Bac matematică M2 științe ale naturii 2016, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați rația progresiei aritmetice

\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}

, știind că

\displaystyle 2a_{10}=a_5+a_6+36

.

Vezi rezolvarea

Exprimăm termenii progresiei aritmetice cu ajutorul primului termen și al rației, folosind formula $\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r$ . Obținem $\displaystyle a_{10}=a_1+9r$ , $\displaystyle a_5=a_1+4r$ și $\displaystyle a_6=a_1+5r$ .
$\displaystyle a_{10}=a_1+9r$ , $\displaystyle \quad a_5=a_1+4r$ , $\displaystyle \quad a_6=a_1+5r$
Înlocuim acești termeni în relația dată, $\displaystyle 2a_{10}=a_5+a_6+36$ .
$\displaystyle 2(a_1+9r)=a_1+4r+a_1+5r+36$
Desfacem parantezele și reducem termenii: în stânga avem $\displaystyle 2a_1+18r$ , în dreapta $\displaystyle 2a_1+9r+36$ . Termenii $\displaystyle 2a_1$ se reduc, deci $\displaystyle 18r=9r+36$ , adică $\displaystyle 9r=36$ .
$\displaystyle 2a_1+18r=2a_1+9r+36\Leftrightarrow 9r=36$
Împărțim ecuația $\displaystyle 9r=36$ la $\displaystyle 9$ și obținem rația progresiei.
$\displaystyle r=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+3x-1

cu dreapta de ecuație

\displaystyle y=x-1

.

Vezi rezolvarea

Abscisele punctelor de intersecție sunt soluțiile ecuației $\displaystyle f(x)=x-1$ , deci egalăm expresia funcției cu cea a dreptei: $\displaystyle x^{2}+3x-1=x-1$ .
$\displaystyle x^{2}+3x-1=x-1$
Mutăm toți termenii în membrul stâng și reducem termenii asemenea: $\displaystyle x^{2}+3x-x-1+1=0$ , adică $\displaystyle x^{2}+2x=0$ .
$\displaystyle x^{2}+2x=0$
Dăm $\displaystyle x$ factor comun: $\displaystyle x(x+2)=0$ . Un produs este nul când cel puțin un factor este nul, deci $\displaystyle x=0$ sau $\displaystyle x+2=0$ .
$\displaystyle x(x+2)=0$
Rezolvând cele două ecuații obținem abscisele punctelor de intersecție: $\displaystyle x=-2$ și $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle x=-2\text{ sau }x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \log_2\frac{x-1}{x+1}+\log_2\left(x^2-1\right)=4

.

Vezi rezolvarea

Punem condițiile de existență: argumentele logaritmilor trebuie să fie strict pozitive. Fracția $\displaystyle \dfrac{x-1}{x+1}$ este pozitivă pentru $\displaystyle x<-1\text{ sau }x>1$ , iar $\displaystyle x^{2}-1>0$ pentru aceleași valori. Deci $\displaystyle x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ .
$\displaystyle x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$
Folosim formula $\displaystyle \log_2 a+\log_2 b=\log_2(ab)$ . Ecuația devine un singur logaritm egal cu $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle \log_2\left[\frac{x-1}{x+1}\cdot\left(x^{2}-1\right)\right]=4$
Descompunem $\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ și simplificăm cu $\displaystyle x+1$ , care este nenul în domeniu. Rămâne $\displaystyle \log_2(x-1)^{2}=4$ , deci $\displaystyle (x-1)^{2}=2^{4}=16$ .
$\displaystyle \log_2\frac{(x-1)(x^{2}-1)}{x+1}=4\Rightarrow (x-1)^{2}=16$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle (x-1)^{2}=16$ : $\displaystyle x-1=4$ sau $\displaystyle x-1=-4$ , deci $\displaystyle x=5$ sau $\displaystyle x=-3$ .
$\displaystyle x=5\text{ sau }x=-3$
Verificăm soluțiile în condițiile de existență: $\displaystyle 5>1$ și $\displaystyle -3<-1$ , deci ambele convin. Verificare directă pentru $\displaystyle x=-3$ : $\displaystyle \log_2 2+\log_2 8=1+3=4$ . Pentru $\displaystyle x=5$ : $\displaystyle \dfrac{2}{3}\cdot 24=16$ , iar $\displaystyle \log_2 16=4$ .
$\displaystyle x=-3\text{ sau }x=5\text{, care verifică ecuația}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor divizibil cu

\displaystyle 10

.

