Bac matematică M2 științe ale naturii 2016, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați partea reală a numărului complex

\displaystyle z=i(1+i)^2

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle (1+i)^2$ folosind formula $\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ .
$\displaystyle (1+i)^2=1+2i+i^2$
Folosim $\displaystyle i^2=-1$ și reducem termenii: $\displaystyle 1+2i-1=2i$ .
$\displaystyle (1+i)^2=2i$
Înmulțim cu $\displaystyle i$ : $\displaystyle z=i\cdot 2i=2i^2$ .
$\displaystyle z=i(1+i)^2=2i^2$
Înlocuim $\displaystyle i^2=-1$ , deci $\displaystyle z=2\cdot(-1)=-2$ . Numărul este real, iar partea lui reală este $\displaystyle -2$ .
$\displaystyle \operatorname{Re}(z)=-2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați numerele reale

\displaystyle m

, știind că imaginea funcției

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+mx+1

este intervalul

\displaystyle [-1,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f(x)=x^2+mx+1$ are coeficientul dominant $\displaystyle 1>0$ , deci graficul este o parabolă cu ramurile în sus. Imaginea ei este $\displaystyle [f_{\min},+\infty)$ . Deci trebuie ca valoarea minimă să fie egală cu $\displaystyle -1$ .
$\displaystyle \operatorname{Im} f=[f_{\min},+\infty)\text{, cu }f_{\min}=-1$
Valoarea minimă se atinge în vârful parabolei și este $\displaystyle -\dfrac{\Delta}{4a}$ . Aici $\displaystyle \Delta=m^2-4\cdot 1\cdot 1=m^2-4$ și $\displaystyle a=1$ , deci $\displaystyle f_{\min}=-\dfrac{m^2-4}{4}$ .
$\displaystyle f_{\min}=-\dfrac{m^2-4}{4}$
Egalăm valoarea minimă cu $\displaystyle -1$ : $\displaystyle -\dfrac{m^2-4}{4}=-1$ . Înmulțim cu $\displaystyle -4$ și obținem $\displaystyle m^2-4=4$ , deci $\displaystyle m^2-8=0$ .
$\displaystyle -\dfrac{m^2-4}{4}=-1\Leftrightarrow m^2-8=0$
Din $\displaystyle m^2=8$ rezultă $\displaystyle m=\pm\sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2}$ . Ambele valori convin, pentru că pentru oricare dintre ele valoarea minimă este $\displaystyle -1$ .
$\displaystyle m=-2\sqrt{2}\text{ sau }m=2\sqrt{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 2^{2x}+2^{x+1}=4-2^x

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle 2^{x+1}=2\cdot 2^x$ și mutăm toți termenii în membrul stâng: $\displaystyle 2^{2x}+2\cdot 2^x+2^x-4=0$ .
$\displaystyle 2^{2x}+2\cdot 2^x+2^x-4=0$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle 2\cdot 2^x+2^x=3\cdot 2^x$ .
$\displaystyle 2^{2x}+3\cdot 2^x-4=0$
Notăm $\displaystyle 2^x=t$ . Cum $\displaystyle 2^{2x}=\left(2^x\right)^2=t^2$ , obținem ecuația $\displaystyle t^2+3t-4=0$ .
$\displaystyle t^2+3t-4=0$
Căutăm două numere cu suma $\displaystyle 3$ și produsul $\displaystyle -4$ , adică $\displaystyle 4$ și $\displaystyle -1$ . Deci $\displaystyle t^2+3t-4=(t-1)(t+4)$ . Revenind la $\displaystyle t=2^x$ , ecuația devine echivalentă cu forma de mai jos.
$\displaystyle 2^{2x}+3\cdot 2^x-4=0\Leftrightarrow \left(2^x-1\right)\left(2^x+4\right)=0$
Un produs este nul când un factor este nul, deci $\displaystyle 2^x-1=0$ sau $\displaystyle 2^x+4=0$ , adică $\displaystyle t=1$ sau $\displaystyle t=-4$ .
$\displaystyle 2^x=1\text{ sau }2^x=-4$
Deoarece $\displaystyle 2^x>0$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ , ecuația $\displaystyle 2^x=-4$ nu are soluții. Din $\displaystyle 2^x=1=2^0$ rezultă $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle 2^x>0\text{, soluția ecuației este }x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați numărul elementelor mulțimii

