Bac matematică M2 științe ale naturii 2025, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2i(6−i)+3(1−4i)=5\displaystyle 2i(6-i)+3(1-4i)=5, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem prima paranteză: înmulțim 2i\displaystyle 2i cu fiecare termen din 6−i\displaystyle 6-i.
    2i(6−i)=12i−2i2\displaystyle 2i(6-i)=12i-2i^{2}
  2. Desfacem a doua paranteză: înmulțim 3\displaystyle 3 cu fiecare termen din 1−4i\displaystyle 1-4i.
    3(1−4i)=3−12i\displaystyle 3(1-4i)=3-12i
  3. Adunăm cele două rezultate și obținem expresia cu parantezele desfăcute.
    12i−2i2+3−12i\displaystyle 12i-2i^{2}+3-12i
  4. Reducem termenii 12i\displaystyle 12i și −12i\displaystyle -12i, care se anulează, și înlocuim i2\displaystyle i^{2} cu −1\displaystyle -1.
    −2⋅(−1)+3\displaystyle -2\cdot(-1)+3
  5. Calculăm: 2+3=5\displaystyle 2+3=5, deci egalitatea este adevărată.
    −2(−1)+3=2+3=5\displaystyle -2(-1)+3=2+3=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+5\displaystyle f(x)=x+5. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care (f∘f)(a)=2a\displaystyle (f\circ f)(a)=2a.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a în f(x)=x+5\displaystyle f(x)=x+5 și obținem f(a)=a+5\displaystyle f(a)=a+5.
    f(a)=a+5\displaystyle f(a)=a+5
  2. Avem (f∘f)(a)=f(f(a))=f(a+5)=(a+5)+5\displaystyle (f\circ f)(a)=f(f(a))=f(a+5)=(a+5)+5, deci (f∘f)(a)=a+10\displaystyle (f\circ f)(a)=a+10.
    (f∘f)(a)=a+10\displaystyle (f\circ f)(a)=a+10
  3. Condiția (f∘f)(a)=2a\displaystyle (f\circ f)(a)=2a devine ecuația a+10=2a\displaystyle a+10=2a.
    a+10=2a\displaystyle a+10=2a
  4. Scădem a\displaystyle a din ambii membri: 10=2a−a\displaystyle 10=2a-a, deci a=10\displaystyle a=10.
    a=10\displaystyle a=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+4x−4=x2\displaystyle \sqrt{x^2+4x-4}=x\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că partea dreaptă trebuie să fie pozitivă sau zero, deci x≥0\displaystyle x\ge 0. Ridicăm ecuația la pătrat, ceea ce poate introduce soluții străine, de aceea vom verifica la final.
    x≥0\displaystyle x\ge 0
  2. Ridicăm la pătrat ambii membri: (x2+4x−4)2=x2+4x−4\displaystyle \left(\sqrt{x^2+4x-4}\right)^2=x^2+4x-4, iar (x2)2=2x2\displaystyle \left(x\sqrt{2}\right)^2=2x^2.
    x2+4x−4=2x2\displaystyle x^2+4x-4=2x^2
  3. Mutăm toți termenii în membrul drept și reducem termenii asemenea: 0=2x2−x2−4x+4\displaystyle 0=2x^2-x^2-4x+4, deci ecuația de gradul II este:
    x2−4x+4=0\displaystyle x^2-4x+4=0
  4. Recunoaștem pătratul perfect: x2−4x+4=(x−2)2\displaystyle x^2-4x+4=(x-2)^2, deci (x−2)2=0\displaystyle (x-2)^2=0, de unde x−2=0\displaystyle x-2=0.
    x=2\displaystyle x=2
  5. Verificăm soluția în ecuația inițială: pentru x=2\displaystyle x=2 avem 4+8−4=8=22\displaystyle \sqrt{4+8-4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}, iar x2=22\displaystyle x\sqrt{2}=2\sqrt{2}. Egalitatea este adevărată, deci x=2\displaystyle x=2 convine.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, numărul 2n\displaystyle 2^n să fie divizibil cu 16\displaystyle 16.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de o cifră sunt 0,1,2,…,9\displaystyle 0,1,2,\ldots,9, deci sunt 10\displaystyle 10 cazuri posibile.
