Bac matematică M2 științe ale naturii 2017, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numărul complex z\displaystyle z, știind că 2z+z‾=6+i\displaystyle 2z+\overline{z}=6+i, unde z‾\displaystyle \overline{z} este conjugatul lui z\displaystyle z.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem z=a+ib\displaystyle z=a+ib, cu a,b∈R\displaystyle a,b\in\mathbb{R}. Atunci conjugatul este z‾=a−ib\displaystyle \overline{z}=a-ib.
    z=a+ib\displaystyle z=a+ib, z‾=a−ib\displaystyle \ \overline{z}=a-ib
  2. Înlocuim în relația 2z+z‾=6+i\displaystyle 2z+\overline{z}=6+i și obținem 2(a+ib)+(a−ib)=6+i\displaystyle 2(a+ib)+(a-ib)=6+i.
    2(a+ib)+(a−ib)=6+i\displaystyle 2(a+ib)+(a-ib)=6+i
  3. Desfacem parantezele: 2a+2ib+a−ib=6+i\displaystyle 2a+2ib+a-ib=6+i. Reducem termenii asemenea și obținem 3a+ib=6+i\displaystyle 3a+ib=6+i.
    3a+ib=6+i\displaystyle 3a+ib=6+i
  4. Egalăm părțile reale și părțile imaginare: 3a=6\displaystyle 3a=6 și b=1\displaystyle b=1.
    3a=6\displaystyle 3a=6, b=1\displaystyle \ b=1
  5. Din 3a=6\displaystyle 3a=6 rezultă a=2\displaystyle a=2, iar b=1\displaystyle b=1. Deci z=2+i\displaystyle z=2+i.
    a=2\displaystyle a=2, b=1\displaystyle \ b=1, deci z=2+i\displaystyle \ \text{deci } z=2+i
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x−5\displaystyle f(x)=4x-5. Calculați f(1)+f(2)+f(3)+…+f(10)\displaystyle f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(10).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem suma cerută și înlocuim fiecare termen folosind f(k)=4k−5\displaystyle f(k)=4k-5, pentru k=1,2,…,10\displaystyle k=1,2,\ldots,10.
    f(1)+f(2)+…+f(10)=(4⋅1−5)+(4⋅2−5)+…+(4⋅10−5)\displaystyle f(1)+f(2)+\ldots+f(10)=(4\cdot 1-5)+(4\cdot 2-5)+\ldots+(4\cdot 10-5)
  2. Grupăm separat termenii cu 4k\displaystyle 4k și constantele −5\displaystyle -5. Sunt zece termeni, deci se scade de zece ori 5\displaystyle 5. Dăm factor comun 4\displaystyle 4 la prima grupă.
    4(1+2+…+10)−10⋅5\displaystyle 4(1+2+\ldots+10)-10\cdot 5
  3. Calculăm suma primelor zece numere naturale nenule cu formula n(n+1)2\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2}, pentru n=10\displaystyle n=10.
    1+2+…+10=10⋅112=55\displaystyle 1+2+\ldots+10=\dfrac{10\cdot 11}{2}=55
  4. Înlocuim suma 55\displaystyle 55 în expresie: 4⋅55=220\displaystyle 4\cdot 55=220, iar 10⋅5=50\displaystyle 10\cdot 5=50. Scădem și obținem rezultatul final.
    4⋅55−50=220−50=170\displaystyle 4\cdot 55-50=220-50=170
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x+3)=1+log⁡2(x+1)\displaystyle \log_2(x+3)=1+\log_2(x+1).
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență a logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, deci x+3>0\displaystyle x+3>0 și x+1>0\displaystyle x+1>0. Rezultă x>−1\displaystyle x>-1.
    x∈(−1,∞)\displaystyle x\in(-1,\infty)
  2. Scriem pe 1\displaystyle 1 ca logaritm în baza 2\displaystyle 2: 1=log⁡22\displaystyle 1=\log_2 2. Astfel ecuația devine log⁡2(x+3)=log⁡22+log⁡2(x+1)\displaystyle \log_2(x+3)=\log_2 2+\log_2(x+1).
