Bac matematică M2 științe ale naturii 2018, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați conjugatul numărului complex z=(1−i)(2+i)+5i\displaystyle z=(1-i)(2+i)+5i.
Vezi rezolvarea
  1. Efectuăm produsul (1−i)(2+i)\displaystyle (1-i)(2+i) distribuind fiecare termen din prima paranteză la termenii din a doua: (1−i)(2+i)=2+i−2i−i2\displaystyle (1-i)(2+i)=2+i-2i-i^{2}.
    (1−i)(2+i)=2+i−2i−i2\displaystyle (1-i)(2+i)=2+i-2i-i^{2}
  2. Folosim i2=−1\displaystyle i^{2}=-1 și reducem termenii asemenea: 2−i+1=3−i\displaystyle 2-i+1=3-i.
    (1−i)(2+i)=3−i\displaystyle (1-i)(2+i)=3-i
  3. Adunăm 5i\displaystyle 5i: z=3−i+5i=3+4i\displaystyle z=3-i+5i=3+4i.
    z=3+4i\displaystyle z=3+4i
  4. Conjugatul se obține schimbând semnul părții imaginare: z‾=3−4i\displaystyle \overline{z}=3-4i.
    z‾=3−4i\displaystyle \overline{z}=3-4i
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care n2+n−12<0\displaystyle n^2+n-12<0.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm rădăcinile ecuației n2+n−12=0\displaystyle n^{2}+n-12=0. Discriminantul este Δ=1+48=49\displaystyle \Delta=1+48=49, deci n1=−1−72=−4\displaystyle n_{1}=\dfrac{-1-7}{2}=-4 și n2=−1+72=3\displaystyle n_{2}=\dfrac{-1+7}{2}=3.
    n1=−4\displaystyle n_{1}=-4, n2=3\displaystyle \ n_{2}=3
  2. Factorizăm trinomul folosind rădăcinile: n2+n−12=(n+4)(n−3)\displaystyle n^{2}+n-12=(n+4)(n-3). Inegalitatea devine (n+4)(n−3)<0\displaystyle (n+4)(n-3)<0.
    (n+4)(n−3)<0\displaystyle (n+4)(n-3)<0
  3. Un produs de doi factori este negativ când factorii au semne contrare. Trinomul are coeficientul dominant pozitiv, deci este negativ între rădăcini: n∈(−4,3)\displaystyle n\in(-4,3). Pentru n\displaystyle n natural, n+4>0\displaystyle n+4>0, deci trebuie ca n−3<0\displaystyle n-3<0, adică n<3\displaystyle n<3.
    n<3\displaystyle n<3
  4. Reținem doar numerele naturale mai mici decât 3\displaystyle 3: 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2. Verificare: pentru n=2\displaystyle n=2 avem 4+2−12=−6<0\displaystyle 4+2-12=-6<0, iar pentru n=3\displaystyle n=3 avem 9+3−12=0\displaystyle 9+3-12=0, care nu convine.
    n=0\displaystyle n=0, n=1 sau n=2\displaystyle \ n=1\text{ sau }n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg⁡(x+1)=2lg⁡(x−5)\displaystyle \lg(x+1)=2\lg(x-5).
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive. Din x+1>0\displaystyle x+1>0 rezultă x>−1\displaystyle x>-1, iar din x−5>0\displaystyle x-5>0 rezultă x>5\displaystyle x>5. Deci trebuie ca x∈(5,∞)\displaystyle x\in(5,\infty).
    x∈(5,∞)\displaystyle x\in(5,\infty)
  2. Folosim proprietatea logaritmului unei puteri: 2lg⁡(x−5)=lg⁡(x−5)2\displaystyle 2\lg(x-5)=\lg(x-5)^2. Ecuația devine lg⁡(x+1)=lg⁡(x−5)2\displaystyle \lg(x+1)=\lg(x-5)^2.
    lg⁡(x+1)=lg⁡(x−5)2\displaystyle \lg(x+1)=\lg(x-5)^2
  3. Funcția logaritm este injectivă, deci egalăm argumentele: x+1=(x−5)2\displaystyle x+1=(x-5)^2.
    x+1=(x−5)2\displaystyle x+1=(x-5)^2
  4. Desfacem pătratul: (x−5)2=x2−10x+25\displaystyle (x-5)^2=x^2-10x+25. Mutăm tot în același membru: x2−10x+25−x−1=0\displaystyle x^2-10x+25-x-1=0, adică x2−11x+24=0\displaystyle x^2-11x+24=0.
    x2−11x+24=0\displaystyle x^2-11x+24=0
  5. Calculăm discriminantul: Δ=121−96=25\displaystyle \Delta=121-96=25, deci Δ=5\displaystyle \sqrt{\Delta}=5. Soluțiile sunt x=11−52=3\displaystyle x=\dfrac{11-5}{2}=3 și x=11+52=8\displaystyle x=\dfrac{11+5}{2}=8.
    x1=3\displaystyle x_1=3,x2=8\displaystyle \quad x_2=8
  6. Verificăm condiția de existență x>5\displaystyle x>5. Valoarea 3\displaystyle 3 nu respectă condiția, deci nu convine. Valoarea 8>5\displaystyle 8>5, deci convine. Verificare: lg⁡9=2lg⁡3=lg⁡9\displaystyle \lg 9=2\lg 3=\lg 9, adevărat. Soluția ecuației este x=8\displaystyle x=8.
    x=3, care nu verifica˘ \displaystyle x=3\text{, care nu verifică }ecuația și x=8, care verifica˘ ecuația\displaystyle \text{ecuația și }x=8\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are 45\displaystyle 45 de submulțimi cu două elemente.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu n\displaystyle n numărul de elemente ale mulțimii. Numărul de submulțimi cu două elemente este egal cu numărul de moduri de a alege 2 elemente din n\displaystyle n, adică combinări de n\displaystyle n luate câte 2\displaystyle 2, cu n≥2\displaystyle n\geq 2.