    10\displaystyle 10
  2. Avem 16=24\displaystyle 16=2^{4}, deci 2n\displaystyle 2^{n} este divizibil cu 16\displaystyle 16 exact când n≥4\displaystyle n\geq 4.
    n≥4\displaystyle n\geq 4
  3. Cazurile favorabile sunt n∈{4,5,6,7,8,9}\displaystyle n\in\{4,5,6,7,8,9\}, adică 6\displaystyle 6 valori.
    n∈{4,5,6,7,8,9}⇒6 cazuri favorabile\displaystyle n\in\{4,5,6,7,8,9\}\Rightarrow 6\text{ cazuri favorabile}
  4. Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile: p=610=35\displaystyle p=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}.
    p=610=35\displaystyle p=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,1)\displaystyle A(3,1) și B(2,4)\displaystyle B(2,4). Arătați că triunghiul OAB\displaystyle OAB este dreptunghic în A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul OAB\displaystyle OAB este dreptunghic în A\displaystyle A dacă dreptele OA\displaystyle OA și AB\displaystyle AB sunt perpendiculare. Folosim pantele: două drepte neverticale sunt perpendiculare dacă produsul pantelor este −1\displaystyle -1. Originea este O(0,0)\displaystyle O(0,0).
    mOA⋅mAB=−1\displaystyle m_{OA}\cdot m_{AB}=-1
  2. Calculăm panta dreptei OA\displaystyle OA cu formula m=yA−yOxA−xO\displaystyle m=\dfrac{y_A-y_O}{x_A-x_O}, folosind O(0,0)\displaystyle O(0,0) și A(3,1)\displaystyle A(3,1).
    mOA=1−03−0=13\displaystyle m_{OA}=\dfrac{1-0}{3-0}=\dfrac{1}{3}
  3. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB, folosind A(3,1)\displaystyle A(3,1) și B(2,4)\displaystyle B(2,4).
    mAB=4−12−3=3−1=−3\displaystyle m_{AB}=\dfrac{4-1}{2-3}=\dfrac{3}{-1}=-3
  4. Înmulțim pantele: produsul este −1\displaystyle -1, deci dreptele OA\displaystyle OA și AB\displaystyle AB sunt perpendiculare, adică unghiul din A\displaystyle A este drept. Triunghiul OAB\displaystyle OAB este dreptunghic în A\displaystyle A.
    mOA⋅mAB=13⋅(−3)=−1⇒OA⊥AB\displaystyle m_{OA}\cdot m_{AB}=\dfrac{1}{3}\cdot(-3)=-1\Rightarrow OA\perp AB
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră expresia E(x)=sin⁡x+2cos⁡2x+2sin⁡2x2\displaystyle E(x)=\sin x+2\cos 2x+2\sin^2\frac{x}{2}, unde x\displaystyle x este număr real. Arătați că E(π2)=0\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=π2\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2} în expresia E(x)\displaystyle E(x). Argumentele devin: π2\displaystyle \dfrac{\pi}{2} pentru sinus, 2⋅π2=π\displaystyle 2\cdot\dfrac{\pi}{2}=\pi pentru cosinus și 12⋅π2=π4\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{4} pentru ultimul sinus.
    E(π2)=sin⁡π2+2cos⁡π+2sin⁡2π4\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}+2\cos\pi+2\sin^{2}\frac{\pi}{4}
  2. Folosim valorile cunoscute: sin⁡π2=1\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{2}=1, cos⁡π=−1\displaystyle \cos\pi=-1 și sin⁡π4=22\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡π2=1\displaystyle \sin\frac{\pi}{2}=1, cos⁡π=−1\displaystyle \ \cos\pi=-1, sin⁡π4=22\displaystyle \ \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. Introducem aceste valori în expresia obținută la primul pas.
    E(π2)=1+2⋅(−1)+2⋅(22)2\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+2\cdot(-1)+2\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}
  4. Calculăm: (22)2=24\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\dfrac{2}{4}, deci ultimul termen este 2⋅24=1\displaystyle 2\cdot\dfrac{2}{4}=1. Rămâne 1−2+1=0\displaystyle 1-2+1=0, adică E(π2)=0\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0.
    E(π2)=1−2+2⋅24=1−2+1=0\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=1-2+2\cdot\frac{2}{4}=1-2+1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x+1−x−2x2x+1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+1 & -x \\ -2x & 2x+1 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=4\displaystyle \det(A(1))=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în matricea A(x)\displaystyle A(x): elementele devin 1+1\displaystyle 1+1, −1\displaystyle -1, −2⋅1\displaystyle -2\cdot 1 și 2⋅1+1\displaystyle 2\cdot 1+1.
    A(1)=(2−1−23)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordin 2 ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc.
    det⁡(A(1))=∣2−1−23∣=2⋅3−(−1)⋅(−2)\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}=2\cdot 3-(-1)\cdot(-2)
  3. Calculăm produsele: 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6, iar (−1)⋅(−2)=2\displaystyle (-1)\cdot(-2)=2. Apoi scădem și obținem rezultatul cerut.
