Bac matematică M2 științe ale naturii 2015, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Calculați

\displaystyle a_{2015}

, știind că

\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}

este progresie aritmetică cu

\displaystyle a_1 = 2015

și

\displaystyle r = -1

.

Vezi rezolvarea

Scriem formula termenului general al unei progresii aritmetice: $\displaystyle a_n = a_1 + (n-1)\cdot r$ .
$\displaystyle a_n = a_1 + (n-1)\cdot r$
Înlocuim $\displaystyle n=2015$ , $\displaystyle a_1=2015$ și $\displaystyle r=-1$ : $\displaystyle a_{2015} = 2015 + (2015-1)\cdot(-1)$ , adică $\displaystyle a_{2015} = 2015 + 2014\cdot(-1)$ .
$\displaystyle a_{2015} = 2015 + 2014\cdot(-1)$
Calculăm $\displaystyle 2014\cdot(-1) = -2014$ , apoi $\displaystyle a_{2015} = 2015 - 2014$ .
$\displaystyle a_{2015} = 2015 - 2014 = 1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați numărul real

\displaystyle m

, știind că punctul

\displaystyle A(2,-3)

aparține graficului funcției

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-(2m+1)x+3

.

Vezi rezolvarea

Punctul $\displaystyle A(2,-3)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f$ dacă și numai dacă $\displaystyle f(2)=-3$ . Scriem această condiție.
$\displaystyle f(2)=-3$
Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 2$ în expresia funcției: $\displaystyle f(2)=2^{2}-(2m+1)\cdot 2+3$ .
$\displaystyle f(2)=2^{2}-(2m+1)\cdot 2+3$
Efectuăm calculele: $\displaystyle 4-4m-2+3=-4m+5$ . Egalăm cu $\displaystyle -3$ .
$\displaystyle -4m+5=-3$
Rezolvăm ecuația: $\displaystyle -4m=-3-5=-8$ , deci $\displaystyle m=2$ .
$\displaystyle m=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2}

.

Vezi rezolvarea

Punem condițiile de existență ale radicalilor: $\displaystyle x+1\ge 0$ și $\displaystyle x-1\ge 0$ . Rezultă $\displaystyle x\ge 1$ .
$\displaystyle x\in[1,+\infty)$
Ambii membri ai ecuației sunt pozitivi sau nuli pe domeniu, deci putem ridica ecuația la pătrat. Folosim formula $\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ cu $\displaystyle a=\sqrt{x+1}$ și $\displaystyle b=\sqrt{x-1}$ .
$\displaystyle x+1-2\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x-1}+x-1=2$
Reducem termenii asemenea și folosim $\displaystyle \sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-1}$ . Obținem $\displaystyle 2x-2\sqrt{x^2-1}=2$ . Împărțim la 2 și izolăm radicalul.
$\displaystyle x-1=\sqrt{x^{2}-1}$
Membrul stâng $\displaystyle x-1$ este pozitiv sau nul pe domeniu, deci putem ridica din nou la pătrat. Obținem $\displaystyle (x-1)^2=x^2-1$ .
$\displaystyle x^{2}-2x+1=x^{2}-1$
Termenii $\displaystyle x^2$ se reduc. Rămâne $\displaystyle -2x+1=-1$ , adică $\displaystyle -2x=-2$ , deci $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle x=1$
Verificăm soluția, deoarece am ridicat la pătrat. Valoarea $\displaystyle x=1$ este în domeniu. Înlocuind, $\displaystyle \sqrt{2}-\sqrt{0}=\sqrt{2}$ , deci egalitatea este adevărată. Soluția convine.
$\displaystyle x=1\text{, care verifică ecuația}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând una dintre submulțimile cu 2 elemente ale mulțimii

\displaystyle \{1,2,3,\ldots,9\}

, aceasta să fie formată doar din pătrate perfecte.

