Bac matematică M3 tehnologic 2014, simulare: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați suma primilor trei termeni ai unei progresii aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, știind că a2=4\displaystyle a_2 = 4.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu r\displaystyle r rația progresiei aritmetice. Atunci a1=a2−r\displaystyle a_1=a_2-r și a3=a2+r\displaystyle a_3=a_2+r.
    a1=a2−r\displaystyle a_1=a_2-r,a3=a2+r\displaystyle \quad a_3=a_2+r
  2. Scriem suma S3=a1+a2+a3\displaystyle S_3=a_1+a_2+a_3 folosind a2\displaystyle a_2 și r\displaystyle r.
    a1+a2+a3=(a2−r)+a2+(a2+r)\displaystyle a_1+a_2+a_3=(a_2-r)+a_2+(a_2+r)
  3. Reducem termenii: −r\displaystyle -r și +r\displaystyle +r se anulează, deci rămân trei termeni egali cu a2\displaystyle a_2.
    a1+a2+a3=3a2\displaystyle a_1+a_2+a_3=3a_2
  4. Înlocuim a2=4\displaystyle a_2=4 și obținem suma cerută.
    3a2=3⋅4=12\displaystyle 3a_2=3\cdot 4=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2014x−2013\displaystyle f(x)=2014x-2013. Calculați (f(1))2014\displaystyle (f(1))^{2014}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula funcției: f(1)=2014⋅1−2013\displaystyle f(1)=2014\cdot 1-2013.
    f(1)=2014⋅1−2013\displaystyle f(1)=2014\cdot 1-2013
  2. Efectuăm scăderea: 2014−2013=1\displaystyle 2014-2013=1, deci f(1)=1\displaystyle f(1)=1.
    f(1)=1\displaystyle f(1)=1
  3. Ridicăm f(1)\displaystyle f(1) la puterea 2014\displaystyle 2014: (f(1))2014=12014\displaystyle (f(1))^{2014}=1^{2014}. Orice putere a lui 1\displaystyle 1 este egală cu 1\displaystyle 1, deci rezultatul este 1\displaystyle 1.
    (f(1))2014=12014=1\displaystyle (f(1))^{2014}=1^{2014}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 32−3x=3x+6\displaystyle 3^{2-3x}=3^{x+6}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că ambele părți ale ecuației 32−3x=3x+6\displaystyle 3^{2-3x}=3^{x+6} au aceeași bază, 3\displaystyle 3, iar funcția exponențială cu baza 3\displaystyle 3 este injectivă. Prin urmare, egalitatea puterilor revine la egalitatea exponenților.
    2−3x=x+6\displaystyle 2-3x=x+6
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în partea stângă și termenii liberi în partea dreaptă: scădem x\displaystyle x din ambele părți și scădem 2\displaystyle 2 din ambele părți.
    −3x−x=6−2\displaystyle -3x-x=6-2
  3. Reducem termenii asemenea în ambele părți ale egalității.
    −4x=4\displaystyle -4x=4
  4. Împărțim ambele părți la −4\displaystyle -4 și obținem soluția ecuației. Aceasta este un număr real, deci convine.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie divizor al lui 10\displaystyle 10.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de o cifră sunt 0,1,2,…,9\displaystyle 0,1,2,\ldots,9. Le numărăm: sunt 10\displaystyle 10 numere, deci avem 10\displaystyle 10 cazuri posibile.
    {0,1,2,…,9}, deci 10 cazuri posibile\displaystyle \{0,1,2,\ldots,9\}\text{, deci }10\text{ cazuri posibile}
  2. Căutăm divizorii lui 10\displaystyle 10 printre aceste numere. Numărul 0\displaystyle 0 nu este divizor al lui 10\displaystyle 10. Numerele 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2 și 5\displaystyle 5 împart exact pe 10\displaystyle 10, iar 10\displaystyle 10 are două cifre, deci nu face parte din mulțime. Avem 3\displaystyle 3 cazuri favorabile.
    1\displaystyle 1, 2\displaystyle \ 2, 5, deci 3 cazuri favorabile\displaystyle \ 5\text{, deci }3\text{ cazuri favorabile}
  3. Aplicăm definiția clasică a probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, adică p=310\displaystyle p=\dfrac{3}{10}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=310\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{3}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,3)\displaystyle A(1,3) și B(−1,1)\displaystyle B(-1,1). Determinați ecuația dreptei AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim ecuația dreptei care trece prin punctele A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B): y−yAyB−yA=x−xAxB−xA\displaystyle \dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}=\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}. Avem xA=1\displaystyle x_A=1, yA=3\displaystyle y_A=3, xB=−1\displaystyle x_B=-1, yB=1\displaystyle y_B=1.
    y−31−3=x−1−1−1\displaystyle \dfrac{y-3}{1-3}=\dfrac{x-1}{-1-1}
  2. Calculăm numitorii: 1−3=−2\displaystyle 1-3=-2 și −1−1=−2\displaystyle -1-1=-2.
    y−3−2=x−1−2\displaystyle \dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{x-1}{-2}
  3. Înmulțim ambii membri cu −2\displaystyle -2 și obținem y−3=x−1\displaystyle y-3=x-1. Apoi adunăm 3 în ambii membri: y=x−1+3\displaystyle y=x-1+3.
    y=x+2\displaystyle y=x+2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 3cos⁡30∘+2sin⁡45∘=52\displaystyle \sqrt{3}\cos 30^\circ+\sqrt{2}\sin 45^\circ=\frac{5}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile din tabelul trigonometric: cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡45∘=22\displaystyle \ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
  2. Înlocuim aceste valori în expresia 3cos⁡30∘+2sin⁡45∘\displaystyle \sqrt{3}\cos 30^\circ+\sqrt{2}\sin 45^\circ.
    3⋅32+2⋅22\displaystyle \sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. Efectuăm înmulțirile: 3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3, iar 2⋅2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2. Apoi adunăm fracțiile cu același numitor și obținem 52\displaystyle \dfrac{5}{2}, adică exact valoarea cerută.
    32+22=52\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{2}{2}=\frac{5}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A=(111123149)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{pmatrix}.