    6−2=4\displaystyle 6-2=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x+1−x−2x2x+1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+1 & -x \\ -2x & 2x+1 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(−1)⋅A(x)=A(−2x−1)\displaystyle A(-1)\cdot A(x)=A(-2x-1), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A(−1)\displaystyle A(-1) înlocuind x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1 în matricea A(x)\displaystyle A(x): x+1\displaystyle x+1 devine 0\displaystyle 0, −x\displaystyle -x devine 1\displaystyle 1, −2x\displaystyle -2x devine 2\displaystyle 2, iar 2x+1\displaystyle 2x+1 devine −1\displaystyle -1.
    A(−1)=(012−1)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(−1)⋅A(x)\displaystyle A(-1)\cdot A(x), înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Prima linie: 0⋅(x+1)+1⋅(−2x)\displaystyle 0\cdot(x+1)+1\cdot(-2x) și 0⋅(−x)+1⋅(2x+1)\displaystyle 0\cdot(-x)+1\cdot(2x+1). A doua linie: 2(x+1)+(−1)(−2x)\displaystyle 2(x+1)+(-1)(-2x) și 2(−x)+(−1)(2x+1)\displaystyle 2(-x)+(-1)(2x+1).
    A(−1)⋅A(x)=(0⋅(x+1)+1⋅(−2x)0⋅(−x)+1⋅(2x+1)2(x+1)+(−1)(−2x)2(−x)+(−1)(2x+1))\displaystyle A(-1)\cdot A(x)=\begin{pmatrix} 0\cdot(x+1)+1\cdot(-2x) & 0\cdot(-x)+1\cdot(2x+1) \\ 2(x+1)+(-1)(-2x) & 2(-x)+(-1)(2x+1) \end{pmatrix}
  3. Efectuăm calculele din fiecare element: 2x+2+2x=4x+2\displaystyle 2x+2+2x=4x+2, iar −2x−2x−1=−4x−1\displaystyle -2x-2x-1=-4x-1.
    A(−1)⋅A(x)=(−2x2x+14x+2−4x−1)\displaystyle A(-1)\cdot A(x)=\begin{pmatrix} -2x & 2x+1 \\ 4x+2 & -4x-1 \end{pmatrix}
  4. Scriem A(−2x−1)\displaystyle A(-2x-1), înlocuind x\displaystyle x cu −2x−1\displaystyle -2x-1 în matricea A(x)\displaystyle A(x).
    A(−2x−1)=((−2x−1)+1−(−2x−1)−2(−2x−1)2(−2x−1)+1)\displaystyle A(-2x-1)=\begin{pmatrix} (-2x-1)+1 & -(-2x-1) \\ -2(-2x-1) & 2(-2x-1)+1 \end{pmatrix}
  5. Simplificăm elementele: (−2x−1)+1=−2x\displaystyle (-2x-1)+1=-2x, −(−2x−1)=2x+1\displaystyle -(-2x-1)=2x+1, −2(−2x−1)=4x+2\displaystyle -2(-2x-1)=4x+2, 2(−2x−1)+1=−4x−1\displaystyle 2(-2x-1)+1=-4x-1. Obținem exact matricea produs, deci egalitatea este adevărată pentru orice x\displaystyle x real.
    (−2x2x+14x+2−4x−1)=A(−2x−1), deci A(−1)⋅A(x)=A(−2x−1)\displaystyle \begin{pmatrix} -2x & 2x+1 \\ 4x+2 & -4x-1 \end{pmatrix}=A(-2x-1)\text{, deci }A(-1)\cdot A(x)=A(-2x-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x+1−x−2x2x+1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+1 & -x \\ -2x & 2x+1 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale, cu m<n\displaystyle m<n, pentru care A(−1)⋅(A(m)+A(n))=2A(−4)\displaystyle A(-1)\cdot(A(m)+A(n))=2A(-4).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem A(x)=I2+xB\displaystyle A(x)=I_2+xB, unde B=(1−1−22)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}. Calculăm B2=3B\displaystyle B^2=3B. Rezultă A(x)A(y)=I2+(x+y+3xy)B=A(x+y+3xy)\displaystyle A(x)A(y)=I_2+(x+y+3xy)B=A(x+y+3xy). Pentru x=−1\displaystyle x=-1 obținem A(−1)⋅A(x)=A(−2x−1)\displaystyle A(-1)\cdot A(x)=A(-2x-1), relația din metodă.
    A(−1)⋅A(x)=A(−2x−1)\displaystyle A(-1)\cdot A(x)=A(-2x-1)
  2. Distribuim înmulțirea la adunare: A(−1)⋅(A(m)+A(n))=A(−1)A(m)+A(−1)A(n)\displaystyle A(-1)\cdot(A(m)+A(n))=A(-1)A(m)+A(-1)A(n). Aplicăm relația de la pasul 1 pentru x=m\displaystyle x=m și pentru x=n\displaystyle x=n.
    A(−1)⋅(A(m)+A(n))=A(−2m−1)+A(−2n−1)\displaystyle A(-1)\cdot(A(m)+A(n))=A(-2m-1)+A(-2n-1)
  3. Folosim aditivitatea: A(a)+A(b)=2I2+(a+b)B=2A(a+b2)\displaystyle A(a)+A(b)=2I_2+(a+b)B=2A\left(\dfrac{a+b}{2}\right). Pentru a=−2m−1\displaystyle a=-2m-1 și b=−2n−1\displaystyle b=-2n-1 avem a+b2=−m−n−1\displaystyle \dfrac{a+b}{2}=-m-n-1.
    A(−2m−1)+A(−2n−1)=2A(−m−n−1)\displaystyle A(-2m-1)+A(-2n-1)=2A(-m-n-1)
  4. Egalitatea din enunț devine 2A(−m−n−1)=2A(−4)\displaystyle 2A(-m-n-1)=2A(-4), adică A(−m−n−1)=A(−4)\displaystyle A(-m-n-1)=A(-4). Matricea B\displaystyle B este nenulă, deci A(x)=A(y)\displaystyle A(x)=A(y) implică x=y\displaystyle x=y. Rezultă −m−n−1=−4\displaystyle -m-n-1=-4.
    −m−n−1=−4\displaystyle -m-n-1=-4
  5. Din ecuația precedentă obținem m+n=3\displaystyle m+n=3. Căutăm numere naturale cu m<n\displaystyle m<n: pentru m=0\displaystyle m=0 avem n=3\displaystyle n=3, pentru m=1\displaystyle m=1 avem n=2\displaystyle n=2. Pentru m≥2\displaystyle m\geq 2 am avea n≤1<m\displaystyle n\leq 1<m, deci nu convine.
    m+n=3\displaystyle m+n=3, (m,n)∈{(0,3),(1,2)}\displaystyle \ (m,n)\in\{(0,3),(1,2)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x⋅3y+y⋅3x\displaystyle x\circ y=x\cdot 3^{y}+y\cdot 3^{x}.

Arătați că 1∘2=15\displaystyle 1\circ 2=15.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∘y=x⋅3y+y⋅3x\displaystyle x\circ y=x\cdot 3^{y}+y\cdot 3^{x}.
    x∘y=x⋅3y+y⋅3x\displaystyle x\circ y=x\cdot 3^{y}+y\cdot 3^{x}
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2 în definiție.
    1∘2=1⋅32+2⋅31\displaystyle 1\circ 2=1\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{1}
  3. Calculăm puterile: 32=9\displaystyle 3^{2}=9, iar 31=3\displaystyle 3^{1}=3.
    1⋅9+2⋅3\displaystyle 1\cdot 9+2\cdot 3
  4. Efectuăm înmulțirile și adunarea: 9+6=15\displaystyle 9+6=15, deci egalitatea cerută este adevărată.
    1∘2=9+6=15\displaystyle 1\circ 2=9+6=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x⋅3y+y⋅3x\displaystyle x\circ y=x\cdot 3^{y}+y\cdot 3^{x}.

Arătați că e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul e\displaystyle e este element neutru dacă x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Pentru e=0\displaystyle e=0 verificăm ambele egalități.
    x∘0=x  și  0∘x=x\displaystyle x\circ 0=x\ \text{ și }\ 0\circ x=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Înlocuim y=0\displaystyle y=0 în x∘y=x⋅3y+y⋅3x\displaystyle x\circ y=x\cdot 3^{y}+y\cdot 3^{x}.
    x∘0=x⋅30+0⋅3x\displaystyle x\circ 0=x\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{x}
  3. Deoarece 30=1\displaystyle 3^{0}=1 și 0⋅3x=0\displaystyle 0\cdot 3^{x}=0, obținem x∘0=x\displaystyle x\circ 0=x.
    x∘0=x⋅1+0=x\displaystyle x\circ 0=x\cdot 1+0=x
  4. Legea nu este dată ca fiind comutativă, deci verificăm și 0∘x\displaystyle 0\circ x, înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 și y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    0∘x=0⋅3x+x⋅30\displaystyle 0\circ x=0\cdot 3^{x}+x\cdot 3^{0}
  5. Primul termen este 0\displaystyle 0, iar 30=1\displaystyle 3^{0}=1, deci 0∘x=x\displaystyle 0\circ x=x. Cum x∘0=0∘x=x\displaystyle x\circ 0=0\circ x=x pentru orice x\displaystyle x real, e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru.
    0∘x=x⋅1=x\displaystyle 0\circ x=x\cdot 1=x, deci e=0 este element neutru\displaystyle \ \text{deci } e=0\text{ este element neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x⋅3y+y⋅3x\displaystyle x\circ y=x\cdot 3^{y}+y\cdot 3^{x}.

