Bac matematică M2 științe ale naturii 2019, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră progresia aritmetică (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1} cu a3=11\displaystyle a_3=11 și a4=13\displaystyle a_4=13. Primul termen al acestei progresii este egal cu: A. −1\displaystyle -1 B. 3\displaystyle 3 C. 7\displaystyle 7 D. 11\displaystyle 11
Vezi rezolvarea
  1. Rația progresiei este diferența dintre doi termeni consecutivi: r=a4−a3=13−11\displaystyle r=a_4-a_3=13-11.
    r=2\displaystyle r=2
  2. Din formula termenului general an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r pentru n=3\displaystyle n=3 obținem a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r, adică 11=a1+2⋅2\displaystyle 11=a_1+2\cdot 2.
    11=a1+4\displaystyle 11=a_1+4
  3. Rezultă a1=11−4=7\displaystyle a_1=11-4=7, deci varianta corectă este C.
    a1=7⇒C\displaystyle a_1=7\Rightarrow \text{C}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−8x+m\displaystyle f(x)=2x^2-8x+m, unde m\displaystyle m este număr real. Dacă vârful parabolei asociate funcției f\displaystyle f are coordonatele egale, atunci numărul real m\displaystyle m este egal cu: A. 6\displaystyle 6 B. 8\displaystyle 8 C. 10\displaystyle 10 D. 12\displaystyle 12
Vezi rezolvarea
  1. Abscisa vârfului este xV=−b2a\displaystyle x_V=-\dfrac{b}{2a}, cu a=2\displaystyle a=2 și b=−8\displaystyle b=-8. Obținem xV=84\displaystyle x_V=\dfrac{8}{4}.
    xV=2\displaystyle x_V=2
  2. Ordonata vârfului este yV=f(2)=2⋅22−8⋅2+m\displaystyle y_V=f(2)=2\cdot 2^{2}-8\cdot 2+m, adică 8−16+m\displaystyle 8-16+m.
    yV=m−8\displaystyle y_V=m-8
  3. Din xV=yV\displaystyle x_V=y_V obținem 2=m−8\displaystyle 2=m-8, deci m=2+8\displaystyle m=2+8.
    m=10\displaystyle m=10
  4. Verificare: pentru m=10\displaystyle m=10 avem f(2)=8−16+10=2\displaystyle f(2)=8-16+10=2, deci vârful este V(2,2)\displaystyle V(2,2). Valoarea 10\displaystyle 10 corespunde variantei C.
    C\displaystyle \text{C}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Mulțimea soluțiilor ecuației x+12=x\displaystyle \sqrt{x+12}=x este: A. {−3,4}\displaystyle \{-3,4\} B. {4}\displaystyle \{4\} C. {−3}\displaystyle \{-3\} D. {−4,3}\displaystyle \{-4,3\}
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul x+12\displaystyle \sqrt{x+12} este mereu mai mare sau egal cu 0, deci și x\displaystyle x trebuie să fie nenegativ. Condiția este x≥0\displaystyle x\ge 0 (iar x+12≥0\displaystyle x+12\ge 0 rezultă automat).
    x≥0\displaystyle x\ge 0
  2. Ridicăm ecuația la pătrat: x+12=x2\displaystyle x+12=x^{2}. Aducem totul într-o parte și obținem ecuația de gradul al doilea x2−x−12=0\displaystyle x^{2}-x-12=0.
    x2−x−12=0\displaystyle x^{2}-x-12=0
  3. Discriminantul este Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−12)=49\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-12)=49, deci x=1±72\displaystyle x=\dfrac{1\pm 7}{2}, adică x=4\displaystyle x=4 sau x=−3\displaystyle x=-3.
    x=4 sau x=−3\displaystyle x=4\text{ sau }x=-3
  4. Din condiția x≥0\displaystyle x\ge 0, valoarea x=−3\displaystyle x=-3 nu convine, pentru că 9=3≠−3\displaystyle \sqrt{9}=3\neq -3. Pentru x=4\displaystyle x=4: 4+12=16=4\displaystyle \sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4, deci convine.