Vezi rezolvarea

Numerele naturale de două cifre sunt cele de la $\displaystyle 10$ la $\displaystyle 99$ , deci numărul cazurilor posibile este $\displaystyle 99-10+1=90$ .
$\displaystyle 90$
Notăm numărul cu $\displaystyle \overline{ab}$ , cu $\displaystyle a\in\{1,\ldots,9\}$ și $\displaystyle b\in\{0,\ldots,9\}$ . Produsul $\displaystyle a\cdot b$ este divizibil cu $\displaystyle 10$ fie când este $\displaystyle 0$ , fie când conține factorii $\displaystyle 2$ și $\displaystyle 5$ . Cum $\displaystyle 10=2\cdot 5$ , tratăm separat cele două situații.
$\displaystyle 10 = 2\cdot 5$
Cazul 1: ultima cifră este $\displaystyle 0$ , deci produsul cifrelor este $\displaystyle 0$ , care se împarte la $\displaystyle 10$ . Numerele sunt $\displaystyle 10, 20, \ldots, 90$ , adică $\displaystyle 9$ numere.
$\displaystyle 9$
Cazul 2: ambele cifre sunt nenule. Produsul trebuie să fie multiplu de $\displaystyle 5$ , deci una dintre cifre este $\displaystyle 5$ . Pentru factorul $\displaystyle 2$ , cealaltă cifră trebuie să fie pară nenulă: $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 6$ sau $\displaystyle 8$ (numărul $\displaystyle 55$ nu convine, deoarece $\displaystyle 5\cdot 5=25$ ). Dacă prima cifră este $\displaystyle 5$ , obținem $\displaystyle 52, 54, 56, 58$ , adică $\displaystyle 4$ numere. Dacă a doua cifră este $\displaystyle 5$ , obținem $\displaystyle 25, 45, 65, 85$ , adică încă $\displaystyle 4$ numere.
$\displaystyle 4+4=8$
Adunăm numerele din cele două cazuri și obținem numărul cazurilor favorabile: $\displaystyle 9+4+4=17$ .
$\displaystyle 9+4+4=17$
Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și al celor posibile: $\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{17}{90}$ .
$\displaystyle p=\frac{17}{90}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(1,1)

,

\displaystyle B(1,4)

și

\displaystyle C(5,1)

. Determinați coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului

\displaystyle ABC

.

Vezi rezolvarea

Punctele $\displaystyle A(1,1)$ și $\displaystyle B(1,4)$ au aceeași abscisă, $\displaystyle x=1$ , deci dreapta $\displaystyle AB$ este verticală, adică paralelă cu axa $\displaystyle Oy$ .
$\displaystyle AB\parallel Oy$
Punctele $\displaystyle A(1,1)$ și $\displaystyle C(5,1)$ au aceeași ordonată, $\displaystyle y=1$ , deci dreapta $\displaystyle AC$ este orizontală, adică paralelă cu axa $\displaystyle Ox$ .
$\displaystyle AC\parallel Ox$
Axele $\displaystyle Ox$ și $\displaystyle Oy$ sunt perpendiculare, deci $\displaystyle AB\perp AC$ . Rezultă că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle A$ , iar ipotenuza este $\displaystyle BC$ .
$\displaystyle AB\parallel Oy$ , $\displaystyle \ AC\parallel Ox\Rightarrow \triangle ABC\text{ dreptunghic în }A$
Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei. Deci centrul $\displaystyle O'$ este mijlocul segmentului $\displaystyle BC$ , cu $\displaystyle B(1,4)$ și $\displaystyle C(5,1)$ .
$\displaystyle O'=\text{mijlocul lui }BC$
Calculăm coordonatele mijlocului ca medii aritmetice ale coordonatelor capetelor: $\displaystyle x=\dfrac{1+5}{2}=3$ și $\displaystyle y=\dfrac{4+1}{2}=\dfrac{5}{2}$ . Deci centrul cercului circumscris este $\displaystyle O'\left(3,\dfrac{5}{2}\right)$ .
$\displaystyle \left(3,\frac{5}{2}\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \frac{1+\cos 2x}{1-\cos 2x}=\mathrm{ctg}^2 x

