Bac matematică M3 tehnologic 2019, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Rezultatul calculului

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\left(\sqrt{3}-2\right)

este: A.

\displaystyle \sqrt{2}-1

B.

\displaystyle 1

C.

\displaystyle 1+\sqrt{3}

D.

\displaystyle 3

Vezi rezolvarea

Raționalizăm prima fracție: amplificăm cu conjugatul numitorului, $\displaystyle \sqrt{2}-1$ . Numitorul devine $\displaystyle (\sqrt{2})^{2}-1^{2}=1$ .
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$
Raționalizăm a doua fracție: amplificăm cu $\displaystyle \sqrt{3}-\sqrt{2}$ . Numitorul devine $\displaystyle (\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}=3-2=1$ .
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
Înlocuim fracțiile cu forma raționalizată și eliminăm parantezele, schimbând semnul termenilor din paranteza precedată de minus.
$\displaystyle \sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}+2$
Reducem termenii opuși: $\displaystyle \sqrt{2}$ cu $\displaystyle -\sqrt{2}$ și $\displaystyle \sqrt{3}$ cu $\displaystyle -\sqrt{3}$ . Rămâne $\displaystyle -1+2=1$ . Rezultatul corespunde variantei B.
$\displaystyle 1\text{, deci varianta }\text{B}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Punctul de intersecție a graficelor funcțiilor

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x-1

și

\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=-3x+9

este: A.

\displaystyle P(1,1)

B.

\displaystyle P(2,1)

C.

\displaystyle P(2,3)

D.

\displaystyle P(3,2)

Vezi rezolvarea

Punctul de intersecție are coordonatele $\displaystyle (x,y)$ care verifică simultan $\displaystyle y=f(x)$ și $\displaystyle y=g(x)$ . Egalăm cele două expresii: $\displaystyle 2x-1=-3x+9$ .
$\displaystyle 2x-1=-3x+9$
Aducem termenii cu $\displaystyle x$ în stânga și numerele în dreapta: $\displaystyle 2x+3x=9+1$ , deci $\displaystyle 5x=10$ , de unde $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle x=2$
Calculăm ordonata punctului înlocuind $\displaystyle x=2$ în $\displaystyle f$ : $\displaystyle f(2)=2\cdot 2-1=3$ . Verificare cu $\displaystyle g$ : $\displaystyle g(2)=-3\cdot 2+9=3$ , deci valorile coincid.
$\displaystyle y=f(2)=g(2)=3$
Punctul de intersecție este $\displaystyle P(2,3)$ , adică varianta C.
$\displaystyle P(2,3)\text{, varianta C}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Mulțimea soluțiilor ecuației

\displaystyle 3\cdot 2^x+2^{x+3}=44

este: A.

\displaystyle \{0\}

B.

\displaystyle \{1\}

C.

\displaystyle \{2\}

D.

\displaystyle \{4\}

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle 2^{x+3}=2^x\cdot 2^3=8\cdot 2^x$ , deci ecuația devine $\displaystyle 3\cdot 2^x+8\cdot 2^x=44$ .
$\displaystyle 3\cdot 2^x+8\cdot 2^x=44$
Dăm factor comun $\displaystyle 2^x$ : $\displaystyle (3+8)\cdot 2^x=44$ , deci $\displaystyle 11\cdot 2^x=44$ .
$\displaystyle 11\cdot 2^x=44$
Împărțim la $\displaystyle 11$ : $\displaystyle 2^x=\dfrac{44}{11}=4$ .
$\displaystyle 2^x=4$
Cum $\displaystyle 4=2^2$ , avem $\displaystyle 2^x=2^2$ , deci $\displaystyle x=2$ . Mulțimea soluțiilor este $\displaystyle \{2\}$ , deci răspunsul corect este C.
$\displaystyle \text{C}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu

\displaystyle 0

este egală cu:

Vezi rezolvarea

Numărăm cazurile posibile: numerele naturale de două cifre sunt de la $\displaystyle 10$ la $\displaystyle 99$ , deci sunt $\displaystyle 99-10+1=90$ de numere.
$\displaystyle 90$
Produsul cifrelor este $\displaystyle 0$ când cel puțin o cifră este $\displaystyle 0$ . Cifra zecilor nu poate fi $\displaystyle 0$ , deci cifra unităților trebuie să fie $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \overline{a0}$ , $\displaystyle \ a\in\{1,2,\ldots,9\}$
Numerele favorabile sunt $\displaystyle 10, 20, \ldots, 90$ , adică $\displaystyle 9$ numere.
$\displaystyle 9$
Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: $\displaystyle P=\dfrac{9}{90}=\dfrac{1}{10}$ , deci varianta D.
$\displaystyle P=\dfrac{9}{90}=\dfrac{1}{10}\Rightarrow \text{D}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(0,a)