    Cn2\displaystyle C_n^2
  2. Scriem formula combinărilor: Cn2=n!2! (n−2)!\displaystyle C_n^2=\dfrac{n!}{2!\,(n-2)!}, apoi simplificăm factorialele.
    Cn2=n(n−1)2\displaystyle C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}
  3. Egalăm cu 45\displaystyle 45, numărul de submulțimi din enunț: n(n−1)2=45\displaystyle \dfrac{n(n-1)}{2}=45. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și obținem ecuația de gradul al doilea.
    n2−n−90=0\displaystyle n^{2}-n-90=0
  4. Discriminantul este Δ=1+360=361\displaystyle \Delta=1+360=361, iar 361=19\displaystyle \sqrt{361}=19. Rădăcinile sunt n=1+192=10\displaystyle n=\dfrac{1+19}{2}=10 și n=1−192=−9\displaystyle n=\dfrac{1-19}{2}=-9. Cum n\displaystyle n este număr natural, n≥2\displaystyle n\geq 2, convine doar n=10\displaystyle n=10.
    n=10\displaystyle n=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră dreptunghiul ABCD\displaystyle ABCD și v⃗=AB→+AC→+AD→\displaystyle \vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}. Știind că lungimea vectorului v⃗\displaystyle \vec{v} este egală cu 20\displaystyle 20, determinați lungimea vectorului BD→\displaystyle \overrightarrow{BD}.
Vezi rezolvarea
  1. Dreptunghiul ABCD\displaystyle ABCD este paralelogram, deci după regula paralelogramului avem AB→+AD→=AC→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.
    AB→+AD→=AC→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}
  2. Înlocuim în v⃗=AB→+AC→+AD→\displaystyle \vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} și obținem v⃗=AC→+AC→\displaystyle \vec{v}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}.
    v⃗=2AC→\displaystyle \vec{v}=2\overrightarrow{AC}
  3. Din ∣v⃗∣=2 ∣AC→∣\displaystyle |\vec{v}|=2\,|\overrightarrow{AC}| și ∣v⃗∣=20\displaystyle |\vec{v}|=20 rezultă 2⋅AC=20\displaystyle 2\cdot AC=20, deci AC=10\displaystyle AC=10.
    2⋅AC=20⇒AC=10\displaystyle 2\cdot AC=20\Rightarrow AC=10
  4. Diagonalele unui dreptunghi sunt egale, deci BD=AC\displaystyle BD=AC. Așadar lungimea vectorului BD→\displaystyle \overrightarrow{BD} este 10\displaystyle 10.
    BD=AC=10\displaystyle BD=AC=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că, dacă x\displaystyle x este număr real pentru care sin⁡x+cos⁡x=2\displaystyle \sin x+\cos x=\sqrt{2}, atunci tg⁡x+ctg⁡x=2\displaystyle \operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x=2.
Vezi rezolvarea
  1. Ridicăm la pătrat relația dată sin⁡x+cos⁡x=2\displaystyle \sin x+\cos x=\sqrt{2}. Obținem (sin⁡x+cos⁡x)2=2\displaystyle (\sin x+\cos x)^{2}=2.
    (sin⁡x+cos⁡x)2=2\displaystyle (\sin x+\cos x)^{2}=2
  2. Desfacem pătratul: sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=2\displaystyle \sin^{2}x+2\sin x\cos x+\cos^{2}x=2.
    sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=2\displaystyle \sin^{2}x+2\sin x\cos x+\cos^{2}x=2
  3. Folosim identitatea sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, deci 1+2sin⁡xcos⁡x=2\displaystyle 1+2\sin x\cos x=2, de unde 2sin⁡xcos⁡x=1\displaystyle 2\sin x\cos x=1.
    sin⁡xcos⁡x=12\displaystyle \sin x\cos x=\frac{1}{2}
  4. Scriem tg⁡x=sin⁡xcos⁡x\displaystyle \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x} și ctg⁡x=cos⁡xsin⁡x\displaystyle \operatorname{ctg}x=\dfrac{\cos x}{\sin x}. Produsul sin⁡xcos⁡x=12\displaystyle \sin x\cos x=\dfrac{1}{2} este nenul, deci sin⁡x≠0\displaystyle \sin x\neq 0 și cos⁡x≠0\displaystyle \cos x\neq 0, iar expresiile au sens.
    tg⁡x+ctg⁡x=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x\displaystyle \operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}
  5. Aducem la numitor comun: sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x\displaystyle \dfrac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cos x}=\dfrac{1}{\sin x\cos x}. Înlocuind sin⁡xcos⁡x=12\displaystyle \sin x\cos x=\dfrac{1}{2}, obținem 112=2\displaystyle \dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2, deci tg⁡x+ctg⁡x=2\displaystyle \operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x=2.
    tg⁡x+ctg⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=112=2\displaystyle \operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x=\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(102x−2x1−2x2001)A(x)=\begin{pmatrix}1&0&2x\\-2x&1&-2x^2\\0&0&1\end{pmatrix} unde x\displaystyle x este număr real.