, pentru orice

\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula unghiului dublu $\displaystyle \cos 2x=2\cos^{2}x-1$ . Atunci numărătorul este $\displaystyle 1+\cos 2x=1+2\cos^{2}x-1$ .
$\displaystyle 1+\cos 2x=2\cos^{2}x$
Pentru numitor folosim forma $\displaystyle \cos 2x=1-2\sin^{2}x$ . Atunci $\displaystyle 1-\cos 2x=1-\left(1-2\sin^{2}x\right)$ .
$\displaystyle 1-\cos 2x=2\sin^{2}x$
Înlocuim în fracție. Pentru $\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ avem $\displaystyle \sin x\neq 0$ , deci numitorul nu se anulează și putem simplifica cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \frac{1+\cos 2x}{1-\cos 2x}=\frac{2\cos^{2}x}{2\sin^{2}x}=\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}$
Deoarece $\displaystyle \dfrac{\cos x}{\sin x}=\mathrm{ctg}\,x$ , obținem $\displaystyle \dfrac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}=\mathrm{ctg}^{2}x$ , pentru orice $\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ . Egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle \frac{1+\cos 2x}{1-\cos 2x}=\frac{2\cos^{2}x}{2\sin^{2}x}=\mathrm{ctg}^{2}x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&1\\x&2x-1&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Calculați

\displaystyle \det(M(0))

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=0$ în matricea $\displaystyle M(x)$ . Elementele ultimei linii devin $\displaystyle 0$ , $\displaystyle 2\cdot 0-1=-1$ și $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle M(0)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&1\\0&-1&1\end{pmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus. Adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea: $\displaystyle 1\cdot 3\cdot 1$ , $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 0$ și $\displaystyle 1\cdot 2\cdot(-1)$ . Apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: $\displaystyle 1\cdot 3\cdot 0$ , $\displaystyle 1\cdot 1\cdot(-1)$ și $\displaystyle 1\cdot 2\cdot 1$ .
$\displaystyle \det(M(0))=3+(-2)+0-0-(-1)-2$
Efectuăm calculele: $\displaystyle 3-2+0-0+1-2=0$ .
$\displaystyle \det(M(0))=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&1\\x&2x-1&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Demonstrați că

\displaystyle 2M(x)-M(-x)=M(3x)

