Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numărul complex z=3+2i\displaystyle z=3+2i. Arătați că z+13z=6\displaystyle z+\frac{13}{z}=6.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim z=3+2i\displaystyle z=3+2i în expresia z+13z\displaystyle z+\dfrac{13}{z}.
    z+13z=3+2i+133+2i\displaystyle z+\frac{13}{z}=3+2i+\frac{13}{3+2i}
  2. Amplificăm fracția cu conjugatul lui 3+2i\displaystyle 3+2i, adică cu 3−2i\displaystyle 3-2i.
    133+2i=13(3−2i)(3+2i)(3−2i)\displaystyle \frac{13}{3+2i}=\frac{13(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}
  3. Numitorul este (3+2i)(3−2i)=9−4i2\displaystyle (3+2i)(3-2i)=9-4i^{2}, iar cum i2=−1\displaystyle i^{2}=-1, obținem 9+4=13\displaystyle 9+4=13.
    3+2i+13(3−2i)9−4i2=3+2i+13(3−2i)13\displaystyle 3+2i+\frac{13(3-2i)}{9-4i^{2}}=3+2i+\frac{13(3-2i)}{13}
  4. Simplificăm fracția cu 13\displaystyle 13.
    13(3−2i)13=3−2i\displaystyle \frac{13(3-2i)}{13}=3-2i
  5. Adunăm: termenii cu i\displaystyle i se reduc, iar părțile reale se adună, deci rezultă 6\displaystyle 6.
    z+13z=3+2i+3−2i=6\displaystyle z+\frac{13}{z}=3+2i+3-2i=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−5\displaystyle f(x)=3x-5 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x2+x\displaystyle g(x)=x^2+x. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care (f∘g)(a)=(f∘g)(−a)\displaystyle (f\circ g)(a)=(f\circ g)(-a).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem compunerea f∘g\displaystyle f\circ g: înlocuim pe g(x)\displaystyle g(x) în f\displaystyle f. Obținem (f∘g)(x)=3(x2+x)−5\displaystyle (f\circ g)(x)=3\left(x^{2}+x\right)-5.
    (f∘g)(x)=3(x2+x)−5=3x2+3x−5\displaystyle (f\circ g)(x)=3\left(x^{2}+x\right)-5=3x^{2}+3x-5
  2. Scriem condiția din enunț: f(g(a))=f(g(−a))\displaystyle f(g(a))=f(g(-a)), adică 3g(a)−5=3g(−a)−5\displaystyle 3g(a)-5=3g(-a)-5.
    3g(a)−5=3g(−a)−5\displaystyle 3g(a)-5=3g(-a)-5
  3. Adunăm 5\displaystyle 5 în ambii membri și apoi împărțim la 3\displaystyle 3 (f\displaystyle f este injectivă). Rămâne g(a)=g(−a)\displaystyle g(a)=g(-a).
    g(a)=g(−a)\displaystyle g(a)=g(-a)
  4. Înlocuim g(a)=a2+a\displaystyle g(a)=a^{2}+a și g(−a)=(−a)2+(−a)=a2−a\displaystyle g(-a)=(-a)^{2}+(-a)=a^{2}-a.
    a2+a=a2−a\displaystyle a^{2}+a=a^{2}-a
  5. Reducem termenii a2\displaystyle a^{2} din ambii membri și obținem 2a=0\displaystyle 2a=0, deci a=0\displaystyle a=0.
    a=0\displaystyle a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 33x+5=9⋅3x+1\displaystyle 3^{3x+5}=9\cdot 3^{x+1}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 9=32\displaystyle 9=3^{2}, deci toate puterile din ecuație au baza 3\displaystyle 3. Ecuația devine 33x+5=32⋅3x+1\displaystyle 3^{3x+5}=3^{2}\cdot 3^{x+1}.
    33x+5=32⋅3x+1\displaystyle 3^{3x+5}=3^{2}\cdot 3^{x+1}
  2. Folosim regula am⋅an=am+n\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n} în membrul drept: exponentul este 2+(x+1)=x+3\displaystyle 2+(x+1)=x+3. Obținem 33x+5=3x+3\displaystyle 3^{3x+5}=3^{x+3}.
    33x+5=3x+3\displaystyle 3^{3x+5}=3^{x+3}
  3. Deoarece funcția f(t)=3t\displaystyle f(t)=3^{t} este injectivă, egalăm exponenții: 3x+5=x+3\displaystyle 3x+5=x+3.
    3x+5=x+3\displaystyle 3x+5=x+3
  4. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: 3x−x=3−5\displaystyle 3x-x=3-5, adică 2x=−2\displaystyle 2x=-2. Împărțind la 2\displaystyle 2 obținem x=−1\displaystyle x=-1.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră A\displaystyle A, o mulțime cu 4\displaystyle 4 elemente. Calculați probabilitatea ca, alegând o mulțime din mulțimea submulțimilor lui A\displaystyle A, aceasta să aibă un număr impar de elemente.
Vezi rezolvarea
  1. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile. Cazurile posibile sunt toate submulțimile lui A\displaystyle A, iar p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. O mulțime cu 4\displaystyle 4 elemente are 24\displaystyle 2^{4} submulțimi, deoarece fiecare element poate fi sau nu inclus în submulțime.
    24=16\displaystyle 2^{4}=16
  3. Submulțimile cu număr impar de elemente sunt cele cu 1\displaystyle 1 element sau cu 3\displaystyle 3 elemente, deoarece A\displaystyle A are doar 4\displaystyle 4 elemente.
    C41+C43\displaystyle C_4^1+C_4^3
  4. Calculăm combinările: C41=4\displaystyle C_4^1=4 și C43=4\displaystyle C_4^3=4, deci sunt 8\displaystyle 8 cazuri favorabile.
    C41+C43=4+4=8\displaystyle C_4^1+C_4^3=4+4=8
  5. Împărțim numărul cazurilor favorabile la numărul cazurilor posibile și simplificăm fracția: p=816=12\displaystyle p=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}.
    p=816=12\displaystyle p=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,3)\displaystyle A(1,3), B(3,5)\displaystyle B(3,5) și C(0,6)\displaystyle C(0,6). Determinați ecuația dreptei d\displaystyle d care trece prin punctul A\displaystyle A și este paralelă cu mediana din vârful C\displaystyle C a triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Mediana din vârful C\displaystyle C unește punctul C\displaystyle C cu mijlocul M\displaystyle M al laturii AB\displaystyle AB. Calculăm coordonatele lui M\displaystyle M: xM=xA+xB2=1+32=2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{1+3}{2}=2 și yM=yA+yB2=3+52=4\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{3+5}{2}=4.
    M(2,4)\displaystyle M(2,4)
  2. Calculăm panta medianei CM\displaystyle CM cu formula m=yM−yCxM−xC\displaystyle m=\dfrac{y_M-y_C}{x_M-x_C}, folosind C(0,6)\displaystyle C(0,6) și M(2,4)\displaystyle M(2,4): mCM=4−62−0=−22=−1\displaystyle m_{CM}=\dfrac{4-6}{2-0}=\dfrac{-2}{2}=-1.
    mCM=−1\displaystyle m_{CM}=-1
  3. Dreptele paralele au aceeași pantă, deci din d∥CM\displaystyle d\parallel CM obținem md=mCM=−1\displaystyle m_d=m_{CM}=-1.
    md=−1\displaystyle m_d=-1
  4. Scriem ecuația dreptei d\displaystyle d prin A(1,3)\displaystyle A(1,3) cu panta −1\displaystyle -1: y−yA=md(x−xA)\displaystyle y-y_A=m_d(x-x_A), deci y−3=−1⋅(x−1)\displaystyle y-3=-1\cdot(x-1), adică y−3=−x+1\displaystyle y-3=-x+1, de unde y=−x+4\displaystyle y=-x+4.
    d: y=−x+4\displaystyle d:\ y=-x+4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea laturii BC\displaystyle BC a triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că AB=2\displaystyle AB=2, AC=23\displaystyle AC=2\sqrt{3} și B=π3\displaystyle B=\frac{\pi}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem teorema cosinusului în triunghiul ABC\displaystyle ABC pentru latura AC\displaystyle AC, opusă unghiului B\displaystyle B: AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos⁡B\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B.
    AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos⁡B\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B
  2. Înlocuim datele: AC2=(23)2=12\displaystyle AC^{2}=(2\sqrt{3})^{2}=12, AB2=4\displaystyle AB^{2}=4, iar cos⁡π3=12\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}.
    12=4+BC2−2⋅2⋅BC⋅12\displaystyle 12=4+BC^{2}-2\cdot 2\cdot BC\cdot\frac{1}{2}
  3. Simplificăm: 2⋅2⋅12=2\displaystyle 2\cdot 2\cdot\dfrac{1}{2}=2, deci 12=4+BC2−2BC\displaystyle 12=4+BC^{2}-2BC. Mutăm totul într-o parte și obținem o ecuație de gradul al doilea în BC\displaystyle BC.
    BC2−2BC−8=0\displaystyle BC^{2}-2BC-8=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=4+32=36\displaystyle \Delta=4+32=36, deci BC=2±62\displaystyle BC=\dfrac{2\pm 6}{2}, adică BC=4\displaystyle BC=4 sau BC=−2\displaystyle BC=-2. Lungimea unei laturi este pozitivă, deci păstrăm doar rădăcina 4\displaystyle 4.
    BC=4\displaystyle BC=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră a\displaystyle a un număr real nenul și matricea A(x)=(1+2x0−4x0a0x01−2x),A(x)=\begin{pmatrix}1+2x & 0 & -4x\\ 0 & a & 0\\ x & 0 & 1-2x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(x))=a\displaystyle \det(A(x))=a, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că a doua linie a matricei conține un singur element nenul, a\displaystyle a, pe poziția (2,2)\displaystyle (2,2). Dezvoltăm determinantul după această linie.
    det⁡(A(x))=a⋅(−1)2+2∣1+2x−4xx1−2x∣\displaystyle \det(A(x))=a\cdot(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}1+2x & -4x\\ x & 1-2x\end{vmatrix}
  2. Calculăm determinantul de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Semnul (−1)2+2\displaystyle (-1)^{2+2} este +1\displaystyle +1.
    det⁡(A(x))=a[(1+2x)(1−2x)−(−4x)⋅x]=a(1+2x)(1−2x)+4ax2\displaystyle \det(A(x))=a\left[(1+2x)(1-2x)-(-4x)\cdot x\right]=a(1+2x)(1-2x)+4ax^{2}
  3. Aplicăm formula diferenței de pătrate: (1+2x)(1−2x)=1−(2x)2=1−4x2\displaystyle (1+2x)(1-2x)=1-(2x)^{2}=1-4x^{2}.
    a(1+2x)(1−2x)=a(1−4x2)\displaystyle a(1+2x)(1-2x)=a(1-4x^{2})
  4. Înlocuim în expresia determinantului, desfacem parantezele și reducem termenii opuși: −4ax2\displaystyle -4ax^{2} și +4ax2\displaystyle +4ax^{2}. Rămâne a\displaystyle a, pentru orice x\displaystyle x real.
    det⁡(A(x))=a(1−4x2)+4ax2=a−4ax2+4ax2=a\displaystyle \det(A(x))=a(1-4x^{2})+4ax^{2}=a-4ax^{2}+4ax^{2}=a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră a\displaystyle a un număr real nenul și matricea A(x)=(1+2x0−4x0a0x01−2x),A(x)=\begin{pmatrix}1+2x & 0 & -4x\\ 0 & a & 0\\ x & 0 & 1-2x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real. Determinați numărul real nenul a\displaystyle a astfel încât A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm elementele de pe prima linie a produsului A(x)⋅A(y)\displaystyle A(x)\cdot A(y). Elementul (1,1)\displaystyle (1,1) este (1+2x)(1+2y)−4xy=1+2x+2y\displaystyle (1+2x)(1+2y)-4xy=1+2x+2y, iar elementul (1,3)\displaystyle (1,3) este (1+2x)(−4y)−4x(1−2y)=−4x−4y\displaystyle (1+2x)(-4y)-4x(1-2y)=-4x-4y. Elementul (1,2)\displaystyle (1,2) este 0\displaystyle 0.
    (1+2(x+y), 0, −4(x+y))\displaystyle \left(1+2(x+y),\ 0,\ -4(x+y)\right)
  2. Calculăm elementele de pe a treia linie. Elementul (3,1)\displaystyle (3,1) este x(1+2y)+(1−2x)y=x+y\displaystyle x(1+2y)+(1-2x)y=x+y, iar elementul (3,3)\displaystyle (3,3) este −4xy+(1−2x)(1−2y)=1−2x−2y\displaystyle -4xy+(1-2x)(1-2y)=1-2x-2y. Elementul (3,2)\displaystyle (3,2) este 0\displaystyle 0.
    (x+y, 0, 1−2(x+y))\displaystyle \left(x+y,\ 0,\ 1-2(x+y)\right)
  3. Linia a doua are un singur element nenul, a\displaystyle a, pe poziția (2,2)\displaystyle (2,2). În produs, elementul (2,2)\displaystyle (2,2) este a⋅a\displaystyle a\cdot a, iar celelalte elemente de pe această linie și coloană sunt 0\displaystyle 0.
    (0, a2, 0)\displaystyle \left(0,\ a^{2},\ 0\right)
  4. Adunăm rezultatele și scriem matricea produs, apoi scriem matricea A(x+y)\displaystyle A(x+y), obținută înlocuind x\displaystyle x cu x+y\displaystyle x+y în A(x)\displaystyle A(x). Singura diferență este elementul (2,2)\displaystyle (2,2): a2\displaystyle a^2 în produs, a\displaystyle a în A(x+y)\displaystyle A(x+y).
    A(x)⋅A(y)=A(x+y)  ⟺  a2=a\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y)\iff a^{2}=a
  5. Egalitatea celor două matrice cere ca elementele corespunzătoare să fie egale. Toate coincid, în afară de elementul (2,2)\displaystyle (2,2), de unde a2=a\displaystyle a^2=a. Cum a≠0\displaystyle a\neq 0, împărțim la a\displaystyle a și obținem a=1\displaystyle a=1.
    a2=a⇒a=1\displaystyle a^{2}=a\Rightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră a\displaystyle a un număr real nenul și matricea A(x)=(1+2x0−4x0a0x01−2x),A(x)=\begin{pmatrix}1+2x & 0 & -4x\\ 0 & a & 0\\ x & 0 & 1-2x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Pentru a=1\displaystyle a=1, determinați matricea X∈M3(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}) pentru care A(2)⋅X=A(3)\displaystyle A(2)\cdot X=A(3).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=1\displaystyle a=1 avem A(x)=(1+2x0−4x010x01−2x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1+2x & 0 & -4x\\ 0 & 1 & 0\\ x & 0 & 1-2x\end{pmatrix}. Pentru x=0\displaystyle x=0 obținem A(0)=I3\displaystyle A(0)=I_3.
    A(0)=I3\displaystyle A(0)=I_3
  2. Verificăm relația A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y). Elementul de pe prima linie și prima coloană este (1+2x)(1+2y)−4xy=1+2(x+y)\displaystyle (1+2x)(1+2y)-4xy=1+2(x+y), iar cel de pe prima linie și ultima coloană este −4y(1+2x)−4x(1−2y)=−4(x+y)\displaystyle -4y(1+2x)-4x(1-2y)=-4(x+y). Celelalte elemente se calculează la fel și rezultă A(x+y)\displaystyle A(x+y).
    A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y)
  3. Aplicăm relația pentru x=−2\displaystyle x=-2 și y=2\displaystyle y=2: A(−2)⋅A(2)=A(0)=I3\displaystyle A(-2)\cdot A(2)=A(0)=I_3. Deci A(2)\displaystyle A(2) este inversabilă, iar inversa ei este A(−2)\displaystyle A(-2).
    A(−2)⋅A(2)=A(0)=I3\displaystyle A(-2)\cdot A(2)=A(0)=I_3
  4. Înmulțim egalitatea A(2)⋅X=A(3)\displaystyle A(2)\cdot X=A(3) la stânga cu A(−2)\displaystyle A(-2). Obținem X=A(−2)⋅A(3)=A(−2+3)=A(1)\displaystyle X=A(-2)\cdot A(3)=A(-2+3)=A(1).
    X=A(−2)⋅A(3)=A(1)\displaystyle X=A(-2)\cdot A(3)=A(1)
  5. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în A(x)\displaystyle A(x): 1+2x=3\displaystyle 1+2x=3, −4x=−4\displaystyle -4x=-4, x=1\displaystyle x=1, 1−2x=−1\displaystyle 1-2x=-1. Deci X=A(1)\displaystyle X=A(1) este matricea căutată.
    X=(30−401010−1)\displaystyle X=\begin{pmatrix}3 & 0 & -4\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=log⁡2(2x+2y−1)\displaystyle x*y=\log_2\left(2^x+2^y-1\right).

Arătați că 0∗2021=2021\displaystyle 0*2021=2021.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=log⁡2(2x+2y−1)\displaystyle x*y=\log_2\left(2^x+2^y-1\right) pentru x=0\displaystyle x=0 și y=2021\displaystyle y=2021.
    0∗2021=log⁡2(20+22021−1)\displaystyle 0*2021=\log_2\left(2^0+2^{2021}-1\right)
  2. Deoarece 20=1\displaystyle 2^0=1, expresia de sub logaritm devine 1+22021−1\displaystyle 1+2^{2021}-1.
    0∗2021=log⁡2(1+22021−1)\displaystyle 0*2021=\log_2\left(1+2^{2021}-1\right)
  3. Reducem termenii 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1, deci sub logaritm rămâne 22021\displaystyle 2^{2021}.
    0∗2021=log⁡222021\displaystyle 0*2021=\log_2 2^{2021}
  4. Folosim log⁡22n=n\displaystyle \log_2 2^{n}=n, deci log⁡222021=2021\displaystyle \log_2 2^{2021}=2021. Am obținut egalitatea cerută.
    0∗2021=log⁡222021=2021\displaystyle 0*2021=\log_2 2^{2021}=2021
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=log⁡2(2x+2y−1)\displaystyle x*y=\log_2\left(2^x+2^y-1\right).

Determinați elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul neutru e∈M\displaystyle e\in M trebuie să satisfacă x∗e=x\displaystyle x*e=x pentru orice x∈M\displaystyle x\in M. Scriem condiția folosind definiția legii.
    log⁡2(2x+2e−1)=x\displaystyle \log_2\left(2^x+2^e-1\right)=x
  2. Din log⁡2(A)=x\displaystyle \log_2(A)=x rezultă A=2x\displaystyle A=2^x, deci egalitatea devine o ecuație exponențială.
    2x+2e−1=2x\displaystyle 2^x+2^e-1=2^x
  3. Reducem termenii 2x\displaystyle 2^x din ambele părți și obținem 2e=1\displaystyle 2^e=1, deci e=0\displaystyle e=0. Acest număr aparține lui M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty).
    2e=1⇒e=0∈M\displaystyle 2^e=1\Rightarrow e=0\in M
  4. Verificăm și cealaltă parte: calculăm 0∗x\displaystyle 0*x pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
    0∗x=log⁡2(20+2x−1)=log⁡2(2x)=x\displaystyle 0*x=\log_2\left(2^0+2^x-1\right)=\log_2\left(2^x\right)=x
  5. Deoarece x∗0=x\displaystyle x*0=x și 0∗x=x\displaystyle 0*x=x pentru orice x∈M\displaystyle x\in M, elementul neutru al legii este 0\displaystyle 0.
    e=0\displaystyle e=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=log⁡2(2x+2y−1)\displaystyle x*y=\log_2\left(2^x+2^y-1\right).

Determinați x∈M\displaystyle x\in M pentru care x∗(x+1)∗(x+2)=log⁡254\displaystyle x*(x+1)*(x+2)=\log_2 54.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 2x∗y=2x+2y−1\displaystyle 2^{x*y}=2^x+2^y-1. Calculăm întâi x∗(x+1)\displaystyle x*(x+1): 2x∗(x+1)=2x+2x+1−1\displaystyle 2^{x*(x+1)}=2^x+2^{x+1}-1.
    x∗(x+1)=log⁡2(2x+2x+1−1)\displaystyle x*(x+1)=\log_2\left(2^x+2^{x+1}-1\right)
  2. Aplicăm legea încă o dată cu x+2\displaystyle x+2. Cum 2log⁡2a=a\displaystyle 2^{\log_2 a}=a, avem 2x∗(x+1)=2x+2x+1−1\displaystyle 2^{x*(x+1)}=2^x+2^{x+1}-1. Adunăm 2x+2\displaystyle 2^{x+2} și scădem 1\displaystyle 1.
    x∗(x+1)∗(x+2)=log⁡2(2x+2x+1−1+2x+2−1)=log⁡2(2x+2x+1+2x+2−2)\displaystyle x*(x+1)*(x+2)=\log_2\left(2^x+2^{x+1}-1+2^{x+2}-1\right)=\log_2\left(2^x+2^{x+1}+2^{x+2}-2\right)
  3. Scoatem factor comun 2x\displaystyle 2^x: 2x+1=2⋅2x\displaystyle 2^{x+1}=2\cdot 2^x și 2x+2=4⋅2x\displaystyle 2^{x+2}=4\cdot 2^x, deci suma este 7⋅2x\displaystyle 7\cdot 2^x.
    2x+2x+1+2x+2−2=7⋅2x−2\displaystyle 2^x+2^{x+1}+2^{x+2}-2=7\cdot 2^x-2
  4. Egalăm cu log⁡254\displaystyle \log_2 54. Deoarece logaritmul în baza 2 este injectiv, argumentele sunt egale.
    7⋅2x−2=54\displaystyle 7\cdot 2^x-2=54
  5. Rezolvăm ecuația: 7⋅2x=56\displaystyle 7\cdot 2^x=56, deci 2x=8\displaystyle 2^x=8, adică x=3\displaystyle x=3. Cum 3∈[0,+∞)\displaystyle 3\in[0,+\infty), valoarea convine.
    7⋅2x−2=54⇒2x=8\displaystyle 7\cdot 2^x-2=54\Rightarrow 2^x=8, x=3, care convine\displaystyle \ x=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+1x2+1\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2+1}}.

Arătați că f′(x)=1−x22(x2+1)(x2+x+1)(x2+1)\displaystyle f'(x)=\frac{1-x^2}{2\left(x^2+1\right)\sqrt{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+1\right)}}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este radical dintr-o fracție, deci o funcție compusă. Notăm u(x)=x2+x+1x2+1\displaystyle u(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}, cu u(x)>0\displaystyle u(x)>0, și folosim (u)′=u′2u\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}. Deoarece 1u=x2+1x2+x+1\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{u}}=\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2+x+1}}, obținem formula de mai jos.
    f′(x)=12x2+1x2+x+1⋅(x2+x+1x2+1)′\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2+x+1}}\cdot\left(\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}\right)'
  2. Derivăm câtul cu formula (ab)′=a′b−ab′b2\displaystyle \left(\dfrac{a}{b}\right)'=\dfrac{a'b-ab'}{b^2}, unde a=x2+x+1\displaystyle a=x^2+x+1, a′=2x+1\displaystyle a'=2x+1, b=x2+1\displaystyle b=x^2+1, b′=2x\displaystyle b'=2x.
    (x2+x+1x2+1)′=(2x+1)(x2+1)−(x2+x+1)⋅2x(x2+1)2\displaystyle \left(\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}\right)'=\dfrac{(2x+1)(x^2+1)-(x^2+x+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}
  3. Calculăm numărătorul: (2x+1)(x2+1)=2x3+2x+x2+1\displaystyle (2x+1)(x^2+1)=2x^3+2x+x^2+1 și (x2+x+1)⋅2x=2x3+2x2+2x\displaystyle (x^2+x+1)\cdot 2x=2x^3+2x^2+2x. Scăzând, obținem 2x3+x2+2x+1−2x3−2x2−2x=1−x2\displaystyle 2x^3+x^2+2x+1-2x^3-2x^2-2x=1-x^2.
    (x2+x+1x2+1)′=1−x2(x2+1)2\displaystyle \left(\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}\right)'=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}
  4. Înlocuim în f′(x)\displaystyle f'(x) și scriem x2+1x2+x+1=x2+1(x2+x+1)(x2+1)\displaystyle \sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2+x+1}}=\dfrac{x^2+1}{\sqrt{(x^2+x+1)(x^2+1)}}, deoarece x2+1x2+x+1=(x2+1)2(x2+x+1)(x2+1)\displaystyle \sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2+x+1}}=\sqrt{\dfrac{(x^2+1)^2}{(x^2+x+1)(x^2+1)}} și x2+1>0\displaystyle x^2+1>0. Apoi simplificăm cu x2+1\displaystyle x^2+1 din (x2+1)2\displaystyle (x^2+1)^2.
    f′(x)=12⋅x2+1(x2+x+1)(x2+1)⋅1−x2(x2+1)2=1−x22(x2+1)(x2+x+1)(x2+1)\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^2+1}{\sqrt{(x^2+x+1)(x^2+1)}}\cdot\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{2(x^2+1)\sqrt{(x^2+x+1)(x^2+1)}}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+1x2+1\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2+1}}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞\displaystyle -\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre −∞\displaystyle -\infty are ecuația y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to-\infty}f(x). Calculăm această limită.
    L=lim⁡x→−∞x2+x+1x2+1\displaystyle L=\lim_{x\to-\infty}\sqrt{\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}+1}}
  2. Sub radical avem o fracție cu numărătorul și numitorul de gradul doi. Împărțim ambii termeni ai fracției la x2\displaystyle x^{2}, care este nenul.
    x2+x+1x2+1=1+1x+1x21+1x2\displaystyle \sqrt{\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}+1}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{1}{x^{2}}}}
  3. Când x→−∞\displaystyle x\to-\infty, fracțiile 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} și 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}} tind la 0\displaystyle 0. Numărătorul tinde la 1\displaystyle 1, numitorul tinde la 1\displaystyle 1, iar radicalul este continuu, deci limita este 1\displaystyle \sqrt{1}.
    lim⁡x→−∞f(x)=1+0+01+0=1\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\sqrt{\dfrac{1+0+0}{1+0}}=1
  4. Limita la −∞\displaystyle -\infty este finită și egală cu 1\displaystyle 1, deci graficul are asimptotă orizontală spre −∞\displaystyle -\infty, de ecuație y=1\displaystyle y=1.
    y=1\displaystyle y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+1x2+1\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2+1}}.

Demonstrați că 2≤x2+x+1x2+1+x2−x+1x2+1≤6\displaystyle \sqrt{2}\le\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{x^2-x+1}{x^2+1}}\le\sqrt{6}, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x2−x+1x2+1=f(−x)\displaystyle \sqrt{\dfrac{x^2-x+1}{x^2+1}}=f(-x), deci trebuie arătat că 2≤f(x)+f(−x)≤6\displaystyle \sqrt{2}\le f(x)+f(-x)\le\sqrt{6}. Mai întâi studiem f\displaystyle f. Notăm g(x)=x2+x+1x2+1=1+xx2+1\displaystyle g(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}=1+\dfrac{x}{x^2+1} și o derivăm.
    g′(x)=1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2=1−x2(x2+1)2\displaystyle g'(x)=\dfrac{1\cdot(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}
  2. Numitorul lui g′\displaystyle g' este pozitiv, deci semnul lui g′\displaystyle g' este semnul lui 1−x2\displaystyle 1-x^2. Cum x2+x+1>0\displaystyle x^2+x+1>0 pentru orice x\displaystyle x (discriminantul este −3<0\displaystyle -3<0), avem g>0\displaystyle g>0, iar  \displaystyle \sqrt{\ } este crescătoare, deci f=g\displaystyle f=\sqrt{g} are aceeași monotonie ca g\displaystyle g. Rezultă: g′<0\displaystyle g'<0 pe (−∞,−1)\displaystyle (-\infty,-1), g′>0\displaystyle g'>0 pe (−1,1)\displaystyle (-1,1), g′<0\displaystyle g'<0 pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
    f descresca˘toare pe (−∞,−1]\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(-\infty,-1], cresca˘toare pe [−1,1]\displaystyle \ \text{crescătoare pe }[-1,1], descresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle \ \text{descrescătoare pe }[1,+\infty)
  3. Calculăm valorile lui f\displaystyle f în punctele în care se schimbă monotonia și limita la +∞\displaystyle +\infty: f(−1)=12\displaystyle f(-1)=\sqrt{\dfrac{1}{2}}, f(1)=32\displaystyle f(1)=\sqrt{\dfrac{3}{2}}, iar x2+x+1x2+1→1\displaystyle \dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}\to 1 când x→±∞\displaystyle x\to\pm\infty.
    f(−1)=22\displaystyle f(-1)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, f(1)=62\displaystyle \ f(1)=\dfrac{\sqrt{6}}{2}, lim⁡x→±∞f(x)=1\displaystyle \ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1
  4. Comparăm valorile pe fiecare interval de monotonie. Pe (−∞,−1]\displaystyle (-\infty,-1] funcția scade de la 1\displaystyle 1 (limita) la 22\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}, deci f(x)≥22\displaystyle f(x)\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2} și f(x)<1\displaystyle f(x)<1. Pe [−1,1]\displaystyle [-1,1] funcția crește de la 22\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2} la 62\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}}{2}. Pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) funcția scade de la 62\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}}{2} spre 1\displaystyle 1, deci 1<f(x)≤62\displaystyle 1<f(x)\le\dfrac{\sqrt{6}}{2}. Cum 22<1<62\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}<1<\dfrac{\sqrt{6}}{2}, obținem minimul în −1\displaystyle -1 și maximul în 1\displaystyle 1.
    22≤f(x)≤62\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}\le f(x)\le\dfrac{\sqrt{6}}{2}, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  5. Inegalitatea 22≤f(t)≤62\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}\le f(t)\le\dfrac{\sqrt{6}}{2} are loc pentru orice t∈R\displaystyle t\in\mathbb{R}, deci și pentru t=x\displaystyle t=x și pentru t=−x\displaystyle t=-x. Adunând cele două inegalități, obținem 2⋅22≤f(x)+f(−x)≤2⋅62\displaystyle 2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\le f(x)+f(-x)\le 2\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{2}, adică inegalitatea cerută.
    2≤x2+x+1x2+1+x2−x+1x2+1≤6\displaystyle \sqrt{2}\le\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}}+\sqrt{\dfrac{x^2-x+1}{x^2+1}}\le\sqrt{6}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3−2ln⁡x\displaystyle f(x)=2x+3-2\ln x.

Arătați că ∫13(f(x)+2ln⁡x)dx=14\displaystyle \int_1^3\left(f(x)+2\ln x\right)dx=14.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2x+3−2ln⁡x\displaystyle f(x)=2x+3-2\ln x în integrală: f(x)+2ln⁡x=2x+3−2ln⁡x+2ln⁡x\displaystyle f(x)+2\ln x=2x+3-2\ln x+2\ln x.
    ∫13(2x+3−2ln⁡x+2ln⁡x)dx\displaystyle \int_1^3\left(2x+3-2\ln x+2\ln x\right)dx
  2. Termenii cu logaritm se reduc, deoarece −2ln⁡x+2ln⁡x=0\displaystyle -2\ln x+2\ln x=0, deci rămâne de integrat doar polinomul 2x+3\displaystyle 2x+3.
    ∫13(2x+3) dx\displaystyle \int_1^3(2x+3)\,dx
  3. O primitivă a lui 2x+3\displaystyle 2x+3 este x2+3x\displaystyle x^{2}+3x, deoarece 2x\displaystyle 2x are primitiva x2\displaystyle x^{2}, iar 3\displaystyle 3 are primitiva 3x\displaystyle 3x. Aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul [1,3]\displaystyle [1,3].
    ∫13(2x+3) dx=(x2+3x)∣13\displaystyle \int_1^3(2x+3)\,dx=\left(x^{2}+3x\right)\Big|_1^3
  4. Calculăm valoarea primitivei în 3\displaystyle 3 și în 1\displaystyle 1 și le scădem: (32+3⋅3)−(12+3⋅1)=9+9−1−3=14\displaystyle (3^{2}+3\cdot 3)-(1^{2}+3\cdot 1)=9+9-1-3=14.
    9+9−1−3=14\displaystyle 9+9-1-3=14
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3−2ln⁡x\displaystyle f(x)=2x+3-2\ln x.

Calculați ∫1e(2x+3−f(x))dx\displaystyle \int_1^e\left(2x+3-f(x)\right)dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2x+3−2ln⁡x\displaystyle f(x)=2x+3-2\ln x în integrand: 2x+3−f(x)=2x+3−(2x+3−2ln⁡x)=2ln⁡x\displaystyle 2x+3-f(x)=2x+3-(2x+3-2\ln x)=2\ln x.
    2x+3−f(x)=2ln⁡x\displaystyle 2x+3-f(x)=2\ln x
  2. Scoatem constanta 2\displaystyle 2 în fața integralei: ∫1e(2x+3−f(x))dx=2∫1eln⁡x dx\displaystyle \int_1^e\left(2x+3-f(x)\right)dx=2\int_1^e\ln x\,dx.
    ∫1e(2x+3−f(x))dx=2∫1eln⁡x dx\displaystyle \int_1^e\left(2x+3-f(x)\right)dx=2\int_1^e\ln x\,dx
  3. Integrăm prin părți, scriind ln⁡x=ln⁡x⋅1\displaystyle \ln x=\ln x\cdot 1. Alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=dx\displaystyle dv=dx, deci du=1xdx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}dx și v=x\displaystyle v=x. Obținem 2∫1eln⁡x dx=2xln⁡x∣1e−2∫1ex⋅1xdx\displaystyle 2\int_1^e\ln x\,dx=2x\ln x\Big|_1^e-2\int_1^e x\cdot\dfrac{1}{x}dx.
    2xln⁡x∣1e−2∫1ex⋅1x dx\displaystyle 2x\ln x\Big|_1^e-2\int_1^e x\cdot\frac{1}{x}\,dx
  4. Calculăm termenul în afara integralei: 2xln⁡x∣1e=2eln⁡e−2⋅1⋅ln⁡1=2e−0=2e\displaystyle 2x\ln x\Big|_1^e=2e\ln e-2\cdot 1\cdot\ln 1=2e-0=2e.
    2xln⁡x∣1e=2e\displaystyle 2x\ln x\Big|_1^e=2e
  5. Simplificăm integrala rămasă: x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1, deci ∫1e1 dx=x∣1e=e−1\displaystyle \int_1^e 1\,dx=x\Big|_1^e=e-1, iar al doilea termen este 2(e−1)\displaystyle 2(e-1).
    2∫1e1 dx=2(e−1)\displaystyle 2\int_1^e 1\,dx=2(e-1)
  6. Adunăm termenii: 2e−2(e−1)=2e−2e+2=2\displaystyle 2e-2(e-1)=2e-2e+2=2.
    2e−2(e−1)=2\displaystyle 2e-2(e-1)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3−2ln⁡x\displaystyle f(x)=2x+3-2\ln x.

Arătați că ∫01x2f(x3+1)dx=4(2−ln⁡2)3\displaystyle \int_0^1 x^2 f\left(x^3+1\right)dx=\frac{4(2-\ln 2)}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Facem schimbarea de variabilă t=x3+1\displaystyle t=x^{3}+1. Atunci dt=3x2 dx\displaystyle dt=3x^{2}\,dx, deci x2 dx=13 dt\displaystyle x^{2}\,dx=\dfrac{1}{3}\,dt.
    t=x3+1\displaystyle t=x^{3}+1,x2 dx=13 dt\displaystyle \quad x^{2}\,dx=\dfrac{1}{3}\,dt
  2. Schimbăm limitele de integrare: pentru x=0\displaystyle x=0 obținem t=1\displaystyle t=1, iar pentru x=1\displaystyle x=1 obținem t=2\displaystyle t=2.
    x=0⇒t=1\displaystyle x=0\Rightarrow t=1,x=1⇒t=2\displaystyle \quad x=1\Rightarrow t=2
  3. Înlocuim în integrală, apoi scriem f(t)=2t+3−2ln⁡t\displaystyle f(t)=2t+3-2\ln t și despărțim integrala în două.
    ∫01x2f(x3+1) dx=13∫12f(t) dt=13(∫12(2t+3) dt−2∫12ln⁡t dt)\displaystyle \int_0^1 x^2 f(x^3+1)\,dx=\dfrac{1}{3}\int_1^2 f(t)\,dt=\dfrac{1}{3}\left(\int_1^2(2t+3)\,dt-2\int_1^2\ln t\,dt\right)
  4. Calculăm prima integrală direct: o primitivă a lui 2t+3\displaystyle 2t+3 este t2+3t\displaystyle t^{2}+3t.
    ∫12(2t+3) dt=(t2+3t)∣12=(4+6)−(1+3)=6\displaystyle \int_1^2(2t+3)\,dt=\left(t^{2}+3t\right)\Big|_1^2=(4+6)-(1+3)=6
  5. Calculăm integrala logaritmului prin părți, cu u=ln⁡t\displaystyle u=\ln t și dv=dt\displaystyle dv=dt, deci du=1t dt\displaystyle du=\dfrac{1}{t}\,dt și v=t\displaystyle v=t. Obținem ∫ln⁡t dt=tln⁡t−∫1 dt=tln⁡t−t\displaystyle \int \ln t\,dt=t\ln t-\int 1\,dt=t\ln t-t.
    ∫ln⁡t dt=tln⁡t−t\displaystyle \int \ln t\,dt=t\ln t-t
  6. Evaluăm integrala logaritmului între 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    ∫12ln⁡t dt=(tln⁡t−t)∣12=(2ln⁡2−2)−(0−1)=2ln⁡2−1\displaystyle \int_1^2\ln t\,dt=(t\ln t-t)\Big|_1^2=(2\ln 2-2)-(0-1)=2\ln 2-1
  7. Înlocuim cele două rezultate în expresia de la început: prima integrală este 6\displaystyle 6, iar a doua este 2ln⁡2−1\displaystyle 2\ln 2-1, înmulțită cu 2\displaystyle 2.
    13(6−2(2ln⁡2−1))=13(6−4ln⁡2+2)\displaystyle \dfrac{1}{3}\left(6-2(2\ln 2-1)\right)=\dfrac{1}{3}\left(6-4\ln 2+2\right)
  8. Reducem termenii și dăm factor comun 4\displaystyle 4: 8−4ln⁡2=4(2−ln⁡2)\displaystyle 8-4\ln 2=4(2-\ln 2). Astfel obținem valoarea cerută.
    13(8−4ln⁡2)=4(2−ln⁡2)3\displaystyle \dfrac{1}{3}\left(8-4\ln 2\right)=\dfrac{4(2-\ln 2)}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.