Calculați det⁡(A(2))\displaystyle \det(A(2)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în matricea A(x)\displaystyle A(x): elementul 2x\displaystyle 2x devine 4\displaystyle 4, elementul −2x\displaystyle -2x devine −4\displaystyle -4, iar elementul −2x2\displaystyle -2x^{2} devine −2⋅4=−8\displaystyle -2\cdot 4=-8.
    A(2)=(104−41−8001)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&0&4\\-4&1&-8\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(2)\displaystyle A(2).
    det⁡(A(2))=∣104−41−8001∣\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}1&0&4\\-4&1&-8\\0&0&1\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula lui Sarrus: termenii cu plus sunt 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot1\cdot1, 0⋅(−8)⋅0\displaystyle 0\cdot(-8)\cdot0, 4⋅(−4)⋅0\displaystyle 4\cdot(-4)\cdot0, iar cei cu minus sunt 4⋅1⋅0\displaystyle 4\cdot1\cdot0, 1⋅(−8)⋅0\displaystyle 1\cdot(-8)\cdot0, 0⋅(−4)⋅1\displaystyle 0\cdot(-4)\cdot1. Toți termenii care conțin un element nul dispar.
    1⋅1⋅1+0+0−0−0−0\displaystyle 1\cdot1\cdot1+0+0-0-0-0
  4. Rămâne doar produsul elementelor de pe diagonala principală, deci determinantul este 1\displaystyle 1. Același rezultat se obține dezvoltând după ultima linie, care are un singur element nenul, 1\displaystyle 1, iar minorul lui este ∣10−41∣=1\displaystyle \begin{vmatrix}1&0\\-4&1\end{vmatrix}=1.
    det⁡(A(2))=1\displaystyle \det(A(2))=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(102x−2x1−2x2001)A(x)=\begin{pmatrix}1&0&2x\\-2x&1&-2x^2\\0&0&1\end{pmatrix} unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care det⁡(A(a)+aA(0))=8\displaystyle \det(A(a)+aA(0))=8.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(0)\displaystyle A(0): în matricea A(x)\displaystyle A(x) înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0. Obținem matricea unitate de ordin 3\displaystyle 3.
    A(0)=(100010001)=I3\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I_3
  2. Scriem matricea A(a)\displaystyle A(a) și calculăm A(a)+aA(0)\displaystyle A(a)+aA(0). Lui aA(0)=aI3\displaystyle aA(0)=aI_3 îi corespunde a\displaystyle a pe diagonala principală, deci elementele diagonale din A(a)\displaystyle A(a) cresc cu a\displaystyle a.
    A(a)+aA(0)=(a+102a−2aa+1−2a200a+1)\displaystyle A(a)+aA(0)=\begin{pmatrix}a+1&0&2a\\-2a&a+1&-2a^2\\0&0&a+1\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul. Ultima linie are un singur element nenul, a+1\displaystyle a+1, așa că dezvoltăm după ea. Rămâne determinantul de ordin 2\displaystyle 2 din primele două linii și primele două coloane: ∣a+10−2aa+1∣=(a+1)2−0⋅(−2a)=(a+1)2\displaystyle \begin{vmatrix}a+1&0\\-2a&a+1\end{vmatrix}=(a+1)^2-0\cdot(-2a)=(a+1)^2.
    det⁡(A(a)+aA(0))=(a+1)⋅∣a+10−2aa+1∣=(a+1)3\displaystyle \det(A(a)+aA(0))=(a+1)\cdot\begin{vmatrix}a+1&0\\-2a&a+1\end{vmatrix}=(a+1)^3
  4. Punem condiția din enunț: (a+1)3=8\displaystyle (a+1)^3=8, iar 8=23\displaystyle 8=2^3. Funcția t↦t3\displaystyle t\mapsto t^3 este injectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci egalăm bazele: a+1=2\displaystyle a+1=2.
    (a+1)3=23⇒a+1=2⇒a=1\displaystyle (a+1)^3=2^3\Rightarrow a+1=2\Rightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(102x−2x1−2x2001)A(x)=\begin{pmatrix}1&0&2x\\-2x&1&-2x^2\\0&0&1\end{pmatrix} unde x\displaystyle x este număr real.

Știind că det⁡((m+n)A(x))=det⁡(mA(x))+det⁡(nA(x))+18\displaystyle \det((m+n)A(x))=\det(mA(x))+\det(nA(x))+18, pentru orice număr real x\displaystyle x, determinați numerele naturale m\displaystyle m și n\displaystyle n, m<n\displaystyle m<n.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm det⁡A(x)\displaystyle \det A(x) dezvoltând după ultima linie, care are un singur element nenul, 1\displaystyle 1, pe poziția (3,3)\displaystyle (3,3). Rămâne determinantul minorului format din primele două linii și coloane: det⁡A(x)=∣10−2x1∣=1⋅1−0⋅(−2x)\displaystyle \det A(x)=\begin{vmatrix}1&0\\-2x&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-0\cdot(-2x).
    det⁡A(x)=1\displaystyle \det A(x)=1
  2. Matricea A(x)\displaystyle A(x) are ordinul 3\displaystyle 3, deci det⁡(kA(x))=k3det⁡A(x)=k3\displaystyle \det(kA(x))=k^{3}\det A(x)=k^{3}. Obținem det⁡((m+n)A(x))=(m+n)3\displaystyle \det((m+n)A(x))=(m+n)^{3}, det⁡(mA(x))=m3\displaystyle \det(mA(x))=m^{3} și det⁡(nA(x))=n3\displaystyle \det(nA(x))=n^{3}.
    det⁡((m+n)A(x))=(m+n)3\displaystyle \det((m+n)A(x))=(m+n)^{3}, det⁡(mA(x))=m3\displaystyle \ \det(mA(x))=m^{3}, det⁡(nA(x))=n3\displaystyle \ \det(nA(x))=n^{3}
  3. Înlocuim în relația din enunț det⁡((m+n)A(x))=det⁡(mA(x))+det⁡(nA(x))+18\displaystyle \det((m+n)A(x))=\det(mA(x))+\det(nA(x))+18 și obținem egalitatea, independentă de x\displaystyle x:
    (m+n)3=m3+n3+18\displaystyle (m+n)^{3}=m^{3}+n^{3}+18
  4. Dezvoltăm cubul sumei: (m+n)3=m3+3m2n+3mn2+n3\displaystyle (m+n)^{3}=m^{3}+3m^{2}n+3mn^{2}+n^{3}. Reducem m3\displaystyle m^{3} și n3\displaystyle n^{3} din ambii membri și rămâne 3m2n+3mn2=18\displaystyle 3m^{2}n+3mn^{2}=18, adică 3mn(m+n)=18\displaystyle 3mn(m+n)=18. Împărțim la 3\displaystyle 3.
    mn(m+n)=6\displaystyle mn(m+n)=6
  5. Produsul mn(m+n)=6\displaystyle mn(m+n)=6 este nenul, deci m≥1\displaystyle m\ge 1, iar din m<n\displaystyle m<n rezultă n≥2\displaystyle n\ge 2 și m+n≥3\displaystyle m+n\ge 3. Cum m+n\displaystyle m+n divide 6\displaystyle 6, avem m+n=3\displaystyle m+n=3 sau m+n=6\displaystyle m+n=6. Dacă m+n=3\displaystyle m+n=3, atunci m=1\displaystyle m=1 și n=2\displaystyle n=2, iar mn(m+n)=2⋅3=6\displaystyle mn(m+n)=2\cdot 3=6, deci convine. Dacă m+n=6\displaystyle m+n=6, atunci mn=1\displaystyle mn=1, deci m=n=1\displaystyle m=n=1, ceea ce contrazice m<n\displaystyle m<n. Singura soluție este m=1\displaystyle m=1 și n=2\displaystyle n=2.
    m=1 și n=2\displaystyle m=1\text{ și }n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea Z7\displaystyle \mathbb{Z}_7 se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+6^x+6^y+2^\displaystyle x*y=xy+\hat{6}x+\hat{6}y+\hat{2}. Demonstrați că x∗y=(x+6^)(y+6^)+1^\displaystyle x*y=(x+\hat{6})(y+\hat{6})+\hat{1}, pentru orice x,y∈Z7\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}_7.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la legea de compoziție dată, x∗y=xy+6^x+6^y+2^\displaystyle x*y=xy+\hat{6}x+\hat{6}y+\hat{2}, cu clase de resturi modulo 7\displaystyle 7.
    x∗y=xy+6^x+6^y+2^\displaystyle x*y=xy+\hat{6}x+\hat{6}y+\hat{2}
  2. Scriem 2^=1^+1^\displaystyle \hat{2}=\hat{1}+\hat{1} și grupăm termenii: xy\displaystyle xy cu 6^x\displaystyle \hat{6}x, iar 6^y\displaystyle \hat{6}y cu 1^\displaystyle \hat{1}, al doilea 1^\displaystyle \hat{1} rămânând separat.
    x∗y=(xy+6^x)+(6^y+1^)+1^\displaystyle x*y=(xy+\hat{6}x)+(\hat{6}y+\hat{1})+\hat{1}
  3. În primul grup dăm factor comun pe x\displaystyle x: xy+6^x=x(y+6^)\displaystyle xy+\hat{6}x=x(y+\hat{6}). Pentru al doilea grup observăm că 6^⋅6^=36^=1^\displaystyle \hat{6}\cdot\hat{6}=\hat{36}=\hat{1} în Z7\displaystyle \mathbb{Z}_7, deoarece 36=5⋅7+1\displaystyle 36=5\cdot 7+1. Atunci 6^y+1^=6^y+6^⋅6^=6^(y+6^)\displaystyle \hat{6}y+\hat{1}=\hat{6}y+\hat{6}\cdot\hat{6}=\hat{6}(y+\hat{6}).
    x(y+6^)+6^(y+6^)+1^\displaystyle x(y+\hat{6})+\hat{6}(y+\hat{6})+\hat{1}
  4. Înlocuim cele două grupuri în expresie și observăm factorul comun y+6^\displaystyle y+\hat{6}. Dându-l factor comun, obținem forma cerută, pentru orice x,y∈Z7\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}_7.
    x∗y=x(y+6^)+6^(y+6^)+1^=(x+6^)(y+6^)+1^\displaystyle x*y=x(y+\hat{6})+\hat{6}(y+\hat{6})+\hat{1}=(x+\hat{6})(y+\hat{6})+\hat{1}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea Z7\displaystyle \mathbb{Z}_7 se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+6^x+6^y+2^\displaystyle x*y=xy+\hat{6}x+\hat{6}y+\hat{2}.

Demonstrați că x∗1^=1^∗x=1^\displaystyle x*\hat{1}=\hat{1}*x=\hat{1}, pentru orice x∈Z7\displaystyle x\in\mathbb{Z}_7.
Vezi rezolvarea
  1. Rescriem legea sub formă factorizată. Avem (x+6^)(y+6^)=xy+6^x+6^y+36^\displaystyle (x+\hat{6})(y+\hat{6})=xy+\hat{6}x+\hat{6}y+\hat{36}, iar 36^=1^\displaystyle \hat{36}=\hat{1} în Z7\displaystyle \mathbb{Z}_7. Deci xy+6^x+6^y+2^=(x+6^)(y+6^)+1^\displaystyle xy+\hat{6}x+\hat{6}y+\hat{2}=(x+\hat{6})(y+\hat{6})+\hat{1}.
    x∗y=(x+6^)(y+6^)+1^\displaystyle x*y=(x+\hat{6})(y+\hat{6})+\hat{1}
  2. Calculăm x∗1^\displaystyle x*\hat{1}, înlocuind y=1^\displaystyle y=\hat{1}. Cum 1^+6^=7^=0^\displaystyle \hat{1}+\hat{6}=\hat{7}=\hat{0}, produsul se anulează: x∗1^=(x+6^)(1^+6^)+1^=(x+6^)⋅0^+1^=0^+1^\displaystyle x*\hat{1}=(x+\hat{6})(\hat{1}+\hat{6})+\hat{1}=(x+\hat{6})\cdot\hat{0}+\hat{1}=\hat{0}+\hat{1}.
    x∗1^=(x+6^)(1^+6^)+1^=0^+1^=1^\displaystyle x*\hat{1}=(x+\hat{6})(\hat{1}+\hat{6})+\hat{1}=\hat{0}+\hat{1}=\hat{1}
  3. Calculăm 1^∗x\displaystyle \hat{1}*x cu forma factorizată. Cum 1^+6^=0^\displaystyle \hat{1}+\hat{6}=\hat{0}, primul factor se anulează: 1^∗x=(1^+6^)(x+6^)+1^=0^+1^=1^\displaystyle \hat{1}*x=(\hat{1}+\hat{6})(x+\hat{6})+\hat{1}=\hat{0}+\hat{1}=\hat{1}. Rezultatul este egal cu x∗1^\displaystyle x*\hat{1}, deci x∗1^=1^∗x=1^\displaystyle x*\hat{1}=\hat{1}*x=\hat{1} pentru orice x∈Z7\displaystyle x\in\mathbb{Z}_7.
    1^∗x=(1^+6^)(x+6^)+1^=0^+1^=1^=x∗1^\displaystyle \hat{1}*x=(\hat{1}+\hat{6})(x+\hat{6})+\hat{1}=\hat{0}+\hat{1}=\hat{1}=x*\hat{1}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea Z7\displaystyle \mathbb{Z}_7 se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+6^x+6^y+2^\displaystyle x*y=xy+\hat{6}x+\hat{6}y+\hat{2}.

Calculați 0^∗1^∗2^∗3^∗4^∗5^∗6^\displaystyle \hat{0}*\hat{1}*\hat{2}*\hat{3}*\hat{4}*\hat{5}*\hat{6}.
Vezi rezolvarea
  1. Rescriem legea în Z7\displaystyle \mathbb{Z}_7: deoarece 6^=−1^\displaystyle \hat{6}=-\hat{1}, avem x∗y=xy−x−y+2^\displaystyle x*y=xy-x-y+\hat{2}, adică x∗y=(x−1^)(y−1^)+1^\displaystyle x*y=(x-\hat{1})(y-\hat{1})+\hat{1}.
    x∗y=(x−1^)(y−1^)+1^\displaystyle x*y=(x-\hat{1})(y-\hat{1})+\hat{1}
  2. Deducem că 1^\displaystyle \hat{1} este element absorbant: pentru orice y\displaystyle y, 1^∗y=0^⋅(y−1^)+1^=1^\displaystyle \hat{1}*y=\hat{0}\cdot(y-\hat{1})+\hat{1}=\hat{1}, și analog y∗1^=1^\displaystyle y*\hat{1}=\hat{1}.
    1^∗y=y∗1^=1^\displaystyle \hat{1}*y=y*\hat{1}=\hat{1}
  3. Legea fiind asociativă, putem grupa primii doi termeni: 0^∗1^=0^⋅1^+6^⋅0^+6^⋅1^+2^=8^=1^\displaystyle \hat{0}*\hat{1}=\hat{0}\cdot\hat{1}+\hat{6}\cdot\hat{0}+\hat{6}\cdot\hat{1}+\hat{2}=\hat{8}=\hat{1} în Z7\displaystyle \mathbb{Z}_7, deci expresia devine (0^∗1^)∗2^∗3^∗4^∗5^∗6^=1^∗2^∗3^∗4^∗5^∗6^\displaystyle (\hat{0}*\hat{1})*\hat{2}*\hat{3}*\hat{4}*\hat{5}*\hat{6}=\hat{1}*\hat{2}*\hat{3}*\hat{4}*\hat{5}*\hat{6}.
    0^∗1^∗2^∗3^∗4^∗5^∗6^=1^∗2^∗3^∗4^∗5^∗6^\displaystyle \hat{0}*\hat{1}*\hat{2}*\hat{3}*\hat{4}*\hat{5}*\hat{6}=\hat{1}*\hat{2}*\hat{3}*\hat{4}*\hat{5}*\hat{6}
  4. Grupăm din nou folosind asociativitatea: 1^∗(2^∗3^∗4^∗5^∗6^)\displaystyle \hat{1}*(\hat{2}*\hat{3}*\hat{4}*\hat{5}*\hat{6}). Cum 1^\displaystyle \hat{1} este element absorbant, rezultatul este 1^\displaystyle \hat{1}.
    1^∗(2^∗3^∗4^∗5^∗6^)=1^\displaystyle \hat{1}*(\hat{2}*\hat{3}*\hat{4}*\hat{5}*\hat{6})=\hat{1}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x2−6x+9)\displaystyle f(x)=e^x(x^2-6x+9).

Arătați că f′(x)=ex(x2−4x+3)\displaystyle f'(x)=e^x(x^2-4x+3), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un produs între ex\displaystyle e^{x} și polinomul x2−6x+9\displaystyle x^{2}-6x+9, deci aplicăm formula de derivare a produsului: (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
    f′(x)=(ex)′(x2−6x+9)+ex(x2−6x+9)′\displaystyle f'(x)=(e^{x})'(x^{2}-6x+9)+e^{x}(x^{2}-6x+9)'
  2. Calculăm derivatele: (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x}, iar (x2−6x+9)′=2x−6\displaystyle (x^{2}-6x+9)'=2x-6.
    f′(x)=ex(x2−6x+9)+ex(2x−6)\displaystyle f'(x)=e^{x}(x^{2}-6x+9)+e^{x}(2x-6)
  3. Dăm factor comun ex\displaystyle e^{x} și reducem termenii asemenea din paranteză: x2+(−6x+2x)+(9−6)=x2−4x+3\displaystyle x^{2}+(-6x+2x)+(9-6)=x^{2}-4x+3.
    f′(x)=ex(x2−6x+9+2x−6)=ex(x2−4x+3), x∈R\displaystyle f'(x)=e^{x}(x^{2}-6x+9+2x-6)=e^{x}(x^{2}-4x+3)\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x2−6x+9)\displaystyle f(x)=e^x(x^2-6x+9).

Determinați punctele de extrem ale funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x2−6x+9=(x−3)2\displaystyle x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}, deci funcția se scrie mai simplu.
    f(x)=ex(x−3)2\displaystyle f(x)=e^{x}(x-3)^{2}
  2. Derivăm funcția folosind formula derivatei unui produs: (u⋅v)′=u′v+uv′\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv', cu u=ex\displaystyle u=e^{x} și v=(x−3)2\displaystyle v=(x-3)^{2}.
    f′(x)=ex(x−3)2+ex⋅2(x−3)\displaystyle f'(x)=e^{x}(x-3)^{2}+e^{x}\cdot 2(x-3)
  3. Dăm factor comun ex(x−3)\displaystyle e^{x}(x-3) și simplificăm paranteza rămasă: (x−3)+2=x−1\displaystyle (x-3)+2=x-1.
    f′(x)=ex(x−3)(x−1)\displaystyle f'(x)=e^{x}(x-3)(x-1)
  4. Anulăm derivata. Deoarece ex>0\displaystyle e^{x}>0 pentru orice x\displaystyle x, rămân doar factorii x−3\displaystyle x-3 și x−1\displaystyle x-1.
    f′(x)=0⇔x=1 și x=3\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\text{ și }x=3
  5. Studiem semnul derivatei. Cum ex>0\displaystyle e^{x}>0, semnul lui f′\displaystyle f' este cel al produsului (x−1)(x−3)\displaystyle (x-1)(x-3): pozitiv pe (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1) și pe (3,∞)\displaystyle (3,\infty), negativ pe (1,3)\displaystyle (1,3).
    f′>0 pe (−∞,1)∪(3,∞)\displaystyle f'>0\text{ pe }(-\infty,1)\cup(3,\infty),f′<0 pe (1,3)\displaystyle \quad f'<0\text{ pe }(1,3)
  6. Funcția crește pe (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1), scade pe (1,3)\displaystyle (1,3) și crește pe (3,∞)\displaystyle (3,\infty). În x=1\displaystyle x=1 derivata schimbă semnul din plus în minus (maxim local), iar în x=3\displaystyle x=3 din minus în plus (minim local). Deci punctele de extrem sunt x=1\displaystyle x=1 și x=3\displaystyle x=3.
    x=1 și x=3\displaystyle x=1\text{ și }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x2−6x+9)\displaystyle f(x)=e^x(x^2-6x+9).

Demonstrați că (x−3)2≤4e1−x\displaystyle (x-3)^2\le 4e^{1-x}, pentru orice x∈(−∞,3]\displaystyle x\in(-\infty,3].
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x2−6x+9=(x−3)2\displaystyle x^2-6x+9=(x-3)^2, deci f(x)=ex(x−3)2\displaystyle f(x)=e^x(x-3)^2. Calculăm derivata cu regula produsului: f′(x)=ex(x−3)2+ex⋅2(x−3)\displaystyle f'(x)=e^x(x-3)^2+e^x\cdot 2(x-3).
    f′(x)=ex(x−3)2+2ex(x−3)\displaystyle f'(x)=e^x(x-3)^2+2e^x(x-3)
  2. Dăm factor comun ex(x−3)\displaystyle e^x(x-3): f′(x)=ex(x−3)[(x−3)+2]=ex(x−3)(x−1)\displaystyle f'(x)=e^x(x-3)\left[(x-3)+2\right]=e^x(x-3)(x-1).
    f′(x)=ex(x−3)(x−1)\displaystyle f'(x)=e^x(x-3)(x-1)
  3. Studiem semnul derivatei pe (−∞,3]\displaystyle (-\infty,3]. Factorul ex\displaystyle e^x este mereu pozitiv. Pe (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1) ambii factori x−3\displaystyle x-3 și x−1\displaystyle x-1 sunt negativi, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0. Pe (1,3)\displaystyle (1,3) avem x−3<0\displaystyle x-3<0 și x−1>0\displaystyle x-1>0, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0.