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Avem $\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&1\\x&2x-1&1\end{pmatrix}$ . Înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -x$ , obținem $\displaystyle M(-x)$ , în care $\displaystyle 2x-1$ devine $\displaystyle 2(-x)-1=-2x-1$ .
$\displaystyle M(-x)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&1\\-x&-2x-1&1\end{pmatrix}$
Înmulțim fiecare element al lui $\displaystyle M(x)$ cu $\displaystyle 2$ . Elementul $\displaystyle 2x-1$ devine $\displaystyle 2(2x-1)=4x-2$ .
$\displaystyle 2M(x)=\begin{pmatrix}2&2&2\\4&6&2\\2x&4x-2&2\end{pmatrix}$
Scriem diferența $\displaystyle 2M(x)-M(-x)$ folosind matricele obținute mai sus.
$\displaystyle 2M(x)-M(-x)=\begin{pmatrix}2&2&2\\4&6&2\\2x&4x-2&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&1\\-x&-2x-1&1\end{pmatrix}$
Scădem element cu element. Pe prima linie $\displaystyle 2-1=1$ . Pe a doua linie $\displaystyle 4-2=2$ , $\displaystyle 6-3=3$ , $\displaystyle 2-1=1$ . Pe a treia linie $\displaystyle 2x-(-x)=3x$ , $\displaystyle (4x-2)-(-2x-1)=6x-1$ , $\displaystyle 2-1=1$ .
$\displaystyle 2M(x)-M(-x)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&1\\3x&6x-1&1\end{pmatrix}$
Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 3x$ în $\displaystyle M(x)$ : elementul $\displaystyle x$ devine $\displaystyle 3x$ , iar $\displaystyle 2x-1$ devine $\displaystyle 2\cdot 3x-1=6x-1$ . Matricea obținută coincide cu rezultatul de mai sus, deci $\displaystyle 2M(x)-M(-x)=M(3x)$ pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&1\\3x&6x-1&1\end{pmatrix}=M(3x)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&1\\x&2x-1&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle O(0,0)

,

\displaystyle A(n,2n-1)

și

\displaystyle B\left(n^2,2n^2-1\right)

, unde

\displaystyle n

este număr natural,

\displaystyle n\geq 2

. Demonstrați că aria triunghiului

\displaystyle OAB

este număr natural.

Vezi rezolvarea

Aria triunghiului cu vârfurile $\displaystyle O$ , $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ este jumătate din modulul determinantului format din coordonatele vârfurilor, completat cu coloana de $\displaystyle 1$ . Pentru $\displaystyle O(0,0)$ , $\displaystyle A(n,2n-1)$ , $\displaystyle B(n^2,2n^2-1)$ obținem determinantul $\displaystyle \Delta$ de mai jos.
$\displaystyle \mathcal{A}_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}|\Delta|$ , $\displaystyle \quad \Delta=\begin{vmatrix}0&0&1\\n&2n-1&1\\n^2&2n^2-1&1\end{vmatrix}$
Dezvoltăm determinantul după prima linie. Singurul element nenul este $\displaystyle 1$ , din colțul din dreapta sus, iar minorul lui este determinantul de ordin $\displaystyle 2$ format din primele două coloane ale liniilor a doua și a treia.
$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}n&2n-1\\n^2&2n^2-1\end{vmatrix}=n(2n^2-1)-n^2(2n-1)$
Efectuăm calculele: $\displaystyle 2n^3-n-2n^3+n^2=n^2-n$ . Deci $\displaystyle \Delta=n(n-1)$ , care este pozitiv pentru $\displaystyle n\geq 2$ , iar aria este $\displaystyle \Delta$ împărțit la $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \Delta=n^2-n=n(n-1)$ , $\displaystyle \quad \mathcal{A}_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}|\Delta|=\frac{n(n-1)}{2}$
Numerele $\displaystyle n$ și $\displaystyle n-1$ sunt consecutive, deci unul dintre ele este par. Prin urmare produsul $\displaystyle n(n-1)$ este par, adică divizibil cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 2\mid n(n-1)$
Cum $\displaystyle n(n-1)$ este divizibil cu $\displaystyle 2$ și este pozitiv, fracția $\displaystyle \dfrac{n(n-1)}{2}$ este un număr natural. Deci aria triunghiului $\displaystyle OAB$ este număr natural.
$\displaystyle \mathcal{A}_{\triangle OAB}=\frac{n(n-1)}{2}\in\mathbb{N}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=6xy-2x-2y+1

.