,

\displaystyle B(3,4)

și

\displaystyle C(6,0)

, unde

\displaystyle a

este număr real. Dacă

\displaystyle OB\parallel AC

, atunci numărul real

\displaystyle a

este egal cu: A.

\displaystyle -8

B.

\displaystyle -\frac{9}{2}

C.

\displaystyle \frac{9}{2}

D.

\displaystyle 8

Vezi rezolvarea

Panta dreptei $\displaystyle OB$ este $\displaystyle m_{OB}=\dfrac{y_B-y_O}{x_B-x_O}$ , adică $\displaystyle m_{OB}=\dfrac{4-0}{3-0}$ .
$\displaystyle m_{OB}=\dfrac{4}{3}$
Panta dreptei $\displaystyle AC$ este $\displaystyle m_{AC}=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{0-a}{6-0}$ .
$\displaystyle m_{AC}=-\dfrac{a}{6}$
Dreptele $\displaystyle OB$ și $\displaystyle AC$ sunt paralele, deci au pante egale: $\displaystyle m_{OB}=m_{AC}$ .
$\displaystyle \dfrac{4}{3}=-\dfrac{a}{6}$
Înmulțim ambii membri cu $\displaystyle 6$ : $\displaystyle -a=\dfrac{4\cdot 6}{3}=8$ , deci $\displaystyle a=-8$ . Aceasta corespunde variantei A.
$\displaystyle a=-8\text{, varianta A}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

dreptunghic în

\displaystyle A

cu

\displaystyle AB=5

și

\displaystyle BC=13

. Tangenta unghiului

\displaystyle B

este egală cu: A.

\displaystyle \frac{5}{13}

B.

\displaystyle \frac{5}{12}

C.

\displaystyle \frac{13}{12}

D.

\displaystyle \frac{12}{5}

Vezi rezolvarea

Triunghiul este dreptunghic în $\displaystyle A$ , deci ipotenuza este $\displaystyle BC=13$ , iar $\displaystyle AB=5$ este cateta alăturată unghiului $\displaystyle B$ . Tangenta unghiului $\displaystyle B$ este raportul dintre cateta opusă ( $\displaystyle AC$ ) și cateta alăturată ( $\displaystyle AB$ ): $\displaystyle \operatorname{tg} B=\dfrac{AC}{AB}$ .
$\displaystyle \operatorname{tg} B=\dfrac{AC}{AB}$
Calculăm cateta $\displaystyle AC$ cu teorema lui Pitagora: $\displaystyle AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}=13^{2}-5^{2}=169-25=144$ , deci $\displaystyle AC=12$ .
$\displaystyle AC=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$
Înlocuim în formula tangentei: $\displaystyle \operatorname{tg} B=\dfrac{12}{5}$ . Acest rezultat corespunde variantei D.
$\displaystyle \operatorname{tg} B=\dfrac{12}{5}\Rightarrow \text{D}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră determinantul

\displaystyle D(a)=\begin{vmatrix} a+1 & 2a+2 & a^2-1 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle D(0)=-5

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=0$ în determinant: $\displaystyle a+1$ devine $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2a+2$ devine $\displaystyle 2$ , iar $\displaystyle a^{2}-1$ devine $\displaystyle -1$ . Celelalte două linii nu depind de $\displaystyle a$ .
$\displaystyle D(0)=\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi calculăm produsele pe diagonala principală și pe paralelele ei: $\displaystyle 1\cdot 3\cdot 4$ , $\displaystyle 2\cdot 5\cdot 1$ și $\displaystyle (-1)\cdot 2\cdot 2$ .
$\displaystyle 1\cdot 3\cdot 4+2\cdot 5\cdot 1+(-1)\cdot 2\cdot 2=12+10+(-4)$
Calculăm produsele pe diagonala secundară și pe paralelele ei: $\displaystyle (-1)\cdot 3\cdot 1$ , $\displaystyle 1\cdot 5\cdot 2$ și $\displaystyle 2\cdot 2\cdot 4$ . Acestea se scad din suma precedentă.
$\displaystyle (-1)\cdot 3\cdot 1+1\cdot 5\cdot 2+2\cdot 2\cdot 4=-3+10+16$
Scădem suma produselor de pe diagonala secundară din suma produselor de pe diagonala principală: $\displaystyle 12+(-4)+10-(-3)-10-16$ . Obținem $\displaystyle 18-23$ , adică $\displaystyle -5$ .
$\displaystyle D(0)=12+(-4)+10-(-3)-10-16=18-23=-5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră determinantul

