Bac matematică M2 științe ale naturii 2017, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numărul real x\displaystyle x, știind că numerele x+2\displaystyle x+2, 7\displaystyle 7 și 2x\displaystyle 2x sunt în progresie aritmetică.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică, termenul din mijloc este media aritmetică a celorlalți doi: 7=(x+2)+2x2\displaystyle 7=\dfrac{(x+2)+2x}{2}. Echivalent, dublul termenului din mijloc este egal cu suma extremelor.
    7=(x+2)+2x2\displaystyle 7=\dfrac{(x+2)+2x}{2}
  2. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și obținem relația dintre extreme și termenul din mijloc.
    (x+2)+2x=2⋅7\displaystyle (x+2)+2x=2\cdot 7
  3. Reducem termenii asemenea: 3x+2=14\displaystyle 3x+2=14.
    3x+2=14\displaystyle 3x+2=14
  4. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri: 3x=12\displaystyle 3x=12, apoi împărțim la 3\displaystyle 3. Verificare: pentru x=4\displaystyle x=4 termenii sunt 6\displaystyle 6, 7\displaystyle 7, 8\displaystyle 8, în progresie aritmetică cu rația 1\displaystyle 1.
    x=4\displaystyle x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 soluțiile ecuației x2−2(m−1)x+2m2−2m=0\displaystyle x^2-2(m-1)x+2m^2-2m=0. Determinați numărul real m\displaystyle m, m≠0\displaystyle m\neq 0, m≠1\displaystyle m\neq 1 pentru care x1x2+x2x1=4\displaystyle \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=4.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem relațiile lui Viète pentru ecuația x2−2(m−1)x+2m2−2m=0\displaystyle x^2-2(m-1)x+2m^2-2m=0: suma rădăcinilor este x1+x2=−−2(m−1)1\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{-2(m-1)}{1}, iar produsul este x1x2=2m2−2m\displaystyle x_1x_2=2m^2-2m.
    x1+x2=2(m−1) și x1x2=2m(m−1)\displaystyle x_1+x_2=2(m-1)\text{ și }x_1x_2=2m(m-1)
  2. Exprimăm suma pătratelor cu formula x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2\displaystyle x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2. Înlocuim: x12+x22=4(m−1)2−4m(m−1)=4(m−1)[(m−1)−m]=−4(m−1)\displaystyle x_1^2+x_2^2=4(m-1)^2-4m(m-1)=4(m-1)\left[(m-1)-m\right]=-4(m-1).
    x12+x22=−4m+4\displaystyle x_1^2+x_2^2=-4m+4
  3. Aducem la același numitor: x1x2+x2x1=x12+x22x1x2\displaystyle \dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}. Expresia are sens deoarece m≠0\displaystyle m\neq 0 și m≠1\displaystyle m\neq 1, deci x1x2=2m(m−1)≠0\displaystyle x_1x_2=2m(m-1)\neq 0.
    x1x2+x2x1=x12+x22x1x2=−4(m−1)2m(m−1)\displaystyle \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{-4(m-1)}{2m(m-1)}
  4. Simplificăm fracția cu m−1≠0\displaystyle m-1\neq 0 și obținem expresia în m\displaystyle m. Ecuația din enunț devine −2m=4\displaystyle -\dfrac{2}{m}=4.
    −2m=4\displaystyle -\frac{2}{m}=4
  5. Rezolvăm ecuația: înmulțind cu m\displaystyle m obținem −2=4m\displaystyle -2=4m, deci m=−12\displaystyle m=-\dfrac{1}{2}. Valoarea este diferită de 0\displaystyle 0 și de 1\displaystyle 1, deci convine.
    m=−12\displaystyle m=-\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 52x=125⋅5−x\displaystyle 5^{2x}=125\cdot 5^{-x}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem pe 125\displaystyle 125 ca putere a lui 5\displaystyle 5: 125=53\displaystyle 125=5^{3}.
    125=53\displaystyle 125=5^{3}
  2. Înlocuim în ecuație: 52x=53⋅5−x\displaystyle 5^{2x}=5^{3}\cdot 5^{-x}. Folosim regula am⋅an=am+n\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}, deci membrul drept devine 53−x\displaystyle 5^{3-x}.
    52x=53−x\displaystyle 5^{2x}=5^{3-x}
  3. Ambii membri au aceeași bază 5\displaystyle 5, pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1, deci putem egala exponenții: 2x=3−x\displaystyle 2x=3-x.
    52x=53−x⇔2x=3−x\displaystyle 5^{2x}=5^{3-x}\Leftrightarrow 2x=3-x
  4. Mutăm pe −x\displaystyle -x în membrul stâng: 2x+x=3\displaystyle 2x+x=3, adică 3x=3\displaystyle 3x=3.
    3x=3\displaystyle 3x=3
  5. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem soluția ecuației: x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând una dintre submulțimile cu două elemente ale mulțimii M={1,2,3,…,10}\displaystyle M=\{1,2,3,\ldots,10\}, aceasta să conțină elementul 10\displaystyle 10.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}. Cazurile posibile sunt toate submulțimile cu două elemente ale lui M\displaystyle M, care are 10\displaystyle 10 elemente.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Numărul submulțimilor cu două elemente ale unei mulțimi cu 10\displaystyle 10 elemente este C102\displaystyle C_{10}^{2}. Calculăm: C102=10⋅92=45\displaystyle C_{10}^{2}=\dfrac{10\cdot 9}{2}=45.
    C102=10⋅92=45\displaystyle C_{10}^{2}=\dfrac{10\cdot 9}{2}=45
  3. Cazurile favorabile sunt submulțimile de forma {a,10}\displaystyle \{a,10\}. Elementul 10\displaystyle 10 este fixat, iar al doilea element se alege dintre celelalte 9\displaystyle 9 elemente ale lui M\displaystyle M (de la 1\displaystyle 1 la 9\displaystyle 9). Deci sunt 9\displaystyle 9 cazuri favorabile, adică C91=9\displaystyle C_{9}^{1}=9.
    C91=9\displaystyle C_{9}^{1}=9
  4. Înlocuim în formula probabilității: p=945\displaystyle p=\dfrac{9}{45}, iar prin simplificarea cu 9\displaystyle 9 obținem p=15\displaystyle p=\dfrac{1}{5}.
    p=945=15\displaystyle p=\dfrac{9}{45}=\dfrac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,1)\displaystyle A(1,1), B(2,3)\displaystyle B(2,3) și C(3,a)\displaystyle C(3,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B și C\displaystyle C sunt coliniare.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C sunt coliniare dacă dreptele AB\displaystyle AB și BC\displaystyle BC au aceeași pantă. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB: mAB=yB−yAxB−xA\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.
    mAB=3−12−1=2\displaystyle m_{AB}=\dfrac{3-1}{2-1}=2
  2. Calculăm panta dreptei BC\displaystyle BC pentru B(2,3)\displaystyle B(2,3) și C(3,a)\displaystyle C(3,a): mBC=a−33−2\displaystyle m_{BC}=\dfrac{a-3}{3-2}.
    mAB=2\displaystyle m_{AB}=2, mBC=a−3\displaystyle \ m_{BC}=a-3
  3. Condiția de coliniaritate este mAB=mBC\displaystyle m_{AB}=m_{BC}, deci 2=a−3\displaystyle 2=a-3. Adunăm 3\displaystyle 3 în ambii membri și obținem valoarea lui a\displaystyle a.
    2=a−3⇔a=5\displaystyle 2=a-3\Leftrightarrow a=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 22 tg⁡x+1=0\displaystyle 2\sqrt{2}\,\operatorname{tg} x+1=0, știind că sin⁡x=13\displaystyle \sin x=\frac{1}{3} și x∈(π2,π)\displaystyle x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem identitatea fundamentală sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 și înlocuim sin⁡x=13\displaystyle \sin x=\dfrac{1}{3}.
    (13)2+cos⁡2x=1\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\cos^{2}x=1
  2. Obținem cos⁡2x=1−19=89\displaystyle \cos^{2}x=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}.
    cos⁡2x=89\displaystyle \cos^{2}x=\frac{8}{9}
  3. Deoarece x∈(π2,π)\displaystyle x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right), adică x este în cadranul al doilea, cos⁡x<0\displaystyle \cos x<0. Deci cos⁡x=−89=−223\displaystyle \cos x=-\sqrt{\dfrac{8}{9}}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.
    cos⁡x=−223\displaystyle \cos x=-\frac{2\sqrt{2}}{3}
  4. Calculăm tg⁡x=sin⁡xcos⁡x=13−223=13⋅(−322)\displaystyle \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right).
    tg⁡x=−122\displaystyle \operatorname{tg}x=-\frac{1}{2\sqrt{2}}
  5. Atunci 22tg⁡x+1=22⋅(−122)+1=−1+1=0\displaystyle 2\sqrt{2}\operatorname{tg}x+1=2\sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right)+1=-1+1=0, deci egalitatea cerută este adevărată.
    tg⁡x=−122, deci 22tg⁡x+1=0\displaystyle \operatorname{tg}x=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\text{, deci }2\sqrt{2}\operatorname{tg}x+1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x+12x−12x−12x+12)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}\frac{x+1}{2} & \frac{x-1}{2}\\ \frac{x-1}{2} & \frac{x+1}{2}\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real. Calculați det⁡(A(3))\displaystyle \det(A(3)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în elementele matricei: 3+12=2\displaystyle \dfrac{3+1}{2}=2 și 3−12=1\displaystyle \dfrac{3-1}{2}=1.
    2 și 1\displaystyle 2\text{ și }1
  2. Scriem matricea A(3)\displaystyle A(3) și determinantul ei de ordin doi.
    A(3)=(2112)⇒det⁡(A(3))=∣2112∣\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A(3))=\begin{vmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică 2⋅2−1⋅1\displaystyle 2\cdot 2-1\cdot 1.
    det⁡(A(3))=2⋅2−1⋅1=4−1=3\displaystyle \det(A(3))=2\cdot 2-1\cdot 1=4-1=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x+12x−12x−12x+12)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}\frac{x+1}{2} & \frac{x-1}{2}\\ \frac{x-1}{2} & \frac{x+1}{2}\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că det⁡(A(x))⋅det⁡(A(y))=det⁡(A(xy))\displaystyle \det(A(x))\cdot\det(A(y))=\det(A(xy)), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(x)\displaystyle A(x) ca diferență între produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(x))=x+12⋅x+12−x−12⋅x−12\displaystyle \det(A(x))=\dfrac{x+1}{2}\cdot\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{x-1}{2}\cdot\dfrac{x-1}{2}.
    det⁡(A(x))=(x+12)2−(x−12)2\displaystyle \det(A(x))=\left(\dfrac{x+1}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{x-1}{2}\right)^{2}
  2. Scriem pe același numitor: (x+1)2−(x−1)24\displaystyle \dfrac{(x+1)^{2}-(x-1)^{2}}{4}. Cum (x+1)2=x2+2x+1\displaystyle (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1 și (x−1)2=x2−2x+1\displaystyle (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1, diferența lor este 4x\displaystyle 4x. Deci det⁡(A(x))=4x4=x\displaystyle \det(A(x))=\dfrac{4x}{4}=x.
    det⁡(A(x))=(x+1)2−(x−1)24=4x4=x\displaystyle \det(A(x))=\dfrac{(x+1)^{2}-(x-1)^{2}}{4}=\dfrac{4x}{4}=x
  3. Egalitatea det⁡(A(t))=t\displaystyle \det(A(t))=t a fost obținută pentru orice t\displaystyle t real. O aplicăm pentru t=y\displaystyle t=y și pentru t=xy\displaystyle t=xy.
    det⁡(A(y))=y și det⁡(A(xy))=xy\displaystyle \det(A(y))=y\text{ și }\det(A(xy))=xy
  4. Înmulțim: det⁡(A(x))⋅det⁡(A(y))=x⋅y=xy\displaystyle \det(A(x))\cdot\det(A(y))=x\cdot y=xy, iar det⁡(A(xy))=xy\displaystyle \det(A(xy))=xy. Cele două membre sunt egale, deci egalitatea cerută este adevărată pentru orice x,y\displaystyle x,y reale.
    det⁡(A(x))⋅det⁡(A(y))=xy=det⁡(A(xy))\displaystyle \det(A(x))\cdot\det(A(y))=xy=\det(A(xy))
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x+12x−12x−12x+12)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}\frac{x+1}{2} & \frac{x-1}{2}\\ \frac{x-1}{2} & \frac{x+1}{2}\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că det⁡(A(1)+A(2)+…+A(n))=n(det⁡(A(1))+det⁡(A(2))+…+det⁡(A(n)))\displaystyle \det(A(1)+A(2)+\ldots+A(n))=n\left(\det(A(1))+\det(A(2))+\ldots+\det(A(n))\right), pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A(x)\displaystyle A(x) pentru x\displaystyle x real oarecare, cu diferența de pătrate: det⁡(A(x))=(x+12)2−(x−12)2=4x4=x\displaystyle \det(A(x))=\left(\dfrac{x+1}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{x-1}{2}\right)^{2}=\dfrac{4x}{4}=x. Deci det⁡(A(k))=k\displaystyle \det(A(k))=k.
    det⁡(A(k))=k\displaystyle \det(A(k))=k
  2. Adunăm elementele de pe diagonala principală ale matricelor A(1),…,A(n)\displaystyle A(1),\ldots,A(n) și folosim suma lui Gauss 1+2+…+n=n(n+1)2\displaystyle 1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}: ∑k=1nk+12=12(n(n+1)2+n)=n(n+3)4\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k+1}{2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n(n+1)}{2}+n\right)=\dfrac{n(n+3)}{4}.
    ∑k=1nk+12=n(n+3)4\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{2}=\frac{n(n+3)}{4}
  3. Adunăm elementele de pe diagonala secundară în același mod: ∑k=1nk−12=12(n(n+1)2−n)=n(n−1)4\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k-1}{2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n(n+1)}{2}-n\right)=\dfrac{n(n-1)}{4}. Rezultă matricea sumă, cu aceleași elemente pe fiecare diagonală.
    A(1)+…+A(n)=(n(n+3)4n(n−1)4n(n−1)4n(n+3)4)\displaystyle A(1)+\ldots+A(n)=\begin{pmatrix}\frac{n(n+3)}{4} & \frac{n(n-1)}{4}\\ \frac{n(n-1)}{4} & \frac{n(n+3)}{4}\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul matricei sumă ca diferență de pătrate, a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Aici a−b=n(n+3)−n(n−1)4=n\displaystyle a-b=\dfrac{n(n+3)-n(n-1)}{4}=n și a+b=n(2n+2)4=n(n+1)2\displaystyle a+b=\dfrac{n(2n+2)}{4}=\dfrac{n(n+1)}{2}. Produsul lor este n⋅n(n+1)2\displaystyle n\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}.
    det⁡(A(1)+…+A(n))=n⋅n(n+1)2=n2(n+1)2\displaystyle \det(A(1)+\ldots+A(n))=n\cdot\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^{2}(n+1)}{2}
  5. Folosim det⁡(A(k))=k\displaystyle \det(A(k))=k și suma lui Gauss: det⁡(A(1))+…+det⁡(A(n))=1+2+…+n=n(n+1)2\displaystyle \det(A(1))+\ldots+\det(A(n))=1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}. Înmulțind cu n\displaystyle n obținem exact determinantul sumei, deci egalitatea este demonstrată pentru orice n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^{*}.
    det⁡(A(1)+…+A(n))=n2(n+1)2=n⋅n(n+1)2=n(det⁡(A(1))+det⁡(A(2))+…+det⁡(A(n)))\displaystyle \det(A(1)+\ldots+A(n))=\frac{n^{2}(n+1)}{2}=n\cdot\frac{n(n+1)}{2}=n\left(\det(A(1))+\det(A(2))+\ldots+\det(A(n))\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1308)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 0 & 8\end{pmatrix}, B=(1021)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 2 & 1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Calculați A−B\displaystyle A-B.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem diferența: A−B=(1308)−(1021)\displaystyle A-B=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 0 & 8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0\\ 2 & 1\end{pmatrix}.
    A−B=(1308)−(1021)\displaystyle A-B=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 0 & 8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0\\ 2 & 1\end{pmatrix}
  2. Scădem element cu element, adică din fiecare element al lui A\displaystyle A scădem elementul de pe aceeași poziție din B\displaystyle B: A−B=(1−13−00−28−1)\displaystyle A-B=\begin{pmatrix}1-1 & 3-0\\ 0-2 & 8-1\end{pmatrix}.
    A−B=(1−13−00−28−1)\displaystyle A-B=\begin{pmatrix}1-1 & 3-0\\ 0-2 & 8-1\end{pmatrix}
  3. Efectuăm scăderile: 1−1=0\displaystyle 1-1=0, 3−0=3\displaystyle 3-0=3, 0−2=−2\displaystyle 0-2=-2, 8−1=7\displaystyle 8-1=7. Obținem matricea A−B=(03−27)\displaystyle A-B=\begin{pmatrix}0 & 3\\ -2 & 7\end{pmatrix}.
    A−B=(03−27)\displaystyle A-B=\begin{pmatrix}0 & 3\\ -2 & 7\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1308)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 0 & 8\end{pmatrix}, B=(1021)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 2 & 1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Arătați că (A+I2)⋅(B−I2)=6(1030)\displaystyle (A+I_2)\cdot(B-I_2)=6\begin{pmatrix}1 & 0\\ 3 & 0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A+I2\displaystyle A+I_2, adunând element cu element: A+I2=(1+13+00+08+1)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}1+1 & 3+0\\ 0+0 & 8+1\end{pmatrix}.
    A+I2=(2309)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 0 & 9\end{pmatrix}
  2. Calculăm B−I2\displaystyle B-I_2, scăzând element cu element: B−I2=(1−10−02−01−1)\displaystyle B-I_2=\begin{pmatrix}1-1 & 0-0\\ 2-0 & 1-1\end{pmatrix}.
    B−I2=(0020)\displaystyle B-I_2=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 2 & 0\end{pmatrix}
  3. Înlocuim cele două matrice în produsul cerut: (A+I2)⋅(B−I2)=(2309)⋅(0020)\displaystyle (A+I_2)\cdot(B-I_2)=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 0 & 9\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & 0\\ 2 & 0\end{pmatrix}.
    (A+I2)⋅(B−I2)=(2309)⋅(0020)\displaystyle (A+I_2)\cdot(B-I_2)=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 0 & 9\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & 0\\ 2 & 0\end{pmatrix}
  4. Înmulțim linie pe coloană: (2⋅0+3⋅22⋅0+3⋅00⋅0+9⋅20⋅0+9⋅0)\displaystyle \begin{pmatrix}2\cdot 0+3\cdot 2 & 2\cdot 0+3\cdot 0\\ 0\cdot 0+9\cdot 2 & 0\cdot 0+9\cdot 0\end{pmatrix}.
    (60180)\displaystyle \begin{pmatrix}6 & 0\\ 18 & 0\end{pmatrix}
  5. Dăm factor comun pe 6\displaystyle 6: elementele 6\displaystyle 6 și 18\displaystyle 18 sunt 6⋅1\displaystyle 6\cdot 1 și 6⋅3\displaystyle 6\cdot 3. Deci produsul este egal cu 6(1030)\displaystyle 6\begin{pmatrix}1 & 0\\ 3 & 0\end{pmatrix}, ceea ce trebuia arătat.
    (A+I2)⋅(B−I2)=(60180)=6(1030)\displaystyle (A+I_2)\cdot(B-I_2)=\begin{pmatrix}6 & 0\\ 18 & 0\end{pmatrix}=6\begin{pmatrix}1 & 0\\ 3 & 0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1308)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 0 & 8\end{pmatrix}, B=(1021)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 2 & 1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Demonstrați că, dacă X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) astfel încât X⋅A=A⋅X\displaystyle X\cdot A=A\cdot X și X⋅B=B⋅X\displaystyle X\cdot B=B\cdot X, atunci X⋅Y=Y⋅X\displaystyle X\cdot Y=Y\cdot X, pentru orice Y∈M2(R)\displaystyle Y\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea X\displaystyle X în forma generală, cu patru elemente reale necunoscute: X=(abcd)\displaystyle X=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}, unde a,b,c,d∈R\displaystyle a,b,c,d\in\mathbb{R}.
    X=(abcd)\displaystyle X=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}, a\displaystyle \ a,b\displaystyle b,c\displaystyle c,d∈R\displaystyle d\in\mathbb{R}
  2. Calculăm produsele X⋅A\displaystyle X\cdot A și A⋅X\displaystyle A\cdot X cu A=(1308)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 0 & 8\end{pmatrix}.
    X⋅A=(a3a+8bc3c+8d)\displaystyle X\cdot A=\begin{pmatrix}a & 3a+8b\\ c & 3c+8d\end{pmatrix},A⋅X=(a+3cb+3d8c8d)\displaystyle \quad A\cdot X=\begin{pmatrix}a+3c & b+3d\\ 8c & 8d\end{pmatrix}
  3. Egalăm elementele corespunzătoare din X⋅A=A⋅X\displaystyle X\cdot A=A\cdot X. Din poziția (1,1)\displaystyle (1,1) avem a=a+3c\displaystyle a=a+3c, deci c=0\displaystyle c=0. Din poziția (1,2)\displaystyle (1,2) avem 3a+8b=b+3d\displaystyle 3a+8b=b+3d, deci 3a+7b=3d\displaystyle 3a+7b=3d.
    c=0 și 3a+7b=3d\displaystyle c=0\text{ și }3a+7b=3d
  4. Calculăm produsele X⋅B\displaystyle X\cdot B și B⋅X\displaystyle B\cdot X cu B=(1021)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 2 & 1\end{pmatrix}.
    X⋅B=(a+2bbc+2dd)\displaystyle X\cdot B=\begin{pmatrix}a+2b & b\\ c+2d & d\end{pmatrix},B⋅X=(ab2a+c2b+d)\displaystyle \quad B\cdot X=\begin{pmatrix}a & b\\ 2a+c & 2b+d\end{pmatrix}
  5. Egalăm elementele corespunzătoare din X⋅B=B⋅X\displaystyle X\cdot B=B\cdot X. Din poziția (1,1)\displaystyle (1,1) avem a+2b=a\displaystyle a+2b=a, deci b=0\displaystyle b=0. Din poziția (2,1)\displaystyle (2,1) avem c+2d=2a+c\displaystyle c+2d=2a+c, deci d=a\displaystyle d=a. Condiția 3a+7b=3d\displaystyle 3a+7b=3d devine 3a=3a\displaystyle 3a=3a, deci este verificată.
    b=0 și a=d\displaystyle b=0\text{ și }a=d
  6. Cu b=0\displaystyle b=0, c=0\displaystyle c=0 și d=a\displaystyle d=a obținem X=aI2\displaystyle X=aI_2. Atunci, pentru orice Y∈M2(R)\displaystyle Y\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), avem X⋅Y=aI2⋅Y=aY\displaystyle X\cdot Y=aI_2\cdot Y=aY și Y⋅X=Y⋅aI2=aY\displaystyle Y\cdot X=Y\cdot aI_2=aY. Deci X⋅Y=Y⋅X\displaystyle X\cdot Y=Y\cdot X.
    X=(a00a)=aI2 și X⋅Y=aY=Y⋅X\displaystyle X=\begin{pmatrix}a & 0\\ 0 & a\end{pmatrix}=aI_2\text{ și }X\cdot Y=aY=Y\cdot X
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ax+6x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2+ax+6}{x+1}, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=7\displaystyle a=7, calculați lim⁡x→−1f(x)\displaystyle \lim_{x\to-1}f(x).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=7\displaystyle a=7 obținem f(x)=x2+7x+6x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}+7x+6}{x+1}, deci avem de calculat limita lim⁡x→−1x2+7x+6x+1\displaystyle \lim_{x\to-1}\dfrac{x^{2}+7x+6}{x+1}.
    lim⁡x→−1x2+7x+6x+1\displaystyle \lim_{x\to-1}\frac{x^{2}+7x+6}{x+1}
  2. Pentru x→−1\displaystyle x\to-1 numărătorul tinde la (−1)2+7⋅(−1)+6=0\displaystyle (-1)^{2}+7\cdot(-1)+6=0, iar numitorul tinde la 0\displaystyle 0. Avem o nedeterminare de forma 00\displaystyle \dfrac{0}{0}.
    00\displaystyle \frac{0}{0}
  3. Cum x=−1\displaystyle x=-1 este rădăcină a numărătorului, iar produsul rădăcinilor este 6\displaystyle 6, cealaltă rădăcină este −6\displaystyle -6. Deci x2+7x+6=(x+1)(x+6)\displaystyle x^{2}+7x+6=(x+1)(x+6).
    x2+7x+6=(x+1)(x+6)\displaystyle x^{2}+7x+6=(x+1)(x+6)
  4. Simplificăm prin x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0 și obținem lim⁡x→−1(x+1)(x+6)x+1=lim⁡x→−1(x+6)\displaystyle \lim_{x\to-1}\dfrac{(x+1)(x+6)}{x+1}=\lim_{x\to-1}(x+6).
    lim⁡x→−1(x+1)(x+6)x+1=lim⁡x→−1(x+6)\displaystyle \lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(x+6)}{x+1}=\lim_{x\to-1}(x+6)
  5. Funcția x+6\displaystyle x+6 este continuă, deci limita este −1+6=5\displaystyle -1+6=5.
    lim⁡x→−1f(x)=5\displaystyle \lim_{x\to-1}f(x)=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ax+6x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2+ax+6}{x+1}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a, pentru care dreapta de ecuație y=x+2\displaystyle y=x+2 este asimptotă oblică spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta y=mx+n\displaystyle y=mx+n este asimptotă oblică spre +∞\displaystyle +\infty dacă lim⁡x→+∞f(x)x=m\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=m și lim⁡x→+∞(f(x)−mx)=n\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(f(x)-mx)=n. Aici m=1\displaystyle m=1 și n=2\displaystyle n=2.
    lim⁡x→+∞f(x)x=1 și lim⁡x→+∞(f(x)−x)=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=1\text{ și }\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=2
  2. Verificăm prima condiție: f(x)x=x2+ax+6x2+x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x^2+ax+6}{x^2+x}. Raportul coeficienților dominanți este 1\displaystyle 1, deci limita este 1\displaystyle 1 pentru orice a\displaystyle a. Condiția nu ne dă informații despre a\displaystyle a.
    lim⁡x→+∞x2+ax+6x2+x=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+ax+6}{x^2+x}=1
  3. Calculăm f(x)−x\displaystyle f(x)-x aducând la același numitor: f(x)−x=x2+ax+6−x(x+1)x+1=x2+ax+6−x2−xx+1\displaystyle f(x)-x=\dfrac{x^2+ax+6-x(x+1)}{x+1}=\dfrac{x^2+ax+6-x^2-x}{x+1}.
    f(x)−x=(a−1)x+6x+1\displaystyle f(x)-x=\frac{(a-1)x+6}{x+1}
  4. Calculăm limita la +∞\displaystyle +\infty. Numărătorul și numitorul sunt de gradul întâi, deci limita este raportul coeficienților lui x\displaystyle x: lim⁡x→+∞(a−1)x+6x+1=a−1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{(a-1)x+6}{x+1}=a-1. Impunem a−1=2\displaystyle a-1=2, deci a=3\displaystyle a=3.
    lim⁡x→+∞(a−1)x+6x+1=a−1=2⇔a=3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{(a-1)x+6}{x+1}=a-1=2\Leftrightarrow a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ax+6x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2+ax+6}{x+1}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că, oricare ar fi numărul real a\displaystyle a, funcția f\displaystyle f nu admite asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty doar dacă lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x) este un număr real. Calculăm deci această limită, pentru a\displaystyle a număr real oarecare.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x2+ax+6x+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+ax+6}{x+1}
  2. Dăm factor comun x\displaystyle x la numărător și la numitor, pentru x>0\displaystyle x>0. Numărătorul devine x(1+ax+6x2)\displaystyle x\left(1+\dfrac{a}{x}+\dfrac{6}{x^2}\right), iar numitorul devine x(1+1x)\displaystyle x\left(1+\dfrac{1}{x}\right). Simplificăm cu x\displaystyle x la numitor, rămâne un singur factor x\displaystyle x la numărător.
    lim⁡x→+∞x(1+ax+6x2)1+1x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(1+\frac{a}{x}+\frac{6}{x^2}\right)}{1+\frac{1}{x}}
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, avem ax→0\displaystyle \dfrac{a}{x}\to0, 6x2→0\displaystyle \dfrac{6}{x^2}\to0 și 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to0. Deci paranteza de la numărător tinde la 1\displaystyle 1, numitorul tinde la 1\displaystyle 1, iar factorul x\displaystyle x tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    1+ax+6x21+1x→11=1, iar x→+∞\displaystyle \frac{1+\frac{a}{x}+\frac{6}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}\to\frac{1}{1}=1\text{, iar }x\to+\infty
  4. Produsul dintre un factor care tinde la +∞\displaystyle +\infty și o expresie care tinde la 1\displaystyle 1 tinde la +∞\displaystyle +\infty. Limita nu este finită, indiferent de valoarea lui a\displaystyle a, deci f\displaystyle f nu admite asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty.
    =+∞, deci, oricare ar fi \displaystyle =+\infty\text{, deci, oricare ar fi }numa˘rul real a, funcția f nu admite asimptota˘ \displaystyle \text{numărul real }a\text{, funcția }f\text{ nu admite asimptotă }orizontala˘ spre +∞\displaystyle \text{orizontală spre }+\infty
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2mx2−x,x∈(−∞,−2)2x+4−m,x∈[−2,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{2mx}{2-x}, & x\in(-\infty,-2)\\ 2x+4-m, & x\in[-2,+\infty)\end{cases}, unde m\displaystyle m este număr real.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul (−∞,−2)\displaystyle (-\infty,-2) funcția este o fracție de funcții elementare, cu numitorul 2−x\displaystyle 2-x diferit de zero (pentru x<−2\displaystyle x<-2 avem 2−x>4\displaystyle 2-x>4), deci f\displaystyle f este continuă pe acest interval. Pe intervalul (−2,+∞)\displaystyle (-2,+\infty) funcția este polinomială, deci continuă. Rămâne de verificat continuitatea în punctul de legătură x=−2\displaystyle x=-2.
    f continua˘ pe (−∞,−2) și pe (−2,+∞)\displaystyle f\text{ continuă pe }(-\infty,-2)\text{ și pe }(-2,+\infty)
  2. Calculăm limita la stânga în x=−2\displaystyle x=-2, înlocuind x\displaystyle x cu −2\displaystyle -2 în expresia 2mx2−x\displaystyle \dfrac{2mx}{2-x}, care este definită în acest punct.
    lim⁡x→−2, x<−22mx2−x=2m⋅(−2)2−(−2)=−4m4=−m\displaystyle \lim_{x\to-2,\,x<-2}\frac{2mx}{2-x}=\frac{2m\cdot(-2)}{2-(-2)}=\frac{-4m}{4}=-m
  3. Calculăm limita la dreapta în x=−2\displaystyle x=-2 și valoarea funcției în acest punct, folosind expresia 2x+4−m\displaystyle 2x+4-m (intervalul [−2,+∞)\displaystyle [-2,+\infty) conține −2\displaystyle -2).
    lim⁡x→−2, x>−2(2x+4−m)=2⋅(−2)+4−m=−m\displaystyle \lim_{x\to-2,\,x>-2}(2x+4-m)=2\cdot(-2)+4-m=-m,f(−2)=−m\displaystyle \quad f(-2)=-m
  4. Limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în −2\displaystyle -2 sunt egale cu −m\displaystyle -m, deci f\displaystyle f este continuă în x=−2\displaystyle x=-2, oricare ar fi m\displaystyle m.
    lim⁡x→−2, x<−2f(x)=lim⁡x→−2, x>−2f(x)=f(−2)=−m\displaystyle \lim_{x\to-2,\,x<-2}f(x)=\lim_{x\to-2,\,x>-2}f(x)=f(-2)=-m
  5. Funcția este continuă pe (−∞,−2)\displaystyle (-\infty,-2), pe (−2,+∞)\displaystyle (-2,+\infty) și în punctul −2\displaystyle -2, deci este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, pentru orice număr real m\displaystyle m.
    f este continua˘ pe (−∞,−2) și pe (−2,+∞)⇒f este continua˘ pe R\displaystyle f\text{ este continuă pe }(-\infty,-2)\text{ și pe }(-2,+\infty)\Rightarrow f\text{ este continuă pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2mx2−x,x∈(−∞,−2)2x+4−m,x∈[−2,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{2mx}{2-x}, & x\in(-\infty,-2)\\ 2x+4-m, & x\in[-2,+\infty)\end{cases}, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=1\displaystyle m=1, rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=1\displaystyle m=1, funcția are două ramuri: pe (−∞,−2)\displaystyle (-\infty,-2) avem f(x)=2x2−x\displaystyle f(x)=\dfrac{2x}{2-x}, iar pe [−2,+∞)\displaystyle [-2,+\infty) avem f(x)=2x+3\displaystyle f(x)=2x+3. Rezolvăm ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 separat pe fiecare ramură.
    f(x)={2x2−x,x∈(−∞,−2)2x+3,x∈[−2,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}\dfrac{2x}{2-x}, & x\in(-\infty,-2)\\ 2x+3, & x\in[-2,+\infty)\end{cases}
  2. Pe ramura x<−2\displaystyle x<-2 numitorul 2−x\displaystyle 2-x este nenul. O fracție este nulă când numărătorul este nul, deci 2x=0\displaystyle 2x=0, adică x=0\displaystyle x=0.
    2x2−x=0⇔x=0\displaystyle \dfrac{2x}{2-x}=0\Leftrightarrow x=0
  3. Verificăm dacă x=0\displaystyle x=0 aparține intervalului (−∞,−2)\displaystyle (-\infty,-2). Deoarece 0>−2\displaystyle 0>-2, soluția nu convine, deci pe prima ramură ecuația nu are soluții.
    x=0∉(−∞,−2)\displaystyle x=0\notin(-\infty,-2)
  4. Pe ramura x≥−2\displaystyle x\ge -2 ecuația devine 2x+3=0\displaystyle 2x+3=0. Mutăm 3\displaystyle 3 în membrul drept: 2x=−3\displaystyle 2x=-3, apoi împărțim la 2\displaystyle 2.
    2x+3=0⇔x=−32\displaystyle 2x+3=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}
  5. Verificăm apartenența la interval: −32=−1,5>−2\displaystyle -\dfrac{3}{2}=-1{,}5>-2, deci x=−32∈[−2,+∞)\displaystyle x=-\dfrac{3}{2}\in[-2,+\infty). Singura soluție a ecuației este x=−32\displaystyle x=-\dfrac{3}{2}.
    x=−32∈[−2,+∞)\displaystyle x=-\dfrac{3}{2}\in[-2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2mx2−x,x∈(−∞,−2)2x+4−m,x∈[−2,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{2mx}{2-x}, & x\in(-\infty,-2)\\ 2x+4-m, & x\in[-2,+\infty)\end{cases}, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→+∞(f(x)−2x)\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-2x).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty avem x<−2\displaystyle x<-2, deci folosim prima ramură: f(x)=2mx2−x\displaystyle f(x)=\dfrac{2mx}{2-x}.
    f(x)=2mx2−x\displaystyle f(x)=\frac{2mx}{2-x}
  2. Împărțim numărătorul și numitorul la x\displaystyle x: 2mx2−x=2m2x−1\displaystyle \dfrac{2mx}{2-x}=\dfrac{2m}{\frac{2}{x}-1}, iar 2x→0\displaystyle \dfrac{2}{x}\to 0.
    lim⁡x→−∞2mx2−x=2m0−1=−2m\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{2mx}{2-x}=\frac{2m}{0-1}=-2m
  3. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem x≥−2\displaystyle x\geq -2, deci folosim a doua ramură: f(x)=2x+4−m\displaystyle f(x)=2x+4-m. Atunci f(x)−2x=2x+4−m−2x=4−m\displaystyle f(x)-2x=2x+4-m-2x=4-m.
    f(x)−2x=4−m\displaystyle f(x)-2x=4-m
  4. Expresia 4−m\displaystyle 4-m este constantă în raport cu x\displaystyle x, deci limita ei este chiar 4−m\displaystyle 4-m.
    lim⁡x→+∞(f(x)−2x)=4−m\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(f(x)-2x)=4-m
  5. Egalăm cele două limite: −2m=4−m\displaystyle -2m=4-m, de unde −m=4\displaystyle -m=4, deci m=−4\displaystyle m=-4.
    −2m=4−m⇒m=−4\displaystyle -2m=4-m\Rightarrow m=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.