Calculați

\displaystyle 1\circ\frac{1}{3}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim în formula $\displaystyle x\circ y=6xy-2x-2y+1$ valorile $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=\dfrac{1}{3}$ .
$\displaystyle 1\circ\frac{1}{3}=6\cdot 1\cdot\frac{1}{3}-2\cdot 1-2\cdot\frac{1}{3}+1$
Calculăm fiecare termen: $\displaystyle 6\cdot 1\cdot\dfrac{1}{3}=2$ , apoi $\displaystyle 2\cdot 1=2$ și $\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ .
$\displaystyle 2-2-\frac{2}{3}+1$
Reducem termenii: $\displaystyle 2-2=0$ , deci rămâne $\displaystyle 1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$ .
$\displaystyle 1\circ\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=6xy-2x-2y+1

.

Determinați elementul neutru al legii de compoziție „

\displaystyle \circ

”.

Vezi rezolvarea

Elementul neutru $\displaystyle e$ trebuie să verifice $\displaystyle x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $\displaystyle x$ real. Scriem $\displaystyle x\circ e$ după definiția legii.
$\displaystyle x\circ e=6xe-2x-2e+1$
Legea este comutativă, deoarece expresia este simetrică în $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ . Deci $\displaystyle e\circ x$ este egal cu $\displaystyle x\circ e$ și este suficient să impunem o singură condiție.
$\displaystyle x\circ e=6xe-2x-2e+1=6ex-2e-2x+1=e\circ x$
Impunem $\displaystyle x\circ e=x$ pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle 6xe-2x-2e+1=x$
Mutăm totul în membrul stâng și grupăm termenii care conțin $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 6xe-3x-2e+1=0$
Dăm factor comun: $\displaystyle 3x(2e-1)-(2e-1)=(3x-1)(2e-1)$ .
$\displaystyle (3x-1)(2e-1)=0$
Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice $\displaystyle x$ real, deci factorul $\displaystyle 3x-1$ nu poate fi mereu zero. Rămâne $\displaystyle 2e-1=0$ , adică $\displaystyle e=\dfrac{1}{2}$ . Verificăm: $\displaystyle x\circ\dfrac{1}{2}=3x-2x-1+1=x$ .
$\displaystyle e=\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=6xy-2x-2y+1

.

Calculați

\displaystyle \frac{1}{1008}\circ\frac{2}{1008}\circ\frac{3}{1008}\circ\ldots\circ\frac{2016}{1008}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle y=\dfrac{1}{3}$ în definiția legii: $\displaystyle x\circ\dfrac{1}{3}=6x\cdot\dfrac{1}{3}-2x-\dfrac{2}{3}+1$ .
$\displaystyle x\circ\frac{1}{3}=2x-2x-\frac{2}{3}+1$
Termenii cu $\displaystyle x$ se reduc, iar $\displaystyle -\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{1}{3}$ . Expresia $\displaystyle 6xy-2x-2y+1$ este simetrică în $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ , deci legea este comutativă și $\displaystyle \dfrac{1}{3}$ absoarbe orice element, indiferent de partea pe care se află.
$\displaystyle x\circ\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\circ x=\frac{1}{3}$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$
Printre termenii șirului $\displaystyle \dfrac{k}{1008}$ , cu $\displaystyle k\in\{1,2,\ldots,2016\}$ , apare $\displaystyle k=336$ . Simplificăm fracția prin 336.
$\displaystyle \frac{336}{1008}=\frac{1}{3}$
Legea este asociativă, deci putem grupa termenii: cei dinaintea lui $\displaystyle \dfrac{336}{1008}$ , apoi $\displaystyle \dfrac{1}{3}$ , apoi cei de după el.
$\displaystyle \left(\frac{1}{1008}\circ\ldots\circ\frac{335}{1008}\right)\circ\frac{1}{3}\circ\left(\frac{337}{1008}\circ\ldots\circ\frac{2016}{1008}\right)$
Notăm cu $\displaystyle a$ rezultatul primei paranteze și cu $\displaystyle b$ rezultatul celei de-a doua. Atunci expresia este $\displaystyle a\circ\dfrac{1}{3}\circ b$ . Cum $\displaystyle a\circ\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$ , obținem $\displaystyle \dfrac{1}{3}\circ b=\dfrac{1}{3}$ .
$\displaystyle a\circ\frac{1}{3}\circ b=\frac{1}{3}\circ b=\frac{1}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^4+3}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=-\frac{3(x-1)(x+1)\left(x^2+1\right)}{\left(x^4+3\right)^2}

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Funcția este un cât de două funcții derivabile, iar $\displaystyle x^4+3>0$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ . Folosim formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , cu $\displaystyle u(x)=x$ și $\displaystyle v(x)=x^4+3$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x'\cdot\left(x^4+3\right)-x\cdot\left(x^4+3\right)'}{\left(x^4+3\right)^2}$
Calculăm derivatele: $\displaystyle x'=1$ și $\displaystyle \left(x^4+3\right)'=4x^3$ . Le înlocuim în formulă.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot\left(x^4+3\right)-x\cdot 4x^3}{\left(x^4+3\right)^2}$
Simplificăm numărătorul: $\displaystyle x^4+3-4x^4=3-3x^4=3\left(1-x^4\right)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{3\left(1-x^4\right)}{\left(x^4+3\right)^2}$
Scoatem semnul minus din numărător: $\displaystyle 1-x^4=-\left(x^4-1\right)$ .
$\displaystyle f'(x)=-\dfrac{3\left(x^4-1\right)}{\left(x^4+3\right)^2}$
Descompunem $\displaystyle x^4-1$ ca diferență de pătrate: $\displaystyle x^4-1=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)$ , apoi $\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1)$ . Obținem forma cerută.
$\displaystyle f'(x)=-\dfrac{3(x-1)(x+1)\left(x^2+1\right)}{\left(x^4+3\right)^2}$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^4+3}

.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul de abscisă

\displaystyle x=0

, situat pe graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Ecuația tangentei la graficul lui $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=0$ este $\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)$ .
$\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)$
Calculăm $\displaystyle f(0)=\dfrac{0}{0^4+3}=\dfrac{0}{3}$ .
$\displaystyle f(0)=0$
Derivăm folosind formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , cu $\displaystyle u=x$ , $\displaystyle v=x^4+3$ , deci $\displaystyle u'=1$ și $\displaystyle v'=4x^3$ . Obținem $\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^4+3)-x\cdot 4x^3}{(x^4+3)^2}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^4+3-4x^4}{(x^4+3)^2}=\dfrac{3-3x^4}{(x^4+3)^2}$
Calculăm $\displaystyle f'(0)=\dfrac{3-3\cdot 0}{(0+3)^2}=\dfrac{3}{9}$ .
$\displaystyle f(0)=0$ , $\displaystyle \ f'(0)=\dfrac{1}{3}$
Înlocuim în ecuația tangentei: $\displaystyle y-0=\dfrac{1}{3}(x-0)$ , adică $\displaystyle y=\dfrac{1}{3}x$ .
$\displaystyle y=\dfrac{1}{3}x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^4+3}

.

Demonstrați că

\displaystyle -\frac{1}{4}\leq f(x)\leq\frac{1}{4}

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției cu formula de derivare a câtului. Numărătorul este $\displaystyle x$ , cu derivata $\displaystyle 1$ , iar numitorul este $\displaystyle x^{4}+3$ , cu derivata $\displaystyle 4x^{3}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^{4}+3)-x\cdot 4x^{3}}{(x^{4}+3)^{2}}$
Simplificăm numărătorul: $\displaystyle x^{4}+3-4x^{4}=3-3x^{4}=3(1-x^{4})$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{3(1-x^{4})}{(x^{4}+3)^{2}}=\dfrac{3(1-x^{2})(1+x^{2})}{(x^{4}+3)^{2}}$
Numitorul este strict pozitiv, iar factorul $\displaystyle 1+x^{2}$ este și el strict pozitiv. Derivata se anulează doar când $\displaystyle 1-x^{2}=0$ , deci pentru $\displaystyle x=-1$ sau $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1\text{ sau }x=1$
Semnul derivatei este dat de semnul lui $\displaystyle 1-x^{2}$ . Pentru $\displaystyle x<-1$ sau $\displaystyle x>1$ , derivata este negativă. Pentru $\displaystyle x\in(-1,1)$ , derivata este pozitivă. De aici obținem monotonia funcției.
$\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(-\infty,-1]$ , $\displaystyle \ \text{crescătoare pe }[-1,1]$ , $\displaystyle \ \text{descrescătoare pe }[1,+\infty)$
Calculăm valorile funcției în punctele de extrem. Pentru $\displaystyle x=1$ , numitorul este $\displaystyle 1+3=4$ . Pentru $\displaystyle x=-1$ , numitorul este tot $\displaystyle 4$ , iar numărătorul este $\displaystyle -1$ .
$\displaystyle f(-1)=\dfrac{-1}{4}=-\dfrac{1}{4}$ , $\displaystyle \quad f(1)=\dfrac{1}{4}$
Calculăm limitele la infinit. Numitorul crește mult mai repede decât numărătorul (grad $\displaystyle 4$ față de grad $\displaystyle 1$ ), deci fracția tinde la $\displaystyle 0$ în ambele direcții.
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ , $\displaystyle \quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0$
Folosim monotonia. Pe $\displaystyle (-\infty,-1]$ funcția scade de la $\displaystyle 0$ la $\displaystyle -\dfrac{1}{4}$ , deci are valori în $\displaystyle \left[-\dfrac{1}{4},0\right)$ . Pe $\displaystyle [-1,1]$ crește de la $\displaystyle -\dfrac{1}{4}$ la $\displaystyle \dfrac{1}{4}$ . Pe $\displaystyle [1,+\infty)$ scade de la $\displaystyle \dfrac{1}{4}$ la $\displaystyle 0$ , deci are valori în $\displaystyle \left(0,\dfrac{1}{4}\right]$ . Cea mai mică valoare este $\displaystyle -\dfrac{1}{4}$ și cea mai mare este $\displaystyle \dfrac{1}{4}$ , deci inegalitatea este demonstrată pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ , $\displaystyle \ f(-1)=-\frac{1}{4}$ , $\displaystyle \ f(1)=\frac{1}{4}$ , $\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0\Rightarrow -\frac{1}{4}\leq f(x)\leq\frac{1}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=xe^x-2

.

Determinați primitiva

\displaystyle F

a funcției

\displaystyle f

, pentru care

\displaystyle F(1)=0

.

Vezi rezolvarea

Primitivele lui $\displaystyle f$ sunt $\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx$ . Separăm integrala în două: $\displaystyle \int (xe^x-2)\,dx=\int xe^x\,dx-\int 2\,dx$ .
$\displaystyle \int (xe^x-2)\,dx=\int xe^x\,dx-\int 2\,dx$
Calculăm $\displaystyle \int xe^x\,dx$ prin părți. Alegem $\displaystyle u=x$ și $\displaystyle dv=e^x\,dx$ , deci $\displaystyle du=dx$ și $\displaystyle v=e^x$ .
$\displaystyle u=x$ , $\displaystyle \ dv=e^x\,dx\Rightarrow du=dx$ , $\displaystyle \ v=e^x$
Aplicăm formula $\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du$ . Obținem $\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x+c_1=(x-1)e^x+c_1$ .
$\displaystyle \int xe^x\,dx=(x-1)e^x+c_1$
Avem $\displaystyle \int 2\,dx=2x$ . Adunăm rezultatele și obținem toate primitivele lui $\displaystyle f$ , cu $\displaystyle c\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle F(x)=(x-1)e^x-2x+c$ , $\displaystyle \ c\in\mathbb{R}$
Impunem $\displaystyle F(1)=0$ . Pentru $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle (1-1)e^1-2\cdot 1+c=0$ , adică $\displaystyle -2+c=0$ .
$\displaystyle -2+c=0\Rightarrow c=2$
Înlocuim $\displaystyle c=2$ în forma generală a primitivei și obținem primitiva cerută.
$\displaystyle F(x)=(x-1)e^x-2x+2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=xe^x-2

.