\displaystyle M=\{1,2,3,\ldots,2016\}

care sunt divizibile cu

\displaystyle 5

și nu sunt divizibile cu

\displaystyle 10

.

Vezi rezolvarea

Un număr divizibil cu $\displaystyle 5$ și nedivizibil cu $\displaystyle 10$ este multiplu impar de $\displaystyle 5$ , adică are forma $\displaystyle 5(2k+1)$ , deci se termină cu cifra $\displaystyle 5$ .
$\displaystyle n=5(2k+1)=10k+5$
Cel mai mare număr de forma $\displaystyle 10k+5$ care nu depășește $\displaystyle 2016$ este $\displaystyle 2015$ . Numerele cerute sunt:
$\displaystyle 5$ , $\displaystyle 15$ , $\displaystyle 25$ , $\displaystyle \ldots$ , $\displaystyle 2005\text{ și }2015$
Din $\displaystyle 10k+5\le 2016$ obținem $\displaystyle 10k\le 2011$ , deci $\displaystyle k\le 201$ . Cum $\displaystyle k$ este număr natural, $\displaystyle k\in\{0,1,2,\ldots,201\}$ .
$\displaystyle k\in\{0,1,\ldots,201\}$
Numărul valorilor lui $\displaystyle k$ de la $\displaystyle 0$ la $\displaystyle 201$ este $\displaystyle 201-0+1=202$ . Verificare: $\displaystyle \dfrac{2015-5}{10}+1=202$ .
$\displaystyle 202$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

și punctul

\displaystyle M

astfel încât

\displaystyle \overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{BM}

. Arătați că

\displaystyle \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}

.

Vezi rezolvarea

Avem $\displaystyle \overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{BM}$ . Descompunem $\displaystyle \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{BM}$
Reducem termenii și obținem $\displaystyle \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BM}$ . Vectorii au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime, deci $\displaystyle B$ se află pe segmentul $\displaystyle CM$ , la distanțe egale de capete.
$\displaystyle \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BM}$
Din $\displaystyle \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BM}$ rezultă că $\displaystyle B$ este mijlocul segmentului $\displaystyle MC$ .
$\displaystyle B\text{ este mijlocul segmentului }MC$
Deoarece $\displaystyle B$ este mijlocul lui $\displaystyle MC$ , pentru orice punct $\displaystyle A$ avem $\displaystyle \overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AC}\right)$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AC}\right)$
Înmulțim cu $\displaystyle 2$ : $\displaystyle 2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AC}$ . Izolăm $\displaystyle \overrightarrow{AM}$ și obținem relația cerută.
$\displaystyle \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AC}\right)\Rightarrow \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Determinați numerele reale

\displaystyle x\in[0,\pi]

