1}{2}|\Delta|, Δ=∣241391aa21∣\displaystyle \ \Delta=\begin{vmatrix}2&4&1\\3&9&1\\a&a^2&1\end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm după prima linie: Δ=2(9−a2)−4(3−a)+(3a2−9a)=18−2a2−12+4a+3a2−9a\displaystyle \Delta=2(9-a^2)-4(3-a)+(3a^2-9a)=18-2a^2-12+4a+3a^2-9a. Reducem termenii asemenea.
    Δ=a2−5a+6\displaystyle \Delta=a^2-5a+6
  3. Condiția de triunghi este a2−5a+6≠0\displaystyle a^2-5a+6\neq 0. Cum a2−5a+6=(a−2)(a−3)\displaystyle a^2-5a+6=(a-2)(a-3), rădăcinile sunt 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3, deci trebuie a≠2\displaystyle a\neq 2 și a≠3\displaystyle a\neq 3.
    a2−5a+6≠0  ⟺  a∉{2,3}\displaystyle a^2-5a+6\neq 0\iff a\notin\{2,3\}
  4. Cerem 12∣a2−5a+6∣<3\displaystyle \dfrac{1}{2}|a^2-5a+6|<3, adică ∣a2−5a+6∣<6\displaystyle |a^2-5a+6|<6, deci −6<a2−5a+6<6\displaystyle -6<a^2-5a+6<6.
    −6<a2−5a+6<6\displaystyle -6<a^2-5a+6<6
  5. Inegalitatea a2−5a+12>0\displaystyle a^2-5a+12>0 este adevărată pentru orice a\displaystyle a real, deoarece Δ=25−48<0\displaystyle \Delta=25-48<0. Inegalitatea a2−5a<0\displaystyle a^2-5a<0 înseamnă a(a−5)<0\displaystyle a(a-5)<0, deci a∈(0,5)\displaystyle a\in(0,5).
    a∈(0,5)\displaystyle a\in(0,5)
  6. Numerele naturale din (0,5)\displaystyle (0,5) sunt 1,2,3,4\displaystyle 1,2,3,4. Eliminăm 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3, pentru care punctele sunt coliniare. Rămân a=1\displaystyle a=1 și a=4\displaystyle a=4, pentru care aria este 12⋅2=1<3\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot 2=1<3.
    a=1 sau a=4\displaystyle a=1\text{ sau }a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră matricea M(x)=(1+3x3x−3x1−3x)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1+3x&3x\\-3x&1-3x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că M(x)M(y)=M(x+y)\displaystyle M(x)M(y)=M(x+y), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul matricelor M(x)\displaystyle M(x) și M(y)\displaystyle M(y), pentru x\displaystyle x și y\displaystyle y numere reale oarecare. Fiecare element al produsului se obține înmulțind linia din prima matrice cu coloana din a doua.
    M(x)M(y)=(1+3x3x−3x1−3x)(1+3y3y−3y1−3y)\displaystyle M(x)M(y)=\begin{pmatrix}1+3x&3x\\-3x&1-3x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1+3y&3y\\-3y&1-3y\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului: de exemplu, elementul de pe linia 1, coloana 1 este (1+3x)(1+3y)+3x⋅(−3y)\displaystyle (1+3x)(1+3y)+3x\cdot(-3y), iar cel de pe linia 2, coloana 2 este −3x⋅3y+(1−3x)(1−3y)\displaystyle -3x\cdot 3y+(1-3x)(1-3y). Procedăm la fel pentru celelalte două elemente și efectuăm înmulțirile, fără să reducem încă termenii.
    (1+3y+3x+9xy−9xy3y+9xy+3x−9xy−3x−9xy−3y+9xy−9xy+1−3y−3x+9xy)\displaystyle \begin{pmatrix}1+3y+3x+9xy-9xy&3y+9xy+3x-9xy\\-3x-9xy-3y+9xy&-9xy+1-3y-3x+9xy\end{pmatrix}
  3. Reducem termenii asemenea. În fiecare element, termenii 9xy\displaystyle 9xy și −9xy\displaystyle -9xy se anulează, iar rămân doar termenii în x\displaystyle x și în y\displaystyle y.
    (1+3x+3y3x+3y−3x−3y1−3x−3y)\displaystyle \begin{pmatrix}1+3x+3y&3x+3y\\-3x-3y&1-3x-3y\end{pmatrix}
  4. Dăm factor comun 3\displaystyle 3 în fiecare element: 3x+3y=3(x+y)\displaystyle 3x+3y=3(x+y). Obținem exact forma matricei M\displaystyle M calculată în numărul real x+y\displaystyle x+y, deci M(x)M(y)=M(x+y)\displaystyle M(x)M(y)=M(x+y), pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    (1+3(x+y)3(x+y)−3(x+y)1−3(x+y))=M(x+y)\displaystyle \begin{pmatrix}1+3(x+y)&3(x+y)\\-3(x+y)&1-3(x+y)\end{pmatrix}=M(x+y)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră matricea M(x)=(1+3x3x−3x1−3x)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1+3x&3x\\-3x&1-3x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați inversa matricei M(x)\displaystyle M(x), unde x\displaystyle x este număr real.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul M(x)M(y)\displaystyle M(x)M(y) pentru x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este (1+3x)(1+3y)+3x⋅(−3y)=1+3x+3y\displaystyle (1+3x)(1+3y)+3x\cdot(-3y)=1+3x+3y, adică 1+3(x+y)\displaystyle 1+3(x+y). Analog, celelalte elemente ies 3(x+y)\displaystyle 3(x+y), −3(x+y)\displaystyle -3(x+y) și 1−3(x+y)\displaystyle 1-3(x+y). Deci M(x)M(y)=M(x+y)\displaystyle M(x)M(y)=M(x+y).
    M(x)M(y)=(1+3(x+y)3(x+y)−3(x+y)1−3(x+y))=M(x+y)\displaystyle M(x)M(y)=\begin{pmatrix}1+3(x+y)&3(x+y)\\-3(x+y)&1-3(x+y)\end{pmatrix}=M(x+y)
  2. Pentru x=0\displaystyle x=0 obținem M(0)=(1001)\displaystyle M(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, adică matricea unitate de ordin 2.
    M(0)=I2\displaystyle M(0)=I_2
  3. Alegem y=−x\displaystyle y=-x în relația M(x)M(y)=M(x+y)\displaystyle M(x)M(y)=M(x+y). Obținem M(x)M(−x)=M(x+(−x))=M(0)=I2\displaystyle M(x)M(-x)=M(x+(-x))=M(0)=I_2.
    M(x)M(−x)=M(x+(−x))=M(0)=I2\displaystyle M(x)M(-x)=M(x+(-x))=M(0)=I_2
  4. Înmulțirea în ordine inversă dă același rezultat: M(−x)M(x)=M((−x)+x)=M(0)=I2\displaystyle M(-x)M(x)=M((-x)+x)=M(0)=I_2. Deci M(−x)\displaystyle M(-x) este inversa lui M(x)\displaystyle M(x). O scriem explicit, înlocuind x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în matricea M(x)\displaystyle M(x): 1+3(−x)=1−3x\displaystyle 1+3(-x)=1-3x, 3(−x)=−3x\displaystyle 3(-x)=-3x, −3(−x)=3x\displaystyle -3(-x)=3x, 1−3(−x)=1+3x\displaystyle 1-3(-x)=1+3x.
    M(−x)M(x)=M(0)=I2\displaystyle M(-x)M(x)=M(0)=I_2, (M(x))−1=M(−x)=(1−3x−3x3x1+3x)\displaystyle \ \left(M(x)\right)^{-1}=M(-x)=\begin{pmatrix}1-3x&-3x\\3x&1+3x\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră matricea M(x)=(1+3x3x−3x1−3x)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1+3x&3x\\-3x&1-3x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real pozitiv x\displaystyle x pentru care are loc egalitatea M(x)M(x+5)=M(5)\displaystyle M(\sqrt{x})M(\sqrt{x+5})=M(5).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul M(x)M(y)\displaystyle M(x)M(y). Elementul din stânga sus: (1+3x)(1+3y)+3x⋅(−3y)=1+3x+3y+9xy−9xy=1+3(x+y)\displaystyle (1+3x)(1+3y)+3x\cdot(-3y)=1+3x+3y+9xy-9xy=1+3(x+y). Elementul din dreapta sus: (1+3x)⋅3y+3x(1−3y)=3(x+y)\displaystyle (1+3x)\cdot 3y+3x(1-3y)=3(x+y). Analog se verifică și celelalte elemente, deci M(x)M(y)=M(x+y)\displaystyle M(x)M(y)=M(x+y).
    M(x)M(y)=M(x+y)\displaystyle M(x)M(y)=M(x+y)
  2. Aplicăm formula pentru produsul din enunț: M(x)M(x+5)=M(x+x+5)\displaystyle M(\sqrt{x})M(\sqrt{x+5})=M(\sqrt{x}+\sqrt{x+5}). Egalitatea devine M(x+x+5)=M(5)\displaystyle M(\sqrt{x}+\sqrt{x+5})=M(5).
    M(x+x+5)=M(5)\displaystyle M(\sqrt{x}+\sqrt{x+5})=M(5)
  3. Matricele M(a)\displaystyle M(a) și M(b)\displaystyle M(b) sunt egale doar dacă elementele lor coincid; din elementul din dreapta sus 3a=3b\displaystyle 3a=3b rezultă a=b\displaystyle a=b. Deci suma radicalilor este egală cu 5\displaystyle 5.
    x+x+5=5\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{x+5}=5
  4. Izolăm un radical: x+5=5−x\displaystyle \sqrt{x+5}=5-\sqrt{x}. Egalitatea este posibilă doar dacă 5−x≥0\displaystyle 5-\sqrt{x}\ge 0, adică x≤25\displaystyle x\le 25.
    x+5=5−x\displaystyle \sqrt{x+5}=5-\sqrt{x}, x≤25\displaystyle \ x\le 25
  5. Ridicăm la pătrat: x+5=25−10x+x\displaystyle x+5=25-10\sqrt{x}+x. Reducem x\displaystyle x și rămâne 10x=20\displaystyle 10\sqrt{x}=20, deci x=2\displaystyle \sqrt{x}=2.
    x=2\displaystyle \sqrt{x}=2
  6. Rezultă x=4\displaystyle x=4, număr pozitiv. Verificare: 4+9=2+3=5\displaystyle \sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5, deci x=4\displaystyle x=4 convine.
    x=4\displaystyle x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x−2x\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-2}{x}.

Calculați lim⁡x→2f(x)x−2\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)}{x-2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2−x−2x\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}-x-2}{x} în expresia de sub limită, deci f(x)x−2=x2−x−2x(x−2)\displaystyle \dfrac{f(x)}{x-2}=\dfrac{x^{2}-x-2}{x(x-2)}.
    lim⁡x→2f(x)x−2=lim⁡x→2x2−x−2x(x−2)\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-x-2}{x(x-2)}
  2. Pentru x=2\displaystyle x=2 numărătorul este 22−2−2=0\displaystyle 2^{2}-2-2=0, iar numitorul este 2⋅0=0\displaystyle 2\cdot 0=0. Avem nedeterminare de tip 00\displaystyle \dfrac{0}{0}.
    00\displaystyle \frac{0}{0}
  3. Rădăcinile trinomului x2−x−2\displaystyle x^{2}-x-2 sunt x1=2\displaystyle x_1=2 și x2=−1\displaystyle x_2=-1, deci x2−x−2=(x−2)(x+1)\displaystyle x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
    lim⁡x→2(x−2)(x+1)x(x−2)\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+1)}{x(x-2)}
  4. Pentru x≠2\displaystyle x\neq 2 simplificăm factorul x−2\displaystyle x-2 și obținem x+1x\displaystyle \dfrac{x+1}{x}. Apoi înlocuim x=2\displaystyle x=2: 2+12=32\displaystyle \dfrac{2+1}{2}=\dfrac{3}{2}.
    lim⁡x→2x+1x=32\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x+1}{x}=\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x−2x\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-2}{x}.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} și n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right).
    y=mx+n\displaystyle y=mx+n, m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle \ m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}, n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle \ n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)
  2. Scriem raportul: f(x)x=x2−x−2x⋅x=x2−x−2x2\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x^{2}-x-2}{x\cdot x}=\dfrac{x^{2}-x-2}{x^{2}}.
    f(x)x=x2−x−2x2\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{x^{2}-x-2}{x^{2}}
  3. Numărătorul și numitorul au același grad, deci limita este raportul coeficienților dominanți: m=lim⁡x→+∞x2−x−2x2=lim⁡x→+∞(1−1x−2x2)=1\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}-x-2}{x^{2}}=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}\right)=1.
    m=lim⁡x→+∞x2−x−2x2=1\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}-x-2}{x^{2}}=1
  4. Calculăm f(x)−x=x2−x−2x−x=x2−x−2−x2x=−x−2x\displaystyle f(x)-x=\dfrac{x^{2}-x-2}{x}-x=\dfrac{x^{2}-x-2-x^{2}}{x}=\dfrac{-x-2}{x}.
    f(x)−x=−x−2x\displaystyle f(x)-x=\frac{-x-2}{x}
  5. Separăm fracția: −x−2x=−1−2x\displaystyle \dfrac{-x-2}{x}=-1-\dfrac{2}{x}, deci n=lim⁡x→+∞(−1−2x)=−1\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(-1-\dfrac{2}{x}\right)=-1.
    n=lim⁡x→+∞−x−2x=−1\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x-2}{x}=-1
  6. Înlocuind m=1\displaystyle m=1 și n=−1\displaystyle n=-1 în y=mx+n\displaystyle y=mx+n, obținem asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty: y=x−1\displaystyle y=x-1.
    y=x−1\displaystyle y=x-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x−2x\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-2}{x}.

Demonstrați că există un singur număr natural nenul m\displaystyle m pentru care lim⁡x→+∞f(mx)f(x)=m2−m\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(mx)}{f(x)}=m^2-m.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu mx\displaystyle mx în formula funcției: f(mx)=(mx)2−mx−2mx\displaystyle f(mx)=\dfrac{(mx)^{2}-mx-2}{mx}, adică f(mx)=m2x2−mx−2mx\displaystyle f(mx)=\dfrac{m^{2}x^{2}-mx-2}{mx}.
    f(mx)=m2x2−mx−2mx\displaystyle f(mx)=\frac{m^{2}x^{2}-mx-2}{mx}
  2. Raportul se scrie ca produs: f(mx)f(x)=m2x2−mx−2mx⋅xx2−x−2\displaystyle \dfrac{f(mx)}{f(x)}=\dfrac{m^{2}x^{2}-mx-2}{mx}\cdot\dfrac{x}{x^{2}-x-2}.
    f(mx)f(x)=m2x2−mx−2mx⋅xx2−x−2\displaystyle \frac{f(mx)}{f(x)}=\frac{m^{2}x^{2}-mx-2}{mx}\cdot\frac{x}{x^{2}-x-2}
  3. Simplificăm prin x\displaystyle x: m2x2−mx−2m(x2−x−2)\displaystyle \dfrac{m^{2}x^{2}-mx-2}{m\left(x^{2}-x-2\right)}. Împărțim numărătorul și numitorul la x2\displaystyle x^{2}: m2−mx−2x2m(1−1x−2x2)\displaystyle \dfrac{m^{2}-\frac{m}{x}-\frac{2}{x^{2}}}{m\left(1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}\right)}. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, fracțiile cu x\displaystyle x la numitor tind la 0\displaystyle 0, deci limita este m2m=m\displaystyle \dfrac{m^{2}}{m}=m.
    lim⁡x→+∞f(mx)f(x)=m2m=m\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(mx)}{f(x)}=\frac{m^{2}}{m}=m
  4. Condiția din enunț este m=m2−m\displaystyle m=m^{2}-m, deci m2−2m=0\displaystyle m^{2}-2m=0, adică m(m−2)=0\displaystyle m(m-2)=0. Cum m\displaystyle m este nenul, rezultă m=2\displaystyle m=2, singura valoare naturală nenulă cu proprietatea cerută.
    m=m2−m⇒m(m−2)=0⇒m=2\displaystyle m=m^{2}-m\Rightarrow m(m-2)=0\Rightarrow m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x2−ax+2a−4,x∈(−∞,2)2x−1−2,x∈[2,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2-ax+2a-4,&x\in(-\infty,2)\\2^{x-1}-2,&x\in[2,+\infty)\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că lim⁡x→−∞4f(x)(1−2x)2=1\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{4f(x)}{(1-2x)^2}=1, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty avem x<2\displaystyle x<2, deci folosim prima ramură a funcției: f(x)=x2−ax+2a−4\displaystyle f(x)=x^{2}-ax+2a-4.
    f(x)=x2−ax+2a−4\displaystyle f(x)=x^{2}-ax+2a-4
  2. Dezvoltăm pătratul de la numitor: (1−2x)2=1−4x+4x2\displaystyle (1-2x)^{2}=1-4x+4x^{2}. Înlocuim în limită.
    lim⁡x→−∞4f(x)(1−2x)2=lim⁡x→−∞4(x2−ax+2a−4)1−4x+4x2\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{4f(x)}{(1-2x)^2}=\lim_{x\to-\infty}\frac{4(x^2-ax+2a-4)}{1-4x+4x^2}
  3. Efectuăm înmulțirea cu 4\displaystyle 4 la numărător și ordonăm numitorul descrescător după puteri. Numărătorul și numitorul sunt polinoame de gradul al doilea, cu coeficienții dominanți 4\displaystyle 4 și 4\displaystyle 4.
    lim⁡x→−∞4x2−4ax+8a−164x2−4x+1\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{4x^2-4ax+8a-16}{4x^2-4x+1}
  4. Împărțim numărătorul și numitorul la x2\displaystyle x^{2}: 4−4ax+8a−16x24−4x+1x2\displaystyle \dfrac{4-\dfrac{4a}{x}+\dfrac{8a-16}{x^{2}}}{4-\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}. Fracțiile cu x\displaystyle x sau x2\displaystyle x^{2} la numitor tind la 0\displaystyle 0, deoarece a\displaystyle a este constantă.
    lim⁡x→−∞4−4ax+8a−16x24−4x+1x2=4−0+04−0+0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{4-\frac{4a}{x}+\frac{8a-16}{x^{2}}}{4-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^{2}}}=\frac{4-0+0}{4-0+0}
  5. Rezultă că limita este 44=1\displaystyle \dfrac{4}{4}=1, pentru orice număr real a\displaystyle a.
    lim⁡x→−∞4x2−4ax+8a−164x2−4x+1=1\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{4x^2-4ax+8a-16}{4x^2-4x+1}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x2−ax+2a−4,x∈(−∞,2)2x−1−2,x∈[2,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2-ax+2a-4,&x\in(-\infty,2)\\2^{x-1}-2,&x\in[2,+\infty)\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Pe fiecare interval deschis, funcția este dată de o expresie elementară: o funcție polinomială x2−ax+2a−4\displaystyle x^{2}-ax+2a-4 pe (−∞,2)\displaystyle (-\infty,2) și o funcție exponențială 2x−1−2\displaystyle 2^{x-1}-2 pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty). Aceste funcții sunt continue pe domeniile lor, deci f\displaystyle f este continuă pe R∖{2}\displaystyle \mathbb{R}\setminus\{2\}. Rămâne de verificat continuitatea în punctul de separare x=2\displaystyle x=2.
    f este continua˘ pe R∖{2}\displaystyle f\text{ este continuă pe }\mathbb{R}\setminus\{2\}
  2. Calculăm limita la stânga în 2\displaystyle 2: înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în expresia polinomială. Se obține 4−2a+2a−4\displaystyle 4-2a+2a-4, iar termenii cu a\displaystyle a se reduc, deci limita este 0\displaystyle 0 pentru orice a\displaystyle a.
    lim⁡x→2, x<2f(x)=lim⁡x→2, x<2(x2−ax+2a−4)=4−2a+2a−4=0\displaystyle \lim_{x\to 2,\,x<2}f(x)=\lim_{x\to 2,\,x<2}(x^{2}-ax+2a-4)=4-2a+2a-4=0
  3. Calculăm limita la dreapta în 2\displaystyle 2: înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în expresia exponențială, care este continuă. Obținem 21−2=0\displaystyle 2^{1}-2=0. Valoarea funcției în 2\displaystyle 2 se calculează cu aceeași expresie, deoarece 2∈[2,+∞)\displaystyle 2\in[2,+\infty). Deci limitele laterale și f(2)\displaystyle f(2) sunt egale cu 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→2, x<2f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to 2,\,x<2}f(x)=0, lim⁡x→2, x>2f(x)=21−2=0\displaystyle \ \lim_{x\to 2,\,x>2}f(x)=2^{1}-2=0, f(2)=21−2=0\displaystyle \ f(2)=2^{1}-2=0
  4. Cum limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în 2\displaystyle 2 sunt egale, f\displaystyle f este continuă în 2\displaystyle 2. Împreună cu continuitatea pe R∖{2}\displaystyle \mathbb{R}\setminus\{2\}, rezultă că f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, pentru orice număr real a\displaystyle a.
    f este continua˘ pe R\displaystyle f\text{ este continuă pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x2−ax+2a−4,x∈(−∞,2)2x−1−2,x∈[2,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2-ax+2a-4,&x\in(-\infty,2)\\2^{x-1}-2,&x\in[2,+\infty)\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că, pentru orice număr real a\displaystyle a, a<3\displaystyle a<3, ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are cel puțin o soluție în intervalul (1,3)\displaystyle (1,3).
Vezi rezolvarea
  1. Deoarece 1<2\displaystyle 1<2, pentru f(1)\displaystyle f(1) folosim prima ramură a funcției, f(x)=x2−ax+2a−4\displaystyle f(x)=x^{2}-ax+2a-4. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și obținem f(1)=1−a+2a−4=a−3\displaystyle f(1)=1-a+2a-4=a-3.
    f(1)=1−a+2a−4=a−3\displaystyle f(1)=1-a+2a-4=a-3
  2. Deoarece 3≥2\displaystyle 3\geq 2, pentru f(3)\displaystyle f(3) folosim a doua ramură, f(x)=2x−1−2\displaystyle f(x)=2^{x-1}-2. Obținem f(3)=22−2=2\displaystyle f(3)=2^{2}-2=2. Împreună cu pasul anterior: f(1)=a−3\displaystyle f(1)=a-3 și f(3)=2\displaystyle f(3)=2.
    f(1)=a−3\displaystyle f(1)=a-3, f(3)=22−2=2\displaystyle \ f(3)=2^{2}-2=2
  3. Folosim ipoteza a<3\displaystyle a<3. Rezultă că a−3<0\displaystyle a-3<0, deci f(1)<0\displaystyle f(1)<0, iar f(3)=2>0\displaystyle f(3)=2>0. Produsul f(1)⋅f(3)\displaystyle f(1)\cdot f(3) este negativ.
    f(1)=a−3<0\displaystyle f(1)=a-3<0, f(3)=2>0 ⇒ f(1)⋅f(3)<0\displaystyle \ f(3)=2>0\ \Rightarrow\ f(1)\cdot f(3)<0
  4. Verificăm continuitatea funcției f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R}. Pe (−∞,2)\displaystyle (-\infty,2) funcția f\displaystyle f este polinomială, iar pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty) este exponențială, deci f\displaystyle f este continuă pe fiecare ramură. În x=2\displaystyle x=2 calculăm limita la stânga: lim⁡x↗2f(x)=4−2a+2a−4=0\displaystyle \lim_{x\nearrow 2}f(x)=4-2a+2a-4=0, limita la dreapta: lim⁡x↘2f(x)=21−2=0\displaystyle \lim_{x\searrow 2}f(x)=2^{1}-2=0, iar f(2)=21−2=0\displaystyle f(2)=2^{1}-2=0. Cele trei valori coincid, deci f\displaystyle f este continuă în 2\displaystyle 2, pentru orice a\displaystyle a real. Așadar f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, în particular pe [1,3]\displaystyle [1,3].
    lim⁡x↗2f(x)=lim⁡x↘2f(x)=f(2)=0 ⇒ f continua˘ pe R\displaystyle \lim_{x\nearrow 2}f(x)=\lim_{x\searrow 2}f(x)=f(2)=0\ \Rightarrow\ f\text{ continuă pe }\mathbb{R}
  5. Funcția f\displaystyle f este continuă pe [1,3]\displaystyle [1,3] și f(1)⋅f(3)<0\displaystyle f(1)\cdot f(3)<0, deci f\displaystyle f ia valori de semne opuse la capetele intervalului. Din proprietatea lui Darboux (teorema valorilor intermediare), există c∈(1,3)\displaystyle c\in(1,3) cu f(c)=0\displaystyle f(c)=0. Deci ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are cel puțin o soluție în intervalul (1,3)\displaystyle (1,3), pentru orice a<3\displaystyle a<3.
    f(1)⋅f(3)<0, deci ecuația f(x)=0 are cel puțin o soluție \displaystyle f(1)\cdot f(3)<0\text{, deci ecuația }f(x)=0\text{ are cel puțin o soluție }ıˆn (1,3)\displaystyle \text{în }(1,3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.