    log⁡2(x+3)=log⁡22+log⁡2(x+1)\displaystyle \log_2(x+3)=\log_2 2+\log_2(x+1)
  3. Folosim formula logaritmului unui produs: log⁡2a+log⁡2b=log⁡2(ab)\displaystyle \log_2 a+\log_2 b=\log_2(ab). Obținem log⁡2(x+3)=log⁡2(2(x+1))\displaystyle \log_2(x+3)=\log_2\big(2(x+1)\big).
    log⁡2(x+3)=log⁡2(2(x+1))\displaystyle \log_2(x+3)=\log_2\big(2(x+1)\big)
  4. Funcția log⁡2\displaystyle \log_2 este injectivă, deci argumentele sunt egale: x+3=2(x+1)\displaystyle x+3=2(x+1).
    x+3=2(x+1)\displaystyle x+3=2(x+1)
  5. Desfacem parantezele: x+3=2x+2\displaystyle x+3=2x+2. Mutăm termenii: 3−2=2x−x\displaystyle 3-2=2x-x, deci x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
  6. Verificăm condiția de existență: 1>−1\displaystyle 1>-1. Verificăm și în ecuație: log⁡24=2\displaystyle \log_2 4=2, iar 1+log⁡22=2\displaystyle 1+\log_2 2=2. Deci soluția convine.
    x=1, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=1\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele egale.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Numerele naturale de două cifre sunt cele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99, deci numărul cazurilor posibile este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  3. Numerele de două cifre cu cifrele egale sunt 11,22,33,44,55,66,77,88,99\displaystyle 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, adică câte unul pentru fiecare cifră de la 1\displaystyle 1 la 9\displaystyle 9. Sunt 9\displaystyle 9 cazuri favorabile.
    9\displaystyle 9
  4. Înlocuim în formulă și simplificăm fracția prin 9\displaystyle 9: p=990=110\displaystyle p=\dfrac{9}{90}=\dfrac{1}{10}.
    p=990=110\displaystyle p=\dfrac{9}{90}=\dfrac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,1)\displaystyle A(1,1) și B(5,5)\displaystyle B(5,5). Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul C(−2,6)\displaystyle C(-2,6) și este perpendiculară pe dreapta AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula mAB=yB−yAxB−xA\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}, adică mAB=5−15−1\displaystyle m_{AB}=\dfrac{5-1}{5-1}.
    mAB=44=1\displaystyle m_{AB}=\dfrac{4}{4}=1
  2. Două drepte sunt perpendiculare când produsul pantelor este −1\displaystyle -1, deci mAB⋅md=−1\displaystyle m_{AB}\cdot m_d=-1, adică 1⋅md=−1\displaystyle 1\cdot m_d=-1.
    mAB=1⇒md=−1\displaystyle m_{AB}=1\Rightarrow m_d=-1
  3. Folosim formula y−yC=md(x−xC)\displaystyle y-y_C=m_d(x-x_C) cu C(−2,6)\displaystyle C(-2,6) și md=−1\displaystyle m_d=-1: y−6=−1⋅(x−(−2))\displaystyle y-6=-1\cdot(x-(-2)).
    y−6=−(x+2)\displaystyle y-6=-(x+2)
  4. Desfacem parantezele: y−6=−x−2\displaystyle y-6=-x-2, deci y=−x−2+6\displaystyle y=-x-2+6.
    y=−x+4\displaystyle y=-x+4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=32\displaystyle AB=3\sqrt{2}, m(∢ACB)=30∘\displaystyle m(\sphericalangle ACB)=30^\circ și m(∢BAC)=45∘\displaystyle m(\sphericalangle BAC)=45^\circ. Determinați lungimea laturii BC\displaystyle BC.
Vezi rezolvarea
  1. Latura AB\displaystyle AB este opusă unghiului C\displaystyle C, iar latura BC\displaystyle BC este opusă unghiului A\displaystyle A. Teorema sinusurilor ne dă raportul egal dintre fiecare latură și sinusul unghiului opus.
    ABsin⁡C=BCsin⁡A\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}
  2. Din proporție scoatem BC\displaystyle BC și înlocuim AB=32\displaystyle AB=3\sqrt{2}, A=45∘\displaystyle A=45^\circ, C=30∘\displaystyle C=30^\circ.
    BC=32⋅sin⁡45∘sin⁡30∘\displaystyle BC=\frac{3\sqrt{2}\cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}
  3. Folosim valorile cunoscute sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2} și sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}.
    BC=32⋅2212\displaystyle BC=\frac{3\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}
  4. La numărător, 2⋅2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2, deci numărătorul este 3⋅22=3\displaystyle \dfrac{3\cdot 2}{2}=3. Împărțirea la 12\displaystyle \dfrac{1}{2} înseamnă înmulțire cu 2\displaystyle 2, deci BC=3⋅2=6\displaystyle BC=3\cdot 2=6.
    BC=312=6\displaystyle BC=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(11123x49x2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&x\\4&9&x^2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Calculați A(1)−A(0)\displaystyle A(1)-A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în matricea A(x)\displaystyle A(x). Pe ultima coloană apar elementele 1\displaystyle 1, x\displaystyle x și x2\displaystyle x^{2}, adică 1\displaystyle 1, 1\displaystyle 1 și 1\displaystyle 1 pentru x=1\displaystyle x=1. Obținem matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(111231491)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&1\\4&9&1\end{pmatrix}
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în matricea A(x)\displaystyle A(x). Pe ultima coloană apar elementele 1\displaystyle 1, 0\displaystyle 0 și 0\displaystyle 0, deoarece 02=0\displaystyle 0^{2}=0. Obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(111230490)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&0\\4&9&0\end{pmatrix}
  3. Scădem matricele element cu element. Primele două coloane sunt identice în cele două matrice, deci diferențele sunt 0\displaystyle 0. Pe ultima coloană diferențele sunt 1−1\displaystyle 1-1, 1−0\displaystyle 1-0 și 1−0\displaystyle 1-0, adică 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 și 1\displaystyle 1.
    A(1)−A(0)=(1−11−11−12−23−31−04−49−91−0)\displaystyle A(1)-A(0)=\begin{pmatrix}1-1&1-1&1-1\\2-2&3-3&1-0\\4-4&9-9&1-0\end{pmatrix}
  4. Efectuăm calculele și obținem matricea cerută, care are nenuli doar ultimele două elemente de pe a treia coloană.
    A(1)−A(0)=(000001001)\displaystyle A(1)-A(0)=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(11123x49x2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&x\\4&9&x^2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(x))=(x−2)(x−3)\displaystyle \det(A(x))=(x-2)(x-3), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(x)\displaystyle A(x) și aplicăm regula lui Sarrus. Produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei sunt 1⋅3⋅x2\displaystyle 1\cdot 3\cdot x^{2}, 2⋅9⋅1\displaystyle 2\cdot 9\cdot 1 și 4⋅1⋅x\displaystyle 4\cdot 1\cdot x.
    1⋅3⋅x2+2⋅9⋅1+4⋅1⋅x=3x2+18+4x\displaystyle 1\cdot 3\cdot x^{2}+2\cdot 9\cdot 1+4\cdot 1\cdot x=3x^{2}+18+4x
  2. Produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei sunt 1⋅3⋅4\displaystyle 1\cdot 3\cdot 4, 9⋅x⋅1\displaystyle 9\cdot x\cdot 1 și x2⋅1⋅2\displaystyle x^{2}\cdot 1\cdot 2, iar ele se scad.
    1⋅3⋅4+9⋅x⋅1+x2⋅1⋅2=12+9x+2x2\displaystyle 1\cdot 3\cdot 4+9\cdot x\cdot 1+x^{2}\cdot 1\cdot 2=12+9x+2x^{2}
  3. Determinantul este diferența dintre prima sumă și a doua sumă.
    det⁡(A(x))=3x2+18+4x−12−9x−2x2\displaystyle \det(A(x))=3x^{2}+18+4x-12-9x-2x^{2}
  4. Reducem termenii asemenea: 3x2−2x2=x2\displaystyle 3x^{2}-2x^{2}=x^{2}, 4x−9x=−5x\displaystyle 4x-9x=-5x și 18−12=6\displaystyle 18-12=6.
    det⁡(A(x))=x2−5x+6\displaystyle \det(A(x))=x^{2}-5x+6
  5. Căutăm două numere cu suma 5\displaystyle 5 și produsul 6\displaystyle 6, adică 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3. Astfel x2−5x+6=x2−2x−3x+6=x(x−2)−3(x−2)\displaystyle x^{2}-5x+6=x^{2}-2x-3x+6=x(x-2)-3(x-2), deci trinomul se scrie ca produs de factori.