\displaystyle D(a)=\begin{vmatrix} a+1 & 2a+2 & a^2-1 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Demonstrați că

\displaystyle D(a)=(a-5)(a+1)

, pentru orice număr real

\displaystyle a

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Obținem $\displaystyle D(a)=(a+1)\cdot 3\cdot 4+(2a+2)\cdot 5\cdot 1+(a^2-1)\cdot 2\cdot 2-(a^2-1)\cdot 3\cdot 1-(a+1)\cdot 5\cdot 2-(2a+2)\cdot 2\cdot 4$ .
$\displaystyle D(a)=12(a+1)+5(2a+2)+4(a^{2}-1)-3(a^{2}-1)-10(a+1)-8(2a+2)$
Grupăm termenii care conțin aceeași expresie: $\displaystyle a+1$ , $\displaystyle 2a+2$ și $\displaystyle a^2-1$ , adică adunăm coeficienții lor: $\displaystyle 12-10=2$ , $\displaystyle 5-8=-3$ , $\displaystyle 4-3=1$ .
$\displaystyle D(a)=2(a+1)-3(2a+2)+(a^{2}-1)$
Desfacem parantezele: $\displaystyle D(a)=2a+2-6a-6+a^2-1$ . Reducem termenii asemenea: $\displaystyle 2a-6a=-4a$ și $\displaystyle 2-6-1=-5$ .
$\displaystyle D(a)=a^{2}-4a-5$
Factorizăm trinomul: scriem $\displaystyle -4a=-5a+a$ , deci $\displaystyle a^2-4a-5=a(a-5)+(a-5)=(a-5)(a+1)$ . Astfel $\displaystyle D(a)=(a-5)(a+1)$ pentru orice număr real $\displaystyle a$ .
$\displaystyle D(a)=a^{2}-4a-5=(a-5)(a+1)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră determinantul

\displaystyle D(a)=\begin{vmatrix} a+1 & 2a+2 & a^2-1 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numerele întregi

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle D(a)<-3a-3

.

Vezi rezolvarea

Observăm că prima linie are factorul comun $\displaystyle a+1$ : $\displaystyle a+1$ , $\displaystyle 2(a+1)$ și $\displaystyle (a+1)(a-1)$ . Îl scoatem în fața determinantului.
$\displaystyle D(a)=(a+1)\begin{vmatrix} 1 & 2 & a-1 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix}$
Calculăm determinantul rămas prin dezvoltare după prima linie: $\displaystyle 1\cdot(12-10)-2\cdot(8-5)+(a-1)\cdot(4-3)=2-6+a-1=a-5$ . Deci $\displaystyle D(a)=(a+1)(a-5)$ .
$\displaystyle D(a)=(a+1)(a-5)$
Înlocuim în inegalitate: $\displaystyle (a+1)(a-5)<-3a-3$ . Cum $\displaystyle -3a-3=-3(a+1)$ , mutăm termenul în stânga și scoatem factorul comun $\displaystyle a+1$ : $\displaystyle (a+1)(a-5+3)<0$ .
$\displaystyle (a-5)(a+1)<-3(a+1)\Leftrightarrow(a+1)(a-2)<0$
Funcția $\displaystyle (a+1)(a-2)$ are rădăcinile $\displaystyle -1$ și $\displaystyle 2$ și coeficientul dominant pozitiv, deci este negativă între rădăcini.
$\displaystyle a\in(-1,2)$
Singurele numere întregi din intervalul $\displaystyle (-1,2)$ sunt $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle a=0\text{ sau }a=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix} 1-x & x \\ -x & 1+x \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle M(-1)+M(1)=2M(0)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle M(-1)$ înlocuind $\displaystyle x=-1$ în $\displaystyle M(x)$ : $\displaystyle 1-x=2$ , $\displaystyle x=-1$ , $\displaystyle -x=1$ , $\displaystyle 1+x=0$ .
$\displaystyle M(-1)=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle M(1)$ înlocuind $\displaystyle x=1$ în $\displaystyle M(x)$ : $\displaystyle 1-x=0$ , $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle -x=-1$ , $\displaystyle 1+x=2$ .
$\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
Adunăm cele două matrice element cu element: $\displaystyle 2+0=2$ , $\displaystyle -1+1=0$ , $\displaystyle 1+(-1)=0$ , $\displaystyle 0+2=2$ .
$\displaystyle M(-1)+M(1)=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle M(0)$ înlocuind $\displaystyle x=0$ în $\displaystyle M(x)$ : obținem matricea unitate de ordinul $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle M(0)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Înmulțim $\displaystyle M(0)$ cu $\displaystyle 2$ și observăm că rezultatul coincide cu suma $\displaystyle M(-1)+M(1)$ obținută mai sus, deci egalitatea este adevărată.
$\displaystyle M(-1)+M(1)=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=2M(0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix} 1-x & x \\ -x & 1+x \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Demonstrați că