    f′(x)>0 pe (−∞,1)\displaystyle f'(x)>0\text{ pe }(-\infty,1),f′(x)<0 pe (1,3)\displaystyle \quad f'(x)<0\text{ pe }(1,3)
  4. Rezultă că f\displaystyle f este crescătoare pe (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1] și descrescătoare pe [1,3]\displaystyle [1,3]. Deci f\displaystyle f are maximul pe (−∞,3]\displaystyle (-\infty,3] în x=1\displaystyle x=1, adică f(x)≤f(1)\displaystyle f(x)\le f(1) pentru orice x∈(−∞,3]\displaystyle x\in(-\infty,3].
    f(x)≤f(1) pentru orice x∈(−∞,3]\displaystyle f(x)\le f(1)\text{ pentru orice }x\in(-\infty,3]
  5. Calculăm f(1)=e1⋅(1−3)2=e⋅4\displaystyle f(1)=e^1\cdot(1-3)^2=e\cdot 4.
    f(1)=4e\displaystyle f(1)=4e
  6. Înlocuim în inegalitatea f(x)≤f(1)\displaystyle f(x)\le f(1) și obținem ex(x−3)2≤4e\displaystyle e^x(x-3)^2\le 4e. Împărțim cu ex>0\displaystyle e^x>0, deci sensul inegalității se păstrează: (x−3)2≤4e⋅e−x=4e1−x\displaystyle (x-3)^2\le 4e\cdot e^{-x}=4e^{1-x}, pentru orice x∈(−∞,3]\displaystyle x\in(-\infty,3].
    f(1)=4e, deci f(x)≤4e⇔ex(x−3)2≤4e⇔(x−3)2≤4e1−x\displaystyle f(1)=4e\text{, deci }f(x)\le 4e\Leftrightarrow e^x(x-3)^2\le 4e\Leftrightarrow (x-3)^2\le 4e^{1-x}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={3x2−4x+1,x∈(−∞,1)ln⁡xx,x∈[1,+∞)f(x)=\begin{cases}3x^2-4x+1,&x\in(-\infty,1)\\\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}},&x\in[1,+\infty)\end{cases}

Demonstrați că funcția f\displaystyle f admite primitive pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1) funcția este polinomială, deci continuă. Pe intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) funcția este câtul a două funcții continue, ln⁡x\displaystyle \ln x și x\displaystyle \sqrt{x}, iar numitorul este nenul, deci f\displaystyle f este continuă. Rămâne de verificat continuitatea în punctul de legătură x=1\displaystyle x=1.
    f este continua˘ pe (−∞,1)∪(1,+∞)\displaystyle f\text{ este continuă pe }(-\infty,1)\cup(1,+\infty)
  2. Calculăm limita la stânga în 1\displaystyle 1, înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomială 3x2−4x+1\displaystyle 3x^2-4x+1.
    lim⁡x→1x<1f(x)=3⋅12−4⋅1+1=0\displaystyle \lim_{\substack{x\to1\\x<1}}f(x)=3\cdot1^2-4\cdot1+1=0
  3. Calculăm limita la dreapta în 1\displaystyle 1. Expresia ln⁡xx\displaystyle \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} este continuă în 1\displaystyle 1, deci înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1, iar ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    lim⁡x→1x>1f(x)=ln⁡11=0\displaystyle \lim_{\substack{x\to1\\x>1}}f(x)=\dfrac{\ln 1}{\sqrt{1}}=0
  4. Calculăm valoarea funcției în 1\displaystyle 1, folosind a doua ramură, pentru că 1∈[1,+∞)\displaystyle 1\in[1,+\infty). Limitele laterale și valoarea funcției în 1\displaystyle 1 sunt egale, deci f\displaystyle f are limită în 1\displaystyle 1 egală cu f(1)\displaystyle f(1).
    f(1)=ln⁡11=0\displaystyle f(1)=\dfrac{\ln 1}{\sqrt{1}}=0,lim⁡x→1f(x)=0=f(1)\displaystyle \quad \lim_{x\to1}f(x)=0=f(1)
  5. Funcția este continuă pe (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1), pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) și în punctul 1\displaystyle 1, deci este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Orice funcție continuă pe un interval admite primitive, deci f\displaystyle f admite primitive pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f este continua˘ pe R, deci admite primitive \displaystyle f\text{ este continuă pe }\mathbb{R}\text{, deci admite primitive }pe R\displaystyle \text{pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={3x2−4x+1,x∈(−∞,1)ln⁡xx,x∈[1,+∞)f(x)=\begin{cases}3x^2-4x+1,&x\in(-\infty,1)\\\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}},&x\in[1,+\infty)\end{cases}

Arătați că ∫−1ef(x) dx=2(4−e)\displaystyle \int_{-1}^{e}f(x)\,dx=2\left(4-\sqrt{e}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția are două expresii, separate în punctul 1\displaystyle 1, deci descompunem integrala în acest punct. Pe [−1,1)\displaystyle [-1,1) folosim 3x2−4x+1\displaystyle 3x^{2}-4x+1, iar pe [1,e]\displaystyle [1,e] folosim ln⁡xx\displaystyle \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}.
    ∫−1ef(x) dx=∫−11(3x2−4x+1) dx+∫1eln⁡xx dx\displaystyle \int_{-1}^{e}f(x)\,dx=\int_{-1}^{1}(3x^{2}-4x+1)\,dx+\int_{1}^{e}\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx
  2. Pentru prima integrală găsim o primitivă a polinomului, integrând termen cu termen: ∫3x2 dx=x3\displaystyle \int 3x^{2}\,dx=x^{3}, ∫4x dx=2x2\displaystyle \int 4x\,dx=2x^{2}, ∫1 dx=x\displaystyle \int 1\,dx=x.
    ∫(3x2−4x+1) dx=x3−2x2+x\displaystyle \int (3x^{2}-4x+1)\,dx=x^{3}-2x^{2}+x
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton pentru prima integrală. La limita 1\displaystyle 1 obținem 1−2+1=0\displaystyle 1-2+1=0, iar la limita −1\displaystyle -1 obținem −1−2−1=−4\displaystyle -1-2-1=-4.
    (x3−2x2+x)∣−11=0−(−4)=4\displaystyle \left(x^{3}-2x^{2}+x\right)\Big|_{-1}^{1}=0-(-4)=4
  4. Pentru a doua integrală integrăm prin părți. Alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=x−12 dx\displaystyle dv=x^{-\frac{1}{2}}\,dx, deci v=2x\displaystyle v=2\sqrt{x}. Obținem 2xln⁡x−∫2x⋅1x dx=2xln⁡x−2∫x−12 dx\displaystyle 2\sqrt{x}\ln x-\int 2\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx=2\sqrt{x}\ln x-2\int x^{-\frac{1}{2}}\,dx.
    ∫ln⁡xx dx=2xln⁡x−4x+C\displaystyle \int \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}\ln x-4\sqrt{x}+C
  5. Evaluăm primitiva între 1\displaystyle 1 și e\displaystyle e. La limita e\displaystyle e, ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, deci avem 2e−4e=−2e\displaystyle 2\sqrt{e}-4\sqrt{e}=-2\sqrt{e}. La limita 1\displaystyle 1, ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, deci rămâne −41=−4\displaystyle -4\sqrt{1}=-4. Scădem valorile.
    (2xln⁡x−4x)∣1e=−2e−(−4)=4−2e\displaystyle \left(2\sqrt{x}\ln x-4\sqrt{x}\right)\Big|_{1}^{e}=-2\sqrt{e}-(-4)=4-2\sqrt{e}
  6. Adunăm cele două rezultate: 4\displaystyle 4 de la prima integrală și 4−2e\displaystyle 4-2\sqrt{e} de la a doua. Scoatem factor comun 2\displaystyle 2 și obținem rezultatul cerut.
    4+4−2e=8−2e=2(4−e)\displaystyle 4+4-2\sqrt{e}=8-2\sqrt{e}=2\left(4-\sqrt{e}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={3x2−4x+1,x∈(−∞,1)ln⁡xx,x∈[1,+∞)f(x)=\begin{cases}3x^2-4x+1,&x\in(-\infty,1)\\\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}},&x\in[1,+\infty)\end{cases}

Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care ∫enen+1f2(x) dx=73\displaystyle \int_{e^n}^{e^{n+1}}f^2(x)\,dx=\frac{7}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N} avem en≥1\displaystyle e^n\ge 1, deci pe [en,en+1]\displaystyle [e^n,e^{n+1}] avem x≥1\displaystyle x\ge 1 și f(x)=ln⁡xx\displaystyle f(x)=\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}.
    f(x)=ln⁡xx\displaystyle f(x)=\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}, x∈[en,en+1]\displaystyle \ x\in[e^n,e^{n+1}]
  2. Ridicăm la pătrat: f2(x)=ln⁡2x(x)2=ln⁡2xx\displaystyle f^2(x)=\dfrac{\ln^2 x}{(\sqrt{x})^2}=\dfrac{\ln^2 x}{x}.
    f2(x)=ln⁡2xx\displaystyle f^2(x)=\dfrac{\ln^2 x}{x}
  3. Deoarece (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, o primitivă a lui ln⁡2xx\displaystyle \dfrac{\ln^2 x}{x} este ln⁡3x3\displaystyle \dfrac{\ln^3 x}{3}. Atunci ∫enen+1f2(x) dx=ln⁡3x3∣enen+1\displaystyle \int_{e^n}^{e^{n+1}}f^2(x)\,dx=\dfrac{\ln^3 x}{3}\Big|_{e^n}^{e^{n+1}}.
    ∫enen+1f2(x) dx=ln⁡3x3∣enen+1\displaystyle \int_{e^n}^{e^{n+1}}f^2(x)\,dx=\dfrac{\ln^3 x}{3}\Big|_{e^n}^{e^{n+1}}
  4. Cum ln⁡en+1=n+1\displaystyle \ln e^{n+1}=n+1 și ln⁡en=n\displaystyle \ln e^n=n, obținem (n+1)3−n33=n3+3n2+3n+1−n33\displaystyle \dfrac{(n+1)^3-n^3}{3}=\dfrac{n^3+3n^2+3n+1-n^3}{3}.
    (n+1)3−n33=3n2+3n+13\displaystyle \dfrac{(n+1)^3-n^3}{3}=\dfrac{3n^2+3n+1}{3}
  5. Egalăm cu 73\displaystyle \dfrac{7}{3}: 3n2+3n+1=7\displaystyle 3n^2+3n+1=7, deci 3n2+3n−6=0\displaystyle 3n^2+3n-6=0, adică n2+n−2=0\displaystyle n^2+n-2=0.
    n2+n−2=0\displaystyle n^2+n-2=0
  6. Ecuația se scrie (n−1)(n+2)=0\displaystyle (n-1)(n+2)=0, deci n=1\displaystyle n=1 sau n=−2\displaystyle n=-2. Cum n\displaystyle n este număr natural, rămâne n=1\displaystyle n=1.
    n=1\displaystyle n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.