Determinați numărul real nenul x\displaystyle x pentru care x∘(3x)=(2x)∘(2x)\displaystyle x\circ(3x)=(2x)\circ(2x).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∘(3x)\displaystyle x\circ(3x) înlocuind în definiție y\displaystyle y cu 3x\displaystyle 3x: x⋅33x+3x⋅3x\displaystyle x\cdot 3^{3x}+3x\cdot 3^{x}. Dăm factor comun x⋅3x\displaystyle x\cdot 3^{x}.
    x∘(3x)=x⋅33x+3x⋅3x=x⋅3x(32x+3)\displaystyle x\circ(3x)=x\cdot 3^{3x}+3x\cdot 3^{x}=x\cdot 3^{x}\left(3^{2x}+3\right)
  2. Calculăm (2x)∘(2x)\displaystyle (2x)\circ(2x): ambii termeni sunt egali cu 2x⋅32x\displaystyle 2x\cdot 3^{2x}, deci suma lor este 4x⋅32x\displaystyle 4x\cdot 3^{2x}.
    x∘(3x)=x⋅3x(32x+3)\displaystyle x\circ(3x)=x\cdot 3^{x}\left(3^{2x}+3\right), (2x)∘(2x)=2x⋅32x+2x⋅32x=4x⋅32x\displaystyle \ (2x)\circ(2x)=2x\cdot 3^{2x}+2x\cdot 3^{2x}=4x\cdot 3^{2x}
  3. Egalăm cele două expresii și mutăm totul în membrul stâng. Dăm factor comun x⋅3x\displaystyle x\cdot 3^{x}, ținând cont că 4x⋅32x=x⋅3x⋅4⋅3x\displaystyle 4x\cdot 3^{2x}=x\cdot 3^{x}\cdot 4\cdot 3^{x}.
    x⋅3x(32x+3)−4x⋅32x=0 ⇔ x⋅3x(32x−4⋅3x+3)=0\displaystyle x\cdot 3^{x}\left(3^{2x}+3\right)-4x\cdot 3^{2x}=0\ \Leftrightarrow\ x\cdot 3^{x}\left(3^{2x}-4\cdot 3^{x}+3\right)=0
  4. Notăm t=3x\displaystyle t=3^{x}. Trinomul t2−4t+3\displaystyle t^{2}-4t+3 are rădăcinile 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3, deci se descompune ca (t−1)(t−3)\displaystyle (t-1)(t-3).
    32x−4⋅3x+3=(3x−3)(3x−1)\displaystyle 3^{2x}-4\cdot 3^{x}+3=\left(3^{x}-3\right)\left(3^{x}-1\right)
  5. Ecuația devine x⋅3x(3x−3)(3x−1)=0\displaystyle x\cdot 3^{x}\left(3^{x}-3\right)\left(3^{x}-1\right)=0. Cum x≠0\displaystyle x\neq 0 și 3x>0\displaystyle 3^{x}>0, rămâne 3x=3\displaystyle 3^{x}=3 sau 3x=1\displaystyle 3^{x}=1. Din 3x=1\displaystyle 3^{x}=1 ar rezulta x=0\displaystyle x=0, care nu convine, deci 3x=3\displaystyle 3^{x}=3, adică x=1\displaystyle x=1.
    x⋅3x(3x−3)(3x−1)=0\displaystyle x\cdot 3^{x}\left(3^{x}-3\right)\left(3^{x}-1\right)=0, x=1\displaystyle \ x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=exx2+3x+3\displaystyle f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+3x+3}.

Arătați că f′(x)=ex(x2+x)(x2+3x+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^x\left(x^2+x\right)}{\left(x^2+3x+3\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar numitorul nu se anulează: discriminantul lui x2+3x+3\displaystyle x^2+3x+3 este 9−12=−3<0\displaystyle 9-12=-3<0, deci numitorul este strict pozitiv. Aplicăm formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
    (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2},u=ex\displaystyle \quad u=e^x, v=x2+3x+3\displaystyle \ v=x^2+3x+3
  2. Calculăm derivatele: u′=(ex)′=ex\displaystyle u'=\left(e^x\right)'=e^x, iar v′=(x2+3x+3)′=2x+3\displaystyle v'=\left(x^2+3x+3\right)'=2x+3.
    u′=ex\displaystyle u'=e^x,v′=2x+3\displaystyle \quad v'=2x+3
  3. Înlocuim u\displaystyle u, v\displaystyle v, u′\displaystyle u', v′\displaystyle v' în formula câtului și obținem expresia derivatei înainte de simplificare.
    f′(x)=ex(x2+3x+3)−ex(2x+3)(x2+3x+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^x\left(x^2+3x+3\right)-e^x(2x+3)}{\left(x^2+3x+3\right)^2}
  4. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x la numărător și reducem termenii asemenea: x2+3x+3−2x−3=x2+x\displaystyle x^2+3x+3-2x-3=x^2+x. Se obține forma cerută.
    f′(x)=ex(x2+3x+3−2x−3)(x2+3x+3)2=ex(x2+x)(x2+3x+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^x\left(x^2+3x+3-2x-3\right)}{\left(x^2+3x+3\right)^2}=\dfrac{e^x\left(x^2+x\right)}{\left(x^2+3x+3\right)^2}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=exx2+3x+3\displaystyle f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+3x+3}.