Calculați det⁡A\displaystyle \det A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, care este un determinant de ordin 3, și folosim regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
    det⁡A=∣111123149∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{vmatrix}
  2. Termenii cu plus sunt: 1⋅2⋅9=18\displaystyle 1\cdot 2\cdot 9=18 (diagonala principală), 1⋅3⋅1=3\displaystyle 1\cdot 3\cdot 1=3 și 1⋅1⋅4=4\displaystyle 1\cdot 1\cdot 4=4 (paralelele). Termenii cu minus sunt: 1⋅2⋅1=2\displaystyle 1\cdot 2\cdot 1=2 (diagonala secundară), 1⋅3⋅4=12\displaystyle 1\cdot 3\cdot 4=12 și 1⋅1⋅9=9\displaystyle 1\cdot 1\cdot 9=9 (paralelele ei).
    det⁡A=18+4+3−2−12−9\displaystyle \det A=18+4+3-2-12-9
  3. Calculăm separat suma termenilor cu plus și suma termenilor cu minus: 18+4+3=25\displaystyle 18+4+3=25, iar 2+12+9=23\displaystyle 2+12+9=23. Apoi facem diferența.
    det⁡A=25−23=2\displaystyle \det A=25-23=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A=(111123149)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{pmatrix}. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care matricele A+mI3\displaystyle A+mI_3 și (011113148)\displaystyle \begin{pmatrix}0&1&1\\1&1&3\\1&4&8\end{pmatrix} sunt egale, unde I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea mI3\displaystyle mI_3: elementele de pe diagonala principală devin m\displaystyle m, iar celelalte rămân 0\displaystyle 0.
    mI3=(m000m000m)\displaystyle mI_3=\begin{pmatrix}m&0&0\\0&m&0\\0&0&m\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele A\displaystyle A și mI3\displaystyle mI_3 element cu element: m\displaystyle m se adaugă doar elementelor de pe diagonala principală.
    A+mI3=(1+m1112+m3149+m)\displaystyle A+mI_3=\begin{pmatrix}1+m&1&1\\1&2+m&3\\1&4&9+m\end{pmatrix}
  3. Două matrice sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale. Elementele din afara diagonalei coincid deja. Egalăm elementele de pe diagonală: 1+m=0\displaystyle 1+m=0, 2+m=1\displaystyle 2+m=1, 9+m=8\displaystyle 9+m=8.
    1+m=0 și 2+m=1 și 9+m=8\displaystyle 1+m=0\text{ și }2+m=1\text{ și }9+m=8
  4. Rezolvăm fiecare ecuație: toate trei dau aceeași valoare m=−1\displaystyle m=-1, deci egalitatea matricelor are loc.
    m=−1\displaystyle m=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A=(111123149)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{pmatrix}.