\displaystyle M(x)\cdot M(y)=M(x+y)

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Scriem produsul $\displaystyle M(x)\cdot M(y)$ , înlocuind pe rând $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ în forma lui $\displaystyle M$ . Fiecare element al produsului se obține înmulțind o linie a primei matrice cu o coloană a celei de-a doua.
$\displaystyle M(x)\cdot M(y)=\begin{pmatrix} 1-x & x \\ -x & 1+x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1-y & y \\ -y & 1+y \end{pmatrix}$
Elementul din linia 1, coloana 1: înmulțim linia 1 a primei matrice cu coloana 1 a celei de-a doua și reducem termenii care se anulează: $\displaystyle (1-x)(1-y)+x\cdot(-y)$ .
$\displaystyle (1-x)(1-y)-xy=1-x-y+xy-xy=1-x-y$
Elementul din linia 1, coloana 2: înmulțim linia 1 a primei matrice cu coloana 2 a celei de-a doua, adică $\displaystyle (1-x)\cdot y+x\cdot(1+y)$ .
$\displaystyle (1-x)y+x(1+y)=y-xy+x+xy=x+y$
Elementul din linia 2, coloana 1: înmulțim linia 2 a primei matrice cu coloana 1 a celei de-a doua, adică $\displaystyle -x(1-y)+(1+x)(-y)$ .
$\displaystyle -x(1-y)-(1+x)y=-x+xy-y-xy=-x-y$
Elementul din linia 2, coloana 2: înmulțim linia 2 a primei matrice cu coloana 2 a celei de-a doua, adică $\displaystyle -x\cdot y+(1+x)(1+y)$ .
$\displaystyle -xy+(1+x)(1+y)=-xy+1+x+y+xy=1+x+y$
Adunăm cele patru elemente calculate într-o singură matrice: produsul $\displaystyle M(x)\cdot M(y)$ .
$\displaystyle M(x)\cdot M(y)=\begin{pmatrix} 1-x-y & x+y \\ -x-y & 1+x+y \end{pmatrix}$
Grupăm termenii $\displaystyle x+y$ și observăm că matricea obținută are exact forma lui $\displaystyle M$ în punctul $\displaystyle x+y$ . Deci produsul este $\displaystyle M(x+y)$ , pentru orice $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ reale.
$\displaystyle \begin{pmatrix} 1-(x+y) & x+y \\ -(x+y) & 1+(x+y) \end{pmatrix}=M(x+y)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix} 1-x & x \\ -x & 1+x \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Demonstrați că pentru orice număr real

\displaystyle a

, există un număr real

\displaystyle x

astfel încât

\displaystyle M(x)\cdot M(x)=M(a)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle M(x)\cdot M(x)$ direct. Elementul din poziția (1,1): $\displaystyle (1-x)^{2}+x\cdot(-x)=1-2x$ . Poziția (1,2): $\displaystyle (1-x)x+x(1+x)=2x$ . Poziția (2,1): $\displaystyle -x(1-x)+(1+x)(-x)=-2x$ . Poziția (2,2): $\displaystyle -x\cdot x+(1+x)^{2}=1+2x$ .
$\displaystyle M(x)\cdot M(x)=\begin{pmatrix} 1-2x & 2x \\ -2x & 1+2x \end{pmatrix}$
Observăm că matricea obținută are forma matricei $\displaystyle M(t)$ cu $\displaystyle t=2x$ , deci $\displaystyle M(x)\cdot M(x)=M(2x)$ . Aceasta este relația de la punctul b).
$\displaystyle M(x)\cdot M(x)=M(2x)$
Ecuația $\displaystyle M(x)\cdot M(x)=M(a)$ devine $\displaystyle M(2x)=M(a)$ . Două matrice sunt egale dacă elementele lor coincid; elementele din poziția (1,2) dau $\displaystyle 2x=a$ . Reciproc, dacă $\displaystyle 2x=a$ , toate elementele coincid, deci avem echivalență.
$\displaystyle M(2x)=M(a)\Leftrightarrow 2x=a$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle 2x=a$ în $\displaystyle x$ . Pentru orice număr real $\displaystyle a$ , valoarea $\displaystyle x=\dfrac{a}{2}$ este un număr real și verifică egalitatea $\displaystyle M(x)\cdot M(x)=M(a)$ , deci există $\displaystyle x$ cu proprietatea cerută.
$\displaystyle x=\dfrac{a}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-5x+4

.

Arătați că

\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=-3

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=x^{2}-5x+4$ în limita cerută: $\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}=\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}-5x+4}{x-1}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}-5x+4}{x-1}$
Pentru $\displaystyle x=1$ numărătorul este $\displaystyle 1^{2}-5\cdot 1+4=0$ , iar numitorul este $\displaystyle 1-1=0$ . Avem nedeterminarea $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ , deci trebuie să simplificăm fracția.
$\displaystyle 1^{2}-5\cdot 1+4=0$ , $\displaystyle \quad 1-1=0\ \Rightarrow\ \dfrac{0}{0}$
Rădăcinile trinomului $\displaystyle x^{2}-5x+4$ sunt $\displaystyle x_1=1$ și $\displaystyle x_2=4$ , deoarece $\displaystyle x_1+x_2=5$ și $\displaystyle x_1x_2=4$ . Deci $\displaystyle x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4)$ , iar limita devine $\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{(x-4)(x-1)}{x-1}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{(x-4)(x-1)}{x-1}$
Pentru $\displaystyle x\neq 1$ simplificăm fracția cu $\displaystyle x-1$ și obținem $\displaystyle \lim_{x\to 1}(x-4)$ . Înlocuim $\displaystyle x=1$ : $\displaystyle 1-4=-3$ . Deci limita este $\displaystyle -3$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 1}(x-4)=1-4=-3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-5x+4

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{f(x+1)}

.

Vezi rezolvarea

Scriem limita cerută înlocuind $\displaystyle f(x)$ și $\displaystyle f(x+1)$ cu expresiile lor. Pentru $\displaystyle f(x+1)$ înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle x+1$ în formula funcției.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-5x+4}{(x+1)^2-5(x+1)+4}$
Dezvoltăm numitorul: $\displaystyle (x+1)^2=x^2+2x+1$ , iar $\displaystyle -5(x+1)=-5x-5$ . Adunăm termenii asemenea: $\displaystyle x^2+2x+1-5x-5+4=x^2-3x$ .
$\displaystyle f(x+1)=x^2-3x$
Pentru $\displaystyle x\to+\infty$ , dăm factor comun $\displaystyle x^2$ la numărător și la numitor. Numărătorul devine $\displaystyle x^2\left(1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{x^2}\right)$ , iar numitorul $\displaystyle x^2\left(1-\dfrac{3}{x}\right)$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-5x+4}{x^2-3x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(1-\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac{3}{x}\right)}$
Simplificăm fracția cu $\displaystyle x^2$ , care este nenul când $\displaystyle x\to+\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}}{1-\frac{3}{x}}$
Trecem la limită: $\displaystyle \dfrac{5}{x}$ , $\displaystyle \dfrac{4}{x^2}$ și $\displaystyle \dfrac{3}{x}$ tind la $\displaystyle 0$ când $\displaystyle x\to+\infty$ . Rămâne raportul $\displaystyle \dfrac{1-0+0}{1-0}=1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{f(x+1)}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-5x+4

.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x}

.

Vezi rezolvarea

Scriem funcția $\displaystyle g$ explicit: $\displaystyle g(x)=\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x^{2}-5x+4}{x}$ , pentru $\displaystyle x>0$ .
$\displaystyle g(x)=\dfrac{x^{2}-5x+4}{x}$
O asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ are ecuația $\displaystyle y=mx+n$ , unde $\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{g(x)}{x}$ și $\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}(g(x)-mx)$ . Scriem raportul $\displaystyle \dfrac{g(x)}{x}=\dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{2}}$ .
$\displaystyle \dfrac{g(x)}{x}=\dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{2}}$
Calculăm panta $\displaystyle m$ : numărătorul și numitorul au gradul $\displaystyle 2$ , deci limita este raportul coeficienților dominanți, adică $\displaystyle \dfrac{1}{1}$ . Echivalent, $\displaystyle \dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{2}}=1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}\to 1$ .
$\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{2}}=1$
Pentru termenul liber calculăm $\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}(g(x)-x)$ . Avem $\displaystyle g(x)-x=\dfrac{x^{2}-5x+4}{x}-x=\dfrac{x^{2}-5x+4-x^{2}}{x}=\dfrac{-5x+4}{x}$ .
$\displaystyle g(x)-x=\dfrac{-5x+4}{x}$
Calculăm limita: $\displaystyle \dfrac{-5x+4}{x}=-5+\dfrac{4}{x}\to -5$ , deci $\displaystyle n=-5$ . Asimptota oblică spre $\displaystyle +\infty$ este $\displaystyle y=x-5$ .
$\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-5x+4}{x}=-5\text{, deci }y=x-5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}\sqrt{1-x}, & x\in(-\infty,1) \\ \frac{2-x-x^2}{x}, & x\in[1,+\infty)\end{cases}

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

este continuă în

\displaystyle x=1

.

Vezi rezolvarea

Pentru a arăta că $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$ , trebuie ca limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției în $\displaystyle 1$ să fie egale. Începem cu limita la stânga: pentru $\displaystyle x<1$ funcția este $\displaystyle \sqrt{1-x}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to1,\,x<1}f(x)=\lim_{x\to1,\,x<1}\sqrt{1-x}=\sqrt{1-1}=0$
Calculăm limita la dreapta: pentru $\displaystyle x\ge1$ funcția este $\displaystyle \dfrac{2-x-x^{2}}{x}$ . Numitorul tinde la $\displaystyle 1\neq0$ , deci putem înloculi direct, iar numărătorul tinde la $\displaystyle 2-1-1=0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to1,\,x>1}f(x)=\lim_{x\to1,\,x>1}\frac{2-x-x^{2}}{x}=\frac{2-1-1}{1}=0$
Calculăm valoarea funcției în $\displaystyle 1$ : punctul $\displaystyle 1$ aparține intervalului $\displaystyle [1,+\infty)$ , deci folosim a doua formulă.
$\displaystyle f(1)=\frac{2-1-1^{2}}{1}=0$
Limitele laterale în $\displaystyle 1$ sunt egale (ambele $\displaystyle 0$ ) și egale cu $\displaystyle f(1)=0$ . Deci limita funcției în $\displaystyle 1$ există și este egală cu valoarea funcției în $\displaystyle 1$ , adică $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle f(1)=0\text{, deci }\lim_{x\to1}f(x)=f(1)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}\sqrt{1-x}, & x\in(-\infty,1) \\ \frac{2-x-x^2}{x}, & x\in[1,+\infty)\end{cases}