Calculați

\displaystyle \int_0^1 x f(x)\,dx

.

Vezi rezolvarea

Scriem integrandul: $\displaystyle xf(x)=x\left(xe^x-2\right)=x^2e^x-2x$ . Integrala se desparte în două integrale: $\displaystyle \int_0^1 x^2e^x\,dx-\int_0^1 2x\,dx$ .
$\displaystyle \int_0^1 xf(x)\,dx=\int_0^1 x^2e^x\,dx-\int_0^1 2x\,dx$
Integrăm prin părți prima integrală, cu $\displaystyle u=x^2$ și $\displaystyle dv=e^x\,dx$ , deci $\displaystyle du=2x\,dx$ și $\displaystyle v=e^x$ . Pentru a doua integrală folosim primitiva $\displaystyle x^2$ a lui $\displaystyle 2x$ .
$\displaystyle \int_0^1\left(x^2e^x-2x\right)dx=x^2e^x\Big|_0^1-\int_0^1 2xe^x\,dx-x^2\Big|_0^1$
Calculăm termenii fără integrală: $\displaystyle x^2e^x\Big|_0^1=1^2\cdot e-0=e$ și $\displaystyle x^2\Big|_0^1=1-0=1$ .
$\displaystyle x^2e^x\Big|_0^1=e$ , $\displaystyle \quad x^2\Big|_0^1=1$
Calculăm integrala rămasă tot prin părți, cu $\displaystyle u=x$ și $\displaystyle dv=e^x\,dx$ . Primitiva lui $\displaystyle xe^x$ este $\displaystyle xe^x-e^x$ , deci $\displaystyle \int_0^1 2xe^x\,dx=2\left(xe^x-e^x\right)\Big|_0^1=2\left(0-(-1)\right)$ .
$\displaystyle \int_0^1 2xe^x\,dx=2$
Înlocuim valorile găsite: $\displaystyle e-2-1$ .
$\displaystyle \int_0^1 xf(x)\,dx=e-2-1=e-3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=xe^x-2

.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

, știind că

\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt=0

.

Vezi rezolvarea

Căutăm o primitivă a lui $\displaystyle f$ . Pentru $\displaystyle \int te^t\,dt$ integrăm prin părți, cu $\displaystyle u=t$ și $\displaystyle dv=e^t\,dt$ , deci $\displaystyle \int te^t\,dt=te^t-e^t$ . Integrala lui $\displaystyle -2$ este $\displaystyle -2t$ .
$\displaystyle \int f(t)\,dt=te^t-e^t-2t+C$
Alegem primitiva $\displaystyle F(x)=(x-1)e^x-2x$ . Verificăm prin derivare: $\displaystyle F'(x)=e^x+xe^x-e^x-2=xe^x-2=f(x)$ .
$\displaystyle F(x)=(x-1)e^x-2x$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt=F(x)-F(1)$ . Calculăm $\displaystyle F(1)=(1-1)e-2=-2$ .
$\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt=(x-1)e^x-2x+2$
Scoatem factor comun: $\displaystyle -2x+2=-2(x-1)$ , deci $\displaystyle (x-1)e^x-2(x-1)=(x-1)\left(e^x-2\right)$ .
$\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt=(x-1)\left(e^x-2\right)$
Punem condiția $\displaystyle (x-1)\left(e^x-2\right)=0$ . Un produs este nul când unul dintre factori este nul: $\displaystyle x-1=0$ sau $\displaystyle e^x-2=0$ . Din prima obținem $\displaystyle x=1$ , iar din a doua $\displaystyle e^x=2$ , deci $\displaystyle x=\ln 2$ . Ambele valori sunt numere reale.
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=\ln 2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2016, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani