Bac matematică M3 tehnologic 2018, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul n=13−1−13+1\displaystyle n=\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1} este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Raționalizăm prima fracție: amplificăm cu conjugatul numitorului, adică 3+1\displaystyle \sqrt{3}+1. La numitor folosim formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
    13−1=3+1(3−1)(3+1)=3+13−1=3+12\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}
  2. Raționalizăm a doua fracție: amplificăm cu 3−1\displaystyle \sqrt{3}-1, conjugatul numitorului. Numitorul devine 3−1=2\displaystyle 3-1=2.
    13+1=3−1(3+1)(3−1)=3−12\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}
  3. Înlocuim cele două fracții raționalizate în expresia lui n\displaystyle n.
    n=3+12−3−12\displaystyle n=\frac{\sqrt{3}+1}{2}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}
  4. Fracțiile au același numitor, deci scădem numărătorii. Atenție la paranteză: scăzând, schimbăm semnele termenilor din a doua paranteză. Radicalii se reduc și rămâne 22=1\displaystyle \dfrac{2}{2}=1, care este număr natural.
    n=3+1−3+12=22=1∈N\displaystyle n=\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{2}=\frac{2}{2}=1\in\mathbb{N}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care punctul A(1,2)\displaystyle A(1,2) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+3m\displaystyle f(x)=x^2-2x+3m.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(1,2)\displaystyle A(1,2) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(1)=2\displaystyle f(1)=2, adică ordonata punctului este valoarea funcției în abscisa lui.
    f(1)=2\displaystyle f(1)=2
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia funcției: f(1)=12−2⋅1+3m\displaystyle f(1)=1^{2}-2\cdot 1+3m.
    f(1)=12−2⋅1+3m\displaystyle f(1)=1^{2}-2\cdot 1+3m
  3. Calculăm: 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1, deci f(1)=−1+3m\displaystyle f(1)=-1+3m. Condiția f(1)=2\displaystyle f(1)=2 devine −1+3m=2\displaystyle -1+3m=2.
    −1+3m=2\displaystyle -1+3m=2
  4. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri: 3m=3\displaystyle 3m=3.
    3m=3\displaystyle 3m=3
  5. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem m=1\displaystyle m=1.
    m=1\displaystyle m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2x+log⁡x2=2\displaystyle \log_2 x+\log_x 2=2.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condițiile de existență: pentru log⁡2x\displaystyle \log_2 x avem x>0\displaystyle x>0, iar pentru log⁡x2\displaystyle \log_x 2 baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1. Deci x∈(0,1)∪(1,∞)\displaystyle x\in(0,1)\cup(1,\infty).
    x∈(0,1)∪(1,∞)\displaystyle x\in(0,1)\cup(1,\infty)
  2. Folosim formula de schimbare a bazei: log⁡x2=1log⁡2x\displaystyle \log_x 2=\dfrac{1}{\log_2 x}. Notăm t=log⁡2x\displaystyle t=\log_2 x; cum x≠1\displaystyle x\neq 1, avem t≠0\displaystyle t\neq 0. Ecuația devine t+1t=2\displaystyle t+\dfrac{1}{t}=2.
    t+1t=2\displaystyle t+\frac{1}{t}=2, t≠0\displaystyle \ t\neq 0
  3. Înmulțim ecuația cu t\displaystyle t și obținem t2+1=2t\displaystyle t^{2}+1=2t, adică t2−2t+1=0\displaystyle t^{2}-2t+1=0. Recunoaștem pătratul perfect: (t−1)2=0\displaystyle (t-1)^2=0.
    log⁡2x+1log⁡2x=2⇒(log⁡2x−1)2=0\displaystyle \log_2 x+\frac{1}{\log_2 x}=2\Rightarrow(\log_2 x-1)^2=0
  4. Din (t−1)2=0\displaystyle (t-1)^2=0 rezultă t=1\displaystyle t=1, adică log⁡2x=1\displaystyle \log_2 x=1, deci x=21=2\displaystyle x=2^{1}=2.
    log⁡2x=1⇒x=2\displaystyle \log_2 x=1\Rightarrow x=2
  5. Verificăm: x=2\displaystyle x=2 respectă condițiile de existență, iar log⁡22+log⁡22=1+1=2\displaystyle \log_2 2+\log_2 2=1+1=2. Deci ecuația are soluția unică x=2\displaystyle x=2.
    x=2, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=2\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea M={1,2,3,4}\displaystyle M=\{1,2,3,4\}, acesta să verifice inegalitatea (n+2)!n!≤20\displaystyle \frac{(n+2)!}{n!}\le 20.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea M={1,2,3,4}\displaystyle M=\{1,2,3,4\} are 4 elemente, deci numărul cazurilor posibile este 4\displaystyle 4.
    nr. cazuri posibile=4\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=4
  2. Simplificăm fracția de factoriale: (n+2)!=(n+2)(n+1)⋅n!\displaystyle (n+2)!=(n+2)(n+1)\cdot n!, deci (n+2)!n!=(n+1)(n+2)\displaystyle \dfrac{(n+2)!}{n!}=(n+1)(n+2).
    (n+2)!n!=(n+1)(n+2)\displaystyle \dfrac{(n+2)!}{n!}=(n+1)(n+2)
  3. Calculăm (n+1)(n+2)\displaystyle (n+1)(n+2) pentru fiecare n∈M\displaystyle n\in M: pentru n=1\displaystyle n=1 obținem 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6, pentru n=2\displaystyle n=2 obținem 3⋅4=12\displaystyle 3\cdot 4=12, pentru n=3\displaystyle n=3 obținem 4⋅5=20\displaystyle 4\cdot 5=20, pentru n=4\displaystyle n=4 obținem 5⋅6=30\displaystyle 5\cdot 6=30.
    6\displaystyle 6, 12\displaystyle \ 12, 20\displaystyle \ 20, 30\displaystyle \ 30
  4. Inegalitatea ≤20\displaystyle \le 20 este verificată pentru n=1\displaystyle n=1, n=2\displaystyle n=2 și n=3\displaystyle n=3 (valorile 6\displaystyle 6, 12\displaystyle 12, 20\displaystyle 20), iar pentru n=4\displaystyle n=4 nu, deoarece 30>20\displaystyle 30>20. Deci sunt 3 cazuri favorabile.
    nr. cazuri favorabile=3\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=3
  5. Aplicăm definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=34\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{3}{4}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=34\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{3}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,a)\displaystyle A(1,a), B(b,7)\displaystyle B(b,7) și C(2,5)\displaystyle C(2,5), unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale. Știind că punctul C\displaystyle C este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB, determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formulele pentru coordonatele mijlocului unui segment: dacă C\displaystyle C este mijlocul lui AB\displaystyle AB, atunci xC=xA+xB2\displaystyle x_C=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yC=yA+yB2\displaystyle y_C=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xC=xA+xB2 și yC=yA+yB2\displaystyle x_C=\frac{x_A+x_B}{2}\text{ și }y_C=\frac{y_A+y_B}{2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(1,a)\displaystyle A(1,a), B(b,7)\displaystyle B(b,7), C(2,5)\displaystyle C(2,5). Obținem două ecuații, una pentru abscisă și una pentru ordonată.
    1+b2=2 și a+72=5\displaystyle \frac{1+b}{2}=2\text{ și }\frac{a+7}{2}=5
  3. Din prima ecuație, înmulțind cu 2\displaystyle 2, obținem 1+b=4\displaystyle 1+b=4, deci b=3\displaystyle b=3.
    1+b=4⇒b=3\displaystyle 1+b=4\Rightarrow b=3
  4. Din a doua ecuație, înmulțind cu 2\displaystyle 2, obținem a+7=10\displaystyle a+7=10, deci a=3\displaystyle a=3.
    a+7=10⇒a=3\displaystyle a+7=10\Rightarrow a=3
  5. Răspunsul final: a=3\displaystyle a=3 și b=3\displaystyle b=3.
    a=3 și b=3\displaystyle a=3\text{ și }b=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea laturii AC\displaystyle AC a △ABC\displaystyle \triangle ABC, știind că AB=6\displaystyle AB=6, m(∠B)=45∘\displaystyle m(\angle B)=45^\circ și m(∠C)=30∘\displaystyle m(\angle C)=30^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Latura AB\displaystyle AB se află în fața unghiului C\displaystyle C, iar latura AC\displaystyle AC se află în fața unghiului B\displaystyle B. Scriem teorema sinusurilor pentru aceste două laturi: ABsin⁡C=ACsin⁡B\displaystyle \dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{AC}{\sin B}.
    ABsin⁡C=ACsin⁡B\displaystyle \dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{AC}{\sin B}
  2. Exprimăm AC\displaystyle AC din relație: AC=AB⋅sin⁡Bsin⁡C\displaystyle AC=\dfrac{AB\cdot \sin B}{\sin C}.
    AC=AB⋅sin⁡Bsin⁡C\displaystyle AC=\dfrac{AB\cdot \sin B}{\sin C}
  3. Înlocuim AB=6\displaystyle AB=6, sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2} și sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}.
    AC=6⋅2212\displaystyle AC=\dfrac{6\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{1}{2}}
  4. Simplificăm: numărătorul este 6⋅22=32\displaystyle 6\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}, iar împărțirea la 12\displaystyle \dfrac{1}{2} înseamnă înmulțire cu 2\displaystyle 2. Obținem AC=32⋅2=62\displaystyle AC=3\sqrt{2}\cdot 2=6\sqrt{2}.
