Bac matematică M2 științe ale naturii 2024, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numerele complexe z1=3−i\displaystyle z_1=3-i și z2=1+i\displaystyle z_2=1+i. Arătați că z1+iz2=2\displaystyle z_1+iz_2=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim z1=3−i\displaystyle z_1=3-i și z2=1+i\displaystyle z_2=1+i în expresia z1+iz2\displaystyle z_1+iz_2.
    z1+iz2=3−i+i(1+i)\displaystyle z_1+iz_2=3-i+i(1+i)
  2. Desfacem paranteza: i(1+i)=i⋅1+i⋅i=i+i2\displaystyle i(1+i)=i\cdot 1+i\cdot i=i+i^{2}.
    3−i+i(1+i)=3−i+i+i2\displaystyle 3-i+i(1+i)=3-i+i+i^{2}
  3. Termenii −i\displaystyle -i și i\displaystyle i se reduc, iar i2=−1\displaystyle i^{2}=-1.
    3−i+i+i2=3+(−1)\displaystyle 3-i+i+i^{2}=3+(-1)
  4. Efectuăm calculul: 3+(−1)=2\displaystyle 3+(-1)=2, deci z1+iz2=2\displaystyle z_1+iz_2=2.
    z1+iz2=3+(−1)=2\displaystyle z_1+iz_2=3+(-1)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5−x\displaystyle f(x)=5-x și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x+2\displaystyle g(x)=x+2. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=g(a+1)\displaystyle f(a)=g(a+1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim pe x\displaystyle x cu a\displaystyle a în f(x)=5−x\displaystyle f(x)=5-x și obținem f(a)=5−a\displaystyle f(a)=5-a.
    f(a)=5−a\displaystyle f(a)=5-a
  2. Înlocuim pe x\displaystyle x cu a+1\displaystyle a+1 în g(x)=x+2\displaystyle g(x)=x+2 și obținem g(a+1)=(a+1)+2=a+3\displaystyle g(a+1)=(a+1)+2=a+3.
    g(a+1)=a+3\displaystyle g(a+1)=a+3
  3. Din condiția f(a)=g(a+1)\displaystyle f(a)=g(a+1) obținem ecuația 5−a=a+3\displaystyle 5-a=a+3.
    5−a=a+3\displaystyle 5-a=a+3
  4. Mutăm termenii cu a\displaystyle a într-o parte și numerele în cealaltă: 5−3=a+a\displaystyle 5-3=a+a, deci 2=2a\displaystyle 2=2a. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem a=1\displaystyle a=1.
    5−a=a+3, de unde obținem a=1\displaystyle 5-a=a+3\text{, de unde obținem }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(4x−x2)=1\displaystyle \log_3\left(4x-x^2\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Logaritmul există dacă argumentul este strict pozitiv: 4x−x2>0\displaystyle 4x-x^{2}>0. Vom verifica această condiție pentru soluțiile găsite.
    4x−x2>0  ⟺  x∈(0,4)\displaystyle 4x-x^{2}>0\iff x\in(0,4)
  2. Din definiția logaritmului, log⁡3a=1\displaystyle \log_3 a=1 înseamnă a=31=3\displaystyle a=3^{1}=3. Deci 4x−x2=3\displaystyle 4x-x^{2}=3.
    4x−x2=3\displaystyle 4x-x^{2}=3
  3. Mutăm toți termenii în același membru și obținem ecuația de gradul al doilea x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}-4x+3=0.
    x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}-4x+3=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=(−4)2−4⋅1⋅3=16−12=4\displaystyle \Delta=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4, deci Δ=2\displaystyle \sqrt{\Delta}=2.
    Δ=4\displaystyle \Delta=4
  5. Aplicăm formula rădăcinilor: x=4±22\displaystyle x=\dfrac{4\pm 2}{2}, deci x1=4−22=1\displaystyle x_1=\dfrac{4-2}{2}=1 și x2=4+22=3\displaystyle x_2=\dfrac{4+2}{2}=3.
    x1=1, x2=3\displaystyle x_1=1\text{, }x_2=3
  6. Verificăm condiția de existență. Pentru x=1\displaystyle x=1: 4⋅1−12=3>0\displaystyle 4\cdot 1-1^{2}=3>0. Pentru x=3\displaystyle x=3: 4⋅3−32=3>0\displaystyle 4\cdot 3-3^{2}=3>0. Ambele soluții convin.
    x=1 sau x=3, care convin\displaystyle x=1\text{ sau }x=3\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale impare, de două cifre, cu cifra zecilor număr par, se pot forma cu elementele mulțimii A={1,2,3,4,5,6,7}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7\}.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul este impar, deci cifra unităților trebuie să fie impară. Din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7\}, cifrele impare sunt 1,3,5,7\displaystyle 1, 3, 5, 7, deci cifra unităților se poate alege în 4\displaystyle 4 moduri.
    4 moduri\displaystyle 4\text{ moduri}
  2. Cifra zecilor trebuie să fie pară. Cifrele pare din mulțimea A\displaystyle A sunt 2,4,6\displaystyle 2, 4, 6, deci cifra zecilor se poate alege în 3\displaystyle 3 moduri. Cifra zecilor este nenulă, iar cifrele pare și cele impare sunt diferite, deci alegerile nu se influențează.
    3 moduri\displaystyle 3\text{ moduri}
  3. Aplicăm regula produsului: numărul de moduri de alegere a cifrei unităților se înmulțește cu numărul de moduri de alegere a cifrei zecilor, adică 4⋅3=12\displaystyle 4\cdot 3=12. Se pot forma 12\displaystyle 12 numere.
    4⋅3=12 numere\displaystyle 4\cdot 3=12\text{ numere}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,3)\displaystyle A(0,3), B(2,0)\displaystyle B(2,0) și C\displaystyle C. Știind că punctul B\displaystyle B este mijlocul segmentului OC\displaystyle OC, determinați distanța dintre punctele A\displaystyle A și C\displaystyle C.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm coordonatele punctului C\displaystyle C cu (a,b)\displaystyle (a,b). Punctul O\displaystyle O este originea, deci O(0,0)\displaystyle O(0,0).
    C(a,b)\displaystyle C(a,b), O(0,0)\displaystyle \ O(0,0)
  2. Scriem formula mijlocului pentru segmentul OC\displaystyle OC: xB=xO+xC2\displaystyle x_B=\dfrac{x_O+x_C}{2} și yB=yO+yC2\displaystyle y_B=\dfrac{y_O+y_C}{2}. Mijlocul este B(2,0)\displaystyle B(2,0).
    2=0+a2\displaystyle 2=\dfrac{0+a}{2},0=0+b2\displaystyle \quad 0=\dfrac{0+b}{2}
  3. Rezolvăm cele două ecuații: a=4\displaystyle a=4 și b=0\displaystyle b=0, deci C\displaystyle C are coordonatele (4,0)\displaystyle (4,0).
    C(4,0)\displaystyle C(4,0)
  4. Aplicăm formula distanței dintre punctele A(0,3)\displaystyle A(0,3) și C(4,0)\displaystyle C(4,0): AC=(xC−xA)2+(yC−yA)2\displaystyle AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}.
    AC=(4−0)2+(0−3)2=42+32\displaystyle AC=\sqrt{(4-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{4^2+3^2}
  5. Calculăm: 16+9=25\displaystyle 16+9=25, iar 25=5\displaystyle \sqrt{25}=5. Distanța dintre A\displaystyle A și C\displaystyle C este 5\displaystyle 5.
    AC=16+9=25=5\displaystyle AC=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu B=π6\displaystyle B=\frac{\pi}{6} și mediana AM=4\displaystyle AM=4. Arătați că aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 83\displaystyle 8\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Mediana AM\displaystyle AM este dusă din vârful unghiului drept A\displaystyle A, deci cade pe ipotenuza BC\displaystyle BC. Într-un triunghi dreptunghic, mediana pe ipotenuză este jumătate din ipotenuză, deci BC=2⋅AM\displaystyle BC=2\cdot AM.
    BC=2⋅4=8\displaystyle BC=2\cdot 4=8
  2. Unghiul B=π6\displaystyle B=\frac{\pi}{6}, deci cateta opusă lui, AC\displaystyle AC, este jumătate din ipotenuză: AC=BC⋅sin⁡π6=8⋅12\displaystyle AC=BC\cdot\sin\frac{\pi}{6}=8\cdot\dfrac{1}{2}.
    AC=8⋅12=4\displaystyle AC=8\cdot\frac{1}{2}=4
  3. Aflăm cateta AB\displaystyle AB din teorema lui Pitagora: AB2=BC2−AC2=64−16=48\displaystyle AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}=64-16=48, deci AB=48\displaystyle AB=\sqrt{48}.
    AB=48=43\displaystyle AB=\sqrt{48}=4\sqrt{3}
  4. Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor: AΔABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}. Înlocuind, obținem 43⋅42=83\displaystyle \dfrac{4\sqrt{3}\cdot 4}{2}=8\sqrt{3}.
    AΔABC=43⋅42=83\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{4\sqrt{3}\cdot 4}{2}=8\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x3x−31−x3x−2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&3x-3\\1-x&3x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=3\displaystyle \det(A(0))=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în fiecare element al matricei A(x)\displaystyle A(x). Avem x=0\displaystyle x=0, 3x−3=−3\displaystyle 3x-3=-3, 1−x=1\displaystyle 1-x=1 și 3x−2=−2\displaystyle 3x-2=-2.