Arătați că lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
Vezi rezolvarea
  1. Avem lim⁡x→+∞ex=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty și lim⁡x→+∞(x2+3x+3)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(x^2+3x+3\right)=+\infty, deci limita are forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}. Putem aplica regula lui l'Hospital.
    lim⁡x→+∞exx2+3x+3 este de forma ∞∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+3x+3}\text{ este de forma }\frac{\infty}{\infty}
  2. Derivăm separat numărătorul și numitorul: (ex)′=ex\displaystyle \left(e^x\right)'=e^x și (x2+3x+3)′=2x+3\displaystyle \left(x^2+3x+3\right)'=2x+3. Prima aplicare a regulii lui l'Hospital dă o nouă limită.
    lim⁡x→+∞exx2+3x+3=lim⁡x→+∞(ex)′(x2+3x+3)′=lim⁡x→+∞ex2x+3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+3x+3}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(e^x\right)'}{\left(x^2+3x+3\right)'}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{2x+3}
  3. Noua limită are tot forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, pentru că ex→+∞\displaystyle e^x\to+\infty și 2x+3→+∞\displaystyle 2x+3\to+\infty. Aplicăm încă o dată regula lui l'Hospital, cu (2x+3)′=2\displaystyle \left(2x+3\right)'=2.
    lim⁡x→+∞ex2x+3=lim⁡x→+∞(ex)′(2x+3)′=lim⁡x→+∞ex2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{2x+3}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(e^x\right)'}{(2x+3)'}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{2}
  4. Deoarece ex→+∞\displaystyle e^x\to+\infty, iar numitorul este constanta 2>0\displaystyle 2>0, obținem lim⁡x→+∞ex2=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{2}=+\infty. Deci lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
    lim⁡x→+∞ex2=+∞, deci lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{2}=+\infty\text{, deci }\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=exx2+3x+3\displaystyle f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+3x+3}.

Demonstrați că f(x)−f(y)≤3−e3e\displaystyle f(x)-f(y)\leq\dfrac{3-e}{3e}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, cu x≤0≤y\displaystyle x\leq 0\leq y.
Vezi rezolvarea
  1. Numitorul x2+3x+3\displaystyle x^2+3x+3 este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real, deoarece discriminantul este 9−12=−3<0\displaystyle 9-12=-3<0 și coeficientul lui x2\displaystyle x^2 este pozitiv. Deci f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Derivăm f\displaystyle f cu formula câtului.
    f′(x)=ex(x2+3x+3)−ex(2x+3)(x2+3x+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^x(x^2+3x+3)-e^x(2x+3)}{(x^2+3x+3)^2}
  2. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x la numărător și reducem parantezele: x2+3x+3−2x−3=x2+x=x(x+1)\displaystyle x^2+3x+3-2x-3=x^2+x=x(x+1). Semnul derivatei este dat de x(x+1)\displaystyle x(x+1), pentru că ex\displaystyle e^x și pătratul de la numitor sunt pozitive.
    f′(x)=ex x(x+1)(x2+3x+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^x\,x(x+1)}{(x^2+3x+3)^2}
  3. Rezolvăm f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0, adică x(x+1)=0\displaystyle x(x+1)=0, deci x=−1\displaystyle x=-1 sau x=0\displaystyle x=0. Semnul lui x(x+1)\displaystyle x(x+1): pozitiv pe (−∞,−1)\displaystyle (-\infty,-1), negativ pe (−1,0)\displaystyle (-1,0), pozitiv pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Rezultă că f\displaystyle f este crescătoare pe (−∞,−1]\displaystyle (-\infty,-1], descrescătoare pe [−1,0]\displaystyle [-1,0] și crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
    f′(x)=0⇔x=−1 sau x=0; f↗ pe (−∞,−1]\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1\text{ sau }x=0;\ f\nearrow\text{ pe }(-\infty,-1], f↘ pe [−1,0]\displaystyle \ f\searrow\text{ pe }[-1,0], f↗ pe [0,+∞)\displaystyle \ f\nearrow\text{ pe }[0,+\infty)
  4. Pentru x≤0\displaystyle x\leq 0: f\displaystyle f crește până în −1\displaystyle -1 și apoi scade până în 0\displaystyle 0, deci maximul pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0] este f(−1)\displaystyle f(-1). Calculăm: (−1)2+3⋅(−1)+3=1\displaystyle (-1)^2+3\cdot(-1)+3=1, deci f(−1)=e−11=1e\displaystyle f(-1)=\dfrac{e^{-1}}{1}=\dfrac{1}{e}. Prin urmare f(x)≤1e\displaystyle f(x)\leq\dfrac{1}{e} pentru orice x≤0\displaystyle x\leq 0.