    AC=62\displaystyle AC=6\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră determinantul D(x)=∣xxx3−1x2x−1∣\displaystyle D(x)=\begin{vmatrix} x & x & x \\ 3 & -1 & x \\ 2 & x & -1 \end{vmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că D(−2)=16\displaystyle D(-2)=16.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=−2\displaystyle x=-2 în determinant. Obținem D(−2)=∣−2−2−23−1−22−2−1∣\displaystyle D(-2)=\begin{vmatrix} -2 & -2 & -2 \\ 3 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & -1 \end{vmatrix}.
    D(−2)=∣−2−2−23−1−22−2−1∣\displaystyle D(-2)=\begin{vmatrix} -2 & -2 & -2 \\ 3 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & -1 \end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi termenii cu plus: (−2)⋅(−1)⋅(−1)=−2\displaystyle (-2)\cdot(-1)\cdot(-1)=-2, (−2)⋅(−2)⋅2=8\displaystyle (-2)\cdot(-2)\cdot 2=8 și (−2)⋅3⋅(−2)=12\displaystyle (-2)\cdot 3\cdot(-2)=12.
    −2+8+12=18\displaystyle -2+8+12=18
  3. Apoi termenii care se scad, cei de pe diagonala secundară și paralelele ei: (−2)⋅(−1)⋅2=4\displaystyle (-2)\cdot(-1)\cdot 2=4, (−2)⋅(−2)⋅(−2)=−8\displaystyle (-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8 și (−2)⋅3⋅(−1)=6\displaystyle (-2)\cdot 3\cdot(-1)=6.
    4+(−8)+6=2\displaystyle 4+(-8)+6=2
  4. Scădem: D(−2)=−2+12+8−4+8−6\displaystyle D(-2)=-2+12+8-4+8-6, deci D(−2)=18−2=16\displaystyle D(-2)=18-2=16, ceea ce trebuia arătat.
    D(−2)=−2+12+8−4+8−6=16\displaystyle D(-2)=-2+12+8-4+8-6=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră determinantul D(x)=∣xxx3−1x2x−1∣\displaystyle D(x)=\begin{vmatrix} x & x & x \\ 3 & -1 & x \\ 2 & x & -1 \end{vmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că D(x)=x(x+1)(6−x)\displaystyle D(x)=x(x+1)(6-x), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm determinantul după regula lui Sarrus: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
    D(x)=∣xxx3−1x2x−1∣\displaystyle D(x)=\begin{vmatrix} x & x & x \\ 3 & -1 & x \\ 2 & x & -1 \end{vmatrix}
  2. Calculăm termenii cu plus: produsul de pe diagonala principală x⋅(−1)⋅(−1)=x\displaystyle x\cdot(-1)\cdot(-1)=x, apoi produsele x⋅x⋅2=2x2\displaystyle x\cdot x\cdot 2=2x^{2} și x⋅3⋅x=3x2\displaystyle x\cdot 3\cdot x=3x^{2}.
    x+2x2+3x2\displaystyle x+2x^{2}+3x^{2}
  3. Calculăm termenii cu minus: −x⋅(−1)⋅2=2x\displaystyle -x\cdot(-1)\cdot 2=2x, apoi −x⋅x⋅x=−x3\displaystyle -x\cdot x\cdot x=-x^{3} și −x⋅3⋅(−1)=3x\displaystyle -x\cdot 3\cdot(-1)=3x.
    2x−x3+3x\displaystyle 2x-x^{3}+3x
  4. Adunăm cele două grupe de termeni și reducem termenii asemenea: x+2x+3x=6x\displaystyle x+2x+3x=6x, iar 2x2+3x2=5x2\displaystyle 2x^{2}+3x^{2}=5x^{2}.
    D(x)=x+3x2+2x2+2x−x3+3x=−x3+5x2+6x\displaystyle D(x)=x+3x^{2}+2x^{2}+2x-x^{3}+3x=-x^{3}+5x^{2}+6x
  5. Dăm factor comun pe x\displaystyle x din toți termenii.
    D(x)=x(−x2+5x+6)\displaystyle D(x)=x\left(-x^{2}+5x+6\right)
  6. Verificăm descompunerea trinomului: (x+1)(6−x)=6x−x2+6−x=−x2+5x+6\displaystyle (x+1)(6-x)=6x-x^{2}+6-x=-x^{2}+5x+6. Deci trinomul se scrie ca produs, iar egalitatea este adevărată pentru orice număr real x\displaystyle x.
    D(x)=x(x+1)(6−x), pentru orice numa˘r real x\displaystyle D(x)=x(x+1)(6-x)\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră determinantul D(x)=∣xxx3−1x2x−1∣\displaystyle D(x)=\begin{vmatrix} x & x & x \\ 3 & -1 & x \\ 2 & x & -1 \end{vmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele naturale a\displaystyle a pentru care D(a)=0\displaystyle D(\sqrt{a})=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scoatem factorul x\displaystyle x de pe prima linie a determinantului. Pe prima linie rămâne (1, 1, 1)\displaystyle (1,\ 1,\ 1).
    D(x)=x∣1113−1x2x−1∣\displaystyle D(x)=x\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & x \\ 2 & x & -1 \end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul rămas după prima linie. Primul minor este (−1)(−1)−x2=1−x2\displaystyle (-1)(-1)-x^{2}=1-x^{2}, al doilea este 3⋅(−1)−2x=−3−2x\displaystyle 3\cdot(-1)-2x=-3-2x, iar al treilea este 3x−(−1)⋅2=3x+2\displaystyle 3x-(-1)\cdot 2=3x+2. Însumăm cu semnele corespunzătoare.
    (1−x2)−(−3−2x)+(3x+2)=−x2+5x+6\displaystyle \left(1-x^{2}\right)-\left(-3-2x\right)+\left(3x+2\right)=-x^{2}+5x+6
  3. Descompunem trinomul −x2+5x+6\displaystyle -x^{2}+5x+6. Rădăcinile lui sunt −1\displaystyle -1 și 6\displaystyle 6, deci trinomul este (x+1)(6−x)\displaystyle (x+1)(6-x). Rezultă descompunerea lui D(x)\displaystyle D(x).
    D(x)=x(x+1)(6−x)\displaystyle D(x)=x(x+1)(6-x)
  4. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle \sqrt{a} în descompunere (a\displaystyle a fiind natural, radicalul există) și punem condiția D(a)=0\displaystyle D(\sqrt{a})=0.
    a(a+1)(6−a)=0\displaystyle \sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)\left(6-\sqrt{a}\right)=0
  5. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul. Din a=0\displaystyle \sqrt{a}=0 rezultă a=0\displaystyle a=0. Factorul a+1≥1\displaystyle \sqrt{a}+1\ge 1 nu se anulează niciodată. Din 6−a=0\displaystyle 6-\sqrt{a}=0 rezultă a=6\displaystyle \sqrt{a}=6, deci a=36\displaystyle a=36.
    a=0⇒a=0\displaystyle \sqrt{a}=0\Rightarrow a=0,a+1≠0\displaystyle \quad \sqrt{a}+1\neq 0,a=6⇒a=36\displaystyle \quad \sqrt{a}=6\Rightarrow a=36
  6. Ambele valori, 0\displaystyle 0 și 36\displaystyle 36, sunt numere naturale, deci convin.
    a=0 sau a=36\displaystyle a=0\text{ sau }a=36
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră matricea M(m)=(12−m01)\displaystyle M(m)=\begin{pmatrix} 1 & 2-m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că M(1)+M(3)=2M(2)\displaystyle M(1)+M(3)=2M(2).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=1\displaystyle m=1 în M(m)\displaystyle M(m). Elementul din dreapta sus devine 2−1=1\displaystyle 2-1=1.
    M(1)=(1101)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
  2. Înlocuim m=3\displaystyle m=3 în M(m)\displaystyle M(m). Elementul din dreapta sus devine 2−3=−1\displaystyle 2-3=-1.
    M(3)=(1−101)\displaystyle M(3)=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
  3. Adunăm matricele element cu element: 1+1=2\displaystyle 1+1=2, 1+(−1)=0\displaystyle 1+(-1)=0, 0+0=0\displaystyle 0+0=0, 1+1=2\displaystyle 1+1=2.
    M(1)+M(3)=(1101)+(1−101)=(2002)\displaystyle M(1)+M(3)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
  4. Calculăm M(2)\displaystyle M(2): pentru m=2\displaystyle m=2, elementul din dreapta sus este 2−2=0\displaystyle 2-2=0, deci M(2)\displaystyle M(2) este matricea unitate.
    M(2)=(1001)\displaystyle M(2)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
  5. Scoatem factorul 2\displaystyle 2 din matricea obținută pentru M(1)+M(3)\displaystyle M(1)+M(3) și recunoaștem 2M(2)\displaystyle 2M(2). Egalitatea este demonstrată.
    (2002)=2(1001)=2M(2)\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=2M(2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră matricea M(m)=(12−m01)\displaystyle M(m)=\begin{pmatrix} 1 & 2-m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Demonstrați că M(m)⋅M(n)=M(m+n−2)\displaystyle M(m)\cdot M(n)=M(m+n-2), pentru orice numere reale m\displaystyle m și n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul M(m)⋅M(n)\displaystyle M(m)\cdot M(n) folosind definiția: în M(m)\displaystyle M(m) elementul din dreapta sus este 2−m\displaystyle 2-m, iar în M(n)\displaystyle M(n) este 2−n\displaystyle 2-n.
    M(m)⋅M(n)=(12−m01)(12−n01)\displaystyle M(m)\cdot M(n)=\begin{pmatrix} 1 & 2-m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2-n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element linie pe coloană. Pe prima linie: 1⋅1+(2−m)⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1+(2-m)\cdot 0=1 și 1⋅(2−n)+(2−m)⋅1=2−n+2−m\displaystyle 1\cdot(2-n)+(2-m)\cdot 1=2-n+2-m. Pe a doua linie: 0⋅1+1⋅0=0\displaystyle 0\cdot 1+1\cdot 0=0 și 0⋅(2−n)+1⋅1=1\displaystyle 0\cdot(2-n)+1\cdot 1=1.
    M(m)⋅M(n)=(12−n+2−m01)\displaystyle M(m)\cdot M(n)=\begin{pmatrix} 1 & 2-n+2-m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
  3. Scriem elementul din dreapta sus sub forma 2−(m+n−2)\displaystyle 2-(m+n-2). Avem 2−n+2−m=4−m−n\displaystyle 2-n+2-m=4-m-n, iar 2−(m+n−2)=2−m−n+2=4−m−n\displaystyle 2-(m+n-2)=2-m-n+2=4-m-n, deci cele două expresii coincid.
    2−n+2−m=4−m−n=2−(m+n−2)\displaystyle 2-n+2-m=4-m-n=2-(m+n-2)
  4. Înlocuim în matricea produs și recunoaștem forma lui M(m+n−2)\displaystyle M(m+n-2), adică matricea M\displaystyle M cu parametrul m+n−2\displaystyle m+n-2. Egalitatea este adevărată pentru orice numere reale m\displaystyle m și n\displaystyle n, deoarece calculul nu a folosit nicio valoare particulară.
    M(m)⋅M(n)=(12−(m+n−2)01)=M(m+n−2), pentru orice numere \displaystyle M(m)\cdot M(n)=\begin{pmatrix} 1 & 2-(m+n-2) \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=M(m+n-2)\text{, pentru orice numere }reale m și n\displaystyle \text{reale }m\text{ și }n
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră matricea M(m)=(12−m01)\displaystyle M(m)=\begin{pmatrix} 1 & 2-m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x, știind că M(x)⋅M(x)=M(x2−1)\displaystyle M(x)\cdot M(x)=M\left(x^2-1\right).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m\displaystyle m cu x\displaystyle x în matricea dată: M(x)=(12−x01)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix} 1 & 2-x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
    M(x)=(12−x01)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix} 1 & 2-x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul M(x)⋅M(x)\displaystyle M(x)\cdot M(x), înmulțind linie cu coloană. Elementul din dreapta sus este 1⋅(2−x)+(2−x)⋅1=4−2x\displaystyle 1\cdot(2-x)+(2-x)\cdot 1=4-2x.
    M(x)⋅M(x)=(14−2x01)\displaystyle M(x)\cdot M(x)=\begin{pmatrix} 1 & 4-2x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
  3. Recunoaștem forma lui M(m)\displaystyle M(m): elementul din dreapta sus este 2−m\displaystyle 2-m. Din 2−m=4−2x\displaystyle 2-m=4-2x obținem m=2x−2\displaystyle m=2x-2, deci produsul este M(2x−2)\displaystyle M(2x-2), iar egalitatea din enunț devine M(2x−2)=M(x2−1)\displaystyle M(2x-2)=M\left(x^2-1\right).
    M(2x−2)=M(x2−1)\displaystyle M(2x-2)=M\left(x^2-1\right)
  4. Două matrice de forma M(m)\displaystyle M(m) sunt egale când parametrii lor sunt egali, deci egalăm 2x−2\displaystyle 2x-2 cu x2−1\displaystyle x^2-1.
    2x−2=x2−1\displaystyle 2x-2=x^2-1
  5. Mutăm toți termenii într-o parte și obținem ecuația x2−2x+1=0\displaystyle x^2-2x+1=0, adică (x−1)2=0\displaystyle (x-1)^2=0. Singura soluție este x=1\displaystyle x=1.
    x2−2x+1=0  ⟺  (x−1)2=0, de unde obținem x=1\displaystyle x^2-2x+1=0\iff (x-1)^2=0\text{, de unde obținem }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(2,+∞)→R\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3x−2\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-2}.

Arătați că lim⁡x→3f(x)x−3=2\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{f(x)}{x-3}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu formula ei: f(x)x−3=x2−4x+3(x−2)(x−3)\displaystyle \dfrac{f(x)}{x-3}=\dfrac{x^{2}-4x+3}{(x-2)(x-3)}. Funcția este definită pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty), deci pentru x\displaystyle x aproape de 3\displaystyle 3 avem x−2>0\displaystyle x-2>0.
    lim⁡x→3f(x)x−3=lim⁡x→3x2−4x+3(x−2)(x−3)\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{f(x)}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-4x+3}{(x-2)(x-3)}
  2. Numărătorul se anulează pentru x=3\displaystyle x=3, deoarece 9−12+3=0\displaystyle 9-12+3=0. Cealaltă rădăcină este 1\displaystyle 1, deoarece suma rădăcinilor este 4\displaystyle 4. Deci x2−4x+3=(x−3)(x−1)\displaystyle x^{2}-4x+3=(x-3)(x-1).
    x2−4x+3=(x−3)(x−1)\displaystyle x^{2}-4x+3=(x-3)(x-1)
  3. Înlocuim numărătorul descompus în limită. Factorul x−3\displaystyle x-3 apare și la numărător, și la numitor.
    lim⁡x→3x2−4x+3(x−2)(x−3)=lim⁡x→3(x−3)(x−1)(x−2)(x−3)\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-4x+3}{(x-2)(x-3)}=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x-1)}{(x-2)(x-3)}
  4. Simplificăm prin x−3\displaystyle x-3, ceea ce se poate deoarece x→3\displaystyle x\to 3, dar x≠3\displaystyle x\neq 3. Fracția rămasă este continuă în 3\displaystyle 3, deci înlocuim x=3\displaystyle x=3: 3−13−2=21=2\displaystyle \dfrac{3-1}{3-2}=\dfrac{2}{1}=2.
    lim⁡x→3x−1x−2=3−13−2=2\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x-1}{x-2}=\frac{3-1}{3-2}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(2,+∞)→R\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3x−2\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-2}.

Calculați lim⁡x→+∞f(2x)f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(2x)}{f(x)}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(2x)\displaystyle f(2x) înlocuind x\displaystyle x cu 2x\displaystyle 2x în expresia funcției: f(2x)=(2x)2−4⋅2x+32x−2\displaystyle f(2x)=\dfrac{(2x)^{2}-4\cdot 2x+3}{2x-2}, adică numărătorul este 4x2−8x+3\displaystyle 4x^{2}-8x+3, iar numitorul 2x−2\displaystyle 2x-2.
    f(2x)=4x2−8x+32x−2\displaystyle f(2x)=\frac{4x^{2}-8x+3}{2x-2}
  2. Scriem raportul ca produs dintre f(2x)\displaystyle f(2x) și inversul lui f(x)\displaystyle f(x): f(2x)f(x)=4x2−8x+32x−2⋅x−2x2−4x+3\displaystyle \dfrac{f(2x)}{f(x)}=\dfrac{4x^{2}-8x+3}{2x-2}\cdot\dfrac{x-2}{x^{2}-4x+3}.
    f(2x)f(x)=4x2−8x+32x−2⋅x−2x2−4x+3\displaystyle \frac{f(2x)}{f(x)}=\frac{4x^{2}-8x+3}{2x-2}\cdot\frac{x-2}{x^{2}-4x+3}
  3. Dăm factor comun cea mai mare putere a lui x\displaystyle x în fiecare expresie: x2\displaystyle x^{2} în polinoamele de gradul doi și x\displaystyle x în cele de gradul întâi. Numărătorul și numitorul au gradul 3, deci simplificăm cu x3\displaystyle x^{3}.
    lim⁡x→+∞x3(4−8x+3x2)(1−2x)x3(2−2x)(1−4x+3x2)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{3}\left(4-\frac{8}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right)\left(1-\frac{2}{x}\right)}{x^{3}\left(2-\frac{2}{x}\right)\left(1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right)}
  4. După simplificarea cu x3\displaystyle x^{3}, termenii de forma ax\displaystyle \dfrac{a}{x} și bx2\displaystyle \dfrac{b}{x^{2}} tind la 0\displaystyle 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Rămân termenii liberi: 4⋅1\displaystyle 4\cdot 1 la numărător și 2⋅1\displaystyle 2\cdot 1 la numitor, deci limita este 42=2\displaystyle \dfrac{4}{2}=2.
    4⋅12⋅1=42=2\displaystyle \frac{4\cdot 1}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(2,+∞)→R\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3x−2\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-2}.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}, iar n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-mx). Funcția este definită pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty), deci are sens să studiem comportarea la +∞\displaystyle +\infty.
    y=mx+n\displaystyle y=mx+n,m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle \quad m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x},n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle \quad n=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-mx)
  2. Scriem raportul f(x)x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x} ca o fracție cu numitorul x(x−2)\displaystyle x(x-2).
    f(x)x=x2−4x+3x(x−2)=x2−4x+3x2−2x\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{x^2-4x+3}{x(x-2)}=\frac{x^2-4x+3}{x^2-2x}
  3. Limita se calculează împărțind numărătorul și numitorul la x2\displaystyle x^2, adică la cea mai mare putere. Rămân termeni care tind la 0\displaystyle 0, iar raportul coeficienților dominanți este 1\displaystyle 1. Deci panta este m=1\displaystyle m=1.
    m=lim⁡x→+∞x2−4x+3x(x−2)=lim⁡x→+∞1−4x+3x21−2x=1\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-4x+3}{x(x-2)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{2}{x}}=1
  4. Calculăm diferența f(x)−x\displaystyle f(x)-x, aducând la același numitor x−2\displaystyle x-2. Numărătorul devine x2−4x+3−x(x−2)=x2−4x+3−x2+2x\displaystyle x^2-4x+3-x(x-2)=x^2-4x+3-x^2+2x.
    f(x)−x=x2−4x+3−x(x−2)x−2=−2x+3x−2\displaystyle f(x)-x=\frac{x^2-4x+3-x(x-2)}{x-2}=\frac{-2x+3}{x-2}
  5. Calculăm limita împărțind numărătorul și numitorul la x\displaystyle x. Raportul coeficienților lui x\displaystyle x este −21\displaystyle \dfrac{-2}{1}, deci termenul liber este n=−2\displaystyle n=-2.
    n=lim⁡x→+∞−2x+3x−2=lim⁡x→+∞−2+3x1−2x=−2\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\frac{-2x+3}{x-2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-2+\frac{3}{x}}{1-\frac{2}{x}}=-2
  6. Cu m=1\displaystyle m=1 și n=−2\displaystyle n=-2, dreapta y=x−2\displaystyle y=x-2 este asimptotă oblică spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
    y=x−2\displaystyle y=x-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2x2−3x+4,x∈(−∞,1)3x,x∈[1,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases} 2x^2-3x+4, & x\in(-\infty,1) \\ 3x, & x\in[1,+\infty) \end{cases}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este continuă în punctul x=1\displaystyle x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: f\displaystyle f este continuă în x=1\displaystyle x=1 dacă limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în 1\displaystyle 1 sunt egale. Punctul 1\displaystyle 1 este punctul în care se schimbă formula, deci calculăm limitele laterale separat.
    ls(1)=ld(1)=f(1)\displaystyle l_s(1)=l_d(1)=f(1)
  2. Pentru x<1\displaystyle x<1 folosim formula 2x2−3x+4\displaystyle 2x^2-3x+4. Funcția polinomială este continuă, deci înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1: 2⋅1−3+4=3\displaystyle 2\cdot 1-3+4=3.
    lim⁡x→1x<1f(x)=lim⁡x→1x<1(2x2−3x+4)=2−3+4=3\displaystyle \lim_{\substack{x\to1\\x<1}}f(x)=\lim_{\substack{x\to1\\x<1}}\left(2x^2-3x+4\right)=2-3+4=3
  3. Pentru x>1\displaystyle x>1 folosim formula 3x\displaystyle 3x. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 și obținem 3\displaystyle 3. Limitele laterale sunt egale, ambele având valoarea 3\displaystyle 3.
    lim⁡x→1x<1f(x)=3\displaystyle \lim_{\substack{x\to1\\x<1}}f(x)=3, lim⁡x→1x>1f(x)=lim⁡x→1x>1(3x)=3\displaystyle \ \lim_{\substack{x\to1\\x>1}}f(x)=\lim_{\substack{x\to1\\x>1}}(3x)=3
  4. Deoarece 1∈[1,+∞)\displaystyle 1\in[1,+\infty), valoarea funcției în 1\displaystyle 1 se calculează cu formula 3x\displaystyle 3x: f(1)=3⋅1=3\displaystyle f(1)=3\cdot 1=3. Limita este egală cu valoarea funcției în punct, deci f\displaystyle f este continuă în x=1\displaystyle x=1.
    f(1)=3, obținem lim⁡x→1f(x)=f(1), deci funcția f este continua˘ ıˆn punctul x=1\displaystyle f(1)=3\text{, obținem }\lim_{x\to1}f(x)=f(1)\text{, deci funcția }f\text{ este continuă în punctul }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2x2−3x+4,x∈(−∞,1)3x,x∈[1,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases} 2x^2-3x+4, & x\in(-\infty,1) \\ 3x, & x\in[1,+\infty) \end{cases}.

Calculați lim⁡x→3f(x)−3x−3\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{\sqrt{f(x)}-3}{x-3}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x\displaystyle x apropiat de 3\displaystyle 3 avem x≥1\displaystyle x\geq 1, deci f(x)=3x\displaystyle f(x)=3x. Înlocuim în limită.
    lim⁡x→3f(x)−3x−3=lim⁡x→33x−3x−3\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{\sqrt{f(x)}-3}{x-3}=\lim_{x\to3}\frac{\sqrt{3x}-3}{x-3}
  2. Pentru x=3\displaystyle x=3 se obține forma 00\displaystyle \dfrac{0}{0}, deoarece 9−3=0\displaystyle \sqrt{9}-3=0. Amplificăm cu conjugata numărătorului, adică 3x+3\displaystyle \sqrt{3x}+3.
    3x−3x−3⋅3x+33x+3\displaystyle \frac{\sqrt{3x}-3}{x-3}\cdot\frac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{3x}+3}
  3. Aplicăm formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} la numărător: 3x−9=3(x−3)\displaystyle 3x-9=3(x-3).
    lim⁡x→33x−9(x−3)(3x+3)=lim⁡x→33(x−3)(x−3)(3x+3)\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{3x-9}{(x-3)\left(\sqrt{3x}+3\right)}=\lim_{x\to3}\frac{3(x-3)}{(x-3)\left(\sqrt{3x}+3\right)}
  4. Simplificăm cu x−3≠0\displaystyle x-3\neq 0 când x→3\displaystyle x\to3, apoi înlocuim x=3\displaystyle x=3: 9+3=6\displaystyle \sqrt{9}+3=6, iar 36=12\displaystyle \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.
    lim⁡x→333x+3=36=12\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{3}{\sqrt{3x}+3}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2x2−3x+4,x∈(−∞,1)3x,x∈[1,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases} 2x^2-3x+4, & x\in(-\infty,1) \\ 3x, & x\in[1,+\infty) \end{cases}.

Se consideră funcția g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=1+x3−x4\displaystyle g(x)=1+x^3-x^4. Demonstrați că ecuația (f+g)(x)=0\displaystyle (f+g)(x)=0 are cel puțin o soluție în intervalul (0,2)\displaystyle (0,2).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția f+g\displaystyle f+g pe intervalul (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1). Aici f(x)=2x2−3x+4\displaystyle f(x)=2x^2-3x+4, deci adunăm cu g(x)=1+x3−x4\displaystyle g(x)=1+x^3-x^4 și reducem termenii asemenea.
    (f+g)(x)=−x4+x3+2x2−3x+5\displaystyle (f+g)(x)=-x^4+x^3+2x^2-3x+5, x∈(−∞,1)\displaystyle \ x\in(-\infty,1)
  2. Scriem funcția f+g\displaystyle f+g pe intervalul [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty). Aici f(x)=3x\displaystyle f(x)=3x, deci adunăm cu g(x)\displaystyle g(x) și reducem termenii asemenea.
    (f+g)(x)=−x4+x3+3x+1\displaystyle (f+g)(x)=-x^4+x^3+3x+1, x∈[1,+∞)\displaystyle \ x\in[1,+\infty)
  3. Pe fiecare interval f+g\displaystyle f+g este o funcție polinomială, deci continuă. Rămâne de verificat continuitatea în x=1\displaystyle x=1: limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în 1\displaystyle 1 trebuie să coincidă. Toate trei sunt egale cu 4\displaystyle 4, deci f+g\displaystyle f+g este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    lim⁡x→1−(f+g)(x)=−1+1+2−3+5=4=−1+1+3+1=lim⁡x→1+(f+g)(x)=(f+g)(1)\displaystyle \lim_{x\to1^-}(f+g)(x)=-1+1+2-3+5=4=-1+1+3+1=\lim_{x\to1^+}(f+g)(x)=(f+g)(1)
  4. Calculăm (f+g)(0)\displaystyle (f+g)(0). Cum 0∈(−∞,1)\displaystyle 0\in(-\infty,1), folosim prima formulă.
    (f+g)(0)=5>0\displaystyle (f+g)(0)=5>0
  5. Calculăm (f+g)(2)\displaystyle (f+g)(2). Cum 2∈[1,+∞)\displaystyle 2\in[1,+\infty), folosim a doua formulă.
    (f+g)(2)=−16+8+6+1=−1<0\displaystyle (f+g)(2)=-16+8+6+1=-1<0
  6. Funcția f+g\displaystyle f+g este continuă pe [0,2]\displaystyle [0,2] și are valori de semne opuse la capete: (f+g)(0)>0\displaystyle (f+g)(0)>0 și (f+g)(2)<0\displaystyle (f+g)(2)<0. Conform proprietății lui Darboux, există cel puțin un punct c∈(0,2)\displaystyle c\in(0,2) cu (f+g)(c)=0\displaystyle (f+g)(c)=0.
    (f+g)(0)=5>0 și (f+g)(2)=−1<0, deci ecuația (f+g)(x)=0 are cel puțin o soluție \displaystyle (f+g)(0)=5>0\text{ și }(f+g)(2)=-1<0\text{, deci ecuația }(f+g)(x)=0\text{ are cel puțin o soluție }ıˆn (0,2)\displaystyle \text{în }(0,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.