, pentru care

\displaystyle \sin 2x=\sin x

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula sinusului unghiului dublu: $\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x$ . Înlocuim în ecuație: $\displaystyle \ 2\sin x\cos x=\sin x$ .
$\displaystyle 2\sin x\cos x=\sin x$
Mutăm totul în membrul stâng și dăm factor comun pe $\displaystyle \sin x$ . Nu împărțim la $\displaystyle \sin x$ , ca să nu pierdem soluții: $\displaystyle 2\sin x\cos x-\sin x=0$ .
$\displaystyle \sin x(2\cos x-1)=0$
Un produs este zero când unul dintre factori este zero, deci avem două ecuații simple: $\displaystyle \sin x=0$ sau $\displaystyle 2\cos x-1=0$ , adică $\displaystyle \cos x=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \sin x=0\text{ sau }\cos x=\frac{1}{2}$
Pe intervalul $\displaystyle [0,\pi]$ , ecuația $\displaystyle \sin x=0$ are soluțiile $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=\pi$ .
$\displaystyle x=0\text{ sau }x=\pi$
Pe intervalul $\displaystyle [0,\pi]$ , ecuația $\displaystyle \cos x=\dfrac{1}{2}$ are singura soluție $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}$ , deoarece cosinusul este injectiv pe acest interval.
$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$
Reunind soluțiile obținute, mulțimea soluțiilor din $\displaystyle [0,\pi]$ este formată din numerele de mai jos.
$\displaystyle x=0\text{, }x=\frac{\pi}{3}\text{ sau }x=\pi$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2015&2016&x\\2015^2&2016^2&x^2\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Calculați

\displaystyle \det(A(2016))

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=2016$ în matricea $\displaystyle A(x)$ . A doua și a treia coloană devin formate din aceleași elemente: $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2016$ , $\displaystyle 2016^{2}$ .
$\displaystyle A(2016)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2015&2016&2016\\2015^{2}&2016^{2}&2016^{2}\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(2016)$ . Se observă că ultimele două coloane sunt identice.
$\displaystyle \det(A(2016))=\begin{vmatrix}1&1&1\\2015&2016&2016\\2015^{2}&2016^{2}&2016^{2}\end{vmatrix}$
Un determinant care are două coloane identice este egal cu zero (scăzând coloana a doua din a treia, obținem o coloană nulă). Deci determinantul este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \det(A(2016))=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2015&2016&x\\2015^2&2016^2&x^2\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real. Demonstrați că

\displaystyle \det(A(x))=(2015-x)(2016-x)

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Pentru a crea zerouri pe prima linie, scădem coloana a treia din prima coloană și din a doua coloană, adică $\displaystyle C_1\to C_1-C_3$ și $\displaystyle C_2\to C_2-C_3$ . Valoarea determinantului nu se schimbă.
$\displaystyle \det(A(x))=\begin{vmatrix}0&0&1\\2015-x&2016-x&x\\2015^2-x^2&2016^2-x^2&x^2\end{vmatrix}$
Descompunem diferențele de pătrate de pe linia a treia, folosind $\displaystyle a^2-x^2=(a-x)(a+x)$ , pentru $\displaystyle a=2015$ și $\displaystyle a=2016$ : $\displaystyle 2015^2-x^2=(2015-x)(2015+x)$ și $\displaystyle 2016^2-x^2=(2016-x)(2016+x)$ .
$\displaystyle 2015^2-x^2=(2015-x)(2015+x)$
Scoatem factorul comun $\displaystyle 2015-x$ din prima coloană și factorul comun $\displaystyle 2016-x$ din a doua coloană.
$\displaystyle \det(A(x))=(2015-x)(2016-x)\begin{vmatrix}0&0&1\\1&1&x\\2015+x&2016+x&x^2\end{vmatrix}$
Dezvoltăm determinantul după prima linie, care are un singur element nenul, $\displaystyle 1$ , pe poziția $\displaystyle (1,3)$ . Semnul este plus, deoarece $\displaystyle 1+3$ este par. Rămâne un determinant de ordin 2.
$\displaystyle (2015-x)(2016-x)\begin{vmatrix}1&1\\2015+x&2016+x\end{vmatrix}$
Calculăm determinantul de ordin 2: $\displaystyle (2016+x)-(2015+x)=1$ . Deci $\displaystyle \det(A(x))=(2015-x)(2016-x)$ , pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle \det(A(x))=(2015-x)(2016-x)\cdot 1=(2015-x)(2016-x)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2015&2016&x\\2015^2&2016^2&x^2\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle \det(A(x))

are valoarea minimă.

Vezi rezolvarea

Dezvoltăm determinantul după prima linie, care conține numai elemente egale cu $\displaystyle 1$ . Rezultă suma celor trei minori, cu semnele $\displaystyle +$ , $\displaystyle -$ și $\displaystyle +$ .
$\displaystyle \det(A(x))=\begin{vmatrix}2016&x\\2016^2&x^2\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}2015&x\\2015^2&x^2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2015&2016\\2015^2&2016^2\end{vmatrix}$
Calculăm fiecare minor de ordinul $\displaystyle 2$ , ca produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare. Al treilea minor se scoate factor comun $\displaystyle 2015\cdot 2016$ .
$\displaystyle \left(2016x^2-2016^2x\right)-\left(2015x^2-2015^2x\right)+2015\cdot 2016\cdot(2016-2015)$
Grupăm termenii după puterile lui $\displaystyle x$ . Coeficientul lui $\displaystyle x^2$ este $\displaystyle 2016-2015=1$ . Coeficientul lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle -(2016^2-2015^2)=-(2016-2015)(2016+2015)=-4031$ . Termenul liber este $\displaystyle 2015\cdot 2016$ .
$\displaystyle \det(A(x))=x^2-(2015+2016)x+2015\cdot 2016=x^2-4031x+2015\cdot 2016$
Determinantul este o funcție de gradul al doilea în $\displaystyle x$ , cu coeficientul dominant $\displaystyle 1>0$ . Parabola are ramurile în sus, așa că valoarea minimă se atinge în vârful parabolei, la $\displaystyle x=-\dfrac{b}{2a}$ .
$\displaystyle x_V=-\dfrac{-4031}{2\cdot 1}$
Calculăm abscisa vârfului. Aceasta este valoarea lui $\displaystyle x$ pentru care determinantul are valoarea minimă.
$\displaystyle x=\dfrac{4031}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle X(a)=I_2+aA

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Calculați

\displaystyle A\cdot A

.

Vezi rezolvarea

Scriem produsul $\displaystyle A\cdot A$ , cu $\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}$ . Elementul de pe linia $\displaystyle i$ și coloana $\displaystyle j$ al produsului se obține înmulțind elementele liniei $\displaystyle i$ din prima matrice cu elementele coloanei $\displaystyle j$ din a doua matrice și adunând produsele.
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}$
Aplicăm definiția produsului pentru fiecare dintre cele patru elemente: linia întâi cu coloana întâi, linia întâi cu coloana a doua, linia a doua cu coloana întâi, linia a doua cu coloana a doua.
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}(-1)\cdot(-1)+(-1)\cdot 1&(-1)\cdot(-1)+(-1)\cdot 1\\1\cdot(-1)+1\cdot 1&1\cdot(-1)+1\cdot 1\end{pmatrix}$
Calculăm fiecare element: prima linie are $\displaystyle 1+(-1)=0$ , iar a doua linie are $\displaystyle -1+1=0$ . Toate elementele sunt $\displaystyle 0$ , deci produsul este matricea nulă.
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle X(a)=I_2+aA

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Demonstrați că

\displaystyle X(a)\cdot X(b)=X(a+b)

, pentru orice numere reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

.