    x2−5x+6=(x−2)(x−3), pentru orice numa˘r real x\displaystyle x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(11123x49x2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&x\\4&9&x^2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care det⁡(A(a))≤det⁡(A(x))\displaystyle \det(A(a))\le\det(A(x)), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A(x)\displaystyle A(x) prin regula lui Sarrus: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Obținem det⁡(A(x))=1⋅3⋅x2+1⋅x⋅4+1⋅2⋅9−1⋅3⋅4−1⋅2⋅x2−1⋅x⋅9\displaystyle \det(A(x))=1\cdot 3\cdot x^{2}+1\cdot x\cdot 4+1\cdot 2\cdot 9-1\cdot 3\cdot 4-1\cdot 2\cdot x^{2}-1\cdot x\cdot 9.
    det⁡(A(x))=3x2+4x+18−12−2x2−9x\displaystyle \det(A(x))=3x^{2}+4x+18-12-2x^{2}-9x
  2. Reducem termenii asemenea: 3x2−2x2=x2\displaystyle 3x^{2}-2x^{2}=x^{2}, 4x−9x=−5x\displaystyle 4x-9x=-5x, 18−12=6\displaystyle 18-12=6.
    det⁡(A(x))=x2−5x+6\displaystyle \det(A(x))=x^{2}-5x+6
  3. Aducem trinomul la forma canonică, completând pătratul: x2−5x+6=(x−52)2−254+6\displaystyle x^{2}-5x+6=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^{2}-\dfrac{25}{4}+6. Cum −254+6=−14\displaystyle -\dfrac{25}{4}+6=-\dfrac{1}{4}, rezultă forma canonică.
    det⁡(A(x))=(x−52)2−14\displaystyle \det(A(x))=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4}
  4. Deoarece (x−52)2≥0\displaystyle \left(x-\dfrac{5}{2}\right)^{2}\ge 0 pentru orice x\displaystyle x real, avem det⁡(A(x))≥−14\displaystyle \det(A(x))\ge -\dfrac{1}{4}, cu egalitate dacă și numai dacă x−52=0\displaystyle x-\dfrac{5}{2}=0, adică x=52\displaystyle x=\dfrac{5}{2}. Deci valoarea minimă a determinantului se atinge în x=52\displaystyle x=\dfrac{5}{2}.
    det⁡(A(x))≥−14, cu egalitate pentru x=52\displaystyle \det(A(x))\ge -\dfrac{1}{4}\text{, cu egalitate pentru }x=\dfrac{5}{2}
  5. Condiția det⁡(A(a))≤det⁡(A(x))\displaystyle \det(A(a))\le\det(A(x)) pentru orice x\displaystyle x real înseamnă că det⁡(A(a))\displaystyle \det(A(a)) este valoarea minimă a determinantului, deci a\displaystyle a este punctul de minim, a=52\displaystyle a=\dfrac{5}{2}.
    a=52\displaystyle a=\dfrac{5}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=4xy−4x−4y+5\displaystyle x\circ y=4xy-4x-4y+5.

Arătați că x∘y=4(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=4(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=4xy−4x−4y+5\displaystyle x\circ y=4xy-4x-4y+5 și scriem termenul liber 5\displaystyle 5 ca 4+1\displaystyle 4+1, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∘y=4xy−4x−4y+4+1\displaystyle x\circ y=4xy-4x-4y+4+1
  2. Grupăm primii doi termeni, care au factor comun 4x\displaystyle 4x, și următorii doi termeni, −4y+4\displaystyle -4y+4, din care dăm factor comun −4\displaystyle -4: 4xy−4x=4x(y−1)\displaystyle 4xy-4x=4x(y-1) și −4y+4=−4(y−1)\displaystyle -4y+4=-4(y-1).
    x∘y=4x(y−1)−4(y−1)+1\displaystyle x\circ y=4x(y-1)-4(y-1)+1
  3. Dăm factor comun pe y−1\displaystyle y-1: 4x(y−1)−4(y−1)=4(x−1)(y−1)\displaystyle 4x(y-1)-4(y-1)=4(x-1)(y-1). Obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=4(x−1)(y−1)+1, pentru orice numere \displaystyle x\circ y=4(x-1)(y-1)+1\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=4xy−4x−4y+5\displaystyle x\circ y=4xy-4x-4y+5.

Arătați că N=2016∘2017\displaystyle N=2016\circ 2017 este pătratul unui număr natural.
Vezi rezolvarea
  1. Factorizăm legea de compoziție. Observăm că 4(x−1)(y−1)=4xy−4x−4y+4\displaystyle 4(x-1)(y-1)=4xy-4x-4y+4, deci x∘y=4(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=4(x-1)(y-1)+1.
    x∘y=4(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=4(x-1)(y-1)+1
  2. Înlocuim x=2016\displaystyle x=2016 și y=2017\displaystyle y=2017 în forma factorizată.
    N=4(2016−1)(2017−1)+1=4⋅2015⋅2016+1\displaystyle N=4(2016-1)(2017-1)+1=4\cdot 2015\cdot 2016+1
  3. Scriem 2016=2015+1\displaystyle 2016=2015+1, ca să apară un produs de două numere consecutive, apoi desfacem parantezele.
    N=4⋅2015⋅(2015+1)+1=4⋅20152+4⋅2015+1\displaystyle N=4\cdot 2015\cdot(2015+1)+1=4\cdot 2015^2+4\cdot 2015+1
  4. Recunoaștem pătratul unui binom: 4⋅20152=(2⋅2015)2\displaystyle 4\cdot 2015^2=(2\cdot 2015)^2, iar 4⋅2015=2⋅(2⋅2015)⋅1\displaystyle 4\cdot 2015=2\cdot(2\cdot 2015)\cdot 1. Deci N=(2⋅2015+1)2\displaystyle N=(2\cdot 2015+1)^2, adică pătratul numărului natural 4031\displaystyle 4031.
    N=(2⋅2015+1)2=40312\displaystyle N=(2\cdot 2015+1)^2=4031^2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=4xy−4x−4y+5\displaystyle x\circ y=4xy-4x-4y+5.

Determinați numerele naturale a\displaystyle a și b\displaystyle b pentru care a∘b=13\displaystyle a\circ b=13.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub o formă factorizată: 4(x−1)(y−1)=4xy−4x−4y+4\displaystyle 4(x-1)(y-1)=4xy-4x-4y+4, deci x∘y=4(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=4(x-1)(y-1)+1.
    x∘y=4(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=4(x-1)(y-1)+1
  2. Impunem condiția a∘b=13\displaystyle a\circ b=13 și folosim forma de mai sus: 4(a−1)(b−1)+1=13\displaystyle 4(a-1)(b-1)+1=13, deci 4(a−1)(b−1)=12\displaystyle 4(a-1)(b-1)=12, iar după împărțirea cu 4\displaystyle 4 obținem (a−1)(b−1)=3\displaystyle (a-1)(b-1)=3.
    4(a−1)(b−1)+1=13⇔(a−1)(b−1)=3\displaystyle 4(a-1)(b-1)+1=13\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=3
  3. Cum a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere naturale, a−1\displaystyle a-1 și b−1\displaystyle b-1 sunt numere întregi al căror produs este 3\displaystyle 3. Descompunerile lui 3\displaystyle 3 în doi factori întregi sunt: 1⋅3\displaystyle 1\cdot 3, 3⋅1\displaystyle 3\cdot 1, (−1)⋅(−3)\displaystyle (-1)\cdot(-3), (−3)⋅(−1)\displaystyle (-3)\cdot(-1).
    (a−1, b−1)∈{(1,3),(3,1),(−1,−3),(−3,−1)}\displaystyle (a-1,\,b-1)\in\{(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\}
  4. Eliminăm cazurile cu factori negativi. Dacă a−1=−1\displaystyle a-1=-1, atunci a=0\displaystyle a=0, dar b−1=−3\displaystyle b-1=-3 dă b=−2\displaystyle b=-2, care nu este natural. Dacă a−1=−3\displaystyle a-1=-3, atunci a=−2\displaystyle a=-2, care nu este natural. Rămân doar cazurile cu factori pozitivi.
    (a−1, b−1)∈{(1,3),(3,1)}\displaystyle (a-1,\,b-1)\in\{(1,3),(3,1)\}
  5. Din a−1=1\displaystyle a-1=1 și b−1=3\displaystyle b-1=3 obținem a=2\displaystyle a=2 și b=4\displaystyle b=4. Din a−1=3\displaystyle a-1=3 și b−1=1\displaystyle b-1=1 obținem a=4\displaystyle a=4 și b=2\displaystyle b=2. Ambele perechi sunt numere naturale.
    a=2\displaystyle a=2, b=4 sau a=4\displaystyle \ b=4\text{ sau }a=4, b=2\displaystyle \ b=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2\ln x.

Arătați că f′(x)=x(2ln⁡x+1)\displaystyle f'(x)=x(2\ln x+1), x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x2ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2\ln x este un produs de două funcții, u(x)=x2\displaystyle u(x)=x^2 și v(x)=ln⁡x\displaystyle v(x)=\ln x. Aplicăm formula (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
    f′(x)=(x2)′ln⁡x+x2(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=(x^2)'\ln x+x^2(\ln x)'
  2. Avem (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, pentru x>0\displaystyle x>0. Înlocuim în formulă.
    f′(x)=2xln⁡x+x2⋅1x\displaystyle f'(x)=2x\ln x+x^2\cdot\frac{1}{x}
  3. Simplificăm al doilea termen: x2⋅1x=x\displaystyle x^2\cdot\dfrac{1}{x}=x.
    f′(x)=2xln⁡x+x\displaystyle f'(x)=2x\ln x+x
  4. Dăm factor comun pe x\displaystyle x și obținem forma cerută, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=x(2ln⁡x+1)\displaystyle f'(x)=x(2\ln x+1), x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2\ln x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei la graficul lui f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1 este y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1). Avem nevoie de f(1)\displaystyle f(1) și de f′(1)\displaystyle f'(1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)=12⋅ln⁡1\displaystyle f(1)=1^2\cdot\ln 1. Deoarece ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
    f(1)=12⋅ln⁡1=0\displaystyle f(1)=1^{2}\cdot\ln 1=0
  3. Derivăm folosind regula produsului: f′(x)=(x2)′ln⁡x+x2(ln⁡x)′=2xln⁡x+x2⋅1x\displaystyle f'(x)=(x^2)'\ln x+x^2(\ln x)'=2x\ln x+x^2\cdot\dfrac{1}{x}. Deci f′(x)=2xln⁡x+x\displaystyle f'(x)=2x\ln x+x.
    f′(x)=2xln⁡x+x\displaystyle f'(x)=2x\ln x+x
  4. Calculăm f′(1)=2⋅1⋅ln⁡1+1=0+1\displaystyle f'(1)=2\cdot 1\cdot\ln 1+1=0+1. Deci f′(1)=1\displaystyle f'(1)=1.
    f(1)=0\displaystyle f(1)=0, f′(1)=1\displaystyle \ f'(1)=1
  5. Înlocuim f(1)=0\displaystyle f(1)=0 și f′(1)=1\displaystyle f'(1)=1 în formula tangentei: y−0=1⋅(x−1)\displaystyle y-0=1\cdot(x-1), adică y=x−1\displaystyle y=x-1. Aceasta este ecuația tangentei cerute.
    y−f(1)=f′(1)(x−1), adica˘ y=x−1\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\text{, adică }y=x-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2\ln x.

Demonstrați că 1+2e f(x)≥0\displaystyle 1+2e\,f(x)\ge 0, pentru orice număr real x\displaystyle x, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f(x)=x2ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2\ln x cu regula de derivare a produsului: (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=2xln⁡x+x2⋅1x=2xln⁡x+x\displaystyle f'(x)=2x\ln x+x^{2}\cdot\dfrac{1}{x}=2x\ln x+x
  2. Scoatem x\displaystyle x factor comun. Cum x>0\displaystyle x>0, semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de paranteza 2ln⁡x+1\displaystyle 2\ln x+1.
    f′(x)=x(2ln⁡x+1)\displaystyle f'(x)=x\left(2\ln x+1\right)
  3. Rezolvăm f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Cum x>0\displaystyle x>0, rămâne 2ln⁡x+1=0\displaystyle 2\ln x+1=0, deci ln⁡x=−12\displaystyle \ln x=-\dfrac{1}{2}, adică x=e−12\displaystyle x=e^{-\frac{1}{2}}.
    f′(x)=0⇔x=1e\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{e}}
  4. Pentru x∈(0,1e]\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right] avem ln⁡x≤−12\displaystyle \ln x\le-\dfrac{1}{2}, deoarece ln⁡\displaystyle \ln este crescătoare, deci 2ln⁡x+1≤0\displaystyle 2\ln x+1\le 0. Cum x>0\displaystyle x>0, obținem f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0, deci f\displaystyle f este descrescătoare pe acest interval.
    x∈(0,1e]⇒f′(x)≤0, deci f descresca˘toare pe (0,1e]\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right]\Rightarrow f'(x)\le 0\text{, deci }f\text{ descrescătoare pe }\left(0,\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right]
  5. Pentru x∈[1e,+∞)\displaystyle x\in\left[\dfrac{1}{\sqrt{e}},+\infty\right) avem ln⁡x≥−12\displaystyle \ln x\ge-\dfrac{1}{2}, deci 2ln⁡x+1≥0\displaystyle 2\ln x+1\ge 0. Cum x>0\displaystyle x>0, obținem f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0, deci f\displaystyle f este crescătoare pe acest interval.
    x∈[1e,+∞)⇒f′(x)≥0, deci f cresca˘toare pe [1e,+∞)\displaystyle x\in\left[\dfrac{1}{\sqrt{e}},+\infty\right)\Rightarrow f'(x)\ge 0\text{, deci }f\text{ crescătoare pe }\left[\dfrac{1}{\sqrt{e}},+\infty\right)
  6. Din monotonie, x=1e\displaystyle x=\dfrac{1}{\sqrt{e}} este punct de minim global. Calculăm f(1e)\displaystyle f\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right), folosind (1e)2=1e\displaystyle \left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)^{2}=\dfrac{1}{e} și ln⁡1e=−12\displaystyle \ln\dfrac{1}{\sqrt{e}}=-\dfrac{1}{2}.
    f(1e)=1e⋅(−12)=−12e\displaystyle f\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)=\dfrac{1}{e}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{2e}
  7. Deoarece minimul global al lui f\displaystyle f este −12e\displaystyle -\dfrac{1}{2e}, avem f(x)≥−12e\displaystyle f(x)\ge-\dfrac{1}{2e} pentru orice x>0\displaystyle x>0. Înmulțind cu 2e>0\displaystyle 2e>0, obținem 2e f(x)≥−1\displaystyle 2e\,f(x)\ge-1, adică 1+2e f(x)≥0\displaystyle 1+2e\,f(x)\ge 0.
    f(x)≥−12e⇔1+2ef(x)≥0, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f(x)\ge-\dfrac{1}{2e}\Leftrightarrow 1+2ef(x)\ge 0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)e^x.

Arătați că ∫01f(x)e−x dx=−12\displaystyle \int_0^1 f(x)e^{-x}\,dx=-\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=(x−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)e^{x} în integrală.
    ∫01f(x)e−x dx=∫01(x−1)exe−x dx\displaystyle \int_0^1 f(x)e^{-x}\,dx=\int_0^1 (x-1)e^{x}e^{-x}\,dx
  2. Reducem exponențialele: ex⋅e−x=e0=1\displaystyle e^{x}\cdot e^{-x}=e^{0}=1. Rămâne de integrat polinomul x−1\displaystyle x-1.
    ∫01(x−1) dx\displaystyle \int_0^1 (x-1)\,dx
  3. Determinăm o primitivă a lui x−1\displaystyle x-1, adică x22−x\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}-x, apoi aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫01f(x)e−x dx=(x22−x)∣01\displaystyle \int_0^1 f(x)e^{-x}\,dx=\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)\Big|_0^1
  4. Calculăm valorile în limite: în x=1\displaystyle x=1 obținem 12−1\displaystyle \dfrac{1}{2}-1, iar în x=0\displaystyle x=0 obținem 0\displaystyle 0. Scădem și obținem rezultatul cerut.
    (12−1)−0=−12\displaystyle \left(\frac{1}{2}-1\right)-0=-\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)e^x.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că funcția F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=(x+a)ex\displaystyle F(x)=(x+a)e^x este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru ca F\displaystyle F să fie primitivă a lui f\displaystyle f, trebuie ca F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm F(x)=(x+a)ex\displaystyle F(x)=(x+a)e^x cu regula produsului: (x+a)′=1\displaystyle (x+a)'=1 și (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, deci F′(x)=1⋅ex+(x+a)ex\displaystyle F'(x)=1\cdot e^x+(x+a)e^x.
    F′(x)=ex+(x+a)ex\displaystyle F'(x)=e^x+(x+a)e^x
  3. Dăm factor comun pe ex\displaystyle e^x: F′(x)=(1+x+a)ex\displaystyle F'(x)=(1+x+a)e^x.
    F′(x)=(x+a+1)ex\displaystyle F'(x)=(x+a+1)e^x, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  4. Impunem F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), adică (x+a+1)ex=(x−1)ex\displaystyle (x+a+1)e^x=(x-1)e^x.
    (x+a+1)ex=(x−1)ex\displaystyle (x+a+1)e^x=(x-1)e^x
  5. Cum ex≠0\displaystyle e^x\neq 0 pentru orice x\displaystyle x real, împărțim la ex\displaystyle e^x și obținem x+a+1=x−1\displaystyle x+a+1=x-1.
    x+a+1=x−1\displaystyle x+a+1=x-1
  6. Reducem x\displaystyle x din ambele părți: a+1=−1\displaystyle a+1=-1, deci a=−2\displaystyle a=-2.
    a=−2\displaystyle a=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)e^x.

Arătați că ∫01x3f(x) dx≤−120\displaystyle \int_0^1 x^3f(x)\,dx\le-\frac{1}{20}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrandul sub forma unui produs între un polinom și exponențială: x3f(x)=x3(x−1)ex=(x4−x3)ex\displaystyle x^3f(x)=x^3(x-1)e^x=(x^4-x^3)e^x.
    x3f(x)=(x4−x3)ex\displaystyle x^3f(x)=(x^4-x^3)e^x
  2. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem x3≥0\displaystyle x^3\ge 0 și x−1≤0\displaystyle x-1\le 0, deci x4−x3=x3(x−1)≤0\displaystyle x^4-x^3=x^3(x-1)\le 0.
    x4−x3≤0\displaystyle x^4-x^3\le 0, x∈[0,1]\displaystyle \ x\in[0,1]
  3. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem x≥0\displaystyle x\ge 0, deci ex≥e0=1\displaystyle e^x\ge e^0=1. Înmulțim inegalitatea ex≥1\displaystyle e^x\ge 1 cu x4−x3≤0\displaystyle x^4-x^3\le 0, iar sensul se schimbă: (x4−x3)ex≤x4−x3\displaystyle (x^4-x^3)e^x\le x^4-x^3.
    x3f(x)≤x4−x3\displaystyle x^3f(x)\le x^4-x^3, x∈[0,1]\displaystyle \ x\in[0,1]
  4. Integrăm inegalitatea pe [0,1]\displaystyle [0,1], iar sensul se păstrează: ∫01x3f(x) dx≤∫01(x4−x3) dx\displaystyle \int_0^1 x^3f(x)\,dx\le\int_0^1(x^4-x^3)\,dx.
    ∫01x3f(x) dx≤∫01(x4−x3) dx\displaystyle \int_0^1 x^3f(x)\,dx\le\int_0^1(x^4-x^3)\,dx
  5. Calculăm integrala polinomului cu o primitivă: ∫01(x4−x3) dx=(x55−x44)∣01=15−14=−120\displaystyle \int_0^1(x^4-x^3)\,dx=\left(\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^4}{4}\right)\Big|_0^1=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{20}. Deci ∫01x3f(x) dx≤−120\displaystyle \int_0^1 x^3f(x)\,dx\le-\dfrac{1}{20}.
    ∫01x3f(x) dx≤∫01(x4−x3) dx=(x55−x44)∣01=−120\displaystyle \int_0^1x^3f(x)\,dx\le\int_0^1(x^4-x^3)\,dx=\left(\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{4}\right)\Big|_0^1=-\frac{1}{20}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.