Vezi rezolvarea

Folosim definiția clasică a probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$ . Cazurile posibile sunt submulțimile cu 2 elemente ale mulțimii cu 9 elemente, iar cele favorabile sunt submulțimile cu 2 elemente formate doar din pătrate perfecte.
$\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$
Determinăm pătratele perfecte din mulțime: $\displaystyle 1=1^{2}$ , $\displaystyle 4=2^{2}$ și $\displaystyle 9=3^{2}$ . Sunt 3 pătrate perfecte.
$\displaystyle \{1,4,9\}$
Numărul cazurilor favorabile este numărul submulțimilor cu 2 elemente ale mulțimii $\displaystyle \{1,4,9\}$ , adică $\displaystyle C_3^2=\dfrac{3!}{2!\cdot 1!}=3$ .
$\displaystyle C_3^2=3$
Numărul cazurilor posibile este numărul submulțimilor cu 2 elemente ale unei mulțimi cu 9 elemente: $\displaystyle C_9^2=\dfrac{9\cdot 8}{2}=36$ .
$\displaystyle C_9^2=36$
Calculăm probabilitatea: $\displaystyle p=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$ , simplificând fracția prin 3.
$\displaystyle p=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(5,-2)

și

\displaystyle C(1,2)

. Determinați coordonatele punctului

\displaystyle B

, știind că patrulaterul

\displaystyle OABC

este paralelogram.

Vezi rezolvarea

În paralelogramul $\displaystyle OABC$ vârfurile se succed în ordinea $\displaystyle O, A, B, C$ , deci diagonalele sunt $\displaystyle OB$ și $\displaystyle AC$ . Diagonalele unui paralelogram au același mijloc, deci mijlocul lui $\displaystyle OB$ coincide cu mijlocul lui $\displaystyle AC$ .
$\displaystyle \dfrac{x_O+x_B}{2}=\dfrac{x_A+x_C}{2}$ , $\displaystyle \quad \dfrac{y_O+y_B}{2}=\dfrac{y_A+y_C}{2}$
Scriem egalitatea pentru abscise, cu $\displaystyle O(0,0)$ , $\displaystyle A(5,-2)$ și $\displaystyle C(1,2)$ : $\displaystyle x_A+x_C=x_O+x_B$ . Înlocuim și obținem $\displaystyle x_B=5+1-0=6$ .
$\displaystyle x_A+x_C=x_O+x_B \Rightarrow 5+1=0+x_B \Rightarrow x_B=6$
Scriem egalitatea pentru ordonate: $\displaystyle y_A+y_C=y_O+y_B$ . Înlocuim: $\displaystyle -2+2=0+y_B$ , deci $\displaystyle y_B=0$ . Prin urmare $\displaystyle B(6,0)$ .
$\displaystyle y_A+y_C=y_O+y_B \Rightarrow -2+2=0+y_B \Rightarrow y_B=0$ , $\displaystyle \quad B(6,0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră dreptunghiul

\displaystyle ABCD

cu

\displaystyle AB=3\sqrt{3}

și

\displaystyle BD=6

. Calculați aria triunghiului

\displaystyle ABC

.

Vezi rezolvarea

Dreptunghiul are un unghi drept în $\displaystyle A$ , deci în triunghiul dreptunghic $\displaystyle ABD$ aplicăm teorema lui Pitagora: $\displaystyle BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}$ .
$\displaystyle BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}$
Înlocuim $\displaystyle AB=3\sqrt{3}$ și $\displaystyle BD=6$ : $\displaystyle 6^{2}=\left(3\sqrt{3}\right)^{2}+AD^{2}$ , adică $\displaystyle 36=27+AD^{2}$ .
$\displaystyle 36=27+AD^{2}$
Rezultă $\displaystyle AD^{2}=36-27=9$ , iar cum $\displaystyle AD>0$ , obținem $\displaystyle AD=3$ .
$\displaystyle AD=3$
Triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle B$ , cu catetele $\displaystyle AB=3\sqrt{3}$ și $\displaystyle BC=AD=3$ (laturi opuse în dreptunghi).
$\displaystyle AB=3\sqrt{3}$ , $\displaystyle \ BC=3$
Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor: $\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot BC}{2}=\dfrac{3\cdot 3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$ .
$\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{3\cdot 3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră determinantul

\displaystyle D(x)=\begin{vmatrix}1 & x & 4\\ 2 & x-1 & 7-x\\ 1 & -2 & x^2\end{vmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Calculați

\displaystyle D(1)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=1$ în fiecare element: $\displaystyle x-1=0$ , $\displaystyle 7-x=6$ , $\displaystyle x^{2}=1$ . Obținem determinantul de ordin 3 de mai jos.
$\displaystyle D(1)=\begin{vmatrix}1 & 1 & 4\\ 2 & 0 & 6\\ 1 & -2 & 1\end{vmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
$\displaystyle D(1)=1\cdot 0\cdot 1+1\cdot 6\cdot 1+4\cdot 2\cdot(-2)-4\cdot 0\cdot 1-1\cdot 2\cdot 1-1\cdot 6\cdot(-2)$
Calculăm fiecare produs: $\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1=0$ , $\displaystyle 1\cdot 6\cdot 1=6$ , $\displaystyle 4\cdot 2\cdot(-2)=-16$ , $\displaystyle 4\cdot 0\cdot 1=0$ , $\displaystyle 1\cdot 2\cdot 1=2$ , $\displaystyle 1\cdot 6\cdot(-2)=-12$ . Cu semnele din formulă obținem suma de mai jos.
$\displaystyle D(1)=0-16+6-0-2+12$
Adunăm termenii: $\displaystyle -16+6=-10$ , $\displaystyle -10-2=-12$ , $\displaystyle -12+12=0$ . Deci determinantul este egal cu 0.
$\displaystyle D(1)=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră determinantul

\displaystyle D(x)=\begin{vmatrix}1 & x & 4\\ 2 & x-1 & 7-x\\ 1 & -2 & x^2\end{vmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle D(x)=-(x-1)(x+1)(x+2)

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Creăm zerouri în prima coloană: facem operațiile $\displaystyle L_2\to L_2-2L_1$ și $\displaystyle L_3\to L_3-L_1$ . Valoarea determinantului nu se schimbă. Pe linia a doua: $\displaystyle x-1-2x=-x-1$ și $\displaystyle 7-x-8=-x-1$ . Pe linia a treia: $\displaystyle -2-x$ și $\displaystyle x^2-4$ .
$\displaystyle D(x)=\begin{vmatrix}1 & x & 4\\ 0 & -(x+1) & -(x+1)\\ 0 & -(x+2) & x^2-4\end{vmatrix}$
Descompunem $\displaystyle x^2-4=(x-2)(x+2)$ . Scoatem factorul $\displaystyle -(x+1)$ de pe linia a doua și factorul $\displaystyle (x+2)$ de pe linia a treia. Rămân liniile $\displaystyle (0,\,1,\,1)$ și $\displaystyle (0,\,-1,\,x-2)$ .
$\displaystyle D(x)=-(x+1)(x+2)\begin{vmatrix}1 & x & 4\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & -1 & x-2\end{vmatrix}$
Dezvoltăm determinantul de ordin 3 după prima coloană: singurul element nenul este $\displaystyle 1$ din colțul stânga sus, deci rămâne minorul de ordin 2. Calculăm minorul: $\displaystyle 1\cdot(x-2)-1\cdot(-1)=x-2+1=x-1$ .
$\displaystyle \begin{vmatrix}1 & x & 4\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & -1 & x-2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 1\\ -1 & x-2\end{vmatrix}=x-1$
Înlocuim valoarea minorului în expresia lui $\displaystyle D(x)$ : $\displaystyle D(x)=-(x+1)(x+2)\cdot(x-1)$ , adică forma cerută, pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle D(x)=-(x-1)(x+1)(x+2)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră determinantul

\displaystyle D(x)=\begin{vmatrix}1 & x & 4\\ 2 & x-1 & 7-x\\ 1 & -2 & x^2\end{vmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle D(2^x-3)=0

.

Vezi rezolvarea

Calculăm determinantul prin dezvoltare după prima linie: $\displaystyle D(x)=\left[(x-1)x^{2}+2(7-x)\right]-x\left[2x^{2}+x-7\right]+4(-3-x)$ . Adunând termenii, obținem polinomul de mai jos.
$\displaystyle D(x)=-x^{3}-2x^{2}+x+2$
Grupăm termenii: $\displaystyle D(x)=-\left[x^{2}(x+2)-(x+2)\right]=-(x+2)(x^{2}-1)$ . Descompunem $\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ .
$\displaystyle D(x)=-(x+2)(x-1)(x+1)$
Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 2^{x}-3$ : $\displaystyle x+2=2^{x}-1$ , $\displaystyle x-1=2^{x}-4$ , $\displaystyle x+1=2^{x}-2$ . Ecuația $\displaystyle D(2^{x}-3)=0$ devine $\displaystyle -(2^{x}-1)(2^{x}-4)(2^{x}-2)=0$ , adică echivalent cu ecuația de mai jos.
$\displaystyle (2^{x}-4)(2^{x}-2)(2^{x}-1)=0$
Produsul este nul când un factor este nul. Din $\displaystyle 2^{x}=4=2^{2}$ obținem $\displaystyle x=2$ . Din $\displaystyle 2^{x}=2=2^{1}$ obținem $\displaystyle x=1$ . Din $\displaystyle 2^{x}=1=2^{0}$ obținem $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle 2^{x}=4\Rightarrow x=2$ , $\displaystyle \quad 2^{x}=2\Rightarrow x=1$ , $\displaystyle \quad 2^{x}=1\Rightarrow x=0$
Funcția $\displaystyle 2^{x}$ este definită pentru orice $\displaystyle x$ real, deci nu apar restricții și toate cele trei valori convin. Mulțimea soluțiilor este $\displaystyle \{0,1,2\}$ .
$\displaystyle x_1=0$ , $\displaystyle \ x_2=1\text{ și }x_3=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}1+3a & -6a\\ a & 1-2a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle X(-1)+X(1)=2X(0)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=-1$ în matricea $\displaystyle X(a)$ . Elementele devin: $\displaystyle 1+3\cdot(-1)=-2$ , $\displaystyle -6\cdot(-1)=6$ , $\displaystyle a=-1$ și $\displaystyle 1-2\cdot(-1)=3$ .
$\displaystyle X(-1)=\begin{pmatrix}-2 & 6\\ -1 & 3\end{pmatrix}$
Înlocuim $\displaystyle a=1$ în matricea $\displaystyle X(a)$ . Elementele devin: $\displaystyle 1+3\cdot 1=4$ , $\displaystyle -6\cdot 1=-6$ , $\displaystyle a=1$ și $\displaystyle 1-2\cdot 1=-1$ .
$\displaystyle X(1)=\begin{pmatrix}4 & -6\\ 1 & -1\end{pmatrix}$
Înlocuim $\displaystyle a=0$ în matricea $\displaystyle X(a)$ . Elementele devin $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 0$ , $\displaystyle 0$ , $\displaystyle 1$ , deci obținem matricea unitate.
$\displaystyle X(0)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$
Adunăm matricele $\displaystyle X(-1)$ și $\displaystyle X(1)$ , element cu element: $\displaystyle -2+4=2$ , $\displaystyle 6+(-6)=0$ , $\displaystyle -1+1=0$ , $\displaystyle 3+(-1)=2$ .
$\displaystyle X(-1)+X(1)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}$
Matricea obținută este chiar $\displaystyle 2$ înmulțit cu matricea unitate, adică $\displaystyle 2X(0)$ . Deci egalitatea este adevărată.
$\displaystyle X(-1)+X(1)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}=2X(0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}1+3a & -6a\\ a & 1-2a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle X(a)\cdot X(b)=X(a+b+ab)

, pentru orice numere reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}1+3a & -6a\\ a & 1-2a\end{pmatrix}$ și $\displaystyle X(b)=\begin{pmatrix}1+3b & -6b\\ b & 1-2b\end{pmatrix}$ . Aplicăm regula de înmulțire linie pe coloană: fiecare element al produsului se obține înmulțind o linie din prima matrice cu o coloană din a doua.
$\displaystyle X(a)\cdot X(b)=\begin{pmatrix}(1+3a)(1+3b)+(-6a)b & (1+3a)(-6b)+(-6a)(1-2b)\\ a(1+3b)+(1-2a)b & a(-6b)+(1-2a)(1-2b)\end{pmatrix}$
Elementul de pe linia 1, coloana 1 este $\displaystyle (1+3a)(1+3b)-6ab$ . Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: $\displaystyle 9ab-6ab=3ab$ .
$\displaystyle 1+3a+3b+9ab-6ab=1+3a+3b+3ab$
Elementul de pe linia 1, coloana 2 este $\displaystyle (1+3a)(-6b)+(-6a)(1-2b)$ . Desfacem parantezele și reducem: $\displaystyle -18ab+12ab=-6ab$ .
$\displaystyle -6b-18ab-6a+12ab=-6a-6b-6ab$
Elementul de pe linia 2, coloana 1 este $\displaystyle a(1+3b)+(1-2a)b$ . Desfacem parantezele și reducem: $\displaystyle 3ab-2ab=ab$ .
$\displaystyle a+3ab+b-2ab=a+b+ab$
Elementul de pe linia 2, coloana 2 este $\displaystyle a(-6b)+(1-2a)(1-2b)$ . Desfacem parantezele și reducem: $\displaystyle -6ab+4ab=-2ab$ .
$\displaystyle -6ab+1-2a-2b+4ab=1-2a-2b-2ab$
Așezăm cele patru elemente calculate în matricea produs.
$\displaystyle X(a)\cdot X(b)=\begin{pmatrix}1+3a+3b+3ab & -6a-6b-6ab\\ a+b+ab & 1-2a-2b-2ab\end{pmatrix}$
Dăm factor comun $\displaystyle a+b+ab$ în fiecare element: $\displaystyle 3a+3b+3ab=3(a+b+ab)$ , $\displaystyle -6a-6b-6ab=-6(a+b+ab)$ , $\displaystyle -2a-2b-2ab=-2(a+b+ab)$ . Recunoaștem forma matricei $\displaystyle X$ cu parametrul $\displaystyle a+b+ab$ . Deci egalitatea este demonstrată pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}1+3(a+b+ab) & -6(a+b+ab)\\ a+b+ab & 1-2(a+b+ab)\end{pmatrix}=X(a+b+ab)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}1+3a & -6a\\ a & 1-2a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați valorile reale ale lui

\displaystyle a

pentru care matricea

\displaystyle X(a)

este inversabilă.

Vezi rezolvarea

O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul. Deci trebuie să calculăm $\displaystyle \det(X(a))$ și să vedem când este diferit de zero.
$\displaystyle X(a)\text{ inversabilă }\Leftrightarrow \det(X(a))\neq 0$
Scriem determinantul de ordin 2 ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: $\displaystyle \det(X(a))=(1+3a)(1-2a)-(-6a)\cdot a$ .
$\displaystyle \det(X(a))=(1+3a)(1-2a)-(-6a)\cdot a$
Efectuăm înmulțirile: $\displaystyle (1+3a)(1-2a)=1-2a+3a-6a^{2}$ , iar $\displaystyle -(-6a)\cdot a=6a^{2}$ . Termenii în $\displaystyle a^{2}$ se reduc, iar $\displaystyle -2a+3a=a$ .
$\displaystyle \det(X(a))=1-2a+3a-6a^{2}+6a^{2}=1+a$
Aflăm când determinantul este zero, adică valoarea lui $\displaystyle a$ pentru care matricea nu este inversabilă: $\displaystyle 1+a=0$ dă $\displaystyle a=-1$ .
$\displaystyle \det(X(a))=0\Leftrightarrow 1+a=0\Leftrightarrow a=-1$
Matricea este inversabilă exact atunci când determinantul este nenul, adică pentru orice $\displaystyle a$ real diferit de $\displaystyle -1$ .
$\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x-1}

.

Arătați că dreapta de ecuație

\displaystyle x=1

este asimptotă verticală la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Funcția este definită pe $\displaystyle (1,+\infty)$ , deci în $\displaystyle x=1$ putem studia doar limita laterală la dreapta. Scriem această limită: $\displaystyle \lim_{\substack{x\to 1\\ x>1}} f(x)$ .
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to 1\\ x>1}} f(x)=\lim_{\substack{x\to 1\\ x>1}}\frac{x^2}{x-1}$
Studiem numărătorul: când $\displaystyle x\to 1$ , avem $\displaystyle x^2\to 1$ , deci numărătorul tinde la o constantă pozitivă.
$\displaystyle \lim_{x\to 1}x^2=1>0$
Studiem numitorul: pentru $\displaystyle x>1$ avem $\displaystyle x-1>0$ și $\displaystyle x-1\to 0$ , deci numitorul tinde la $\displaystyle 0$ prin valori pozitive.
$\displaystyle x-1\to 0^{+}$
Un raport de forma $\displaystyle \dfrac{1}{0^{+}}$ tinde la $\displaystyle +\infty$ . Limita laterală la dreapta în $\displaystyle x=1$ este infinită, deci dreapta $\displaystyle x=1$ este asimptotă verticală la graficul funcției $\displaystyle f$ .
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to 1\\ x>1}}\frac{x^2}{x-1}=+\infty\text{, deci dreapta de ecuație }x=1\text{ este asimptotă verticală }$ $\displaystyle \text{la graficul funcției }f$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x-1}

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-4}{x-2}

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle f(2)=\dfrac{2^{2}}{2-1}=4$ , deci limita are forma $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ . Înlocuim $\displaystyle f(x)$ cu expresia sa: $\displaystyle \dfrac{f(x)-4}{x-2}=\dfrac{\frac{x^{2}}{x-1}-4}{x-2}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{\frac{x^{2}}{x-1}-4}{x-2}$
Aducem numărătorul la același numitor: $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{x-1}-4=\dfrac{x^{2}-4(x-1)}{x-1}=\dfrac{x^{2}-4x+4}{x-1}$ . Împărțind la $\displaystyle x-2$ , obținem un singur raport.
$\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-4}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4x+4}{(x-1)(x-2)}$
Numărătorul este pătrat perfect: $\displaystyle x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)^{2}}{(x-1)(x-2)}$
Simplificăm cu $\displaystyle x-2\neq 0$ (pentru $\displaystyle x\to 2$ , $\displaystyle x\neq 2$ ) și obținem $\displaystyle \dfrac{x-2}{x-1}$ . Apoi înlocuim $\displaystyle x=2$ : $\displaystyle \dfrac{2-2}{2-1}=\dfrac{0}{1}=0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x-2}{x-1}=\frac{0}{1}=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x-1}

.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Asimptota oblică spre $\displaystyle +\infty$ are ecuația $\displaystyle y=mx+n$ , unde $\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ și $\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)$ .
$\displaystyle y=mx+n$ , $\displaystyle \ m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$ , $\displaystyle \ n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)$
Calculăm panta $\displaystyle m$ . Avem $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x^{2}}{x(x-1)}=\dfrac{x}{x-1}$ . Cum numărătorul și numitorul au același grad, limita este raportul coeficienților dominanți: $\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x-1}=1$ .
$\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x-1}=1$
Calculăm termenul liber $\displaystyle n$ . Cu $\displaystyle m=1$ avem $\displaystyle f(x)-x=\dfrac{x^{2}}{x-1}-x=\dfrac{x^{2}-x(x-1)}{x-1}$ .
$\displaystyle f(x)-x=\frac{x^{2}-x(x-1)}{x-1}$
Desfacem parantezele la numărător: $\displaystyle x^{2}-x^{2}+x=x$ . Rămâne $\displaystyle f(x)-x=\dfrac{x}{x-1}$ .
$\displaystyle f(x)-x=\frac{x}{x-1}$
Trecem la limită: $\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x-1}=1$ . Deci dreapta $\displaystyle y=x+1$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$ .
$\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=1\text{, deci }y=x+1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}e^{x+1}-3, & x\leq -1\\ 2x^3+(a-3)x-4, & x>-1\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care funcția

\displaystyle f

este continuă în

\displaystyle x=-1

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=-1$ dacă limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în $\displaystyle -1$ sunt egale.
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to -1\\ x<-1}}f(x)=\lim_{\substack{x\to -1\\ x>-1}}f(x)=f(-1)$
Pentru $\displaystyle x\leq -1$ avem $\displaystyle f(x)=e^{x+1}-3$ . Calculăm $\displaystyle f(-1)=e^{0}-3$ , care coincide cu limita la stânga, deoarece expresia este continuă.
$\displaystyle f(-1)=\lim_{\substack{x\to -1\\ x<-1}}f(x)=e^{0}-3=-2$
Pentru $\displaystyle x>-1$ avem $\displaystyle f(x)=2x^3+(a-3)x-4$ , o funcție polinomială, deci limita la dreapta se obține înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -1$ .
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to -1\\ x>-1}}f(x)=2\cdot(-1)^3+(a-3)\cdot(-1)-4=-2-a+3-4$
Egalăm limita la stânga cu limita la dreapta: $\displaystyle -2=-2-a+3-4$ . Reducem termenii asemenea din membrul drept.
$\displaystyle -2=-a-3$
Rezolvăm ecuația: $\displaystyle a=-3+2=-1$ . Verificare: pentru $\displaystyle a=-1$ , limita la dreapta este $\displaystyle 2(-1)^3+(-1-3)(-1)-4=-2+4-4=-2$ , deci egală cu $\displaystyle f(-1)$ .
$\displaystyle a=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}e^{x+1}-3, & x\leq -1\\ 2x^3+(a-3)x-4, & x>-1\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle f(x)+2\leq 0

, pentru orice

\displaystyle x\leq -1

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle x\leq -1$ funcția este dată de prima formulă, $\displaystyle f(x)=e^{x+1}-3$ . Deci inegalitatea de demonstrat devine $\displaystyle e^{x+1}-3+2\leq 0$ , adică $\displaystyle e^{x+1}\leq 1$ .
$\displaystyle f(x)+2=e^{x+1}-1$
Din $\displaystyle x\leq -1$ , adunând $\displaystyle 1$ în ambii membri, obținem $\displaystyle x+1\leq 0$ . Funcția exponențială cu baza $\displaystyle e>1$ este crescătoare, deci păstrează sensul inegalității: $\displaystyle e^{x+1}\leq e^{0}$ .
$\displaystyle x\leq -1\Rightarrow x+1\leq 0\Rightarrow e^{x+1}\leq e^{0}$
Cum $\displaystyle e^{0}=1$ , avem $\displaystyle e^{x+1}\leq 1$ . Scădem $\displaystyle 3$ din ambii membri și obținem $\displaystyle f(x)\leq -2$ .
$\displaystyle e^{x+1}-3\leq 1-3=-2$
Adunăm $\displaystyle 2$ în ambii membri: $\displaystyle f(x)+2\leq 0$ , pentru orice $\displaystyle x\leq -1$ , ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle e^{x+1}-3\leq 1-3\Rightarrow f(x)\leq -2\Rightarrow f(x)+2\leq 0\text{, pentru orice }x\leq -1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}e^{x+1}-3, & x\leq -1\\ 2x^3+(a-3)x-4, & x>-1\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Pentru

\displaystyle a=-1

, arătați că ecuația

\displaystyle f(x)=0

are cel puțin o soluție în intervalul

\displaystyle [0,2]

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle a=-1$ și $\displaystyle x>-1$ , înlocuim $\displaystyle a$ în a doua ramură: $\displaystyle (a-3)=-4$ . Intervalul $\displaystyle [0,2]$ este inclus în $\displaystyle (-1,\infty)$ , deci pe $\displaystyle [0,2]$ avem $\displaystyle f(x)=2x^{3}-4x-4$ .
$\displaystyle f(x)=2x^{3}-4x-4$ , $\displaystyle \ x\in[0,2]$
Pe $\displaystyle [0,2]$ funcția $\displaystyle f$ este polinomială, deci continuă. Calculăm $\displaystyle f(0)=2\cdot 0^{3}-4\cdot 0-4=-4$ și $\displaystyle f(2)=2\cdot 8-8-4=16-12=4$ .
$\displaystyle f(0)=-4\text{ și }f(2)=4$
Avem $\displaystyle f(0)\cdot f(2)=-4\cdot 4=-16<0$ . Cum $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle [0,2]$ , din proprietatea lui Darboux există $\displaystyle c\in(0,2)$ cu $\displaystyle f(c)=0$ .
$\displaystyle f(0)\cdot f(2)<0\text{, deci ecuația }f(x)=0\text{ are cel puțin o soluție }$ $\displaystyle \text{în intervalul }[0,2]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2015, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani