Bac matematică M2 științe ale naturii 2023, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2(1+i)−i(2−i)=1\displaystyle 2(1+i)-i(2-i)=1, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm primul produs, distribuind pe 2\displaystyle 2 în paranteză: 2(1+i)=2+2i\displaystyle 2(1+i)=2+2i.
    2(1+i)=2+2i\displaystyle 2(1+i)=2+2i
  2. Dezvoltăm al doilea produs: −i(2−i)=−2i+i2\displaystyle -i(2-i)=-2i+i^{2}. Semnul minus din fața lui i\displaystyle i schimbă semnele din paranteză.
    −i(2−i)=−2i+i2\displaystyle -i(2-i)=-2i+i^{2}
  3. Adunăm cele două rezultate. Obținem 2(1+i)−i(2−i)=2+2i−2i+i2\displaystyle 2(1+i)-i(2-i)=2+2i-2i+i^{2}.
    2+2i−2i+i2\displaystyle 2+2i-2i+i^{2}
  4. Reducem termenii cu i\displaystyle i: 2i−2i=0\displaystyle 2i-2i=0, deci rămâne 2+i2\displaystyle 2+i^{2}.
    2+i2\displaystyle 2+i^{2}
  5. Folosim i2=−1\displaystyle i^{2}=-1 și obținem 2+i2=2−1=1\displaystyle 2+i^{2}=2-1=1, ceea ce trebuia demonstrat.
    2−1=1\displaystyle 2-1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x+10\displaystyle f(x)=3x+10. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care punctul A(2a,a)\displaystyle A(2a,a) aparține graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct aparține graficului funcției dacă ordonata lui este egală cu valoarea funcției în abscisa punctului. Pentru punctul A(2a,a)\displaystyle A(2a,a), abscisa este 2a\displaystyle 2a și ordonata este a\displaystyle a, deci condiția este f(2a)=a\displaystyle f(2a)=a.
    f(2a)=a\displaystyle f(2a)=a
  2. Calculăm f(2a)\displaystyle f(2a) înlocuind x\displaystyle x cu 2a\displaystyle 2a în expresia funcției: f(2a)=3⋅2a+10=6a+10\displaystyle f(2a)=3\cdot 2a+10=6a+10. Ecuația devine 6a+10=a\displaystyle 6a+10=a.
    6a+10=a\displaystyle 6a+10=a
  3. Mutăm termenii cu a\displaystyle a în partea stângă și termenul liber în partea dreaptă: 6a−a=−10\displaystyle 6a-a=-10, deci 5a=−10\displaystyle 5a=-10.
    5a=−10\displaystyle 5a=-10
  4. Împărțim la 5\displaystyle 5 și obținem a=−2\displaystyle a=-2. Verificare: punctul este A(−4,−2)\displaystyle A(-4,-2) și f(−4)=−12+10=−2\displaystyle f(-4)=-12+10=-2, deci punctul aparține graficului.
    a=−2\displaystyle a=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x2+2=2x\displaystyle \sqrt{2x^2+2}=2x.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul 2x2+2\displaystyle \sqrt{2x^{2}+2} este mereu pozitiv sau zero, deci și partea dreaptă trebuie să fie nenegativă: 2x≥0\displaystyle 2x\ge 0. Această condiție ne ajută la verificarea soluțiilor la final.
    x≥0\displaystyle x\ge 0
  2. Ridicăm ecuația la pătrat. Pătratul radicalului este 2x2+2\displaystyle 2x^{2}+2, iar pătratul lui 2x\displaystyle 2x este 4x2\displaystyle 4x^{2}.
    2x2+2=4x2\displaystyle 2x^{2}+2=4x^{2}
  3. Mutăm termenii în aceeași parte: 2x2−2=0\displaystyle 2x^{2}-2=0. Împărțim prin 2 și obținem ecuația x2−1=0\displaystyle x^{2}-1=0.
    2x2+2=4x2⇒x2−1=0\displaystyle 2x^{2}+2=4x^{2}\Rightarrow x^{2}-1=0
  4. Din x2=1\displaystyle x^{2}=1 obținem două soluții posibile.
    x=−1 sau x=1\displaystyle x=-1\text{ sau }x=1
  5. Verificăm în ecuația inițială. Pentru x=−1\displaystyle x=-1: 2⋅1+2=2\displaystyle \sqrt{2\cdot 1+2}=2, iar 2⋅(−1)=−2\displaystyle 2\cdot(-1)=-2, deci nu convine. Pentru x=1\displaystyle x=1: 2⋅1+2=2\displaystyle \sqrt{2\cdot 1+2}=2, iar 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2, deci convine. Singura soluție este x=1\displaystyle x=1.