Rezolvați ecuația matriceală AX=(013)\displaystyle AX=\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}, unde X=(xyz)∈M3,1(R)\displaystyle X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R}).
Vezi rezolvarea
  1. Efectuăm produsul AX=(x+y+zx+2y+3zx+4y+9z)\displaystyle AX=\begin{pmatrix}x+y+z\\x+2y+3z\\x+4y+9z\end{pmatrix} și îl egalăm cu (013)\displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}. Se obține un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute.
    {x+y+z=0x+2y+3z=1x+4y+9z=3\displaystyle \begin{cases}x+y+z=0\\x+2y+3z=1\\x+4y+9z=3\end{cases}
  2. Scădem prima ecuație din a doua și din a treia, ca să eliminăm necunoscuta x\displaystyle x. Rămâne un sistem de două ecuații cu necunoscutele y\displaystyle y și z\displaystyle z.
    {y+2z=13y+8z=3\displaystyle \begin{cases}y+2z=1\\3y+8z=3\end{cases}
  3. Din prima ecuație avem y=1−2z\displaystyle y=1-2z. Înlocuim în a doua ecuație: 3(1−2z)+8z=3\displaystyle 3(1-2z)+8z=3, adică 3+2z=3\displaystyle 3+2z=3. Rezultă z=0\displaystyle z=0.
    z=0\displaystyle z=0
  4. Din y=1−2z\displaystyle y=1-2z și z=0\displaystyle z=0 obținem y=1\displaystyle y=1. Din x+y+z=0\displaystyle x+y+z=0 rezultă x=−1\displaystyle x=-1. Verificare în a treia ecuație: −1+4⋅1+9⋅0=3\displaystyle -1+4\cdot 1+9\cdot 0=3.
    x=−1\displaystyle x=-1, y=1\displaystyle \ y=1, z=0\displaystyle \ z=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție comutativă x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5.

Arătați că 2∗(−2)=2014∗(−2014)\displaystyle 2*(-2)=2014*(-2014).
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5. Pentru x=2\displaystyle x=2 și y=−2\displaystyle y=-2 înlocuim în formulă: 2∗(−2)=2+(−2)−5\displaystyle 2*(-2)=2+(-2)-5.
    2∗(−2)=2+(−2)−5\displaystyle 2*(-2)=2+(-2)-5
  2. Calculăm 2+(−2)=0\displaystyle 2+(-2)=0, deci primul membru este 0−5=−5\displaystyle 0-5=-5.
    2∗(−2)=−5\displaystyle 2*(-2)=-5
  3. Pentru al doilea membru luăm x=2014\displaystyle x=2014 și y=−2014\displaystyle y=-2014: 2014∗(−2014)=2014+(−2014)−5\displaystyle 2014*(-2014)=2014+(-2014)-5.
    2014∗(−2014)=2014+(−2014)−5\displaystyle 2014*(-2014)=2014+(-2014)-5
  4. Deoarece 2014+(−2014)=0\displaystyle 2014+(-2014)=0, obținem 2014∗(−2014)=0−5=−5\displaystyle 2014*(-2014)=0-5=-5. Ambii membri sunt egali cu −5\displaystyle -5, deci egalitatea cerută este adevărată.
    2014∗(−2014)=−5⇒2∗(−2)=2014∗(−2014)\displaystyle 2014*(-2014)=-5\Rightarrow 2*(-2)=2014*(-2014)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție comutativă x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5.

Verificați dacă legea „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Asociativitatea înseamnă că (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z) pentru orice numere reale x,y,z\displaystyle x,y,z. Calculăm mai întâi gruparea din stânga: x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5.
    x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5
  2. Aplicăm legea între rezultatul x+y−5\displaystyle x+y-5 și z\displaystyle z: adunăm cele două numere și scădem 5\displaystyle 5. Reducem termenii asemenea: (x+y−5)∗z=(x+y−5)+z−5\displaystyle (x+y-5)*z=(x+y-5)+z-5.
    (x∗y)∗z=(x+y−5)∗z=x+y+z−10\displaystyle (x*y)*z=(x+y-5)*z=x+y+z-10
  3. Calculăm acum gruparea din dreapta. Întâi y∗z=y+z−5\displaystyle y*z=y+z-5.
    y∗z=y+z−5\displaystyle y*z=y+z-5
  4. Aplicăm legea între x\displaystyle x și y+z−5\displaystyle y+z-5: x∗(y+z−5)=x+(y+z−5)−5=x+y+z−10\displaystyle x*(y+z-5)=x+(y+z-5)-5=x+y+z-10. Obținem același rezultat ca la gruparea din stânga, pentru orice x,y,z\displaystyle x,y,z reali, deci legea este asociativă.
    x∗(y∗z)=x∗(y+z−5)=x+y+z−10=(x∗y)∗z, pentru orice numere \displaystyle x*(y*z)=x*(y+z-5)=x+y+z-10=(x*y)*z\text{, pentru orice numere }reale x\displaystyle \text{reale }x,y și z\displaystyle y\text{ și }z
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție comutativă x∗y=x+y−5\displaystyle x*y=x+y-5.