    S={4}\displaystyle S=\{4\}
  5. Mulțimea soluțiilor este {4}\displaystyle \{4\}, deci răspunsul corect este varianta B.
    B\displaystyle \text{B}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={n∈N∗∣n≤120}\displaystyle A=\{n\in\mathbb{N}^* \mid n\le 120\}, acesta să fie multiplu de 25\displaystyle 25 este egală cu: A. 130\displaystyle \frac{1}{30} B. 4121\displaystyle \frac{4}{121} C. 124\displaystyle \frac{1}{24} D. 2930\displaystyle \frac{29}{30}
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm numărul de cazuri posibile: mulțimea A\displaystyle A conține numerele naturale nenule de la 1\displaystyle 1 la 120\displaystyle 120, deci are 120\displaystyle 120 de elemente.
    cazuri posibile=120\displaystyle \text{cazuri posibile}=120
  2. Aflăm numărul de cazuri favorabile: multiplii lui 25\displaystyle 25 care sunt cel mult 120\displaystyle 120 sunt 25\displaystyle 25, 50\displaystyle 50, 75\displaystyle 75 și 100\displaystyle 100, deoarece 125>120\displaystyle 125>120. Sunt 4\displaystyle 4 numere.
    cazuri favorabile=4\displaystyle \text{cazuri favorabile}=4
  3. Calculăm probabilitatea ca raport dintre numărul de cazuri favorabile și numărul de cazuri posibile: P=4120\displaystyle P=\dfrac{4}{120}. Simplificăm fracția cu 4\displaystyle 4.
    P=4120=130\displaystyle P=\dfrac{4}{120}=\dfrac{1}{30}
  4. Valoarea 130\displaystyle \dfrac{1}{30} corespunde variantei A, deci răspunsul corect este A.
    A\displaystyle \text{A}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(3,5)\displaystyle M(3,5) și N(4,4)\displaystyle N(4,4). Punctul P\displaystyle P, situat pe axa Ox\displaystyle Ox, pentru care punctele M\displaystyle M, N\displaystyle N și P\displaystyle P sunt coliniare este: A. P(−8,0)\displaystyle P(-8,0) B. P(0,8)\displaystyle P(0,8) C. P(0,0)\displaystyle P(0,0) D. P(8,0)\displaystyle P(8,0)
Vezi rezolvarea
  1. Punctul P\displaystyle P este pe axa Ox\displaystyle Ox, deci are ordonata 0\displaystyle 0, adică P(a,0)\displaystyle P(a,0). Calculăm panta dreptei MN\displaystyle MN: m=yN−yMxN−xM=4−54−3\displaystyle m=\dfrac{y_N-y_M}{x_N-x_M}=\dfrac{4-5}{4-3}.
    mMN=−1\displaystyle m_{MN}=-1
  2. Ecuația dreptei MN\displaystyle MN este y−5=−1⋅(x−3)\displaystyle y-5=-1\cdot(x-3), adică y=−x+8\displaystyle y=-x+8.
    MN: y=−x+8\displaystyle MN:\ y=-x+8
  3. Punctele M\displaystyle M, N\displaystyle N, P\displaystyle P sunt coliniare dacă P\displaystyle P se află pe dreapta MN\displaystyle MN. Punem y=0\displaystyle y=0: 0=−a+8\displaystyle 0=-a+8, deci a=8\displaystyle a=8.
    P(8,0)\displaystyle P(8,0)
  4. Punctul P(8,0)\displaystyle P(8,0) corespunde variantei D.
    D\displaystyle \text{D}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră expresia E(x)=sin⁡x+sin⁡(x+2π3)+sin⁡(x−2π3)\displaystyle E(x)=\sin x+\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)+\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right), unde x\displaystyle x este număr real. Pentru orice număr real x\displaystyle x, expresia E(x)\displaystyle E(x) este egală cu: A. 0\displaystyle 0 B. 3cos⁡x\displaystyle \sqrt{3}\cos x C. sin⁡x\displaystyle \sin x D. 1\displaystyle 1
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formulele sinusului sumei și diferenței pentru ultimii doi termeni: sin⁡(x+a)+sin⁡(x−a)=2sin⁡xcos⁡a\displaystyle \sin(x+a)+\sin(x-a)=2\sin x\cos a, cu a=2π3\displaystyle a=\dfrac{2\pi}{3}.
    sin⁡(x+2π3)+sin⁡(x−2π3)=2sin⁡xcos⁡2π3\displaystyle \sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)+\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)=2\sin x\cos\frac{2\pi}{3}
  2. Calculăm cos⁡2π3=cos⁡(π−π3)=−cos⁡π3=−12\displaystyle \cos\dfrac{2\pi}{3}=\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}.
    cos⁡2π3=−12\displaystyle \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}
  3. Înlocuim: 2sin⁡x⋅(−12)=−sin⁡x\displaystyle 2\sin x\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\sin x.
    sin⁡(x+2π3)+sin⁡(x−2π3)=−sin⁡x\displaystyle \sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)+\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)=-\sin x
  4. Adunăm primul termen: E(x)=sin⁡x−sin⁡x=0\displaystyle E(x)=\sin x-\sin x=0 pentru orice x\displaystyle x real, deci răspunsul este varianta A.