    x=−1, care nu convine; x=1, care convine\displaystyle x=-1\text{, care nu convine; }x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre, se pot forma cu elementele mulțimii A={0,1,2,3,4}\displaystyle A=\{0,1,2,3,4\}.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm numărul cu abc‾\displaystyle \overline{abc}, unde a\displaystyle a este cifra sutelor, b\displaystyle b a zecilor și c\displaystyle c a unităților. Cifrele se pot repeta. Numărul este impar dacă cifra unităților este impară, deci c∈{1,3}\displaystyle c\in\{1,3\}. Rezultă 2 moduri de alegere a cifrei unităților.
    c∈{1,3}⇒2 moduri\displaystyle c\in\{1,3\}\Rightarrow 2\text{ moduri}
  2. Cifra zecilor poate fi oricare dintre cele 5 elemente ale mulțimii A\displaystyle A, adică b∈{0,1,2,3,4}\displaystyle b\in\{0,1,2,3,4\}, deci avem 5 moduri.
    b∈{0,1,2,3,4}⇒5 moduri\displaystyle b\in\{0,1,2,3,4\}\Rightarrow 5\text{ moduri}
  3. Cifra sutelor trebuie să fie nenulă, ca numărul să aibă trei cifre. Rămân cifrele a∈{1,2,3,4}\displaystyle a\in\{1,2,3,4\}, deci avem 4 moduri.
    a∈{1,2,3,4}⇒4 moduri\displaystyle a\in\{1,2,3,4\}\Rightarrow 4\text{ moduri}
  4. Cele trei alegeri sunt independente, deci după regula produsului înmulțim numerele de moduri: 2⋅5⋅4=40\displaystyle 2\cdot 5\cdot 4=40. Se pot forma 40 de numere.
    2⋅5⋅4=40 de numere\displaystyle 2\cdot 5\cdot 4=40\text{ de numere}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care vectorii u⃗=ai⃗+(a−1)j⃗\displaystyle \vec{u}=a\vec{i}+(a-1)\vec{j} și v⃗=i⃗+2j⃗\displaystyle \vec{v}=\vec{i}+2\vec{j} sunt coliniari.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem coordonatele vectorilor: u⃗=(a, a−1)\displaystyle \vec{u}=(a,\ a-1) și v⃗=(1, 2)\displaystyle \vec{v}=(1,\ 2).
    u⃗=(a, a−1)\displaystyle \vec{u}=(a,\ a-1),v⃗=(1, 2)\displaystyle \quad \vec{v}=(1,\ 2)
  2. Doi vectori sunt coliniari când coordonatele lor sunt proporționale. Scriem condiția: a1=a−12\displaystyle \dfrac{a}{1}=\dfrac{a-1}{2}.
    a1=a−12\displaystyle \frac{a}{1}=\frac{a-1}{2}
  3. Înmulțim egalitatea cu 2\displaystyle 2 și obținem 2a=a−1\displaystyle 2a=a-1.
    2a=a−1\displaystyle 2a=a-1
  4. Trecem pe a\displaystyle a în membrul stâng: 2a−a=−1\displaystyle 2a-a=-1, deci a=−1\displaystyle a=-1. Acesta este răspunsul final.
    a=−1\displaystyle a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu măsura unghiului B\displaystyle B egală cu π6\displaystyle \frac{\pi}{6} și BC=24\displaystyle BC=24. Bisectoarea unghiului C\displaystyle C al triunghiului ABC\displaystyle ABC intersectează latura AB\displaystyle AB în punctul D\displaystyle D. Determinați lungimea segmentului CD\displaystyle CD.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, iar unghiul B\displaystyle B are măsura π6\displaystyle \dfrac{\pi}{6}. Cateta AC\displaystyle AC este opusă unghiului B\displaystyle B, deci AC=BC⋅sin⁡π6\displaystyle AC=BC\cdot\sin\dfrac{\pi}{6}.
    AC=24⋅12=12\displaystyle AC=24\cdot\dfrac{1}{2}=12
  2. Unghiurile ascuțite ale triunghiului dreptunghic sunt complementare, deci ∡C=π2−π6\displaystyle \measuredangle C=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}.
    ∡ACB=π3\displaystyle \measuredangle ACB=\dfrac{\pi}{3}
  3. Deoarece CD\displaystyle CD este bisectoarea unghiului C\displaystyle C, unghiul ACD\displaystyle ACD este jumătate din ∡ACB\displaystyle \measuredangle ACB, deci ∡ACD=12⋅π3\displaystyle \measuredangle ACD=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{3}.
    AC=12; ∡ACD=π6\displaystyle AC=12;\ \measuredangle ACD=\dfrac{\pi}{6}
  4. Punctul D\displaystyle D se află pe latura AB\displaystyle AB, deci triunghiul ACD\displaystyle ACD este dreptunghic în A\displaystyle A. În acest triunghi, cosinusul unghiului ACD\displaystyle ACD este raportul dintre cateta alăturată AC\displaystyle AC și ipotenuza CD\displaystyle CD.
    ACCD=cos⁡π6\displaystyle \dfrac{AC}{CD}=\cos\dfrac{\pi}{6}
  5. Înlocuim AC=12\displaystyle AC=12 și cos⁡π6=32\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, deci 12CD=32\displaystyle \dfrac{12}{CD}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Obținem CD=243=83\displaystyle CD=\dfrac{24}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}.
    CD=243=83\displaystyle CD=\dfrac{24}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x+1−110x01−1x+1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x+1&-1&1\\0&x&0\\1&-1&x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=3\displaystyle \det(A(1))=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în matricea A(x)\displaystyle A(x): x+1\displaystyle x+1 devine 2\displaystyle 2, iar x\displaystyle x devine 1\displaystyle 1. Obținem matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(2−110101−12)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2&-1&1\\0&1&0\\1&-1&2\end{pmatrix}
  2. Scriem det⁡(A(1))\displaystyle \det(A(1)) și aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
    det⁡(A(1))=∣2−110101−12∣=2⋅1⋅2+(−1)⋅0⋅1+0⋅(−1)⋅1−1⋅1⋅1−(−1)⋅0⋅2−0⋅(−1)⋅2\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}2&-1&1\\0&1&0\\1&-1&2\end{vmatrix}=2\cdot1\cdot2+(-1)\cdot0\cdot1+0\cdot(-1)\cdot1-1\cdot1\cdot1-(-1)\cdot0\cdot2-0\cdot(-1)\cdot2
  3. Calculăm fiecare produs: 2⋅1⋅2=4\displaystyle 2\cdot1\cdot2=4, iar produsele care conțin factorul 0\displaystyle 0 sunt egale cu 0\displaystyle 0. Mai avem 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot1\cdot1=1. Efectuăm adunările și scăderile și obținem det⁡(A(1))=3\displaystyle \det(A(1))=3.
    4+0+0−1−0−0=3\displaystyle 4+0+0-1-0-0=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x+1−110x01−1x+1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x+1&-1&1\\0&x&0\\1&-1&x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A(0)⋅A(x)=A(0)\displaystyle A(0)\cdot A(x)=A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în matricea A(x)\displaystyle A(x) și obținem A(0)\displaystyle A(0). A doua linie a lui A(0)\displaystyle A(0) este nulă, iar prima și a treia linie sunt egale.
    A(0)=(1−110001−11)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&0&0\\1&-1&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm prima linie a produsului, înmulțind linia (1,−1,1)\displaystyle (1,-1,1) cu fiecare coloană a lui A(x)\displaystyle A(x). Coloanele lui A(x)\displaystyle A(x) sunt (x+1,0,1)\displaystyle (x+1,0,1), (−1,x,−1)\displaystyle (-1,x,-1) și (1,0,x+1)\displaystyle (1,0,x+1).
    1⋅(x+1)−1⋅0+1⋅1=x+21⋅(−1)−1⋅x+1⋅(−1)=−x−21⋅1−1⋅0+1⋅(x+1)=x+2\displaystyle \begin{aligned}1\cdot(x+1)-1\cdot 0+1\cdot 1&=x+2\\1\cdot(-1)-1\cdot x+1\cdot(-1)&=-x-2\\1\cdot 1-1\cdot 0+1\cdot(x+1)&=x+2\end{aligned}
  3. A doua linie a produsului este nulă, pentru că a doua linie a lui A(0)\displaystyle A(0) este nulă. A treia linie coincide cu prima, pentru că liniile 1 și 3 ale lui A(0)\displaystyle A(0) sunt egale. Așadar produsul este matricea de mai jos.
    A(0)⋅A(x)=(x+2−x−2x+2000x+2−x−2x+2)\displaystyle A(0)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}x+2&-x-2&x+2\\0&0&0\\x+2&-x-2&x+2\end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele produsului cu cele ale lui A(0)\displaystyle A(0). Din elementele de pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1) și (1,3)\displaystyle (1,3) obținem x+2=1\displaystyle x+2=1, iar din poziția (1,2)\displaystyle (1,2) obținem −x−2=−1\displaystyle -x-2=-1. Ambele ecuații sunt echivalente.
    x+2=1 și −x−2=−1\displaystyle x+2=1\text{ și }-x-2=-1
  5. Rezolvăm ecuația: x=1−2=−1\displaystyle x=1-2=-1. Celelalte elemente (zerourile din linia a doua și linia a treia, egală cu prima) se verifică automat. Deci x=−1\displaystyle x=-1.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x+1−110x01−1x+1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x+1&-1&1\\0&x&0\\1&-1&x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b pentru care (A(1))−1=aA(1)+bI3\displaystyle (A(1))^{-1}=aA(1)+bI_3, unde (A(1))−1\displaystyle (A(1))^{-1} este inversa matricei A(1)\displaystyle A(1).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(1)\displaystyle A(1), înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în matricea A(x)\displaystyle A(x).
    A(1)=(2−110101−12)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2&-1&1\\0&1&0\\1&-1&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(1)⋅A(1)\displaystyle A(1)\cdot A(1), linie cu coloană. De exemplu, elementul din colțul stânga sus este 2⋅2+(−1)⋅0+1⋅1=5\displaystyle 2\cdot 2+(-1)\cdot 0+1\cdot 1=5, iar elementul din prima linie, a doua coloană este 2⋅(−1)+(−1)⋅1+1⋅(−1)=−4\displaystyle 2\cdot(-1)+(-1)\cdot 1+1\cdot(-1)=-4.
    A(1)⋅A(1)=(5−440104−45)\displaystyle A(1)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}5&-4&4\\0&1&0\\4&-4&5\end{pmatrix}
  3. Înmulțim egalitatea (A(1))−1=aA(1)+bI3\displaystyle (A(1))^{-1}=aA(1)+bI_3 cu A(1)\displaystyle A(1), pentru a elimina inversa. Deoarece A(1)⋅(A(1))−1=I3\displaystyle A(1)\cdot(A(1))^{-1}=I_3, obținem aA(1)⋅A(1)+bA(1)=I3\displaystyle aA(1)\cdot A(1)+bA(1)=I_3.
    a A(1)⋅A(1)+b A(1)=I3\displaystyle a\,A(1)\cdot A(1)+b\,A(1)=I_3
  4. Înlocuim matricele calculate și efectuăm operațiile cu matrice (înmulțire cu scalar și adunare), apoi egalăm cu matricea unitate I3\displaystyle I_3.
    (5a+2b−4a−b4a+b0a+b04a+b−4a−b5a+2b)=(100010001)\displaystyle \begin{pmatrix}5a+2b&-4a-b&4a+b\\0&a+b&0\\4a+b&-4a-b&5a+2b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
  5. Identificăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice. Din poziția (1,1)\displaystyle (1,1) obținem 5a+2b=1\displaystyle 5a+2b=1, iar din poziția (1,2)\displaystyle (1,2) obținem −4a−b=0\displaystyle -4a-b=0. Celelalte poziții dau a+b=1\displaystyle a+b=1 și aceleași relații, deci sistemul se reduce la aceste ecuații.
    {5a+2b=1−4a−b=0a+b=1\displaystyle \begin{cases}5a+2b=1\\-4a-b=0\\a+b=1\end{cases}
  6. Din a doua ecuație obținem b=−4a\displaystyle b=-4a. Înlocuim în prima: 5a−8a=1\displaystyle 5a-8a=1, deci −3a=1\displaystyle -3a=1, de unde a=−13\displaystyle a=-\dfrac{1}{3} și b=43\displaystyle b=\dfrac{4}{3}. Verificăm în a treia ecuație: a+b=−13+43=1\displaystyle a+b=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}=1, adevărat.
    a=−13 și b=43\displaystyle a=-\frac{1}{3}\text{ și }b=\frac{4}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+y−1+2xy\displaystyle x*y=xy+x+y-1+2^{xy}.

Arătați că 1∗2=8\displaystyle 1*2=8.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∗y=xy+x+y−1+2xy\displaystyle x*y=xy+x+y-1+2^{xy}. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2.
    1∗2=1⋅2+1+2−1+21⋅2\displaystyle 1*2=1\cdot 2+1+2-1+2^{1\cdot 2}
  2. Calculăm separat partea fără putere: 1⋅2+1+2−1=2+1+2−1=4\displaystyle 1\cdot 2+1+2-1=2+1+2-1=4.
    1⋅2+1+2−1=4\displaystyle 1\cdot 2+1+2-1=4
  3. Calculăm puterea: 21⋅2=22=4\displaystyle 2^{1\cdot 2}=2^{2}=4.
    21⋅2=4\displaystyle 2^{1\cdot 2}=4
  4. Adunăm rezultatele obținute: 1∗2=4+4=8\displaystyle 1*2=4+4=8, deci egalitatea este demonstrată.
    1∗2=4+4=8\displaystyle 1*2=4+4=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+y−1+2xy\displaystyle x*y=xy+x+y-1+2^{xy}.

Arătați că e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul e\displaystyle e este neutru dacă x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x\displaystyle x real. Verificăm pentru e=0\displaystyle e=0, începând cu x∗0\displaystyle x*0. Înlocuim y=0\displaystyle y=0 în definiția legii: x∗0=x⋅0+x+0−1+2x⋅0\displaystyle x*0=x\cdot 0+x+0-1+2^{x\cdot 0}.
    x∗0=x⋅0+x+0−1+2x⋅0\displaystyle x*0=x\cdot 0+x+0-1+2^{x\cdot 0}
  2. Calculăm: x⋅0=0\displaystyle x\cdot 0=0 și 20=1\displaystyle 2^{0}=1. Obținem x∗0=0+x+0−1+1=x\displaystyle x*0=0+x+0-1+1=x, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∗0=0+x+0−1+1=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*0=0+x+0-1+1=x\text{, pentru orice număr real }x
  3. Verificăm și 0∗x\displaystyle 0*x. Înlocuim în definiție primul element cu 0\displaystyle 0 și al doilea cu x\displaystyle x: 0∗x=0⋅x+0+x−1+20⋅x\displaystyle 0*x=0\cdot x+0+x-1+2^{0\cdot x}.
    0∗x=0⋅x+0+x−1+20⋅x\displaystyle 0*x=0\cdot x+0+x-1+2^{0\cdot x}
  4. Calculăm: 0⋅x=0\displaystyle 0\cdot x=0 și 20=1\displaystyle 2^{0}=1. Obținem 0∗x=0+0+x−1+1=x\displaystyle 0*x=0+0+x-1+1=x, pentru orice x\displaystyle x real. Cum x∗0=0∗x=x\displaystyle x*0=0*x=x pentru orice x\displaystyle x real, e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    0∗x=x, deci x∗0=0∗x=x, adica˘ e=0 este elementul neutru al \displaystyle 0*x=x\text{, deci }x*0=0*x=x\text{, adică }e=0\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție „∗”\displaystyle \text{legii de compoziție „}*\text{”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+y−1+2xy\displaystyle x*y=xy+x+y-1+2^{xy}.

Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n pentru care n∗(−1n)=0\displaystyle n*\left(-\frac{1}{n}\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x=n\displaystyle x=n și y=−1n\displaystyle y=-\dfrac{1}{n} calculăm produsul: xy=n⋅(−1n)=−1\displaystyle xy=n\cdot\left(-\dfrac{1}{n}\right)=-1. Deci 2xy=2−1=12\displaystyle 2^{xy}=2^{-1}=\dfrac{1}{2}.
    xy=−1\displaystyle xy=-1,2xy=12\displaystyle \quad 2^{xy}=\dfrac{1}{2}
  2. Înlocuim în x∗y=xy+x+y−1+2xy\displaystyle x*y=xy+x+y-1+2^{xy} și obținem n∗(−1n)=−1+n−1n−1+12=n−1n−32\displaystyle n*\left(-\dfrac{1}{n}\right)=-1+n-\dfrac{1}{n}-1+\dfrac{1}{2}=n-\dfrac{1}{n}-\dfrac{3}{2}.
    n∗(−1n)=n−1n−32\displaystyle n*\left(-\dfrac{1}{n}\right)=n-\dfrac{1}{n}-\dfrac{3}{2}
  3. Aducem la numitorul comun 2n\displaystyle 2n: n−1n−32=2n2−2−3n2n\displaystyle n-\dfrac{1}{n}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{2n^{2}-2-3n}{2n}.
    n∗(−1n)=2n2−3n−22n\displaystyle n*\left(-\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{2n^{2}-3n-2}{2n}
  4. Din 2n2−3n−22n=0\displaystyle \dfrac{2n^{2}-3n-2}{2n}=0 și 2n≠0\displaystyle 2n\neq 0 rezultă ecuația de gradul al doilea 2n2−3n−2=0\displaystyle 2n^{2}-3n-2=0.
    2n2−3n−2=0\displaystyle 2n^{2}-3n-2=0
  5. Discriminantul este Δ=(−3)2−4⋅2⋅(−2)=9+16=25\displaystyle \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25. Soluțiile sunt n=3±54\displaystyle n=\dfrac{3\pm 5}{4}, adică n=2\displaystyle n=2 sau n=−12\displaystyle n=-\dfrac{1}{2}.
    Δ=25\displaystyle \Delta=25,n=2 sau n=−12\displaystyle \quad n=2\text{ sau }n=-\dfrac{1}{2}
  6. Cum n\displaystyle n este număr natural nenul, soluția −12\displaystyle -\dfrac{1}{2} nu convine, deci rămâne n=2\displaystyle n=2.
    n=2\displaystyle n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1+ln⁡xx\displaystyle f(x)=\frac{2x+1+\ln x}{x}.

Arătați că f′(x)=−ln⁡xx2\displaystyle f'(x)=-\frac{\ln x}{x^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, cu u(x)=2x+1+ln⁡x\displaystyle u(x)=2x+1+\ln x și v(x)=x\displaystyle v(x)=x. Folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=u′(x)⋅x−u(x)⋅1x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{u'(x)\cdot x-u(x)\cdot 1}{x^{2}}
  2. Derivăm numărătorul: (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2, (1)′=0\displaystyle (1)'=0, (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, deci u′(x)=2+1x\displaystyle u'(x)=2+\dfrac{1}{x}. Derivata numitorului este v′(x)=1\displaystyle v'(x)=1.
    u′(x)=2+1x\displaystyle u'(x)=2+\dfrac{1}{x},v′(x)=1\displaystyle \quad v'(x)=1
  3. Înlocuim în formulă și obținem expresia derivatei înainte de simplificare.
    f′(x)=(2+1x)⋅x−(2x+1+ln⁡x)x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\left(2+\dfrac{1}{x}\right)\cdot x-(2x+1+\ln x)}{x^{2}}
  4. Efectuăm înmulțirea din numărător: (2+1x)⋅x=2x+1\displaystyle \left(2+\dfrac{1}{x}\right)\cdot x=2x+1, pentru că x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1.
    f′(x)=2x+1−(2x+1+ln⁡x)x2=2x+1−2x−1−ln⁡xx2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x+1-(2x+1+\ln x)}{x^{2}}=\dfrac{2x+1-2x-1-\ln x}{x^{2}}
  5. Reducem termenii asemenea la numărător: 2x−2x=0\displaystyle 2x-2x=0 și 1−1=0\displaystyle 1-1=0. Rămâne doar −ln⁡x\displaystyle -\ln x, deci formula cerută este demonstrată pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=−ln⁡xx2, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=-\dfrac{\ln x}{x^{2}}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1+ln⁡xx\displaystyle f(x)=\frac{2x+1+\ln x}{x}. Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty există dacă lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x) este un număr real ℓ\displaystyle \ell, iar atunci ecuația ei este y=ℓ\displaystyle y=\ell. Calculăm această limită.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞2x+1+ln⁡xx\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1+\ln x}{x}
  2. Împărțim fiecare termen de la numărător la x\displaystyle x: 2x+1+ln⁡xx=2xx+1x+ln⁡xx\displaystyle \dfrac{2x+1+\ln x}{x}=\dfrac{2x}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}.
    lim⁡x→+∞(2+1x+ln⁡xx)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(2+\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x}\right)
  3. Calculăm limita fiecărui termen: lim⁡x→+∞2=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}2=2 și lim⁡x→+∞1x=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0. Limita lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0, deoarece x\displaystyle x crește mai repede decât ln⁡x\displaystyle \ln x. Suma limitelor este:
    2\displaystyle 2
  4. Deoarece lim⁡x→+∞f(x)=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=2, graficul are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty dreapta de ecuație y=2\displaystyle y=2.
    y=2\displaystyle y=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1+ln⁡xx\displaystyle f(x)=\frac{2x+1+\ln x}{x}.

Demonstrați că ln⁡yy−ln⁡xx<1x−1y\displaystyle \frac{\ln y}{y}-\frac{\ln x}{x}<\frac{1}{x}-\frac{1}{y}, pentru orice x,y∈(1,+∞)\displaystyle x,y\in(1,+\infty) cu x<y\displaystyle x<y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția sub o formă mai ușor de derivat, împărțind numărătorul la x\displaystyle x: f(x)=2+1x+ln⁡xx\displaystyle f(x)=2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}.
    f(x)=2+1x+ln⁡xx\displaystyle f(x)=2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}
  2. Derivăm termen cu termen. Derivata lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este −1x2\displaystyle -\dfrac{1}{x^{2}}, iar derivata lui ln⁡xx\displaystyle \dfrac{\ln x}{x} se obține cu formula câtului: 1x⋅x−ln⁡x⋅1x2=1−ln⁡xx2\displaystyle \dfrac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}. Prin însumare, termenii 1\displaystyle 1 se reduc.
    f′(x)=−1x2+1−ln⁡xx2=−ln⁡xx2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}=-\dfrac{\ln x}{x^{2}}
  3. Pentru x>1\displaystyle x>1 avem ln⁡x>0\displaystyle \ln x>0, iar x2>0\displaystyle x^{2}>0, deci derivata este negativă pe intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty). Rezultă că f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
    f′(x)<0, pentru orice x∈(1,+∞)⇒f este strict \displaystyle f'(x)<0\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)\Rightarrow f\text{ este strict }descresca˘toare pe (1,+∞)\displaystyle \text{descrescătoare pe }(1,+\infty)
  4. Fie x,y∈(1,+∞)\displaystyle x,y\in(1,+\infty) cu x<y\displaystyle x<y. Deoarece f\displaystyle f este strict descrescătoare pe acest interval, valoarea în punctul mai mic este mai mare: f(x)>f(y)\displaystyle f(x)>f(y).
    1<x<y⇒f(x)>f(y)\displaystyle 1<x<y\Rightarrow f(x)>f(y)
  5. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) și f(y)\displaystyle f(y) cu forma din primul pas: 2+1x+ln⁡xx>2+1y+ln⁡yy\displaystyle 2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}>2+\dfrac{1}{y}+\dfrac{\ln y}{y}. Se reduce termenul 2\displaystyle 2 din ambele părți, apoi mutăm ln⁡xx\displaystyle \dfrac{\ln x}{x} în dreapta și 1y\displaystyle \dfrac{1}{y} în stânga, ceea ce dă inegalitatea cerută.
    1<x<y⇒f(x)>f(y), deci ln⁡yy−ln⁡xx<1x−1y, pentru orice x\displaystyle 1<x<y\Rightarrow f(x)>f(y)\text{, deci }\dfrac{\ln y}{y}-\dfrac{\ln x}{x}<\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\text{, pentru orice }x,y∈(1,+∞) cu x<y\displaystyle y\in(1,+\infty)\text{ cu }x<y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+x\displaystyle f(x)=x^3+x.

Arătați că ∫35(f(x)−x3)dx=8\displaystyle \int_3^5\left(f(x)-x^3\right)dx=8.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x3+x\displaystyle f(x)=x^3+x în expresia de sub integrală: f(x)−x3=x3+x−x3\displaystyle f(x)-x^3=x^3+x-x^3. Termenii x3\displaystyle x^3 se reduc, deci rămâne x\displaystyle x.
    f(x)−x3=x\displaystyle f(x)-x^3=x
  2. Integrala devine ∫35x dx\displaystyle \int_3^5 x\,dx. O primitivă a funcției x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar formula Leibniz-Newton dă integrala ca diferența valorilor primitivei în capetele intervalului.
    ∫35(f(x)−x3)dx=∫35x dx=x22∣35\displaystyle \int_3^5\left(f(x)-x^3\right)dx=\int_3^5 x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_3^5
  3. Calculăm valorile primitivei: în 5\displaystyle 5 avem 522=252\displaystyle \dfrac{5^2}{2}=\dfrac{25}{2}, iar în 3\displaystyle 3 avem 322=92\displaystyle \dfrac{3^2}{2}=\dfrac{9}{2}. Scădem: 252−92=162\displaystyle \dfrac{25}{2}-\dfrac{9}{2}=\dfrac{16}{2}.
    252−92=162=8\displaystyle \frac{25}{2}-\frac{9}{2}=\frac{16}{2}=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+x\displaystyle f(x)=x^3+x.

Arătați că ∫02x2f(x)−x+2dx=ln⁡53\displaystyle \int_0^2\frac{x^2}{f(x)-x+2}dx=\frac{\ln 5}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x3+x\displaystyle f(x)=x^3+x în numitor și reducem termenii: f(x)−x+2=x3+x−x+2=x3+2\displaystyle f(x)-x+2=x^3+x-x+2=x^3+2.
    ∫02x2f(x)−x+2 dx=∫02x2x3+2 dx\displaystyle \int_0^2\frac{x^2}{f(x)-x+2}\,dx=\int_0^2\frac{x^2}{x^3+2}\,dx
  2. Observăm că derivata numitorului este (x3+2)′=3x2\displaystyle \left(x^3+2\right)'=3x^2, deci x2=13(x3+2)′\displaystyle x^2=\dfrac{1}{3}\left(x^3+2\right)'. Scoatem factorul 13\displaystyle \dfrac{1}{3} în fața integralei.
    ∫02x2x3+2 dx=13∫02(x3+2)′x3+2 dx\displaystyle \int_0^2\frac{x^2}{x^3+2}\,dx=\frac{1}{3}\int_0^2\frac{\left(x^3+2\right)'}{x^3+2}\,dx
  3. Integrala unei fracții de forma u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u} este ln⁡u\displaystyle \ln u. Pe intervalul [0,2]\displaystyle [0,2] avem x3+2>0\displaystyle x^3+2>0, deci logaritmul este bine definit. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    13∫02(x3+2)′x3+2 dx=13ln⁡(x3+2)∣02\displaystyle \frac{1}{3}\int_0^2\frac{\left(x^3+2\right)'}{x^3+2}\,dx=\frac{1}{3}\ln\left(x^3+2\right)\Big|_0^2
  4. Calculăm valorile la limite: pentru x=2\displaystyle x=2 avem 23+2=10\displaystyle 2^3+2=10, iar pentru x=0\displaystyle x=0 avem 03+2=2\displaystyle 0^3+2=2.
    13ln⁡(x3+2)∣02=ln⁡103−ln⁡23\displaystyle \frac{1}{3}\ln\left(x^3+2\right)\Big|_0^2=\frac{\ln10}{3}-\frac{\ln2}{3}
  5. Folosim proprietatea diferenței de logaritmi: ln⁡10−ln⁡2=ln⁡102=ln⁡5\displaystyle \ln10-\ln2=\ln\dfrac{10}{2}=\ln5. Am obținut rezultatul cerut.
    ln⁡103−ln⁡23=13ln⁡102=ln⁡53\displaystyle \frac{\ln10}{3}-\frac{\ln2}{3}=\frac{1}{3}\ln\frac{10}{2}=\frac{\ln5}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+x\displaystyle f(x)=x^3+x.

Se consideră funcția g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)e−xx\displaystyle g(x)=\frac{f(x)e^{-x}}{x}. Arătați că orice primitivă G:(0,+∞)→R\displaystyle G:(0,+\infty)\to\mathbb{R} a funcției g\displaystyle g este concavă.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x3+x\displaystyle f(x)=x^{3}+x în expresia lui g\displaystyle g și simplificăm prin x\displaystyle x, care este nenul pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): scoatem x\displaystyle x factor comun la numărător, x3+x=x(x2+1)\displaystyle x^{3}+x=x(x^{2}+1).
    g(x)=x(x2+1)e−xx=(x2+1)e−x\displaystyle g(x)=\dfrac{x\left(x^{2}+1\right)e^{-x}}{x}=\left(x^{2}+1\right)e^{-x}
  2. Deoarece G\displaystyle G este primitivă a lui g\displaystyle g, avem G′(x)=g(x)\displaystyle G'(x)=g(x). Atunci G′′(x)=g′(x)\displaystyle G''(x)=g'(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    G′(x)=(x2+1)e−x, deci G′′(x)=g′(x)\displaystyle G'(x)=\left(x^{2}+1\right)e^{-x}\text{, deci }G''(x)=g'(x)
  3. Derivăm produsul folosind (uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)'=u'v+uv', cu (e−x)′=−e−x\displaystyle \left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}, apoi dăm factor comun e−x\displaystyle e^{-x}.
    G′′(x)=2xe−x−(x2+1)e−x=(−x2+2x−1)e−x\displaystyle G''(x)=2xe^{-x}-\left(x^{2}+1\right)e^{-x}=\left(-x^{2}+2x-1\right)e^{-x}
  4. Observăm că −x2+2x−1=−(x2−2x+1)=−(x−1)2\displaystyle -x^{2}+2x-1=-\left(x^{2}-2x+1\right)=-(x-1)^{2}.
    G′′(x)=−(x−1)2e−x\displaystyle G''(x)=-(x-1)^{2}e^{-x}
  5. Avem (x−1)2≥0\displaystyle (x-1)^{2}\geq0 și e−x>0\displaystyle e^{-x}>0, deci G′′(x)≤0\displaystyle G''(x)\leq0 pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Prin urmare, orice primitivă G\displaystyle G este concavă.
    G′′(x)=−(x−1)2e−x≤0, pentru orice x∈(0,+∞), deci G este concava˘\displaystyle G''(x)=-(x-1)^{2}e^{-x}\leq0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{, deci }G\text{ este concavă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.