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to-3}\frac{f(x)-2}{x+3}

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle x$ apropiat de $\displaystyle -3$ avem $\displaystyle x<1$ , deci $\displaystyle f(x)=\sqrt{1-x}$ . Limita devine $\displaystyle \lim_{x\to-3}\dfrac{\sqrt{1-x}-2}{x+3}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to-3}\frac{f(x)-2}{x+3}=\lim_{x\to-3}\frac{\sqrt{1-x}-2}{x+3}$
Verificăm: pentru $\displaystyle x=-3$ numărătorul este $\displaystyle \sqrt{4}-2=0$ , iar numitorul este $\displaystyle 0$ . Avem nedeterminarea $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ .
$\displaystyle \frac{\sqrt{1-(-3)}-2}{-3+3}=\frac{0}{0}$
Amplificăm fracția cu conjugata numărătorului, $\displaystyle \sqrt{1-x}+2$ . Folosind $\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ , numărătorul devine $\displaystyle (1-x)-4=-x-3$ .
$\displaystyle \lim_{x\to-3}\frac{\sqrt{1-x}-2}{x+3}=\lim_{x\to-3}\frac{(1-x)-4}{(x+3)(\sqrt{1-x}+2)}=\lim_{x\to-3}\frac{-x-3}{(x+3)(\sqrt{1-x}+2)}$
La numărător scoatem factor comun: $\displaystyle -x-3=-(x+3)$ . Simplificăm factorul $\displaystyle x+3$ , nenul pentru $\displaystyle x\neq-3$ .
$\displaystyle \lim_{x\to-3}\frac{-(x+3)}{(x+3)(\sqrt{1-x}+2)}=\lim_{x\to-3}\frac{-1}{\sqrt{1-x}+2}$
Înlocuim $\displaystyle x=-3$ : $\displaystyle \sqrt{1-(-3)}+2=\sqrt{4}+2=4$ . Deci limita este $\displaystyle -\dfrac{1}{4}$ .
$\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{4}+2}=-\frac{1}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}\sqrt{1-x}, & x\in(-\infty,1) \\ \frac{2-x-x^2}{x}, & x\in[1,+\infty)\end{cases}

.

Demonstrați că, pentru orice număr real

\displaystyle a

, ecuația

\displaystyle f(x)=a

are cel puțin o soluție.

Vezi rezolvarea

Studiem comportarea funcției la $\displaystyle +\infty$ . Pentru $\displaystyle x\ge 1$ folosim a doua ramură și împărțim numărătorul la $\displaystyle x$ : $\displaystyle f(x)=\dfrac{2}{x}-1-x$ .
$\displaystyle f(x)=\frac{2}{x}-1-x$
Când $\displaystyle x\to+\infty$ , $\displaystyle \dfrac{2}{x}\to 0$ și $\displaystyle -1-x\to-\infty$ , deci limita este minus infinit.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{2-x-x^2}{x}=-\infty$
Pentru $\displaystyle x<1$ avem $\displaystyle f(x)=\sqrt{1-x}$ . Când $\displaystyle x\to-\infty$ , $\displaystyle 1-x\to+\infty$ , deci și rădăcina pătrată tinde la $\displaystyle +\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\sqrt{1-x}=+\infty$
Pe $\displaystyle (-\infty,1)$ funcția $\displaystyle \sqrt{1-x}$ este continuă. Pe $\displaystyle [1,+\infty)$ funcția $\displaystyle \dfrac{2-x-x^2}{x}$ este continuă, deoarece $\displaystyle x\ne 0$ . Rămâne de verificat punctul $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle f\text{ este continuă pe }(-\infty,1)\text{ și pe }(1,+\infty)$
În $\displaystyle x=1$ : limita la stânga este $\displaystyle \lim_{x\to1^-}\sqrt{1-x}=0$ , iar limita la dreapta și valoarea funcției sunt $\displaystyle f(1)=\dfrac{2-1-1}{1}=0$ . Cele trei valori coincid, deci $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle f(1)=\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=0$
Concluzie: $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , cu limita $\displaystyle -\infty$ la $\displaystyle +\infty$ și $\displaystyle +\infty$ la $\displaystyle -\infty$ . Pentru orice $\displaystyle a\in\mathbb{R}$ există $\displaystyle x_1$ cu $\displaystyle f(x_1)<a$ și $\displaystyle x_2$ cu $\displaystyle f(x_2)>a$ . Din proprietatea lui Darboux, $\displaystyle f$ ia valoarea $\displaystyle a$ într-un punct dintre $\displaystyle x_1$ și $\displaystyle x_2$ . Deci mulțimea valorilor lui $\displaystyle f$ este $\displaystyle \mathbb{R}$ și ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are cel puțin o soluție.
$\displaystyle f\text{ continuă pe }\mathbb{R}\text{, deci mulțimea valorilor }$ $\displaystyle \text{este }\mathbb{R}\text{, deci }f(x)=a\text{ are cel puțin o soluție}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M3 tehnologic 2019, simulare clasa a XI-a: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani