Bac matematică M2 științe ale naturii 2019, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numărul complex z\displaystyle z, știind că 3z+2z‾=5+2i\displaystyle 3z+2\overline{z}=5+2i, unde z‾\displaystyle \overline{z} este conjugatul lui z\displaystyle z.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem numărul complex sub forma z=a+ib\displaystyle z=a+ib, cu a,b∈R\displaystyle a,b\in\mathbb{R}. Atunci conjugatul lui z\displaystyle z este z‾=a−ib\displaystyle \overline{z}=a-ib.
    z=a+ib\displaystyle z=a+ib,z‾=a−ib\displaystyle \quad \overline{z}=a-ib
  2. Înlocuim z\displaystyle z și z‾\displaystyle \overline{z} în egalitatea dată 3z+2z‾=5+2i\displaystyle 3z+2\overline{z}=5+2i.
    3(a+ib)+2(a−ib)=5+2i\displaystyle 3(a+ib)+2(a-ib)=5+2i
  3. Desfacem parantezele și grupăm termenii: 3a+3ib+2a−2ib=5a+ib\displaystyle 3a+3ib+2a-2ib=5a+ib. Deci egalitatea devine:
    5a+ib=5+2i\displaystyle 5a+ib=5+2i
  4. Două numere complexe sunt egale dacă au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară. Obținem sistemul: 5a=5\displaystyle 5a=5 și b=2\displaystyle b=2.
    {5a=5b=2\displaystyle \begin{cases}5a=5\\ b=2\end{cases}
  5. Rezolvăm sistemul: a=1\displaystyle a=1 și b=2\displaystyle b=2. Deci numărul căutat este z=1+2i\displaystyle z=1+2i.
    a=1 și b=2, deci z=1+2i\displaystyle a=1\text{ și }b=2\text{, deci }z=1+2i
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+a\displaystyle f(x)=x+a, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care (f∘f∘f)(x)=x+3\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=x+3, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm (f∘f)(x)=f(f(x))\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x)). Înlocuim pe x\displaystyle x cu f(x)=x+a\displaystyle f(x)=x+a în expresia lui f\displaystyle f.
    (f∘f)(x)=f(x+a)=(x+a)+a=x+2a\displaystyle (f\circ f)(x)=f(x+a)=(x+a)+a=x+2a
  2. Pentru (f∘f∘f)(x)\displaystyle (f\circ f\circ f)(x) aplicăm încă o dată f\displaystyle f rezultatului x+2a\displaystyle x+2a: (f∘f∘f)(x)=f((f∘f)(x))=f(x+2a)\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=f\big((f\circ f)(x)\big)=f(x+2a).
    (f∘f∘f)(x)=(x+2a)+a=x+3a\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=(x+2a)+a=x+3a
  3. Egalăm x+3a=x+3\displaystyle x+3a=x+3 pentru orice x\displaystyle x real. Termenii în x\displaystyle x se reduc, deci rămâne 3a=3\displaystyle 3a=3, de unde a=1\displaystyle a=1.
    x+3a=x+3, deci a=1\displaystyle x+3a=x+3\text{, deci }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(2x+3)−log⁡3x=1\displaystyle \log_3(2x+3)-\log_3 x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive. Din 2x+3>0\displaystyle 2x+3>0 rezultă x>−32\displaystyle x>-\dfrac{3}{2}, iar din x>0\displaystyle x>0 rezultă x>0\displaystyle x>0. Intersecția condițiilor dă x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty)
  2. Aplicăm proprietatea logaritmului câtului: diferența a doi logaritmi în aceeași bază este logaritmul câtului argumentelor, deci log⁡3(2x+3)−log⁡3x=log⁡32x+3x\displaystyle \log_3(2x+3)-\log_3 x=\log_3\dfrac{2x+3}{x}.
    log⁡32x+3x=1\displaystyle \log_3\frac{2x+3}{x}=1
  3. Din definiția logaritmului, log⁡3a=1\displaystyle \log_3 a=1 înseamnă a=31=3\displaystyle a=3^{1}=3. Obținem ecuația cu fracție 2x+3x=3\displaystyle \dfrac{2x+3}{x}=3.
    2x+3x=3\displaystyle \frac{2x+3}{x}=3
  4. Înmulțim ecuația cu x\displaystyle x, care este nenul deoarece x>0\displaystyle x>0, și obținem 2x+3=3x\displaystyle 2x+3=3x. Rezultă x=3\displaystyle x=3.
    2x+3=3x⇒x=3\displaystyle 2x+3=3x\Rightarrow x=3
  5. Verificăm condiția de existență: 3>0\displaystyle 3>0, deci soluția convine. Verificare: log⁡39−log⁡33=2−1=1\displaystyle \log_3 9-\log_3 3=2-1=1. Soluția ecuației este x=3\displaystyle x=3.
    x=3, care convine\displaystyle x=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să se dividă cu 10\displaystyle 10.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de trei cifre sunt 100,101,…,999\displaystyle 100, 101, \ldots, 999. Numărul cazurilor posibile este 999−100+1=900\displaystyle 999-100+1=900.
    900\displaystyle 900
  2. Un număr este divizibil cu 10\displaystyle 10 dacă ultima cifră este 0\displaystyle 0. Numerele de trei cifre divizibile cu 10\displaystyle 10 sunt 100,110,…,990\displaystyle 100, 110, \ldots, 990, adică 10k\displaystyle 10k cu k∈{10,11,…,99}\displaystyle k\in\{10, 11, \ldots, 99\}.
    10k\displaystyle 10k, k∈{10,11,…,99}\displaystyle \ k\in\{10,11,\ldots,99\}
  3. Numărul valorilor lui k\displaystyle k este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90. Deci sunt 90\displaystyle 90 de cazuri favorabile.
    90\displaystyle 90
  4. Aplicăm formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=90900\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{90}{900}, iar după simplificarea cu 90\displaystyle 90 obținem rezultatul.
    p=90900=110\displaystyle p=\frac{90}{900}=\frac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care vectorii u⃗=(a+1)i⃗+(5a−1)j⃗\displaystyle \vec{u}=(a+1)\vec{i}+(5a-1)\vec{j} și v⃗=i⃗+3j⃗\displaystyle \vec{v}=\vec{i}+3\vec{j} sunt coliniari.
Vezi rezolvarea
  1. Citim coordonatele vectorilor: u⃗\displaystyle \vec{u} are coordonatele (a+1, 5a−1)\displaystyle (a+1,\ 5a-1), iar v⃗\displaystyle \vec{v} are coordonatele (1, 3)\displaystyle (1,\ 3).
    u⃗=(a+1, 5a−1)\displaystyle \vec{u}=(a+1,\ 5a-1),v⃗=(1, 3)\displaystyle \quad \vec{v}=(1,\ 3)
  2. Doi vectori sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale, deci scriem egalitatea rapoartelor coordonatelor corespunzătoare: a+11=5a−13\displaystyle \dfrac{a+1}{1}=\dfrac{5a-1}{3}.
    a+11=5a−13\displaystyle \frac{a+1}{1}=\frac{5a-1}{3}
  3. Înmulțim în cruce și obținem ecuația de gradul întâi: 3(a+1)=5a−1\displaystyle 3(a+1)=5a-1, adică 3a+3=5a−1\displaystyle 3a+3=5a-1.
    3a+3=5a−1\displaystyle 3a+3=5a-1
  4. Mutăm termenii cu a\displaystyle a într-o parte și numerele în cealaltă: 3+1=5a−3a\displaystyle 3+1=5a-3a, deci 4=2a\displaystyle 4=2a.
    4=2a\displaystyle 4=2a
  5. Împărțim la 2 și obținem a=2\displaystyle a=2. Verificare: u⃗=3i⃗+9j⃗=3(i⃗+3j⃗)=3v⃗\displaystyle \vec{u}=3\vec{i}+9\vec{j}=3(\vec{i}+3\vec{j})=3\vec{v}, deci vectorii sunt coliniari.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că AB=6\displaystyle AB=6, AC=10\displaystyle AC=10 și cos⁡A=35\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim relația fundamentală sin⁡2A+cos⁡2A=1\displaystyle \sin^{2}A+\cos^{2}A=1 și înlocuim cos⁡A=35\displaystyle \cos A=\dfrac{3}{5}.
    sin⁡2A=1−(35)2=1−925=1625\displaystyle \sin^{2}A=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}
  2. Într-un triunghi, unghiul A\displaystyle A este între 0∘\displaystyle 0^\circ și 180∘\displaystyle 180^\circ, deci sinusul este pozitiv. Luăm rădăcina pozitivă.
    sin⁡A=1625=45\displaystyle \sin A=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{4}{5}
  3. Aplicăm formula ariei cu două laturi și sinusul unghiului dintre ele: AΔABC=AB⋅AC⋅sin⁡A2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}.
    AΔABC=6⋅10⋅452\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{6\cdot 10\cdot\frac{4}{5}}{2}
  4. Calculăm: 6⋅10=60\displaystyle 6\cdot 10=60, 60⋅45=48\displaystyle 60\cdot\dfrac{4}{5}=48, iar 482=24\displaystyle \dfrac{48}{2}=24.
    AΔABC=24\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=24
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea M(x)=(x+10x+20x03−x04−x)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x+1&0&x+2\\0&x&0\\3-x&0&4-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real. Calculați det⁡(M(−1))\displaystyle \det(M(-1)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 în fiecare element al matricei: x+1=0\displaystyle x+1=0, x+2=1\displaystyle x+2=1, x=−1\displaystyle x=-1, 3−x=4\displaystyle 3-x=4, 4−x=5\displaystyle 4-x=5.
    M(−1)=(0010−10405)\displaystyle M(-1)=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\4&0&5\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei M(−1)\displaystyle M(-1).
    det⁡(M(−1))=∣0010−10405∣\displaystyle \det(M(-1))=\begin{vmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\4&0&5\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula triunghiului. Termenii cu plus sunt 0⋅(−1)⋅5\displaystyle 0\cdot(-1)\cdot 5, 0⋅0⋅4\displaystyle 0\cdot 0\cdot 4 și 1⋅0⋅0\displaystyle 1\cdot 0\cdot 0. Toți conțin un factor 0\displaystyle 0, deci sunt nuli.
    0⋅(−1)⋅5+0⋅0⋅4+1⋅0⋅0=0\displaystyle 0\cdot(-1)\cdot 5+0\cdot 0\cdot 4+1\cdot 0\cdot 0=0
  4. Termenii cu minus sunt 1⋅(−1)⋅4\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 4, 0⋅0⋅5\displaystyle 0\cdot 0\cdot 5 și 0⋅0⋅0\displaystyle 0\cdot 0\cdot 0. Doar primul este nenul: 1⋅(−1)⋅4=−4\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 4=-4.
    1⋅(−1)⋅4+0⋅0⋅5+0⋅0⋅0=−4\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 4+0\cdot 0\cdot 5+0\cdot 0\cdot 0=-4
  5. Scădem: det⁡(M(−1))=0−(−4)\displaystyle \det(M(-1))=0-(-4).
    det⁡(M(−1))=0+0+0−(−4)−0−0=4\displaystyle \det(M(-1))=0+0+0-(-4)-0-0=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea M(x)=(x+10x+20x03−x04−x)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x+1&0&x+2\\0&x&0\\3-x&0&4-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că M(x)+M(y)=M(0)+M(x+y)\displaystyle M(x)+M(y)=M(0)+M(x+y), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuind x\displaystyle x cu y\displaystyle y în forma lui M(x)\displaystyle M(x), obținem matricea M(y)\displaystyle M(y).
    M(y)=(y+10y+20y03−y04−y)\displaystyle M(y)=\begin{pmatrix}y+1&0&y+2\\0&y&0\\3-y&0&4-y\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele M(x)\displaystyle M(x) și M(y)\displaystyle M(y) element cu element: pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1) avem (x+1)+(y+1)\displaystyle (x+1)+(y+1), pe (1,3)\displaystyle (1,3) avem (x+2)+(y+2)\displaystyle (x+2)+(y+2), pe (2,2)\displaystyle (2,2) avem x+y\displaystyle x+y, pe (3,1)\displaystyle (3,1) avem (3−x)+(3−y)\displaystyle (3-x)+(3-y), pe (3,3)\displaystyle (3,3) avem (4−x)+(4−y)\displaystyle (4-x)+(4-y), iar celelalte elemente sunt 0\displaystyle 0.
    M(x)+M(y)=(x+y+20x+y+40x+y06−x−y08−x−y)\displaystyle M(x)+M(y)=\begin{pmatrix}x+y+2&0&x+y+4\\0&x+y&0\\6-x-y&0&8-x-y\end{pmatrix}
  3. Calculăm M(0)\displaystyle M(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în matricea dată.
    M(0)=(102000304)\displaystyle M(0)=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&0&0\\3&0&4\end{pmatrix}
  4. Scriem matricea M(x+y)\displaystyle M(x+y), înlocuind x\displaystyle x cu x+y\displaystyle x+y.
    M(x+y)=((x+y)+10(x+y)+20x+y03−(x+y)04−(x+y))\displaystyle M(x+y)=\begin{pmatrix}(x+y)+1&0&(x+y)+2\\0&x+y&0\\3-(x+y)&0&4-(x+y)\end{pmatrix}
  5. Descompunem suma obținută la pasul 2 ca sumă de două matrice. De exemplu x+y+2=1+((x+y)+1)\displaystyle x+y+2=1+((x+y)+1), x+y+4=2+((x+y)+2)\displaystyle x+y+4=2+((x+y)+2), 6−x−y=3+(3−(x+y))\displaystyle 6-x-y=3+(3-(x+y)), 8−x−y=4+(4−(x+y))\displaystyle 8-x-y=4+(4-(x+y)), iar elementul x+y\displaystyle x+y de pe poziția (2,2)\displaystyle (2,2) este 0+(x+y)\displaystyle 0+(x+y). Obținem M(0)+M(x+y)\displaystyle M(0)+M(x+y), deci egalitatea este demonstrată.
    M(x)+M(y)=(102000304)+((x+y)+10(x+y)+20x+y03−(x+y)04−(x+y))=M(0)+M(x+y)\displaystyle M(x)+M(y)=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&0&0\\3&0&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}(x+y)+1&0&(x+y)+2\\0&x+y&0\\3-(x+y)&0&4-(x+y)\end{pmatrix}=M(0)+M(x+y)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea M(x)=(x+10x+20x03−x04−x)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x+1&0&x+2\\0&x&0\\3-x&0&4-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați perechile de numere naturale m\displaystyle m și n\displaystyle n, știind că suma elementelor matricei M(m)⋅M(1)\displaystyle M(m)\cdot M(1) este egală cu suma elementelor matricei M(1)⋅M(n)\displaystyle M(1)\cdot M(n).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea M(1)\displaystyle M(1), înlocuind x=1\displaystyle x=1 în matricea dată.
    M(1)=(203010203)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}2&0&3\\0&1&0\\2&0&3\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul M(m)⋅M(1)\displaystyle M(m)\cdot M(1), înmulțind fiecare linie a lui M(m)\displaystyle M(m) cu coloanele lui M(1)\displaystyle M(1). De exemplu, elementul din stânga sus este (m+1)⋅2+(m+2)⋅2=4m+6\displaystyle (m+1)\cdot 2+(m+2)\cdot 2=4m+6, iar elementul din dreapta sus este (m+1)⋅3+(m+2)⋅3=6m+9\displaystyle (m+1)\cdot 3+(m+2)\cdot 3=6m+9.
    M(m)⋅M(1)=(4m+606m+90m014−4m021−6m)\displaystyle M(m)\cdot M(1)=\begin{pmatrix}4m+6&0&6m+9\\0&m&0\\14-4m&0&21-6m\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul M(1)⋅M(n)\displaystyle M(1)\cdot M(n) în același fel. De exemplu, elementul din stânga sus este 2(n+1)+3(3−n)=11−n\displaystyle 2(n+1)+3(3-n)=11-n, iar elementul din dreapta sus este 2(n+2)+3(4−n)=16−n\displaystyle 2(n+2)+3(4-n)=16-n. Prima și a treia linie a lui M(1)\displaystyle M(1) coincid, deci și liniile corespunzătoare din produs coincid.
    M(1)⋅M(n)=(11−n016−n0n011−n016−n)\displaystyle M(1)\cdot M(n)=\begin{pmatrix}11-n&0&16-n\\0&n&0\\11-n&0&16-n\end{pmatrix}
  4. Adunăm elementele matricei M(m)⋅M(1)\displaystyle M(m)\cdot M(1): (4m+6)+(6m+9)+m+(14−4m)+(21−6m)=50+m\displaystyle (4m+6)+(6m+9)+m+(14-4m)+(21-6m)=50+m.
    S1=50+m\displaystyle S_1=50+m
  5. Adunăm elementele matricei M(1)⋅M(n)\displaystyle M(1)\cdot M(n): 2(11−n)+2(16−n)+n=54−3n\displaystyle 2(11-n)+2(16-n)+n=54-3n.
    S2=54−3n\displaystyle S_2=54-3n
  6. Egalăm cele două sume și obținem ecuația 50+m=54−3n\displaystyle 50+m=54-3n, adică m+3n=4\displaystyle m+3n=4. Căutăm soluții în numere naturale: din 3n≤4\displaystyle 3n\le 4 rezultă n=0\displaystyle n=0 sau n=1\displaystyle n=1. Pentru n=0\displaystyle n=0 obținem m=4\displaystyle m=4, iar pentru n=1\displaystyle n=1 obținem m=1\displaystyle m=1. Perechile (m,n)\displaystyle (m,n) sunt (1,1)\displaystyle (1,1) și (4,0)\displaystyle (4,0).
    50+m=54−3n⇔m+3n=4, deci (m,n)=(1,1) sau (m,n)=(4,0)\displaystyle 50+m=54-3n\Leftrightarrow m+3n=4\text{, deci }(m,n)=(1,1)\text{ sau }(m,n)=(4,0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=4x+4y−4xy−3\displaystyle x*y=4x+4y-4xy-3. Demonstrați că x∗y=1−4(x−1)(y−1)\displaystyle x*y=1-4(x-1)(y-1), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∗y=4x+4y−4xy−3\displaystyle x*y=4x+4y-4xy-3 și scriem −3=1−4\displaystyle -3=1-4. Rearanjăm termenii:
    x∗y=1−4xy+4x+4y−4\displaystyle x*y=1-4xy+4x+4y-4
  2. Grupăm termenii: −4xy+4x=−4x(y−1)\displaystyle -4xy+4x=-4x(y-1), iar 4y−4=4(y−1)\displaystyle 4y-4=4(y-1).
    x∗y=1−4x(y−1)+4(y−1)\displaystyle x*y=1-4x(y-1)+4(y-1)
  3. Scoatem factor comun y−1\displaystyle y-1: −4x(y−1)+4(y−1)=(y−1)(−4x+4)=−4(x−1)(y−1)\displaystyle -4x(y-1)+4(y-1)=(y-1)(-4x+4)=-4(x-1)(y-1). Deci egalitatea este demonstrată pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=1−4(x−1)(y−1)\displaystyle x*y=1-4(x-1)(y-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=4x+4y−4xy−3\displaystyle x*y=4x+4y-4xy-3.

Arătați că x∗1x≥1\displaystyle x*\frac{1}{x}\ge 1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție pentru y=1x\displaystyle y=\dfrac{1}{x}. Înlocuim în definiția x∗y=4x+4y−4xy−3\displaystyle x*y=4x+4y-4xy-3 și obținem expresia lui x∗1x\displaystyle x*\dfrac{1}{x}.
    x∗1x=4x+4x−4x⋅1x−3=4x+4x−7\displaystyle x*\frac{1}{x}=4x+\frac{4}{x}-4x\cdot\frac{1}{x}-3=4x+\frac{4}{x}-7
  2. Folosim forma din subpunctul a): x∗y=1−4(x−1)(y−1)\displaystyle x*y=1-4(x-1)(y-1). Se verifică prin desfacerea parantezelor: 1−4(xy−x−y+1)=4x+4y−4xy−3\displaystyle 1-4(xy-x-y+1)=4x+4y-4xy-3. Pentru y=1x\displaystyle y=\dfrac{1}{x} avem 1x−1=1−xx\displaystyle \dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}, deci înlocuim în formulă.
    x∗1x=1−4(x−1)(1x−1)=1−4(x−1)⋅1−xx\displaystyle x*\frac{1}{x}=1-4(x-1)\left(\frac{1}{x}-1\right)=1-4(x-1)\cdot\frac{1-x}{x}
  3. Scriem 1−x=−(x−1)\displaystyle 1-x=-(x-1), deci (x−1)(1−x)=−(x−1)2\displaystyle (x-1)(1-x)=-(x-1)^{2}. Cei doi minus se anulează și rămâne 1\displaystyle 1 plus o fracție cu numărătorul 4(x−1)2\displaystyle 4(x-1)^{2}.
    x∗1x=1+4(x−1)2x\displaystyle x*\frac{1}{x}=1+\frac{4(x-1)^{2}}{x}
  4. Pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty) avem x>0\displaystyle x>0 și 4(x−1)2≥0\displaystyle 4(x-1)^{2}\ge 0, deci fracția 4(x−1)2x≥0\displaystyle \dfrac{4(x-1)^{2}}{x}\ge 0. Adunată la 1\displaystyle 1, rezultă inegalitatea cerută, cu egalitate pentru x=1\displaystyle x=1.
    x∗1x=1+4(x−1)2x≥1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x*\frac{1}{x}=1+\frac{4(x-1)^{2}}{x}\ge 1\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=4x+4y−4xy−3\displaystyle x*y=4x+4y-4xy-3.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗x∗x∗x=x\displaystyle x*x*x*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub o formă mai comodă. Observăm că (x−1)(y−1)=xy−x−y+1\displaystyle (x-1)(y-1)=xy-x-y+1, deci 1−4(x−1)(y−1)=4x+4y−4xy−3\displaystyle 1-4(x-1)(y-1)=4x+4y-4xy-3. Așadar x∗y=1−4(x−1)(y−1)\displaystyle x*y=1-4(x-1)(y-1).
    x∗y=1−4(x−1)(y−1)\displaystyle x*y=1-4(x-1)(y-1)
  2. Calculăm x∗x\displaystyle x*x punând y=x\displaystyle y=x în forma obținută.
    x∗x=1−4(x−1)2\displaystyle x*x=1-4(x-1)^{2}
  3. Calculăm x∗x∗x=(x∗x)∗x\displaystyle x*x*x=(x*x)*x. Avem x∗x−1=−4(x−1)2\displaystyle x*x-1=-4(x-1)^{2}, deci x∗x∗x=1−4⋅(−4(x−1)2)(x−1)\displaystyle x*x*x=1-4\cdot\left(-4(x-1)^{2}\right)(x-1).
    x∗x∗x=1+42(x−1)3\displaystyle x*x*x=1+4^{2}(x-1)^{3}
  4. Calculăm x∗x∗x∗x=(x∗x∗x)∗x\displaystyle x*x*x*x=(x*x*x)*x. Avem x∗x∗x−1=16(x−1)3\displaystyle x*x*x-1=16(x-1)^{3}, deci x∗x∗x∗x=1−4⋅16(x−1)3(x−1)\displaystyle x*x*x*x=1-4\cdot 16(x-1)^{3}(x-1).
    x∗x∗x∗x=1−43(x−1)4\displaystyle x*x*x*x=1-4^{3}(x-1)^{4}
  5. Scriem ecuația x∗x∗x∗x=x\displaystyle x*x*x*x=x, adică 1−64(x−1)4=x\displaystyle 1-64(x-1)^{4}=x. Scriem 1−x=−(x−1)\displaystyle 1-x=-(x-1) și mutăm termenii într-o parte.
    −(x−1)−64(x−1)4=0\displaystyle -(x-1)-64(x-1)^{4}=0
  6. Dăm factor comun pe x−1\displaystyle x-1 și înmulțim ecuația cu −1\displaystyle -1.
    (x−1)(1+43(x−1)3)=0\displaystyle (x-1)\left(1+4^{3}(x-1)^{3}\right)=0
  7. Un produs este zero dacă un factor este zero. Din x−1=0\displaystyle x-1=0 obținem x=1\displaystyle x=1. Din 1+64(x−1)3=0\displaystyle 1+64(x-1)^{3}=0 obținem (x−1)3=−164\displaystyle (x-1)^{3}=-\dfrac{1}{64}, deci x−1=−14\displaystyle x-1=-\dfrac{1}{4} și x=34\displaystyle x=\dfrac{3}{4}. Ambele valori convin, deoarece x\displaystyle x poate fi orice număr real.
    x=34 sau x=1\displaystyle x=\frac{3}{4}\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=5ln⁡x−x2−3x\displaystyle f(x)=5\ln x-x^2-3x.

Arătați că f′(x)=(1−x)(2x+5)x\displaystyle f'(x)=\frac{(1-x)(2x+5)}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen: (5ln⁡x)′=5x\displaystyle (5\ln x)'=\dfrac{5}{x}, (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x, (3x)′=3\displaystyle (3x)'=3.
    f′(x)=5⋅1x−2x−3\displaystyle f'(x)=5\cdot\frac{1}{x}-2x-3
  2. Aducem toți termenii la numitorul comun x\displaystyle x: −2x=−2x2x\displaystyle -2x=\dfrac{-2x^{2}}{x} și −3=−3xx\displaystyle -3=\dfrac{-3x}{x}.
    f′(x)=5−2x2−3xx=−2x2−3x+5x\displaystyle f'(x)=\frac{5-2x^{2}-3x}{x}=\frac{-2x^2-3x+5}{x}
  3. Descompunem numărătorul în factori. Rădăcinile ecuației −2x2−3x+5=0\displaystyle -2x^{2}-3x+5=0 sunt x=1\displaystyle x=1 și x=−52\displaystyle x=-\dfrac{5}{2}, deci numărătorul este (1−x)(2x+5)\displaystyle (1-x)(2x+5). Verificăm prin înmulțire: (1−x)(2x+5)=2x+5−2x2−5x=−2x2−3x+5\displaystyle (1-x)(2x+5)=2x+5-2x^{2}-5x=-2x^{2}-3x+5.
    −2x2−3x+5=(1−x)(2x+5)\displaystyle -2x^{2}-3x+5=(1-x)(2x+5)
  4. Înlocuim numărătorul factorizat în expresia derivatei și obținem egalitatea cerută, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=(1−x)(2x+5)x, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=\frac{(1-x)(2x+5)}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=5ln⁡x−x2−3x\displaystyle f(x)=5\ln x-x^2-3x.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este concavă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că f\displaystyle f este concavă, calculăm derivata a doua și arătăm că este negativă. Mai întâi calculăm derivata întâi, folosind (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x} și (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x.
    f′(x)=5x−2x−3\displaystyle f'(x)=\dfrac{5}{x}-2x-3, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  2. Derivăm încă o dată. Derivata lui 5x\displaystyle \dfrac{5}{x} este −5x2\displaystyle -\dfrac{5}{x^{2}}, derivata lui −2x\displaystyle -2x este −2\displaystyle -2, iar constanta −3\displaystyle -3 dispare. Apoi aducem la același numitor: −2=−2x2x2\displaystyle -2=\dfrac{-2x^{2}}{x^{2}}.
    f′′(x)=−5x2−2=−2x2−5x2\displaystyle f''(x)=-\dfrac{5}{x^{2}}-2=\dfrac{-2x^{2}-5}{x^{2}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  3. Studiem semnul fracției. Numărătorul −2x2−5\displaystyle -2x^{2}-5 este strict negativ, deoarece x2≥0\displaystyle x^{2}\ge 0 implică −2x2−5≤−5<0\displaystyle -2x^{2}-5\le -5<0. Numitorul x2\displaystyle x^{2} este strict pozitiv pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    −2x2−5<0 și x2>0\displaystyle -2x^{2}-5<0\text{ și }x^{2}>0
  4. Raportul dintre un număr negativ și unul pozitiv este negativ, deci f′′(x)<0\displaystyle f''(x)<0 pe tot intervalul. Prin urmare funcția f\displaystyle f este concavă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′′(x)<0, pentru orice x∈(0,+∞), deci f este concava˘ pe (0,+∞)\displaystyle f''(x)<0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{, deci }f\text{ este concavă pe }(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=5ln⁡x−x2−3x\displaystyle f(x)=5\ln x-x^2-3x.