    f(x)≤f(−1)=1e\displaystyle f(x)\leq f(-1)=\dfrac{1}{e}
  5. Pentru y≥0\displaystyle y\geq 0: f\displaystyle f este crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty), deci minimul este f(0)\displaystyle f(0). Calculăm f(0)=e03=13\displaystyle f(0)=\dfrac{e^0}{3}=\dfrac{1}{3}. Prin urmare f(y)≥13\displaystyle f(y)\geq\dfrac{1}{3} pentru orice y≥0\displaystyle y\geq 0.
    f(y)≥f(0)=13\displaystyle f(y)\geq f(0)=\dfrac{1}{3}
  6. Din f(x)≤1e\displaystyle f(x)\leq\dfrac{1}{e} și f(y)≥13\displaystyle f(y)\geq\dfrac{1}{3} rezultă −f(y)≤−13\displaystyle -f(y)\leq-\dfrac{1}{3}. Adunând inegalitățile, obținem f(x)−f(y)≤1e−13\displaystyle f(x)-f(y)\leq\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{3}. Aducem la același numitor: 1e−13=3−e3e\displaystyle \dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3-e}{3e}. Inegalitatea cerută este demonstrată.
    f(x)−f(y)≤1e−13=3−e3e\displaystyle f(x)-f(y)\leq\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3-e}{3e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4x+1+3xln⁡x\displaystyle f(x)=4x+1+3x\ln x.

Arătați că ∫12(f(x)−3xln⁡x)dx=7\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-3x\ln x\right)dx=7.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=4x+1+3xln⁡x\displaystyle f(x)=4x+1+3x\ln x în integrand: f(x)−3xln⁡x=4x+1+3xln⁡x−3xln⁡x\displaystyle f(x)-3x\ln x=4x+1+3x\ln x-3x\ln x. Termenii 3xln⁡x\displaystyle 3x\ln x se reduc.
    f(x)−3xln⁡x=4x+1\displaystyle f(x)-3x\ln x=4x+1
  2. Integrala devine ∫12(4x+1) dx\displaystyle \int_1^2(4x+1)\,dx. Primitiva lui 4x\displaystyle 4x este 2x2\displaystyle 2x^{2}, iar primitiva lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, deci o primitivă a integrandului este 2x2+x\displaystyle 2x^{2}+x.
    ∫12(4x+1) dx=(2x2+x)∣12\displaystyle \int_1^2(4x+1)\,dx=\left(2x^{2}+x\right)\Big|_1^2
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: în x=2\displaystyle x=2 obținem 2⋅22+2=10\displaystyle 2\cdot 2^{2}+2=10, iar în x=1\displaystyle x=1 obținem 2⋅12+1=3\displaystyle 2\cdot 1^{2}+1=3. Scădem cele două valori.
    (2⋅22+2)−(2⋅12+1)=8+2−(2+1)\displaystyle \left(2\cdot 2^{2}+2\right)-\left(2\cdot 1^{2}+1\right)=8+2-(2+1)
  4. Calculăm: 8+2−(2+1)=10−3=7\displaystyle 8+2-(2+1)=10-3=7, deci ∫12(f(x)−3xln⁡x)dx=7\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-3x\ln x\right)dx=7, așa cum trebuia arătat.
    8+2−(2+1)=7\displaystyle 8+2-(2+1)=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4x+1+3xln⁡x\displaystyle f(x)=4x+1+3x\ln x.

Arătați că ∫1ef(x)−4x−1xdx=3\displaystyle \int_1^e\dfrac{f(x)-4x-1}{x}dx=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=4x+1+3xln⁡x\displaystyle f(x)=4x+1+3x\ln x în numărător: f(x)−4x−1=3xln⁡x\displaystyle f(x)-4x-1=3x\ln x.
    f(x)−4x−1=3xln⁡x\displaystyle f(x)-4x-1=3x\ln x
  2. Simplificăm fracția cu x>0\displaystyle x>0: 3xln⁡xx=3ln⁡x\displaystyle \dfrac{3x\ln x}{x}=3\ln x. Integrala cerută este ∫1e3ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e 3\ln x\,dx.