Calculați (−4)∗(−3)∗(−2)∗(−1)∗0∗1∗2∗3∗4\displaystyle (-4)*(-3)*(-2)*(-1)*0*1*2*3*4.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este comutativă (din enunț) și asociativă: (x∗y)∗z=x+y+z−10=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x+y+z-10=x*(y*z). Deci putem grupa factorii în orice ordine și îi putem calcula în orice ordine.
    (x∗y)∗z=x+y+z−10=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x+y+z-10=x*(y*z)
  2. Grupăm numerele opuse în perechi: −4\displaystyle -4 cu 4\displaystyle 4, −3\displaystyle -3 cu 3\displaystyle 3, −2\displaystyle -2 cu 2\displaystyle 2, −1\displaystyle -1 cu 1\displaystyle 1, iar 0\displaystyle 0 rămâne singur.
    ((−4)∗4)∗((−3)∗3)∗((−2)∗2)∗((−1)∗1)∗0\displaystyle ((-4)*4)*((-3)*3)*((-2)*2)*((-1)*1)*0
  3. Pentru orice număr a\displaystyle a avem a∗(−a)=a+(−a)−5=−5\displaystyle a*(-a)=a+(-a)-5=-5. Deci fiecare pereche dă −5\displaystyle -5.
    (−5)∗(−5)∗(−5)∗(−5)∗0\displaystyle (-5)*(-5)*(-5)*(-5)*0
  4. Calculăm (−5)∗(−5)=−5+(−5)−5=−15\displaystyle (-5)*(-5)=-5+(-5)-5=-15. Grupăm cei patru de −5\displaystyle -5 în două perechi.
    ((−5)∗(−5))∗((−5)∗(−5))∗0=(−15)∗(−15)∗0\displaystyle ((-5)*(-5))*((-5)*(-5))*0=(-15)*(-15)*0
  5. Calculăm (−15)∗(−15)=−15+(−15)−5=−35\displaystyle (-15)*(-15)=-15+(-15)-5=-35.
    (−15)∗(−15)∗0=(−35)∗0\displaystyle (-15)*(-15)*0=(-35)*0
  6. Ultimul calcul: (−35)∗0=−35+0−5=−40\displaystyle (-35)*0=-35+0-5=-40. Acesta este rezultatul expresiei.
    (−4)∗(−3)∗(−2)∗(−1)∗0∗1∗2∗3∗4=−40\displaystyle (-4)*(-3)*(-2)*(-1)*0*1*2*3*4=-40
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x+7\displaystyle f(x)=x^3-3x+7.

Arătați că lim⁡x→0f(x)−f(0)x=−3\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=-3.
Vezi rezolvarea
  1. Limita lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} este chiar definiția derivatei funcției f\displaystyle f în punctul 0\displaystyle 0. Funcția f\displaystyle f este polinomială, deci derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar limita există.
    lim⁡x→0f(x)−f(0)x=f′(0)\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)
  2. Derivăm termen cu termen: (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2, (−3x)′=−3\displaystyle (-3x)'=-3 și (7)′=0\displaystyle (7)'=0.
    f′(x)=3x2−3\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3
  3. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în f′(x)=3x2−3\displaystyle f'(x)=3x^2-3 și obținem f′(0)=3⋅02−3\displaystyle f'(0)=3\cdot 0^{2}-3. Deci limita cerută este −3\displaystyle -3.
    f′(0)=3⋅02−3=−3⇒lim⁡x→0f(x)−f(0)x=−3\displaystyle f'(0)=3\cdot 0^{2}-3=-3\Rightarrow \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x+7\displaystyle f(x)=x^3-3x+7.

Calculați lim⁡x→+∞f(x)x(2x+1)(3x+2)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x(2x+1)(3x+2)}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x3−3x+7\displaystyle f(x)=x^3-3x+7 în limita cerută. Numărătorul și numitorul sunt polinoame de gradul 3\displaystyle 3, deci scoatem factor comun x3\displaystyle x^3.
    lim⁡x→+∞x3−3x+7x(2x+1)(3x+2)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{3}-3x+7}{x(2x+1)(3x+2)}
  2. La numărător scoatem factor comun pe x3\displaystyle x^3: x3−3x+7=x3(1−3x2+7x3)\displaystyle x^3-3x+7=x^3\left(1-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{7}{x^3}\right).
    x3−3x+7=x3(1−3x2+7x3)\displaystyle x^{3}-3x+7=x^{3}\left(1-\frac{3}{x^{2}}+\frac{7}{x^{3}}\right)
  3. La numitor scoatem x\displaystyle x din fiecare paranteză: 2x+1=x(2+1x)\displaystyle 2x+1=x\left(2+\dfrac{1}{x}\right) și 3x+2=x(3+2x)\displaystyle 3x+2=x\left(3+\dfrac{2}{x}\right). Împreună cu factorul x\displaystyle x de la început, obținem x3\displaystyle x^3.
    x(2x+1)(3x+2)=x3(2+1x)(3+2x)\displaystyle x(2x+1)(3x+2)=x^{3}\left(2+\frac{1}{x}\right)\left(3+\frac{2}{x}\right)
  4. Înlocuim în limită; factorul x3\displaystyle x^3 apare la numărător și la numitor, deci se simplifică (pentru x≠0\displaystyle x\neq 0).
    lim⁡x→+∞x3(1−3x2+7x3)x3(2+1x)(3+2x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{3}\left(1-\frac{3}{x^{2}}+\frac{7}{x^{3}}\right)}{x^{3}\left(2+\frac{1}{x}\right)\left(3+\frac{2}{x}\right)}
  5. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem 3x2→0\displaystyle \dfrac{3}{x^2}\to 0, 7x3→0\displaystyle \dfrac{7}{x^3}\to 0, 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0 și 2x→0\displaystyle \dfrac{2}{x}\to 0. Deci numărătorul tinde la 1\displaystyle 1, iar numitorul la 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6.
    1−0+0(2+0)(3+0)=16\displaystyle \frac{1-0+0}{(2+0)(3+0)}=\frac{1}{6}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x+7\displaystyle f(x)=x^3-3x+7.

Demonstrați că f(x)≥5\displaystyle f(x)\geq 5 pentru orice x∈[−1,+∞)\displaystyle x\in[-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, folosind regula de derivare a unei sume și (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}. Obținem f′(x)=3x2−3\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3.
    f′(x)=3x2−3\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Avem 3x2−3=0\displaystyle 3x^{2}-3=0, deci x2=1\displaystyle x^{2}=1, de unde x=−1\displaystyle x=-1 sau x=1\displaystyle x=1. Ambele puncte sunt în intervalul [−1,+∞)\displaystyle [-1,+\infty).
    x=−1 sau x=1\displaystyle x=-1\text{ sau }x=1
  3. Stabilim semnul derivatei. Scriem f′(x)=3(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1). Pe (−1,1)\displaystyle (-1,1) avem x−1<0\displaystyle x-1<0 și x+1>0\displaystyle x+1>0, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0. Pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) ambii factori sunt pozitivi, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0.
    f′(x)<0 pe (−1,1)\displaystyle f'(x)<0\text{ pe }(-1,1),f′(x)>0 pe (1,+∞)\displaystyle \quad f'(x)>0\text{ pe }(1,+\infty)
  4. Calculăm valoarea în punctul de schimbare a monotoniei: f(1)=13−3⋅1+7=5\displaystyle f(1)=1^{3}-3\cdot 1+7=5.
    f(1)=5\displaystyle f(1)=5
  5. Deoarece f\displaystyle f este descrescătoare pe [−1,1]\displaystyle [-1,1] și crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), punctul x=1\displaystyle x=1 este punct de minim pe interval. Pentru orice x∈[−1,+∞)\displaystyle x\in[-1,+\infty) avem f(x)≥f(1)=5\displaystyle f(x)\geq f(1)=5.
    f(x)≥f(1)=5\displaystyle f(x)\geq f(1)=5, ∀x∈[−1,+∞)\displaystyle \ \forall x\in[-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+2x\displaystyle f(x)=e^x+2x și F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=ex+x2+2014\displaystyle F(x)=e^x+x^2+2014.

Calculați ∫12(f(x)−ex)dx\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-e^x\right)dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=ex+2x\displaystyle f(x)=e^{x}+2x în integrand: f(x)−ex=ex+2x−ex\displaystyle f(x)-e^{x}=e^{x}+2x-e^{x}. Termenii ex\displaystyle e^{x} se reduc, deci rămâne doar 2x\displaystyle 2x.
    f(x)−ex=2x\displaystyle f(x)-e^{x}=2x
  2. Integrala devine integrala lui 2x\displaystyle 2x pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2].
    ∫12(f(x)−ex)dx=∫122x dx\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-e^x\right)dx=\int_1^2 2x\,dx
  3. O primitivă a lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}, deoarece (x2)′=2x\displaystyle \left(x^{2}\right)'=2x.
    ∫2x dx=x2+C\displaystyle \int 2x\,dx=x^{2}+C
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: x2∣12=22−12=4−1\displaystyle x^{2}\Big|_1^2=2^{2}-1^{2}=4-1.
    x2∣12=4−1=3\displaystyle x^{2}\Big|_1^2=4-1=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+2x\displaystyle f(x)=e^x+2x și F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=ex+x2+2014\displaystyle F(x)=e^x+x^2+2014.

Arătați că funcția F\displaystyle F este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim definiția: F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R} dacă F\displaystyle F este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R} și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Funcția F\displaystyle F este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}, fiind suma dintre funcția exponențială și funcții polinomiale.
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm F\displaystyle F termen cu termen: derivata lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, derivata lui x2\displaystyle x^2 este 2x\displaystyle 2x, iar derivata constantei 2014\displaystyle 2014 este 0\displaystyle 0.
    F′(x)=(ex+x2+2014)′=ex+2x+0=ex+2x\displaystyle F'(x)=\left(e^x+x^2+2014\right)'=e^x+2x+0=e^x+2x
  3. Comparăm cu f(x)=ex+2x\displaystyle f(x)=e^x+2x: rezultatul obținut coincide cu f(x)\displaystyle f(x) pentru orice x\displaystyle x real, deci F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x) pentru orice x∈R, deci F este o primitiva˘ a \displaystyle F'(x)=f(x)\text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}\text{, deci }F\text{ este o primitivă a }funcției f\displaystyle \text{funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+2x\displaystyle f(x)=e^x+2x și F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=ex+x2+2014\displaystyle F(x)=e^x+x^2+2014.

Calculați ∫01f(x)F(x) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)F(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm F(x)=ex+x2+2014\displaystyle F(x)=e^x+x^2+2014 și obținem F′(x)=ex+2x\displaystyle F'(x)=e^x+2x, deci F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x).
    F′(x)=ex+2x=f(x)\displaystyle F'(x)=e^x+2x=f(x)
  2. Cum f=F′\displaystyle f=F', integrala devine ∫01F(x)F′(x) dx\displaystyle \int_0^1 F(x)F'(x)\,dx.
    ∫01F(x)F′(x) dx\displaystyle \int_0^1 F(x)F'(x)\,dx
  3. Deoarece (F2(x)2)′=F(x)F′(x)\displaystyle \left(\dfrac{F^2(x)}{2}\right)'=F(x)F'(x), primitiva este F2(x)2\displaystyle \dfrac{F^2(x)}{2}, iar integrala se evaluează între limitele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    F2(x)2∣01=F2(1)−F2(0)2\displaystyle \frac{F^2(x)}{2}\Big|_0^1=\frac{F^2(1)-F^2(0)}{2}
  4. Avem F(1)=e+1+2014=e+2015\displaystyle F(1)=e+1+2014=e+2015 și F(0)=e0+0+2014=1+2014=2015\displaystyle F(0)=e^0+0+2014=1+2014=2015.
    F(1)=e+2015\displaystyle F(1)=e+2015,F(0)=2015\displaystyle \quad F(0)=2015
  5. Obținem (e+2015)2−201522\displaystyle \dfrac{(e+2015)^2-2015^2}{2}.
    (e+2015)2−201522\displaystyle \frac{(e+2015)^2-2015^2}{2}
  6. Cum (e+2015)2=e2+4030e+20152\displaystyle (e+2015)^2=e^2+4030e+2015^2, termenii 20152\displaystyle 2015^2 se reduc și rezultă e2+4030e2\displaystyle \dfrac{e^2+4030e}{2}.
    (e+2015)2−201522=e2+4030e2\displaystyle \frac{(e+2015)^2-2015^2}{2}=\frac{e^2+4030e}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.