Demonstrați că 5ln⁡x≤x2+3x−4\displaystyle 5\ln x\le x^2+3x-4, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Inegalitatea 5ln⁡x≤x2+3x−4\displaystyle 5\ln x\le x^2+3x-4 este echivalentă cu f(x)≤−4\displaystyle f(x)\le -4. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′(x)=5x−2x−3\displaystyle f'(x)=\dfrac{5}{x}-2x-3
  2. Aducem la același numitor: f′(x)=5−2x2−3xx\displaystyle f'(x)=\dfrac{5-2x^2-3x}{x}. Descompunem numărătorul: −2x2−3x+5=−(x−1)(2x+5)\displaystyle -2x^2-3x+5=-(x-1)(2x+5). Numitorul x\displaystyle x este pozitiv, deci semnul lui f′\displaystyle f' este dat de numărător.
    f′(x)=−(x−1)(2x+5)x=(1−x)(2x+5)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{-(x-1)(2x+5)}{x}=\dfrac{(1-x)(2x+5)}{x}
  3. Pentru x>0\displaystyle x>0, factorii 2x+5\displaystyle 2x+5 și x\displaystyle x sunt pozitivi, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este semnul lui 1−x\displaystyle 1-x. Avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pe (0,1)\displaystyle (0,1) și f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty). Deci f\displaystyle f este crescătoare pe (0,1]\displaystyle (0,1] și descrescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), iar f\displaystyle f are maxim în x=1\displaystyle x=1.
    f cresca˘toare pe (0,1]\displaystyle f\text{ crescătoare pe }(0,1], f descresca˘toare pe [1,+∞)⇒f(x)≤f(1)\displaystyle \ f\text{ descrescătoare pe }[1,+\infty)\Rightarrow f(x)\le f(1)
  4. Calculăm f(1)=5ln⁡1−12−3⋅1=0−1−3=−4\displaystyle f(1)=5\ln 1-1^2-3\cdot 1=0-1-3=-4. Din f(x)≤f(1)\displaystyle f(x)\le f(1) rezultă 5ln⁡x−x2−3x≤−4\displaystyle 5\ln x-x^2-3x\le -4. Mutând x2+3x\displaystyle x^2+3x în membrul drept, obținem 5ln⁡x≤x2+3x−4\displaystyle 5\ln x\le x^2+3x-4, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f(1)=−4⇒5ln⁡x−x2−3x≤−4, deci 5ln⁡x≤x2+3x−4\displaystyle f(1)=-4\Rightarrow 5\ln x-x^2-3x\le -4\text{, deci }5\ln x\le x^2+3x-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+4x+5)ex\displaystyle f(x)=(x^2+4x+5)e^x.

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R}. Atunci F\displaystyle F este derivabilă și derivata ei este chiar f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x)=(x2+4x+5)ex, x∈R\displaystyle F'(x)=f(x)=(x^2+4x+5)e^x\text{, }x\in\mathbb{R}
  2. Studiem semnul trinomului x2+4x+5\displaystyle x^2+4x+5. Discriminantul este Δ=16−20=−4<0\displaystyle \Delta=16-20=-4<0, iar coeficientul lui x2\displaystyle x^2 este pozitiv, deci trinomul este pozitiv pentru orice x\displaystyle x real. Altfel: x2+4x+5=(x+2)2+1\displaystyle x^2+4x+5=(x+2)^2+1.
    x2+4x+5=(x+2)2+1≥1>0, ∀x∈R\displaystyle x^2+4x+5=(x+2)^2+1\geq 1>0\text{, }\forall x\in\mathbb{R}
  3. Exponențiala ex\displaystyle e^x este strict pozitivă pentru orice x\displaystyle x real. Produsul a doi factori strict pozitivi este strict pozitiv, deci f(x)>0\displaystyle f(x)>0.
    f(x)=(x2+4x+5)ex>0, ∀x∈R\displaystyle f(x)=(x^2+4x+5)e^x>0\text{, }\forall x\in\mathbb{R}
  4. Deoarece derivata primitivei F\displaystyle F este strict pozitivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, funcția F\displaystyle F este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}. Cum F\displaystyle F a fost aleasă arbitrar, orice primitivă a lui f\displaystyle f este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f(x)>0⇒F′(x)>0, deci F este cresca˘toare pe R\displaystyle f(x)>0\Rightarrow F'(x)>0\text{, deci }F\text{ este crescătoare pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+4x+5)ex\displaystyle f(x)=(x^2+4x+5)e^x.

Calculați ∫01(f(x)−x2ex−5ex)dx\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-x^2e^x-5e^x\right)dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=(x2+4x+5)ex\displaystyle f(x)=(x^2+4x+5)e^x în integrand: ∫01((x2+4x+5)ex−x2ex−5ex)dx\displaystyle \int_0^1\left((x^2+4x+5)e^x-x^2e^x-5e^x\right)dx.
    ∫01((x2+4x+5)ex−x2ex−5ex)dx\displaystyle \int_0^1\left((x^2+4x+5)e^x-x^2e^x-5e^x\right)dx
  2. Desfacem produsul: x2ex+4xex+5ex−x2ex−5ex=4xex\displaystyle x^2e^x+4xe^x+5e^x-x^2e^x-5e^x=4xe^x. Deci integrala devine ∫014xex dx\displaystyle \int_0^1 4xe^x\,dx.
    ∫014xex dx\displaystyle \int_0^1 4xe^x\,dx
  3. Scoatem constanta 4 în fața integralei și alegem u=x\displaystyle u=x, dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x. Atunci ∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex=(x−1)ex\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x=(x-1)e^x.
    ∫xex dx=(x−1)ex\displaystyle \int xe^x\,dx=(x-1)e^x
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫014xex dx=4(x−1)ex∣01\displaystyle \int_0^1 4xe^x\,dx=4(x-1)e^x\Big|_0^1.
    4(x−1)ex∣01\displaystyle 4(x-1)e^x\Big|_0^1
  5. Pentru x=1\displaystyle x=1: 4(1−1)e1=0\displaystyle 4(1-1)e^1=0. Pentru x=0\displaystyle x=0: 4(0−1)e0=−4\displaystyle 4(0-1)e^0=-4. Deci rezultatul este 0−(−4)=4\displaystyle 0-(-4)=4.
    0−4⋅(−1)=4\displaystyle 0-4\cdot(-1)=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+4x+5)ex\displaystyle f(x)=(x^2+4x+5)e^x.

Demonstrați că e2−1e3≤∫−3−1f(x)dx≤2(e2−1)e3\displaystyle \frac{e^2-1}{e^3}\le\int_{-3}^{-1}f(x)dx\le\frac{2(e^2-1)}{e^3}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem trinomul x2+4x+5\displaystyle x^2+4x+5 sub formă canonică: x2+4x+5=(x+2)2+1\displaystyle x^2+4x+5=(x+2)^2+1.
    x2+4x+5=(x+2)2+1\displaystyle x^2+4x+5=(x+2)^2+1
  2. Pentru x∈[−3,−1]\displaystyle x\in[-3,-1] avem x+2∈[−1,1]\displaystyle x+2\in[-1,1], deci 0≤(x+2)2≤1\displaystyle 0\le(x+2)^2\le 1. Adunând 1\displaystyle 1, obținem 1≤x2+4x+5≤2\displaystyle 1\le x^2+4x+5\le 2.
    1≤x2+4x+5≤2\displaystyle 1\le x^2+4x+5\le 2
  3. Înmulțim inegalitățile cu ex>0\displaystyle e^x>0, deci sensul se păstrează, iar pentru x∈[−3,−1]\displaystyle x\in[-3,-1] obținem încadrarea lui f\displaystyle f.
    ex≤f(x)≤2ex\displaystyle e^x\le f(x)\le 2e^x, ∀x∈[−3,−1]\displaystyle \ \forall x\in[-3,-1]
  4. Integrăm inegalitatea pe [−3,−1]\displaystyle [-3,-1], folosind monotonia integralei și scoțând constanta 2\displaystyle 2 în fața integralei.
    ∫−3−1exdx≤∫−3−1f(x)dx≤2∫−3−1exdx\displaystyle \int_{-3}^{-1}e^x dx\le\int_{-3}^{-1}f(x)dx\le 2\int_{-3}^{-1}e^x dx
  5. Calculăm ∫−3−1exdx\displaystyle \int_{-3}^{-1}e^x dx cu formula Leibniz-Newton și aducem rezultatul la aceeași formă fracționară.
    ∫−3−1exdx=e−1−e−3=e2−1e3\displaystyle \int_{-3}^{-1}e^x dx=e^{-1}-e^{-3}=\frac{e^2-1}{e^3}
  6. Înlocuim valoarea integralei în dubla inegalitate și obținem concluzia cerută.
    e2−1e3≤∫−3−1f(x)dx≤2(e2−1)e3\displaystyle \frac{e^2-1}{e^3}\le\int_{-3}^{-1}f(x)dx\le\frac{2(e^2-1)}{e^3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.