Vezi rezolvarea

Scriem produsul cu definiția lui $\displaystyle X(a)$ și $\displaystyle X(b)$ și înmulțim parantezele, distribuind înmulțirea. Folosim faptul că $\displaystyle I_2$ este element neutru la înmulțire, deci $\displaystyle I_2\cdot I_2=I_2$ , $\displaystyle I_2\cdot bA=bA$ și $\displaystyle aA\cdot I_2=aA$ . Scalarii $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ se scot în fața produsului de matrice.
$\displaystyle X(a)\cdot X(b)=(I_2+aA)(I_2+bA)=I_2+(a+b)A+ab\cdot A\cdot A$
Calculăm $\displaystyle A\cdot A$ (rezultatul de la punctul a)). Fiecare element al produsului este suma produselor dintre linia din prima matrice și coloana din a doua: pe prima linie $\displaystyle (-1)(-1)+(-1)\cdot 1=0$ , iar pe a doua linie $\displaystyle 1\cdot(-1)+1\cdot 1=0$ , la fel pentru ambele coloane, deci $\displaystyle A\cdot A$ este matricea nulă.
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2$
Înlocuim $\displaystyle A\cdot A$ cu matricea nulă în expresia obținută. Termenul $\displaystyle ab\cdot A\cdot A$ este $\displaystyle ab\cdot O_2=O_2$ , deci dispare. Recunoaștem apoi în rezultat definiția lui $\displaystyle X(a+b)$ , obținută prin înlocuirea lui $\displaystyle a$ cu $\displaystyle a+b$ în $\displaystyle X(a)=I_2+aA$ .
$\displaystyle X(a)\cdot X(b)=I_2+(a+b)A+ab\cdot O_2=I_2+(a+b)A=X(a+b)\text{, pentru orice }a$ , $\displaystyle b\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle X(a)=I_2+aA

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați inversa matricei

\displaystyle M=X(-3)\cdot X(-2)\cdot X(-1)\cdot X(0)\cdot X(1)\cdot X(2)\cdot X(3)\cdot X(4)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle A^{2}$ . Înmulțim matricea $\displaystyle A$ cu ea însăși: pe prima linie $\displaystyle (-1)(-1)+(-1)(1)=0$ și $\displaystyle (-1)(-1)+(-1)(1)=0$ , iar pe a doua linie $\displaystyle 1\cdot(-1)+1\cdot 1=0$ și $\displaystyle 1\cdot(-1)+1\cdot 1=0$ .
$\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2$
Calculăm $\displaystyle X(a)\cdot X(b)=(I_2+aA)(I_2+bB)$ cu $\displaystyle B=A$ , adică $\displaystyle X(a)X(b)=I_2+(a+b)A+abA^{2}$ . Cum $\displaystyle A^{2}=O_2$ , rămâne $\displaystyle X(a)X(b)=I_2+(a+b)A$ .
$\displaystyle X(a)\cdot X(b)=X(a+b)$
Aplicăm regula pentru toți factorii: $\displaystyle M=X\left((-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4\right)$ . Termenii opuși se reduc, deci suma este $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle M=X(4)$
Verificăm că $\displaystyle X(-4)$ este inversa lui $\displaystyle X(4)$ : $\displaystyle X(4)\cdot X(-4)=X(4+(-4))=X(0)=I_2+0\cdot A=I_2$ . La fel, $\displaystyle X(-4)\cdot X(4)=I_2$ .
$\displaystyle X(4)\cdot X(-4)=X(0)=I_2$
Calculăm $\displaystyle X(-4)=I_2-4A$ . Avem $\displaystyle -4A=\begin{pmatrix}4&4\\-4&-4\end{pmatrix}$ , iar adunând $\displaystyle I_2$ obținem inversa matricei $\displaystyle M$ .
$\displaystyle M^{-1}=X(-4)=\begin{pmatrix}5&4\\-4&-3\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{mx^2+4x-m}{x-1}

, unde

\displaystyle m

este număr real. Arătați că dreapta de ecuație

\displaystyle x=1

este asimptotă verticală la graficul funcției

\displaystyle f

, pentru orice număr real

\displaystyle m

.