    E(x)=0⇒A\displaystyle E(x)=0\Rightarrow \text{A}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră determinantul D(x)=∣1−x2312−x3123−x∣\displaystyle D(x)=\begin{vmatrix}1-x & 2 & 3\\ 1 & 2-x & 3\\ 1 & 2 & 3-x\end{vmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că D(1)=5\displaystyle D(1)=5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în determinant: pe diagonala principală elementele devin 1−1=0\displaystyle 1-1=0, 2−1=1\displaystyle 2-1=1, 3−1=2\displaystyle 3-1=2, iar celelalte elemente rămân neschimbate.
    D(1)=∣023113122∣\displaystyle D(1)=\begin{vmatrix}0 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 3\\ 1 & 2 & 2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Termenii cu semnul plus sunt produsul diagonalei principale și produsele pe cele două paralele cu ea: 0⋅1⋅2\displaystyle 0\cdot 1\cdot 2, 2⋅3⋅1\displaystyle 2\cdot 3\cdot 1 și 3⋅1⋅2\displaystyle 3\cdot 1\cdot 2.
    0⋅1⋅2+2⋅3⋅1+3⋅1⋅2=0+6+6\displaystyle 0\cdot 1\cdot 2+2\cdot 3\cdot 1+3\cdot 1\cdot 2=0+6+6
  3. Termenii cu semnul minus sunt produsul diagonalei secundare și produsele pe cele două paralele cu ea: 3⋅1⋅1\displaystyle 3\cdot 1\cdot 1, 0⋅3⋅2\displaystyle 0\cdot 3\cdot 2 și 2⋅1⋅2\displaystyle 2\cdot 1\cdot 2.
    −3⋅1⋅1−0⋅3⋅2−2⋅1⋅2=−3−0−4\displaystyle -3\cdot 1\cdot 1-0\cdot 3\cdot 2-2\cdot 1\cdot 2=-3-0-4
  4. Adunăm cei șase termeni: 0+6+6−3−0−4=12−7=5\displaystyle 0+6+6-3-0-4=12-7=5, deci D(1)=5\displaystyle D(1)=5.
    D(1)=0+6+6−3−0−4=5\displaystyle D(1)=0+6+6-3-0-4=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră determinantul D(x)=∣1−x2312−x3123−x∣\displaystyle D(x)=\begin{vmatrix}1-x & 2 & 3\\ 1 & 2-x & 3\\ 1 & 2 & 3-x\end{vmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că, pentru orice număr întreg p\displaystyle p, p≠6\displaystyle p\ne 6, numărul D(p)\displaystyle D(p) este divizibil cu 6−p\displaystyle 6-p.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm coloanele a doua și a treia la prima coloană. Pe fiecare linie suma elementelor este 6−x\displaystyle 6-x, deci prima coloană devine formată numai din 6−x\displaystyle 6-x. Valoarea determinantului nu se schimbă.
    D(x)=∣6−x236−x2−x36−x23−x∣\displaystyle D(x)=\begin{vmatrix}6-x & 2 & 3\\ 6-x & 2-x & 3\\ 6-x & 2 & 3-x\end{vmatrix}
  2. Scoatem factorul comun 6−x\displaystyle 6-x de pe prima coloană.
    D(x)=(6−x)∣12312−x3123−x∣\displaystyle D(x)=(6-x)\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 1 & 2-x & 3\\ 1 & 2 & 3-x\end{vmatrix}
  3. Scădem prima linie din a doua și din a treia linie. Obținem zerouri sub elementul 1\displaystyle 1 din prima coloană.
    D(x)=(6−x)∣1230−x000−x∣\displaystyle D(x)=(6-x)\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & -x & 0\\ 0 & 0 & -x\end{vmatrix}
  4. Determinantul rămas este superior triunghiular, deci este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală: 1⋅(−x)⋅(−x)=x2\displaystyle 1\cdot(-x)\cdot(-x)=x^{2}. Rezultă formula pentru D(x)\displaystyle D(x).
    D(x)=x2(6−x)\displaystyle D(x)=x^{2}(6-x)
  5. Înlocuim x\displaystyle x cu p\displaystyle p și obținem expresia lui D(p)\displaystyle D(p), în care apare factorul 6−p\displaystyle 6-p.
    D(p)=p2(6−p)\displaystyle D(p)=p^{2}(6-p)
  6. Deoarece p\displaystyle p este întreg și p≠6\displaystyle p\ne 6, câtul dintre D(p)\displaystyle D(p) și 6−p\displaystyle 6-p este p2\displaystyle p^{2}, care este număr întreg. Deci D(p)\displaystyle D(p) este divizibil cu 6−p\displaystyle 6-p.
    D(p)6−p=p2∈Z, deci D(p) este divizibil cu 6−p\displaystyle \dfrac{D(p)}{6-p}=p^{2}\in\mathbb{Z}\text{, deci }D(p)\text{ este divizibil cu }6-p
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră determinantul D(x)=∣1−x2312−x3123−x∣\displaystyle D(x)=\begin{vmatrix}1-x & 2 & 3\\ 1 & 2-x & 3\\ 1 & 2 & 3-x\end{vmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați valoarea maximă pe care o poate lua D(n)\displaystyle D(n), atunci când n\displaystyle n este număr natural.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm coloanele a doua și a treia la prima coloană. Pe fiecare linie suma elementelor este 6−x\displaystyle 6-x, deci toate elementele primei coloane devin 6−x\displaystyle 6-x.
    D(x)=∣6−x236−x2−x36−x23−x∣\displaystyle D(x)=\begin{vmatrix}6-x & 2 & 3\\ 6-x & 2-x & 3\\ 6-x & 2 & 3-x\end{vmatrix}
  2. Scoatem factorul 6−x\displaystyle 6-x de pe prima coloană, apoi scădem prima linie din a doua și din a treia linie.
    D(x)=(6−x)∣1230−x000−x∣\displaystyle D(x)=(6-x)\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & -x & 0\\ 0 & 0 & -x\end{vmatrix}
  3. Determinantul rămas este triunghiular, deci este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală: 1⋅(−x)⋅(−x)=x2\displaystyle 1\cdot(-x)\cdot(-x)=x^{2}. Obținem D(x)=x2(6−x)\displaystyle D(x)=x^{2}(6-x), deci D(n)=n2(6−n)\displaystyle D(n)=n^{2}(6-n).
    D(n)=n2(6−n)\displaystyle D(n)=n^{2}(6-n)
  4. Studiem semnul lui D(n)\displaystyle D(n) pentru n\displaystyle n natural. Pentru n=0\displaystyle n=0 sau n=6\displaystyle n=6 avem D(n)=0\displaystyle D(n)=0. Pentru n≥7\displaystyle n\geq 7, factorul 6−n\displaystyle 6-n este negativ, deci D(n)<0\displaystyle D(n)<0. Valoarea maximă poate fi atinsă doar pentru n∈{1,2,3,4,5}\displaystyle n\in\{1,2,3,4,5\}, unde D(n)>0\displaystyle D(n)>0.
    n∈{1,2,3,4,5}\displaystyle n\in\{1,2,3,4,5\}
  5. Calculăm valorile lui D(n)\displaystyle D(n) pentru n\displaystyle n de la 1 la 5 și le comparăm: D(1)=1⋅5\displaystyle D(1)=1\cdot 5, D(2)=4⋅4\displaystyle D(2)=4\cdot 4, D(3)=9⋅3\displaystyle D(3)=9\cdot 3, D(4)=16⋅2\displaystyle D(4)=16\cdot 2, D(5)=25⋅1\displaystyle D(5)=25\cdot 1.
    D(1)=5\displaystyle D(1)=5, D(2)=16\displaystyle \ D(2)=16, D(3)=27\displaystyle \ D(3)=27, D(4)=32\displaystyle \ D(4)=32, D(5)=25\displaystyle \ D(5)=25
  6. Cea mai mare dintre valorile 5,16,27,32,25\displaystyle 5, 16, 27, 32, 25 este 32\displaystyle 32, atinsă pentru n=4\displaystyle n=4. Deci valoarea maximă a lui D(n)\displaystyle D(n) este 32\displaystyle 32.
    D(4)=32\displaystyle D(4)=32
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−11−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix} și B(x)=(0x+1x−11)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}0 & x+1\\ x-1 & 1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că B(1)+B(3)=2B(2)\displaystyle B(1)+B(3)=2B(2).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în B(x)=(0x+1x−11)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}0 & x+1\\ x-1 & 1\end{pmatrix} și obținem matricea de mai jos.
    B(1)=(0201)\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}0 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}
  2. Înlocuim x=3\displaystyle x=3 în B(x)\displaystyle B(x) și obținem matricea de mai jos.
    B(3)=(0421)\displaystyle B(3)=\begin{pmatrix}0 & 4\\ 2 & 1\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricele B(1)\displaystyle B(1) și B(3)\displaystyle B(3) element cu element.
    B(1)+B(3)=(0201)+(0421)=(0622)\displaystyle B(1)+B(3)=\begin{pmatrix}0 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 4\\ 2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 6\\ 2 & 2\end{pmatrix}
  4. Calculăm B(2)\displaystyle B(2), înlocuind x=2\displaystyle x=2 în B(x)\displaystyle B(x).
    B(2)=(0311)\displaystyle B(2)=\begin{pmatrix}0 & 3\\ 1 & 1\end{pmatrix}
  5. Scoatem factorul 2\displaystyle 2 din matricea obținută pentru B(1)+B(3)\displaystyle B(1)+B(3) și recunoaștem B(2)\displaystyle B(2), deci egalitatea este demonstrată.
    B(1)+B(3)=(0622)=2(0311)=2B(2)\displaystyle B(1)+B(3)=\begin{pmatrix}0 & 6\\ 2 & 2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}0 & 3\\ 1 & 1\end{pmatrix}=2B(2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−11−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix} și B(x)=(0x+1x−11)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}0 & x+1\\ x-1 & 1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A⋅B(x)=B(x)⋅A\displaystyle A\cdot B(x)=B(x)\cdot A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B(x)\displaystyle A\cdot B(x), înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B(x)\displaystyle B(x). Prima linie: (−1)⋅0+1⋅(x−1)=x−1\displaystyle (-1)\cdot 0+1\cdot(x-1)=x-1 și (−1)(x+1)+1⋅1=−x\displaystyle (-1)(x+1)+1\cdot 1=-x. A doua linie: (−1)⋅0+0⋅(x−1)=0\displaystyle (-1)\cdot 0+0\cdot(x-1)=0 și (−1)(x+1)+0⋅1=−x−1\displaystyle (-1)(x+1)+0\cdot 1=-x-1.
    A⋅B(x)=(x−1−x0−x−1)\displaystyle A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}x-1 & -x\\ 0 & -x-1\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B(x)⋅A\displaystyle B(x)\cdot A. Prima linie: 0⋅(−1)+(x+1)(−1)=−x−1\displaystyle 0\cdot(-1)+(x+1)(-1)=-x-1 și 0⋅1+(x+1)⋅0=0\displaystyle 0\cdot 1+(x+1)\cdot 0=0. A doua linie: (x−1)(−1)+1⋅(−1)=−x\displaystyle (x-1)(-1)+1\cdot(-1)=-x și (x−1)⋅1+1⋅0=x−1\displaystyle (x-1)\cdot 1+1\cdot 0=x-1.
    B(x)⋅A=(−x−10−xx−1)\displaystyle B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}-x-1 & 0\\ -x & x-1\end{pmatrix}
  3. Egalăm cele două matrice element cu element. Din primul element: x−1=−x−1\displaystyle x-1=-x-1, deci 2x=0\displaystyle 2x=0. Din elementul de pe prima linie, a doua coloană: −x=0\displaystyle -x=0. Din elementul de pe a doua linie, a doua coloană: −x−1=x−1\displaystyle -x-1=x-1, deci x=0\displaystyle x=0. Elementul de pe a doua linie, prima coloană dă 0=−x\displaystyle 0=-x, deci tot x=0\displaystyle x=0.
    x−1=−x−1\displaystyle x-1=-x-1, −x=0\displaystyle \ -x=0, 0=−x\displaystyle \ 0=-x, −x−1=x−1 ⇒ x=0\displaystyle \ -x-1=x-1\ \Rightarrow\ x=0
  4. Toate egalitățile sunt verificate pentru x=0\displaystyle x=0, deci acesta este singurul număr real cerut.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−11−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix} și B(x)=(0x+1x−11)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}0 & x+1\\ x-1 & 1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care B(x)⋅B(x)=B(x)\displaystyle B(x)\cdot B(x)=B(x).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem B(x)=(0x+1x−11)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}0 & x+1\\ x-1 & 1\end{pmatrix} și calculăm B(x)⋅B(x)\displaystyle B(x)\cdot B(x) prin înmulțirea liniilor cu coloanele.
    B(x)⋅B(x)=(0⋅0+(x+1)(x−1)0⋅(x+1)+(x+1)⋅1(x−1)⋅0+1⋅(x−1)(x−1)(x+1)+1⋅1)\displaystyle B(x)\cdot B(x)=\begin{pmatrix}0\cdot 0+(x+1)(x-1) & 0\cdot(x+1)+(x+1)\cdot 1\\ (x-1)\cdot 0+1\cdot(x-1) & (x-1)(x+1)+1\cdot 1\end{pmatrix}
  2. Simplificăm elementele, folosind (x+1)(x−1)=x2−1\displaystyle (x+1)(x-1)=x^{2}-1. În colțul din dreapta jos avem x2−1+1=x2\displaystyle x^{2}-1+1=x^{2}.
    B(x)⋅B(x)=(x2−1x+1x−1x2)\displaystyle B(x)\cdot B(x)=\begin{pmatrix}x^{2}-1 & x+1\\ x-1 & x^{2}\end{pmatrix}
  3. Egalăm element cu element B(x)⋅B(x)\displaystyle B(x)\cdot B(x) cu B(x)\displaystyle B(x). Din cele patru poziții rezultă patru egalități.
    {x2−1=0x+1=x+1x−1=x−1x2=1\displaystyle \begin{cases}x^{2}-1=0\\ x+1=x+1\\ x-1=x-1\\ x^{2}=1\end{cases}
  4. Egalitățile x+1=x+1\displaystyle x+1=x+1 și x−1=x−1\displaystyle x-1=x-1 sunt adevărate pentru orice x\displaystyle x real. Primul și ultimul element dau aceeași ecuație, x2=1\displaystyle x^{2}=1, deci x=±1\displaystyle x=\pm 1.
    x=−1 sau x=1\displaystyle x=-1\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x−4)2x\displaystyle f(x)=\frac{(x-4)^2}{x}.

Calculați lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem raportul f(x)x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x} înlocuind f(x)=(x−4)2x\displaystyle f(x)=\dfrac{(x-4)^2}{x}. Numitorul devine x⋅x=x2\displaystyle x\cdot x=x^2.
    f(x)x=(x−4)2x2\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{(x-4)^2}{x^2}
  2. Limita are forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, deci dăm factor comun forțat pe x\displaystyle x în paranteză: x−4=x(1−4x)\displaystyle x-4=x\left(1-\dfrac{4}{x}\right). Ridicând la pătrat, numărătorul devine x2(1−4x)2\displaystyle x^2\left(1-\dfrac{4}{x}\right)^2.
    lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞(x−4)2x2=lim⁡x→+∞x2(1−4x)2x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{(x-4)^2}{x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(1-\frac{4}{x}\right)^2}{x^2}
  3. Simplificăm fracția prin x2\displaystyle x^2. Cum 4x→0\displaystyle \dfrac{4}{x}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, expresia din paranteză tinde la 1−0=1\displaystyle 1-0=1.
    lim⁡x→+∞(1−4x)2=(1−0)2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{4}{x}\right)^2=(1-0)^2
  4. Obținem (1−0)2=1\displaystyle (1-0)^2=1, deci limita cerută este 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→+∞f(x)x=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x−4)2x\displaystyle f(x)=\frac{(x-4)^2}{x}.

Calculați lim⁡x→4x3−8x2+16xf(x)\displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{x^3-8x^2+16x}{f(x)}.
Vezi rezolvarea
  1. Factorizăm numărătorul: scoatem factor comun x\displaystyle x, apoi recunoaștem pătratul perfect (x−4)2\displaystyle (x-4)^{2}. Avem x3−8x2+16x=x(x2−8x+16)=x(x−4)2\displaystyle x^{3}-8x^{2}+16x=x\left(x^{2}-8x+16\right)=x(x-4)^{2}.
    x3−8x2+16x=x(x−4)2\displaystyle x^{3}-8x^{2}+16x=x(x-4)^{2}
  2. Înlocuim f(x)=(x−4)2x\displaystyle f(x)=\dfrac{(x-4)^{2}}{x} în limită. Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei, deci limita devine lim⁡x→4x(x−4)2⋅x(x−4)2\displaystyle \lim_{x\to 4}\dfrac{x(x-4)^{2}\cdot x}{(x-4)^{2}}.
    lim⁡x→4x(x−4)2⋅x(x−4)2\displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{x(x-4)^{2}\cdot x}{(x-4)^{2}}
  3. Pentru x≠4\displaystyle x\neq 4 simplificăm factorul (x−4)2\displaystyle (x-4)^{2}, care apare și la numărător, și la numitor. Rămâne lim⁡x→4x2\displaystyle \lim_{x\to 4}x^{2}.
    lim⁡x→4x(x−4)2⋅x(x−4)2=lim⁡x→4x2\displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{x(x-4)^{2}\cdot x}{(x-4)^{2}}=\lim_{x\to 4}x^{2}
  4. Funcția x2\displaystyle x^{2} este continuă, deci limita se obține înlocuind x=4\displaystyle x=4: 42=16\displaystyle 4^{2}=16.
    lim⁡x→4x2=42=16\displaystyle \lim_{x\to 4}x^{2}=4^{2}=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x−4)2x\displaystyle f(x)=\frac{(x-4)^2}{x}.

Demonstrați că pentru orice număr real a\displaystyle a, a>0\displaystyle a>0, lim⁡x→+∞1a(f(x+a)−f(x))\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{a}\left(f(x+a)-f(x)\right) nu depinde de a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem pătratul de la numărător: (x−4)2=x2−8x+16\displaystyle (x-4)^{2}=x^{2}-8x+16. Împărțim la x\displaystyle x și obținem forma lui f\displaystyle f cu termeni simpli.
    f(x)=x−8+16x\displaystyle f(x)=x-8+\frac{16}{x}
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu x+a\displaystyle x+a în forma simplificată a lui f\displaystyle f, unde x+a>0\displaystyle x+a>0.
    f(x+a)=x+a−8+16x+a\displaystyle f(x+a)=x+a-8+\frac{16}{x+a}
  3. Calculăm diferența f(x+a)−f(x)\displaystyle f(x+a)-f(x). Termenii x\displaystyle x și −8\displaystyle -8 se reduc, deci rămâne a\displaystyle a plus diferența fracțiilor.
    f(x+a)−f(x)=a+16x+a−16x\displaystyle f(x+a)-f(x)=a+\frac{16}{x+a}-\frac{16}{x}
  4. Aducem fracțiile la același numitor x(x+a)\displaystyle x(x+a). Numărătorul devine 16x−16(x+a)=−16a\displaystyle 16x-16(x+a)=-16a.
    16x+a−16x=16x−16(x+a)x(x+a)=−16ax(x+a)\displaystyle \frac{16}{x+a}-\frac{16}{x}=\frac{16x-16(x+a)}{x(x+a)}=-\frac{16a}{x(x+a)}
  5. Înmulțim cu 1a\displaystyle \frac{1}{a} și simplificăm factorul a\displaystyle a (avem a>0\displaystyle a>0, deci a≠0\displaystyle a\neq 0).
    1a(f(x+a)−f(x))=1a(a+16x+a−16x)=1−16x(x+a)\displaystyle \frac{1}{a}\left(f(x+a)-f(x)\right)=\frac{1}{a}\left(a+\frac{16}{x+a}-\frac{16}{x}\right)=1-\frac{16}{x(x+a)}
  6. Trecem la limită pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Pentru a\displaystyle a fixat, x(x+a)→+∞\displaystyle x(x+a)\to+\infty, deci 16x(x+a)→0\displaystyle \dfrac{16}{x(x+a)}\to 0. Limita este 1\displaystyle 1, adică nu depinde de a\displaystyle a.
    lim⁡x→+∞(1−16x(x+a))=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{16}{x(x+a)}\right)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x2x−2,x∈(−∞,1)ln⁡x+m,x∈[1,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{x^2}{x-2}, & x\in(-\infty,1)\\ \ln x+m, & x\in[1,+\infty)\end{cases}, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care funcția f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1) funcția este dată de o fracție rațională cu numitorul x−2\displaystyle x-2, care se anulează doar în 2\displaystyle 2, iar 2\displaystyle 2 nu aparține intervalului. Deci f\displaystyle f este continuă pe (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1). Pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) funcția ln⁡x+m\displaystyle \ln x+m este continuă, fiind sumă de funcții continue. Rămâne de studiat continuitatea în punctul x=1\displaystyle x=1.
    f continua˘ pe (−∞,1) și pe (1,+∞)\displaystyle f\text{ continuă pe }(-\infty,1)\text{ și pe }(1,+\infty)
  2. Calculăm limita la stânga în 1\displaystyle 1, înlocuind x=1\displaystyle x=1 în expresia x2x−2\displaystyle \dfrac{x^{2}}{x-2}, care este continuă în 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→1, x<1f(x)=121−2=−1\displaystyle \lim_{x\to1,\,x<1}f(x)=\dfrac{1^{2}}{1-2}=-1
  3. Calculăm limita la dreapta în 1\displaystyle 1 și valoarea funcției în 1\displaystyle 1, folosind ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    lim⁡x→1, x>1f(x)=ln⁡1+m=m\displaystyle \lim_{x\to1,\,x>1}f(x)=\ln 1+m=m,f(1)=ln⁡1+m=m\displaystyle \quad f(1)=\ln 1+m=m
  4. Funcția este continuă în 1\displaystyle 1 dacă limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în 1\displaystyle 1 sunt egale. Din −1=m=m\displaystyle -1=m=m obținem m=−1\displaystyle m=-1.
    m=−1\displaystyle m=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x2x−2,x∈(−∞,1)ln⁡x+m,x∈[1,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{x^2}{x-2}, & x\in(-\infty,1)\\ \ln x+m, & x\in[1,+\infty)\end{cases}, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre −∞\displaystyle -\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty avem x<1\displaystyle x<1, deci f(x)=x2x−2\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}}{x-2}. Asimptota oblică spre −∞\displaystyle -\infty are forma y=ax+b\displaystyle y=ax+b, unde a=lim⁡x→−∞f(x)x\displaystyle a=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}.
    f(x)=x2x−2\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}}{x-2},a=lim⁡x→−∞f(x)x\displaystyle \quad a=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}
  2. Calculăm panta: f(x)x=x2x(x−2)=xx−2\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x^{2}}{x(x-2)}=\dfrac{x}{x-2}. Împărțind numărătorul și numitorul la x\displaystyle x, obținem 11−2x→1\displaystyle \dfrac{1}{1-\frac{2}{x}}\to 1, deci a=1\displaystyle a=1.
    a=lim⁡x→−∞x2x(x−2)=1\displaystyle a=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^{2}}{x(x-2)}=1
  3. Termenul liber este b=lim⁡x→−∞(f(x)−x)\displaystyle b=\lim_{x\to-\infty}(f(x)-x). Aducem la același numitor: x2x−2−x=x2−x(x−2)x−2=2xx−2\displaystyle \dfrac{x^{2}}{x-2}-x=\dfrac{x^{2}-x(x-2)}{x-2}=\dfrac{2x}{x-2}.
    f(x)−x=2xx−2\displaystyle f(x)-x=\dfrac{2x}{x-2}
  4. Calculăm limita: b=lim⁡x→−∞2xx−2=lim⁡x→−∞21−2x=2\displaystyle b=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x}{x-2}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2}{1-\frac{2}{x}}=2. Deci asimptota oblică spre −∞\displaystyle -\infty este y=x+2\displaystyle y=x+2.
    b=2\displaystyle b=2,y=x+2\displaystyle \quad y=x+2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x2x−2,x∈(−∞,1)ln⁡x+m,x∈[1,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{x^2}{x-2}, & x\in(-\infty,1)\\ \ln x+m, & x\in[1,+\infty)\end{cases}, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m≤0\displaystyle m\le 0, demonstrați că funcția f\displaystyle f este surjectivă.
Vezi rezolvarea
  1. Pe ramura din stânga, f(x)=x2x−2\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}}{x-2} este continuă pe (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1), deoarece este o funcție rațională cu numitorul x−2<0\displaystyle x-2<0 pentru x<1\displaystyle x<1, deci nenul.
    f continua˘ pe (−∞,1)\displaystyle f\text{ continuă pe }(-\infty,1)
  2. Calculăm limita la −∞\displaystyle -\infty: lim⁡x→−∞x2x−2=lim⁡x→−∞x1−2x\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^{2}}{x-2}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x}{1-\frac{2}{x}}. Cum x→−∞\displaystyle x\to-\infty și numitorul tinde la 1\displaystyle 1, limita este −∞\displaystyle -\infty.
    lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty
  3. Calculăm f(0)=020−2=0\displaystyle f(0)=\dfrac{0^{2}}{0-2}=0. Funcția este continuă pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0], cu limita −∞\displaystyle -\infty la −∞\displaystyle -\infty și f(0)=0\displaystyle f(0)=0, deci, conform proprietății lui Darboux, ia orice valoare din (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0].
    f(0)=0\displaystyle f(0)=0, (−∞,0]⊂f(R)\displaystyle \ (-\infty,0]\subset f(\mathbb{R})
  4. Pe ramura din dreapta, f(x)=ln⁡x+m\displaystyle f(x)=\ln x+m este continuă pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) și f(1)=ln⁡1+m=m\displaystyle f(1)=\ln 1+m=m. Limita la dreapta în 1\displaystyle 1 este lim⁡x→1, x>1(ln⁡x+m)=m\displaystyle \lim_{x\to1,\,x>1}(\ln x+m)=m.
    lim⁡x→1, x>1f(x)=m\displaystyle \lim_{x\to1,\,x>1}f(x)=m
  5. Calculăm lim⁡x→+∞(ln⁡x+m)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(\ln x+m)=+\infty, deoarece ln⁡x→+∞\displaystyle \ln x\to+\infty, iar m\displaystyle m este constantă.
    lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  6. Funcția ln⁡x+m\displaystyle \ln x+m este continuă pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), are valoarea m\displaystyle m în 1\displaystyle 1 și limita +∞\displaystyle +\infty la +∞\displaystyle +\infty, deci, conform proprietății lui Darboux, ia toate valorile din intervalul (m,+∞)\displaystyle (m,+\infty).
    (m,+∞)⊂f(R)\displaystyle (m,+\infty)\subset f(\mathbb{R})
  7. Cum m≤0\displaystyle m\le0, avem (−∞,0]∪(m,+∞)=R\displaystyle (-\infty,0]\cup(m,+\infty)=\mathbb{R}: dacă y≤0\displaystyle y\le0, atunci y∈(−∞,0]\displaystyle y\in(-\infty,0], iar dacă y>0≥m\displaystyle y>0\ge m, atunci y∈(m,+∞)\displaystyle y\in(m,+\infty). Deci f(R)=R\displaystyle f(\mathbb{R})=\mathbb{R}, adică f\displaystyle f este surjectivă.
    f(R)=R, deci f este surjectiva˘\displaystyle f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\text{, deci }f\text{ este surjectivă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.