    A(0)=(0−31−2)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0&-3\\1&-2\end{pmatrix}
  2. Determinantul unei matrice de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aplicăm formula pentru A(0)\displaystyle A(0).
    det⁡(A(0))=0⋅(−2)−(−3)⋅1\displaystyle \det(A(0))=0\cdot(-2)-(-3)\cdot 1
  3. Calculăm produsele: 0⋅(−2)=0\displaystyle 0\cdot(-2)=0 și (−3)⋅1=−3\displaystyle (-3)\cdot 1=-3. Scăderea lui −3\displaystyle -3 înseamnă adunarea lui 3\displaystyle 3, deci obținem 0+3=3\displaystyle 0+3=3.
    det⁡(A(0))=0+3=3\displaystyle \det(A(0))=0+3=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x3x−31−x3x−2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&3x-3\\1-x&3x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care A(2)⋅A(0)+A(5)=mI2\displaystyle A(2)\cdot A(0)+A(5)=mI_2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2, cu 0\displaystyle 0 și cu 5\displaystyle 5 în matricea A(x)\displaystyle A(x). Pentru x=2\displaystyle x=2 obținem elementele 2\displaystyle 2, 3⋅2−3=3\displaystyle 3\cdot 2-3=3, 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1, 3⋅2−2=4\displaystyle 3\cdot 2-2=4. Pentru x=0\displaystyle x=0 obținem 0\displaystyle 0, −3\displaystyle -3, 1\displaystyle 1, −2\displaystyle -2. Pentru x=5\displaystyle x=5 obținem 5\displaystyle 5, 12\displaystyle 12, −4\displaystyle -4, 13\displaystyle 13.
    A(2)=(23−14)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2&3\\-1&4\end{pmatrix}, A(0)=(0−31−2)\displaystyle \ A(0)=\begin{pmatrix}0&-3\\1&-2\end{pmatrix}, A(5)=(512−413)\displaystyle \ A(5)=\begin{pmatrix}5&12\\-4&13\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(2)⋅A(0)\displaystyle A(2)\cdot A(0), înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Prima linie: 2⋅0+3⋅1=3\displaystyle 2\cdot 0+3\cdot 1=3 și 2⋅(−3)+3⋅(−2)=−12\displaystyle 2\cdot(-3)+3\cdot(-2)=-12. A doua linie: (−1)⋅0+4⋅1=4\displaystyle (-1)\cdot 0+4\cdot 1=4 și (−1)⋅(−3)+4⋅(−2)=−5\displaystyle (-1)\cdot(-3)+4\cdot(-2)=-5.
    A(2)⋅A(0)=(3−124−5)\displaystyle A(2)\cdot A(0)=\begin{pmatrix}3&-12\\4&-5\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricea A(5)\displaystyle A(5) la produs, element cu element. Obținem 3+5=8\displaystyle 3+5=8, −12+12=0\displaystyle -12+12=0, 4+(−4)=0\displaystyle 4+(-4)=0, −5+13=8\displaystyle -5+13=8, adică matricea 8I2\displaystyle 8I_2.
    A(2)⋅A(0)+A(5)=(3−124−5)+(512−413)=(8008)=8I2\displaystyle A(2)\cdot A(0)+A(5)=\begin{pmatrix}3&-12\\4&-5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5&12\\-4&13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&0\\0&8\end{pmatrix}=8I_2
  4. Egalitatea din enunț devine 8I2=mI2\displaystyle 8I_2=mI_2. Comparând elementele de pe diagonală, obținem m=8\displaystyle m=8.
    8I2=mI2, de unde m=8\displaystyle 8I_2=mI_2\text{, de unde }m=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x3x−31−x3x−2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&3x-3\\1-x&3x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(A(x)−A(0)⋅A(1−x))=3\displaystyle \det(A(x)-A(0)\cdot A(1-x))=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(0)\displaystyle A(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în A(x)\displaystyle A(x). Apoi scriem A(1−x)\displaystyle A(1-x), înlocuind x\displaystyle x cu 1−x\displaystyle 1-x: în colțul din dreapta sus avem 3(1−x)−3=−3x\displaystyle 3(1-x)-3=-3x, în stânga jos 1−(1−x)=x\displaystyle 1-(1-x)=x, iar în dreapta jos 3(1−x)−2=1−3x\displaystyle 3(1-x)-2=1-3x.
    A(0)=(0−31−2)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0&-3\\1&-2\end{pmatrix}, A(1−x)=(1−x−3xx1−3x)\displaystyle \ A(1-x)=\begin{pmatrix}1-x&-3x\\x&1-3x\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(0)⋅A(1−x)\displaystyle A(0)\cdot A(1-x), înmulțind linie cu coloană. Prima linie: −3x\displaystyle -3x și −3(1−3x)=9x−3\displaystyle -3(1-3x)=9x-3. A doua linie: (1−x)−2x=1−3x\displaystyle (1-x)-2x=1-3x și −3x−2(1−3x)=3x−2\displaystyle -3x-2(1-3x)=3x-2.
    A(0)⋅A(1−x)=(−3x9x−31−3x3x−2)\displaystyle A(0)\cdot A(1-x)=\begin{pmatrix}-3x&9x-3\\1-3x&3x-2\end{pmatrix}
  3. Scădem produsul din A(x)\displaystyle A(x), element cu element. Sus-stânga: x+3x=4x\displaystyle x+3x=4x. Sus-dreapta: (3x−3)−(9x−3)=−6x\displaystyle (3x-3)-(9x-3)=-6x. Jos-stânga: (1−x)−(1−3x)=2x\displaystyle (1-x)-(1-3x)=2x. Jos-dreapta: (3x−2)−(3x−2)=0\displaystyle (3x-2)-(3x-2)=0.
    A(x)−A(0)⋅A(1−x)=(4x−6x2x0)\displaystyle A(x)-A(0)\cdot A(1-x)=\begin{pmatrix}4x&-6x\\2x&0\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică 4x⋅0−(−6x)⋅2x\displaystyle 4x\cdot 0-(-6x)\cdot 2x.
    det⁡(A(x)−A(0)⋅A(1−x))=0+12x2=12x2\displaystyle \det(A(x)-A(0)\cdot A(1-x))=0+12x^2=12x^2
  5. Punem condiția din enunț, det⁡(A(x)−A(0)⋅A(1−x))=3\displaystyle \det(A(x)-A(0)\cdot A(1-x))=3, și obținem ecuația 12x2=3\displaystyle 12x^2=3. Împărțim la 12\displaystyle 12 și obținem x2=14\displaystyle x^2=\dfrac{1}{4}.
    12x2=3  ⟺  x2=14\displaystyle 12x^2=3\iff x^2=\frac{1}{4}
  6. Din x2=14\displaystyle x^2=\dfrac{1}{4} obținem două soluții reale: x=±12\displaystyle x=\pm\dfrac{1}{2}.
    x=−12 sau x=12\displaystyle x=-\frac{1}{2}\text{ sau }x=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=x+y+1−xy+1\displaystyle x\circ y=x+y+1-\sqrt{xy+1}.

Arătați că 1∘8=7\displaystyle 1\circ 8=7.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=8\displaystyle y=8 în definiția x∘y=x+y+1−xy+1\displaystyle x\circ y=x+y+1-\sqrt{xy+1}.
    1∘8=1+8+1−1⋅8+1\displaystyle 1\circ 8=1+8+1-\sqrt{1\cdot 8+1}
  2. Calculăm suma 1+8+1=10\displaystyle 1+8+1=10 și expresia de sub radical 1⋅8+1=9\displaystyle 1\cdot 8+1=9.
    1∘8=10−9\displaystyle 1\circ 8=10-\sqrt{9}
  3. Deoarece 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3, obținem 10−3=7\displaystyle 10-3=7, deci egalitatea este demonstrată.
    10−3=7\displaystyle 10-3=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=x+y+1−xy+1\displaystyle x\circ y=x+y+1-\sqrt{xy+1}.

Determinați x∈M\displaystyle x\in M pentru care x∘3x=x\displaystyle x\circ\frac{3}{x}=x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii y\displaystyle y cu 3x\displaystyle \dfrac{3}{x}. Pentru x∈M\displaystyle x\in M avem și 3x∈M\displaystyle \dfrac{3}{x}\in M, deci operația este definită.
    x∘3x=x+3x+1−x⋅3x+1\displaystyle x\circ\frac{3}{x}=x+\frac{3}{x}+1-\sqrt{x\cdot\frac{3}{x}+1}
  2. Simplificăm produsul de sub radical: x⋅3x=3\displaystyle x\cdot\dfrac{3}{x}=3, deci sub radical avem 3+1=4\displaystyle 3+1=4, iar 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2.
    x⋅3x+1=4=2\displaystyle \sqrt{x\cdot\frac{3}{x}+1}=\sqrt{4}=2
  3. Înlocuim radicalul cu 2\displaystyle 2 și reducem termenii constanți: 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1.
    x∘3x=x+3x+1−2=x+3x−1, pentru orice x∈M\displaystyle x\circ\frac{3}{x}=x+\frac{3}{x}+1-2=x+\frac{3}{x}-1\text{, pentru orice }x\in M
  4. Scriem ecuația cerută: rezultatul de la pasul anterior trebuie să fie egal cu x\displaystyle x.
    x+3x−1=x\displaystyle x+\frac{3}{x}-1=x
  5. Reducem termenul x\displaystyle x din ambele părți și obținem 3x=1\displaystyle \dfrac{3}{x}=1, de unde x=3\displaystyle x=3. Valoarea 3\displaystyle 3 este strict pozitivă, deci aparține lui M\displaystyle M și convine.
    3x=1⇒x=3∈M, care convine\displaystyle \frac{3}{x}=1\Rightarrow x=3\in M\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=x+y+1−xy+1\displaystyle x\circ y=x+y+1-\sqrt{xy+1}.

Determinați numerele naturale nenule n\displaystyle n pentru care (n∘(n+2))∘(n+4)>n22\displaystyle (n\circ(n+2))\circ(n+4)>\frac{n^2}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm n∘(n+2)\displaystyle n\circ(n+2) cu definiția legii. Avem n(n+2)+1=n2+2n+1=(n+1)2\displaystyle n(n+2)+1=n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}, deci n(n+2)+1=n+1\displaystyle \sqrt{n(n+2)+1}=n+1, pentru că n+1>0\displaystyle n+1>0.
    n(n+2)+1=n+1\displaystyle \sqrt{n(n+2)+1}=n+1
  2. Înlocuim în definiție: n∘(n+2)=n+(n+2)+1−(n+1)=n+2\displaystyle n\circ(n+2)=n+(n+2)+1-(n+1)=n+2.
    n∘(n+2)=n+2\displaystyle n\circ(n+2)=n+2
  3. Urmează (n+2)∘(n+4)\displaystyle (n+2)\circ(n+4). Avem (n+2)(n+4)+1=n2+6n+9=(n+3)2\displaystyle (n+2)(n+4)+1=n^{2}+6n+9=(n+3)^{2}, deci (n+2)(n+4)+1=n+3\displaystyle \sqrt{(n+2)(n+4)+1}=n+3.
    (n+2)(n+4)+1=n+3\displaystyle \sqrt{(n+2)(n+4)+1}=n+3
  4. Atunci (n∘(n+2))∘(n+4)=(n+2)∘(n+4)=(n+2)+(n+4)+1−(n+3)=n+4\displaystyle (n\circ(n+2))\circ(n+4)=(n+2)\circ(n+4)=(n+2)+(n+4)+1-(n+3)=n+4.
    (n∘(n+2))∘(n+4)=n+4\displaystyle (n\circ(n+2))\circ(n+4)=n+4
  5. Inegalitatea devine n+4>n22\displaystyle n+4>\dfrac{n^{2}}{2}. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și mutăm termenii: n2−2n−8<0\displaystyle n^{2}-2n-8<0.
    n2−2n−8<0\displaystyle n^{2}-2n-8<0
  6. Rădăcinile lui n2−2n−8=(n−4)(n+2)\displaystyle n^{2}-2n-8=(n-4)(n+2) sunt −2\displaystyle -2 și 4\displaystyle 4, deci inegalitatea are loc pentru n∈(−2,4)\displaystyle n\in(-2,4). Cum n\displaystyle n este număr natural nenul, rămân valorile de mai jos.
    n=1 sau n=2 sau n=3\displaystyle n=1\text{ sau }n=2\text{ sau }n=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x3+2x2)ex\displaystyle f(x)=\left(x^3+2x^2\right)e^x.

Arătați că f′(x)=x(x2+5x+4)ex\displaystyle f'(x)=x\left(x^2+5x+4\right)e^x, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un produs de două funcții: u(x)=x3+2x2\displaystyle u(x)=x^3+2x^2 și v(x)=ex\displaystyle v(x)=e^x. Aplicăm regula de derivare a produsului: (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
    f′(x)=(x3+2x2)′ex+(x3+2x2)(ex)′\displaystyle f'(x)=\left(x^3+2x^2\right)'e^x+\left(x^3+2x^2\right)\left(e^x\right)'
  2. Derivăm polinomul: (x3+2x2)′=3x2+4x\displaystyle \left(x^3+2x^2\right)'=3x^2+4x, iar (ex)′=ex\displaystyle \left(e^x\right)'=e^x. Înlocuim în formula produsului.
    f′(x)=(3x2+4x)ex+(x3+2x2)ex\displaystyle f'(x)=\left(3x^2+4x\right)e^x+\left(x^3+2x^2\right)e^x
  3. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x și adunăm termenii asemenea din paranteză: 3x2+2x2=5x2\displaystyle 3x^2+2x^2=5x^2.
    f′(x)=(x3+2x2+3x2+4x)ex=(x3+5x2+4x)ex\displaystyle f'(x)=\left(x^3+2x^2+3x^2+4x\right)e^x=\left(x^3+5x^2+4x\right)e^x
  4. Dăm factor comun x\displaystyle x în paranteză și obținem expresia cerută, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=x(x2+5x+4)ex\displaystyle f'(x)=x\left(x^2+5x+4\right)e^x, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x3+2x2)ex\displaystyle f(x)=\left(x^3+2x^2\right)e^x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=0\displaystyle x_0=0: y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Calculăm f(0)\displaystyle f(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în expresia funcției: f(0)=(03+2⋅02)e0\displaystyle f(0)=\left(0^3+2\cdot 0^2\right)e^0.
    f(0)=0\displaystyle f(0)=0
  3. Derivăm funcția cu formula pentru derivata unui produs, (u⋅v)′=u′v+uv′\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv', cu u=x3+2x2\displaystyle u=x^3+2x^2 și v=ex\displaystyle v=e^x. Avem u′=3x2+4x\displaystyle u'=3x^2+4x și v′=ex\displaystyle v'=e^x.
    f′(x)=(3x2+4x)ex+(x3+2x2)ex=(x3+5x2+4x)ex\displaystyle f'(x)=\left(3x^2+4x\right)e^x+\left(x^3+2x^2\right)e^x=\left(x^3+5x^2+4x\right)e^x
  4. Calculăm f′(0)\displaystyle f'(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în derivată: f′(0)=(0+0+0)e0\displaystyle f'(0)=\left(0+0+0\right)e^0. Astfel obținem valorile cerute de formula tangentei.
    f(0)=0\displaystyle f(0)=0, f′(0)=0\displaystyle \ f'(0)=0
  5. Înlocuim f(0)=0\displaystyle f(0)=0 și f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0 în formula tangentei: y−0=0⋅(x−0)\displaystyle y-0=0\cdot(x-0). Rezultă ecuația tangentei, y=0\displaystyle y=0 (axa Ox\displaystyle Ox).
    y−f(0)=f′(0)(x−0), adica˘ y=0\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)\text{, adică }y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x3+2x2)ex\displaystyle f(x)=\left(x^3+2x^2\right)e^x.

Arătați că −32ex+4≤x2(x+2)≤1ex+1\displaystyle -\frac{32}{e^{x+4}}\leq x^2(x+2)\leq\frac{1}{e^{x+1}}, pentru orice x∈[−4,0]\displaystyle x\in[-4,0].
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x3+2x2=x2(x+2)\displaystyle x^3+2x^2=x^2(x+2), deci f(x)=x2(x+2)ex\displaystyle f(x)=x^2(x+2)e^x. Derivăm funcția f(x)=(x3+2x2)ex\displaystyle f(x)=(x^3+2x^2)e^x folosind regula de derivare a produsului: f′(x)=(3x2+4x)ex+(x3+2x2)ex\displaystyle f'(x)=(3x^2+4x)e^x+(x^3+2x^2)e^x.
    f′(x)=(x3+5x2+4x)ex\displaystyle f'(x)=(x^3+5x^2+4x)e^x
  2. Scoatem factor comun pe x\displaystyle x: x3+5x2+4x=x(x2+5x+4)\displaystyle x^3+5x^2+4x=x(x^2+5x+4). Trinomul x2+5x+4\displaystyle x^2+5x+4 are rădăcinile −1\displaystyle -1 și −4\displaystyle -4, deci x2+5x+4=(x+1)(x+4)\displaystyle x^2+5x+4=(x+1)(x+4).
    f′(x)=x(x+1)(x+4)ex\displaystyle f'(x)=x(x+1)(x+4)e^x
  3. Cum ex>0\displaystyle e^x>0, avem f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 doar pentru x=−4\displaystyle x=-4, x=−1\displaystyle x=-1 sau x=0\displaystyle x=0. Pe [−4,−1]\displaystyle [-4,-1]: x≤0\displaystyle x\leq 0, x+1≤0\displaystyle x+1\leq 0, x+4≥0\displaystyle x+4\geq 0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\geq 0 și f\displaystyle f este crescătoare. Pe [−1,0]\displaystyle [-1,0]: x≤0\displaystyle x\leq 0, x+1≥0\displaystyle x+1\geq 0, x+4>0\displaystyle x+4>0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0 și f\displaystyle f este descrescătoare.
    f′(x)=0⇔x=−4 sau x=−1 sau x=0; f cresca˘toare pe [−4,−1] și descresca˘toare pe [−1,0]\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-4\text{ sau }x=-1\text{ sau }x=0;\ f\text{ crescătoare pe }[-4,-1]\text{ și descrescătoare pe }[-1,0]
  4. Calculăm: f(−4)=(−64+32)e−4=−32e4\displaystyle f(-4)=(-64+32)e^{-4}=-\dfrac{32}{e^4}, f(−1)=(−1+2)e−1=1e\displaystyle f(-1)=(-1+2)e^{-1}=\dfrac{1}{e} și f(0)=0\displaystyle f(0)=0.
    f(−4)=−32e4\displaystyle f(-4)=-\frac{32}{e^4}, f(−1)=1e\displaystyle \ f(-1)=\frac{1}{e}, f(0)=0\displaystyle \ f(0)=0
  5. Pe [−4,−1]\displaystyle [-4,-1] funcția crește de la −32e4\displaystyle -\dfrac{32}{e^4} la 1e\displaystyle \dfrac{1}{e}, iar pe [−1,0]\displaystyle [-1,0] scade de la 1e\displaystyle \dfrac{1}{e} la 0\displaystyle 0. Maximul pe [−4,0]\displaystyle [-4,0] este 1e\displaystyle \dfrac{1}{e}, iar minimul este −32e4\displaystyle -\dfrac{32}{e^4}, pentru că −32e4<0\displaystyle -\dfrac{32}{e^4}<0. Deci f(x)\displaystyle f(x) se află între aceste valori, pentru orice x∈[−4,0]\displaystyle x\in[-4,0].
    −32e4≤f(x)≤1e\displaystyle -\frac{32}{e^4}\leq f(x)\leq\frac{1}{e}, ∀x∈[−4,0]\displaystyle \ \forall x\in[-4,0]
  6. Înlocuim f(x)=x2(x+2)ex\displaystyle f(x)=x^2(x+2)e^x și împărțim inegalitățile la ex>0\displaystyle e^x>0, deci sensul se păstrează: −32e4⋅ex≤x2(x+2)≤1e⋅ex\displaystyle -\dfrac{32}{e^4\cdot e^x}\leq x^2(x+2)\leq\dfrac{1}{e\cdot e^x}. Cum e4⋅ex=ex+4\displaystyle e^4\cdot e^x=e^{x+4} și e⋅ex=ex+1\displaystyle e\cdot e^x=e^{x+1}, obținem inegalitatea cerută, pentru orice x∈[−4,0]\displaystyle x\in[-4,0].
    −32ex+4≤x2(x+2)≤1ex+1\displaystyle -\frac{32}{e^{x+4}}\leq x^2(x+2)\leq\frac{1}{e^{x+1}}, ∀x∈[−4,0]\displaystyle \ \forall x\in[-4,0]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x2−2x+1\displaystyle f(x)=3x^2-\frac{2}{x+1}.

Arătați că ∫12(f(x)+2x+1)dx=7\displaystyle \int_1^2\left(f(x)+\frac{2}{x+1}\right)dx=7.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=3x2−2x+1\displaystyle f(x)=3x^{2}-\dfrac{2}{x+1} în expresia de sub integrală: f(x)+2x+1=3x2−2x+1+2x+1\displaystyle f(x)+\dfrac{2}{x+1}=3x^{2}-\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{2}{x+1}.
    f(x)+2x+1=3x2−2x+1+2x+1\displaystyle f(x)+\frac{2}{x+1}=3x^{2}-\frac{2}{x+1}+\frac{2}{x+1}
  2. Termenii cu fracție se reduc, deci rămâne 3x2\displaystyle 3x^{2}, iar integrala devine ∫123x2 dx\displaystyle \int_1^2 3x^{2}\,dx.
    ∫12(f(x)+2x+1)dx=∫123x2 dx\displaystyle \int_1^2\left(f(x)+\frac{2}{x+1}\right)dx=\int_1^2 3x^{2}\,dx
  3. O primitivă a lui 3x2\displaystyle 3x^{2} este x3\displaystyle x^{3}, deci după formula Leibniz-Newton integrala este x3∣12\displaystyle x^{3}\Big|_1^2.
    ∫123x2 dx=x3∣12\displaystyle \int_1^2 3x^{2}\,dx=x^{3}\Big|_1^2
  4. Calculăm x3∣12=23−13=8−1=7\displaystyle x^{3}\Big|_1^2=2^{3}-1^{3}=8-1=7, deci egalitatea cerută este adevărată.
    8−1=7\displaystyle 8-1=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x2−2x+1\displaystyle f(x)=3x^2-\frac{2}{x+1}.

Arătați că ∫15(3x2−f(x))dx=2ln⁡3\displaystyle \int_1^5\left(3x^2-f(x)\right)dx=2\ln 3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=3x2−2x+1\displaystyle f(x)=3x^{2}-\dfrac{2}{x+1} în integrand: 3x2−f(x)=3x2−3x2+2x+1\displaystyle 3x^{2}-f(x)=3x^{2}-3x^{2}+\dfrac{2}{x+1}, deci termenul 3x2\displaystyle 3x^{2} se reduce.
    3x2−f(x)=2x+1\displaystyle 3x^{2}-f(x)=\dfrac{2}{x+1}
  2. Integrala devine ∫152x+1dx=2∫15(x+1)′x+1dx\displaystyle \int_1^5\dfrac{2}{x+1}dx=2\int_1^5\dfrac{(x+1)'}{x+1}dx, deoarece (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1. O primitivă a lui 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), pentru că x+1>0\displaystyle x+1>0 pe intervalul [1,5]\displaystyle [1,5].
    ∫15(3x2−f(x))dx=2∫15(x+1)′x+1dx=2ln⁡(x+1)∣15\displaystyle \int_1^5\left(3x^{2}-f(x)\right)dx=2\int_1^5\frac{(x+1)'}{x+1}dx=2\ln(x+1)\Big|_1^5
  3. Calculăm 2ln⁡(x+1)∣15=2ln⁡(5+1)−2ln⁡(1+1)\displaystyle 2\ln(x+1)\Big|_1^5=2\ln(5+1)-2\ln(1+1).
    2ln⁡6−2ln⁡2\displaystyle 2\ln 6-2\ln 2
  4. Factor comun 2: 2ln⁡6−2ln⁡2=2(ln⁡6−ln⁡2)=2ln⁡62=2ln⁡3\displaystyle 2\ln 6-2\ln 2=2\left(\ln 6-\ln 2\right)=2\ln\dfrac{6}{2}=2\ln 3, deci egalitatea cerută este adevărată.
    2ln⁡6−2ln⁡2=2ln⁡3\displaystyle 2\ln 6-2\ln 2=2\ln 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x2−2x+1\displaystyle f(x)=3x^2-\frac{2}{x+1}.

Se consideră funcția g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=f(x−1)\displaystyle g(x)=f\left(\sqrt{x}-1\right). Arătați că ∫14(a+bg(x))g′(x)dx=4a\displaystyle \int_1^4\left(a+bg(x)\right)g'(x)dx=4a, pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim liniaritatea integralei: ∫14(a+bg(x))g′(x)dx=∫14a g′(x)dx+∫14b g(x)g′(x)dx\displaystyle \int_1^4\left(a+bg(x)\right)g'(x)dx=\int_1^4 a\,g'(x)dx+\int_1^4 b\,g(x)g'(x)dx.
    ∫14a g′(x)dx+∫14b g(x)g′(x)dx\displaystyle \int_1^4 a\,g'(x)dx+\int_1^4 b\,g(x)g'(x)dx
  2. Primul termen: g\displaystyle g este primitivă a lui g′\displaystyle g', deci ∫14a g′(x)dx=a g(x)∣14\displaystyle \int_1^4 a\,g'(x)dx=a\,g(x)\Big|_1^4. Al doilea termen: (g2(x)2)′=g(x)g′(x)\displaystyle \left(\dfrac{g^2(x)}{2}\right)'=g(x)g'(x), deci ∫14b g(x)g′(x)dx=b g2(x)2∣14\displaystyle \int_1^4 b\,g(x)g'(x)dx=\dfrac{b\,g^2(x)}{2}\Big|_1^4.
    a g(x)∣14+b g2(x)2∣14\displaystyle a\,g(x)\Big|_1^4+\frac{b\,g^2(x)}{2}\Big|_1^4
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: înlocuim limitele 4\displaystyle 4 și 1\displaystyle 1 și obținem expresia în funcție de g(4)\displaystyle g(4) și g(1)\displaystyle g(1).
    a(g(4)−g(1))+b2(g2(4)−g2(1))\displaystyle a\left(g(4)-g(1)\right)+\frac{b}{2}\left(g^2(4)-g^2(1)\right)
  4. Calculăm g(1)=f(1−1)=f(0)=3⋅02−20+1\displaystyle g(1)=f\left(\sqrt{1}-1\right)=f(0)=3\cdot 0^2-\dfrac{2}{0+1}.
    g(1)=f(0)=−2\displaystyle g(1)=f(0)=-2
  5. Calculăm g(4)=f(4−1)=f(1)=3⋅12−21+1=3−1\displaystyle g(4)=f\left(\sqrt{4}-1\right)=f(1)=3\cdot 1^2-\dfrac{2}{1+1}=3-1.
    g(4)=f(1)=2\displaystyle g(4)=f(1)=2
  6. Înlocuim: g(4)−g(1)=2−(−2)=4\displaystyle g(4)-g(1)=2-(-2)=4 și g2(4)−g2(1)=4−4=0\displaystyle g^2(4)-g^2(1)=4-4=0, deci termenul cu b\displaystyle b dispare, pentru orice b\displaystyle b real.
    a⋅4+b2⋅0=4a\displaystyle a\cdot 4+\frac{b}{2}\cdot 0=4a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.