Vezi rezolvarea

Deoarece funcția este definită pe $\displaystyle (1,+\infty)$ , în $\displaystyle x=1$ are sens doar limita la dreapta. Pentru a arăta că dreapta $\displaystyle x=1$ este asimptotă verticală, calculăm $\displaystyle \lim_{x\to 1,\,x>1}f(x)$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 1,\,x>1}f(x)=\lim_{x\to 1,\,x>1}\frac{mx^{2}+4x-m}{x-1}$
Grupăm termenii care conțin $\displaystyle m$ : $\displaystyle mx^{2}-m=m(x^{2}-1)=m(x-1)(x+1)$ . Rămâne termenul $\displaystyle 4x$ , deci $\displaystyle mx^{2}+4x-m=m(x-1)(x+1)+4x$ .
$\displaystyle mx^{2}+4x-m=m(x-1)(x+1)+4x$
Împărțim la $\displaystyle x-1$ și simplificăm primul termen: $\displaystyle \dfrac{m(x-1)(x+1)+4x}{x-1}=m(x+1)+\dfrac{4x}{x-1}$ . Deci limita devine limita acestei sume.
$\displaystyle \lim_{x\to 1,\,x>1}\left(m(x+1)+\frac{4x}{x-1}\right)$
Primul termen are limita $\displaystyle m(1+1)=2m$ , număr real, oricare ar fi $\displaystyle m$ . La al doilea termen, numărătorul $\displaystyle 4x$ tinde la $\displaystyle 4>0$ , iar numitorul $\displaystyle x-1$ tinde la $\displaystyle 0$ prin valori strict pozitive, deoarece $\displaystyle x>1$ . Deci $\displaystyle \dfrac{4x}{x-1}\to+\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 1,\,x>1}\frac{4x}{x-1}=+\infty$
Suma dintre numărul real $\displaystyle 2m$ și un termen care tinde la $\displaystyle +\infty$ tinde la $\displaystyle +\infty$ , pentru orice $\displaystyle m$ real. Limita laterală la dreapta în $\displaystyle 1$ este infinită, deci dreapta $\displaystyle x=1$ este asimptotă verticală la graficul funcției $\displaystyle f$ , pentru orice număr real $\displaystyle m$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 1,\,x>1}f(x)=+\infty$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{mx^2+4x-m}{x-1}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle m

, pentru care dreapta de ecuație

\displaystyle y=3

este asimptotă orizontală la graficul funcției

\displaystyle g:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x}

.

Vezi rezolvarea

Scriem funcția $\displaystyle g$ explicit: din $\displaystyle g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ obținem $\displaystyle g(x)=\dfrac{mx^{2}+4x-m}{x(x-1)}$ , pentru $\displaystyle x\in(1,+\infty)$ .
$\displaystyle g(x)=\dfrac{mx^{2}+4x-m}{x(x-1)}$
Domeniul funcției este $\displaystyle (1,+\infty)$ , deci singura asimptotă orizontală posibilă este la $\displaystyle +\infty$ . Dreapta $\displaystyle y=3$ este asimptotă orizontală dacă limita lui $\displaystyle g$ la $\displaystyle +\infty$ este egală cu $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}g(x)=3$
Desfacem numitorul: $\displaystyle x(x-1)=x^{2}-x$ . Numărătorul și numitorul au gradul $\displaystyle 2$ , deci limita este raportul coeficienților dominanți. Verificăm împărțind numărătorul și numitorul la $\displaystyle x^{2}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{mx^{2}+4x-m}{x^{2}-x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{m+\frac{4}{x}-\frac{m}{x^{2}}}{1-\frac{1}{x}}$
Fracțiile $\displaystyle \dfrac{4}{x}$ , $\displaystyle \dfrac{m}{x^{2}}$ și $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ tind la $\displaystyle 0$ , deci limita este $\displaystyle \dfrac{m}{1}=m$ . Din condiția $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}g(x)=3$ obținem $\displaystyle m=3$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{mx^{2}+4x-m}{x(x-1)}=m\text{, obținem }m=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{mx^2+4x-m}{x-1}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Pentru