    ∫1ef(x)−4x−1xdx=∫1e3ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e\dfrac{f(x)-4x-1}{x}dx=\int_1^e 3\ln x\,dx
  3. Scriem 3=(3x)′\displaystyle 3=(3x)' și integrăm prin părți, cu u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și v=3x\displaystyle v=3x: ∫1e(3x)′ln⁡x dx=3xln⁡x∣1e−∫1e3x⋅1x dx\displaystyle \int_1^e (3x)'\ln x\,dx=3x\ln x\Big|_1^e-\int_1^e 3x\cdot\dfrac{1}{x}\,dx. Ultima integrală este ∫1e3 dx=3x∣1e\displaystyle \int_1^e 3\,dx=3x\Big|_1^e.
    ∫1e3ln⁡x dx=3xln⁡x∣1e−3x∣1e\displaystyle \int_1^e 3\ln x\,dx=3x\ln x\Big|_1^e-3x\Big|_1^e
  4. Calculăm: 3xln⁡x∣1e=3eln⁡e−3⋅1⋅ln⁡1=3e−0=3e\displaystyle 3x\ln x\Big|_1^e=3e\ln e-3\cdot 1\cdot\ln 1=3e-0=3e, iar 3x∣1e=3e−3\displaystyle 3x\Big|_1^e=3e-3. Obținem 3e−(3e−3)=3e−3e+3=3\displaystyle 3e-(3e-3)=3e-3e+3=3.
    3e−3e+3=3\displaystyle 3e-3e+3=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4x+1+3xln⁡x\displaystyle f(x)=4x+1+3x\ln x.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫24f(x)−1x2ln⁡xdx=aln⁡2\displaystyle \int_2^4\dfrac{f(x)-1}{x^2\ln x}dx=a\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Din f(x)=4x+1+3xln⁡x\displaystyle f(x)=4x+1+3x\ln x obținem f(x)−1=4x+3xln⁡x\displaystyle f(x)-1=4x+3x\ln x.
    f(x)−1=4x+3xln⁡x\displaystyle f(x)-1=4x+3x\ln x
  2. Împărțim fiecare termen la x2ln⁡x\displaystyle x^2\ln x: 4xx2ln⁡x=4xln⁡x\displaystyle \dfrac{4x}{x^2\ln x}=\dfrac{4}{x\ln x} și 3xln⁡xx2ln⁡x=3x\displaystyle \dfrac{3x\ln x}{x^2\ln x}=\dfrac{3}{x}.
    f(x)−1x2ln⁡x=4xln⁡x+3x\displaystyle \frac{f(x)-1}{x^2\ln x}=\frac{4}{x\ln x}+\frac{3}{x}
  3. Deoarece (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, avem 4xln⁡x=4ln⁡x⋅(ln⁡x)′\displaystyle \dfrac{4}{x\ln x}=\dfrac{4}{\ln x}\cdot(\ln x)', iar o primitivă a acestuia este 4ln⁡(ln⁡x)\displaystyle 4\ln(\ln x). Primitiva lui 3x\displaystyle \dfrac{3}{x} este 3ln⁡x\displaystyle 3\ln x.
    ∫244ln⁡x⋅(ln⁡x)′dx+3∫241xdx=4ln⁡(ln⁡x)∣24+3ln⁡x∣24\displaystyle \int_2^4\frac{4}{\ln x}\cdot(\ln x)'dx+3\int_2^4\frac{1}{x}dx=4\ln(\ln x)\Big|_2^4+3\ln x\Big|_2^4
  4. Calculăm primul termen: 4(ln⁡(ln⁡4)−ln⁡(ln⁡2))=4ln⁡ln⁡4ln⁡2=4ln⁡2ln⁡2ln⁡2=4ln⁡2\displaystyle 4\left(\ln(\ln 4)-\ln(\ln 2)\right)=4\ln\dfrac{\ln 4}{\ln 2}=4\ln\dfrac{2\ln 2}{\ln 2}=4\ln 2.
    4ln⁡(ln⁡x)∣24=4ln⁡2\displaystyle 4\ln(\ln x)\Big|_2^4=4\ln 2
  5. Calculăm al doilea termen: 3(ln⁡4−ln⁡2)=3(2ln⁡2−ln⁡2)=3ln⁡2\displaystyle 3(\ln 4-\ln 2)=3(2\ln 2-\ln 2)=3\ln 2.
    3ln⁡x∣24=3ln⁡2\displaystyle 3\ln x\Big|_2^4=3\ln 2
  6. Adunăm: 4ln⁡2+3ln⁡2=7ln⁡2\displaystyle 4\ln 2+3\ln 2=7\ln 2. Din aln⁡2=7ln⁡2\displaystyle a\ln 2=7\ln 2 rezultă a=7\displaystyle a=7.
    7ln⁡2=aln⁡2⇒a=7\displaystyle 7\ln 2=a\ln 2\Rightarrow a=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.