\displaystyle m=-1

, calculați

\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-5}{x-2}

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle m=-1$ obținem $\displaystyle f(x)=\dfrac{-x^{2}+4x+1}{x-1}$ , deci limita cerută este $\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{\frac{-x^{2}+4x+1}{x-1}-5}{x-2}$ .
$\displaystyle f(x)=\dfrac{-x^{2}+4x+1}{x-1}$
Avem $\displaystyle f(2)=\dfrac{-4+8+1}{2-1}=5$ , deci $\displaystyle f(x)-5\to 0$ și $\displaystyle x-2\to 0$ . Limita este o nedeterminare de forma $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ .
$\displaystyle f(2)=5\Rightarrow \dfrac{0}{0}$
Scriem $\displaystyle \dfrac{-x^{2}+4x+1}{x-1}-5=\dfrac{-x^{2}+4x+1-5(x-1)}{x-1}=\dfrac{-x^{2}-x+6}{x-1}$ . Atunci expresia devine $\displaystyle \dfrac{-x^{2}-x+6}{(x-1)(x-2)}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{-x^{2}-x+6}{(x-1)(x-2)}$
Ecuația $\displaystyle x^{2}+x-6=0$ are rădăcinile $\displaystyle 2$ și $\displaystyle -3$ , deci $\displaystyle -x^{2}-x+6=-(x-2)(x+3)$ .
$\displaystyle -x^{2}-x+6=-(x-2)(x+3)$
Simplificăm cu $\displaystyle x-2$ : $\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{-(x-2)(x+3)}{(x-1)(x-2)}=\lim_{x\to 2}\dfrac{-x-3}{x-1}$ . Înlocuim $\displaystyle x=2$ : $\displaystyle \dfrac{-2-3}{2-1}=-5$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{-x-3}{x-1}=-5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{x}{2}+2a,&x<2\\ax+\log_2 x,&x\geq 2\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Pentru

\displaystyle a=0

, calculați

\displaystyle f(-1)\cdot f(4)

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle a=0$ , funcția devine $\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{2}$ pentru $\displaystyle x<2$ și $\displaystyle f(x)=\log_2 x$ pentru $\displaystyle x\geq 2$ .
$\displaystyle f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{2},&x<2\\ \log_2 x,&x\geq 2\end{cases}$
Deoarece $\displaystyle -1<2$ , folosim prima ramură: $\displaystyle f(-1)=\dfrac{-1}{2}$ .
$\displaystyle f(-1)=-\dfrac{1}{2}$
Deoarece $\displaystyle 4\geq 2$ , folosim a doua ramură: $\displaystyle f(4)=\log_2 4$ , iar $\displaystyle 4=2^{2}$ , deci $\displaystyle f(4)=2$ .
$\displaystyle f(4)=\log_2 2^{2}=2$
Înmulțim cele două valori: $\displaystyle \left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot 2=-1$ .
$\displaystyle f(-1)\cdot f(4)=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{x}{2}+2a,&x<2\\ax+\log_2 x,&x\geq 2\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

este continuă pe

\displaystyle \mathbb{R}

, pentru orice număr real

\displaystyle a

.

Vezi rezolvarea

Pe intervalul $\displaystyle (-\infty,2)$ funcția este $\displaystyle \dfrac{x}{2}+2a$ , o funcție polinomială, deci continuă. Pe intervalul $\displaystyle (2,+\infty)$ funcția este $\displaystyle ax+\log_2 x$ , sumă de funcții elementare continue pe acest interval. Rămâne de verificat continuitatea în punctul de separare $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle \text{De verificat: }\lim_{x\to2,\,x<2}f(x)=\lim_{x\to2,\,x>2}f(x)=f(2)$
Calculăm limita la stânga în $\displaystyle 2$ , înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 2$ în expresia $\displaystyle \dfrac{x}{2}+2a$ .
$\displaystyle \lim_{x\to2,\,x<2}f(x)=\lim_{x\to2,\,x<2}\left(\frac{x}{2}+2a\right)=\frac{2}{2}+2a=1+2a$
Calculăm limita la dreapta în $\displaystyle 2$ , înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 2$ în expresia $\displaystyle ax+\log_2 x$ . Folosim faptul că $\displaystyle \log_2 2=1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to2,\,x>2}f(x)=\lim_{x\to2,\,x>2}(ax+\log_2 x)=2a+\log_2 2=2a+1$
Calculăm valoarea funcției în $\displaystyle 2$ , folosind a doua ramură (pentru $\displaystyle x\geq2$ ). Obținem că limitele laterale și valoarea funcției în $\displaystyle 2$ sunt egale.
$\displaystyle f(2)=2a+\log_2 2=2a+1$ , $\displaystyle \quad \lim_{x\to2,\,x<2}f(x)=\lim_{x\to2,\,x>2}f(x)=f(2)=2a+1$
Deoarece limitele laterale în $\displaystyle 2$ sunt egale cu $\displaystyle f(2)$ , funcția este continuă în $\displaystyle 2$ . Fiind continuă și pe restul domeniului, $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , oricare ar fi numărul real $\displaystyle a$ .
$\displaystyle f\text{ este continuă pe }\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{x}{2}+2a,&x<2\\ax+\log_2 x,&x\geq 2\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Demonstrați că, dacă

\displaystyle a\in\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)

, ecuația

\displaystyle f(x)=0

are cel puțin o soluție în intervalul

\displaystyle (-1,4)

.

Vezi rezolvarea

Studiem continuitatea funcției $\displaystyle f$ pe intervalul $\displaystyle [-1,4]$ . Pe $\displaystyle (-\infty,2)$ funcția $\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{2}+2a$ este polinomială, deci continuă. Pe $\displaystyle [2,\infty)$ funcția $\displaystyle f(x)=ax+\log_2 x$ este suma dintre o funcție liniară și un logaritm, deci continuă. Rămâne de verificat continuitatea în $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle f\text{ este continuă pe }(-\infty,2)\text{ și pe }[2,\infty)$
Calculăm limita la stânga în $\displaystyle x=2$ : $\displaystyle \lim_{x\to2^-}f(x)=\dfrac{2}{2}+2a=1+2a$ . Valoarea în 2 este $\displaystyle f(2)=2a+\log_2 2=2a+1$ . Cele două coincid, deci $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=2$ , iar $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to2^-}f(x)=1+2a=f(2)$
Deoarece $\displaystyle -1<2$ , folosim prima ramură: $\displaystyle f(-1)=\dfrac{-1}{2}+2a$ .
$\displaystyle f(-1)=-\frac{1}{2}+2a$
Deoarece $\displaystyle 4\geq2$ , folosim a doua ramură: $\displaystyle f(4)=4a+\log_2 4=4a+2$ .
$\displaystyle f(4)=4a+2$
Scriem $\displaystyle -\dfrac{1}{2}+2a=\dfrac{4a-1}{2}$ și $\displaystyle 4a+2=2(2a+1)$ . Atunci produsul este egal cu $\displaystyle \dfrac{4a-1}{2}\cdot 2(2a+1)=(4a-1)(2a+1)$ .
$\displaystyle f(-1)\cdot f(4)=\left(-\frac{1}{2}+2a\right)(4a+2)=(4a-1)(2a+1)$
Pentru $\displaystyle a\in\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\right)$ avem $\displaystyle a<\dfrac{1}{4}$ , deci $\displaystyle 4a-1<0$ , și $\displaystyle a>-\dfrac{1}{2}$ , deci $\displaystyle 2a+1>0$ . Rezultă că produsul $\displaystyle (4a-1)(2a+1)$ este negativ.
$\displaystyle (4a-1)(2a+1)<0$
Funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle [-1,4]$ și $\displaystyle f(-1)\cdot f(4)<0$ , deci $\displaystyle f(-1)$ și $\displaystyle f(4)$ au semne opuse. Conform proprietății lui Darboux, ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle (-1,4)$ .
$\displaystyle f(-1)\cdot f(4)<0\text{, ecuația }f(x)=0\text{ are cel puțin o soluție }$ $\displaystyle \text{în intervalul }(-1,4)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2016, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani